UM TUBO DE DESCARGA UTILIZANDO MÉTODOS
PROBABILÍSTICOS
Filipe Fontanela, ffontanela@gmail.com1
Arcanjo Lenzi, arcanjo@lva.ufsc.br1
1Universidade Federal de Santa Catarina, Campus Universitário Reitor João David Ferreira Lima, Florianópolis,88040-900, SC - Brasil
Resumo: Na modelagem de uma estrutura, constrói-se um modelo mecânico-matemático com a finalidade de descrever as respostas dos sistemas reais. Durante essa modelagem, incertezas são geradas devido à variabilidade do produto, oriunda do processo de manufatura, e também devido à impossibilidade ou inviabilidade de representar processos físicos de maneira exata. Levar em conta as incertezas, ainda na etapa de projeto, é a primeira etapa de um projeto robusto, onde pequenas variações na configuração original não são capazes de alterar significativamente a resposta do produto. Por isso, esse trabalho tem como principal objetivo analisar a resposta dinâmica de um tudo de descarga, sujeito a diferentes níveis de incertezas paramétricas e não paramétricas, de um compressor hermético típico de refrigerador doméstico. No caso paramétrico, definem-se 45 parâmetros para a estrutura, modelando-os como variáveis randômicas, enquanto para a modelagem não paramétrica, tratam-se as incertezas ao nível dos operadores, modelando-os diretamente como matrizes aleatórias. Por fim, discutem-se as respostas do sistema, identificando até que ponto o modelo é robusto diante de pequenas variações dos parâmetros e operadores do modelo.
Palavras-chave: Análise dinâmica, incertezas, simulação de Monte Carlo.
1. INTRODUÇÃO
O estudo do comportamento dinâmico de uma estrutura envolve a elaboração de um modelo mecânico-matemático capaz de representar, caracterizar e prever as respostas dos sistemas reais. Durante a etapa de projeto, é importante con-siderar as incertezas do modelo proposto, pois aumenta a robustez do produto, principalmente em altas frequências onde pequenas variações na configuração original podem levar a respostas bastante distintas. Por esse motivo, os estudos sobre modelagem e quantificação de incertezas foram intensificados nos últimos anos e periódicos inteiros foram dedicados ao assunto (Mace et al., 2005 e Beck e Trindade, 2012).
Este trabalho tem como principal objetivo a caracterização e a quantificação de incertezas no modelo estrutural do tubo de descarga de um compressor hermético. Esse componente é o responsável pela conexão do cabeçote do cilindro de compressão à carcaça do compressor, levando o fluido refrigerante ao sistema de refrigeração. Com a finalidade de reduzir os níveis de vibração dos mecanismos de compressão à carcaça, a geometria do tubo de descarga apresenta um conjunto de curvaturas e segmentos de reta bastante particular. Além disso, devido à baixa rigidez dinâmica, as primeiras frequências naturais do tubo tornam-se muito baixas, próximas às frequências de operação de 50 ou 60 Hz do compressor (Gaertner, 2008 e Bortoli e Silva, 2012). Assim, pequenas variações podem levar o sistema a excitar as ressonâncias do tubo.
Para avaliar as incertezas propagadas no modelo estrutural proposto, duas abordagens foram empregadas. A pri-meira, denominada de abordagem probabilística paramétrica, trata como incertos os parâmetros constitutivos do modelo mecânico-matemático, enquanto a segunda, chamada de probabilística não paramétrica, trata as incertezas ao nível dos operadores do modelo. As duas propostas são distintas, embora seja possível demonstrar, matematicamente, que o espaço amostral gerado pela abordagem não paramétrica é mais amplo comparado ao da paramétrica (Soize, 2005a; Ritto et al., 2008 e Sampaio e Cataldo, 2010). Essa propriedade faz com que a abordagem não paramétrica seja capaz de levar em conta não somente as incertezas nos parâmetros do modelo, mas também termos de mais alta ou baixa ordens na equação diferencial que governa a dinâmica do sistema (Legault et al., 2012).
2. MODELO MÉDIO
A Fig. 1 mostra a geometria do tubo de descarga analisado. Trata-se de uma estrutura tubular de aço cobreado, com módulo de elasticidade E=195 GPa, coeficiente de Poisson ν=0,34, densidade ρ=7720 kg/m3, diâmetro externo φext=3,2
X Z
Y
(a)
(b)
Figura 1: Vista isométrica do tubo de descarga.
Para determinar, matematicamente, a resposta dinâmica do tubo de descarga, a geometria foi discretizada utilizando o método dos elementos finitos. Essa modelagem foi realizada com o auxílio do programa comercial Ansys , descrevendo-R se cada elemento como vigas Euler-Bernoulli. Na modelagem, utilizou-se o elemento PIPE16, com 2 nós por elemento e 6 graus de liberdade por nó. As matrizes elementares do elemento PIPE16 e uma especificação detalhada da sua formulação podem ser verificadas em ANSYS (1999).
Para uma banda de frequência B=]0, 10] kHz específica, o modelo mecânico-matemático que descreve a dinâmica do sistema é escrito como
−ω2[Mn] + iω[Cn] + [Kn] {un(ω)} = {f (ω)}, (1)
onde [Mn], [Cn] e [Kn] são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, ω é a frequência angular, {un(ω)} é o vetor
com os n graus de liberdade do modelo (translações e rotações), {f(ω)} é o vetor de excitações externas (forças e torques) e i é a unidade imaginária. A Eq. 1 possui solução única {un}=[Rn(ω)]−1{f(ω)}, onde [Rn] é a matriz de rigidez
dinâmica
[Rn(ω)] = −ω2[Mn] + iω[Cn] + [Kn] . (2)
2.1 Modelo Reduzido
Com o objetivo de reduzir o número de operações com as matrizes [Mn], [Cn] e [Kn] e, consequentemente, reduzir
o custo computacional, a resposta {un(ω)} pode ser aproximada através da expansão na base modal. Desta forma,
as i-ésimas forma modal {φi} e frequência natural ωi da estrutura podem ser encontradas resolvendo o problema de
autovalores e autovetores generalizados
[Kn]{φi} = ωi2[Mn]{φi}. (3)
Definindo a matriz de formas modais [Ψm]=[ {φ1} {φ2} {φ3} ... {φm} ], com m n, a resposta un(ω) pode ser
aproximada por um(ω) na forma
{um(ω)} = [Ψm]{qm(ω)}, (4)
onde qm(ω) é o vetor solução da equação matricial
(−ω2[Mm] + iω[Cm] + [Km]){qm(ω)} = [Ψm]T{f (ω)}. (5)
Admitindo-se a normalização [Ψm]T[Mn][Ψm]=[Im], sendo [Im] a matriz identidade de dimensão m × m, as matrizes
de massa [Mm], amortecimento [Cm] e rigidez [Km] generalizadas da Eq. 5 são matrizes diagonais e construídas na
forma
[Mn] = δij, [Cm] = 2ξiωiδij, [Km] = ω2iδij, (6)
onde δij é o delta de Kronecker, ω1 < ω2 < ... < ωm são as frequências naturais do sistema e ξ1, ξ2, ..., ξm são os
amortecimentos modais. Para o modelo estudado, por simplicidade, foram considerados ξ1= ξ2= ... = ξm= ξ=0,0025.
{a(ω)} = −ω2{um(ω)}. (7)
Nesse trabalho, a função resposta em frequência analisada é a aceleração az
(b)(ω) no ponto (b) e direção Z devido à
aplicação de uma força fz
(b)(ω)={1B(ω)} no mesmo ponto e direção, onde {1B(ω)} é igual a 1 se ω ∈ B e 0 se ω /∈ B.
2.2 Convergência da Malha Utilizada
A fim de garantir que a discretização espacial adotada seja adequada na faixa de frequência de interesse, é necessário avaliar a convergência da malha utilizada. No presente trabalho, adotou-se como métrica para a análise de convergência o quociente de Rayleigh
Rayi = ω2i =
{φi}T[Kn]{φi}
{φi}T[Mn]{φi}
, (8)
que tem como principal propriedade a aproximação das frequências naturais por valores superiores (Meirovitch, 1975). Desta forma, após resolver a Eq. 8 aumentando-se gradativamente o número de elementos utilizados na discretização espacial é possível concluir que, para uma precisão de 99,75% na 45a frequência natural, torna-se necessário dividir a estrutura em 300 elementos. A Fig. 2 mostra o espectro az(b)(ω) para a banda B definida anteriormente, calculado utilizando-se o modelo médio e a superposição de 100 modos (m = 100).
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 20 40 60 80 100 Frequência (Hz) 20 log 10 (|a (b) z ( ω )|) (dB) Figura 2: Resposta az
(b)(ω) calculada utilizando-se o modelo médio.
3. MODELO ESTOCÁSTICO
Com o objetivo de avaliar a resposta dinâmica da estrutura na presença de incertezas, alguns parâmetros e operado-res do modelo foram tratados como incertos. Para isso, duas abordagens distintas foram empregadas na modelagem do sistema. A primeira, denominada probabilística paramétrica, trata os parâmetros do modelo mecânico-matemático cons-truído como incertos, enquanto a segunda, denominada probabilística não paramétrica, trata as incertezas ao nível dos operadores. Embora as duas abordagens sejam distintas, pode-se demonstrar, matematicamente, que a não paramétrica é mais ampla comparada à paramétrica. Esse comportamento surge devido ao fato de algumas realizações da aborda-gem não paramétrica serem capazes de acoplar os modos da estrutura, fato que não ocorre ao se utilizar a abordaaborda-gem paramétrica (Sampaio e Cataldo, 2010).
3.1 Abordagem Paramétrica
Para a modelagem paramétrica, definiram-se 45 parâmetros do modelo como incertos, associando-se a eles variáveis randômicas independentes com funções densidade de probabilidade gaussiana. Dentre os 45 parâmetros do modelo, 41 são parâmetros geométricos, como φext, s, raios de curvatura p1, p2, ..., p10, comprimento de semirretas p11, p12, .., p20
e ângulos de inclinação p21, p22, .., p39. Os 4 parâmetros restantes são referentes às propriedades mecânicas E,ρ, ν e ξ
do material. Cada parâmetro é caracterizado pelos seus valores médios, obtidos diretamente do modelo médio, e pelos respectivos desvios padrões σφext, σs, σE, σρ, σν, σξ, σp1, ..., σp39. Vale ressaltar que parâmetros como E, ρ, s e φext
admitem, fisicamente, apenas valores positivos e, portanto, não poderiam ser modelados por funções gaussianas, uma vez que tal função tem conjunto suporte C=] − ∞, ∞[. Porém, esse trabalho tem como objetivo avaliar a resposta do sistema sujeito a baixos valores de incertezas paramétricas, levando a probabilidade de tais parâmetros receberem valores negativos a níveis baixos ao ponto de serem negligenciados.
Z X
Y
Figura 3: Vista isométrica de uma malha obtida utilizando-se o modelo paramétrico, em cinza, comparada à malha do modelo médio, em preto.
Uma vez que os parâmetros que constituem o modelo mecânico-matemático são modelados utilizando variáveis ale-atórias, os operadores que definem o modelo são matrizes randômicas. Deste modo, a equação que rege a dinâmica do sistema deixa de ser a Eq. 1 e passa a ser
−ω2[Mp n] + iω[C p n] + [K p n] {u p n(ω)} = {f (ω)}, (9)
onde [Mpn], [Cpn] e [Kpn] são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez construídas utilizando-se a abordagem paramétrica e {upn(ω)} é o processo estocástico correspondente à resposta do sistema. A Eq. 9 pode ser resolvida utilizando o processo de redução de modelo da Subseção 2.1 juntamente com o método de Monte Carlo.
3.2 Abordagem Não Paramétrica
Durante a modelagem não paramétrica, as incertezas são tratadas ao nível dos operadores, obtendo-se as funções densidade de probabilidade diretamente para as matrizes. Como as matrizes [Mn], [Cn] e [Kn] da Eq. 1 foram construídas
utilizando o método dos elementos finitos, esses operadores apresentam muitos zeros topológicos, tornando uma melhor alternativa a construção das funções densidade de probabilidade para as matrizes reduzidas [Mm] [Cm] e [Km] da Eq. 5
(Soize, 2000). Essas funções são construídas utilizando a teoria das matrizes randômicas juntamente com o princípio de máxima entropia, como proposto por Soize (2000).
Seja [Am] qualquer matriz [Mm], [Cm] ou [Km]. Como [Am] é positivo definida, esse operador pode ser escrito
utilizando a decomposição de Cholesky [Am] = [LAm]
T[L
Am], (10)
onde [LAm] é uma matriz diagonal. Desse modo, são adicionadas as incertezas referentes ao modelo mecânico-matemático
a partir da matriz randômica [Gm], tal que
[Am] = [LAm]
T[G
m][LAm]. (11)
Para obedecer às restrições físicas do problema, [Gm] deve ser: (1) positivo definida, para que todas as realizações de
[Am] sejam positivo definidas; (2) o seu respectivo valor esperado deve ser a matriz identidade, ou seja E {[Gm]}=[Im],
para que E {[Am]}=[Am]; e (3) o valor esperado da sua inversa deve ser finito E {k [Gm]−1k2F}<∞, onde k kF indica a
norma de Frobenius. Essa condição é necessária para que a resposta do sistema seja um processo estocástico de segunda ordem (Soize, 2000).
A função densidade de probabilidades p[Gm]associada à matriz [Gm], construída utilizando-se o princípio de máxima
entropia, é (Soize, 2000) p[Gm](Gm) = 1M+(R)([Gm]) × C[Gm]× (det[Gm]) (m+1)1−δ2A 2δ2A × exp −m + 1 2δ2 A tr[Gm] , (12)
onde 1M+(R)([Gm]) é igual a 1 se [Gm] ∈ M+(R) e 0 se [Gm] /∈ M+, sendo M+(R) o conjunto das matrizes reais positivo
definidas, enquanto C[Gm]é a constante de normalização
C[Gm]= (2π)−m(m−1)/4((m + 1)/2δ2 A)m(m+1)/(2δ 2 A) Qm j=1Γ n+1 2δ2 A +1−j2 , (13)
sendo Γ() uma função gama. Na Eq. 12, δArepresenta o parâmetro de dispersão
δA=
r 1
[Gm] = [LGm]
T[L
Gm], (15)
onde os elementos de [LGm] são: (1) variáveis randômicas [LGm]ij independentes; (2) para i<j a variável randômica
[LGm]ij pode ser escrita como [LGm]ij=σGUij, onde σG = δA/p(m + 1) e Uij é uma variável randômica gaussiana
com média nula e variância unitária; e (3) para a diagonal i=j, a variável randômica estritamente positiva [LGm]jj pode
ser escrita como [LGm]ij=σGp2Vj, onde Vj são variáveis randômicas com função densidade de probabilidade gama
pVj(v) = 1 Γn+1 2δ2 A +1−j2 v (m+1)/2δ2A−(1+j)/2e−v. (16)
De posse de uma métrica para a geração da matriz randômica [Am], é possível substituir a Eq. 5 por
(−ω2[Mnpm] + iω[Cnpm] + [Kmnp]){qnpm(ω)} = [Ψm]T{f (ω)}, (17)
onde [Mnpm], [Cnpm] e [Knpm] são as matrizes randômicas obtidas através da abordagem não paramétrica e {qnpm(ω)} é o
processo estocástico associado. A Eq. 17 pode ser resolvida utilizando o método de Monte Carlo, escrevendo a solução do sistema através da superposição dos modos obtidos com o modelo médio. É importante notar que, diferentemente da abordagem paramétrica, a não paramétrica opera com as matrizes reduzidas do modelo, fato que diminui o tempo computacional. Essa abordagem possui validação experimental em diversos trabalhos (Chen et al., 2006, Soize et al., 2008 e Adhikari e Sarkar, 2009), embora apresente algumas limitações, principalmente para valores de δAaltos, sugerindo
que a adição de mais restrições junto ao problema de máxima entropia pode levar a melhores resultados (Legault et al., 2012).
3.3 Análise de Convergência
Para garantir que os resultados obtidos são estatisticamente representativos, necessita-se realizar uma análise de con-vergência da resposta az(b)(ω) do modelo. Essa análise deve ser capaz de determinar a dimensão m do modelo reduzido, obtido através da expansão da resposta na base modal, e também o número de simulações de Monte Carlo nsnecessárias.
Deste modo, define-se a função de convergência quadrática média como (Soize, 2005a)
Conv(m,ns) = ( 1 ns ns X k=1 Z w∈B kaz (b)(ω, m, θk)k2dω )12 , (18)
onde θk indica o índice da realização gerada pelo método de Monte Carlo. A Fig. 4, à esquerda, mostra o gráfico de
20×log10 (Conv(m,ns)) em função de ns para m=100 modos, de onde é possível concluir que o modelo apresenta
boa convergência, nas duas abordagens, para ns=600 simulações. A mesma Fig. 4, à direita, mostra o gráfico de
20×log10(Conv(m,ns)) em função de m, calculado utilizando-se ns=600 simulações. Pode-se concluir, portanto, que
em ambas as abordagens o modelo converge utilizando-se a superposição de m=60 modos. Nos dois gráficos utilizaram-se os valores de δM=δK=δD=0,2 e δP=0,02, onde δP representa o coeficiente de variação de todos os 45 parâmetros do
modelo probabilístico paramétrico.
0 200 400 600 800 1000 121 121,5 122 122,5 123 123,5 Número de simulações n s 20 log 10 (conv(n s ,N)) 0 20 40 60 80 100 31 32 33 34 35 36 37 Número de modos m 20 log 10 (conv(n s ,N))
Figura 4: À esquerda, gráfico da função 20 log10(Conv(m,n)) × ns, com m=100, calculado utilizando-se as
abor-dagens paramétrica (preto) e não paramétrica (cinza). À direita, gráfico da função 20 log10(Conv(m,ns)) × m,
4. RESULTADOS SIMULADOS
A Fig. 5 mostra a resposta az
(b)(ω) do modelo médio simulada, em preto, juntamente com a região de 95% de confiança
obtida utilizando-se o modelo probabilístico paramétrico, em cinza. As respostas foram calculadas utilizando-se os valores de δP iguais a 0,005, 0,010, 0,015 e 0,020. A região de confiança foi calculada utilizando-se o método dos quantis
(Serfling, 1980). Conclui-se da Fig. 5 que as incertezas na resposta do modelo aumentam com a frequência, corroborando a ideia de que em altas frequências as estruturas são mais sensível a pequenas variações em suas configurações originais (Adhikari, 2008).
Figura 5: Função resposta em frequência do modelo médio (preto) juntamente com as regiões de 95% de confiança (cinza) calculadas utilizando-se os valores de δP iguais a 0,005, 0,010, 0,015 e 0,020.
Vale ressaltar que os valores de δP utilizados nas simulações anteriores foram escolhidos de maneira arbitrária,
tor-nando necessária uma análise experimental para a determinação do coeficiente de variação de cada um dos 45 parâmetros do modelo. Em sistemas dinâmicos mais complexos o número de parâmetros necessários durante uma abordagem para-métrica pode ser grande o suficiente para inviabilizar esse tipo de análise (Soize, 2005a e Adhikari e Sarkar, 2009).
A Fig 6 apresenta a resposta do modelo médio, em preto, juntamente com as regiões de 95% de confiança, em cinza, obtidas utilizando-se o modelo probabilístico não paramétrico. As respostas foram calculadas para os valores de δM,
seu posto i (Soize, 2005b).
Figura 6: Função resposta em frequência do modelo médio (preto) juntamente com as regiões de 95% de confiança (cinza) calculadas utilizando-se os valores de δM, δCe δK iguais a 0,05, 0,10, 0,15 e 0,20.
De maneira similar ao caso paramétrico, os valores de δM, δCe δKforam escolhidos de maneira arbitrária,
tornando-se necessária a determinação de tornando-seus valores através de resultados experimentais. Algumas metodologias para estornando-se cálculo podem ser encontradas em Chen et al. (2006), Soize et al. (2008) e Ritto et al. (2011).
A Fig. 7 mostra as frequências naturais do modelo juntamente com as suas respectivas faixas de valores de 95% de confiança. Esses resultados foram obtidos admitindo-se, para o caso paramétrico (fnp) o fator de dispersão δP=0,02 e,
para a abordagem não paramétrica (fnnp), os valores de δM=δC=δK=0,2. Observando as Figs. 5, 6 e 7 é possível afirmar
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Frequência (Hz) f 1 f5 f10 f15 f20 f25 f30 f35 f40 f45 fnp 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Frequência (Hz) f 1 f5 f10 f15 f20 f25 f30 f35 f40 f45 fnnp
Figura 7: Frequências naturais da estrutura juntamente com a região de 95% de confiança calculadas utilizando-se a abordagem paramétrica (esquerda) e não paramétrica (direita).
5. CONCLUSÕES
Este trabalho avaliou a resposta dinâmica de um tubo de descarga sujeito a diferentes níveis de incertezas paramétricas e não paramétricas. Para a abordagem paramétrica, definiram-se 45 parâmetros do modelo, referentes à geometria e às propriedades mecânicas da estrutura, sendo cada um modelado como uma variável randômica. Durante a modelagem não paramétrica, as incertezas foram tratadas ao nível dos operadores, construindo-se as funções densidade de probabilidade diretamente para as matrizes do modelo.
Os resultados das duas modelagens mostram que as incertezas aumentam com a frequência, corroborando a ideia de que as estruturas tornam-se mais sensíveis à medida que seu comprimento de onda diminui. Além disso, para a estrutura e níveis de incerteza analisados, é possível concluir que em baixas frequências (f . 1200 Hz) a estrutura é robusta o suficiente para não alterar, de maneira apreciável, a sua resposta dinâmica, tornando-se mais sensível em frequências mais altas. Porém, a afirmação anterior não é capaz de garantir que o sistema real apresente tais características, uma vez que não são conhecidos os valores de δP, δM, δC e δK, necessitando-se da determinação desses parâmetros através de
resultados experimentais.
6. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao CNPq e à EMBRACO pelo apoio financeiro e suporte técnico durante a realização deste trabalho.
7. REFERÊNCIAS
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Soize, C., Capiez-Lernout, E., Durand, J.F., Fernandez, C. e Gagliardini, L., 2008. “Probabilistic model identification of uncertainties in computational models for dynamical systems and experimental validation”. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 198, pp. 150–163.
8. RESPONSABILIDADE AUTORAL
Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo deste trabalho.
UNCERTAINTY QUANTIFICATION IN THE STRUCTURAL MODEL OF
A DISCHARGE TUBE USING PROBABILISTIC METHODS
Filipe Fontanela, ffontanela@gmail.com1 Arcanjo Lenzi, arcanjo@lva.ufsc.br2
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Universidade Federal de Santa Catarina, Campus Universitário Reitor João David Ferreira Lima, Florianópolis,88040-900, SC - Brasil
Abstract: In the modeling of a structure, a mathematical-mechanical model is constructed in order to describe the respon-ses of real structures. During the modeling, some uncertainties are created, due to the variability of the product, caused by the manufacturing process, and also due to the impossibility or infeasibility to represent physical processes accurately. Considering uncertainties, still during the project phase, is the first step towards a robust project, in which small variati-ons in the original configuration cannot change the dynamic respvariati-onses significantly. The main purpose of this paper is to analyze the dynamic response of a discharge tube, bound to different levels of parametric and non-parametric uncertain-ties, of a hermetic compressor used in domestic refrigerators. For the parametric approach, 45 parameters are defined and modeled as independent random variables, while in the nonparametric approach the uncertainties are modeled at the operators level as random matrices. In conclusion, the paper discusses the system responses, identifying the robustness limits of small variations in the model’s parameters and matrices.
