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SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE EMPACOTAMENTO BIDISPERSIVO DE ESFERAS
Fabio Francisco de Almeida Junior1, Carlos Handrey Araújo Ferraz2
Resumo: Neste artigo, simulações de dinâmica molecular (DM) foram realizadas para estudar o processo de empacotamento de partículas esféricas em escala micrométrica. As forças de contato e as forças de longo alcance foram levadas em consideração utilizando o potencial de Lennard-Jones. O trabalho tem como objetivo analisar todo o processo de empacotamento, verificando a variação de cada parâmetro ao longo do decorrer das simulações. Além disso, compreender o movimento de interação de partículas com partículas para que estas interações possam se aproximar fielmente da realidade. O processo adotado se chama bidispersivo, pois as partículas assumirão somente dois tamanhos numa relação de 1 para 2, além de variarmos as proporções na distribuição dessas partículas. Várias quantidades físicas e propriedades foram consideradas, incluindo a densidade de empacotamento, número médio de coordenação, energia cinética e a função de distribuição radial (FDR). Verificou-se que a dinâmica de empacotamento é sensível ao tipo de distribuição. Os resultados da simulação mostraram que tanto a densidade de empacotamento quanto o número médio de coordenação não tiveram mudanças significativas com o aumento do potencialconsiderado.
Palavras-chave: Dinâmica molecular 1. Empacotamento 2. Lennard-Jones 3. Bidispersivo 4. Densidade 5.
1. INTRODUÇÃO
Nas últimas décadas a análise do empacote de partículas tem adquirido grande valor na indústria por causa do enorme número de aplicações possíveis, principalmente na fabricação de produtos com diferente materiais. O aprendizado do comportamento, arranjo e composição química da matéria tem sido alvo de estudo da ciência durante muito tempo. A busca pela plenitude deste conhecimento tem como objetivo compreender em sua totalidade as propriedades envolvidas em cada material. Podendo a engenharia fabricar, sintetizar e aplicar os materiais com determinadas propriedades em funções da exigência de comportamento daquele material.
Pesquisas com líquidos moleculares, coloides e meios granulares podem, em certas situações apresentar comportamento parecido nas suas transições de fase vítrea. Os sistemas coloidais compostos por esferas rígidas, exibem uma fase fluida com densidade de 0 a valores intermediários, cristalização congelada a 0,494 e transição de fusão a 0,545. O sistema coloidal pode ser comprimido até o ponto de empacotamento próximo de 0,74, se estiver acima do ponto de fusão onde o estado de equilíbrio é cristalino. Logo, um aumento na quantidade de polidispersividade (ou seja, partículas com tamanhos diferentes) no sistema pode impedir a cristalização [1]. Sendo assim, o sistema pode ser facilmente "supercomprimido" acima da transição de congelamento sem nucleação ou crescimento de cristais.
Simulações relacionadas ao empacotamento de partículas tem possibilitado a modelagem de processos complexos na engenharia de materiais e na física. Pesquisas sobre líquidos ideais [2], materiais amorfos [3], compostos cerâmicas [4], vidros [5], materiais granulares [6], emulsões [7] e sinterização [8], utilizam o estudo de empacotamento. Algumas propriedades podem variar a depender de como ocorre o desenrolar do empacotamento.
Propriedades como densidade final, o número de coordenação (número de partículas vizinhas em contato), porosidade e a distribuição radial. O tamanho da partícula, o formato e as forças coesivas nas partículas podem influenciar no resultado final das propriedades.
Em micro partículas ou menores, as forças eletrostáticas e as de van der Waals influenciam no movimento das partículas, pois dominam o processo. Que podem formar aglomerados locais de partículas, dependendo da natureza das partículas envolvidas. A força de van der Waals provém de três diferentes interações dos tipos: “dipolo-dipolo instantâneo”, conhecidas como Forças de London; “dipolo-dipolo permanente”, conhecidas como Forças de Keesom; e “dipolo induzido dipolo permanente”, conhecidas como Forças de Debye[9].
Algumas simulações computacionais já foram realizadas para compreender o empacotamento centrípeto de esferas com somente um tamanho aplicando uma versão simplificada do método dos elementos distintos (em inglês, distinct element method - DEM) afim de entender os efeito das forças de van der Waals e as forças de atrito, presentes nos processos de empacotamento de esferas rígidas, mas também não foi considerado a distribuição do tamanho das partículas nestes trabalhos. [10]. Uma opção viável a facilitar as simulações, principalmente evitando a representação atômica completa de moléculas ou macromoléculas e ainda assim representar as forças coesivas entre as partículas é utilizar uma versão modificada do potencial de Lennard-Jones (LJ) que tem sido empregada com sucesso em sistemas de cristal líquido, proteínas e moléculas de agua [11] que são sistemas macro moleculares, entretanto a aplicação num sistema micro pode ser garantida desde que percebamos que quando duas microesferas (com raio R) são separadas por uma certa distância D >> R, o potencial efetivo é análogo àquele
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO - UFERSA CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA Trabalho de Conclusão de Curso (2020).
entre duas moléculas, isto é, caindo com 1 D6. Com o emprego do potencial LJ é possível variar a magnitude de sua energia podendo ser feita a análise da influência das forças de Van Der Waals no processo de empacotamento.
Neste trabalho, realizamos simulações de dinâmica molecular (DM) para compreender o processo de empacotamento das esferas em um sistema bidispersivos, ou seja, os raios das partículas adquiriram somente dois tamanhos diferentes. A relação usada foi de 1 para 2, sendo assim, a partícula maior tem o tamanho do seu raio o dobro do raio da partícula menor. Além do mais, variamos a proporção da quantidade de esferas pequenas e grandes em ralação ao todo.
Os movimentos de translação e rotação de cada partícula também são considerados nas simulações. Para lidar com partículas em interação, levamos em conta as forças coesivas de contato e de longo alcance. As forças de contato resultam da deformação das partículas em colisão, que podem ser decompostas em dois tipos: a força viscoelástica normal e a força tangencial. A força viscoelástica normal é calculada de acordo com o modelo não- linear de Hertz [12], enquanto a força tangencial é calculada através de um modelo de mola não linear que é derivado da teoria de Mindlin-Deresiewicz. Ao assumir uma abordagem molecular, consideramos as forças de longo alcance usando um potencial LJ modificado. Os processos de empacotamento foram estudados aplicando diferentes forças de interação. Realizamos cálculos estatísticos das diferentes quantidades estudadas, incluindo densidade de empacotamento, número médio de coordenação, energia cinética e função de distribuição radial (FDR) no desenrolar do tempo.
A organização deste artigo é dada por: seção 2, descrevemos em detalhes o modelo e as simulações de DM e discutimos os resultados. Por último, na seção 3, tiramos as conclusões e considerações, além de darmos uma perspectiva sobre possíveis pesquisas futuras.
2. DESENVOLVIMENTO
2.1. MODELO E DINÂMICA MOLECULAR DA SIMULAÇÕES
A dinâmica de uma partícula específica de massa mié dada pelas equações de Newton mostradas abaixo:
2
( )
2
m d ri i n t LJ
Fij Fij Fij m gi
dt j
= + + + (1)
e
d i ˆ t n
Ii dt jR ni ij Fij r iR Fij i
= − (2)
os quais,ri representa o vetor posição da partículai,g é aceleração gravitacional. No primeiro termo do lado direito da equação (1) temos uma somatória forças, sendoFijna força viscoelástica normal que interage na partícula, Fijt é a força de fricção tangencial e FijLJ é a força de Lennard-Jones, esta, é força de interação entre duas partículas que age emi com relação a j . Na equação (2) temos o momento de inerciaI (2 / 5)m R2
i = i i , onde R i
é o raio da partícula, importante lembrar que para este trabalho foi estudado o pacote de um sistema bidispersivo, ou seja,R
i poderá assumir somente dois valores adotados, 2mpara a menor partícula e 4mpara a maior partícula. nˆîjé o vetor unitário na direção j→i. O termo r é coeficiente de resistência ao rolamento seu valor é visto na tabela 1 e i representa a velocidade angular da partícula. A partir da teoria não linear de hertz, a força normal viscoelástica é definida como
2 3/ 2 ˆ ˆ
[ ( )]
3
Fijn= E Rn −nE R n vijnij nij (3)
Onde vij é a velocidade relativa entre as partículasi e j , temos aindan,E, R, estes são a deformação normal, módulo de elasticidade e raio efetivo, respectivamente, Expressados por
n= +(R Ri j) ( ( )− r ti −r tj( ) )
(1 2) E Y
=
−
(4)
(5)
( ) R Ri j R Ri Rj
= + (6)
Sendo Y o módulo de Young, é a razão de Poisson,n o coeficiente de amortecimento normal. Os valores destas constantes são vistos na tabela 1. A força de fricção tangencialFijt é definida pela teoria de mindlin- Deresiewicz sendo
3/ 2 1 1 ˆ
max t
t n
Fij t Fij tij
= − −
(7)
O vetor unitário representado por tˆij, aponta em direção perpendicular à nˆij. O termot representa o coeficiente de atrito, o max é o valor máximo de deslocamento tangencial para não ocorrer deslizamento entre as partículas, ou seja, quando o deslocamento t > max , ocorrerá atrito por deslizamento. t é escrito como
ˆ ˆ ˆ
( )
0 tc
v t R n R n dt
t ij ij i ij i j ij j
= + + (8)
tcé o tempo de contato entre as partículas determinado por
2/5 1/5 1 2/5 1/5
2.94 | | (1 | | )
10
t v v
c = − ij − + ij −
2 ( / )
3E R M
=
(9)
(10)
A constante é dependente do material envolvido, portanto, ( n, , )Y e assume o valor de zero para colisões não amortecidas. M é a massa efetiva. Para a força de lennard-jones FijLJé calculada como
13 7
24 2 ˆ
FijLJ rij rij nij
= −
(11)
Perceba que rijé a distância entre as partículas e é o ponto de mínima energia de atração, equivalente a profundidade do vale no gráfico de potencial e força de lennard-jones mostrado na Figura 1.
Figura 1 - Potencia e força de lennard-Jones (FERRAZ; MARQUES, 2017)
Neste ponto a força FijLJse anula. A fim de conseguir simulações estáveis e otimizadas, adotou-se a soma dos raios como a distância de equilíbrio entre as partículas. Logo fica definido como=(Ri+Rj) 62. A força
FijLJsomente entrará em ação quando
rij R R
i j
+ . Para uma condição que r R R
ij i+ j as forças interativas normal e de fricção tangencial assumem totalmente o controle sobre a partícula. Esta decisão de ativar a força de lennard-jones somente quando a distância das partículas for maior que a soma dos raios das mesmas tem por objetivo melhorar o desempenho de cálculo, levando em consideração o fato do potencial não afetar no momento de repulsão, sendo este momento influenciado pela força normal na partícula. Sendo assim utilizou-se apenas a parte atrativa deFijLJ.
Foi Implementado também, um ponto de corte rij =3(Ri +Rj)para que o tempo de cálculo das simulações fossem menos demoradas. Para conseguirmos comportamentos reais nas simulações e transições continuas entre as Equações (3) e (11), foram adotados os parâmetros físicos determinados via tentativa e erro mostrados na Tabela 1.
Para as integrações numéricas foi usado o esquema de Leapfrog, por causa de seu desempenho em precisão e baixa exigência computacional [14]. Deve-se levar em consideração que no momento da integração numérica intervalos muito grandes de tempo de cálculo deixaram a simulação imprecisa e instáveis, entretanto quanto menores estes intervalos mais demoradas ficarão as simulações. Um intervalo de tempo já visto em outras simulações que consegue estabilizar e ser preciso de maneira concreta é de =t 10−6s. Neste artigo foram simuladas diferentes tipos de distribuições bidispersiva, isto é, uma porcentagem do total de esferas será somente de pequenas partículas.
Tabela 1 - Parâmetros físicos usados nas simulações (Autoria própria)
Parâmetro Valor
Coeficiente de amortecimento normal (n) 0,05 s
Coeficiente de atrito (t) 0,3
Coeficiente de resistência ao rolamento (r) 0,002
Raio da partícula (R) 2 e 4m
Número de partículas (N) 5000
Densidade da partícula () 2500 Kg/m3
Energia potencial mínima ( ) 0 – 35 J
Módulo de Young (Y) 108 N/m2
Coeficiente de Poisson ( ) 0,3
Por exemplo: uma das simulações destacadas nesse artigo é com a proporcionalidade de 20% de partículas pequenas e 70% de partículas maiores. Para podemos gerar computacionalmente tais tipos de proporções foi utilizado a equação de distribuição bidispersivo dada como
( )r = p(r− +a) q(r b− )
P (12)
Onde é o delta de Kronecker, que assumi valor de 1 para seu argumento igual a zero e valor 0 para seu argumento diferente de zero. Comoa = 2m e b= 4m, então parar a= , P( )r =p, e para r = b , P( )r =q. 2.2. RESULTADO E DISCUSSÃO
Nós estudamos neste trabalho o processo de empacotamento de partículas com dois tamanhos diferentes, numa relação 1 para 2. A partícula menor tem 2m de raio e a maior tem o dobro do tamanho, isto é, 4m de raio. As simulações ocorreram limitadas a uma caixa de 160 x 160 x 200m. Vale ressaltar que a única restrição durante a atribuição do raio de partículas foi que as partículas inicialmente não se sobrepõem dentro da caixa. No entanto, é necessário perceber que a caixa confinante impõe uma certa restrição espacial sobre a distribuição de tamanho de partícula. Assim, partículas menores são colocadas mais facilmente dentro da caixa do que partículas maiores no início das simulações. A figura 2 mostra o empacote na proporção de 50% parat=0 et=10ms, contendo 5000
partículas, perceba que aspartículas em vermelho são as menores e as azuis partículas com o dobro do raio menor, e levando em consideração todos os parâmetros físicos discriminados na tabela 1. Foi realizado variações nas proporções das quantidades de partículas menores em relação ao todo. Além da proporção de 50%, fizemos analises de 20% de partículas de 2m e de 70% dessas partículas menores. Calculamos diferentes quantidades à medida que o sistema evoluía ao longo do tempo, como a densidade de empacotamento, número médio de coordenação, a energia cinética e FDR (Função de Distribuição Radial). Para conseguir o valor médio dessas quantidades e estimar seu erro estatístico, fizemos a média de mais de 10 realizações. Nos processos foram assumidos, também, diferentes valores para energia mínima do potencial LJ.
Figura 2 - Empacotamento no proporção de 50% para t = 0ms(a), e t = 10ms (b). (Autoria própria) Realizando a análise da energia cinética do sistema, na Figura 3 é mostrada a evolução temporal da energia cinética média por partícula nos casos para p=0,20ep=0,70, dados três valores de diferentes. Curvas de energia parecidas foram encontradas para todos os outros casos.
Percebe-se que o relaxamento do sistema em (b) já foi alcançado entre de 2,0 e 3,0ms para todos os valores de
considerados. Já em (a) a estabilidade do sistema é alcançada após 3,0ms, além disso um pico maior de energia é visto.
Figura 3 - Energia Cinética média ao longo do tempo (Autoria própria)
Isto se explica pelo fato de em p=0,20temos partículas maiores e, sendo assim, de maior massa no processo fazendo as magnitudes das energias medias calculadas aumentar. Durante o intervalo de tempos investigados nesse trabalho a energia cinética total, apesar de apresentar valore ínfimos, não desaparece por completo, por causa das propriedades elástica das partículas e as formas de interação que estão atuando na dinâmica de colisão das esferas.
Além das forças de longo alcance que continuam entrando em ação nas partículas.
Uma das maneiras mais intuitivas de estudarmos o processo de empacotamento é olhando para um gráfico de densidade ao longo do tempo. A Figura 4 no traz informações sobre a densidade em duas situações diferentes já vistas nesta pesquisa. Em (a) observamos o resultado para a proporção de 20% de partículas pequenas. Vemos um pico seguido por um vale no gráfico. Região essa, chamada de região de amortecimento que reflete o instante em que as partículas colidem na base da caixa e são aceleradas parcialmente para cima, obviamente com uma
aceleração menor que a gravidade que em momentos seguintes puxa as esferas novamente no sentido negativo da vertical. Em torno do mesmo instante de 2ms, é visto um pico de densidade em (b), porem para a região de amortecimento observa-se maior rapidez a chegada da estabilidade do sistema. Além de ser perceptível a diminuição na densidade final de (a) para (b), isto é, de p= 0,2, para p=0,5.
Figura 4 - Densidade de empacotamento ao longo do tempo para p=0,2(a), e p=0,5 (b).
Assim também, é visto na Figura 5 os mesmos comportamentos. Uma diminuição na densidade de empacotamento, mais rapidez para alcançar estabilidade e um encurtamento do ruído na região de amortecimento se compararmos com a Figura 4 (a). Esses pontos discutidos entram em concordância com a Figura 3, que percebemos uma diminuição no pico de energia média e rapidamente o sistema se estabiliza em torno 2ms, Figura 3 (b).
Os resultados finais de densidade de empacotamento e número de coordenação (Z) e seus respectivos erros para a simulação de proporção de 70% de partículas de 2m, ou seja, p = 0,70. São mostrados na Tabela 2.
Situação representada na Figura 5.
Figura 5 - Densidade de empacotamento ao longo do tempo para p=0,7.
Para todos os casos simulados obteve-se resultados análogos aos da Tabela 2 do caso p=0,70. Estes dados foram tomados para construir o gráfico de densidade versus a força de interação do potencial de Lennard-Jones e o gráfico de número médio de coordenação (z) versus a força de longo alcance. Mostrados na Figura 6.
Analisando a Figura 6, a variação das forças de longo alcance não causaram impactos nas densidades finais das simulações. É possível ver certa inclinação nas retas estimadas estatisticamente, porem estas inclinações são muito pequenas, todas da ordem de 10-4.
Em trabalhos anteriores, polidispersivos (vários tamanhos de esferas), onde a distribuição da probabilidade do tamanho das partículas foram variadas, usando um modelo matemático de distribuição Lévy [15]. Podemos ver um comportamento análogo. Onde uma distribuição com maior probabilidade de encontrar partículas menores, a
densidade de empacotamento é menor do que em um sistema com um número maior de partículas grandes. Ou seja, em nosso trabalho o fato de conseguirmos perceber que a densidade de empacotamento é maior em um processo com mais partículas grandes, está em conforme com outras pesquisas. Estes comportamentos podem ser atribuídos à existência de um grande número de partículas grandes que são envolvidas por partículas menores ou criam interstícios que são ocupados pelas esferas menores[15].
Tabela 2 - Resultados finais para p = 0,70 (Autoria Própria) Potencial (J) (Z) Erro(z) Densidade Erro ()
0 7,53973 0,002983 0,617654 0,00265 10 7,519079 0,022525 0,620816 0,002268 15 7,4975 0,015254 0,621921 0,001835 20 7,474219 0,009766 0,61904 0,002407 25 7,472368 0,012758 0,618831 0,001607 30 7,396406 0,008286 0,616034 0,001697 35 7,368159 0,010335 0,611254 0,003313
Nota: Z é o número médio de coordenação
Para todos os casos não se vê uma influência significativa no processo de empacotamento, por causa da mudança no potencial. Que nos gráficos está representado os valores de 0 a 30J , mas não temos modificações significativas nas curvas mostradas. Em trabalhos semelhantes com discos polidispersivos [13] foi observado uma rapidez na chegada de densidade final, com o aumento de. Essa influência no momento transitório de empacotamento causada pelo aumento do potencial, não é observada em nossas investigações no empacotamento bidispersivo.
Figura 6 - Gráficos de densidade () (a), e número médio de coordenação (Z) (b), pela forca de Lennard-Jones Após os 20ms de nossas simulações, foi possível proceder com o cálculo da função de distribuição radial (FDR), que pode ser entendida como a probabilidade de encontrar uma partícula a uma determinada distância do centro de uma partícula de referência. FDR tem sido amplamente utilizado para caracterizar estruturas aleatórias de partículas esféricas [10]. FDR é escrita como
( ) ( )
2 i
i i
i r
g r n r
r Z
= (13)
Onden ri( ) é o número de centros de partículas dentro da i-ésima casca esférica. No qual Z é o fator de normalização dado por
1
( )
2 i
r i
i i r
N n r
Z =
= r (14)Na equação acimaNr é o número total de cascas esféricas levadas em consideração e
ri
pode ser entendido como a distância de uma casca para outra ou espessura entre as esferas. Na Figura 7, podemos verificar a FDR pela distância radial para 3 proporções bidispersivas (a), (b) e (c).
Figura 7 - Função de Distribuição Radial versus distância radial (Autoria própria)
Temos ainda em (d) um valor dep=1,0, ou seja, nessa simulação encontrava-se somente um tamanho de partícula, no caso esferas de 2m, Neste sistema, chamado monodispersivo, temos a presença de um pico principal em 4m, um comportamento esperado, em conforme com trabalhos anteriores [10] que valida a simulação, levando em consideração o tamanho da partícula num empacotamento monodispersivo. Para as outras distribuições onde p1,0 é visto três picos principais e uma mudança da posição do maior pico entre as proporções analisadas. Para p=0,20 (a) o terceiro pico é o maior, visto que nesta situação temos mais partículas de tamanho 4m. Temos o pico principal como sendo o intermediário para p=0,50(b). Em (c) observamos um aumento no primeiro pico em relação a (a) e (b), por causa do crescimento na quantidade de partículas menores no sistema.
Dados diferentes valores de energia mínima de Lennard-jones para p=0,70vistos na Figura 8. Mostram a não influência das forças de longo alcance no resultado final da função de distribuição radial.
Figura 8 - Função de Distribuição Radial parap=0, 70, e
=0 (a), = 10J(b), = 20J (c), e = 30J(d). (Autoria própria)
3. CONCLUSÕES
As simulações de empacotamento de partículas realizadas no presente trabalho mostraram-se bastante concisas e apresentaram resultados coerentes para os casos estudados. Todo processo de empacotamento se mostrou sensível a distribuição bidispersiva. As proporções neste quesito adotadas em nossa investigação afetaram o desenho da FDR, a estabilidade do processo, bem como, o resultado final de propriedades no empacotamento, a densidade e número de coordenação médio. A densidade e o número de coordenação reagiram positivamente em seu valor com o aumento da quantidade de partículas maiores. A mudança das forças de longo alcance nas simulações não alteram de maneira significativa o processo do empacotamento. Tal fenômeno pode ser explicado pelo fato do sistema ter somente dois tamanhos de partículas sem uma direção preferencial, sendo assim, pensamos em uma esfera qualquer em nosso empacotamento e em suas interações com as outras partículas, a mesma nuvem de esferas interagindo com a partícula em uma direção é igual a nuvem de partículas na mesma direção em sentido oposto. Ou seja, conjecturamos que as força de interação média devido aos potenciais de longo alcance se cancelam mutualmente. Logo, as forças de Van Der Waals não modificam o processo de empacotar, independente da distribuição que seja adotada.
Para as próximas pesquisas, poderão abordar sistemas mais complexos com um número maior de tamanhos de partículas. Incluindo somente mais uma partícula de tamanho diferente, é possível trabalhar com distribuições a partir de modelos matemáticos probabilísticos de distribuição. Uma delas mais conhecida, distribuição gaussiana ou ainda com relações diferentes entres os tamanhos vistos neste trabalho.
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