PROBABILIDADE Aula 2

PROBABILIDADE

Aula 2

Espaço amostral → conjunto de todos os resultados possíveis.

Ex 1: determinar o sexo de um bebê,

S = {a,o}

Ex2: jogar dois dados,

S = {(i,j) : i,j = 1,2,3,4,5,6}

Ex3: jogar duas moedas, C – cara, K – coroa

S = {(C,C), (C,K), (K,K), (K,C)}

Espaço Amostral

Eventos → um ou mais resultados (subconjunto do espaço amostral).

Ex 1: o bebê é menina

E = {a}

Ex2: a soma dos dados é igual a 7

E = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

Ex3: a primeira moeda dá cara

E = {(C,C), (C,K)}

Um conjunto vazio é representado por

Eventos

• Para qualquer dois ventos E e F de um espaço amostral S, definimos o novo evento : E U F

como sendo formado por todos os resultados que pertencem a E ou a F, ou a ambos simultaneamente. (união dos eventos E e F).

Ex) E = {a}, F = {o}, E U F = {a,o}

• Para qualquer dois ventos E e F de um espaço amostral S, definimos o novo evento: EF ou E ∩ F

como sendo formado por todos os resultados que estão tanto em E como em F (interseção dos eventos E e F).

Ex) Eventos que têm pelo menos uma cara: E = {(C,C), (C, K), (K,C)}, Eventos que têm pelo menos uma coroa: F = {(K,K), (K,C), (C,K)},

E ∩ F ={(C,K), (K,C)}

Eventos

1) Clássica ou teórica: usada quando cada resultado no espaço amostral tem a mesma probabilidade.

P(E) = n(E) / n(S)

2) Empírica ou Estatística: frequência relativa de um evento, a frequência é estimada a partir de experimentação.

P(E) = f(E) / f(S)

Lei dos grandes números: à medida que um experimento é repetido mais e mais vezes, a probabilidade empírica de um evento tende à sua probabilidade teórica (real).

3) Subjetiva: resulta da intuição, estimativa ou de um palpite fundamentado.

Tipos de Probabilidade

Ex1 – Um dado de 6 faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos:

a) Evento A: obter um 3.

b) Evento B: obter um 7.

c) Evento C: obter um número menor do que 5.

Ex2 - Uma companhia de seguros constata que, a cada 100 pedidos, 4 são fraudulentos. Qual a probabilidade de o próximo pedido ser fraudulento?

Ex3 - Com base em contagens anteriores, estima-se que a probabilidade de um salmão atravessar com sucesso uma barragem sobre o rio Columbia é de 0,85.

Essa afirmativa é um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva?

Tipos de Probabilidade

Axiomas e Propriedades

• Uma probabilidade não pode ser negativa ou maior que 1.

• A soma das probabilidades do espaço amostral é 1 ou 100%.

• P(S)= 1 significa que o evento é certo.

Complemento do evento: conjunto de todos os resultados em um espaço amostral que não estão incluídos no evento, denotado E’.

E E’

6 1 2 5 3 4 0 ≤ P(E) ≤ 1

P(S) = Ʃ P(E

)

P(E) + P(E’) = 1

Diagrama de Venn

Ex1 – Você seleciona mil funcionários de uma empresa e registra a idade de cada um. Os resultados estão na tabela, na distribuição de frequência. Se selecionar ao acaso um outro funcionário, qual será a probabilidade de a idade estar entre 25 a 34 anos? Qual a probabilidade de escolher um funcionário que não tenha entre 25 e 34 anos?

Idade dos funcionários

Frequência f

18 a 24 54

25 a 34 366

35 a 44 233

45 a 54 180

55 a 64 125

65 u mais 42

Ʃf = 1000

Probabilidade condicional

→ Probabilidade de ocorrer um evento, dado que outro já ocorreu.

→ A probabilidade de B, dado A: P(B|A).

Ex – Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho comum. Determine a probabilidade de a segunda ser uma dama, dado que a primeira foi um rei.

(Assuma que o rei não é recolocado.)

Probabilidade condicional

Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

P(B|A) = P(B) P(A|B) = P(A)

Ex1 - Selecionar um rei de um baralho comum (A), não o recolocando, e então selecionar uma dama do baralho (B);

Ex2 - Jogar uma moeda, obter uma cara (A) e então jogar um dado de seis faces e

obter um 6 (B)