Valores próprios e vetores próprios

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1

₅

2

0011 0010

Valores próprios

e

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1

₅

2

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Os valores e vetores próprios de uma matriz são importantes na matemática para estudar equações diferenciais e sistemas dinâmicos contínuous e ocorrem nas engenharias, na química e na física.

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2

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Definição

. Seja uma matriz com elementos em K. Um escalar

K diz-se um

valor próprio

da matriz se existe

K

n

_K

_{tal que}

chama-se

vetor próprio

da matriz associado ao valor próprio

Exemplo

.

pelo que é vetor próprio de associado ao valor próprio 3.

n

n

A





.

X

AX





A



 X

0

, 2 2 3 6 6 2 2 1 2 2 1                          

X

_A



.

      2 2       1 2 2 1













































_n n

x

x

x

x

,...,

:

₁ 1



4

1

₅

2

0011 0010

Determinação dos valores próprios de uma matriz

Pretende-se determinar os escalares K para os quais exista Kn _tal

que

Tem-se:

A última expressão é um sistema homogéneo cuja matriz dos coeficientes é Como se procura uma solução o sistema tem de ter soluções não nulas;

isto é, tem de ser indeterminado.

É sabido que um sistema homogéneo tem soluções não nulas sse o determinante da matriz dos coeficientes é nulo.

Deste modo, os valores próprios da matriz são os valores tais que

.

X

AX









₀

_{ X}

_









0

.



A



I

_n

X

.

n

I

A





,

0



X





0

.

det

A





I

_n





A

0







AX



X

X

AX







AX





I

_n

X



0

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0011 0010

O polinómio chama-se o polinómio característico de A equação chama-se a equação característica de

 



A

I

_n



p



 det





.

A

.

A





0

det

A





I

_n



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1

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2

0011 0010

Observações

(a) Se é uma matriz triangular, o seu polinómio característico é

e os valores próprios são

(b) Se então as matrizes e têm o mesmo polinómio característico e, portanto, os mesmos valores próprios:

.

...,

,

,

₂₂ 11

a

a

nn

a

n n ij

a

A



[

]

_

  





a







a





 

a

_nn







p

_{11 22}

...

n n ij

a

A



[

]

_





det





det









det





.

det

A

t





I

_n



A

t





I

_nt



A





I

_n t



A





I

_n

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1

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0011 0010

Determinação dos vetores próprios de uma matriz

Depois de determinados os valores próprios de para determinar os vetores próprios associados a um determinado valor próprio basta resolver o

sistema homogéneo

As soluções não nulas deste sistema são os vetores próprios da matriz associados a

,

A



A





I

_n



X



0

.

,



.



4

1

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0011 0010

Sejam uma matriz quadrada de ordem , K um valor próprio de e Kn _Kn _.Tem-se:

(a) é um subespaço de Kn _e

(b) Os vetores próprios de associados ao valor próprio são os elementos não nulos de .

chama-se subespaço próprio de associado ao valor próprio .

A dimensão do subespaço designa-se por multiplicidade geométrica do valor próprio .

A



















































X

:

AX

X

X

:

A

I

X

0

M

_





_n A

;

)

dim(

1



M

_



n



M





M



M

A







M



A

n







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1

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0011 0010

Duas matrizes e , quadradas de ordem , dizem-se semelhantes se existe uma matriz invertível , de ordem , tal que

Observação. Duas matrizes semelhantes têm o mesmo polinómio característico e, consequentemente , têm os mesmos valores próprios e com iguais multiplicidades algébricas.

Se uma matriz quadrada , de ordem , for semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existir uma matriz invertível , de ordem , e uma matriz diagonal , de

ordem , tais que então diz-se que é uma matriz diagonalizável e que é uma matriz diagonalizante de .

A

B

n

P

B



P

1

AP

.

A

_n

P

n

D

n

n

1

_,

AP

P

D





A

P

A

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0011 0010

Teorema. Se uma matriz quadrada é diagonalizável e é uma matriz

diagonal semelhante a , então os valores próprios de são os elementos da diagonal principal de .

Teorema. Uma matriz , quadrada de ordem , é diagonalizável sse tem vetores próprios linearmente independentes.

Neste caso, se Kn _{são vetores próprios de linearmente}

independentes, correspondentes, respetivamente, aos valores próprios , não necessáriamente distintos, então a matriz cuja coluna é

é invertível e é uma matriz diagonalizante de . Tem-se:

onde

A



n

X

X ,...,

₁

A

A

D

D

A

A

_n

_n

n





₁

,...,

i

X

(

i 

1

,...,

n

)

i

P

A

A



























 n

AP

P

















0

0

0

...

0

0

...

0

2 1 1





n

X

X

P



₁



4

1

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2

0011 0010

Teorema. Se uma matriz , quadrada de ordem , tem valores próprios, dois a dois distintos, então é diagonalizável.

n

A

n

4

1

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2

0011 0010

Observação. Seja (onde é um espaço vetorial de dimensão finita) e seja a matriz de em relação a uma certa base de . Se é diagonalizável, então existe uma matriz invertível tal que é uma matriz diagonal, onde as colunas de são vetores próprios de , linearmente independentes. Então a matriz de , em relação à base formada por esses

vetores próprios é a matriz .

P

A

V

V

t

:



A

t

V

A

P

AP

P

D



1

V

t

D