Distribuições Discretas - Problemas Resolvidos

(1)

Distribui¸

c˜

oes Discretas

-Problemas Resolvidos

Exercise 1 Distribui¸c˜ao Binomial

• Qual a probabilidade de haver duas ou mais pe¸cas defeituosas numa caixa com 5 pe¸cas? Foi verificado que a propor¸cão de defeituosos num processo de fabrica¸cão é de 10%. P (X> 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)] P (X> 2) = 1 − [ 5 0 (0, 1)0(1− 0, 1)5−0+ 5 1 (0, 1)1(1− 0, 1)5−1] P (X> 2) = 1 − [0, 5905 + 0, 3280 = 0, 0815

• Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Calcule a proba-bilidade de sair 2 bolas brancas em 3 retiradas COM reposi¸c˜ao.

Primeira forma: P [(b1∩ b2∩ p3)∪ (b1∩ p2∩ b3)∪ (p1∩ b2∩ b3)] = 3P (b1)P (b2)P (p3) = 33 5 3 5 2 5 = 3 18 125 = 0, 432 Segunda forma: P (X = x) = N x θx(1− θ)N−x P (X = 2) = 3 2 3 5 2 1−3 5 3−2 P [x = 2] = 3! (3− 2)!2! 3 5 2 2 5 1 = 0, 432

Portanto, o experimento foi executado COM reposi¸c˜ao.

Exercise 2 Distribui¸c˜ao Hipergeometrica

(2)

• Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Calcule a proba-bilidade de sair 2 bolas brancas em 3 retiradas SEM reposi¸c˜ao.

Primeira forma: P [(b1∩ b2∩ p3)∪ (b1∩ p2∩ b3)∪ (p1∩ b2∩ b3)] = P (b1)P (b2|b1)P (p3|b1, b2)+ +P (b1)P (p2|b1)P (b3|b1, p2)+ +P (p1)P (b2|p1)P (b3|p1, b2) = 3 5 2 4 2 3+ 3 5 2 4 2 3 + 2 5 3 4 2 3 = 0, 60 Segunda forma: P (X = x) = k x N_−k n−x N n P (X = x) = 3 2 ₅₋₃ 3₋₂ 5 3 P (X = x) = 3! (3_−2)!2! 2! (3_−1)!1! 5 (5−3)!3! = 3.2 10 = 0, 60

Portanto, SEM reposi¸cão. Observe que o problema é o mesmo que o an-terior, com a diferen¸ca que este caso é sem reposi¸cão.

• Qual a probabildiade de ganharmos na MEGA-SENA?

Seja N = 60 op¸cões, k = 6 valores que serão sorteados, n = 6 escolhas pelo jogador e x = 6 a variavel aleatória que mede o número de acertos:

P (X = x) = k x _N_−k n_−x N n P (X = x) = 6 6 60−6 6−6 60 6 = ₆₀1 6 = _60!1 (60_−6)!6! = 1 50.063.860

Exercise 3 Distribui¸c˜ao Uniforme

(3)

3

P (X = x) = 1

6

Portanto, as va’s sao equiprov´aveis.

Exercise 4 Distribui¸c˜ao Birnouli

• Um dado N ÃO honesto e lan¸cado. A probabilidade de sair a face ”#3”é de 20%. Calcule a probabilidade de não sair a face ”#3”.

Primeira forma P (”¯3”) = 1− 20 100 = 80% Segunda forma P (X = x) = θx(1− θ)1−x P (X = 0) = 20 100 0 1−20 80 1₋₀ = 80%

Portanto, as va’s N ÃO são equiprovávies.

• Um dado honesto e lan¸cado. Calcule a probabilidade de sair a face ”#3”. Primeira forma P (”3”) = #A #Ω = 1 6 Segunda forma: P (X = x) = θx(1− θ)1−x P (X = 1) = 1 6 1 1−1 6 1₋₁ = 1 6

Portanto, as va’s N ˜AO sao equiprov´aveis.

Exercise 5 Distribui¸c˜ao Poisson

• Em um processo de fabrica¸c˜ao 10% das ferramenas s˜ao defeituosas. Em uma amostra de 10 ferramentas escolhidas ao acaso, determinar a proba-bilidade de duas serem defeituosas

(4)

P (X = 2) = 10 2 (0, 10)2(1− 0, 10)10−2= 10 2 (0, 1)2(0, 9)8= 0, 1937

Comentário: Observe que os resultados das probabildiade são muito próximas em ambos os modelos Poisson e Binomial.

• A probabilidade de um indiv´ıduo sofrer uma rea¸c˜ao nociva, resultante de um determinado soro, e 0,001. Qual a probabiliade de, exatos 3 indiv´ıduos em uma amostra de 2000 pessoas, sofrer a rea¸c˜ao nociva?

Primeira forma P [x = x] = λ x_e−λ x! Seja λ = N P = (2000)(0, 001) = 2 P [x = 3](2) 3_e₋₍₂₎ 3! = 0, 180 Segunda forma: P (X = x) = N x θx(1− θ)N−x P (X = 3) = 2000 3 (0, 001)3(1− 0, 001)2000−2= 2000! (2000− 3)!3!(0, 001) 3_{(0, 999)}1_{997 = 0, 180}

Comentário: Observe que os resultados das probabilidades são bem próximas em ambos os modelos de Poisson e Binomial para o caso em que N for muito grande.

Exercise 6 Distribui¸c˜ao Multinomial

• Uma caixa cont´em 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Determine a probabilidade de, entre 6 bolas escolhidas ao acaso e com reposi¸c˜ao, 3 serem vermelhas, 2 brancas e 1 azul.

(5)

5 ...desisti... Segunda forma: P (X = x) = N ! x1!x2!x3!x4!...xN! θx1 1 θ x2 2 θ x3 3 θ x4 4 ...θ xN N P (3v2b1a) = 6! 3!2!1! 5 12 3 4 12 2 3 12 1 = 625 5184 = 0, 12056

Portanto, o experimento ´e COM reposi¸c˜ao.

Exercise 7 Distribui¸c˜ao Geom´etrica

• Ganha-se um jogo se, ao lan¸car um dado honesto 6 vezes, sair a face #1. Ao sair a face desejada o jogo ser´a considerado finalizado.

P (X = x) = θ(1− θ)x−1 P (X = 6) = 1 6 1−1 6 6₋₁ = 1 6 5 6 5 = 6, 697%

• A propor¸c˜ao de encontrar um doador AB− _{no Brasil ´}_{e de 0, 5%. Qual} e a probabilidade de encontrar uma pessoa no meio de uma fila com 500 doadores (posi¸c˜ao 250)?

P (X = x) = θ(1− θ)x−1

P (X = 500) = (0, 005)(1− 0, 005))500−1= (0, 005)(0, 995)499= 0, 000409' 0, 041%

• Se a probabilidade de que um certo ensaio de rea¸cão positiva for de 0,4, qual será a probabilidade de que menos de 5 rea¸cões negativas ocorram antes da primeira positiva?

P (X = x) = θ(1− θ)x−1

P (X≤ 5) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (x = 4) + P (x = 5) P (X≤ 5) = (0, 4)(0, 6)0+ (0, 4)(0, 6)1+ (0, 4)(0, 6)2+

(0, 4)(0, 6)3+ (0, 4)(0, 6)4= 0, 92

Exercise 8 Distribui¸c˜ao de PASCAL ou Binomial negativa

• Ganha-se um jogo se, ao lancar um dado honesto 6 vezes, sair a face

#1 tres vezes independente do lancamento. O jogo para ao sair a face

(6)

• A propor¸c˜ao de um ajuste bem sucedido de um torno antigo e de 0,992. Qual a probabilidade de que exatamente em 12 tentativas: a) um ter¸co destas tentativas seja aceito? b) todos os ajustes foram bem sucedidos? a) Um ter¸co destas tenha um ajuste aceito?

P (X = x) = r− 1 k− 1 θk(1− θ)r−k P (X = 4) = 12− 1 4− 1 (0, 992)12(1− 0, 922)12−4 P (X = 4) = 11! (11− 3)!3!(0, 992) 12_{(0, 008)}8_{= 0, 0000000000002746%}

(7)

Exerc´ıcios - Problemas

Diversos

Principais Distribui¸

c˜

oes Discretas

1. Distribui¸c˜ao Uniforme Discreta: U ∼ (N) (a) P (X = x) = f_X(x) = 1 N (b) fgm = M_X(t) = 1 N Pi=1 N e it (c) µ = E(x) =n + 1 2 ; Var(x) = n2_{− 1} 12

2. Distribui¸c˜ao de Bernoulli: Bern∼ (θ)

(a) P (X = x) = f_X(x|θ) = θx₍₁_{− θ)}1−x _{com X = 0, 1}

(b) fgm = M_X(t) = (1− θ) + θet (c) µ = E(x) = θ ; Var(x) = θ(1− θ) 3. Distribui¸c˜ao Binomial: Bin∼ (N, θ)

(a) P (X = x) = f_X(x|θ) = N_xθx(1− θ)N−x com X = 0, 1, 2...N (b) fgm = M_X(t) ={(1 − θ) + θet_}n

(c) µ = E(x) = N θ ; Var(x) = N θ(1− θ) 4. Distribui¸c˜ao Hipergeom´etrica Hiper∼ (N, n, k)

(a) P (X = x) = f_X(x) = ( k x)(N−kn−x) (N n) com X = 0, 1, 2...N (b) µ = E(x) = n_Nk ; Var(x) = n_Nk N_n₋₁−nN_N−K

5. Distribui¸c˜ao Poisson: P ois∼ (λ)

(a) P (X = x) = f_X(x) = λx_x!e−λ com X = 0, 1, 2...N (b) fgm = M_X(t) = eλ(et₋₁₎

(8)

(c) µ = E(x) = λ ; Var(x) = λ 6. Distribui¸c˜ao Multinomial (a) P (X = x) = fX(x) = N ! n1!n2!...nk!θ n1 1 θ n2 2 ...θ nk k com X = 0, 1, 2...N (b) fgm = M_X(t) =Pk_i=1θetk n (c) µ = E(x)) = N θ ; Var(x) = N θ(1− θ)

7. Distribui¸c˜ao Pascal ou Binomial Negativa: P ascal∼ (k, r)

(a) P (X = x) = f_X(x = k) = k_r−1₋₁θr(1− θ)k−r com X = 0, 1, 2...N (b) fgm = M_X(t) ={ θ 1−(1−θ)et} n_{; t <}_{−log(1 − θ)} (c) µ = E(x) =r θ e Var(x) = r(1_−θ) θ2

8. Distribui¸c˜ao Geom´etrica: Geom∼ (θ) (a) P (X = x) = fX(x) = θ(1− θ) x₋₁ _{com X = 0, 1, 2...N} (b) fgm = M_X(t) = θet 1−(1−θ)et; t <−log(1 − θ) (c) µ = E(x) =1 θ ; Var(x) = (1_−θ) θ2 Exercise 9

Calcule a probabilidade de obter exatamente 2 caras em 6 lances de uma moeda n˜ao viciada. Resp. 15₆₄

Exercise 10

Calcule a probabilidade de obter ao menos 4 caras em 6 lances de uma moeda n˜ao viciada. Resp. 11₆₄

Exercise 11

Joga-se um dado honesto de 16 faces. Qual a probabilidade de sair a face 3? Qual a m´edia e a variˆancia? Resp. ₁₆1, E(x) = 8, 5, var(X) = 21, 25

Exercise 12

Joga-se um dado honesto 12 vˆezes. Qual a probabilidade de sarir as faces 1,2,3,4,5 e 6 exatamente duas vˆezes cada um? Resp. p = 0, 00344

Exercise 13

Qual a probabilidade de ganhar na Mega-Sena? Resp. p = 1 50.063.860

Exercise 14

Qual a probabilidade de adivinhar-se corretamente pelo menos 6 das 10 respostas de um question´ario do tipo certo-errado? Resp. p = ₁₀₂₄210

(9)

9

Se 3% das lâmpadas LED são defeituosas, determine a probabiliade de, em uma amostra de 100 lâmpadas, serem a) 1 defeituosa b) no máximo 2 defeituosas. Resp. a)0, 1494 b)0, 42329

Exercise 16

A probabilidade de tormenta em dias de ver˜ao ´e de 0,1. Qual a probabilidade da primeira tormenta ocorrer entre os dias 1 de Dezembro e 3 de Janeiro? Resp. a)0, 309%

Exercise 17

Um tanque de cria¸cão contém 20 sardinhas, sendo que 4 destas estão abaixo da envergadura m´ınima para o abatimento. Qual a probabilidade de, ao escolher ao acaso uma amostra da metade da popula¸cão do tanque, duas sardinhas estarem fora do abate? Resp. 0, 4179

Exercise 18

1. Seja uma va Poisson com λ = 2. Calcule P (X≤ 1) 2. Seja uma va Poisson com λ = 1, 5. Calcule P (X > 2)

3. Seja uma va Birnouli com probabilidade sucesso θ = 3₄. Calcule P (X =

1) + P (x = 0)

4. Seja uma va Binomial Bin' (N = 10, θ = 45%). Calcule P (X = 5).

Exercise 19

Suponha que o filtro do escapamento de um carro segure 10.000 part´ıculas can-cer´ıgenas. A probabilidade destas part´ıculas escaparem do filtro do escapamento ´

e de 0,0004. Qual a probabildade de que mais de 5 pat´ıculas escaparem do filtro? Resp. 21, 5%

Exercise 20

Normalmente uma caixa com 1500 pe¸cas de perfil cont´em 25 defeituosas. Em uma amostra de 300 pe¸cas, qual a quantidade esperada de defeituosas? Resp. 5 pe¸cas

Exercise 21

A probabilidade de uma rea¸cão qu´ımica bem sucedida é de 80%. Suponha que tentativas de rea¸cão sejam efetuadas até que tenham ocorridos 3 rea¸cões qu´ımicas bem sucedidas. Qual a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? Resp. 20, 48%.

Exercise 22

(10)

Exercise 23

Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página do livro têm distribui¸cão de Poisson com λ = 1₂. Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma página? Se o livro possiur 200 páginas, qual a proba-bilidade de não existir erros tipográficos no livro? Resp. a)39, 34% b)' 0%

Exercise 24 Considere um experimento que consista da contagem do n´umero de part´ıculas α desprendidas em um intervalo de 1s por mol de material radio-ativo. Sabe-se que, na média, este valor é de 3,2 emissões/mol. Então, qual seria a probabilidade de que não mais do que 2 part´ıculas α sejam emitidas em no máximo 1 s? Qual a variânica? Resp.0, 382 var(x) = 3, 2 emissões/mol ao quadrado

Aplica¸

c˜

ao nas diversas ´

areas

1. Engenharia Elétrica Segundo a Resolu¸cão Normativa n 360, de 14 de abril de 2009 da ANATEL, estabelece as dispisi¸cões relativas ao ressarci-mento de danos elétricos ocasionadas pelas concessionárias de energia elétrica. Suponha que o número de quedas de energia elétrica ocasionada pela concessionária durante um per´ıodo de um ano foi em média 0,000317 quedas/segundo. Qual a probabilidade de haver 2 quedas de energia du-rante um per´ıodo de 8 horas em um único dia?

2. Engenharia Mecânica Admite-se uma propor¸cão do número de falhas ocasionada por um tratamento térmico de 2, 5% por pe¸ca. O tratamento é reaplicado em 22 banhos térmicos da mesma unidade durante 48 horas com descanso médio de 1,4 horas entre um banho e outro. Qual a probabilidade de haver mais de 3 falhas no final do tratamento?

3. Qu´ımica O tempo observado de cataliza¸c˜ao do ´acido n´ıtrico HN O3 foi

em média 1023, 42ms/mol. Qual a probabilidade de não haver nenhuma cataliza¸cão neste tempo para 16 mols? Qual o tempo de cataliza¸cão espe-rado?

4. Engenharia de Controle e Automa¸c˜ao: Um grupo de trˆes tipos de sensores foram instalados numa máquina de corte a laser 2-D. O sensor Sx mede a posi¸cão da abscissa X, sensor Sy mede a posi¸cão da ordenada Y e o sensor SZ mede o n´ıvel de água no reservatório de resfriamento do corte. A propor¸cão de erro nos sensores são±0, 097%, ±0, 089% e ±1, 9% respectivamente. Sabendo que os sensores trabalham independentemente, após 2000 cortes calcule a probabilidade de, em 5% dos cortes efetuados com defeito, apresentar-nos 1 falha no corte em X, nenhuma falha na posi¸cão Y e 9 falhas no resfriamento do corte?

(11)

11

6. Matemática: Encontre o fgm da distribui¸cão binomial e dela construa as fun¸cões de curtose e assimetria da distribui¸cão.

7. Engenharia da Produ¸c˜ao: O setor de CQ da empresa divulgou que a cada 3000 produtos aprovados pela linha de produ¸c˜ao 7% abrem ordem de servi¸co. Qual a probabilidade de encontrar no m´ınimo 3 pe¸cas defeituosas em um lote de 60 unidades?

(12)

(13)

Distribui¸

c˜

oes Cont´ınuas

-Problemas Resolvidos

1. Distr. Uniforme Cont´ınua (a) fX(x; a, b) = _b_−a1

(14)

(b) µ = E(x) = λΓ(1 +1

k) e var(x) = E(x

2₎_{− E(x)}2_{= λ}2_{[Γ(1 + 2/k)}₋ Γ(1 + 1/k)2_]

Exercise 25 Distibui¸c˜ao Uniforme

• Dado um conjunto cont´ınuo de va’s com distribui¸c˜ao U(0,1). Calcule a probabilidade de qualquer va estar entre (a,b), sendo: 0 < a < b < 1.

f (x) = 1 c2− c1 (c1≤ x ≤ c2) P [a < X < b] = Z b −∞ f (x)dx− Z a −∞ f (x)dx = Z b a 1 (1− 0)dx = b− a

Exercise 26 Distibui¸c˜ao Gaussiana (Normal)

• Um conjunto de dados populacionais apresentou µ = 165 e σ2_{= 9. Calcule}

P (X < 162). f (x) = √ 1 2πσ2e −1 2(x−µσ ) 2 primeira forma P [−∞ < X < 162] = Z 162 −∞ 1 √ 2πσ2e −1 2(x−µσ ) 2 dx fa¸camos a primeira troca de vari´avel:

x− µ σ = t dx = σdt P [−∞ < X < 162] = √ 1 2πσ2 Z 162_√−165 9 −∞ e−12t 2 dt fa¸camos a segunda troca de vari´avel**:

u = 1 2t 2 dt = (2u)−12_du P [−∞ < X < 162] = √1 2π9 Z 1 2 −∞ e−u(2u)−12du P [−∞ < X < 162] = 1 6√π Z 1 2 −∞ e−uu−12du Intgrando...

(observe que a integra¸cão é não trivial!)

(15)

15

Segunda forma: Nesta forma devemos encontrar qual o pivot da dis-tribui¸cão, no caso é referente a densidade gaussiana. Logicamente será dada por

x− µ σ = z

a qual chamaremos de score z. Observe que este pivot nada mais é do que a troca de variável anteriormente efetuada**. Então tranformaremos a variável x em z a fim de aproximarmos o resultado por uma distribui¸cão Z-score tabelada. P (X < 162) = P (X− µ σ < 162− 165 3 ) = P (Z <−1)

Com o uso da tabela z-score, encontraremos a seguinte rela¸c˜ao: P (X < 162) = P (Z <−1) = 0.5 − P [−1 < X < 0] = 0, 5− 0, 34134 = 0, 15866 ≈ 15, 8% • Calcule P (10 < X < 20) com N ' (µ = 10, σ2_{= 100)} P (10 < X < 20) = P (10− 10 10 < X− µ σ < 20− 10 10 ) P (10 < X < 20) = P (0 < X− µ σ < 1) P (10 < X < 20) = P (0 < Z < 1) = P (Z < 1)− P (Z < 0) P (Z < 1)− P (Z < 0) = 0, 50 − 0, 84134 = 0.31434

Exercise 27 Distibui¸c˜ao Exponencial

• Seja uma va cont´ınua com distibui¸c˜ao exponencial de parˆametro λ = 1 2.

Calcule P [1 < X < 2] e o valor esperado. Solu¸c˜ao: P [a < X < b] =R_abλe−λtdt

P [1 < X < 2] = Z 2 1 1 2e −1 2tdt P [1 < X < 2] = 1 2 Z 2 1 e−12t_dt P [1 < X < 2] = 0, 2386 O valor esperado ´e dado por µ = E(x) = 1

λ =

1

0,5 = 2. Portanto espera-se

µ = 2.

(16)

• Seja uma va cont´ınua com distibui¸c˜ao Gamma de parˆametro X ∼ Ga(α =

1

2, β = 1). Calcule P [0 < X < +∞], o valor esperado e a variˆancia.

Lembre-se da distribui¸c˜ao Gamma:

Γ(n) = Z _∞ 0 tn−1e−tdt Γ(n)⇒    Γ(n + 1) = nΓ(n) Γ(n + 1) = n! Γ(1 2) = √ 2 Solu¸c˜ao: P [a < X < b] = Z _∞ 0 βα Γ(α)x α−1_e−βx_dx P [0 < X <∞] = Z _∞ 0 112 Γ(1₂)x 1 2−1e−xdx sendo Γ(1 2) = √ π P [0 < X <∞] = Z _∞ 0 1 √ πx 1 2−1e−xdx P [0 < X <∞] = √1 π Z _∞ 0 x12−1e−xdx

Comparando a integral acima com a defini¸c˜ao dada, temos que n = 1₂, ou seja: P [0 < X <∞] = √1 πΓ 1 2 P [0 < X <∞] = √1 π √ π P [0 < X <∞] = 1 O valor esperado ´e dado por µ = E(x) =α_β = 12

1 = 1

2. A variˆancia ´e dada

por V AR(x) = E(x2)− E(x) = _βα2 = 1 2

12 =

1

2. Portanto espera-se que a

média é igual a variância. Esta propriedade tambèm pode ser verificada para a distribui¸cão de Poisson para o caso discreto. A distribui¸cão Gamma equivalente a Poisson, em rela¸cão á igualdade entre a média e variância ´

e chamada de distribui¸cão de Erlang. Uma utiliza¸cão desta distribui¸cão é mensurar o tempo médio entre pulsos, como entre as chamadas telefônicas.

(17)

17

• O tempo médio de falha de um banco de capacitores seguem uma dis-tribui¸cão de Weibull com parâmetro de escala λ = 1

2 e de forma k = 1.

Calcule a probabildiade de falha no in´ıcio da opera¸c˜ao entre 2 e 2,5 se-gundos: P [2 < t < 2, 5]. f (x; k, λ) = _k λkt k₋₁_e₋₍t λ) k t≥ 0 t < 0 c.c. Solu¸c˜ao: P [2 < t < 2, 5] = Z 2,5 2 k λkt k−1_e−(t λ) k dt P [2 < t < 2, 5] = Z 2,5 2 1 (1 2) 1t 1₋₁_e−(t1 2 )1 dt P [2 < t < 2, 5] = 2 Z 2,5 2 e−2tdt∼ 0, 011577 ∼ 1, 157%

Assim, a probabilidade do capacitor falhar logo no in´ıcio é é muito baixo. Observe que quando o parâmetro de forma for igual a unidade, ou seja, k = 1 temos a distribui¸cão exponencial.

• Suponha o comportamento de um sinal de comunica¸cão de celulares com desvanecimento que são da ordem de 30 dB ou 40 dB. Chamamos de desvanecimento as altera¸cões na amplitude e no caminho percorrido pela onda de rádio devido ás reflexões no solo e/ou na atmosfera decorrente do percurso. Suponha um desvanecimento em pequena escala no qual o sinal aleatório chega com parâmetro de escala λ =√2σ e de forma k = 2.

Calcule a potˆencia m´edia que este sinal chega aos celulares.

f (x; k, λ) = _k λktk−1e−( t λ) k t≥ 0 t < 0 c.c. com m´edia dada por

µ = E(x) = λΓ(1 + 1/k) e variˆancia dada por

var(x) = E(x2)− E(x)2= λ2[Γ(1 + 2/k)− Γ(1 + 1/k)2]

Resolu¸c˜ao: Para k = 2, teremos a seguinte distribui¸c˜ao:

(18)

E chamaremos esta forma de Weibull como a Distribui¸cão de Rayleigh. A pot˜encia do sinal é dado pela variância desta distribui¸cão, no caso:

var(x) = E(x2)− E(x)2= λ2[Γ(1 + 2/k)− Γ(1 + 1/k)2] = (√2σ)2[Γ(1 + 2/2)− Γ(1 + 1/2)2] = 2σ2[Γ(2)− Γ(1/2 + 1)2] = 2σ2[(2− 1)! − (1/2Γ(1/2))2] = 2σ2 " 1− √ π 2 2# =4− π 2 σ 2_{= P ot}

(19)

Exerc´ıcios - Problemas

Diversos Cont´ınuas

Principais Distribui¸

c˜

oes Cont´ınuas

Exercise 30

Calcule a probabilidade para:

P (0 < Z < +∞) = √1

2π Z +∞

0

e−z2dz

Resp. P (0 < Z < +∞) = 1₂ (Sugest. Use a I = IxIy com It=R_−∞+∞e−t2dt)

Exercise 31

Calcule as Seguintes probabilidades: 1. P (1 < X < 5); X∼ (0, 1) 2. P (3, 21 < X < 5) ; X∼ (2, 4) 3. P (|X − 3| > 6) ; X ∼ (3, 9) 4. P (X≤ 5) ; X ∼ (0, 36)

5. P (X≥ −1, 08) ; X ∼ (−3, 144)

Exercise 32 Um conjunto de parafusos apresentam uma espessura em

dis-tribui¸cão normal com média 2,34 mm e variância 0,023. Calcule a probabildade das pe¸cas estarem acima de 2,5 mm.

Exercise 33 Dada uma carga de ruptura de um tecido de algod˜ao (em libras), X,seja normalmente distribu´ıda com X ∼ N(µ = 165, σ2_{= 9). Se X < 162 a}

amostra ´e considerada defeituosa. Qual a probabilidade de que o tecido escolhido ao acaso seja defeituoso? RESP. 0,159

Exercise 34 O tempo m´edio ente liga¸cões das chamadas 190 segue uma dis-tribui¸cão exponencial com média 0,50 horas em dias normais. Qual a probabil-idade de, em dias normais, do tempo médio de liga¸cão ser inferior a 1,5 horas? RESP. 65%

(20)

Exercise 35 A quantidade de chuva anual em uma certa regi˜ao segue uma distribui¸cão normal de µ = 40 e σ = 4. Qual a probabilidade de que, come¸cando a registrar os ´ındices pluviométricos este ano, serão necessários mais do que 10 anos para se registrar uma quantidade de chuva anual maior do que 50?

Exercise 36 uma vari´avel aleatória têm uma distribui¸cão uniforme entre 2 e 7. Sabendo que f (X) = 1

b−a, encontre o momento gerador desta distribui¸cão e en-contre equa¸cão da média e desvio padrão. Qual a média e o desvio padrão?Qual a probabilidade de se obter um valor entre 2,7 e 4,2? RESP. etb−eta

t(b−a); µ = 4, 5; σ = 1, 44

Exercise 37 A dura¸cão média de um condensador segue uma distribui¸cão ex-ponencial de 200 horas. Calcule a propor¸cão de condensadores que durem: a) a metade do tempo médio, b)mais do que 500 horas e c) entre 200 e 400 horas? RESP. a)0, 39347; b)0, 08206 e c)0, 23254.

Exercise 38 Uma popula¸cão segue uma distribui¸cão qui-quadrado. Se uma amostra de 20 unidades forem levantadas em uma popula¸c ão de 1.256.982 elementos, encontre a média e variância desta distribui¸cão amostral. RESP: µ = 19 e σ2= 38

Exercise 39 Suponha que, em m´edia, 6 pulsos chegam ao canal de servi¸co por minuto. Qual a probabilidade necessária para pelo menos em um minuto 3 pulsos cheguem ao canal? (Sugestão: Use a distribui¸cã de Erlang) RESP 6, 20%

Exercise 40 Um conjunto de dados seguem uma distribui¸c˜ao com α = 3₂ e β = 3. Calcule P (x > 0) e encontre a E(X).

Exercise 41 Com o uso da tabelas Z, t-Student, Qui-quadrado e F-Senedecor,

calcule a) P (X > 1, 00) X∼ N(2, 9) b) P (|X − 3| ≤ 4) X ∼ N(1, 4) c) P (2 < X < 4) X∼ N(−4, 4) d) P (χ2_{< χ}2 c) = 95% com X∼ χ2(2) e α = 5%. Encontre χ2c

e) Seja uma distribui¸c˜ao t-Stuent bilateral com α = 5%. Calcule a probabilidade para uma amostra de n = 5.

f ) P (χ2_{> 11, 781) com X}_{∼ χ}2_(10).

g) P (χ2≤ 11, 781) com X ∼ χ2(10).

h) Seja uma distribui¸c˜ao t-Stuent unilateral `a direita com α = 0, 01. Calcule a probabilidade para uma amostra de n = 10.

i) P (|X − 4| ≤ 12) X ∼ N(0, 1)

Exercise 42 Seja conjunto de va’s com distribui¸c˜ao exponencial de m´edia E(x) =