Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

(1)

ufpe – ´ area ii – c 2019 prof. fernando j. o. souza MA036 (geometria anal´ıtica 1) – 2019.1 – turma p6

RESUMO DA 2

^a

UNIDADE v. 0.9

1. Nota¸c˜ oes

Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

P

, y

P

) no plano euclidiano ser´a denotado por P (x

P

, y

P

), sem sinal de igualdade. A origem ´e O (0, 0). J´a um vetor − → v no plano de coordenadas (v

x

, v

y

) com rela¸cão à base canônica ξ

²

(uma base ortonormal positiva fixada) ser´a denotado por − → v = (v

x

, v

y

), evitando confu- s˜ao com os pontos, apesar de valer −→ OP = (x

P

, y

P

).

Analogamente, est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxyz para o espa¸co euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

P

, y

P

, z

P

) ser´a denotado por P (x

P

, y

P

, z

P

). A origem ´e O (0, 0, 0). J´a um vetor − → v no espa¸co de coordenadas (v

x

, v

y

, v

z

) com rela¸cão à base canônica ξ

³

= n

b i, b j, b k o (uma base ortonormal positiva fixada) ser´a denotado por − → v = (v

x

, v

y

, v

z

).

2. Retas no plano euclidiano

Recordar os v´arios tipos de equa¸c˜ao de uma reta no plano que estudamos, representando os pontos aos quais ela incide

¹

por X (x, y):

Ponto-declividade: y − y

⁰

= m(x − x

⁰

) para a reta n˜ao-vertical de declividade (inclina¸c˜ao) m e incidente ao ponto P

⁰

(x

⁰

, y

⁰

);

Reduzida: y = mx + n para a reta n˜ao-vertical de declividade m que intercepta o eixo ← 0y → no ponto (0, n). A declividade determina a dire¸c˜ao da reta;

x = x

⁰

para a reta vertical incidente a qualquer (e todo) ponto P

⁰

(x

⁰

, y

⁰

).

Apesar de não ser nomenclatura padrão, também chamaremos x = x

⁰

de equa¸c˜ ao reduzida da reta vertical, de modo a toda reta admitir

“equa¸c˜ao reduzida” num sentido mais amplo do que o padr˜ao;

1Uma reta “incidir a um ponto” ou “ser incidente a ele” abstrai as no¸c˜oes intuitivas dela

“passar por ele”, “toc´a-lo”, “contˆe-lo”, e dele “estar sobre ela”.

(2)

Segment´ aria: x p + y

q = 1 para a reta não-horizontal, não-vertical que não incide à origem O (0, 0) que incide aos pontos de coordenadas (p, 0) e (0, q) (onde intercepta os eixos coordenados Ox e Oy, respectivamente);

Vetorial: X = P

⁰

+ t − → v , onde t (parˆ ametro) ´e um escalar real, para a reta r incidente ao ponto P

⁰

(x

⁰

, y

⁰

) que admite − → v como vetor diretor (isto

é, r tem a dire¸cão de − → v ). Tal equa¸cão descreve, como fun¸cão X(t), os pontos X sobre a reta, os quais são exatamente aqueles paras os quais −−→ P

⁰

X = t − → v , ou seja, −−→ P

⁰

X é paralelo a − → v . Em coordenadas, uma equa¸cão vetorial para r é (x, y) = (x

⁰

, y

⁰

) + t (v

x

, v

y

), onde t ∈ R ; Param´ etricas: E o sistema de duas equa¸c˜oes ´ x = x

⁰

+ t v

x

e y = y

⁰

+ t v

y

,

onde t ∈ R , cada uma correspondente a uma das coordenadas numa equa¸cão vetorial da reta. Eliminando t do sistema, ou seja, escrevendo- o em termos dos demais valores em cada equa¸cão, obtemos a equa¸cão simétrica abaixo;

Sim´ etrica: x − x

⁰

v

x

= y − y

⁰

v

y

, para a reta n˜ao-vertical n˜ao-horizontal (admite vetor diretor − → v com v

x

6 = 0 6 = v

y

) que incide ao ponto P

⁰

(x

⁰

, y

⁰

);

“Pl¨ uckeriana”: Tal

²

equa¸c˜ao ´e − → n · −−→ P

⁰

X = 0 para a reta r incidente a P

⁰

que admite vetor normal − → n = (A, B) (isto é, r tem dire¸cão ortogonal a − → n ). Em coordenadas, tal equa¸cão é 0 = (A, B) · (x − x

⁰

, y − y

⁰

), a qual equivale `a equa¸c˜ao cartesiana (abaixo) Ax + By + C = 0, onde C = − (A x

⁰

+ B y

⁰

);

Geral ou cartesiana: Ax + By + C = 0, onde A, B, C ∈ R são tais que (A, B) 6 = (0, 0), ou seja, A e B não são simultaneamente nulos, para a reta que admite − → n = (A, B ) como vetor normal e é a linha de n´ıvel

³

para a fun¸c˜ao real ϕ(x, y) = ϕ(X) = − → n · −→

OP = Ax + By com n´ıvel igual a − C. Obs. Da equa¸cão cartesiana, facilmente obtemos a equa¸cão reduzida e, se a reta admitir, a equa¸cão segmentária por manipula¸cão algébrica.

2O nome “plückeriana” é pouco adotado. Esta equa¸cão é, num certo sentido, análoga à equa¸cão vetorial trocando-se vetor diretor por vetor normal.

3E f´acil ver que ela ´e constante a partir disto: como´ −−→

OX = −−→

OP⁰+−−→

P⁰X, temos que ϕ(P) =−→n ·−−→

OP0+−−→

P0X

=−→n·−−→

OP0+−→n ·−−→

P0X=ϕ(P⁰) + 0. Logo,ϕ(X) =ϕ(P⁰) =−c.

(3)

Obs. De uma equa¸cão cartesiana da reta, todas as equa¸cões cartesianas da mesma reta se obtêm multiplicando-se os lados da equa¸cão cartesiana dada por um n´ umero real não-nulo.

Obs. As retas r

¹

: Ax + By + C

¹

= 0 e r

²

: Ax + By + C

²

= 0, com mesmo vetor normal, são necessariamente, coincidentes (“paralelas iguais”) ou paralelas (“paralelas distintas”), e a distância entre elas é dada por

dist(r

¹

, r

²

) = | C

¹

− C

²

|

||− → n || = | C

¹

− C

²

|

√ A

²

+ B

²

Obs. Equa¸cões vetoriais e plückerianas de retas no plano podem ser obtidas umas da outras facilmente porque − → v ⊥ − → n . Ex.: Dado um vetor − → n = (A, B) normal a r, o vetor (B, − A) é um dos vetores diretores de r.

Das equa¸cões acima, apenas a reduzida (para cada reta no plano) e a segmentária (para cada reta no plano que admite tal equa¸cão) são ´ unicas, uma vez que há infinitas escolhas de ponto sobre a reta, e de vetor diretor ou normal para ela.

3. Retas no espa¸co euclidiano

Eis os tipos de equa¸c˜ao de uma reta no espa¸co que estudamos, representando os pontos aos quais ela incide por X (x, y, z):

Vetorial: X = P

⁰

+ t − → v , onde t (parˆ ametro) ´e um escalar real, para a reta r incidente ao ponto P

⁰

(x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

) que admite − → v como vetor diretor (isto é, r tem a dire¸cão de − → v ). Tal equa¸cão descreve, como fun¸cão X(t), os pontos X sobre a reta, os quais são exatamente aqueles paras os quais −−→ P

⁰

X = t − → v , ou seja, −−→ P

⁰

X é paralelo a − → v . Em coordenadas, uma equa¸cão vetorial para r é (x, y, z) = (x

⁰

, y

⁰

, y

⁰

) + t (v

x

, v

y

, v

z

), onde t ∈ R ;

Param´ etricas: E o sistema de trˆes equa¸c˜oes ´ x = x

⁰

+ t v

x

, y = y

⁰

+ t v

y

e z = z

0

+ t v

z

, onde t ∈ R , cada uma correspondente a uma das

coordenadas numa equa¸c˜ao vetorial da reta. Eliminando t do sistema,

ou seja, escrevendo-o em termos dos demais valores em cada equa¸c˜ao,

obtemos as equa¸c˜oes sim´etricas abaixo;

(4)

Sim´ etricas: x − x

⁰

v

x

= y − y

⁰

v

y

= z − z

⁰

v

z

, para a reta que não é paralela a plano coordenado algum (isto é, ela admite vetor diretor − → v com v

x

6 = 0 6 = v

y

e v

z

6 = 0) que incide ao ponto P

⁰

(x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

);

Planares: a

¹

x + b

¹

y + c

¹

z + d

¹

= 0 = a

²

x + b

²

y + c

²

z + d

²

, onde os vetores − → n

¹

= (a

¹

, b

¹

, c

¹

) e − → n

²

= (a

²

, b

²

, c

²

) são L.I. Tal sistema de equa¸cões descreve a reta como interse¸cão de dois planos transversais, sendo cada um deles dado por uma equa¸cão geral.

Obs. Das equa¸c˜oes planares, temos um vetor diretor para a reta facilmente, a saber, − → n

1

∧ − → n

2

. Resolvendo o sistema de equa¸cões planares, que é um sistema poss´ıvel indeterminado com 1 grau de liberdade, seu conjunto-solu¸cão (a reta) é descrito por uma equa¸cão vetorial da reta.

4. Planos no espa¸co euclidiano

Eis os tipos de equa¸c˜ao de um plano no espa¸co que estudamos, representando os pontos aos quais ele incide por X (x, y, z):

Segment´ aria: x p + y

q + z

r = 1 com p 6 = 0 6 = q e r 6 = 0 para o plano que n˜ao ´e paralelo a plano coordenado algum, e que incide aos pontos de coordenadas (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, r) (onde intercepta os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente);

Vetorial: X = P

⁰

+ s − → v + t → − w , onde s e t (parˆ ametros) são escalares reais, e os vetores − → v e − → w são L.I. Tal equa¸cão descreve, como fun¸cão X(s, t), os pontos X sobre o plano π incidente ao ponto P

⁰

(x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

) que admite − → v como vetores diretores. Os pontos X sobre π s˜ao exatamente aqueles paras os quais −−→

P

⁰

X = s − → v + t − → w , ou seja, −−→

P

⁰

X é combina¸cão linear (C.L.) de − → v e − → w . Em coordenadas, uma equa¸cão vetorial para π é (x, y, z) = (x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

) + s (v

x

, v

y

, v

z

) + t (w

x

, w

y

, w

z

), onde s, t ∈ R ;

Param´ etricas: E o sistema de trˆes equa¸c˜oes ´ x = x

⁰

+ s v

x

+ t w

x

,

y = y

⁰

+ s v

y

+ t w

y

e z = z

⁰

+ s v

z

+ t w

z

, onde s, t ∈ R , cada uma

correspondente a uma das coordenadas numa equa¸c˜ao vetorial da reta;

(5)

“Pl¨ uckeriana”: − → n · −−→ P

⁰

X = 0 para o plano π incidente a P

⁰

que admite vetor normal − → n = (A, B, C). Em coordenadas, tal equa¸c˜ao ´e

0 = (A, B, C ) · (x − x

⁰

, y − y

⁰

, z − z

⁰

), a qual equivale `a equa¸c˜ao cartesiana (abaixo) Ax +By + Cz +D = 0, onde D = − (A x

⁰

+B y

⁰

+C z

⁰

);

Geral ou cartesiana: Ax + By + Cz + d = 0, onde A, B, C, D ∈ R são tais que (A, B, C) 6 = (0, 0, 0), ou seja, A, B e C não são simultaneamente nulos, para o plano que admite − → n = (A, B, C) como vetor normal e é a superf´ıcie de n´ıvel para a fun¸cão real ϕ(x, y, z) = ϕ(X) = − → n · −→ OP = Ax + By + Cz com n´ıvel igual a − D.

Obs. De uma equa¸cão cartesiana do plano, todas as equa¸cões cartesianas do mesmo plano se obtêm multiplicando-se os lados da equa¸cão cartesiana dada por um n´ umero real não-nulo.

Obs. Planos π

¹

: Ax +By +Cz+D

¹

= 0 e π

²

: Ax +By +Cz +D

²

= 0, com mesmo vetor normal, são necessariamente, coincidentes (“paralelos iguais”) ou paralelos (“paralelos distintos”), e a distância entre eles é dada por

dist(π

¹

, π

²

) = | D

¹

− D

²

|

||− → n || = | D

¹

− D

²

|

√ A

²

+ B

²

+ C

²

Obs. Se um plano ´e dado por uma equa¸c˜ao vetorial π : X = P

⁰

+ s − → v + t − → w , onde s, t ∈ R , então uma equa¸cão geral dele é: π : h −−→ P

⁰

X, − → v , − → w i

= 0.

5. Posi¸c˜ oes relativas, distˆ ancias, interse¸c˜ oes, ˆ angulos e proje¸c˜ oes no espa¸co euclidiano

A distˆ ancia (distˆancia euclidiana) dist(P, Q) = dist(Q, P ) entre os pontos P e Q ´e dada por:

dist(P, Q) = q

(x

p

− x

Q

)

²

+ (y

p

− y

Q

)

²

no plano euclidiano; e dist(P, Q) = q

(x

p

− x

Q

)

²

+ (y

p

− y

Q

)

²

+ (z

p

− z

Q

)

²

no espa¸co euclidiano.

J´a a distˆ ancia (distˆancia de Hausdorff) dist( P , Q ) entre os objetos ge-

om´etricos P e Q minimiza todas as distˆancias dist(P, Q) entre um ponto P

de P e um ponto Q de Q , varrendo-se todos os pontos daqueles objetos ge-

om´etricos. Dizemos que um ponto P

^′

de P e um ponto Q

^′

de Q realizam

(6)

a distˆancia dist( P , Q ) se, e somente se, dist( P , Q ) = dist(P

^′

, Q

^′

). Observe- mos que, se P e Q se interceptam, ent˜ao, gra¸cas a qualquer dos pontos em comum, dist( P , Q ) = 0.

5.1. Ponto e reta

Dados um ponto P e uma reta r no espa¸co, P está sobre r (isto é, r incide a P ) se, e somente se, P satisfaz a equa¸cão de r que for dada.

Se r passa pelo ponto P

⁰

e admite o vetor diretor − → v , ent˜ao, utilizando proje¸c˜ao ortogonal do vetor −−→ P

⁰

P sobre a dire¸c˜ao de − → v , obtemos:

dist(P, r) = −−→ P

⁰

P − proj

⁻^→_v

−−→ P

⁰

P

O ponto R de r que realiza a distˆancia dist(P, r) (ou seja, dist(P, r) = dist(P, R)) ´e a proje¸c˜ ao ortogonal de P sobre r, dada por:

R = P

⁰

+ proj

⁻^→_v

−−→ P

⁰

P 5.2. Ponto e plano

Dados um ponto P e um plano π no espa¸co, P está sobre π (isto é, π incide a P ) se, e somente se, P satisfaz a equa¸cão de π que for dada.

Se π : Ax + By + Cz + D = 0, ent˜ao, utilizando a fun¸c˜ao ϕ(x, y, z) = Ax + By + Cz, dos n´ıveis − D do plano π e A x

P

+ B y

P

+ C z

P

de P (que ´e o n´ıvel do plano “paralelo” a π que passa por P – cf. Subse¸c˜ao 5.3.), obtemos:

dist(P, π) = | A x

P

+ B y

P

+ C z

P

− ( − D) |

|| (A, B, C) || = | A x

P

√ + B y

P

+ C z

P

+ D | A

²

+ B

²

+ C

²

O ponto H de π que realiza a distˆancia dist(P, π) (ou seja, dist(P, π) =

dist(P, H )) ´e a proje¸c˜ ao ortogonal de P sobre π, que ´e o ponto em que

a reta r perpendicular a π passando por P intercepta o plano π (vide reta

transversal a plano na Subse¸c˜ao 5.6.). Ora, r admite, como vetor diretor seu,

o vetor − → n = (A, B, C), que ´e normal a π. Logo: r : X = P +t − → n , onde t ∈ R ,

ou seja, r : (x, y, z) = (x

P

+ At, y

P

+ Bt, z

P

+ Ct), t ∈ R . O valor t

H

de t cor-

respondente a H fornece H (x

H

, y

H

, z

H

) = (x

P

+ A t

H

, y

P

+ B t

H

, z

P

+ C t

H

)

(7)

e ´e, portanto, aquele que satisfaz a equa¸c˜ao de π:

0 = A (x

P

+ A t

H

) + (y

P

+ B t

H

) + (z

P

+ C t

H

) + D =

A x

P

+B y

P

+C z

P

+D +(A

²

+ B

²

+ C

²

) t

H

∴ t

H

= A x

P

+ B y

P

+ C z

P

+ D

−|| (A, B, C) ||

²

Combinando esta informa¸c˜ao com dist(P, π) e H = P +t

H

− → n , obtemos que H

é a transla¸cão de P pela distância dist(P, π) na dire¸cão normal a π seguindo o sentido oposto ao de − → n :

H = P − dist(P, π) − → n − → n

5.3. Dois planos

Dados os planos π : Ax + By + Cz + D = 0 e π

^′

: A

^′

x + B

^′

y + C

^′

z + D

^′

= 0 planos no espa¸co, o vetor − → n = (A, B, C) ´e normal a π, e − →

n

^′

= (A

^′

, B

^′

, C

^′

)

´e normal a π

^′

. Ambos os vetores não são nulos. Distinguimos as posi¸cões relativas:

1. π e π

^′

s˜ao coincidentes (“paralelos iguais”) se, e somente se, os vetores normais s˜ao paralelos (ou seja, − → n = k − →

n

^′

para algum escalar k 6 = 0), e D = k D

^′

para aquele mesmo escalar k. Neste caso, a interse¸c˜ao deles

´e igual a π (e π

^′

), dist(π, π

^′

) = 0, e o ˆangulo entre eles ´e nulo;

2. π e π

^′

s˜ao paralelos (“paralelos distintos”) se, e somente se, os vetores normais s˜ao paralelos (ou seja, − → n = k − →

n

^′

para algum escalar k 6 = 0), mas D 6 = k D

^′

. Neste caso, a interse¸cão deles é vazia, e o ângulo entre eles é nulo. Descrevendo ambos os planos com o mesmo vetor normal

−

→ n , de modo que π

^′

: Ax + By + Cz + k D

^′

= 0, obtemos:

dist(π, π

^′

) = | D − k D

^′

|

|| (A, B, C) ||

3. π e π

^′

s˜ao transversais (ou concorrentes) se, e somente se, os vetores

−

→ n e − →

n

^′

não são paralelos (ou seja, − → n não é m´ ultiplo de − →

n

^′

). Neste caso, a interse¸c˜ao deles ´e uma reta, a qual admite vetor diretor − → n ∧ − →

n

^′

. Tal

reta pode ser descrita por meio de uma equa¸c˜ao vetorial ao se resolver o

sistema de duas equa¸c˜oes Ax+By +Cz +D = 0 = A

^′

x +B

^′

y +C

^′

z +D

^′

,

o qual possui um grau de liberdade (correspondendo a um parˆametro

(8)

real t). Enquanto dist(π, π

^′

) = 0, o ˆangulo θ

^Π,Π′

entre eles ´e o menor dentre os ˆangulos θ

⁻^→_n_,⁻^→_n_′

entre − → n e − →

n

^′

e seu suplemento

⁴

, sendo este suplemento igual ao ˆangulo θ

⁻^→_n_,₋⁻^→_n_′

entre − → n e − − →

n

^′

. Em suma, tomando o m´odulo, obtemos:

θ

^Π,Π′

= arccos



 − → n · − →

n

^′

||− → n ||

− →

n

^′





5.4. Trˆ es planos

Analisamos a posi¸cão relativa e a interse¸cão (simultânea) entre três planos no espa¸co, obtendo 8 casos distintos, interpretados por meio dos vetores normais aos planos e os respectivos n´ıveis destes planos como superf´ıcies de n´ıvel:

1. Três planos coincidentes (“paralelos iguais”). A interse¸cão deles é igual a eles;

2. Dois planos coincidentes (“paralelos iguais”) e um paralelo a eles (“paralelo distinto” deles). A interse¸c˜ao deles ´e vazia;

3. Dois planos coincidentes (“paralelos iguais”) e um transversal a eles. A interse¸c˜ao deles ´e uma reta;

4. Três planos que são dois a dois paralelos (“paralelos distintos”). A interse¸cão deles é vazia;

5. Dois planos paralelos (“paralelos distintos”) e um transversal a eles.

A interse¸c˜ao deles ´e vazia (O plano transversal intercepta cada plano paralelo numa reta, sendo as duas “paralelas distintas”);

6. Três planos que são dois a dois transversais e cuja interse¸cão é uma reta (Os três vetores normais são L.D., mas nenhum deles é paralelo a outro deles; os n´ıveis concordam ao longo dos pontos da reta);

7. Três planos que são dois a dois transversais e cuja interse¸cão é vazia (Os três vetores normais são L.D., mas nenhum deles é paralelo a outro deles; os n´ıveis dos três não concordam; de dois em dois, eles se interceptam em uma reta, mas as três retas obtidas são duas a duas

“paralelas distintas”); e

4Osuplementode um ˆanguloθ ´e igual aπ−θ.

(9)

8. Três planos que são dois a dois transversais e cuja interse¸cão é um ´ unico ponto (Os três vetores normais são L.I.).

5.5. Duas retas

Dadas as retas r : P = P

⁰

+ t − → v (para t ∈ R ) e r

^′

: P = P

¹

+ s − → w (para s ∈ R ) no espa¸co, o vetor − → v ´e diretor para r, e − → w ´e diretor para r

^′

. Ambos os vetores não são nulos. O ângulo θ

r,r^′

entre elas ´e o menor dentre os ˆangulos θ

⁻^→v,−→

w

entre − → v e − → w e seu suplemento, sendo este suplemento igual ao ˆangulo θ

⁻^→v,−−→

w

entre − → v e −− → w . Em suma, tomando o m´odulo, obtemos:

θ

r,r^′

= arccos

− → v · − → w

||− → v || − → w

!

Distinguimos as quatro posi¸cões relativas entre duas retas no espa¸co abaixo, sendo as três primeiras os casos em que as retas são coplanares, isto é, existe ao menos um plano que as contém (exceto no caso de retas coincidentes, o plano é ´ unico):

1. r e r

^′

s˜ao coincidentes (“paralelas iguais”) se, e somente se, − → v e −−→ P

⁰

P

¹

s˜ao m´ ultiplos de − → w (observar que −−→ P

⁰

P

¹

pode ser nulo). Neste caso, a interse¸cão entre elas é r, e o ângulo e a distância entre elas são nulos;

2. r e r

^′

s˜ao paralelas (“paralelas distintas”) se, e somente se, − → v ´e m´ ultiplo de − → w mas −−→ P

⁰

P

¹

não o é. Neste caso, a interse¸cão entre elas é vazio, o ângulo entre elas é nulo, e dist(r, r

^′

) = dist(P

⁰

, r

^′

) = dist(P

¹

, r) (cf.

A Subse¸c˜ao 5.1.);

3. r e r

^′

são concorrentes se, e somente se, − → v não é m´ ultiplo de − → w e

−−→ P

⁰

P

¹

é C.L. de − → v e − → w . Tais condi¸cões equivalem a: − → v não é m´ ultiplo de − → w mas h − → v , − → w, −−→

P

⁰

P

¹

i

= 0. Neste caso, a interse¸cão entre elas consiste de um ´ unico ponto, a distância entre elas é nula, mas o ângulo entre elas é ou agudo ou reto;

4. r e r

^′

s˜ao reversas (ou seja, nenhum plano cont´em ambas) se, e somente se, − → v , − → w e −−→ P

⁰

P

¹

s˜ao linearmente independentes, o que, por sua vez, equivale a h

−

→ v , − → w, −−→

P

⁰

P

¹

i

6 = 0. Neste caso, a interse¸c˜ao entre elas ´e

vazia, o ângulo entre elas é ou agudo ou reto, e a distância entre elas

(10)

pode ser calculada como a distˆancia entre os planos paralelos a − → v e − → w que passam, respectivamente, por P

⁰

e P

¹

: sendo (A, B, C) = − → v ∧ − → w vetor normal `aqueles planos paralelos, temos que:

dist(r, r

^′

) = h

−

→ v , − → w, −−→

P

⁰

P

¹

i

− → v ∧ − → w

5.6. Reta e plano

A proje¸c˜ ao ortogonal de uma reta r sobre um plano π é a reta que consiste das proje¸cões ortogonais dos pontos de r sobre π (cf. Subse¸cão 5.2.).

O ˆ angulo entre r e π é o ângulo entre r e sua proje¸cão ortogonal sobre π (Sobre ângulo entre retas, vide a Subse¸cão 5.5.), que é o complemento

⁵

do ˆangulo entre r e qualquer reta normal a π.

Dados o plano π : Ax + By + Cz + D = 0 e a reta r : P = P

⁰

+ t − → v (para t ∈ R ) no espa¸co, temos que − → v ´e vetor diretor para r, e − → n = (A, B, C)

é vetor normal a π. Ambos os vetores não são nulos. Denotemos P

⁰

por P

⁰

(x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

).

Distinguimos as posi¸c˜oes relativas:

1. r est´a contida em π se, e somente se, − → v ´e paralelo a π (ou seja,

−

→ n ·− → v = 0) e P

⁰

est´a sobre π (ou seja, A x

⁰

+B y

⁰

+C z

⁰

+D = 0), Neste caso, a interse¸cão entre eles é r, o ângulo entre eles é nulo, dist(r, π) = 0, e a reta é sua própria proje¸cão ortogonal;

2. r ´e paralela a π se, e somente se, − → v ´e paralelo a π (ou seja, − → n ·− → v = 0) mas P

⁰

n˜ao est´a sobre π (ou seja, Ax

⁰

+By

⁰

+Cz

⁰

+D 6 = 0). Neste caso, a interse¸cão entre eles é vazia, o ângulo entre eles é nulo, e a proje¸cão ortogonal de r sobre π é a reta paralela a r que passa pela proje¸cão ortogonal H de P

⁰

sobre π, ou seja, a reta r

^′

: X = H + λ − → v , onde λ ∈ R . A distância entre r e π é a mesma entre Π e o plano paralelo a Π que contém r (e que, em particular, contém P

⁰

). Logo:

dist(r, π) = dist(P

⁰

, π) = | A x

⁰

+ B y

⁰

+ C z

⁰

+ D |

√ A

²

+ B

²

+ C

²

;

5Ocomplemento de um ângulo θé igual a ^π₂ −θ. As fun¸cões cosseno, cotangente e cossecante deθnada mais são que as fun¸cões seno, tangente e secante do complemento de θ, respectivamente.

(11)

3. r é transversal a π se, e somente se, − → v não é paralelo a π (ou seja,

−

→ n · − → v 6 = 0). Neste caso, dist(r, π) = 0, pois a interse¸c˜ao entre eles consiste de um ´ unico ponto P , o qual ´e o ponto P = X(t

P

) = P

⁰

+ t

P

− → v da reta determinado pelo ´ unico valor de t

P

para o qual X(t

P

) satisfaz a equa¸c˜ao do plano, ou seja:

A(x

⁰

+ t

P

v

x

) + B(y

⁰

+ t

P

v

y

) + C(z

⁰

+ t

P

v

z

) + D = 0 ∴

0 = Ax

⁰

+ By

⁰

+ Cz

⁰

+ D + t

P

− → n · − → v ∴ t

P

= − Ax

⁰

+ By

⁰

+ Cz

⁰

+ D

−

→ n · − → v

O ˆangulo θ

r,π

entre r e π é o complemento do ângulo entre r e qualquer reta normal a π, de modo que o cosseno deste complemento é o seno de θ

r,π

. Assim:

θ

r,π

= arcsen

− → v · − → n

||− → v || ||− → n ||

!

6. A circunferˆ encia

6.1. Equa¸c˜ oes da circunferˆ encia

A circunferˆ encia de raio r > 0 e centro C (x

⁰

, y

⁰

) ´e o L.G.

⁶

dos pontos X (x, y) que distam r de C, ou seja, dados pela equa¸c˜ao abaixo:

dist(X, C) = r.

Elevando ao quadrado ambos os lados da equa¸cão em coordenadas, temos a equa¸cão reduzida ou cartesiana da circunferência, que equivale à anterior porque distâncias não são negativas (ou seja, tomamos a raiz principal de ambos os lados):

(x − x

⁰

)

²

+ (y − y

⁰

)

²

= r

²

.

Utilizando o ciclo trigonom´etrico e mudan¸ca de escala pelo raio r, obtemos equa¸c˜ oes param´ etricas para a circunferˆencia:

x(θ) = r · cos (θ), y(θ) = r · sen (θ),

6O lugar geom´etrico (L.G.)dos pontos que satisfazem uma ou mais condi¸c˜oes dadas

é o objeto geométrico que consiste exatamente daqueles pontos. Este conceito é o análogo geométrico ao conceito algébrico de conjunto-solu¸cão.

(12)

onde o parâmetro θ admite várias escolhas de dom´ınio. Ex.: θ ∈ [0, 2π); ou, se não nos importarmos com repeti¸cões de pontos à medida que o valor do parâmetro cresce, θ ∈ R .

6.2. Posi¸c˜ ao relativa e distˆ ancia entre reta e circunferˆ encia

Dadas uma reta s e a circunferência O de centro C e raio r > 0 no plano, obtivemos as seguintes posi¸cões relativas com base no raio e na distância entre o ponto C e a reta s:

1. s ´e secante a O quando elas se interceptam em dois pontos distintos.

Portanto, a distˆancia entre elas ´e nula. Neste caso, dist(C, s) < r;

2. s é tangente a O quando elas se interceptam em um ´ unico ponto P (dito ponto de tangˆ encia entre elas). Portanto, a distância entre elas é nula. Neste caso, dist(C, s) = r, e uma equa¸cão vetorial para os pontos X sobre s é dada por s : X = P + t − → v , onde t ∈ R , e

−

→ v ⊥ −→ CP . De fato, podemos mostrar que −→ CP = (A, B) normal a s, e escolher − → v = (B, − A), por exemplo. Já a reta n : X = P + λ −→ CP , onde λ ∈ R , é normal a s. Dizemos que ela também é a reta normal a O no ponto P ;

3. s é exterior a O quando elas não se interceptam. Neste caso, temos que dist(C, s) > r. A distância entre a reta e a circunferência é dada por dist( O , s) = dist(C, s) − r. A reta perpendicular a s por C intercepta O e s nos ´ unicos pontos que realizam a distância dist( O , s) entre elas.

6.3. Posi¸c˜ ao relativa e distˆ ancia entre duas circunferˆ encias

Sejam as circunferências O de centro C e raio r > 0, e Q de centro Q e raio R ≥ r no plano. Obtivemos as seguintes posi¸cões relativas entre O e Q com base nos raios e na distância entre os centros:

1. O e Q s˜ao coincidentes quando seus centros coincidem (C = Q, isto

é, 0 = dist(C, Q)) e seus raios também (r = R, isto é, 0 = R − r).

Sendo a mesma curva, a distˆancia entre elas ´e nula: dist( O , Q ) = 0 =

R − r − dist(C, Q);

(13)

2. O e Q s˜ao concˆ entricas quando seus centros coincidem (C = Q, isto

é, 0 = dist(C, Q)) mas r < R, isto é, 0 < R − r. Pela defini¸cão de cir- cunferência (como L.G.), elas não se interceptam. De fato, Neste caso, 0 < dist( O , Q ) = R − r = R − r − dist(C, Q), e qualquer semirreta com origem em C intercepta ambas as circunferências em pontos que realizam a distância entre elas. O se encontra no disco aberto delimitado por Q , região esta que é dita o interior de Q ;

3. O é interior (não-concêntrica) a Q quando seus centros diferem (C 6 = Q, isto é, 0 < dist(C, Q)) e dist(C, Q) < R − r. Também neste caso, O se encontra no interior de Q . Temos a distância 0 < dist( O , Q ) = R − r − dist(C, Q) entre as circunferências, e a semirreta com origem em Q que passa por C intercepta ambas as circunferências em pontos que realizam a distância entre elas;

4. O tangencia Q interiormente quando seus centros diferem (C 6 = Q, isto é, 0 < dist(C, Q)) e dist(C, Q) = R − r. A semirreta com origem em Q que passa por C intercepta ambas as circunferências no ´ unico ponto comum a elas (ponto de tangˆ encia, que também é ponto de tangência para a ´ unica reta tangente comum a O e Q . Portanto, dist( O , Q ) = 0 = R − r − dist(C, Q);

5. O e Q são secantes quando seus centros diferem (C 6 = Q, isto é, 0 < dist(C, Q)) e R − r < dist(C, Q) < R + r. Elas se interceptam em exatamente dois pontos distintos, simétricos com rela¸cão à reta ←→ CQ.

Portanto, dist( O , Q ) = 0;

6. O tangencia Q exteriormente quando dist(C, Q) = R+r. Logo, seus centros diferem (C 6 = Q, isto é, 0 < dist(C, Q)). A reta ←→ CQ intercepta ambas as circunferências no ´ unico ponto comum a elas (ponto de tan- gˆ encia, que também é ponto de tangência para a ´ unica reta tangente comum a O e Q . Portanto, dist( O , Q ) = 0 = dist(C, Q) − (R + r);

7. O ´e exterior a Q quando dist(C, Q) > R + r. Logo, seus centros dife-

rem (C 6 = Q, isto é, 0 < dist(C, Q)) e, pela defini¸cão de circunferência

(como L.G.), elas n˜ao se interceptam. Neste caso, 0 < dist( O , Q ) =

dist(C, Q) − (R + r).

(14)

Podemos verificar que, de uma maneira geral, dist( O , Q ) ´e o maior dentre trˆes n´ umeros:

dist( O , Q ) = max { 0, (R − r) − dist(C, Q), dist(C, Q) − (R + r) } .

7. Outras curvas cˆ onicas n˜ ao-degeneradas

7.1. Equa¸c˜ oes e dados para elipses e hip´ erboles

Recordar que, para elipses e hip´erboles, dados dois pontos distintos F

¹

e F

²

(focos) no plano, o segmento de reta F

¹

F

²

´e dito eixo focal. Seja o n´ umero c =

¹2

dist(F

¹

, F

²

) > 0. O n´ umero 2c ´e dito distˆ ancia focal. Com isto:

Equa¸c˜ ao bifocal: Dado um n´ umero real a > c, a elipse E determinada pelos dados (F

¹

, F

²

, a) ´e o L.G. dos pontos X no plano tais que:

E : dist(X, F

¹

) + dist(X, F

²

) = 2a.

Dado um n´ umero real a tal que 0 < a < c, a hip´ erbole H determinada pelos dados (F

¹

, F

²

, a) ´e o L.G. dos pontos P no plano tais que:

H : | dist(P, F

¹

) − dist(P, F

²

) | = 2a.

Ambas as equa¸c˜oes podem ser expressas em coordenadas cartesianas;

Equa¸c˜ ao reduzida ou cartesiana:

⁷

Com os mesmos dados (F

¹

, F

²

, a), consideremos o sistema de coordenadas cartesianas Oxy determinado por: a origem O coincide com o centro C da curva, que ´e o ponto m´edio do segmento de reta F

¹

F

²

; o eixo Ox ´e a reta ←−→ F

¹

F

²

orientada no sentido do vetor −−→ F

¹

F

²

, e o sistema est´a orientado positivamente

⁸

. Com isto, C(0, 0), F

¹

( − c, 0), e F

²

(c, 0). Os pontos X(x, y) sobre a elipse E satisfazem, para b = √

a

²

− c

²

> 0:

E : x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1.

Os pontos X(x, y) sobre a hip´erbole Hsatisfazem, para b=√

c²−a²>0:

H : x

²

a

²

− y

²

b

²

= 1;

7Aplicamos o nome “equa¸cão cartesiana” às equa¸cões gerais para retas e planos, e à equa¸cão reduzida para curvas cônicas.

8Uma rota¸cão no sentido sinistrógiro (anti-horário) por um ângulo reto leva o eixo (orientado)Oxno eixo (orientado)Oy.

(15)

(Sistema de) equa¸c˜ oes param´ etricas: Consideremos os mesmos dados acima (F

¹

, F

²

, a) e o sistema de coordenadas acima.

A elipse admite a parametriza¸c˜ao abaixo x(θ) = a · cos (θ),

y(θ) = b · sen (θ),

onde o parˆametro θ admite v´arias escolhas de dom´ınio. Ex.: θ ∈ [0, 2π);

ou, se não nos importarmos com repeti¸cões de pontos à medida que o valor do parâmetro cresce, θ ∈ R . Tal parametriza¸cão é devida a

x(θ) a

²

+

y(θ) b

²

= (cos (θ))

²

+ (sen (θ))

²

= 1.

Uma das parametriza¸cões consagradas da hipérbole é:

x(θ) = a · sec (θ), y(θ) = b · tg (θ),

onde o parˆametro θ admite v´arias escolhas de dom´ınio. Ex.:

θ ∈

− π 2 , 3π

2 \ n π 2

o =

− π 2 , π

2 ∪

π 2 , 3π

2 ; ou θ ∈ ( − π, π] \ n

± π 2

o =

− π, − π 2

∪

− π 2 , π

2 ∪ π 2 , π i

. Os pontos retirados permitem que se passe de um ramo da hip´erbole ao outro.

Esta parametriza¸c˜ao ´e devida a:

x(θ) a

²

−

y(θ) b

²

= (sec (θ))

²

− (tg (θ))

²

= 1.

Outras parametriza¸cões consagradas envolvem as fun¸cões abaixo. Dado um n´ umero real B > 1 para servir de base para fun¸cões exponenciais:

f

B

: R −→ R

t 7−→ f

B

(t) = B

^t

+ B

⁻^t

2 g

B

: R −→ R

t 7−→ g

B

(t) = B

^t

− B

⁻^t

2 Estas fun¸c˜oes foram, aqui, denotadas arbitrariamente. No entanto, quando B = e (o n´ umero de Euler), elas s˜ao denominadas cosseno e seno hiperb´ olicos, e denotadas por cosh (t) e senh (t), respectivamente

⁹

. Tais fun¸cões são cont´ınuas e têm imagens Im(f

B

) = [1, + ∞ )

9Uma curiosidade útil em Cálculo 4 é: cosh^′(t) = senh (t) (sem troca de sinal), e senh^′(t) = cosh (t), de modo que cada uma destas fun¸cões é sua própria segunda derivada.

(16)

e Im(g

B

) = R . As restri¸cões de ambas as fun¸cões ao intervalo real [0, + ∞ ) são estritamente crescentes. Elas verificam as propriedades abaixo:

1. f

B

´e uma fun¸c˜ao par;

2. g

B

´e uma fun¸c˜ao ´ımpar; e

3. Para todo n´ umero real t, tem-se que (f

B

(t))

²

− (g

B

(t))

²

= 1.

Com isto, temos as seguintes parametriza¸c˜oes da hip´erbole H , onde os sinais + e − de x(t) correspondem, respectivamente, aos ramos dos lados direito e esquerdo de H :

x(t) = ± a · f

B

(t),

y(t) = b · g

B

(t), t ∈ R . Em particular:

x(t) a

²

− y(t)

b

²

= (cosh (t))

²

− (senh (t))

²

= 1.

Associados a ambas as curvas, temos os seguintes dados:

• A excentricidade

¹⁰

e = c/a (0 < e < 1 para E , e e > 1 para H ). A forma da curva cônica é determinada por e: duas curvas cônicas são figuras geométricas semelhantes se, e somente se, possuem mesma excentricidade;

• As retas diretrizes

¹¹

, dadas, respectivamente, por d

¹

: x = a/e e d

²

: x = a/e (verticais). Observemos que, para elipses e hip´erboles, a/e = a

²

/c;

• O parˆ ametro focal p = dist(F

¹

, d

¹

) = dist(F

²

, d

²

) = b

²

/c;

10Em geral, a excentricidade é uma medida decrelativa ao parâmetroa. Jáctambém é chamado de excentricidade linear. Uma circunferência satisfaz a defini¸cão “bifocal” coma igual ao raio eF¹=C=F², ou seja, os focos coincidem com o centro. Disto,c= 0∴e= 0 para circunferências. Também temos e = 1 para as parábolas. Em particular, todas as circunferências são semelhantes umas às outras, e todas as parábolas são semelhantes umas

`as outras.

11Vide a defini¸cão unificada de curvas cônicas por foco e diretriz na Subse¸cão 7.3..

(17)

• Os v´ ertices A

¹

( − a, 0), A

²

(a, 0), B

¹

( − b, 0), e B

²

(b, 0). Todos eles est˜ao sobre as curvas, exceto B

¹

e B

²

no caso da hip´erbole;

• Os v´ertices fornecem os segmentos de reta ditos eixo maior A

¹

A

²

e eixo menor B

¹

B

²

, cujos comprimentos s˜ao 2a e 2b, respectivamente.

Tais n´ umeros tamb´em chamados de eixos maior e menor. Da´ı, a e b serem denominados semieixos maior e menor, respectivamente.

Agora, muito cuidado: No caso da elipse, a > b mas, no caso da hi- p´erbole, a pode ser maior que, igual a, ou menor que b. Por isto, h´a os nomes alternativos eixo real ou transverso para A

¹

A

²

, e eixo imagin´ ario ou conjugado para B

¹

B

²

no caso da hip´ erbole;

• No caso da elipse, a curva passa pelos quatro v´ertices e est´a na interse-

¸c˜ao de duas regi˜oes: o retˆ angulo fundamental da elipse, dada por

− a ≤ x ≤ a; − b ≤ y ≤ b; e a coroa fundamental da elipse, que é a região fechada delimitada pelas circunferências concêntricas de raios a e b e centro na origem (centro da elipse); e

• No caso da hipérbole, também temos as retas ass´ıntotas, dadas por y = b x/a e y = − b x/a, respectivamente. Elas são as retas-suporte das diagonais da região denominada retˆ angulo fundamental da hi- p´ erbole: − a ≤ x ≤ a; − b ≤ y ≤ b.

Se tivermos a elipse e a hipérbole rotacionadas por um ângulo de π/2 radianos em torno da origem, todas as descri¸cões acimas ficam com x e y trocados. Em particular, a reta focal passa a ser o eixo Oy. As equa¸cões reduzidas ficam modificadas da seguinte maneira:

• Para a elipse, a equa¸c˜ao se distingue com o n´ umero a

²

(maior) no denominador correspondente ao y

²

, e o n´ umero b

²

(menor) no denominador correspondente ao x

²

:

y

²

a

²

+ x

²

b

²

= 1;

• Para a hip´erbole, que pode ter a maior que, igual a, ou menor que b, a equa¸c˜ao se distingue com o sinal de menos defronte x

²

:

y

²

a

²

− x

²

b

²

= 1.

(18)

7.2. Equa¸c˜ oes da par´ abola

Dados um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz) no plano, a par´ abola P determinada pelos dados (F, d) ´e o L.G. dos pontos X no plano tais que:

dist(X, F ) = dist(X, d). O v´ ertice V de P é o ponto médio do segmento cujas extremidades são F e a proje¸cão de F sobre d. O parˆ ametro da pa- r´ abola

¹²

p de P ´e p = dist(F, V ).

Aten¸c˜ ao: Neste texto e nas listas de exemplos e exerc´ıcios, chamaremos de parˆ ametro focal de P a distˆancia dist(F, d) = 2p.

Atribu´ımos excentricidade e = 1 às parábolas, correspondendo à defini¸cão por foco e diretriz na Subse¸cão 7.3. e ao fato de que todas as parábolas são figuras semelhantes umas às outras (possuem a mesma forma).

Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas Oxy determinado por: a origem O coincide com o vértice V da parábola P ; o eixo Ox é a reta ←→ F V , perpendicular a d, orientado de V para o foco F (p, 0); e o eixo orientado Oy é obtido por uma rota¸cão de Ox por π/2 radianos no sentido sinistrógiro (anti-horário). Com isto, a diretriz tem equa¸cão d : x = − p, P passa por V tendo F na região em que P é côncava, e admite as equa¸cões abaixo para seus pontos X(x, y):

Equa¸c˜ ao reduzida ou cartesiana: P : 4p x = y

²

;

(Sistema de) equa¸c˜ oes param´ etricas: Com a própria ordenada y como parâmetro, obtemos a seguinte parametriza¸cão para a parábola P :

 

 

 



x(t) = t

²

4p ,

y(t) = t, t ∈ R .

Estudamos a parábola em outras posi¸cões com rela¸cão à descri¸cão acima:

1. Refletindo o foco, a diretriz e a par´abola com rela¸c˜ao ao eixo Oy:

y

²

= − 4p x;

12Diversos autores usam a nota¸cãoapara dist(F, V), e a nota¸cãop= 2apara dist(F, V), de modo quepdenota parâmetro focal para todas as cônicas. Tais autores costumam usar o nome “parâmetro da parábola” para se referir ap, e não aa.

(19)

2. Rotacionando-se a parábola por um ângulo de π/2 radianos no sentido sinistrógiro (anti-horário) com centro na origem (vértice da parábola):

x

²

= 4p y; e

3. Tomando-se o item anterior, seguido de uma reflexão do foco, da diretriz e da parábola já obtidos com rela¸cão ao eixo Ox: x

²

= − 4p y .

7.3. Equa¸c˜ oes atrav´ es de defini¸c˜ oes unificadas Recordar que, para elipses, hip´erboles e par´abolas:

Defini¸c˜ ao por foco e diretriz: Sejam F (foco) um ponto no plano, d (diretriz) uma reta no plano tal que d não passa por F , e e (excentricidade) um n´ umero real positivo. A curva cônica não-degenerada C associada aos dados (F, d, e) é o L.G. dos pontos X do plano tais que:

C : dist(X, F ) = e · dist(X, d).

A curva é dita uma elipse, parábola ou hipérbole conforme 0 < e < 1, e = 1, ou e > 1. No caso da elipse E e da hipérbole H , as defini¸cões apresentadas nos itens anteriores se aplicam, observando-se que tanto (F

1

, d

1

, e) como (F

2

, d

2

, e) produzem (independentemente) descri¸cões completas de E e H através da defini¸cão por foco e diretriz;

Equa¸c˜ ao focal: O estudo desta equa¸cão é opcional. Seja C uma curva cô- nica não-degenerada definida por foco e diretriz (vide o item anterior) através dos seguintes dados: excentricidade e > 0; uma reta diretriz d dada pela equa¸cão cartesiana d : Ax + By + C = 0; e o foco F (x

⁰

, y

⁰

) correspondente a d. A expressão em coordenadas do fato de que tal curva C é o L.G. dos pontos X (x, y) no plano que satisfazem equa¸cão C : dist(X, F ) = e · dist(X, d) fornece:

C : (x − x

⁰

)

²

+ (y − y

⁰

)

²

= (kAx + kBy + kC)

²

, onde k =

r e

²

A

²

+ B

²

Observando que k 6 = 0, temos que a reta diretriz também admite a equa¸cão cartesiana d : lx + my + n = 0, onde l = kA, m = kB e n = kC . Da´ı, a equa¸c˜ ao focal de C relativa a F e d é:

C : (x − x

⁰

)

²

+ (y − y

⁰

)

²

− (lx + my + n)

²

= 0.

Obs. Cada elipse e cada hip´erbole possui duas equa¸c˜oes com este

formato, cada uma com rela¸c˜ao a um par (foco, reta diretriz) da curva;

(20)

Equa¸c˜ ao geral: Todas as curvas cônicas admitem equa¸cão com formato da equa¸cão geral do 2

^o

grau em x e y, ou seja,

C : Ax

²

+ Bxy + Cy

²

+ Dx + Ey + F = 0,

a qual ser´a estudada na 3

^a

Unidade. Quando B 6 = 0, usaremos rota¸cões para identificar as curvas. Podemos também necessitar de transla¸cões para tal reconhecimento. Por outro lado, algumas equa¸cões gerais podem ser facilmente transformadas na equa¸cão reduzida (cartesiana) por meio de manipula¸cões algébricas.

Finalmente, recordar que discutimos como adaptar as descri¸c˜oes e equa-

¸c˜oes acima ao se trocarem os pap´eis dos eixos Ox e Oy. Na 3

^a

Unidade,

veremos como adaptá-las a transla¸cões e rota¸cões do sistema de coordenadas

cartesianas.