EXAME DE INGRESSO 1

EXAME DE INGRESSO

1

Semestre/2007

Parte 2

20/09/2006

Instru¸ c˜ oes

• Verifique se a folha de respostas que vocˆe recebeu corresponde ao c´odigo que identifica o seu nome na lista afixada na porta de entrada da sala.

N ˜AO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA.Ela dever´a ser identificada ape- nas atrav´es do c´odigo. Destaque o t´ıquete grampeado e verifique se ele corresponde ao seu nome e ao c´odigo de identifica¸c˜ao. Guarde-o como comprovante.

• Esta prova constitui a segunda parte do exame de ingresso `a p´os-gradua¸c˜ao do IFUSP. Ela cont´em problemas de Eletromagnetismo (E), Mecˆanica Quˆantica (Q) e F´ısica Moderna (M). As quest˜oes de cada disciplina tˆem o mesmo valor. As cinco disciplinas tˆem o mesmo peso na nota final. A nota final de F´ısica Moderna ser´a obtida a partir dos resultados das quest˜oes de ontem e hoje.

• O tempo de dura¸c˜ao dessa prova ser´a de4 horas. O tempo m´ınimo de permanˆencia na sala ´e de 90 minutos. Procure fazer todos os problemas.

• Resolva cada quest˜ao na p´agina correspondente da folha de respostas. As p´aginas ser˜ao reorganizadas para a corre¸c˜ao. Se precisar de mais espa¸co, fale com o professor respons´avel pela aplica¸c˜ao do exame, que lhe dar´a uma folha extra.

N˜ao esque¸ca de escrever, na folha extra, o n´umero da quest˜ao e o seu c´odigo. Use uma folha extra diferente para cada quest˜ao.

Boa prova!

E1. Uma onda plana uniforme incide, do v´acuo, em uma placa de vidro que possui ´ındice de refra¸c˜ao n₂=1,5. O campo el´etrico desta onda ´e:

E~_i = 4 cos 4,0π×10⁶z−1,2π×10¹⁵t ˆe_x onde todas as grandezas s˜ao expressas no SI. As trajet´orias dos raios luminosos correspondentes (incidente, refletido e transmitido) s˜ao mostradas na figura ao lado.

(a) Transcreva a figura no seu caderno de resposta e, para cada onda, desenhe o campo magn´etico B~ e o vetor de onda~k correspondentes (preocupe-se apenas com a dire¸c˜ao e sentido dos vetores).

(b) Determine a velocidade de propaga¸c˜ao, o comprimento de onda e a freq¨uˆencia das ondas incidente, refletida e transmitida.

(c) A partir de uma das equa¸c˜oes de Maxwell determine o campo magn´etico da onda incidente e tamb´em o vetor de Poynting correspondente.

E2. Considere um capacitor plano, de pla- cas paralelas muito grandes, no v´acuo, com densidades de carga +σ e −σ, que encontra-se em repouso no referencial do laborat´orio.

(a) Qual ´e o campo el´etrico e o campo magn´etico no interior do capacitor, medidos por um observador que encontra-se no referencial do laborat´orio (em repouso em rela¸c˜ao ao capacitor)?

(b) Calcule os vetores campo el´etrico e magn´etico no interior do capacitor, medidos por um observador que encontra-se em um referencial S⁰ (ver figura acima), movendo-se ao longo do eixox com velocidade V constante.

(c) Supondo agora o observador movendo-se ao longo do eixo z (perpendicular- mente aos planos das placas), com velocidade constante V, calcule novamente os vetores campo el´etrico e magn´etico no interior do capacitor.

E3. Em uma experiˆencia de laborat´orio um estudante, para determinar a constante de tempo τ = RC de um capacitor comercialC = 1,0µF, montou o circuito da figura abaixo, utilizando um resistor de 10 MΩ e uma pilha de 1,5 V. Assim, quando a chave S₁ ´e fechada e a S₂ aberta, o capacitor ´e carregado at´e a m´axima tens˜ao. Em t = 0 s, a chave S1 ´e aberta e a S2 ´e fechada, descarregando o capacitor.

(a) Para o processo de descarga, encontre a equa¸c˜ao do circuito, resolvendo-a em Q, e mostre que V = V₀exp(−t/RC) corresponde `a express˜ao que fornece a tens˜ao no capacitor em fun¸c˜ao do tempo.

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(b) Para realizar a medida de τ=RC o estudante optou por medir o tempo (t_1/2) que leva para que a tens˜ao no capacitor seja exatamente a metade da tens˜ao inicial. Para isto, ele utilizou um mult´ımetro e um cronˆometro manual. O pro- cedimento foi realizado 10 vezes e os resultados est˜ao representados na tabela abaixo.

t_1/2 (s) 8,12 8,12 8,15 8,11 8,13 8,14 8,13 8,15 8,12 8,14 Ap´os calcular o valor m´edio utilizando uma calculadora, o estudante escreveu em seu relat´orio queht_1/2i= 8,131±0,0137 s.

Vocˆe concorda com a forma com que ele expressou o valor o valor m´edio de t_1/2? Justifique. Se n˜ao concorda, como vocˆe expressaria o valor do tempo m´edio medido da maneira correta?

(c) A partir do valor arredondado de ht_1/2i=8 s (para uma r´apida avalia¸c˜ao dos resultados), determine o valor experimental da constante de tempo τ_exp e com- pare com o seu valor nominal τ_nominal.

(d) Construa um gr´afico da tens˜ao (eixo y) em fun¸c˜ao do tempo (eixo x) que repre- sente a descarga do capacitor. Mostre neste gr´afico, de uma maneira aproximada, os dados mais representativos da experiˆencia (V₀, τ,t_1/2).

Q1. Um feixe de part´ıculas com spin 1/2 incide a partir da esquerda no sistema exibido na figura abaixo. Ap´os passar por A, as part´ıculas encontram-se no estado de spin associado ao autovalor +~/2 de S_z.

A B

Responda justificando:

(a) Se o aparato B mede a componenteydo spin, quais s˜ao os resultados poss´ıveis que B pode fornecer?

(b) Qual a probabilidade de B fornecer como resultado~/2?

Q2. Considere os operadores associados ao momento angular orbitalL_x, L_y e L_z. Supo- nha que o estado do sistema ´e dado por

Ψ =N

(1−i)Y_3,1+iY_2,1+ 2Y_1,1 .

onde N ´e uma constante e Y_lm s˜ao os harmˆonicos esf´ericos propriamente normaliza- dos.

(a) Encontre N para que Ψ esteja normalizada.

(b) Este estado ´e autovetor de L²? Se ´e, qual ´e o autovalor correspondente? Se n˜ao, qual ´e o valor esperado (m´edio) de L²?

(c) Qual a incerteza de L_z neste estado?

(d) Qual o valor esperado de L_y?

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Q3. Considere os estados de um el´etron numa mol´ecula diatˆomica formada pelos ´atomos E e D onde a distˆancia ED ´e igual a d. Denotamos por |ψ_Ei e|ψ_Di os autovetores de um observ´avel B o qual corresponde ao el´etron estar localizado na vizinhan¸ca dos ´atomos E ou D respectivamente:

B|ψ_Ei=−d

2 |ψ_Ei, B|ψ_Di= +d 2 |ψ_Di.

O hamiltoniano do sistema na base {|ψ_Ei,|ψ_Di} ´e dado por H =

E0 −a

−a E₀

onde a >0.

(a) Quais os valores poss´ıveis da energia do sistema?

(b) Qual ´e a probabilidade de encontrar o el´etron na vizinhan¸ca de E se o sistema est´a no estado fundamental?

(c) Considere que o el´etron est´a no estado |ψ_Ei para t = 0. Obtenha o estado do sistema como fun¸c˜ao do tempo.

Q4. Considere um rotor quˆantico com hamiltoniana H =−~²

2I

∂²

∂ϕ² +λV(ϕ), onde V(ϕ) = sin(2ϕ).

(a) Escreva os n´ıveis de energia e autofun¸c˜oes n˜ao perturbados do sistema (λ= 0).

Discuta suas degenerescˆencias. Use a condi¸c˜ao de contorno Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ+ 2π).

(b) Calcule a corre¸c˜ao da energia do estado fundamental na mais baixa ordem n˜ao nula de perturba¸c˜ao.

(c) Qual a corre¸c˜ao para a fun¸c˜ao de onda?

M3. Um ´atomo de hidrogˆenio est´a em seu primeiro estado excitado (n = 2). Usando o modelo de Bohr para o ´atomo, calcule as grandezas abaixo, expressando seus resultados nas unidades que achar conveniente:

(a) o raio da ´orbita do el´etron, (b) o momento linear do el´etron,

(c) o momento angular do el´etron, (d) sua energia cin´etica,

(e) sua energia potencial.

M4. A vida-m´edia pr´opria de um p´ıon ´e 3,6×10⁻⁸ s. Se um feixe de p´ıons tem velocidade de 0,8c:

(a) qual ´e a vida-m´edia das part´ıculas no referencial do laborat´orio?

(b) que distˆancia elas percorrem, em m´edia, antes de se desintegrarem?

(c) qual seria a resposta do ´ıtem b) se n˜ao existissem efeitos relativ´ısticos?

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