INJETIVAS Se objetos diferentes têm imagens diferentes, ou seja, se qualquer reta horizontal interseta o gráfico da função no máximo num ponto.

(1)

FUNÇÕES

► INJETIVAS

Se objetos diferentes têm imagens diferentes, ou seja, se qualquer reta horizontal interseta o gráfico da função no máximo num ponto.

∀𝑥₁, 𝑥₂∈ ℝ, 𝑓(𝑥₁) = 𝑓(𝑥₂) ⇒ 𝑥₁ = 𝑥₂ ou ∀𝑥₁, 𝑥₂ ∈ ℝ, 𝑓(𝑥₁) ≠ 𝑓(𝑥₂) ⇒ 𝑥₁≠ 𝑥₂

► SOBREJETIVAS

Se o contradomínio coincidir com o conjunto de chegada.

𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 = 𝑓(𝑥)

► BIJETIVAS

Se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

► PARIDADE DE UMA FUNÇÃO o PAR

O gráfico é simétrico relativamente ao eixo das ordenadas (𝑦)

∀𝑥 ∈ 𝐷_𝑓, (−𝑥) ∈ 𝐷_𝑓∧ 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) o ÍMPAR

O gráfico é simétrico relativamente à origem do referencial

∀𝑥 ∈ 𝐷_𝑓, (−𝑥) ∈ 𝐷_𝑓∧ 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

► TRANSFORMAÇÕES

Translação

vertical horizontal

Associada ao vetor de coordenadas 𝑣⃗ (0, 𝑎) Associada ao vetor de coordenadas 𝑣⃗ (𝑎, 0)

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎)

𝒂 > 𝟎 ↑ 𝒂 > 𝟎 →

𝒂 < 𝟎 ↓ 𝒂 < 𝟎 ←

Dilatação Compressão

vertical horizontal vertical horizontal

𝑦 = 𝑎 × 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑎 × 𝑥) 𝑦 = 𝑎 × 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑎 × 𝑥)

𝒂 > 𝟏 ↕ 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 ↔ 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 ↓

↑ 𝒂 > 𝟏 → ←

Simetria em relação

ao eixo das abcissas (𝒙) ao eixo das ordenadas (𝒚)

𝑦 = −𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑓(−𝑥)

► ZEROS DE UMA FUNÇÃO

Elementos do domínio de 𝑓 cuja imagem é zero. São as soluções da equação 𝑓(𝑥) = 0.

(2)

► INTERVALOS DE MONOTONIA

o (estritamente) Crescente: 𝑥₁ < 𝑥₂ ⇒ 𝑓(𝑥₁) < 𝑓(𝑥₂) o (estritamente) Decrescente: 𝑥₁ < 𝑥₂⇒ 𝑓(𝑥₁) > 𝑓(𝑥₂) o Constante: 𝑥₁ < 𝑥₂ ⇒ 𝑓(𝑥₁) = 𝑓(𝑥₂) o Crescente, em sentido lato: 𝑥₁ < 𝑥₂⇒ 𝑓(𝑥₁) ≤ 𝑓(𝑥₂) o Decrescente, em sentido lato: 𝑥₁ < 𝑥₂⇒ 𝑓(𝑥₁) ≥ 𝑓(𝑥₂)

► TABELA DE VARIAÇÃO

FUNÇÃO AFIM - 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃

► EXTREMOS ABSOLUTOS

O máximo absoluto de uma função real de variável real 𝑓 é um valor 𝑓(𝑎) do contradomínio de 𝑓 tal que

∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓( 𝑥)

O mínimo absoluto de uma função real de variável real 𝑓 é um valor 𝑓(𝑎) do contradomínio de 𝑓 tal que

∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓( 𝑥)

► EXTREMOS RELATIVOS

∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝑉𝑓(𝑎), 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥)

· 𝑓(𝑎) é um máximo relativo

· 𝑎 é um maximizante

∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝑉𝑓(𝑎), 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥)

· 𝑓(𝑎) é um mínimo relativo

· 𝑎 é um minimizante

(3)

FUNÇÃO QUADRÁTICA - 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒉)^𝟐 + 𝒌

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²

vértice 𝑉(0, 0)

eixo de simetria 𝑥 = 0

𝒂 > 𝟎 concavidade está voltada para cima

contradomínio é [0, + ∞[

𝒂 < 𝟎 concavidade está voltada para baixo

contradomínio é ] − ∞, 0]

Nota: o valor absoluto do coeficiente 𝒂 influencia a abertura da parábola: quanto maior é o valor absoluto de 𝒂, menor é esta abertura.

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)^𝟐

translação do gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙^𝟐 ao longo do eixo 𝒙

vértice 𝑉(ℎ, 0)

eixo de simetria 𝑥 = ℎ

contradomínio é [0, + ∞[

contradomínio é ] − ∞, 0]

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑘

translação do gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙^𝟐 ao longo do eixo 𝒚

vértice 𝑉(0, 𝑘)

eixo de simetria 𝑥 = 0

contradomínio é [𝑘, + ∞[

contradomínio é ] − ∞, 𝑘]

𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒉)^𝟐+ 𝒌

vértice 𝑉(ℎ, 𝑘)

eixo de simetria 𝑥 = ℎ

contradomínio é [𝑘, + ∞[

contradomínio é ] − ∞, 𝑘]

(4)

A função f definida por 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒉)^𝟐+ 𝒌 também pode ser escrita na forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙^𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 Mas como escrever a expressão de uma função f na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 se f estiver definida na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ?

1. ℎ = − ^𝑏

2𝑎 e 𝑘 = 𝑓(ℎ)

2. Método de completar do quadrado (através dos casos notáveis: (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²) 3. Utilizar a fórmula do vértice: 𝑉(− ^𝑏

2𝑎, 𝑓(− ^𝑏

2𝑎))

4. Identificar 2 objetos da função com a mesma ordenada: 𝑓(𝑥) = 𝑐 5. Calcular os zeros da função (𝑥₁ 𝑒 𝑥₂): 𝑥_𝑣=^𝑥¹^{+ 𝑥}²

2 e 𝑦_𝑣 = 𝑓(𝑥_𝑣) Nota: O número de zeros da função quadrática depende do sinal de ∆ = 𝑏²− 4𝑎𝑐 :

· Se ∆ > 0 há 2 zeros

· Se ∆ = 0 há 1 zero

· Se ∆ < 0 não há zeros

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU

1. Escrevê-la na forma canónica e determinar os zeros de f → 𝑓(𝑥) = 0 2. Estudar o sinal da função:

Se o coeficiente de 𝑥² é positivo, a concavidade é voltada para cima Se o coeficiente de 𝑥² é negativo, a concavidade é voltada para baixo

FUNÇÃO MÓDULO - 𝒇(𝒙) = |𝒙|

𝑓(𝑥) = |𝑥| = { 𝒙 𝐬𝐞 𝒙 ≥ 𝟎

−𝒙 𝐬𝐞 𝒙 < 𝟎 𝑫_𝒇= 𝑰𝑹 e 𝑪𝑫_𝒇= [𝟎, + ∞[ = 𝑰𝑹 _𝟎⁺

Zeros: 0

Sinal: Positiva em 𝐼𝑅\{0}

Monotonia:

Estritamente decrescente ] − ∞, 0]

Estritamente crescente [0, + ∞[

Extremos:

Mínimo absoluto é 0 Minimizante é 0

Eixo de simetria: eixo Oy Função par: |−𝑥| = |𝑥|

(5)

O gráfico de uma função do tipo 𝒚 = 𝒂|𝒙 − 𝒃| + 𝒄 pode ser obtido a partir do gráfico da função 𝒚 = |𝒙|, através da aplicação sucessiva de transformações geométricas.

O vértice do gráfico de uma função definida por 𝒙 ↦ 𝒂|𝒙 − 𝒃| + 𝒄 é o ponto de coordenadas (𝒃, 𝒄).

Funções do tipo 𝑦 = 𝒂|𝒙|

𝒂 < 𝟎

−𝟏 < 𝒂 < 𝟎 Contração vertical

𝒂 < − 𝟏 Dilatação vertical

𝒂 > 𝟎

𝟎 < 𝒂 < 𝟏 Contração vertical

𝒂 > 𝟏 Dilatação vertical

Funções do tipo 𝑦 = 𝒂|𝒙 − 𝒃| + 𝒄 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝒇(𝒙) = |𝒙 − 𝒃|

Vetor 𝑢⃗⃗ (𝑏, 0)

𝒇(𝒙) = |𝒙| + 𝒄 Vetor 𝑢⃗⃗ (0, 𝑐)

𝒇(𝒙) = 𝒂|𝒙 − 𝒃| + 𝒄 Vetor 𝑢⃗⃗ (𝑏, 𝑐)

𝑦 = 𝑎|𝑥 − 𝑏| + 𝑐 𝑎 > 0 𝑎 < 0

Domínio IR IR

Contradomínio 𝐶𝐷 = [𝑐, + ∞[ 𝐶𝐷 =] − ∞, 𝑐]

Zeros Se a e c têm o mesmo sinal, a função não tem zeros

Monotonia Estritamente decrescente ] − ∞, 𝑏]

Estritamente crescente [𝑏, + ∞[

Estritamente crescente ] − ∞, 𝑏]

Estritamente decrescente [𝑏, + ∞[

Extremos Mínimo absoluto: c em 𝑥 = 𝑏 Máximo absoluto: c em 𝑥 = 𝑏

Relação entre o gráfico da função f e o gráfico de |f| Seja 𝑓 a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥

|𝑓(𝑥)| = |𝑥| = { 𝑥 se 𝑥 ≥ 0 − 𝑥 se 𝑥 < 0

O gráfico da função |𝑓(𝑥)| obtém-se a partir da função f :

· mantendo os pontos de ordenada positiva ou nula

· transformando os pontos de ordenada negativa pela reflexão do eixo O𝑥

(6)

EQUAÇÕES COM MÓDULOS INEQUAÇÕES COM MÓDULOS

FUNÇÕES POLINOMIAIS

Qualquer função real de variável real, que pode ser definido analiticamente por um polinómio com uma só variável.

Uma função polinomial f é uma função de domínio IR do tipo:

𝑓(𝑥) = 𝑎_𝑛𝑥^𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1+ 𝑎_𝑛−2𝑥^𝑛−2+ ⋯ + 𝑎₁𝑥¹+ 𝑎₀ com 𝑛 ∈ 𝐼𝑁₀ ; 𝑎_𝑛, 𝑎_𝑛−1, 𝑎_𝑛−2, … , 𝑎₁, 𝑎₀∈ 𝐼𝑅

► POLINÓMIO NA VARIÁVEL x

Um polinómio na variável x, 𝑃(𝑥) é um monómio ou uma expressão ligando monómios (os termos do polinómio) através do sinal de adição.

Qualquer polinómio não nulo pode ser reduzido a uma expressão do tipo:

𝑃(𝑥) = 𝑎_𝑛𝑥^𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1+ 𝑎_𝑛−2𝑥^𝑛−2+ ⋯ + 𝑎₁𝑥¹+ 𝑎₀ 𝑎_𝑛, 𝑎_𝑛−1, 𝑎_𝑛−2, … , 𝑎₁, 𝑎₀ → coeficientes dos termos do polinómio

𝑎₀ → termo independente 𝑛 → grau do polinómio

(7)

► POLINÓMIOS

Reduzir um polinómio é escrevê-lo de forma que não apareçam termos semelhantes.

Grau de um polinómio (depois de reduzidos os seus termos semelhantes) é o maior dos graus dos seus termos não nulos.

Ordenar um polinómio é escrevê-lo segundo as potências crescentes ou decrescentes da variável.

Um polinómio cuja forma reduzida seja zero chama-se polinómio nulo e o seu grau é indeterminado.

Um polinómio diz-se completo se a respetiva forma reduzida não tiver termos nulos. Caso contrário, diz-se incompleto.

A forma reduzida de um polinómio completo de grau 𝑛 tem 𝑛 + 1 termos.

Dois polinómios, na forma reduzida, são iguais se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais.

► DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS

Efetuar a divisão interna/euclidiana de um polinómio 𝐴(𝑥) por um polinómio (não nulo) 𝐵(𝑥) é determinar o polinómio quociente 𝑄(𝑥) e o polinómio resto 𝑅(𝑥), tais que:

𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) × 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)

1º passo

• Ordenar os polinómios, dividendoe divisor, por ordem decrescente das potências de x

• No caso do polinómio dividendoser incompleto, é escrever os seus termos nulos 2º

passo

• Dividir o termo de maior grau do polinómio dividendopelo termo de maior grau do polinómio divisor, obtendo o primeiro termo do polinómio quociente.

3º passo

• Multiplicar o termo do quocientepelo polinómio divisore subtrair este resultado ao polinómio dividendo, obtendo o 1º restoparcelar.

4º passo

• Dividir o termo de maior grau do 1º restoparcelar pelo termo de maior grau do polinómio divisor, obtendo o segundo termo do polinómio quociente.

5º passo

• Multiplicar o termo do quocientepelo polinómio divisore subtrair este resultado ao dividendo, obtendo o 2º restoparcelar.

6º passo

• Repetir o processo até obter um polinómio restode grau inferior ao grau do polinómio divisor.

(8)

REGRA DE RUFFINI

Processo prático e rápido para determinar o polinómio quociente e o polinómio resto da divisão inteira de dois polinómios quando o divisor é da forma 𝑥 − 𝑎.

Sendo 1 o grau de 𝑥 − 𝑎, o resto da divisão é uma constante e o quociente tem grau 𝒏 − 𝟏 (𝑛 é o grau do polinómio dividendo).

Modo geral:

DIVISIBILIDADE DE POLINÓMIOS

► TEOREMA DO RESTO:

O resto da divisão inteira de um polinómio 𝑃(𝑥) por 𝒙 − 𝒂 (𝑎 ∈ 𝐼𝑅) é 𝑷(𝒂).

► ZERO OU RAIZ DE UM POLINÓMIO

Um número real a diz-se raiz ou zero de um polinómio 𝑃(𝑥) se 𝑷(𝒂) = 𝟎.

Ou seja, 𝑥 = 𝑎 é solução da equação 𝑃(𝑥) = 0 (considerando-se 𝑥 como variável real)

► COLORÁRIO DO TEOREMA DO RESTO

Dado um polinómio 𝑃(𝑥) e um número 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, a é uma raiz de 𝑃(𝑥) se e só se 𝑷(𝒙) 𝐟𝐨𝐫 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬í𝐯𝐞𝐥 𝐩𝐨𝐫 𝒙 − 𝒂.

O resto da divisão de um polinómio 𝑃(𝑥) por um polinómio divisor do tipo 𝒂𝒙 − 𝒃 (𝑎 ≠ 0) é 𝐢𝐠𝐮𝐚𝒍 𝑷(^𝒃

𝒂)

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) 𝑄(𝑥) 𝑅(𝑥) = 0

(9)

► MULTIPLICIDADE DA RAIZ DE UM POLINÓMIO

► TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

o Quantos zeros pode ter um polinómio?

Todo o polinómio 𝑃(𝑥) com coeficientes reais pode ser representado como produto do coeficiente do termo de maior grau por:

 binómios do 1º grau do tipo 𝑥 − 𝑥_𝑖 (em que 𝑥_𝑖 toma valores dos zeros reais do polinómio).

 polinómios do 2º grau do tipo 𝑥²+ 𝑎𝑥 + 𝑏 (sem zeros reais).

Um polinómio de grau 𝑛 tem no máximo 𝑛 raízes reais.

► FATORIZAÇÃO/DECOMPOSIÇÃO DE POLINÓMIOS

Fatorizar (ou decompor) um polinómio significa escrevê-lo num produto de polinómios sendo, pelo menos, um dos fatores não constante e de grau inferior ao polinómio inicial.

Se 𝑃(𝑥) é um polinómio de grau 𝑛 , pode ser fatorizado:

𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑎₁)(𝑥 − 𝑎₂) … (𝑥 − 𝑎_𝑛) (em que 𝑎 é o coeficiente do termo de maior grau)

► TEOREMA DAS RAÍZES INTEIRAS

As raízes inteiras de um polinómio 𝑃(𝑥) de grau 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 e coeficientes inteiros, quando existem, são divisores inteiros do termo independente (termo de grau zero).