Física Experimental 1 A3vidade 1 – Erros e Medidas

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Física Experimental 1

A3vidade 1 – Erros e Medidas

Universidade Federal de Pernambuco

Centro Acadêmico do Agreste

Núcleo de Formação de Professores

Prof. Luis H V Leão

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“Embora este Guia forneça um esquema de trabalho para obter incerteza, ele não pode subs;tuir pensamento crí;co, hones;dade intelectual e habilidade proﬁssional. A avaliação de incerteza não é uma tarefa de ro;na, nem um trabalho puramente matemá;co. Ela depende do conhecimento detalhado da natureza do mensurando e da medição. Assim, a qualidade e a u;lidade da incerteza apresentada para o resultado de uma medição dependem, em úl;ma instância, da compreensão, análise crí;ca e integridade daqueles que contribuíram para atribuir o valor à mesma.”

Tradução de um trecho do “Guide to the Expression of Uncertainty in

Measurements”, Interna3onal Organiza3on for Standardiza3on,

Geneva (1993).

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Medidas e Incertezas

Alguns conceitos sobre medidas e incertezas:

•  Toda operação de medida exige do experimentador

habilidade no manuseio de instrumentos de medida e a capacidade de efetuar corretamente a leitura destes instrumentos.

•  Não basta, por exemplo, determinar o comprimento de

uma barra através de uma régua, é preciso saber expressar essa medida com o número correto de algarismos

signiﬁca3vos e avaliar corretamente a sua incerteza. Desta forma, outra pessoa poderá entender o valor dado à

grandeza e também qual o intervalo de conﬁança da

medida, o que poderá permi3-‐la reproduzir os resultados ou mesmo receber uma encomenda que poderá executar.

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Medidas e Incertezas

•  Há grandezas que nem sempre podem ser ob3das

diretamente, como área, volume, densidade, etc. Neste caso, a incerteza ﬁnal da grandeza depende da incerteza de cada medida realizada para obtê-‐la.

•  O processo para obtenção das incertezas de grandezas

indiretas chama-‐se de cálculo de propagação das incertezas.

•  Pretendemos aqui discu3r alguns conceitos e

procedimentos básicos para que se possa expressar

corretamente as medidas e resultados de experiências, assim como analisá-‐los com um mínimo de correção e rigor tanto do ponto de vista numérico como conceitual.

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O que é medir?

•  Medir implica em comparar uma caracterís3ca de um

sistema (por exemplo, comprimento, volume,

velocidade, massa, temperatura, etc.) com referências 3das como padrão (unidades)

•  Exemplos de padrões: metro (para comprimentos),

segundo (para tempo), quilograma (para massa)

•  Outras unidades de medida são os múl3plos e

submúl3plos destas grandezas (mm, km, cm), as grandezas derivadas destas grandezas (m/s, m/s2_).

•  Existem outras unidades empregadas fora do SI, como

a polegada (comprimento) e a libra (peso).

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O que é medir?

• O valor de uma grandeza subme3da a

medição costuma ser adquirido através de um

procedimento que, em geral, envolve algum(s)

instrumento(s) de medição.

• O próprio processo de medida, assim como o

instrumento u3lizado, tem limites de precisão

e exa3dão.

• Toda medida realizada tem uma incerteza

associada que procura expressar a nossa

ignorância (no bom sen3do) do valor medido.

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O que é medir?

•  Por mais cuidadosa que possa ser uma medição e por

mais preciso que possa ser o instrumento de medida u3lizado, não é possível realizar uma medida exata.

•  Sempre existe uma incerteza na deﬁnição do resultado

de uma medida. Por esta razão, o resultado da medida de uma quan3dade m (qualquer) deve sempre estar acompanhado de uma es3ma3va da incerteza

correspondente.

•  A seleção do processo de medida, do instrumento

usado e a reprodu3bilidade da grandeza medida têm que ser expressas de alguma forma.

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Representação de Medidas

•  A medida de uma grandeza é representada na forma:

m = M ± ΔM

•  onde “m” é o resultado da medida, “M” é o valor

medido e “ΔM” uma quan3dade posi3va, que é chamada incerteza da medida e que determina o número de dígitos (algarismos) u3lizados para

formular este resultado (a incerteza é expressa por um número com um único algarismo signiﬁca3vo).

•  Compete ao experimentador avaliar a incerteza para

cada medição.

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Representação de Medidas

• A expressão M ± ΔM nos diz que qualquer dos

valores compreendido entre M + ΔM e M -‐ ΔM é

aceitável para a medida da grandeza e que o

experimento em questão não permite

preferência por nenhum deles.

[email protected]

M -‐ ΔM M ± ΔM M + ΔM

ΔM ΔM

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Exemplo

•  O resultado da medida do volume de um sólido

(medida indireta) foi determinado por: V = 2,3652168 cm3

•  Suponha que a incerteza da medida é de 0,04 cm3.

•  Logo, a medida do não deve ser escrita como:

V = (2,3652168 ± 0,04) cm3

E sim como: V = (2,37±0,04) cm3

[email protected]

V = 2,3652168 cm

3

ΔV = 0,04 cm

3

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Exemplos

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Erros

• Se, ao realizarmos uma medida, cometemos

erros, inevitavelmente, minimizá-‐los passa a

ser nossa obrigação. Podemos classiﬁcar os

erros em:

–

 

Erros sistemá3cos;

–

 

Erros grosseiros;

–

 

Erros acidentais.

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Erros sistemá3cos

•  São aqueles provenientes do próprio instrumento, quando este

apresenta algum erro de escala. Por exemplo, se u3lizarmos uma régua graduada para trabalhar a 10°C e trabalharmos com ela a 30°C, a dilatação, sofrida por sua escala, acarretará um erro

sistemá3co por toda a experiência.

•  Um outro exemplo muito comum é a u3lização de instrumentos

com escalas não zeradas, como mostra a ﬁgura. Uma caracterís3ca dos erros sistemá3cos é que eles inﬂuem sempre no mesmo

sen3do: sempre para mais ou sempre para menos do valor verdadeiro.

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Erros acidentais

•  São aqueles que, por razões várias, ocorrem durante a

experiência, e que são divceis de eliminar, como, por exemplo, o erro do experimentador ao decidir qual a melhor leitura quando ele terá que fazê-‐la a olho,

es3mando um valor.

•  Quanto mais experiência o experimentador adquire,

menos e menores erros deste 3po ele cometerá, mas, ainda assim, toda vez que realizar medidas, estará

cometendo erros.

•  Uma caracterís3ca dos erros acidentais é que eles

inﬂuem aleatoriamente nos dois sen3dos, para mais ou para menos do valor verdadeiro.

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Erros grosseiros

•  Estes são causados, como o próprio nome sugere, por inexperiência

do experimentador. Ele comete esses erros quando, por exemplo, lê 10 e a leitura certa seria 100, ou então, quando a unidade certa seria kg, ele a lê em g.

•  Por displicência do experimentador esses erros passam

despercebidos pois ele não tem ideia da ordem de grandeza do que mede.

•  O erro grosseiro pode decorrer também da inabilidade no

manuseio do instrumento de medida, engano de leitura, cálculos errados, etc.

•  Observação: Em princípio, os resultados com erros grosseiros são

devidos a falha do experimentador ou u3lização de técnica

deﬁciente, e devem ser eliminados. Os outros erros podem ser reduzidos com técnicas mais aperfeiçoadas e melhores

instrumentos, mas nunca serão eliminados totalmente.

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Erros

Quando um experimentador determina o valor de uma grandeza, três situações são possíveis:

1. O valor da grandeza já é conhecido com exa3dão. Por

exemplo: A soma dos ângulos internos de um triângulo; a relação entre o comprimento e o diâmetro de uma

circunferência, etc.

2. O valor da grandeza não é conhecido exatamente, mas há

um valor adotado como "melhor". Por exemplo: A aceleração da gravidade em um determinado local, a carga do elétron, a densidade de uma substância, etc. 3. O valor da grandeza não é conhecido. Por exemplo: O

comprimento de uma barra, o volume de uma esfera, etc.

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Erros x Desvios

•  Quando o valor ob3do para uma grandeza difere de seu valor exato,

dizemos estar afetado de um erro.

erro = modulo do (valor medido -‐ valor exato)

•  Quando o valor ob3do difere do valor adotado como melhor, dizemos

estar afetado de um desvio.

desvio = modulo do (valor medido -‐ valor adotado)

•  Embora conceitualmente haja diferença entre erro e desvio,

matema3camente são equivalentes.

•  A par3r deles deﬁnem-‐se desvio (ou erro) rela3vo e desvio (ou erro)

percentual, que permitem avaliar melhor o resultado de uma experiência. –  desvio rela3vo = (desvio/valor adotado)

–  desvio percentual = [desvio rela3vo x 100]%

Obs: Em termos de avaliação dos resultados, o desvio percentual nos dá a informação mais obje;va

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Exemplo

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Algarismos signica3vos

• Quando o experimentador realiza apenas uma

medida, este será o valor da grandeza.

• A grandeza deve ser expressa com um número

correto de algarismos, chamados algarismos

signiﬁca3vos.

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Algarismos signica3vos

Exemplo:

•  A barra AB da ﬁgura é medida

com duas réguas, uma

cen;metrada e outra

milimetrada.

•  Pela ﬁgura 2a pode-‐se dizer que

o comprimento AB é 8,3cm.

•  Observe que o algarismo 8 é

exato, enquanto que o

algarismo 3 que foi avaliado é o

duvidoso.

•  Na ﬁgura 2b a medida de AB é

82,6 mm ou 8,26 cm.

•  Aqui 8 e 2 são exatos e o 6, que

foi avaliado, é o duvidoso.

[email protected] 1cm

B A

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Algarismos signica3vos

•  Os ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS de uma medida são os

algarismos exatos acrescidos do úl3mo, que é o duvidoso.

•  Do exemplo, observamos que:

•  O número de algarismos signiﬁca3vos depende do

instrumento de medida.

•  Observe que na medida do comprimento da barra AB da

ﬁgura 2 a régua cen3metrada forneceu dois algarismos

signiﬁca3vos (2 AS), enquanto que a milimetrada forneceu três algarismos signiﬁca3vos (3 AS).

•  O valor do algarismo duvidoso depende exclusivamente do

operador.

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Algarismos signica3vos

Exemplo

:

• Na ﬁgura 3 o cilindro A tem comprimento

L

A

= 36,25 cm

e o cilindro B tem diâmetro

D

_B

= 1,25 cm

.

• Estão corretos esses valores?Em que casa decimal está

o algarismo duvidoso?

[email protected]

Figura 3

25 (cm) 30 35 40

L_A

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Algarismos signica3vos

• Para determinarmos a incerteza de uma medida

devemos considerar os fatores que inﬂuem na

sua avaliação:

–  a habilidade do experimentador;

–  as condições em que a medida foi realizada –  o próprio objeto a ser medido

–  o instrumento u3lizado

• Entretanto, devemos expressar a incerteza de

uma medida em termos que sejam

compreensíveis a outras pessoas.

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Critérios

•  Se o instrumento NÃO PERMITIR A

AVALIAÇÃO DO ALGARISMO DUVIDOSO,

este será considerado como sendo o úl3mo algarismo ob3do no instrumento e, neste caso, a incerteza es;mada (erro associado à

medida) será:

Δ( ) = A MENOR DIVISÃO DA ESCALA DO

INSTRUMENTO.

Exemplo:

•  Nos instrumentos digitais (com mostrador

numérico) normalmente o erro é igual a menor variação da medida. No caso da

balança da ﬁgura 1 temos Δm = 0,01g então a massa medida, corrigindo o valor indicado, seria: m= (460,55 ± 0,01) g (5 AS)

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Critérios

•  Se o instrumento PERMITIR A

AVALIAÇÃO DO ALGARISMO

DUVIDOSO, a incerteza es;mada

(erro associado à medida) será:

Δ( ) = A METADE DA MENOR DIVISÃO DA ESCALA DO INSTRUMENTO.

Exemplo:

–  Menor divisão: ΔV = (10 km/h)/2= 5 km/h

–  Leitura: V = (123 ± 5) km/h

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Expressão da medida

Como devemos expressar o resultado ﬁnal de uma medida?

Exemplo:

•  U3lizando uma régua cuja menor divisão foi um cen~metro, avaliamos o

comprimento AB em 8,3 cm. Como o experimentador pode avaliar o algarismo 3, a incerteza da medida será: ΔAB = 1cm/2 = 0,5 cm (metade da menor divisão da escala do instrumento). O valor da medida do comprimento AB deve ser expressa por:

AB = (8,3 ± 0,5) cm (2 AS).

Exemplo:

•  U3lizando uma régua cuja menor divisão foi um milímetro, avaliamos o

comprimento AB em 82,6 mm. Como o algarismo 6 pode ser avaliado, a incerteza da medida será: ΔAB = 1mm /2 = 0,5 mm (metade da menor divisão da escala do instrumento). Portanto, devemos expressar o valor da medida do comprimento AB como sendo:

AB = (82,6 ± 0,5) mm (3 AS).

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Exemplos

• Indique qual será a incerteza de uma medida

realizada com os seguintes instrumentos:

–

 

régua comum;

–

 

relógio digital;

–

 

relógio analógico;

–

 

termômetro clínico;

–

 

Transferidor.

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Regras de arredondamento

•  Durante o cálculo de grandezas cujo o valor é medido

indiretamente, nossos cálculos podem nos levar a dúvidas como no exemplo abaixo:

Exemplo:

•  Foram medidos os lados de um retângulo, obtendo-‐se:

L₁ = 12,3 mm e L₂ = 2,4 mm.

•  A área será:

A = L1.L2 = 29,52 mm2_.

•  O resultado ﬁnal tem 4 AS? Bem, L1 tem 3 AS e L2 tem 2 AS.

•  Se o resultado ﬁnal for escrito com 3 AS (como L1) então facilmente

arredondaremos para A = 29,5 mm2_{, mas se o resultado for escrito}

com 2 AS (como L₂), o resultado e A = 29 mm2_{ou A = 30 mm}2_?

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Regras de arredondamento

Adotaremos o critério NBR 5891, da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), para as aproximações:

•  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ul3mo algarismo a ser conservado for

inferior a 5, o ul3mo algarismo a ser conservado permanecera sem modiﬁcação.

–  P. ex.: 1,333333 arredondado a primeira decimal tornar-‐se-‐á: 1,3.

•  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ul3mo algarismo a ser conservado for

superior a 5, ou, sendo 5, seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o ul3mo algarismo a ser conservado devera ser aumentado de uma unidade.

P. ex.: 1,666666 arredondado a primeira decimal tornar-‐se-‐á 1,7 e o numero 4,850003 arredondado a primeira decimal tornar-‐se-‐á: 4,9.

•  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ul3mo algarismo a ser conservado for 5

seguidos de zeros, dever-‐se-‐á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Conseqüentemente, o ul3mo algarismo a ser re3do, se for ímpar, aumentara uma unidade.

P. ex.: 4,550000 arredondado a primeira decimal tornar-‐se-‐a: 4,6.

•  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ul3mo algarismo a ser conservado for 5

seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecera sem modiﬁcação. P. ex.: 4,850000 arredondado a primeira decimal tornar-‐se-‐á: 4,8.

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Regras para operações com

Algarismos Signiﬁca;vos

•  Vimos que toda medida está acompanhada de uma incerteza, porém em alguns casos não conhecemos seu valor explicitamente. Nessa situação, admi3mos que a incerteza está no úl3mo algarismo e u3lizamos as seguintes regras prá3cas:

Adição e Subtração

Considere que se quer adicionar os resultados de vários comprimentos:

1. Devemos, inicialmente, passar todas as parcelas para a mesma unidade, no caso metro, temos: L1 =12,34 m, L2 = 0,057340 m, L3 = 0,00345 m L4 = 3,42210 m e L5 = 0,98 m

2. Em seguida veriﬁcamos qual (ou quais) das parcelas possui o algarismo duvidoso na posição decimal mais elevada ou a parcela (ou parcelas) que possui o menor número de casas decimais.

3. Colocamos as parcelas como mostrado a seguir e veriﬁcamos que os algarismos 4 de L1 e 8 de L5 possuem a posição decimal mais elevada (centésimo) como também possuem apenas duas casas decimais.

4. Em seguida devemos modiﬁcar as demais parcelas para que elas ﬁquem com o mesmo número de casas decimais de L1 (ou L5).

–  L₁ 12,34 ~ 12,34 continua como está

–  L₂ 0,057340 ~ 0,06 o algarismo 5 foi acrescido de uma unidade pois 7 > 5

–  L₃ 0,00345 ~ 0,00 foi mantido o 0 pois 3 < 5

–  L₄ 3,42210 ~ 3,42 foi mantido o 2 pois 2 < 5

–  L₅ 0,98 ~ 0,98 continua como está

–  16,78

•  O resultado da soma é 16,78 e podemos expressar o comprimento total como: L =16,78 m

•  OBS: Esta regra é aplicada também para o caso de subtrações.

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Regras para operações com Algarismos

Signiﬁca;vos

Mul;plicação e Divisão

•  Vamos supor que queremos medir o volume de um cilindro, isto é:

V = A × h = π (R_A)2_{× L}

A = (1/4) π (DA ) 2 × LA

•  Onde D_A = 1,3 cm e L_A = 36,3 cm, assim: V = (1/4) π (D_A)2 _{× L}

A = (1/4) π 3,14159 × (1,3)2 × 36,3 => V = 48,181777 cm3.

•  Com relação a esse resultado temos as seguintes questões:

–  1 – Quantos algarismos signiﬁca3vos (AS) deve ter V ?

–  2 – Quantos AS deve ter π?

–  3 – E a fração ¼ , quantos AS deve ter?

•  Para responder essas perguntas adotaremos as seguintes regras:

1. O resultado de uma mul3plicação (ou divisão) deve ter `tantos algarismos signiﬁca3vos quanto forem aqueles do número de menor AS entre os números u3lizados na operação.

2. Uma constante como π, caso não seja indicado no problema o número de AS, deve ser u3lizada com um número de AS maior que o número de menor AS na operação.

3. Os números 1 e 4 não foram ob3dos a par3r de alguma medida realizada e não devem ser considerados na determinação do número de AS na operação pois são constantes exatas.

•  Para ﬁnalizar, o resultado da operação no cálculo do volume do cilindro será V = 48 cm3 (2 AS que vem de

D_A = 1,3 cm).

•  Obs. As regras estabelecidas acima só deverão ser u3lizadas quando não conhecermos explicitamente o valor da incerteza da medida. No caso em que sabemos o valor da incerteza, u3lizaremos um método de propagação que será abordado na próxima seção.

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Paquímetro

•  O paquímetro com nônio, também conhecido como

paquímetro universal, é um instrumento de medição dotado de uma escala e um cursor que desliza nela.

•  No cursor está gravada uma segunda escala chamada

nônio, também conhecida como vernier.

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Paquímetro

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Paquímetro

• h†p://www.stefanelli.eng.br/webpage/

metrologia/p-‐paquimetro-‐nonio-‐

milimetro-‐05.html

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Paquímetro – resolução 0,1 mm

[email protected]

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Paquímetro – resolução 0,1 mm

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Micrômetro

• O micrômetro, ou parafuso micrométrico, é

cons3tuído por um parafuso de passo constante

e preciso. Uma rotação completa do parafuso

corresponde a um deslocamento de um passo.

• É usado para medir dimensões com resoluções

da ordem de 10 μm. Apesar de apresentar uma

resolução maior que o paquímetro, o micrômetro

mostra-‐se um instrumento bem menos versá3l.

• As dimensões medidas não podem passar de

alguns cen~metros e devem corresponder

sempre a diâmetros externos.

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Micrômetro

[email protected]

A maioria dos micrômetros possui uma

catraca, localizada na extremidade do parafuso, cuja função é aliviar a pressão

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Micrômetro

•  A dimensão do objeto é lida a par3r de duas escalas, como ilustrado em detalhe na ﬁgura 10.

•  A primeira escala, expressa em milímetros, se localiza

na bainha e é responsável para leitura com precisão de 0,5 mm

•  A segunda escala, de maior precisão, se encontra

inscrita no tambor.

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[email protected]

É possível es;mar o algarismo duvidoso

0,5 mm 50 divisões

Resolução = 0,01 mm

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Micrômetro

•  A marcação graduada localizada na bainha é geralmente subdividida em intervalos

mínimos de 1 ou 0,5 mm.

•  As marcações dos milímetros partem da linha da escala num sen3do, enquanto as

marcações de meio milímetro, quando existentes, partem no outro.

•  Sua leitura é realizada diretamente pelo número indicado pelo corte que o tambor

cria na escala subjacente. Ou seja, a parte visível da escala da bainha denota o valor da medida.

•  A leitura do número do tambor é realizada de forma similar, pelo ponto em que sua escala numerada é cortada pela linha horizontal inscrita na bainha. Isso permite ler dois algarismos exatos no tambor e es3mar o algarismo duvidoso.

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Micrômetro Milesimal

•  No micrômetro milesimal a menor diferença entre indicações

é dividida por dez por um nônio gravado na bainha.

•  Deste modo, a resolução passa a ser:

Resolução = 0,01 mm / 10 = 0,001 mm.

[email protected]

Física Experimental 1 A3vidade 1 – Erros e Medidas