Matemática Financeira

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Márcio de Menezes

Matemática Financeira

IESDE Brasil S.A. Curitiba

2012 Edição revisada

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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE

SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

__________________________________________________________________________________ M512m

Menezes, Márcio de.

Matemática Financeira. / Márcio de Menezes. ed., rev – Curitiba, PR: IESDE, 2012. 348p. : 24 cm

Inclui bibliografia ISBN 978-85-387-2855-9

1. Matemática financeira. I. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino. II. Título. 12-4739. CDD: 650.01513

CDU: 51-7

06.07.12 19.07.12 037146

__________________________________________________________________________________

Capa: IESDE Brasil S.A.

Imagem da capa: IESDE Brasil S.A.

IESDE Brasil S.A.

Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 Batel – Curitiba – PR

0800 708 88 88 – www.iesde.com.br

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Márcio de Menezes

Doutorando em Física pela Universidade Es-tadual Paulista (Unesp). Mestre em Física pela Unesp. Graduado em Física pela Universidade de São Paulo (USP). Profissionalmente tem se dedicado ao desenvolvimento de software de análise estatística de dados. Professor na área quantitativa aplicada a negócios, ministrando: Métodos Quantitativos para Tomada de Deci-são, Estatística Aplicada a Negócios, Matemática Financeira e Pesquisa Operacional.

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sumáriosumáriosumáriosumáriosumário

sumário

Introdução à Matemática Financeira

11

11 | Valor do dinheiro no tempo 13 | Terminologia

17 | Diagramas de fluxo de caixa 20 | Juros simples

Juros compostos

35

35 | Problemas dos juros simples 37 | Formulando os juros compostos

40 | Comparando os juros simples com os juros compostos 41 | Simulações com juros compostos

45 | Cálculos com períodos fracionários 46 | Equivalência de capitais a juros compostos

47 | Outra comparação dos juros simples e dos juros compostos 49 | Compra de bens à vista ou a prazo

Taxas de juros

59

59 | Taxas de juros equivalentes 64 | Taxa de juros nominal e efetiva 67 | Taxas de juros variáveis 74 | Taxa ao dia útil

Desconto

83

83 | Desconto racional (ou financeiro) 85 | Desconto comercial

86 | Comparação entre desconto racional e desconto comercial 88 | Taxa de juros efetiva de um desconto comercial

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A inflação

109

109 | O que é a inflação 111 | Renda e inflação

112 | Taxa de juros nominal e real 115 | Taxa de desvalorização da moeda 116 | A deflação

117 | Taxa acumulada de inflação 118 | Taxa média de inflação 120 | Índices de inflação do Brasil 122 | Dinheiro para aposentadoria

Estrutura das taxas de juros

133

133 | Spread bancário 140 | Taxa over

145 | Taxa spot e taxa forward 151 | Ampliando seus conhecimentos

Tributação e rendimento

157

157 | Tributações

162 | Outros custos de transação

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sumáriosumáriosumáriosumáriosumário

sumário

Série de pagamentos

181

185 | Usando a calculadora HP12c para cálculos financeiros 186 | Usando o Excel para cálculos financeiros

186 | Fazendo contas

188 | Exemplos usando a HP12c, o Excel e algumas contas 197 | Séries de pagamentos antecipados

Perpetuidade e série de

pagamentos constantes e variáveis

211

211 | Perpetuidade 221 | Série de pagamentos 230 | Aposentadoria

Amortização

239

251 | Outros sistemas de amortização

Avaliação de investimentos

261

262 | Valor de um projeto

263 | Método do Valor Presente Líquido (VPL) 266 | Método do Pay-Back descontado 267 | Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)

270 | Método da Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM) 272 | Comparação entre as metodologias

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Títulos de renda fixa

285

286 | A emissão de títulos 287 | Os títulos públicos

289 | Preço dos títulos prefixados 293 | Preço dos títulos pós-fixados

295 | Composição das taxas dos títulos pós-fixados

296 | A decisão de investimento: títulos prefixados X pós-fixados

Atividades de revisão

305

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Ma

temática Financeir

a

Apresentação

Esta obra trata da Matemática Financeira apenas como um primeiro passo a ser dado para se conhecer o mundo das Finanças. Através dela, você será capaz de saber mais sobre as taxas de juros que estão presentes nas aplicações e em-préstimos, assim como nos financiamentos, que são tão comuns atualmente.

Todo o conhecimento aqui apresentado, praticamente não exige pré-requisitos. O único conhecimento prévio que você necessita é saber as operações matemáticas básicas (soma, subtração, divisão e multiplicação), bem como saber a potenciação.

O conhecimento que você vai adquirir aqui vai além da matemática das taxas de juros. Você também vai poder aprender um pouco o fun-cionamento do mercado financeiro, sua termi-nologia técnica, juntamente com as operações mais comuns.

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Introdução

à Matemática Financeira

Valor do dinheiro no tempo

Moeda

Antes de detalharmos a Matemática Financeira, vejamos algumas defini-ções sobre o que são moeda e capital. Moeda é o meio que facilita a troca de bens e serviços, possuindo basicamente três funções: meio de troca, unidade de valor e acúmulo de riquezas. A moeda é essencial como um meio de troca, por ser melhor que o escambo. Entretanto, veremos ao longo desta obra que, apesar de importante, é insuficiente para algumas operações financeiras.

Capital é o dinheiro acumulado que está investido ou disponível para ser investido. Existem outras possíveis denotações para capital, mas vislumbrar capital como recursos disponíveis para uma aplicação é a que mais se em-prega nesta obra.

Gastar X investir

Indivíduos e empresas têm de saber como lidar com o seu dinheiro. Ele pode ser gasto imediatamente ou economizado. É claro que é possível fazer as duas coisas, ou seja, gastar parte do dinheiro e economizar outra parte. Decidir por economizar é o mesmo que adiar o consumo para realizar um investimento.

Aquele que possui o dinheiro decide entre consumo e investimento com o intuito de maximizar a sua utilidade (nível de satisfação). O presente é certo, enquanto o futuro é incerto. Assim, quando se decide pelo investi-mento, espera-se uma remuneração que pague pelo adiamento do consu-mo e também pela incerteza do próprio investimento. O resultado de um investimento é quase sempre incerto; assim, para que uma pessoa (ou em-presa) decida pelo investimento, ele deve gerar uma remuneração que seja atrativa, apesar da incerteza no valor a receber no futuro. Caso contrário, não haverá interesse em poupar.

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Introdução à Matemática Financeira

Remuneração pelo investimento

A remuneração pelo investimento é chamada de juro. É uma quantidade dependente do tempo que o consumo está sendo adiado. Juro é a remune-ração pelo consumo adiado, ou, em outras palavras, a remuneremune-ração sobre o capital investido.

Exemplo: Você empresta R$100.000,00 a José hoje que serão devolvidos daqui a um ano. A questão é: quanto José deve lhe entregar após um ano? Com certeza o valor, daqui a um ano, deve ser corrigido pela inflação. Se a in-flação for de 5% ao ano, então o valor devolvido depois desse período deve ser de R$105.000,00.

Agora fica uma outra pergunta: será que José deve pagar apenas o valor emprestado corrigido pela inflação? De acordo com o que já foi dito ante-riormente, você esperaria ser remunerado por adiar o consumo. Assim, você espera receber a correção relativa à inflação, mais uma parcela que chamamos de juro real. Dessa forma você espera receber mais do que os R$105.000,00 mencionados anteriormente. Digamos que a inflação nesse período acresci-da dos juros reais que a economia está proporcionando seja de 15%. Então, você espera receber R$115.000,00.

Existe mais um problema. Será que José vai realmente pagar o emprés-timo? Mesmo que você o conheça e saiba da sua boa índole, existe a pos-sibilidade de ele perder o emprego, por exemplo. Assim, resta uma última pergunta: como devemos tratar a incerteza com relação ao recebimento da quantia emprestada? Com certeza você terá de cobrar mais ainda do José. Os R$115.000,00 não serão suficientes para cobrir aquilo que você espera ganhar. O governo, nesse nosso exemplo, está pagando 15% de juros no-minais (que são os juros reais mais a inflação). Mas você sabe que, se o go-verno não tiver dinheiro, ele pode emitir moeda para a dívida. Mas o pobre José não pode fazer isso. Portanto, você vai cobrar mais do José do que você ganha fazendo um investimento num título do governo.

O juro cobrado num empréstimo deve cobrir: a inflação esperada;

o juro real; o risco.

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Vimos então que existem três motivos para que o valor do dinheiro varie no tempo. Agora que fizemos essa discussão sobre o dinheiro, é fácil ver que receber R$100,00 hoje vale mais do que receber R$100,00 daqui a um ano. Primeiramente, isso ocorre devido à inflação. O segundo motivo que faz com que o dinheiro valha mais hoje do que no futuro é a possibilidade que você tem de investi-lo e receber mais no futuro (juro real). O terceiro motivo está relacionado à incerteza (risco); você não tem certeza se receberá o dinheiro no futuro (risco de crédito), além disso, em muitos investimentos não sabe-mos o valor exato que receberesabe-mos no futuro (risco de mercado).

É importante notar que, como o dinheiro perde seu valor ao longo do tempo, os juros são a forma de garantir que o valor financeiro disponível hoje seja equivalente ao que teremos no futuro. Em economia é comum con-siderar o custo de oportunidade, que é o custo de desistir de um ganho certo hoje para trocá-lo por um ganho futuro. O custo de oportunidade é exata-mente a mesma coisa que o valor do dinheiro.

Juro prefixado e pós-fixado

É interessante notar que não sabemos qual será a inflação daqui para o futuro. Assim, dizemos que devemos cobrar pela inflação esperada. Entretanto, se não quisermos confiar nas nossas expectativas podemos considerar o juro como pós-fixado. Considerando o exemplo acima, você poderia emprestar a José a uma taxa pós-fixada. Você poderia dizer a ele que emprestaria a uma taxa de 10% mais a inflação que ocorrer no período. Como a inflação não é co-nhecida de antemão, José não sabe ao certo quanto pagará, assim como você também não sabe o quanto receberá. Todavia, você sabe que, se a inflação ao longo do próximo ano for de 20% ao ano, você não perderá dinheiro.

Terminologia

Imagine que você faz um investimento de R$100,00. Você aplica essa quantia e no futuro (após um ano) resgatará um outro valor, por exemplo, R$120,00. Precisamos usar uma terminologia única, que não traga dúvidas no momento que formos identificar e resolver os problemas.

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Os vários livros de Matemática Financeira não possuem uma terminologia única para os vários termos. Assim, vamos nos concentrar apenas em alguns, para que não haja confusão.

Valor presente, valor futuro e juro

O valor investido costuma ser chamado de valor presente, principal ou ca-pital. Já o valor resgatado pode ser chamado de valor futuro, montante, valor de resgate ou saldo futuro. Apesar de cada obra utilizar um desses diferentes termos, vale ressaltar que as calculadoras financeiras, assim como o Excel, uti-lizam os termos valor presente (para fazer referência ao valor inicial de uma aplicação ou dívida) e valor futuro (para o valor final da aplicação ou dívida).

O valor presente nada mais é do que o valor do capital investido. O valor futuro é o capital resgatado ao final do período de investimento. Portanto o valor presente da sua aplicação é de R$100,00, enquanto que o valor futuro é de R$120,00.

Assim como precisamos de nomes para os valores inicial e final da apli-cação, utilizamos um nome para a diferença entre o valor final e o valor ini-cial da aplicação. Conforme vimos, a remuneração sobre o capital investido é chamada de juro. Portanto, o incremento sofrido pelo capital investido é chamado de juro.

Dessa forma, o juro nada mais é do que o valor futuro menos o valor pre-sente, ou seja:

Juro = Valor Futuro – Valor Presente

Retomando o início desta seção, quando você investiu R$100,00 e resga-tou R$120,00, podemos afirmar agora que o juro (remuneração pelo capital investido) foi de R$20,00.

Em outras palavras, o juro representa o aumento do capital investido. Exemplo: Manoel aplicou R$100,00 na caderneta de poupança. Depois de um ano sem mais nenhuma movimentação, ele possuía R$110,00. Quanto ele obteve de juro?

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Juro = Valor Futuro – Valor Presente Juro = R$110,00 – R$100,00

Juro = R$10,00

Observe que a equação acima pode ser reescrita como: Valor Futuro = Valor Presente + Juro

Agora podemos escrever o valor futuro em termos do valor presente e do juro.

Exemplo: Silvana investiu R$100,00. Após dois anos o juro foi de R$25,00. Qual era o montante que Silvana possuía ao final desses dois anos?

Valor Futuro = Valor Presente + Juro Valor Futuro = R$100,00 + R$25,00 Valor Futuro = R$125,00.

Para simplificar ainda mais a notação que utilizamos, usaremos, de agora em diante, letras para representar o valor presente, o valor futuro e o juro. Isso será feito assim:

Valor Presente (P); Valor Futuro (F); Juro (J).

Reescrevendo as equações acima temos: J = F – P F = P + J

Taxa de juros

A taxa de juros (i) é a razão entre o juro e o capital investido (valor presen-te), ou seja:

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Taxa de Juros = Juro / Valor Presente

Também podemos escrever essa equação da seguinte forma: i = J / P

A taxa de juros é uma quantidade adimensional, mas comumente é medida em termos de percentagem ao período.

Considerando novamente que você aplicou R$100,00 e resgatou R$120,00 depois de um ano, a taxa de juros (i) é de:

i = R$20,00 / R$100,00 = 0,20 = 20% ao ano.

É importante que a taxa de juros seja medida por unidade de tempo. No caso apresentado a taxa foi de 20% ao ano. Será que em seis meses essa aplicação teria rendido a mesma taxa? Certamente não. Esperamos que na metade do tempo a taxa de juros seja aproximadamente a metade.

Assim, o juro (J) pago após um período de tempo é dado por: J = P . i

ou seja, o juro (J) cobrado após um período de tempo é o produto do valor presente (P) pela taxa de juros (i).

Já sabemos que o valor futuro pode ser calculado a partir do valor pre-sente e do juro (F = P + J). Também sabemos que o juro pode ser calculado a partir da taxa de juros e do valor presente (J = P . i). Assim, podemos calcular o valor futuro em termos do valor presente e da taxa de juros:

F = P + J F = P + P . i F = P . (1 + i)

sendo que na última passagem, da equação acima, simplesmente coloca-mos o valor presente (P) em evidência.

É importante notar que a taxa de juros é geralmente escrita em porcen-tagem. Entretanto, sempre fica claro no contexto o que está sendo usado.

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Podemos escrever uma taxa de juros como i = 15% ao ano, ou i = 0,15 ao ano. Sendo que ambos representam exatamente a mesma coisa.

Exemplo: Sebastião aplicou R$100,00 em um fundo que rendeu 12% em um ano. Qual o juro e o montante após um ano?

O juro é: J = P . i

J = R$100,00 . 12% J = R$100,00 . 12 / 100 J = R$12,00

Já o montante pode ser escrito assim: F = R$100, 00 . (1 + 12%)

F = R$100,00 . (1 + 0,12) F = R$100,00 . 1,12 F = R$112,00

Observe que poderíamos ter escrito simplesmente: F = P + J

F = R$100,00 + R$ 12,00 F = R$112,00

Diagramas de fluxo de caixa

As operações financeiras nada mais são do que compromissos que duas partes assumem entre si. Uma das partes (que pode ser uma pessoa, empresa, instituição financeira ou o próprio governo) é um tomador de recursos, enquanto a outra parte, um financiador. O financiador possui recursos finan-ceiros e deseja aplicá-los, para que o seu capital renda juros.

Um diagrama de fluxo de caixa é um fluxo de pagamentos e recebimentos em diferentes instantes de tempo. Esse fluxo é gerado por um investimento, um empréstimo ou algum outro tipo de negócio. Geralmente, assumimos que os fluxos positivos (setas orientadas para cima) representam uma en-trada de recursos, enquanto que os negativos (setas orientadas para baixo) representam saída de recursos.

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Ponto de vista do tomador de recursos

As operações financeiras fazem com que exista um fluxo de caixa envol-vendo os dois agentes acima citados. O tomador vislumbra primeiramente uma entrada de caixa que é o capital que ele recebe emprestado. Depois de algum tempo, o tomador tem uma (ou mais) saída de caixa, que corresponde ao pagamento do empréstimo, a qual pode ser feita através de uma única parcela, ou através de várias.

Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do tomador de recursos.

No primeiro diagrama, vemos que foram tomados R$100,00 empresta-dos no período zero. O pagamento foi feito em 6 parcelas de R$20,00. Já no segundo diagrama, também se tomaram emprestados R$100,00

no período zero. Entretanto, o pagamento ocorreu em uma única par-cela após seis períodos de tempo (possivelmente seis meses). O valor do pagamento foi de R$130,00. R$100,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 1 2 3 4 5 6 R$100,00 R$130,00 1 2 3 4 5 6

Figura 1 – Fluxo de caixa de empréstimos.

Ponto de vista do aplicador de recursos

Do ponto de vista do aplicador ocorre exatamente o oposto, ou seja, ocorre uma saída de caixa, pois o dinheiro foi aplicado (emprestado). Depois de algum tempo, o tomador devolve o dinheiro, ocorrendo assim uma entrada de caixa.

Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do aplicador.

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No primeiro diagrama, vemos que R$100,00 foram aplicados no instante zero. O retorno da aplicação ocorrerá através de seis parcelas de R$20,00. Já no segundo diagrama, também foram aplicados R$100,00 no perío-do zero. Entretanto, o retorno ocorreu em uma única parcela após seis períodos de tempo (possivelmente seis meses). O valor recebido ao final da aplicação foi de R$130,00.

R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$20,00 R$100,00 R$100,00 R$130,00 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Figura 2 – Fluxo de caixa de aplicações.

Outros diagramas de fluxo de caixa

Conforme vimos, nos diagramas de fluxo de caixa, as setas para baixo signifi-cam saída de capital, enquanto as setas para cima denotam entrada de capital. Além disso, vale ressaltar que os fluxos de caixa podem ocorrer de várias outras formas. As mais comuns foram citadas acima, ou seja, ocorre um fluxo positivo seguido de outros negativos. A outra possibilidade que vimos é quando temos um fluxo negativo seguido de outros positivos. Contudo, podem ocorrer outros tipos, tal como mostrado nas figuras a seguir.

R$100,00 R$50,00 1 2 3 4 5 6 R$200,00 R$60,00 R$60,00 R$60,00 R$60,00 R$60,00 R$60,00 1 2 3 4 5 6 R$50,00 R$50,00 R$50,00 R$50,00 R$50,00

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Observação: todos os exemplos serão resolvidos com o auxílio dos dia-gramas de fluxo de caixa. Isso nos auxiliará no entendimento dos exemplos, assim como na sua resolução.

Juros simples

Vimos anteriormente aplicações em que o período da aplicação é igual a um. Nesse caso, o cálculo do juro é sempre o mesmo, indiferente de traba-lharmos com juros simples ou juros compostos. Vamos começar esta seção estudando o caso em que o período da aplicação é um inteiro maior que um. Depois estudaremos o caso em que o período da aplicação é fracionário.

Período da aplicação é um inteiro maior que um

Quando temos um capital sendo investido por n períodos, a cada período recebemos um juro. Da seguinte forma:

período 1 : J1 = P . i período 2 : J2 = P . i período n : J_n = P . i

onde J_n é o juro no período n.

Portanto, os juros totais acumulados após n períodos é igual a: J = J₁ + J₂ + · · · + J_n

J = P . i . n Assim, o valor futuro será dado por:

F = P + J F = P + P . i . n F = P . (1 + i . n)

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Encontrando o valor futuro

Exemplo: Camila aplica R$100,00 em um fundo de investimento que rende 1% ao mês a juros simples. Calcule quanto Camila possuirá após seis meses.

Vamos começar montando o fluxo de caixa. Como Camila está aplicando, ela primeiramente tem que desembolsar os R$100,00; dessa forma, esse fluxo de caixa é negativo e sua seta no diagrama fica para baixo.

Após seis meses, Camila terá o dinheiro disponível para sua utilização, então assumimos que nessa data ela estará recebendo o dinheiro. Logo, esse fluxo de caixa será positivo e a seta no diagrama fica para cima.

R$100,00

F = P . (1+ i . n)

1 2 3 4 5 6

As contas ficam tal como mostrado a seguir: F = P . (1+i . n)

F = R$100,00 . (1 + 0, 01 . 6) F = R$100,00 . (1,06) F = R$106,00

Encontrando o valor presente

A equação dos juros simples será bastante usada. Entretanto, podemos fazer uma pequena modificação e usá-la para achar o valor presente de um in-vestimento quando sabemos apenas o valor futuro, a taxa de juros e o número de períodos que o capital estará sendo aplicado. Dessa maneira temos:

P = F

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Exemplo: Sidney pegou dinheiro emprestado com seu amigo a uma taxa de juros de 3% ao mês. Sabendo que depois de três meses ele teve de pagar R$130,80, diga qual foi o valor que Sidney pegou emprestado.

R$130,80 1 2 3 P = F (1 + i . n) P = F / (1 + i . n) P = R$130,80 / (1 + 0,03 . 3) P = R$130,80 / 1,09 P = R$120,00

Encontrando a taxa

Usando ainda a equação dos juros simples, podemos calcular a taxa de juros quando temos o valor presente, o valor futuro e o período. Isolando a taxa temos:

F – 1 i = P

n

ou

F –1 . 1P n

Exemplo: Adalberto pegou R$200,00 emprestado no banco. Depois de um ano ele teve de pagar R$250,00. Assumindo que o banco tenha utilizado juros simples, calcule a taxa de juros ao mês.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

R$250,00 R$200,00

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Introdução à Matemática Financeira 23 i = (F / P – 1) / n i = (R$250,00 / R$200,00 – 1) / 12 i = (1,25 – 1) / 12 i = 0,02083 = 2,083% ao mês

Encontrando o período

Podemos agora usar a fórmula dos juros simples para encontrar o período. Quando sabemos o valor presente, o valor futuro e a taxa de um empréstimo, podemos descobrir quando o empréstimo deve ser pago. A equação usada é:

F – 1 n = P

i

ou

F –1 . 1P i

Exemplo: Juliana emprestou R$150,00 a uma amiga a uma taxa de juros simples de 1% ao mês. Ela disse que a amiga deve pagar R$180,00. Qual é o período do empréstimo? R$180,00 R$150,00 n = (F/P – 1)/i n = (R$180,00/R$150,00 – 1)/0,01 n = 20 meses

Período de aplicação é

uma fração do período da taxa

Quando o período (n) da aplicação é menor que um, realizamos os cálculos da mesma forma. Ou seja, as fórmulas utilizadas serão as mesmas.

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J = P . i . n F = P . (1 + i . n)

Exemplo: Maria aplicou R$100,00 a uma taxa de 10% ao ano (juros sim-ples). No entanto, ela manteve seu dinheiro aplicado durante seis meses. Qual o valor de seu resgate?

Antes de usarmos a equação para juros simples observe que a taxa de juros foi dada ao ano e que o período foi dado em meses. Teremos que con-verter um deles para que os dois estejam expressos no mesmo período.

Poderíamos converter qualquer um dos dois (a taxa ou o período), mas vamos converter o período que está expresso em meses para ano. Assim, o período fica:

n = 6 meses = 1₂ ano

Agora que a taxa e o período estão expressos ao ano, podemos achar o valor futuro da aplicação de Maria. Mas primeiramente observe o diagrama de fluxo de caixa. F = R$100,00 . (1 + 10% . 1 2) R$100,00 6 meses As contas ficam: F = P . (1 + i . n) F = R$100,00 . (1 + 10% . 1 2) F = R$100,00 . (1 + 0,10 . 0,5) F = R$100,00 . (1 + 0,05) F = R$100,00 . (1,05) F = R$105,00

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Taxas equivalentes a juros simples

É importante sabermos comparar as taxas de juros, mesmo quando expres-sas em unidades de tempo diferentes. Alguns investimentos são expressos ao mês, enquanto outros são expressos ao ano.

Suponha que você tem R$1.000,00 disponíveis para investir. Você tem duas opções de investimento: uma com taxa de 12% ao ano e outra com taxa de 1% ao mês. Qual das duas é a mais interessante?

Quando estamos considerando juros simples as taxas são proporcionais ao período de tempo a que elas se referem. Dessa forma, uma taxa de juros semestral será dada pela metade da taxa de juros anual, pois um semestre equivale à metade de um ano. Para observar melhor veja o exemplo a seguir.

Exemplo: Considere uma operação a juros simples com um pagamento único previsto para daqui a um ano, a qual foi prefixada em 12% ao ano. Levan-do em consideração que estamos usanLevan-do juros simples, determine as taxas de juros mensal, trimestral e semestral que produzem o mesmo efeito sobre o capital investido. Leve em conta que foi feito um investimento de R$100,00.

Como estamos considerando juros simples, o valor futuro é dado por: F = P . (1 + i . n)

Quando estamos considerando o problema original, ou seja, apenas o pe-ríodo de um ano, temos n = 1, então:

F = P . (1 + i_aa) onde i_aa é a taxa de juros expressa ao ano.

Substituindo os valores na equação acima temos: R$112,00 = R$100,00 . (1 + 0,12)

Quando consideramos que a capitalização ocorre mensalmente, temos 12 períodos, contudo, a taxa é desconhecida. Veja:

R$112,00 = R$100,00 . (1 + i_am . 12)

Observe que podemos comparar as duas expressões mostradas. Como o valor presente das duas equações é o mesmo, assim como os dois valores

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futuros, podemos ver que o termo entre parênteses em ambos os casos deve ser o mesmo:

(1 + 0,12) = (1 + i_aa) = (1 + i_am . 12) Dessa expressão podemos ver que:

i_aa = i_am . 12 Portanto, a taxa mensal poder ser escrita como:

i_am = i_aa / 12 12% / 12 = 1% ao mês

Agora vamos calcular a taxa trimestral. Para isso observe que um ano possui quatro trimestres, assim:

R$112,00 = R$100,00 . (1 + i_at . 4)

Comparando a equação para os juros trimestrais com a que utiliza juros anuais, vemos que:

i_at = i_aa / 4 = 12% / 4 3% ao trimestre Finalmente, a taxa de juros semestrais fica:

i_as = i_aa / 2 = 12% / 2 6% ao semestre

Como as taxas equivalentes (a juros simples) são proporcionais ao período de tempo a que elas se referem, elas são comumente chamadas de taxas proporcionais.

Cheque especial

O mercado financeiro no Brasil trabalha quase sempre com juros com-postos. Poucos são os exemplos no mercado em que os juros simples são usados. Um exemplo é o cheque especial.

Quando utilizamos o cheque especial, a cada dia que a conta fica nega-tiva é aplicada uma taxa de juros sobre o saldo devedor, dessa forma são calculados os juros. Os juros totais que incorreram nesse mês são debitados da conta corrente no mês seguinte.

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Para podermos fazer uma discussão mais ampla sobre os juros simples no cheque especial, vamos analisar um exemplo da movimentação de uma conta-corrente ao longo de um mês.

Exemplo: Marcelo é um trabalhador que frequentemente utiliza o cheque especial para conseguir honrar os seus compromissos. Sabendo que o banco cobra 9% ao mês pela utilização do cheque especial, calcule quanto Marcelo terá de pagar ao banco. A tabela a seguir mostra a movimentação da conta corrente de Marcelo no mês de abril de 2007.

Data Valor D/C Saldo D/C Número de dias com o respectivo saldo negativo 01/04/2007 R$1.500,00 R$1.600,00 C 0 05/04/2007 R$1.000,00 R$600,00 D 0 07/04/2007 R$700,00 –R$100,00 D 3 10/04/2007 R$100,00 –R$200,00 D 5 15/04/2007 R$50,00 –R$250,00 D 5 20/04/2007 R$60,00 –R$310,00 D 10 30/04/2007 R$1.500,00 R$1.190,00 C 0

Observe que o banco informa a taxa com período mensal. Todavia, como o saldo muda a cada dia, temos de encontrar a taxa ao dia. Como o mês de abril tem 30 dias, a taxa diária é simplesmente a taxa mensal dividida por 30. Assim:

i_ad = i_am / 30 9% / 30 = 0,30% ao dia

O juro total pago é dado pela soma do juro pago a cada dia. Observe que no dia 7 a conta ficou negativa. Assim, do dia 7 para o dia 8 o juro será o produto do saldo devedor (R$100,00) pela taxa de juros ao dia (0,3%). En-tretanto, esse saldo fica negativo em 100 reais por três dias; dessa forma, multiplicamos também pelo período de tempo. Fazendo o mesmo para o restante do mês temos:

J = R$100,00 . 0,0030 . 3 + R$200,00. 0,0030 . 5 + R$250,00 . 0,0030 . 5 + R$310,00 . 0,0030 . 10

J = R$16,95

Consequentemente, Marcelo terá de pagar ao banco R$16,95 no próxi-mo mês.

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Ampliando seus conhecimentos

O mercado financeiro

O mercado financeiro é um mercado onde investidores e tomadores de recursos se encontram para trocar recursos. Entretanto, não são apenas esses dois tipos de agentes que estão presentes no mercado financeiro. Existem, por exemplo, os intermediários financeiros que auxiliam na troca de recursos entre poupadores e tomadores de recursos.

Um exemplo bastante simples de um intermediário financeiro é o banco. O banco aceita depósitos dos poupadores e faz empréstimos para os que necessitam de dinheiro.

Conforme vemos na figura abaixo, um agente superavitário entrega recursos ao intermediário financeiro (banco, por exemplo). O banco, em contrapartida, en-trega um título a esse investidor. Nesse título, o banco se compromete a devolver o dinheiro investido, corrigido por uma taxa. Essa taxa pode ser conhecida de an-temão (prefixada), ou definida com base em algum índice de mercado.

Poupador Tomador Título $$ Intermediário financeiro Título $$

Agora que o intermediário financeiro tem recursos disponíveis, ele pode entregá-los a algum agente deficitário. Esse tomador de recursos entrega um título ao banco comprometendo-se a devolver o dinheiro recebido, corrigido por uma taxa. Essa taxa também pode ser prefixada ou pós-fixada.

É importante salientar que os tomadores de recursos e os investidores podem negociar diretamente uns com os outros. Entretanto, os intermediários financei-ros auxiliam bastante a negociação que ocorre entre os dois tipos de agentes.

Vamos observar agora um grande problema que ocorre no mercado financei-ro. Quase sempre os investidores querem investir no curto prazo. Os investidores querem ter a possibilidade de sacar os seus recursos a qualquer momento, ou,

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pelo menos, após um período curto de tempo. Já os tomadores querem rece-ber recursos para serem devolvidos depois de um prazo mais longo.

Para ilustrar essa situação, pense nas empresas que precisam de recursos para construir uma nova fábrica. Dependendo da fábrica, somente depois de alguns anos a empresa começa a ver disponível o retorno daquilo que foi apli-cado. Entretanto, é difícil encontrar alguém que possa deixar seus recursos investidos por vários anos sem a possibilidade de rever o seu dinheiro até o final do período combinado.

Assim, vemos a importância dos intermediários financeiros. Eles vão ge-renciar essa diferença de prazos entre investidores e tomadores.

O governo

É importante salientar que não apenas pessoas e empresas podem ser to-madores de recursos. Um grande tomador de recursos no mercado financeiro é o governo. Para arcar com os seus custos, o governo cobra impostos, mas mesmo assim não consegue cumprir com as suas obrigações. Portanto, o go-verno vende títulos para conseguir arrecadar mais recursos.

Existem outros motivos que levam o governo a vender títulos. A venda de títulos pode estar relacionada a mudanças que o governo pretenda provo-car na inflação, pois quando o governo absorve recursos da economia, sobra menos dinheiro para ser aplicado na indústria e demais setores da economia.

Os vários agentes financeiros

O mercado financeiro não é formado apenas por tomadores de recursos, investidores e intermediários financeiros. Existem vários outros agentes que têm funções bastante importantes. O mercado financeiro é mais complexo que o mercado de bens e baseia-se na Matemática Financeira.

A figura a seguir mostra a organização do Sistema Financeiro Nacional (SFN). O SFN tem por objetivo facilitar a interação entre aplicadores e toma-dores de recursos.

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* Subor dinado ao M inist ér io do D esen volvimen to , I ndústr ia e C omér cio Ex ter ior (MDIC ). Figur a 1 – O Sist ema F inanc eir o Nacional . IRB Sist ema F inanc eir o Nacional Instituiç ões Nor ma tiv as Instituiç ões Oper ativ as Instituiç ões Financ eir as M onetár ias Instituiç ões Financ eir as Não M onetár ias Instituiç ões Segur ador as Banc os c omer ciais C aixa E conômica Banc os de in vestimen to F inanciador as de cr édit o imobiliár io L easing B olsas de v alor es BM&F CTVM DT VM

BB BNB BASA BNDES* CEF

C or ret or a de segur os C or ret or a de r essegur os A ut ônomo de segur os A ut ônomo de r essegur os C ompanhias de segur o C ompanhias de r essegur o Instituiç ões Distr ibuidor as Instituiç ões Especiais COPOM BA CEN CNSP SUSEP CVM CVM M inist ér io da F az enda (FARIA, 2003)

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Atividades de aplicação

1. Calcule os juros ganhos por R$4.000,00 aplicados por um ano com taxa simples de 25% ao ano.

2. Qual o valor futuro de R$1.500,00 aplicados por um ano com taxa sim-ples de 50% ao ano?

3. Qual é a taxa simples que transforma R$4.500,00 em um valor futuro de R$8.100,00 em um ano?

4. Qual o rendimento de R$10.000,00 aplicados por um mês com taxa simples de 36% ao ano?

5. Determine a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,06% ao mês.

6. Calcule o rendimento de R$30.000,00 aplicados durante seis meses e dez dias com taxa de juros simples de 40% a.a. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias), o ano exato (365 dias) e cada mês com 30 dias.

7. Calcule o rendimento de R$20.000,00 aplicados por 13 dias com taxa simples de 2,4% ao mês.

8. Em seis meses R$20.000,00 renderam R$4.000,00 de juros. Qual é a taxa anual simples ganha?

9. Um capital de R$5.000,00 rendeu R$1.250,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha?

10. Um capital aplicado por três meses a juros simples de 4% a.m. rendeu R$360,00. Determine o valor aplicado.

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Gabarito

1. Dados: P = R$4.000,00; i = 25% a.a.; J = ? J = P . i J = R$4.000,00 . 0,25 J = R$1.000,00 2. Dados: P = R$1.500,00; i = 50% a.a.; F = ? J = P . i J = R$1.500,00 . 0,50 J = R$750,00 F = P + J F = R$1.500,00 + R$750,00 F = R$2.250,00 3. Dados: P = R$4.500,00; F = R$8.100,00; n = 1; i = ? J = F – P J = R$8.100,00 – R$4.500,00 J = R$3.600,00 i = J / P i = R$3.600,00 / R$4.500,00 i = 0,8 = 80% a.a. 4. Dados: P = R$10.000,00; n = 1 mês; i = 36% a.a.; J = ? J = P . i . n J = R$10.000,00 . 0,36 . 1 / 12 J = R$300,00

5. Dados: n = 22 dias; i = 3,06% a.m.; i_22dias = ? i_22dias = (0,0306 / 30) . 22

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6. Vamos assumir que cada mês possui 30 dias.

Dados: P = R$30.000,00; n = 6 meses e 10 dias = 190 dias; i = 40% a.a.; J = ?

J = P . i . n

J = R$30.000,00 . 0,40 . 190 / 360 = R$6.333,33 J = R$30.000,00 . 0,40 . 190 / 365 = R$6.246,58

7. Dados: P = R$20.000,00; i = 2,4% a.m.; n = 13 dias; J = ? J = P . i . n

J = R$20.000,00 . 0,024 . 13 / 30 J = R$20.000,00 . 0,024 / 30 . 13 J = R$208,00

8. Dados: P = R$20.000,00; J = R$4.000,00; n = 6 meses = 6 / 12 anos; i = ? J = P . i . n R$4.000,00 = R$20.000,00 . i . 6 / 12 i = (R$4.000,00 / R$20.000,00) . 12 / 6 i = 0,40 = 40% a.a. 9. Dados: P = R$5.000,00; J = R$1.200,00; n = 180 dias; i = ? J = P . i . n R$1.250,00 = R$5.000,00 . i . 180 / 360 i = (R$1.250,00 / R$5.000,00) . 360 / 180 i = 0,50 = 50% a.a.

10. Dados: n = 3 meses; i = 4% a.m.; J = R$360,00; P = ? J = P . i . n

R$360,00 = P . 0,04 . 3 P = R$360,00 / 0,12 P = R$3.000,00

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