Números Inteiros (II) – Divisores e Primos
Diferentemente dos números reais (R), os inteiros não são fechados para a divisão, o que faz com que a divisão de inteiros seja mais “esquisita” do que a soma e a multiplicação, por exemplo. A divisão de inteiros, aliás, nem é citada nas operações fundamentais que compõem os axiomas dos números inteiros que vimos antes.
Nesta aula, vamos estudar casos específicos de divisão entre inteiros. Faremos isso sem definir a operação de divisão diretamente. Vamos simplesmente usar uma definição do conceito de divisibilidade entre inteiros. Em seguida, usaremos este conceito para estudar os números primos e, por fim, os dois assuntos contribuirão para o estudo de mdc e mmc.
1. Divisibilidade
O estudo de divisibilidade é o estudo dos casos em que a divisão entre dois inteiros dá
um número inteiro. Isso acontece quando um deles é divisor do outro (sendo este outro chamado de múltiplo do primeiro).
Porém, nos textos matemáticos, essa relação “é divisor de” é comumente chamada de “divide”. Segue a definição formal desta relação:
Para d e m inteiros, dizemos que d divide m ou d | m sse:
• existe algum valor k inteiro tal que m = d.k
Observações:
• A condição acima é equivalente a essas outras (use a que preferir): o A divisão m / d dá um valor inteiro k.
• Para a definição ficar mais simples, não proibimos a situação d = 0. Por conta disso, a definição acima permite o caso 0|0.
Outras maneiras de ler a relação d | m:
• “d é divisor de m”
• “d é um fator de n”
• “m é múltiplo de d”
• “m é divisível por d”
Exemplos:
• 2 | 4, porque 4 = k.2 tem a solução inteira k=2
• 8 | 56, porque 56=k.8 tem a solução inteira k=7
• 3 | 3, porque 3=k.3 tem a solução inteira k=1
• 1 | 17, porque 17=k.1 tem a (óbvia) solução inteira k=17
• a | 0, para todo inteiro a, (por que?)
• a | a, para todo inteiro não-nulo a, (por que?)
• 1 | a, para todo inteiro a, (por que?)
Veja que “a|b” é uma relação matemática entre inteiros, assim como “a<b”, “a>b” e “a=b”. Relembre as propriedades destas relações na aula de axiomas. Será que a relação “a|b” também apresenta propriedades similares?
Bem, algumas propriedades são sim similares. Por exemplo (para a, b e c inteiros):
• Se a | b , então ac | bc
• Se ac | bc e c ≠ 0 , então a | b.
• Se a | b e b | c , então a | c
Vamos demonstrar esta última propriedade por uma prova direta. Assumindo que a | b e b | c . (Vamos concluir que a | c ) Usando a definição da relação “divide” nas duas hipóteses:
b = a . k1 (para algum k1 inteiro)
Substituindo o b da segunda equação pela expressão do lado direito da primeira equação:
c = (a . k1) . k2
c = a . (k1 . k2)
Como (k1.k2) é inteiro, com base na definição “divide”, podemos concluir que:
a | c
(Provado).
Apesar das propriedades citadas serem semelhantes às de “<” ou “=”, a relação “divide” não apresenta algumas propriedades análogas às daquelas duas relações:
• Se a | b, então a+c | b+c
• Se a | b e c | d , então a+c | b+d
Vamos refutar as duas afirmações acima por contra-exemplo:
• Contra-exemplo de “Se a | b, então a+c | b+c” o Seja a=1 e b=2 e c = 3.
o Veja que 1 | 2, mas 1+3 não divide 2+3
• Contra-exemplo de “Se a | b e c | d , então a+c | b+d” o Seja a=1 , b=2 , c = 3 e d = 9.
o Veja que 1 | 2 e 3 | 9, mas 1+3 não divide 2+9
Além disso, a relação divide apresenta outras propriedades exclusivas, que não se parecem com as de “<” ou “=”, tais como:
o Se a | b , então a | bc
o Se a | b e a | c, então a | b+c
Vamos provar a segunda delas abaixo usando uma prova direta:
Vamos assumir que a | b e a | c. (Vamos tentar concluir a | (b+c) ) Usando a definição da relação “divide” nas duas hipóteses:
b = a . k1 (para algum k1 inteiro)
c = a . k2 (para algum k2 inteiro)
b + c = a.k1 – a.k2
b + c = a . (k1 - k2)
Como (k1+k2) é inteiro, com base na definição de “divide”, temos:
a | (b+c)
(Provado).
A seguir, provamos um lema (teorema auxiliar) relativamente intuitivo que usaremos mais adiante nesta aula.
Lema 1 (Para todos d e n inteiros): “Se d > 1 e d | n , então d não divide (n+1)”.
(Para essa demonstração, vamos precisar deste teorema dos inteiros citado na aula de axiomas que: “Se x.y = 1, então x=y=1 ou x= y=-1”)
Prova por redução ao absurdo. Vamos assumir que:
o d > 1 e d | n
o d | (n+1)
(A partir disso, vamos tentar chegar a uma contradição). Usando a definição da relação “divide”:
n = d . k1 (para algum k1 inteiro)
n+1 = d . k2 (para algum k2 inteiro)
Substituindo o valor de n dado pela primeira equação na segunda equação e desenvolvendo, temos:
(d.k1)+1 = d.k2
1 = d.k2 – d.k1
1 = d . (k2–k1)
(k2–k1) . d = 1
Pelo teorema citado acima, está equação só tem duas soluções: (k2– k1) = d = 1 ou (k2– k1) = d = -1
No entanto, veja que as duas opções d=1 ou d=-1 contrariam a hipótese d > 1.
Esta contradição encerra a prova. (Provado).
2. Números Primos
Os números primos são muito importantes para algumas aplicações práticas da Computacão, em especial, para a Criptografia. Problemas teóricos ligados aos números primos também são muito estudados na Teoria da Computação e na Matemática pura. Por isso, vamos estudar aqui os números primos, começando pela sua definição.
Um número inteiro positivo n é um número primo se e somente se (sse):
• n > 1 e n tem apenas dois divisores positivos distintos: 1 e n
Por outro lado, dizemos que um inteiro n é um número composto sse:
• n > 1 e n não é primo
• Ou seja, existe um d maior que 1 e menor que n tal que d | n
Observação: Veja que as duas definições acima se aplicam apenas a inteiros maiores que 1. Elas não se aplicam a inteiros negativos, nem ao 0, nem ao 1. Estes não são considerados números primos nem são considerados números compostos.
Exemplos:
• Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
• Números compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, ...
Agora, veremos um importante teorema que mostra que os números primos podem ser vistos como um tipo de “tijolo” sobre o qual todos os outros números inteiros podem ser construídos de forma única.
Teorema Fundamental da Aritmética:
• Todo número inteiro positivo maior que 1 ou é primo ou pode ser definido por um produto de fatores (divisores) primos.
Demonstração: não provaremos por falta de tempo...
• Pode ser provado por indução ou por redução ao absurdo (veja o link).
Exemplos:
• 21 = 3 . 7
• 100 = 2 . 2 . 5 . 5 = 22 . 52
• 641 = 641
• 837 = 3 . 3 . 3 . 31 = 33 . 31
Uma questão importante estudada na Computação é: Como testar se um número inteiro n é primo? Na verdade, é mais fácil olhar para a definição de número composto e testar se n é composto – se não for, ele é primo. Segue um algoritmo (informal) para testar.
• Algoritmo: Testar se n é primo
o Percorrer todos os inteiros d , com d variando de 2 a n-1, e então: Testar se d é divisor de n.
Se d for divisor, então n é composto.
o Se nenhum d testado for divisor de n, então n é primo.
O algoritmo anterior pode ser melhorado para que ele teste menos candidatos a divisores (os valores de d). Podemos reduzir o valor máximo testado de n-1 para √n, com base no teorema dado abaixo. Fica como desafio implementar o algoritmo acima e sua versão melhorada.
Teorema: Se n é composto, então ele tem algum fator primo p tal que p ≤√n
• Este teorema é conseqüência da seguinte afirmação cuja demonstração é cobrada
na lista de exercícios 3: “Se n=ab e a,b>1, então a ≤√n ou b ≤√n”.
todos eles e, assim, algumas questões da Matemática e da Computação seriam facilmente resolvidos. O teorema a seguir nos dá a resposta sobre esta questão.
Teorema: Existem infinitos números primos.
Demonstração por redução ao absurdo:
• Hipótese: existe uma quantidade finita de primos
• (Objetivo: alguma contradição).
Vamos representar assim o conjunto de todos os primos: {p1, p2, ..., pm}.
Seja o número N formato pelo produto de todos eles: N = p1 . p2 . p3 . ... . pm
Veja que, para qualquer número primo pi (com i variando de 1 a m), temos que
pi | N. (Ou seja, todo primo divide N).
Vamos agora analisar o sucessor de N, ou seja, N+1:
Como, todo primo pi é maior que 1, podemos concluir, pelo Lema 1 (da seção
1), que pi não divide (N+1). Logo, nenhum primo divide N+1, ou, N+1 não tem
nenhum fator primo.
Além disso, N+1 não é primo. Pois, neste caso, ele estaria no conjunto e, assim, ele teria um fator primo – o próprio N+1.
Isso claramente contraria o Teorema Fundamental da Aritmética. (Provado).
Já que existem infinitos números primos, podemos, ao menos, tentar entender a seguinte questão: Em que proporção os números primos ocorrem? Por exemplo, se fixarmos um limite K, será que os primos representam 20% de todos os números menores ou iguais a K? Ou será que representam √K dos números? Ou haveria outra expressão para
indicar essa proporção? O próximo teorema dá a resposta.
Teorema dos Números Primos: A quantidade de números primos menores ou iguais a K é aproximadamente K / ln K , quando K tende a infinito
Apenas para você ter uma idéia, segue uma tabela com a quantidade real e a estimada de primos menores ou iguais a K, para diversos valores de K
K Quantidade real de primos
menores ou iguais a K
Quantidade estimada pelo teorema (K / ln K)
10 4 4,3
100 25 21,7
1.000 168 144,7
10.000 1.229 1.085,7
100.000 9.592 8.685,8
1.000.000 78.498 72.382,8
Outra pergunta que os matemáticos tentam responder é: Será que existe alguma fórmula para gerar números primos? Seguem alguns comentários:
• Não existe nenhuma fórmula polinomial que gere somente primos.
• Existem fórmulas (de outros tipos) corretas, mas todas efetuam muitos cálculos e, por isso, não vale a pena usá-las na prática. Veja algumas aqui.
• Em geral, é melhor testar vários números usando o algoritmo dado antes ou outro algoritmo mais rápido.
3. MDC e MMC
Você já deve ter estudado antes os conceitos de máximo divisor comum (mdc) e de mínimo múltiplo comum (mmc) de dois números a e b. Vamos, aqui, definir esses conceitos a partir da relação divide e, com base no Teorema Fundamental da Aritmética, vamos ver uma maneira de calculá-los.
O máximo divisor comum de dois inteiros não-ambos-nulos1 a e b, que representamos como mdc(a,b), é o maior inteiro positivo D tal que D|a e D|b. Exemplos:
• mdc(4,6) = 2
• mdc(30,105) = 15
1
O mínimo múltiplo comum de dois inteiros não-ambos-nulos a e b, que representamos como mmc(a,b), é o menor inteiro positivo M tal que a|M e b|M. Exemplos:
• mmc(4,6) = 12
• mdc(30,105) = 210
Um algoritmo (informal) para calcular mdc(a,b) e mmc(a,b) segue:
• Em primeiro lugar, fatore os números a e b em fatores primos.
• Se a e b tiverem fatores primos distintos (sem olhar os expoentes), inclua os fatores de a na fatoração de b (e vice-versa) com expoentes zero.
• Assim, teremos duas fatorações com os mesmos fatores primos, que só mudam quanto aos expoentes. Podemos representar assim:
a = p1a1 . p2a2 . p3a3 . ... . pnan
b = p1b1 . p2b2 . p3b3 . ... . pnbn
• O mmc e o mdc serão obtidos usando exatamente os fatores primos p1 a pn,
destacados acima. Porém, o expoente de cada fator vai ser escolhido diferentemente:
o Para o mdc(a, b), para cada fator, escolha o mínimo dos expoentes (entre o expoente usado na fatoração de a e o expoente usado na fatoração de b) o Para o mmc(a, b), para cada fator, escolha o máximo dos expoentes
Exemplo: Calcular o mdc e o mmc de 84 e 450
• Fatorando os dois números: 84 = 22 . 31 . 71 450 = 21 . 32 . 52
• Acrescentando um fator 50 na fatoração de 84 e um fator 70 na de 450: 84 = 22 . 31. 50 . 71
450 = 21 . 32 . 52 . 70
• Assim, chegamos a:
mdc(84,450) = 2min(2,1) . 3min(1,2) . 5min(0,2) . 7min(1,0) = 21 . 31 . 50 . 70
= 6
O algoritmo acima funciona, mas não vamos apresentar uma demonstração aqui. Uma conseqüência importante dele, que também não demonstraremos, é o teorema abaixo:
Teorema: Se a e b são inteiros positivos, então a.b = mdc(a,b) . mmc(a,b).
Exemplo: Usando os dados do exemplo anterior:
• 84 . 450 = 37800
• mdc(84,450) . mmc(84,450) = 6. 6300 = 37800
O problema com o algoritmo acima é que ele é muito ineficiente (lento). Veremos outro algoritmo mais eficiente na próxima aula.
"A justiça engrandece a nação, mas o pecado é uma vergonha para qualquer povo."
