Estimativa Bayesiana de Propriedades Acústicas em Tubos de Kundt

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Estimativa Bayesiana de

Propriedades Acústicas em Tubos de Kundt

Mario Olavo Magno de Carvalho∗, Marcus Vinicius Girão de Morais e Alberto Carlos Guimarães Castro Diniz

Resumo: Por meio de uma abordagem Bayesiana, resolve-se o problema da identifica¸cão das propriedades de absor¸cão de amostras de material submetidas à ondas unidimensionais de pressão acústica em tubos de Kundt. Aplica-se um método de Monte Carlo via cadeia de Markov, em um algor´ıtmo de Metropolis-Hastings, para a solu¸cão do problema inverso. As solu¸cões são buscadas em um espa¸co de fun¸cões Splines, acelerando a convergência sem perda de generalidade. Sinais de pressão independentes foram simulados para construir o modelo a priori. Apresentam-se os conceitos fundamentais da metodologia proposta; que é analisada quanto a sua precisão e estabilidade em um experimento simulado.

Palavras-chave: Modelagem estocástica, Fun¸cões splines, Otimiza¸cão, Tubo de impedância.

Abstract: A Bayesian approach was applied to solve an identification problem of some absorption properties of material samples subjected to one-dimensional acoustic pressure waves in a Kundt’s Tube. A Markov Chain Monte Carlo sampling approach, implemented in the form of the Metropolis-Hastings algorithm, was used to solve the inverse problem. The solutions were searched in a spline functions space, accelerating the convergence without loss of generality. Pressure signals were simulated to construct the prior model. The fundamental concepts of the proposed methodology are presented, and it is analysed to its accuracy and stability in a simulated experiment.

Keywords: Stochastic modeling, Spline functions, Optimization, Impedance tube.

Conteúdo

1 Introdu¸c˜ao... 68

2 Abordagem Bayesiana na solu¸c˜ao de problemas inversos... 68

2.1 Estimativas usando m´etodos de Monte Carlo via cadeia de Markov... 69

3 O Modelo Matem´atico do Tubo de Impedˆancia... 69

3.1 Formula¸c˜ao te´orica... 70

4 Processo de Otimiza¸cão e Implementa¸cão Numérica... 72

4.1 Otimiza¸c˜ao usando aproxima¸c˜ao ponto-a-ponto... 72

4.2 Otimiza¸c˜ao utilizando fun¸c˜oes splines ... 72

4.3 Simula¸c˜ao do problema direto... 72

4.4 Implementa¸c˜ao num´erica... 73

5 Resultados Obtidos... 74

5.1 Tubo excitado por uma fun¸c˜ao impar... 74

5.2 Tubo excitado por uma fun¸c˜ao Gaussiana... 77

6 Conclus˜ao... 77

∗_{Autor para contato:}

molavo@unb.br

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1. Introdução

O tubo de Kundt, também chamado de tubo de impedância, é muito usado em ensaios para a determina¸cão das propriedades acústicas de materiais (coeficiente de absor¸cão, impedância acústica, etc). É const´ıtuido por um tubo com um autofalante posicionado em uma de suas extremidades e um corpo de prova na outra. Microfones são usados para medir a pressão acústica das ondas que se propagam dentro do tubo. As ondas medidas pelos microfones são a combina¸cão da onda incidente (emitida pelo autofalante) e da onda refletida pela amostra testada. Conhecendo-se os sinais medidos pelos microfones é poss´ıvel determinar as caracter´ısticas das ondas incidente e refletida e, assim, determinar as propriedades do material testado.

A determina¸cão das propriedades de absor¸cão de materiais testados em tubos de Kundt a partir dos sinais medidos nos microfones é um problema de identifica¸cão de parâmetros, que está inclu´ıdo em uma classe, mais geral, de problemas inversos. Para resolver este problema inverso, foi utilizado um método estat´ıstico com base na abordagem Bayesiana, que apresenta uma maior estabilidade no tratamento de dados incompletos e sujeitos a incertezas, do que os métodos determin´ısticos tradicionais. Utilizar uma abordagem estocástica para resolver um problema inverso envolve a otimiza¸cão de uma fun¸cão (ou parâmetro) que minimiza a dispersão dos res´ıduos no problema direto associado, e exige métodos eficientes para amostragem. Um algoritmo que se adapta muito bem aos problemas de otimiza¸cão estat´ısticos é o algoritmo de Metropolis-Hastings, usando o método de Monte Carlo via cadeia de Markov (MCMC, do inglês Markov Chain Monte Carlo) para realizar a amostragem. A utiliza¸cão dos métodos MCMC permite, naturalmente, uma análise mais robusta da solu¸cão, e um cálculo mais preciso das estimativas de erro.

Este trabalho propõe uma estratégia de otimiza¸cão que faz uso de aproxima¸cão por fun¸cões splines, que são muito adequadas para a solu¸cão de problemas de engenharia, tanto por suas caracter´ısticas, como pelo seu baixo custo computacional, em um algoritmo de otimiza¸cão de Metropolis-Hastings, para resolver o problema inverso estocástico. Para compara¸cão é usada uma otimiza¸cão com aproxima¸cão ponto-a-ponto dos sinais de interesse.

Um programa, desenvolvido na plataforma Matlab, resolve o problema inverso para os dados simulados e analisa o desempenho da otimiza¸cão usando fun¸cões splines; comparando os resultados obtidos àqueles obtidos pelo método tradicional de aproxima¸cão ponto-a-ponto.

Na sequência são apresentados a modelagem do problema da medi¸cão de propriedades acústicas em tubos de Kundt, a metodologia e o algoritmo desenvolvido, bem como os resultados obtidos. Esses são analisados e discutidos, com ênfase na qualidade da representa¸cão das ondas incidente e refletida e na capacidade de reconstru¸cão dos sinais dos microfones.

2. Abordagem Bayesiana na solução de problemas inversos

A identifica¸cão de sinais faz parte dos chamados problemas inversos. De acordo com uma defini¸cão suficientemente ampla (Engl et al., 1996), “resolver um problema inverso é determinar causas desconhecidas a partir de efeitos observados ou desejados”. Problemas inversos são matematicamente classificados como mal postos por não atenderem uma das três condi¸cões de Hadamard, que definem os problemas bem postos (Isakov,2006).

A solu¸cão de um problema bem posto deve satisfazer as condi¸cões de existência, unicidade e estabilidade no que diz respeito aos dados de entrada. Quanto aos problemas inversos, a existência de uma solu¸cão pode, em muitos casos, ser assegurada com base em argumentos f´ısicos. Por outro lado, a unicidade da solu¸cão pode ser matematicamente demonstrada apenas para alguns casos especiais de problemas inversos e, em geral, as técnicas convencionais, são extremamente instáveis em rela¸cão aos dados de entrada, exigindo técnicas especiais para garantir a estabilidade da solu¸cão. Existem várias metodologias para se resolver problemas inversos, que podem ser divididas em dois grupos principais (Kirsch,2011): regulariza¸cão clássica e abordagem por inversão estat´ıstica.

Métodos de regulariza¸cão clássicos visam basicamente a minimiza¸cão da norma dos m´ınimos quadrados dos res´ıduos do modelo. Nesses métodos busca-se uma solu¸cão aproximada que seja suave (regular) e compat´ıvel com os dados observados para um determinado n´ıvel de ru´ıdo. Dois tipos de regulariza¸cão são mais frequentemente utilizados: a técnica de regulariza¸cão de Tikhonov (Tikhonov & Arsenin, 1977) e o método de máxima entropia (Jaynes, 1957), que procura uma regularidade global, produzindo reconstru¸cões suaves para os mesmos dados observados.

A inversão estat´ıstica baseia-se na abordagem Bayesiana em que modelos (distribui¸cão de probabilidade) das medi¸cões e das incógnitas são constru´ıdos separadamente e de forma expl´ıcita. O objetivo geral da inversão estat´ıstica é atualizar a distribui¸cão de probabilidade (modelo) a priori em uma distribui¸cão (modelo) posterior, quando novas informa¸cões (dados observados) tornam-se

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dispon´ıveis. A solu¸cão do problema inverso é reformulada na forma de inferência estat´ıstica da densidade da probabilidade a posteriori , a qual é o modelo para a distribui¸cão de probabilidade condicional dos parâmetros desconhecidos dadas as medi¸cões. O modelo de medi¸cão incorporando os erros de medi¸cão e as incertezas associadas é chamado de verossimilhan¸ca, ou seja, a probabilidade condicional das medi¸cões, dados os parâmetros desconhecidos (Kirsch, 2011). O modelo para as incógnitas que reflete toda a incerteza dos parâmetros, sem a informa¸cão veiculada pelas medi¸cões, ´

e chamado modelo anterior. O mecanismo formal para combinar a nova informa¸cão (medi¸cões) com a informa¸cão previamente dispon´ıvel (a priori) é conhecido como Teorema de Bayes (Lee,2004).

2.1 Estimativas usando métodos de Monte Carlo via cadeia de Markov

Os métodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) são versões iterativas do tradicional método de Monte Carlo (Robert & Casella,2004). A ideia básica é a obten¸cão de uma amostra da distribui¸cão a posteriori e cálculo de estimativas amostrais de caracter´ısticas dessa distribui¸cão (Lee,

2004). A amostragem baseada nos métodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov é a técnica mais viável para o cálculo das estimativas, especialmente nos casos em que o número de incógnitas não é muito grande. Neste trabalho fazemos uso de um método MCMC para a solu¸cão do problema inverso. O algoritmo MCMC mais comum é o algoritmo de Metropolis-Hastings (Kaipio & Somersalo,2004). Uma Cadeia de Markov é um processo estocástico {P0, P1, ..., Pn} tal que a distribui¸cão de Pt,

dados todos os valores pr´evios {P0, P1, ..., Pt−1}, depende apenas do valor imediatamente anterior

Pt−1. Assim, para um subconjunto A:

P (Pt∈ A | P0, P1, ..., Pt−1) = P (Pt∈ A | Xt−1) (1)

O Algoritmo de Metropolis-Hasting satisfaz as condi¸cões dadas pela Equa¸cão 1 e é um dos mais utilizados para inferência Bayesiana. A ideia básica do algoritmo de Metropolis-Hasting é simular um caminho aleatório no espa¸co P que converge para uma distribui¸cão estacionária na qual se está interessado (Kaipio & Somersalo,2004).

A inferência Bayesiana incorpora informa¸cões a priori sobre os parâmetros e as medi¸cões na formula¸cão do problema.

Os métodos MCMC de estimativa por inferência Bayesiana implicam necessariamente no uso de técnicas de amostragem de fun¸cões densidade de probabilidade e de um critério de avalia¸cão de máxima verossimilhan¸ca. Esses métodos permitem obter uma grande amostragem de combina¸cões para o vetor de parâmetros a partir de uma fun¸cão densidade de probabilidade. Estas amostras são testadas, aceitas ou rejeitadas em um algoritmo, a exemplo do de Metropolis-Hastings (Gamerman & Lopes,2006). Com uma amostragem suficientemente grande a sequência {P0, P1, ..., Pn} converge

para a solu¸c˜ao do problema inverso. ´

E importante notar que, com esse método, o problema direto precisa ser resolvido para cada amostra do vetor de parâmetros, exigindo um grande número de cálculos. Assim, apenas recentemente, com o aumento da capacidade e velocidade de cálculo dos computadores é que a aplica¸cão prática desses métodos em problemas mais complexos tornou-se viável.

3. O Modelo Matemático do Tubo de Impedância

O tubo de impedância é um método padronizado para a determina¸cão da impedância acústica e do coeficiente de absor¸cão de um material espec´ıfico. Este aparato experimental consiste de um longo tubo conectado a uma fonte acústica (alto-falante). A geometria tubular serve como guia de ondas para suportar a propaga¸cão de uma onda plana para uma banda de frequência entre a frequência de corte da fonte acústica e a primeira frequência transversal da cavidade. Para essa banda de frequências, as ondas planas incidem sobre o material acústico localizado na extreminada do tubo oposta a fonte acústica. As condi¸cões de contorno podem ser simplificadas sobre a superf´ıcie do material através de uma impedância espec´ıfica z = p/v onde p é a pressão acústica e v é a velocidade acústica.

Existem vários métodos para determinar os coeficiente de absor¸cão por meio de ondas estacionárias dentro de um tubo. Podemos citar o método da razão de onda estacionária, definido pela norma ISO 10534-1:1996 (ISO, 1996), e o método de fun¸cão de transferência, definido pela norma ISO 10534-2:1998 (ISO,1998).

O método de fun¸cão de tranferência, primeiramente formulado por Chung e Blaser (Chung & Blaser,1980a,b), desacopla os campos acústicos incidentes e refletidos a partir da hipótese de ondas planas. Assim, a partir da fun¸cão de transferência da pressão acústica de dois pontos, ele permite determinar a razão entre as ondas refletida e incidente no material.

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A Figura1ilustra um esquema experimental para determinar o coeficiente de absor¸cão acústica e impedância acústica pelo método de fun¸cão de transferência. Diversos laboratórios no pa´ıs possuem ou desenvolveram aparatos experimentais para a determina¸cão do coeficiente de absor¸cão pelo método de fun¸cão de transferência. Melo Filho(2010) desenvolveu uma bancada experimental para determinar o coeficiente de absor¸cão acústica de materiais usando uma variante do método de fun¸cão de transferência para um único microfone (Chu,1986).

Figura 1. Esquema geométrico do tubo de impedância aplicando o método de fun¸cão de transferência.

3.1 Formulação teórica

A Figura 2 apresenta um esquema simplificado da geometria do tubo de impedância aplicando o método de fun¸cão de transferência.

O modelo f´ısico propõem, através da hipótese de ondas planas, que a informa¸cão é composta por duas ondas: a onda incidente pipropagando-se na dire¸cão-x positiva e a onda refletida prprogando-se

na dire¸c˜ao-x negativa ao longo do tubo.

As pressões acústicas referentes a cada uma das componente incidentes e refletidas são indicadas por: p1,i(t) e p2,i(t) para as ondas incidentes, e p1,r(t) e p2,r(t) para as ondas refletidas. Desta

forma, a pressão acústica pi em cada microfone (i = 1, 2) é dada pelas expressões:

p1(t) = p (x, t)cx=−(L+s)= p1,i(t) + p1,r(t) e,

p2(t) = p (x, t)cx=−L= p2,i(t) + p2,r(t)

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A fun¸cão de transferência no dom´ınio da frequência pode ser definida para a pressão total entre dois pontos em termos da transformada de Fourier, bem como para as componentes incidentes e refletidas: H12(f ) = p2(f ) p1(f ) = p2,i(f ) + p2,r(f ) p1,i(f ) + p1,r(f ) , (3) e, H12i(f ) = p2,i(f ) p1,i(f ) e, H12r(f ) = p2,r(f ) p1,r(f ) (4) sendo p(f ), com os subscritos apropriados, a Transformada de Fourier da pressão acústica temporal. Além disso, os coeficientes de reflexão (no dom´ınio da frequência) em cada ponto podem ser definidos como: R1(f ) = p1,r(f ) p1,i(f ) e, R2(f ) = p2,r(f ) p2,i(f ) (5) neste caso, H12(f ) = H12i(f ) 1 + R2(f ) 1 + R1(f ) (6) O coeficiente de reflexão no ponto 2 pode ser escrito em termos do ponto 1,

R2(f ) =

H12,r(f )

H12,i(f )

R1(f ) (7)

e, ent˜ao, a equa¸c˜ao (6) pode ser resolvida para R1(f ),

R1(f ) =

H12(f ) − H12,i(f )

H12,r(f ) − H12(f )

(8) Ao assumir o tubo sem perdas, a fun¸cão de transferência entre os microfones é facilmente determinada por um delay de propaga¸cão. No microfone#1, a pressão acústica incidente e refletida são descritas, respectivamente, como,

p1,i(t) = poexp (ıωt) exp (−ık[−(L + s)]) (9)

e,

p1,r(t) = R poexp (ıωt) exp (−ık(L + s)) . (10)

Então, no microfone#2, a pressão acústica é descrita como,

p2,i(t) = poexp (ıωt) exp (−ık[−L]) = p1,i(t)exp (−ıks) (11)

e,

p2,r(t) = R poexp (ıωt) exp (−ıkL) . = p1,r(t)exp (ıks) (12)

Ent˜ao,

H12i(f ) = exp (−ıks) e, H12r(f ) = exp (ıks) (13)

Por esta mesma razão, estas expressões podem ser extendidas para permitir a expressão do coeficiente de reflexão R(f ) na superf´ıcie da amostra em termos de R1(f ), ou seja,

R (f ) = R1(f ) exp [ı 2k(L + s)] (14) Finalmente, usando (8), (13), e (14), R (f ) = exp [ı 2k(L + s)] H12(f ) − exp(−ıks) H12(f ) − exp(+ıks) (15) O coeficiente de absor¸cão de incidência normal é então dado por αn= 1 − |R(f )|2, ou ainda,

αn(f ) = 1 − H12(f ) − exp(−ıks) H12(f ) − exp(+ıks) 2 (16)

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4. Processo de Otimização e Implementação Numérica

A busca de convergência da Cadeia de Markov, no problema descrito, constitui-se, claramente, em um processo de otimiza¸cão de fun¸cões. Como a otimiza¸cão exige a solu¸cão do problema direto um grande número de vezes, tem-se um elevado custo computacional associado. Assim, diferentes estratégias de otimiza¸cão podem ser adotadas. A seguir são apresentadas duas estratégias que foram usadas para resolver o probelma inverso para determina¸cão das ondas incidentes e refletidas no tubo de Kundt: o método tradicional, usando aproxima¸cão ponto-a-ponto, e um método com aproxima¸cão por fun¸cões splines. Em ambos os casos é usada a abordagem estocástica bayesiana.

4.1 Otimização usando aproximação ponto-a-ponto

O número de passos requerido para a convergência de um problema inverso cresce diretamente com a dimensão do espa¸co de solu¸cão procurado. Em um processo de otimiza¸cão usando aproxima¸cão ponto-a-ponto muitos pontos devem ser considerados a fim de atingir uma solu¸cão mais precisa, aumentando o tamanho do vetor da fun¸cão tentativa e, consequentemente, o número de passos necessários para a convergência do problema inverso.

Como critério de acelera¸cão da convergência pode-se afirmar que, a qualquer tempo, ao longo de um processo de otimiza¸cão, a perturba¸cão aleatória imposta à melhor aproxima¸cão dispon´ıvel até o momento em questão deve guardar uma rela¸cão direta com a dispersão (avalia¸cão de máxima verossimilhan¸ca) apresentada por essa solu¸cão. Assim, para dispersões grandes, que aparecem nos primeiros passos da Cadeia de Markov (que se encontra longe da convergência), convém se utilizar perturba¸cões grandes, que devem ser reduzidas à medida que se aproxima da convergência (solu¸cão procurada). Contudo, mesmo adotando-se esta estratégia para a evolu¸cão da perturba¸cão, o custo computacional da otimiza¸cão utilizando a técnica tradicional de aproxima¸cão ponto-a-ponto permanece elevado.

4.2 Otimização utilizando funções splines

Tendo em vista a grande incerteza envolvida nos primeiros passos da Cadeia de Markov, além da estratégia de se evoluir com a amplitude das perturba¸cões aplicadas ao longo do processo de otimiza¸cão, aplicou-se também uma técnica de modifica¸cão da dimensão do espa¸co de solu¸cão. Inicialmente adota-se uma aproxima¸cão mais grosseira da solu¸cão buscada, de forma a se ter um espa¸co vetorial de menor dimensão e, portanto, uma convergência mais rápida. Garantida a convergência inicial (no espa¸co reduzido), inicia-se a etapa seguinte pesquisando uma solu¸cão mais refinada num espa¸co maior (o espa¸co da solu¸cão procurada). Assim, o processo de convergência no espa¸co da solu¸cão desejada é mais rápido, pois se inicia com uma solu¸cão já próxima da procurada. Para tornar esse processo mais eficaz, busca-se uma representa¸cão utilizando um espa¸co de fun¸cões splines (ou fun¸cões polinomiais por partes) da classe C2, que se mostram mais convenientes para representa¸cão de problemas f´ısicos reais.

Inicialmente desenvolvidas para a modelagem de formas suaves utilizadas na indústria naval, com a evolu¸cão dos recursos computacionais, as aplica¸cões das fun¸cões splines se expandiram para outras ´

areas da computa¸cão cient´ıfica devido à sua simplicidade, precisão e flexibilidade para representar geometrias complexas (Schumaker,2007). Autores comoBiloti et al.(2001) eSteffens(2005), dentre outros, exploraram as propriedades das fun¸cões splines em algoritmos de interpola¸cão e de otimiza¸cão. Do ponto de vista matemático uma spline é uma fun¸cão polinomial definida por intervalos. Dentre as fam´ılias de curvas splines, a mais difundida é a Spline Cúbica Natural (Natural Cubic Splines - NCS) de grau 3 e de continuidade C2 (Biloti et al.,2003;Mota et al.,2010). É conveniente interpretar as fun¸cões splines como formando um subespa¸co vetorial de <, frequentemente designado por Sr

n(p),

onde p é o vetor dos nós, definidos pelas extremidades dos intervalos de interpola¸cão; n é o grau do polinômio de interpola¸cão (n = 3 para o caso de splines cúbicas) e o vetor r indica a suavidade da spline ou o grau de continuidade das derivadas nos pontos definidos pelo vetor p (Schumaker,2007). Assim, este trabalho usa uma estratégia de otimiza¸cão, com aproxima¸cão por Splines, que além de evoluir com a amplitude da perturba¸cão, aplicada a cada passo de aproxima¸cão, de acordo com a Cadeia de Markov, evolui também com a classes da fun¸cão spline, adotando classes mais completas `

a medida que a dispersão identificada, pelo critério de máxima verossimilhan¸ca, vai sendo reduzida.

4.3 Simulação do problema direto

O problema direto foi modelado considerando a propaga¸cão de ondas unidimensionais em tubos, onde a solu¸cão clássica é composta de duas ondas que se propagam em sentidos opostos ao longo de todo

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o tubo. Adotando como origem a superf´ıcie da amostra testada, temos a propaga¸cão de uma onda incidente, no sentido da direita para a esquerda, e uma onda refletida, da esquerda para a direita, conforme Figura 2. A amplitude da onda refletida diferere da amplitude da onda incidente de um fator R, que caracteriza as propriedades de absor¸cão do material da amostra no tubo. Assumindo a hipótese de linearidade, essas duas ondas são adicionadas. O resultado dessa composi¸cão de ondas é assumido conhecido no modelo proposto e simula a medi¸cão dos microfones no dom´ınio do tempo.

Apesar de que, no presente caso, foram usados dois microfones, não há limita¸cão para a avalia¸cão da resposta quanto ao número ou a posi¸cão dos microfones. Se um número maior de microfones for utilizado existirá mais informa¸cão dispon´ıvel e a solu¸cão do problema inverso será mais eficiente (seguindo o princ´ıpio bayesiano), embora isso implique em um maior custo experimental.

Uma vez conhecidas as ondas incidente e refletida, o valor das propriedades de absor¸c˜ao (R) do material da amostra testada pode ser estimada.

4.4 Implementação numérica

Ambas as estratégias de otimiza¸cão, por aproxima¸cão ponto-a-ponto e por fun¸cões splines usam uma aproxima¸cão estat´ıstica para obter uma solu¸cão para o problema inverso do tubo de impedância. A Figura 3 mostra o fluxograma do algoritmo computacional desenvolvido para ambas as estratégias. A diferen¸ca entre estas estratégias está limitado apenas à classe de fun¸cões admiss´ıveis utilizadas.

O algoritmo proposto arbitra uma fun¸cão teste inicial para resolver o problema direto. Então, a dispersão da resposta é estimada e a fun¸cão teste é modificada até que a dispersão seja menor que um valor especificado. Nos primeiros passos, utiliza-se como fun¸cão teste uma spline de baixa ordem (pertencente a um espa¸co de dimensão reduzida). Com a nova etapa proposta para o algoritmo, é poss´ıvel implementar um segundo teste que aumenta a classe da fun¸cão spline quando a dispersão aproxima-se do valor , aumentando a qualidade da representa¸cão (Figura 3).

Figura 3. Fluxograma para solu¸c˜ao do problema inverso do tubo de Kundt.

Foi implementado, em linguagem Matlab, um programa que, usando o algoritmo proposto, avalia e compara o erro para o ajuste das fun¸c˜oes que representam as ondas de press˜ao incidente e refletida.

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Foram realizadas duas otimiza¸cões para diferentes casos (considerando-se diferentes tipos de ondas incidentes), usando aproxima¸cão por fun¸cões ponto-a-ponto e aproxima¸cão por fun¸cões splines.

5. Resultados Obtidos

Apresenta-se a seguir a compara¸cão dos resultados obtidos, aplicando-se o algoritmo proposto para os dois tipos de aproxima¸cão: ponto-a-ponto e por fun¸cões splines, em condi¸cões equivalentes. São considerados dois casos t´ıpicos: um primeiro com uma onda incidente impar e um segundo com uma onda incidente par (fun¸cão Gaussiana).

5.1 Tubo excitado por uma função impar

O primeiro caso considera uma onda incidente do tipo impar em um tubo de 1 m, com dois microfones posicionados a 0,1 m e 0,8 m da extremidade onde est´a fixada a amostra testada.

Na Figura 4(a) é apresentado o sinal incidente, simulando a onda emitida pelo autofalante. Considerando um coeficiente de absor¸cão uniforme igual a R = 0, 5, espera-se que o sinal refletido seja como o mostrado na Figura4(b). Usando, então, esses dois sinais foi resolvido o problema direto e gerado os sinais que teoricamente seriam medidos pelos microfones, como mostra a Figura5. Estes sinais serão usados como referência para a verifica¸cão da qualidade da solu¸cão do problema inverso.

(a) onda incidente (b) onda refletida

Figura 4. Sinais simulados no tubo de impedˆancia - onda impar.

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A aplica¸cão do algoritmo, apresentado na Se¸cão 4.4, implica em se arbitrar fun¸cões que tentem representar os sinais incidente e refletido existentes no tubo para, resolvendo o problema inverso, reconstruir os sinais “medidos” pelos microfones (mostrados na Figura 5). Partindo das fun¸cões arbitradas para os sinais incidente e refletido, o algoritmo procede a aplica¸cão de uma perturba¸cão aleatória sobre essas fun¸cões até atingir aquelas que melhor representam os sinais compostos, “medidos” pelos microfones. Ao se atingir o n´ıvel de qualidade de aproxima¸cão exigido para a representa¸cão dos sinais dos microfones, usa-se as fun¸cões representativas dos sinais incidente e refletido para determinar o coeficiente de absor¸cão da amostra testada.

As Figuras6(a) e6(b)mostram a qualidade da aproxima¸cão dos sinais incidente e refletido após 500 itera¸cões (após um tempo de cálculo de 7 s). Nas figuras podemos ver a fun¸cão de partida (indicada pelo tracejado verde), a fun¸cão aproximada (tracejado azul) e a solu¸cão esperada (linha vermelha).

Deve-se notar que nestas figuras as solu¸cões esperadas são mostradas apenas a t´ıtulo de compara¸cão, visto que o algoritmo considera, para verificar a convergência, a qualidade da aproxima¸cão dos sinais nos dois microfones, mostrada na Figura6(c), onde a aproxima¸cão numérica ´

e mostrada pelo tracejado azul e a solu¸c˜ao esperada (“medida” pelo microfone) em vermelho.

(a) onda incidente (b) onda refletida

(c) Sinais recuperados nos microfones

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Transcorridos 13,12 min. de simula¸cão, o algoritmo convergiu para os resultados resumidos na Figura 7, que foram obtidos com 10.000 itera¸cões. Na Figura 7 pode-se ver a qualidade da aproxima¸cão dos sinais “medidos” nos microfones, os quais permitem determinar com exatidão os sinais incidente e refletido no tubo e com estes é poss´ıvel calcular a coeficiente de absor¸cão do material testado.

Figura 7. Resultado da aproxima¸cão dos sinais nos microfones após 10.000 itera¸cões, usando fun¸cões splines. A t´ıtulo de compara¸cão, repetiu-se o mesmo procedimento adotando agora uma aproxima¸cão ponto-a-ponto. Foram repetidas as mesmas condi¸cões de simula¸cão e usado o mesmo algoritmo, contudo sem o passo de refinamento da fun¸cão de aproxima¸cão.

De forma a abreviar o texto, a Figura 8 resume o resultado final da otimiza¸cão (após 10.000 itera¸cões) mostrando as ondas incidente e refletida, bem como a aproxima¸cão dos sinais nos microfones. As aproxima¸cões numéricas são apresentadas em linhas tracejadas azuis e as solu¸cões esperadas em linhas vermelhas.

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5.2 Tubo excitado por uma função Gaussiana

Neste segundo caso considera-se uma onda incidente do tipo Gaussiana (onda par). São adotados os mesmos valores para as dimensões do tubo e para o posicionamento dos microfones. Considera-se também o mesmo valor para o coeficiente de absor¸cão da amostra: R = 0, 5.

Adotando-se o mesmo procedimento do caso anterior, o algoritmo foi inicialmente aplicado considerando uma aproxima¸cão por fun¸cões splines e, em seguida, repetido usando aproxima¸cão ponto-a-ponto. De forma a evitar repeti¸cões e alongar o texto, apresentam-se apenas os resultados finais das simula¸cões.

A Figura 9 mostra, em sua parte superior, o resultado obtido para a identifica¸cão das ondas incidente e refletida no tubo de impedância e, na parte inferior, a aproxima¸cão dos sinais nos microfones. As aproxima¸cões são mostradas pelas linhas tracejadas azuis e as solu¸cões exatas pelas linhas vermelhas. Para um res´ıduo quadrático inferior a 0, 3%, a solu¸cão por splines converge em 274 itera¸cões após 12,0 segundos, em média. Enquanto, para o mesmo res´ıduo quadrático inferior a 0, 3%, a solu¸cão ponto-a-ponto converge em 29566 itera¸cões após 125,2 segundos, em média. As simula¸cões foram efetuadas em um computador Pentium Core2 1, 86GHz 1Gb RAM, WindowsXP 2002 SP3 e MatLab 7.6.0 (R2008a).

Figura 9. Identifica¸cão numérica de um sinal de entrada gaussiano usando aproxima¸cão por fun¸cões splines. Os resultados para a aproxima¸cão ponto-a-ponto são resumidos na Figura 10, onde, como nas demais, o tracejado azul mostra o resultado da simula¸cão e o tracejado vermelho a solu¸cão exata.

6. Conclusão

A identifica¸cão de propriedades acústicas de coeficiente de absor¸cão e impedância acústica de uma amostra testada em um tubo de impedância (Tubo de Kundt) caracteriza um problema inverso em acústica.

O problema bem posto foi adequadamente modelado. A aplica¸cão de uma abordagem estocástica por meio de um método de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) resultou numa solu¸cão adequada, robusta e estável. As ondas incidente, emitida pela fonte sonora, e refletida pela amostra testada, foram recuperadas a partir dos sinais de sa´ıda obtidos por dois microfones (simulando dados medidos).

A abordagem de aproxima¸cão por fun¸cões splines mostrou-se mais adequada, considerando a forma e suavidade das curvas das ondas procuradas. Deve-se atentar para o n´ıvel de discretiza¸cão das fun¸cões splines usadas.

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Figura 10. Identifica¸cão numérica de um sinal de entrada gaussiano usando aproxima¸cão ponto-a-ponto.

Uma vez que as ondas incidente e refletida são conhecidas é poss´ıvel calcular o coeficiente de absor¸cão α do material testado no tubo de impedância. A despeito de que este trabalho objetive apenas uma aplica¸cão da metodologia de otimiza¸cão MCMC a um problema de acústica, vislumbra-se a aplica¸cão alternativa a norma ISO 10534-1:1996 (ISO,1996). Por exemplo, dado um coeficiente de absor¸cão α(f ) para uma determinada faixa de frequência, compara-se a simula¸cão do sinal acústico dos microfones com rela¸cão ao sinal experimental obtido por tubo de impedância. Utiliza-se a metodologia de otimiza¸cão MCMC a fim de aprimorar o resultado numérico até um limite pre-estabelecido.

Deve-se notar ainda que o coeficiente de absor¸cão acústica α das amostras testadas depende do espectro de frequência escolhido. Sinais incidentes com diferentes espectros conduzirão à determina¸cão do coeficiente de absor¸cão para diferentes bandas de frequência.

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