Atividade: P ARA QUEM JÁ SABE LER E ESCREVER

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ESCOLA SECUNDÁRIA POETA ANTÓNIO ALEIXO

Matemática A

–

12º ano

Ficha

–

Análise Combinatória

Atividade: PARA QUEM JÁ SABE LER E ESCREVER

Sguedno um etsduo da Uinvesriadde de Cmabgirde, a oderm das lertas nas pavralas não tem ipmortnâcia qsuae

nnhuema. O que ipmrtoa é que a prmiiera e a útlima lreta etsajem no lcoal cetro. De rseto, pdoe ler tduo sem gardnes

dfiilcuddaes …

Itso é prouqe o crebéro lê as pavralas cmoo um tdoo e não lreta por lreta.

Admitindo que a teoria exposta no texto que acabaste de ler é correcta, cada palavra pode ser escrita de várias maneiras, com algumas excepções …

1.º Escreve algumas palavras que só possam ser escritas de um modo.

2.º De quantas formas podem ser escritas as palavras: Aula, pato, erro, isso?

Praia, amigo, calor, carro, assim?

E de quantas maneiras pode ser escrito DESISTO porque isto está a ficar muito complicado?!

… _…. _…

Como já viste, o cálculo de probabilidades exige contagens mais ou menos complexas.

Os problemas que já resolvemos, envolvendo acontecimentos elementares equiprováveis, eram, em geral, simples e bastava bom senso e organização para determinar, em cada experiência, quantos eram os casos possíveis e

quantos eram os casos favoráveis ao acontecimento, para depois aplicar a Lei de Laplace.

No entanto, por vezes foi necessário recorrer a auxiliares de contagem, como as “tabelas de dupla entrada”, os “diagramas de árvore” ou os “diagramas de Venn”.

A parte da Matemática que trata de contagem de subconjuntos, ou de elementos ou de sequência de elementos de um dado conjunto tem o nome de Análise Combinatória.

A Análise Combinatória visa o estudo das diferentes maneiras de formar e ordenar conjuntos a partir dos elementos de outros conjuntos.

No cálculo das probabilidades não é necessário, em geral, descrever quais são os casos possíveis, mas sim saber

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PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO

Se uma tarefa pode decompor-se em duas tarefas sucessivas, podendo a primeira ser realizada de n maneiras e a

segunda de m maneiras, então há

n

m

formas diferentes de realizar essa tarefa.

EXERCÍCIOS:

1. Quantas matrículas, de automóvel, diferentes podem existir no sistema atual português? (considera 23 letras)

2. _{O “segredo” de um cofre é uma sequência de dois algarismos e uma vogal. Quantos “segredos” diferentes se}

podem compor?

3. Quantos números pares de 5 algarismos são capicuas?

4. Um casal e os seus três filhos vão ao cinema e sentam-se em lugares consecutivos. De quantas maneiras podem ocupar os lugares se:

a. O pai e a mãe ficarem cada um numa ponta?

b. Se o filho mais novo tiver que ficar entre o pai e a mãe?

5. _{O país do “Faz de Conta” não tem bandeira. Para remediar esta falta imperdoável, vão propor à população que} escolha a bandeira que os vai representar. Dispõem de panos de 5 cores e a bandeira vai ter 4 riscas verticais.

Entre quantos modelos de bandeiras vai ser feita a escolha, de forma que duas tiras consecutivas não tenham a mesma cor?

P

ERMUTAÇÕES

.

Suponhamos que para a final do concurso “Mister Escola” foram apurados 6 candidatos. Há

1

2

3

4

5

6

maneiras diferentes dos concorrentes serem organizados para o desfile, pois existem 6

possibilidades para escolher o primeiro da fila, 5 para escolher o segundo, _{… e para o sexto da fila já não temos}

escolha. Pensemos agora na fase anterior do concurso em que eram 12 candidatos. Se levantarmos a mesma

questão de saber o número total de sequências possíveis para o desfile é óbvio que a resposta é:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

O que se pretende é contar todas as formas possíveis de ordenar 12 elementos, ou seja, contar o número

total de sequências que se podem formar com 12 elementos que podem trocar (ou permutar) entre si. Uma

sequência dos 12 elementos chama-se permutação de 12 e o número total de formas de ordenar 12 elementos

representa-se por:

12

P

”Número de permutações de 12” Ou

12

!

_”Fato_{rial de 12” ou “12 fatorial”}

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D

EFINIÇÃO

:

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutações de n elementos a toda a forma de os

ordenar, ou seja, a toda a sequência que podemos formar com esses n elementos. O número total de

permutações de n elementos representa-se por Pn ou n! e tem-se que:

1

2

3

...

3

2

1

!

n

n

n

n

n

P

_n com

n

IN

Por definição,

0

!

1

Nota: As calculadoras fornecem o valor do fatorial de um número:

!

4

!

Pr

PRB

MATH

TEXAS

x

ob

OPTN

CASIO

EXERCÍCIOS:

6. Um saco contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Tiram-se, uma a uma, todas as bolas do saco. Qual a probabilidade

de saírem por ordem numérica crescente ou decrescente?

7. Uma carruagem tem 10 lugares sentados, 5 à esquerda e 5 à direita. Um grupo de 5 rapazes e 5 raparigas entra e sentam-se.

a. De quantas maneiras podem ocupar os lugares?

b. Qual a probabilidade de, sentando-se ao acaso, ficarem as raparigas de um lado e os rapazes do outro?

8. Seis amigos vão ao cinema e sentam-se numa fila de seis lugares. De quantas maneiras podem ocupar os

lugares? Supondo que se sentam ao acaso, qual a probabilidade da Rita e o Luís (que fazem parte do grupo) ficarem juntos?

9. De quantas maneiras diferentes se podem escrever as letras da palavra: PROBLEMA

a. Mantendo a 1ª e a última letra nas suas posições?

b. Mantendo as vogais nas posições que ocupam?

A

RRANJOS

S

IMPLES

.

D

EFINIÇÃO

Dado um conjunto com n elementos, o número total de sequências de p elementos distintos, escolhidos de entre

os n elementos, com

p

n

, representa-se por n _p

A

, que se lê número de arranjos simples, ou sem repetição, de n

elementos, tomados p a p, ou número de arranjos de n, p a p, e tem-se:

!

!

1

...

2

1

p

n

n

p

n

n

n

n

A

_p

n

EXERCÍCIOS:

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11. Num concurso de cultura geral sobre países da Europa e de África, o concorrente começa por escolher, por qualquer ordem, 12 de entre 18 países europeus e depois escolhe 5 de entre 8 países africanos. De quantos modos pode organizar a sua prova?

12. Num balcão de uma casa de gelados há 10 recipientes para gelados em duas filas de 5. De quantos modos

diferentes se podem arrumar sete qualidades de gelado diferentes? E, supondo que a arrumação se faz ao acaso, qual a probabilidade do morango e o caramelo ficarem na fila de trás?

13. Considera todos os números de cinco algarismos diferentes. Quantos desses são pares?

Uma resposta correta é:

8

8

A

₃

4

9

A

₄.

Numa pequena composição, explica porquê.

14. De quantas maneiras se podem sentar 7 rapazes e 3 raparigas em duas filas de 5 lugares, ficando as raparigas

na fila da frente?

A

RRANJOS

C

OMPLETOS

.

A

RRANJOS COM

R

EPETIÇÃO

.

D

EFINIÇÃO

Dado um conjunto com n elementos, o número total de sequências de p elementos, repetidos ou não, escolhidos

de entre os n elementos, representa-se por n

A

'p, que se lê número de arranjos completos, ou com repetição, de n

elementos, tomados p a p, e tem-se:

p p n

n

A

'

EXERCÍCIOS:

15. Uma aposta no Totobola é uma sequência de 14 símbolos, escolhidos entre 1, x, 2. Qual é o número total de apostas que se pode fazer no Totobola?

16. Uma criança pressiona, ao acaso, quatro teclas de um telefone (teclas numeradas de 0 a 9). Quantos números diferentes a criança pode marcar:

a. Tendo um e um só zero?

b. Tendo, pelo menos, um nove?

c. Que sejam ímpares?

17. Lançou-se um dado cúbico quatro vezes e registou-se a sequência de números saídos. Quantos resultados

distintos são possíveis obter?

18. Com as letras do alfabeto (considera as 23), quantos códigos de seis letras é possível constituir:

a. Repetindo o não as letras?

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Restaurante Manjar

do Faraó

Ementa

Entradas

Sopa de peixe Tâmaras com bacon

Prato

Arroz de Marisco Caril de Sapateira Bacalhau Escondido Fondue Oriental Bife pimenta Kofta no churrasco

Sobremesas

Tiramisu

Mousse de chocolate Cheesecake Fruta da época

19. Na zona de Lisboa, os números de telefone são constituídos por 9 algarismos e todos começam por 21.

a. Quantos números de telefone diferentes são possíveis escrever nestas condições?

b. A Joana esqueceu o número de telefone do seu colega Rui que mora em Lisboa. Só se recorda que acaba em 00 e que os restantes algarismos são o 1 e 2. Quantos números de telefone existem com estas características?

C

OMBINAÇÕES

.

D

EFINIÇÃO

Dado um conjunto com n elementos, chama-se combinação dos elementos desse conjunto, a qualquer dos seus

subconjuntos. O número total de combinações com p elementos escolhidos de entre os n elementos, representa-se

por n _p

C

ou

p

n

, que se lê número de combinações de n elementos, tomados p a p, e tem-se:

!

p

A

C

p

n

p n

ou

)!

(

!

!

p

n

p

n

C

p

n

EXERCÍCIOS:

20. O preço de duas apostas no Totoloto é 50 cêntimos (considera que a aposta é marcar 6 números entre 49

possíveis). Um jogador fez todas as apostas possíveis num concurso de Totoloto. Admitindo que é o único totalista, qual tem que ser o valor mínimo do prémio para que não tenha prejuízo?

21. Num encontro internacional estão reunidos 35 estudantes de vários países. Há 20 que falam Espanhol e 25 que falam Inglês. Qual a probabilidade de dois estudantes, escolhidos ao acaso, poderem estabelecer diálogo nessas

duas línguas sem precisarem de tradutor?

22. Considera cinco pontos distintos de uma circunferência.

a. Quantas retas secantes à circunferência podem ser definidas por esses pontos?

b. Quantos triângulos são possíveis definir com os cinco pontos dados?

c. E quanto vetores não nulos?

23. Depois de um longo dia de aulas, o João resolveu entrar num

restaurante que tinha a ementa apresentada ao lado. Quantas refeições diferentes é possível fazer neste restaurante, compostas por uma