Par a m aio r e s in fo r m açõ es teó r icas so b r e este a ssu n to vej a tam b ém :
Pr o g r essão Ar itm ética
Ex e r cícios r e solv idos - Pr ogr e ssã o Ar it m é t ica
1 ) O n ú m e r o 1 5 p ossu i q u a n t os m ú lt ip los com 2 d íg it os?
Sabem os que t odos os núm er os nat ur ais são m últ iplos de si m esm os ex cet o o zer o, ent ão nest e ex er cício t r at am os de um a P. A. que se inicia no núm er o1 5 e de quinze em quinze t er m ina no núm er o9 0, que é o m aior núm er o com dois dígit os que é div isív el por1 5, ou sej a, que é o m aior m últ iplo de quinze com dois dígit os.
Ent ão os dados que possuím os par a a r esolução do pr oblem a são:
At r av és da fór m ula do t er m o ger al v am os ident ificar o núm er o de t er m os dest a P. A. :
Por t ant o a r efer ida P. A. possui6 t er m os.
Apenas par a que v ocê possa confer ir , v ej a abaix o a P. A. com plet a:
P. A. (1 5,3 0,4 5,6 0,7 5,9 0)
Logo:
O n ú m e r o 1 5 p ossu i 6 m ú lt ip los com 2 d íg it os.
2 ) Qu a l é o t r ig é sim o m ú lt ip lo d o n ú m e r o n a t u r a l 2 1 ?
Sabem os que com ex ceção dele pr ópr io, o núm er o zer o é m últ iplo de t odos os núm er os nat ur ais, ent ão est am os t r at ando da seguint e P. A. :
P. A. (0,2 1,4 2,. . .,a3 0)
Est am os em busca do t er m oa3 0, sendo que dispom os dos seguint es dados:
At r av és da fór m ula do t er m o ger al v am os ident ificá- lo:
Logo:
O t r ig é sim o m ú lt ip lo d o n ú m e r o n a t u r a l 2 1 é 6 0 9 .
Sabem os t am bém que a som a de dois t er m os equidist ant es dos ex t r em os de um a P. A. finit a é igual à som a dos seus ex t r em os. Com o est a P. A. t em um núm er o ím par de t er m os, ent ão o t er m o cent r al t em ex at am ent e o v alor de m et ade da som a dos ex t r em os.
Em not ação m at em át ica t em os:
Assim sendo:
O p r im e ir o t e r m o d e st a su ce ssã o é ig u a l a - 1 4 .
4 ) U m a su ce ssã o d e n ú m e r os ig u a lm e n t e d ist a n t e s u m a p ós o ou t r o, t e m com o d é cim o e v ig é sim o t e r m os, r e sp e ct iv a m e n t e os n ú m e r os 4 3 e 8 3 . Qu a l é o t r ig é sim o t e r m o d e st a su ce ssã o?
Vam os ut ilizar a fór m ula abaix o na r esolução do pr oblem a:
Tem os os seguint es dados:
Subst it uindo- os na fór m ula t em os:
Agor a que conhecem os a r azão da sucessão, podem os par t ir do t er m o a2 0, poder ia ser o t er m o a1 0 se assim quiséssem os, par a encont r ar m os o t er m oa3 0:
Assim sendo:
O t r ig é sim o t e r m o d e st a su ce ssã o é ig u a l a 1 2 3 .
5 ) A som a d os d e z t e r m os d e u m a P. A. é ig u a l a - 3 5 . O ú lt im o t e r m o é ig u a l a o n ú m e r o d e t e r m os. Qu a l é o p r im e ir o t e r m o?
Do enunciado t ir am os que o últ im o t er m o, a1 0, é igual a 1 0. Ent ão podem os ut ilizar a fór m ula a seguir par a solucionar m os a quest ão:
Dispom os dos seguint es dados:
Por t ant o:
O p r im e ir o t e r m o d e st a p r og r e ssã o é ig u a l a - 1 7 .
6 ) H á u m a ce r t a P. A. q u e t a n t o o p r im e ir o t e r m o, q u a n t o a r a z ã o sã o ig u a is a o n ú m e r o d e t e r m os. Sa b e - se q u e a som a d o p r im e ir o com q u a r t o t e r m o é ig u a l a 4 0 . Qu a l é e st a P. A. ?
Tem os os seguint es dados:
Ut ilizar em os a fór m ula abaix o par a r epr esent ar m osa4em função dea1:
Par an = 4do t er m oa4em = 1do t er m oa1, t em os:
Por t ant oa4= 4 a1e com o sabem os quea1+ a4= 4 0t em os:
Com o t em os um a P. A. com 8 t er m os, que se inicia em 8 e cuj a r azão t am bém é igual a 8 t em os:
A P. A. p r ocu r a d a é P. A. ( 8 , 1 6 , 2 4 , 3 2 , 4 0 , 4 8 , 5 6 , 6 4 ) .
7 ) Se som a r m os d o q u in t o a o d é cim o- n on o t e r m o d e u m a P. A. , q u a n t o d a r á e st a som a sa b e n d o- se q u e o q u in t o t e r m o é ig u a l a 3 2 e o d é cim o- n on o é ig u a l a 8 1 ?
Na r esolução dest e pr oblem a ut ilizar em os a seguint e fór m ula:
Tem os os seguint es dados:
Subst it uindo est es dados na fór m ula acim a t em os:
Por t ant o:
A som a d o q u in t o a o d é cim o- n on o t e r m o d e st a P. A. é ig u a l a 8 4 7 , 5 .
8 ) A som a d os 3 t e r m os d e u m a P. A. d e cr e sce n t e f in it a é ig u a l a 2 1 e o se u p r od u t o é ig u a l a 2 3 1 . Qu a l é o v a lor d o ú lt im o t e r m o?
Tem os ent ão a seguint e pr ogr essão ar it m ét ica:
P. A. (a2- r,a2,a2+ r)
Mas por que foi escolhido o t er m oa2e não oa1, por ex em plo?
Caso t iv éssem os escolhido o t er m oa1t er íam os:
P. A. (a1,a1+ r,a1+ 2 r)
Repar e que com oa2é o t er m o cent r al, ao escolhê- lo t em os a possibilidade de elim inar m os a r azãore encont r am os o seu v alor ao som ar m os t odos os t er m os da P. A. , v ej am os:
No ent ant o podem os v er que se t iv éssem os escolhido o t er m oa1ist o não ser ia possív el:
Not e que nest e caso t er íam os um a ex pr essão com duas v ar iáv eis, o que não nos per m it ir ia obt er o v alor das m esm as a par t ir de um a única sent ença.
Agindo de for m a análoga, na ex pr essão do pr odut o ir em os escr ev er os dem ais t er m os t am bém em função dea2, v ist o que est e é um v alor j á ident ificado:
Vist o que a P. A. é decr escent e, a sua r azão é negat iv a. Com oa2= 7,r = - 4 ea3= a2+ r, t em os que:
Logo:
O v a lor d o ú lt im o t e r m o d e st a P. A. é ig u a l a 3 .
9 ) A som a d os 5 p r im e ir os t e r m os d e u m a P. A. é ig u a l a - 3 5 e a som a d os 1 0 p r im e ir os t e r m os é ig u a l a 5 . Qu a l é a som a d os 1 5 p r im e ir os t e r m os d e st a P. A. ?
Sabem os que at r av és da fór m ula abaix o podem os calcular a som a dosnpr im eir o t er m os de um a pr ogr essão ar it m ét ica. Com o aux ílio dela ir em os solucionar o pr oblem a.
Par a a som a dos 5 pr im eir os t er m os t em os:
Par a a som a dos 10 pr im eir os t er m os t em os:
Ex pr essando est as duas equações em função dea1t em os:
Tendo conhecim ent o do v alor da r azão, podem os ident ificar o v alor dea1na ex pr essão2 a1+ 9 r = 1:
Finalm ent e conhecendo- se o v alor dea1e da r azão, podem os calcular a som a dos 15 pr im eir os t er m os:
Assim sendo:
A som a d os 1 5 p r im e ir os t e r m os d e st a P. A. é ig u a l a 1 2 0 .
1 0 ) A som a d os t e r m os d a P. A. ( 5 + x , 1 0 + x , 1 5 + x , . . . , 1 0 0 + x ) é ig u a l a 1 1 1 0 . Qu a l é v a lor d e x ?
Pr im eir am ent e ir em os calcular a r azão da pr ogr essão ar it m ét ica:
Agor a t em os com o calcular o seu núm er o de t er m os:
Finalm ent e ir em os calcular o v alor de x :
Por t ant o:
