Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 1
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Ciˆ encia da Computa¸c˜ ao 1
oSemestre de 2007
Fatorial
Fa¸ca um programa que permita calcular o fatorial de n´umeros relativamente grandes como o fatorial de 10000.
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 2
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Decomposi¸ c˜ ao
Fa¸ca um programa para gerar a decomposi¸c˜ao de um n´umero inteiro positivo na soma de todos os poss´ıveis fatores como mostrado a seguir. Por exemplo, paran= 5, temos:
5 4 + 1 3 + 2 3 + 1 + 1 2 + 2 + 1 2 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 3
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Interpretador
Um computador possui 10 registradores e 1000 palavras de mem´oria RAM. Cada registrador ou posi¸c˜ao de mem´oria armazena um inteiro de trˆes d´ıgitos entre 0 e 999. Instru¸c˜oes s˜ao codificadas como inteiros de trˆes d´ıgitos da seguinte forma:
100 Pare.
2dn Registradord ←n.
Atribui ao Registradord o valor den(0≤n≤9).
3dn Registradord ←Registradord +n.
Somanao Registradord.
4dn Registradord ←Registradord ×n.
Multiplica Registradord porn.
5ds Registradord ←Registradors.
Atribui ao Registradord o valor do Registradors. 6ds Registradord ←Registradord + Registradors.
Soma o valor do Registradorsao Registradord. 7ds Registradord ←Registradord ×Registradors.
Multiplica o Registradord pelo valor do Registradors. 8da Registradord ←Mem´oria[Registradora].
Atribui ao Registradord o valor na posi¸c˜ao de mem´oria cujo endere¸co est´a no Registradora. 9sa Mem´oria[Registradora]←Registradors.
Atribui `a posi¸c˜ao de mem´oria cujo endere¸co est´a no Registradora o valor do Registradors. 0ds Contador de Programa←Registradord, se Registradors6= 0.
Atribui ao contador de programa (Program Counter) o Registradord, se o Registradorsfor diferente de 0. Caso o Registradors seja igual a 0, n˜ao faz nada.
Todos os registradores contˆem inicialmente0. O conte´udo inicial da mem´oria RAM ´e lido da entrada padr˜ao. A primeira instru¸c˜ao a ser executada est´a no endere¸co de mem´oria0. Todos os resultados de opera¸c˜oes aritm´eticas s˜ao feitas m´odulo 1000. Posi¸c˜oes de mem´oria n˜ao especificadas possuem o valor0.
A entrada possui uma seq¨uˆencia de instru¸c˜oes, uma por linha, sendo no m´aximo 1000 instru¸c˜oes.
A sa´ıda deve fornecer:
(a) N´umero de instru¸c˜oes executadas incluindo a instru¸c˜ao de Pare;
(b) O valor dos registradores;
(c) O valor das posi¸c˜oes de mem´oria que foram utilizadas para dados, com seus respectivos endere¸cos.
Exemplo de entrada de dados:
299 492 495 399 492 495 399 283 279 689 078 100 000 000 000
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 4
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M´ axima Soma
Dado um vetor comn n´umeros inteiros, qual ´e a m´axima soma encontrada em sub-vetor cont´ıguo deste vetor? Se todos n´umeros forem negativos assumir que a soma vale 0.
Seja o seguinte vetor:
84 31 −41 59 26 −53 58 97 −93 −23
Para esse vetor a m´axima soma ´e 187, dada pela soma dos seguintes elementos cont´ıguos:
31 −41 59 26 −53 58 97 −93 −23 84
Assuma que a primeira posi¸c˜ao do vetor tem ´ındice 1. Os dados de entrada s˜ao fornecidos em duas linhas:
1a Linha: Quantidade de elementos do vetor;
2a Linha: Elementos do vetor.
Exemplo de entrada:
10
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
A sa´ıda deve fornecer os ´ındices inicial e final do sub-vetor e o valor da m´axima soma.
Exemplo de sa´ıda:
2 6 187
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 5
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Quadrado M´ agico
Quadrado M´agico ´e um quadrado de lado n, onde a soma dos n´umeros das linhas, das colunas e das diagonais ´e constante. Em cada posi¸c˜ao do quadrado pode-se colocar um n´umero entre 1 en2, sendo que cada n´umero s´o pode aparecer uma ´unica vez.
Exemplo de quadrado m´agico de ladon= 3:
9 5 1 4 3 8
15 15 15 15 15
15 15
2 7 6 15
Pede-se para gerar o quadrado m´agico paran≥3.
Quadrado M´agico e Arte. Um quadrado m´agico de ladon= 4 aparece na obra “Melancolia I” (1514) de Albrecht D¨urer, um dos maiores artistas alem˜aes do Renascimento. Veja a figura 1 com o detalhe do quadrado m´agico no lado direito.
Figura 1: “Melancolia I, como D¨urer denomina a gravura que mostra um c´eu noturno iluminado apenas por um cometa, ´e o trabalho de maior conte´udo simb´olico dentre todos os trabalhos deste artista. A mulher robusta refletindo sobre a f´ormula que faz o mundo ´obvio ´e n˜ao somente uma vers˜ao feminina de Fausto, compar´avel ao Jeremiah pintado por Michelangelo dois anos antes no teto da Capela Sistina, como tamb´em o oposto de Jerome em seu estudo. O santo dominou o caos que envolve Melancolia e colhe os frutos de seus esfor¸cos incans´aveis, alcan¸cando o ´apice da vida. Melancolia ainda procura, em partes, pelo todo; ela ainda n˜ao atingiu a despreocupa¸c˜ao de um estudo.
Abandonado `a inclemˆencia da natureza durante a noite, o arco-´ıris anuncia sucesso. Acima da mulher, na parede s´olida da casa, h´a uma balan¸ca, uma ampulheta, um sino e um quadro m´agico, em que a soma dos n´umeros em qualquer dire¸c˜ao ´e 34. A base do trabalho de D¨urer era a adi¸c˜ao e a mensura¸c˜ao exatas e, em Melancolia, s˜ao uma base segura para organizar uma nova estrutura para o mundo, a partir de utens´ılios de arquitetura e carpintaria. O bloco multifacetado, colossal, contrasta com a harmonia perfeita da esfera iluminada no primeiro plano. `A ´epoca, muito se teorizava sobre os quatro humores humanos: sang¨u´ıneo, fleum´atico, col´erico e melanc´olico. Esta gravura em metal ´e um trabalho de arte de significˆancia filos´ofica atemporal.” (Horst Michael, Albrecht D¨urer – The Complete Engravings, Artline Editions, 1987.)
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 6
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Problema das n rainhas
No jogo de xadrez, a rainha pode se mover em qualquer dire¸c˜ao (linha, coluna ou diagonal) por qualquer n´umero de casas. Se a rainha encontra outra pe¸ca ent˜ao ela ´e capaz de tomar essa pe¸ca. Por esta raz˜ao, ´e dito que a rainha
“ataca” uma pe¸ca se ela est´a na mesma linha, coluna ou diagonal.
O problema das n rainhas consiste em colocar, num tabuleiro de tamanho n×n, n rainhas sem que nenhuma rainha ataque uma outra rainha posicionada no tabuleiro.
A figura 1 mostra uma poss´ıvel solu¸c˜ao para instˆancia desse problema com 8 rainhas.
Q Q
Q
Q Q
Q Q
Q
Figura 1: Problema das 8 rainhas (cada uma representada pela letra Q)
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 7
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Fractais
Fractais s˜ao padr˜oes geom´etricos recursivos que seguem certas regras de forma¸c˜ao.
O objetivo deste trabalho ´e fazer um programa para ler as regras de forma¸c˜ao dos fractais e gerar esses fractais at´e um certo est´agio ou n´ıvel. Al´em dos fractais abaixo, dois novos padr˜oes devem ser definidos.
A sa´ıda deve ser um arquivo contendo os “comandos” para gerar o fractal. Sugere-se fortemente que vocˆe tente exibir o fractal gerado utilizando um pacote gr´afico.
A seguir, est´a um texto em inglˆes, que j´a havia escrito, e que serve de especifica¸c˜ao deste problema.
Problem Description
There are fractal algorithms that generate a simple polygon chain. For example, algorithms in the so called L-systems or string rewriting systems (deterministic fractals), and Brownian motion fractals (random fractals).
String rewriting systems can be used to generate classic fractal curves such as the von Koch snowflake and the space filling curves of Peano and Hilbert. Those fractals can be generated by providing:
• the axiom—a string of characters (each one having a meaning) that is used to start the generation of the fractal and an angleθ,
• the production rules—indicate how each character of the axiom can be replaced, and
• the number of cycles or stages—indicate the level of recursivity.
Basically, the characters that appear on the axiom and production rules are:
F: draw a line forward +: turn right byθ degrees -: turn left byθ degrees
The following fractals are shown below:
1. von Koch snowflake–classic 2. von Koch snowflake–square wave 3. von Koch snowflake–sine wave 1 4. von Koch snowflake–sine wave 2 5. Hilbert space filling
6. Peano space filling 7. Koch island
Fractal 1: von Koch Snowflake–Classic
Shown in Figure 1.
Axiom: F θ=π3
Rule: F→F-F++F-F
The total number of pointspgenerated inncomplete stages is:
p= 4n. n p
1 4
2 16 3 64 ... ...
T
TT
von Koch snowflake curve (classic)—first stage
T
TT
T TT
T
TT
T
TT T
TT von Koch snowflake curve (classic)—first two stages Figura 1: Fractal: von Koch snowflake curve (classic)
Fractal 2: von Koch Snowflake–Square Wave
Shown in Figure 2.
Axiom: F θ=π2
Rule: F→F-F+F+FF-F-F+F
The total number of pointspgenerated inncomplete stages is:
p= 8n.
n p
1 8
2 64 3 512
... ...
von Koch snowflake curve (square wave)—first stage
von Koch snowflake curve (square wave)—first two stages
Figura 2: Fracal: von Koch snowflake curve (square wave)—first two stages
Fractal 3: von Koch Snowflake–Sine Wave 1
Shown in Figure 3.
Axiom: F θ=π3
Rule: F→F-F++FF--F+F
The total number of pointspgenerated inncomplete stages is:
p= 6n.
n p
1 6
2 36 3 216
... ...
Fractal 4: von Koch Snowflake–Sine Wave 2
Shown in Figure 4.
Axiom: F θ=π
T
TT
T TT
von Koch snowflake curve (sine wave 1)—first stage
T T
TT TT
TT T
T
TT
TT
TT TT
TT
T T
TT
von Koch snowflake curve (sine wave 1)—first two stages Figura 3: Fractal: von Koch snowflake curve (sine wave 1) The total number of pointspgenerated inncomplete stages is:
p= 8n
n p
1 8
2 64 3 512
... ...
Fractal 5: Hilbert Space Filling
Shown in Figure 5.
Axiom: X θ=π2
Rules: X→-YF+XFX+FY- Y→+XF-YFY-FX+
The total number of pointspgenerated inncomplete stages is:
p= 4n−1.
n p
1 3
2 15 3 63 ... ...
T TT
T
TT
von Koch snowflake curve (sine wave 2)—first stage
TT TT
TT
TT
TT
TT TT TT TT
TT TT
TT TT
TT TT TT
TT
TT
TT TT
von Koch snowflake curve (sine wave 2)—first two stages Figura 4: Fractal: von Koch snowflake curve (sine wave 2)
Hilbert filling curve—first stage
Hilbert filling curve—first two stages
Figura 5: Fractal: Hilbert filling curve—first two stages
Fractal 6: Peano Space Filling
Shown in Figure 6.
Axiom: X θ=π2
Rules: X→XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX Y→YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY
The total number of pointspgenerated inncomplete stages is:
p= 9n−1.
n p
1 8
2 80 3 728
... ...
Peano filling curve—first stage
Peano filling curve—first two stages Figura 6: Peano filling curve—first two stages
Fractal 7: Koch Island
Shown in Figure 7.
Axiom: F+F+F+F θ=π2
Rule: F→F+F-F-FFF+F+F-F
The total number of pointspgenerated inncomplete stages is:
p= 4×9n−1. Note: a closed line will be produced if allppoints are generated.
n p
1 4
2 36 3 144
... ...
Koch island curve—first stage
Koch island curve—first two stages Figura 7: Koch island curve—first two stages
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 8
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Lista Circular Duplamente Encadeada
Seja a lista circular duplamente encadeada apresentada na figura 1 com uma c´elula cabe¸ca.
L
Figura 1: Exemplo de uma lista circular duplamente encadeada Implemente as seguintes opera¸c˜oes sobre o TAD Lista Duplamente Encadeada:
1. Criar uma lista vazia.
2. Inserir um novo item imediatamente ap´os o i-´esimo item. Se oi-´esimo item n˜ao existe, ent˜ao esse item deve ser inserido no final da lista.
3. Retirar o i-´esimo item.
4. Localizar oi-´esimo item para examinar e/ou alterar o conte´udo de seus componentes.
5. Pesquisar a ocorrˆencia de um item com um valor particular em algum componente
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 9
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Matrizes Esparsas
Matrizes esparsas s˜ao matrizes nas quais a maioria das posi¸c˜oes s˜ao preenchidas por zeros. Para estas matrizes podemos economizar um espa¸co significativo de mem´oria se apenas os termos diferentes de zero forem armazenados.
As opera¸c˜oes usuais sobre estas matrizes como somar, multiplicar e inverter tamb´em podem ser feitas em tempo muito menor se n˜ao armazenarmos as posi¸c˜oes que cont´em zeros.
Seja a matriz esparsa
M =
50 0 0 0
10 0 20 0
0 0 0 0
−30 0 −60 5
A representa¸c˜ao da matriz esparsaM, usando listas duplamente encadeadas, est´a apresentada na figura 1.
Figura 1: Exemplo de uma matriz esparsa
Opera¸ c˜ oes
Implemente as seguintes opera¸c˜oes sobre o TAD Matriz Esparsa:
Lˆe matriz esparsa. Esta opera¸c˜ao lˆe de um arquivo de entrada o tamanho m×n(linhas e colunas) da matriz esparsa, seguido dos elementos diferentes de zero da matriz e monta a estrutura definida anteriormente. Cada elemento da matriz diferente de zero ´e representado pela tripla hi, j,valori(linha, coluna, valor dessa posi¸c˜ao). Os elementos devem ser fornecidos em ordem crescente de linha e, para cada linha, em ordem crescente de coluna. Por exemplo, para a matrizM acima, a entrada seria:
4 4 1 1 50 2 1 10 2 3 20 4 1 -30 4 3 -60 4 4 5
Soma matriz esparsa. Esta opera¸c˜ao recebe duas matrizesAeB e retorna a soma na matrizC.
Multiplica matriz esparsa. Esta opera¸c˜ao recebe duas matrizesAeB e retorna o produto na matrizC.
Imprime matriz esparsa. Esta opera¸c˜ao imprime cada linha da matriz recebida, inclusive os elementos iguais a zero.
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 10
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Caminhamentos em ´ Arvore Bin´ aria de Pesquisa
20
12
8
F1
B
B B
BB
11
F2
B
B B
BB F3
@
@
@
@
@16
14
F4
B
B B
BB F5
B B
B BB
F6
H HH
H HH
HH
HHH 28
24
22
F7
B
B B
BB F8
J J
J JJ
26
F9
B
B B
BB F10
%
%
%
%% e e
e ee
35
F11
B B
B BB F12
Figura 1: Exemplo de uma ´arvore bin´aria de pesquisa.
1. Escreva um procedimento recursivo baseado em um dos caminhamentos em ´arvore bin´aria para calcular a altura dessa ´arvore.
2. Em cada entrada da tabela abaixo, diga sim se a combina¸c˜ao linha/coluna ´e sempre verdadeira e n˜ao, caso contr´ario.
pr´e-ordem(n)≺ pr´e-ordem(m)
in-ordem(n) ≺ in-ordem(m)
p´os-ordem(n)≺ p´os-ordem(m) nest´a a esquerda dem
nest´a a direita dem n´e um ancestral dem
3. O caminhamento por n´ıvel de uma ´arvore primeiro lista a raiz, depois todos os n´os que est˜ao no n´ıvel 1, depois todos os n´os no n´ıvel 2, etc. Escreva um programaO(n) (onden´e o n´umero de n´os na ´arvore) para listar todos os n´os de uma ´arvore por n´ıvel (em cada n´ıvel, do n´o mais `a esquerda para o mais `a direita).
4. Escreva um procedimento para listar todos os caminhos da raiz at´e os n´os folhas.
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 11
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Pesquisa e Substitui¸ c˜ ao em Texto
Um das situa¸c˜oes mais comuns que existe quando est´a sendo feita a edi¸c˜ao de um texto, ou quando j´a existe o texto editado, ´e substituir determinadas seq¨uˆencias de caracteres (strings) por outras. Isto pode ser feito facilmente por um programa editor de texto.
No entanto, uma facilidade que os editores de texto n˜ao possuem ´e aplicar v´arias substitui¸c˜oes a um ou mais arquivos de texto. Por exemplo, imagine que vocˆe possui v´arios arquivos html (HyperText Markup Language) e deseja fazer uma substitui¸c˜ao como mostrado na tabela 1.
String inicial String final
á ´a
ã ~a
â ^a ..
. ...
Tabela 1: Exemplo de v´arias substitui¸c˜oes
O objetivo deste trabalho ´e ler um arquivo de entrada que cont´em uma tabela de substitui¸c˜oes e aplic´a-la a um ou mais arquivos especificados pelo usu´ario.
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 12
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O Jogo da Zebra
H´a cinco casas com cinco cores diferentes. Em cada casa, vive uma pessoa de nacionalidade diferente, tendo uma bebida, uma marca de cigarros e um animal favoritos. A configura¸c˜ao ´e:
• O Inglˆes vive na casa vermelha;
• O Espanhol tem um c˜ao;
• O Norueguˆes vive na primeira casa a partir da esquerda;
• Na casa amarela, o dono gosta de Marlboro;
• O homem que fuma Chesterfields vive na casa ao lado do homem que tem uma raposa;
• O Norueguˆes vive ao lado da casa Azul;
• O homem que fuma Winston tem uma iguana;
• O homem que fuma Luky Strike bebe suco de laranja;
• O Ucraniano bebe ch´a;
• O Portuguˆes fuma SG Lights;
• Fuma-se Marlboro na casa ao lado da casa onde h´a um cavalo;
• Na casa verde, a bebida preferida ´e o caf´e;
• A casa verde ´e imediatamente `a direita (`a sua direita) da casa branca;
• Bebe-se leite na casa do meio.
A pergunta ´e: Onde vive a Zebra, e em que casa se bebe ´agua?
Exerc´ıcio de Programa¸ c˜ ao 13
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Maior Sub-seq¨ uˆ encia em Comum
O DNA ´e formado de ´acido desoxirubonucl´eico. As fitas de DNA s˜ao longos pol´ımeros formados por milh˜oes de nucleot´ıdeos ligados uns aos outros. A denomina¸c˜ao dos nucleot´ıdeos depende da base nitrogenada que o comp˜oe. O nome dos quatro nucleot´ıdeos do DNA s˜ao adenina, guanina, citosina e timina. Eles ser˜ao referidos comoA,G,C, e Trespectivamente. Por exemplo, o DNA de um organismo pode ser
S1=ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA enquanto o DNA de um outro organismo pode ser
S2=GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA.
Um dos objetivos de comparar duas fitas de DNA ´e determinar “qu˜ao similar” elas s˜ao a partir de uma m´etrica de similaridade.
Pode-se definir similaridade como:
1. Se uma fita ´e uma subseq¨uˆencia (substring) da outra;
2. Quantas mudan¸cas s˜ao necess´arias para transformar uma fita em outra;
3. Uma terceira fitaS3 onde os nucleot´ıdeos que aparecem nesta fita aparecem emS1 eS2 na mesma ordem de S3mas n˜ao necessariamente de forma consecutiva.
Neste ´ultimo caso, a maior fitaS3 comum aS1 eS2´e
S3 = G T C G T C G G A A G C C G G C C G A A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
S1 = A C C G G T C G A G T G C G C G G A A G C C G G C C G A A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
S2 = G T C G T T C G G A A T G C C G T T G C T C T G T A A A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Fa¸ca um algoritmo para achar a maior subseq¨uˆencia comum de duas fitas de DNA.
