Superradiância: Aspectos clássicos, relativísticos e quânticos

❯◆■❱❊❘❙■❉❆❉❊ ❉❊ ❙➹❖ P❆❯▲❖

■◆❙❚■❚❯❚❖ ❉❊ ❋❮❙■❈❆

❙✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✿ ❈❧❛ss✐❝❛❧✱ ❘❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❛♥❞ ◗✉❛♥t✉♠

❆s♣❡❝ts

❇r✉♥♦ ❆r❞❡r✉❝✐♦ ❈♦st❛

❆❞✈✐s♦r✿ Pr♦❢✳ ❉r✳ ❆❧❜❡rt♦ ❙❛❛

❉✐ss❡rt❛t✐♦♥ s✉❜♠✐tt❡❞ t♦ t❤❡ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ P❤②s✐❝s ♦❢ t❤❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❙ã♦ P❛✉❧♦ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ t✐t❧❡ ♦❢ ▼❛s✲ t❡r ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡✳

❊①❛♠✐♥✐♥❣ ❈♦♠♠✐tt❡❡✿

Pr♦❢✳ ❉r✳ ❆❧❜❡rt♦ ❙❛❛ ✭❆❞✈✐s♦r✱ ■❋✲❯❙P✮ Pr♦❢✳ ❉r✳ ❉✐❡❣♦ ❚r❛♥❝❛♥❡❧❧✐ ✭■❋✲❯❙P✮

Pr♦❢✳ ❉r✳ ●❡♦r❣❡ ❊♠❛♥✉❡❧ ❆✈r❛❛♠ ▼❛ts❛s ✭■❋❚✲❯♥❡s♣✮

-

-

-

FICHA CATALOGRÁFICA

Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação

do Instituto de Física da Universidade de São Paulo

Costa, Bruno Arderucio

Superradiância: aspectos clássicos, relativísticos e

quânticos. São Paulo, 2014.

Dissertação (Mestrado)

–

Universidade de São Paulo.

Instituto de Física. Depto. de Física Matemática

Orientador: Prof. Dr. Alberto Saa

Área de Concentração: Física

Unitermos: 1. Relatividade (Física); 2. Física teórica; 3.

Teoria de campos e ondas.

❯◆■❱❊❘❙■❉❆❉❊ ❉❊ ❙➹❖ P❆❯▲❖

■◆❙❚■❚❯❚❖ ❉❊ ❋❮❙■❈❆

❙✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛✿ ❆s♣❡❝t♦s ❈❧áss✐❝♦s✱ ❘❡❧❛t✐✈íst✐❝♦s ❡

◗✉â♥t✐❝♦s

❇r✉♥♦ ❆r❞❡r✉❝✐♦ ❈♦st❛

❖r✐❡♥t❛❞♦r✿ Pr♦❢✳ ❉r✳ ❆❧❜❡rt♦ ❙❛❛

❉✐ss❡rt❛çã♦ ❞❡ ♠❡str❛❞♦ ❛♣r❡s❡♥t❛❞❛ ❛♦ ■♥st✐t✉t♦ ❞❡ ❋ís✐❝❛ ❞❛ ❯♥✐✈❡rs✐❞❛❞❡ ❞❡ ❙ã♦ P❛✉❧♦ ♣❛r❛ ❛ ♦❜t❡♥çã♦ ❞♦ tít✉❧♦ ❞❡ ▼❡str❡ ❡♠ ❈✐ê♥❝✐❛s✳

❇❛♥❝❛ ❊①❛♠✐♥❛❞♦r❛✿

Pr♦❢✳ ❉r✳ ❆❧❜❡rt♦ ❙❛❛ ✭❖r✐❡♥t❛❞♦r✱ ■❋✲❯❙P✮ Pr♦❢✳ ❉r✳ ❉✐❡❣♦ ❚r❛♥❝❛♥❡❧❧✐ ✭■❋✲❯❙P✮

Pr♦❢✳ ❉r✳ ●❡♦r❣❡ ❊♠❛♥✉❡❧ ❆✈r❛❛♠ ▼❛ts❛s ✭■❋❚✲❯♥❡s♣✮

❆❝❦♥♦✇❧❡❞❣❡♠❡♥ts

❚❤❡ ❛✉t❤♦r ✇✐s❤❡s t♦ t❤❛♥❦ ❡✈❡r②♦♥❡ ✇❤♦ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❤✐♠ t❤r♦✉❣❤ ❤✐s ♠❛st❡r✬s st✉❞✐❡s ✇✐t❤ ❣r❡❛t ✐♥t❡r❡st✳ ❊✈❡r② r❡❧❛t❡❞ ❝♦♥✈❡rs❛t✐♦♥ ■ ❤❛❞ s♦♠❡❤♦✇ ❝♦♥tr✐❜✉t❡❞ t♦ t❤✐s ✇♦r❦✳

■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ■ ♠❡♥t✐♦♥ ♠② ❛❞♠✐r❡❞ ❛❞✈✐s♦r✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ Pr♦❢✳ ❆❧❜❡rt♦ ❙❛❛✱ ✇❤♦ ♣r♦♠♣t❧② ❛❝❝❡♣t❡❞ ♠❡ ❛s ❤✐s st✉❞❡♥t✱ ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ♣r♦♣♦s❡❞ t❤❡ t♦♣✐❝ t♦ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ❛♥❞ ❛❧s♦ ❤❛s ❢r❡q✉❡♥t❧② ❡①♣♦s❡❞ s♦♠❡ ♦❢ ❤✐s ✐❞❡❛s t♦ ❣✉✐❞❡ ♠❡ ✐♥ t❤✐s ❛♥❞ ❢✉t✉r❡ ✇♦r❦s✳ ❍❡ ❤❛s ❛❧✇❛②s ❜❡❡♥ ❝♦♥✜❞❡♥t ♦♥ ♠② ❝♦♠♣❡t❡♥❝❡ ❛s ❛ ♣❤②s✐❝✐st✳ ■ ❛♣♣r❡❝✐❛t❡ ❛❧❧ t❤❡ t✐♠❡ ❤❡ ❞❡✈♦t❡❞ t♦ ♠❡ ❛❧♦♥❣ t❤❡s❡ t✇♦ ②❡❛rs✳

❆❧s♦ ♠② ♠♦t❤❡r ❞❡s❡r✈❡s t♦ ❜❡ ♠❡♥t✐♦♥❡❞ s❡♣❛r❛t❡❧② ❢♦r ❡♥❝♦✉r❛❣✐♥❣ ♠❡ ❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ ❤❡r ❤❡❧♣ ✐♥ ❛ ✇✐❞❡ ✈❛r✐❡t② ♦❢ s❡♥s❡s✱ s♦♠❡ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✇❡r❡ ❝r✉❝✐❛❧ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ♠❡ t✐♠❡ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❛❧❧♦✇ ♠❡ t♦ ❞❡❞✐❝❛t❡ t♦ ♠② st✉❞✐❡s✳ ❙❤❡ ❛❧s♦ ♣❧❛②❡❞ ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ♦♥ ❤❡❧♣✐♥❣ ♠❡✱ ❡✈❡♥ ✐♥✈♦❦✐♥❣ ❤✉❣❡ s❛❝r✐✜❝❡s ✇❤❡♥ ♥❡❡❞❡❞✱ s✐♥❝❡ ♠② s❝❤♦♦❧ ❞❛②s ✉♥t✐❧ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ❢♦r ♠② ❢✉t✉r❡ P❤✳❉✳ st✉❞✐❡s✳

■ ❤❛✈❡ t♦ ❡①♣r❡ss ♠② s✐♥❝❡r❡ t❤❛♥❦❢✉❧♥❡ss t♦ Pr♦❢✳ ●❡♦r❣❡ ▼❛ts❛s ❢♦r ❤✐s s❡✈❡r❛❧ ❞✐s❝✉ss✐♦♥s✱ ❜♦t❤ ❛❜♦✉t P❤②s✐❝s ❛♥❞ r❡❣❛r❞✐♥❣ ❞❡❝✐s✐♦♥s ❛❜♦✉t ♠② ❛❝❛❞❡♠✐❝ ❢✉t✉r❡✱ t❤❛t ♣r♦✈✐❞❡❞ ♠❡ ❣✉✐❞❛♥❝❡ ❢♦r ♠② st✉❞②✱ ✐♥s✐❣❤t ♦♥ s❡✈❡r❛❧ ✐ss✉❡s ❛♥❞ ❛❜♦✈❡ ❛❧❧✱ ❢♦r ❜❡✐♥❣ ❛ s♦✉r❝❡ ♦❢ ✐♥s♣✐r❛t✐♦♥ ❛s ❛ ♠♦❞❡❧ t♦ ❜❡ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ✐♥ ✈❛r✐♦✉s s❡♥s❡s✳

❋✐♥❛❧❧②✱ ■ ❛♠ ❣r❛t❡❢✉❧ t♦ ❋✉♥❞❛çã♦ ❞❡ ❆♠♣❛r♦ à P❡sq✉✐s❛ ❞♦ ❊st❛❞♦ ❞❡ ❙ã♦ P❛✉❧♦ ✭❋❆P❊❙P✮ ❢♦r ✜♥❛♥❝✐❛❧ s✉♣♣♦rt ✉♥❞❡r t❤❡ ♣r♦❝❡ss ✷✵✶✶✴✶✺✻✻✵✲✵✳

■ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ t❤❛♥❦ t❤❡ ❡①❛♠✐♥✐♥❣ ❝♦♠♠✐tt❡❡ ❢♦r ♣♦✐♥t✐♥❣ ♦✉t s♦♠❡ ❡rr♦rs ✐♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤✐s t❡①t✳

❆❜str❛❝t✴❘❡s✉♠♦

❙❡✈❡r❛❧ ♣❤②s✐❝❛❧ s②st❡♠s ❝❛♥ ❜❡ tr❡❛t❡❞ ❛s ❛ s❝❛tt❡r✐♥❣ ♣r♦❝❡ss✱ ❛♥❞✱ ❢♦r t❤❡s❡ ♣r♦❝❡ss❡s✱ ❛ ♥❛t✉r❛❧ ♦❜s❡r✈❡❞ q✉❛♥t✐t② ❛r✐s❡s✿ t❤❡ r❛t✐♦ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ r❡✢❡❝t❡❞ ❛♥❞ ✐♥❝✐❞❡♥t ✐♥t❡♥s✐t✐❡s✱ ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t✳ ❚❤✐s ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥❝❡r♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥ ❦♥♦✇♥ ❛s s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✱ t❤❛t ✐s✱ ✇❤❡♥ t❤✐s ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✐s ❧❛r❣❡r t❤❛♥ ✉♥✐t②✳

❲❡ s❤❛❧❧ ❡①♣❧♦r❡ ♠❛♥② ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ s✉❝❤ s②st❡♠s✱ ❛♥❞✱ ♠♦r❡ ✐♠♣♦rt❛♥t❧②✱ ✇❡ s❤❛❧❧ ❛❧s♦ s❡❡ ❤♦✇✱ ❛♣❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥t❡r❡st ✐♥ ✐ts ♦✇♥ r✐❣❤t✱ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♠♣♦rt❛♥t ❝✉rr❡♥t r❡s❡❛r❝❤ ♣❤②s✐❝❛❧ ✐ss✉❡s✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ ❛ s♠❛❧❧ s✉r✈❡② ♦❢ ✐♠♣♦rt❛♥t r❡s✉❧ts ♦♥ ❝❤❛♣t❡r ♦♥❡✳ ❖♥ ❝❤❛♣t❡r t✇♦✱ ✇❡ ❡st❛❜❧✐s❤ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❝r✐t❡r✐❛ t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r ♦r ♥♦t s✉♣❡rr❛❞✐❛♥t s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✱ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r✱ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♦r❞✐♥❛r② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭❖❉❊✮ ♦r ❧✐♥❡❛r✱ ✜rst ♦r❞❡r ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s s②st❡♠s ♦❢ ❖❉❊s ✇❤✐❝❤ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ♣r♦❝❡ss ❛♥❞ ✇❡ s❤❛❧❧ ❣✐✈❡ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ s②st❡♠ ✐♥ ✇❤✐❝❤ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✐s ♦❜s❡r✈❡❞✳ ❖♥ ❝❤❛♣t❡r t❤r❡❡✱ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ s♣✐♥♥✐♥❣ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✱ ✇❡ s❤❛❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ ❤♦✇ ♦♥❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ ❡①♣❧✐❝✐t❧② t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t s♣✐♥ ✇❛✈❡s✳ ❈❤❛♣t❡r ❢♦✉r ✐s ❞❡❞✐❝❛t❡❞ t♦ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s✳ ❲❡ ❞❡✈❡❧♦♣ ✇❤❛t ✐s ♠❡❛♥t ❜② ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s✱ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❧❛✇ ♦❢ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s✱ ❛♥❞ ❛♣♣❧② t❤❡♠ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✱ s♦ ✇❡ ❝❛♥ ❣❡♥❡r❛❧✐s❡ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❝❤❛♣t❡r t❤r❡❡ t♦ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡s✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ♦♥ ❝❤❛♣t❡r ✜✈❡✱ ✇❡ ❡①♣❧♦r❡ ♠❛♥② ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❛s♣❡❝ts ♦❢ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❑❧❡✐♥ ♣❛r❛❞♦①✱ ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✱ ❢♦r t❤❡ ❧❛t❡r ✇❡ ✇✐❧❧ ❡①♣❧❛✐♥ ❜r✐❡✢② ❤♦✇ ♦♥❡ ✉s✉❛❧❧② q✉❛♥t✐s❡ ✜❡❧❞s ✐♥ ❝✉r✈❡❞ s♣❛❝❡✲t✐♠❡✳ ❆ ❢✉rt❤❡r ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s ✐s ❡①♣❧♦r❡❞✳ ❚❤♦r♦✉❣❤ ❛❧❧ t❤✐s t❡①t ✇❡ ❛♥❛❧②s❡ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ❛♥❞ s♣✐♥ ❛♥❞ st❛t✐st✐❝s✳

✯✯✯

❱ár✐♦s s✐st❡♠❛s ❢ís✐❝♦s ♣♦❞❡♠ s❡r tr❛t❛❞♦s ❝♦♠♦ ♣r♦❜❧❡♠❛s ❞❡ ❡s♣❛❧❤❛♠❡♥t♦ ❡✱ ♣❛r❛ ❡ss❡s ♣r♦❜✲ ❧❡♠❛s✱ ✉♠❛ q✉❛♥t✐❞❛❞❡ ♦❜s❡r✈❛❞❛ s✉r❣❡ ♥❛t✉r❛❧♠❡♥t❡✿ ❛ r❛③ã♦ ❡♥tr❡ ❛s ✐♥t❡♥❝✐❞❛❞❡s r❡✢❡t✐❞❛s ❡ ✐♥❝✐❞❡♥t❡s✱ ❛ q✉❡ ❞❛♠♦s ♦ ♥♦♠❡ ❞❡ ❝♦❡✜❝✐❡♥t❡ ❞❡ r❡✢❡①ã♦✳ ❊ss❛ ❞✐ss❡rt❛çã♦ ❡stá ♣r❡♦❝✉♣❛❞❛ ❝♦♠ ♦ ❢❡♥ô♠❡♥♦ ❝♦♥❤❡❝✐❞♦ ❝♦♠♦ s✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛✱ ✐st♦ é✱ q✉❛♥❞♦ ❡ss❡ ❝♦❡✜❝✐❡♥t❡ é ♠❛✐♦r q✉❡ ❛ ✉♥✐❞❛❞❡✳

❊①♣❧♦r❛r❡♠♦s ✈ár✐♦s ❡①❡♠♣❧♦s ❞❡ t❛✐s s✐st❡♠❛s ❡✱ ♠❛✐s ✐♠♣♦rt❛♥t❡✱ ✈❡r❡♠♦s ❝♦♠♦✱ ❛❧é♠ ❞♦ ✐♥t❡r✲ ❡ss❡ ♣♦r s✐ só✱ s✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛ ❡stá r❡❧❛❝✐♦♥❛❞❛ ❝♦♠ ✉♠ ♥ú♠❡r♦ ❞❡ q✉❡stõ❡s ✐♠♣♦rt❛♥t❡s ❞❡ ♣❡sq✉✐s❛ ❛t✉❛❧✳ ❈♦♠❡ç❛♠♦s ❝♦♠ ✉♠ ♣❡q✉❡♥♦ r❡s✉♠♦ ❞❡ r❡s✉❧t❛❞♦s ✐♠♣♦t❛♥t❡s ♥♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ✉♠✳ ◆♦ ❝❛♣í✲ t✉❧♦ ❞♦✐s ❡st❛❜❡❧❡❝❡r❡♠♦s ✉♠ ❝r✐tér✐♦ ❣❡r❛❧ ♣❛r❛ ❞❡❝✐❞✐r s❡ ❡s♣❛❧❤❛♠❡♥t♦ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥t❡ é ♦❜s❡r✈❛❞♦ ❜❛s❡❛♥❞♦✲s❡ ♥❛s ❡q✉❛çõ❡s ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛✐s ♦r❞✐♥ár✐❛s ❧✐♥❡❛r❡s ❤♦♠♦❣ê♥❡❛s ❞❡ s❡❣✉♥❞❛ ♦r❞❡♠ ✭❊❉❖✮ ♦✉ s✐st❡♠❛ ❧✐♥❡❛r ❞❡ ❊❉❖ ❤♦♠❣ê♥❡❛s ❞❡ ♣r✐♠❡✐r❛ ♦r❞❡♠ q✉❡ ❞❡s❝r❡✈❡♠ ♦ ♣r♦❝❡ss♦ ❡ ❞❛r❡♠♦s ✉♠ ❡①❡♠✲ ♣❧♦ ❞❡ s✐st❡♠❛ ❡♠ q✉❡ s✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛ é ♦❜s❡r✈❛❞❛✳ ◆♦ ❝❛♣ít✉❧♦ três✱ ❢♦❝❛r❡♠♦s ❡♠ s✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛ ❡♠ ❜✉r❛❝♦s ♥❡❣r♦s ❡♠ r♦t❛çã♦✱ ❡ ♠♦str❛r❡♠♦s ❝♦♠♦ ♣♦❞❡♠♦s ❝❛❧❝✉❧❛r ❡①♣❧✐❝✐t❛♠❡♥t❡ ♦ ❝♦❡✜❝✐❡♥t❡ ❞❡ r❡✢❡①ã♦ ♣❛r❛ ♦♥❞❛s ✐♥❝✐❞❡♥t❡s ❞❡ ❞✐❢❡r❡♥t❡s s♣✐♥s✳ ❖ ❝❛♣ít✉❧♦ q✉❛tr♦ é ❞❡❞✐❝❛❞♦ à r❡❧❛çã♦ ❝♦♠ ❛ t❡r♠♦❞✐♥â♠✐❝❛✳ ❉❡s❡♥✈♦❧✈❡r❡♠♦s ❛ ❝❤❛♠❛❞❛ t❡r♠♦❞✐♥â♠✐❝❛ ❞❡ ❜✉r❛❝♦s ♥❡❣r♦s✱ ♣❛rt✐❝✉❧❛r♠❡♥t❡ às ❛ss✐♠ ❝❤❛♠❛❞❛s ♣r✐♠❡✐r❛ ❡ s❡❣✉♥❞❛ ❧❡✐s ❞❛ t❡r♠♦❞✐♥â♠✐❝❛ ❞❡ ❜✉r❛❝♦s ♥❡❣r♦s✱ ❡ ❛♣❧✐❝❛r❡♠♦✲♥❛s ♥♦

❝♦♥t❡①t♦ ❞❛ s✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛ ❞❡ ❢♦r♠❛ ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛r ❛❧❣✉♥s ❞♦s r❡s✉❧t❛❞♦s ❞♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ❞♦✐s ❛ ❜✉r❛❝♦s ♥❡❣r♦s ♠❛✐s ❣❡♥ér✐❝♦s✳ ❋✐♥❛❧♠❡♥t❡ ♥♦ ❝❛♣ít✉❧♦ ❝✐♥❝♦✱ ❡①♣❧♦r❛r❡♠♦s ♠✉✐t♦s ❞♦s ❛s♣❡❝t♦s q✉â♥t✐❝♦s ❞❛ s✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛✱ ✐♥❝❧✉✐♥❞♦ ❛ r❡❧❛çã♦ ❝♦♠ ♦ ♣❛r❛❞♦①♦ ❞❡ ❑❧❡✐♥ ❡ ❛ ✈❡rsã♦ q✉â♥t✐❝❛ ❞❛ s✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛ ❞❡ ❜✉r❛❝♦s ♥❡❣r♦s✳ P❛r❛ ❛ ú❧t✐♠❛✱ ❡①♣❧✐❝❛r❡♠♦s ❜r❡✈❡♠❡♥t❡ ❝♦♠♦ ♥♦r♠❛❧♠❡♥t❡ s❡ q✉❛♥t✐③❛ ❝❛♠♣♦s ❡♠ ❡s♣❛ç♦✲t❡♠♣♦ ❝✉r✈♦✳ ❊①♣❧♦r❛r❡♠♦s ✉♠❛ ♦✉tr❛ ❝♦♥❡①ã♦ ❝♦♠ t❡r♠♦❞✐♥â♠✐❝❛✳ ❆♦ ❧♦♥❣♦ ❞❡ t♦❞♦ ♦ t❡①t♦✱ ❛♥❛❧✐s❛♠♦s ❛ ❝♦♥❡①ã♦ ❡♥tr❡ s✉♣❡rr❛❞✐â♥❝✐❛✱ s♣✐♥ ❡ ❡st❛tíst✐❝❛✳

❈♦♥t❡♥ts

✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✾

✶✳✶ ◆♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡♥t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❇r✐❡❢ ❙✉r✈❡② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✷ ●❡♥❡r❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t ✶✸

✷✳✶ ❈r✐t❡r✐❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✷✳✷ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❩❡❧✬❞♦✈✐❝❤ ❈②❧✐♥❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✸ ❑❡rr ❇❧❛❝❦ ❍♦❧❡s ✶✼

✸✳✶ ❙♣✐♥♦rs ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✸✳✷ ◆❡✇♠❛♥✲P❡♥r♦s❡ ❋♦r♠❛❧✐s♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✸✳✷✳✶ ●❡♥❡r❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐♥ ❑❡rr ▼❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✸✳✷✳✷ P❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✸✳✸ ❚❡✉❦♦❧s❦② ❊q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❙❝❛tt❡r✐♥❣ Pr♦❜❧❡♠ ❢♦r ❉✐✛❡r❡♥t ❙♣✐♥ ❲❛✈❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✸✳✸✳✶ ❊q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✐ts ❙♦❧✉t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✸✳✸✳✷ P❤②s✐❝❛❧ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❘❡❛s♦♥❛❜❧❡♥❡ss ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❘❡✢❡❝t✐♦♥ ❛♥❞

❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❈♦❡✣❝✐❡♥ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✸✳✹ ❆♥♦t❤❡r ❆♣♣r♦❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺

✹ ❘❡❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❇❧❛❝❦ ❍♦❧❡ ❚❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s ✸✼

✹✳✶ ❙✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ❛♥❞ ❖r❞✐♥❛r② ❚❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ✹✳✷ ❙✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ❛♥❞ ❇❧❛❝❦ ❍♦❧❡ ❚❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✹✳✷✳✶ ❆r❡❛ ❚❤❡♦r❡♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✹✳✷✳✷ ❵❩❡r♦t❤ ▲❛✇✬ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✹✳✷✳✸ ❵❋✐rst ▲❛✇✬ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾ ✹✳✷✳✹ ❙✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✹✳✷✳✺ ❙✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✱ ❲❡❛❦ ❈♦s♠✐❝ ❈❡♥s♦rs❤✐♣ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡✱ ❛♥❞ t❤❡ ❵❚❤✐r❞ ▲❛✇✬ ✳ ✳ ✺✹

✺ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ❈♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥s ✺✼

✺✳✶ ❑❧❡✐♥ P❛r❛❞♦① ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼ ✺✳✶✳✶ ❇♦s♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼ ✺✳✶✳✷ ❋❡r♠✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶ ✺✳✷ ◗✉❛♥t✉♠ ▼❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ❇❧❛❝❦ ❍♦❧❡ ❙✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺ ✺✳✷✳✶ ❇♦s♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺ ✺✳✷✳✷ ❋❡r♠✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✾

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✼✺

❈♦♥t❡♥ts ❈♦♥t❡♥ts

1

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✶✳✶ ◆♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡♥t✐♦♥s

❲❡ ✉s❡ t❤❡ ♠❡tr✐❝ s✐❣♥❛t✉r❡(₋+ ++)✱ ❛♣❛rt ❢r♦♠ t❤❡ s❡❝t✐♦♥ ❛❜♦✉t s♣✐♥♦rs✱ ✇❤❡r❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡❛s♦♥ ❢♦r t❤❡ ❝❤❛♥❣❡✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ❝❧❡❛r ♦♥ t❤❛t s❡❝t✐♦♥✳

❯♥❧❡ss ❡①♣❧✐❝✐t ❛♣♣❡❛r❛♥❝❡s✱ ✉s❡❞ ✇❤❡r❡ ✐♥t❡♥❞❡❞ t♦ ❝❧❛r✐❢② t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠✱ r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❛♥❞ ❣r❛✈✐t❛t✐♦♥❛❧ ❛r❣✉♠❡♥ts✱ ✇❡ ✉s❡ ♥❛t✉r❛❧ ✉♥✐ts s✉❝❤ℏ_{=c=G= 1}✳

R ❝❛♥ ❞❡♥♦t❡ ❡✐t❤❡r t❤❡ ❝✉r✈❛t✉r❡ s❝❛❧❛r ♦r t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t✳ ◆♦ ❛♠❜✐❣✉✐t② ❛r✐s❡s✱ s✐♥❝❡

t❤❡ ❛♣♣❡❛r❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡s❡ ♦❜❥❡❝ts ✐s ❛❧✇❛② ❝❧❡❛r ❛♥❞ ♥♦ ❡①♣r❡ss✐♦♥ s❤❛r❡ ❜♦t❤ q✉❛♥t✐t✐❡s✳ ❘✐❝❝✐ t❡♥s♦r ✐sRab =Rc_acb✱ ✇❤❡r❡ Ra_bcd ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ❝✉r✈❛t✉r❡ t❡♥s♦r✳ ❲❡②❧ t❡♥s♦r ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜②Cabcd✳

1 ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠❛tr✐①✳ ■ts s✐③❡ ✐s ♥♦t s♣❡❝✐✜❡❞ ❜② t❤✐s ♥♦t❛t✐♦♥✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤✱ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡

♦❜✈✐♦✉s ❛❝❝♦r❞✐♥❣❧② t♦ t❤❡ ❝♦♥t❡①t✳ ❚❤❡ s❛♠❡ s②♠❜♦❧ ✐s ✉s❡❞ t♦ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡✳

P❡♥r♦s❡✬s ❛❜str❛❝t ✐♥❞❡① ♥♦t❛t✐♦♥ ✐s ✉s❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ t❡①t ❜② t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ▲❛t✐♥ ❛❧♣❤❛❜❡t ❧❡tt❡rs✳ ●r❡❡❦ ❧❡tt❡rs ❞❡♥♦t❡s ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦♥ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❜❛s✐s✳ ❆♥❞ ✇❡ ♠❛❦❡ ✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛❜❜r❡✈✐❛t✐♦♥s✿ A_[ab] = _2!1(Aab−Aba)✱ ❛♥❞ A(ab) = 2!1(Aab+Aba) ❛♥❞ s✐♠✐❧❛r ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ♠♦r❡

t❤❛♥ t✇♦ ✐♥❞✐❝❡s✳ =∇a_∇a✳

❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s❡♥s❡_A˙_{= ¯A\int(A)✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❜❛r ♦✈❡r ❛ ❧❡tt❡r ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❝❧♦s✉r❡} ❛♥❞ intt❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ ❛ s❡t✳ ❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞ s❡♥s❡ ∂M ✐s t❤❡ s✉❜s❡t ♦❢ M ✇❤♦s❡ ✐♠❛❣❡

✉♥❞❡r ❛ ❧♦❝❛❧ ❝❤❛rt✬s ♠❛♣ ❧✐❡s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢Hn ✐♥Rn✳

❈❤r♦♥♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛♥❞ ❝❛✉s❛❧ ❢✉t✉r❡ ✭♣❛st✮ ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❜②I± ❛♥❞ J±✳

❋✉t✉r❡ ✭♣❛st✮ ♥✉❧❧ ✐♥✜♥✐t✐❡s ✭I±✮ ❛♥❞ r❡❧❛t❡❞ ♦❜❥❡❝ts ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❍❛✇❦✐♥❣ ✫ ❊❧❧✐s

❬✶❪✳ ❚❤❡✐r ♥♦t❛t✐♦♥ ✐s ♣r❡s❡r✈❡❞✳

❈♦♠♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛t✐♦♥ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ✯✳ ❲❤❡r❡ ✐t ♠✐❣❤t ❝❛✉s❡ ❝♦♥❢✉s✐♦♥✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ✐t ❜② ❛ ❜❛r ♦✈❡r t❤❡ s②♠❜♦❧✳

❚❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ t❤r♦✉❣❤ ❛ ♣♦✐♥t P ♦❢ ❛ ♠❛♥✐❢♦❧❞ M ✐s s②♠❜♦❧✐s❡❞ ❜②TPM✳ ❈♦t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡✱ ❛s

❛♥② ❞✉❛❧ s♣❛❝❡✱ ❜②T_P∗M✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ♦♥M ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② X_(M)✳

❍❡❛✈✐s✐❞❡ st❡♣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② θ:R_→R✱ _{θ(x) = 1} ❢♦r _{x >0} ❛♥❞ ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❚❤❡ s✐❣♥ ❢✉♥❝t✐♦♥sgn :R_→R✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②_{sgn(x) =θ(x)−θ(−x})✳

❚❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥x→p+ 0♠❡❛♥s t❤❡ ❧❛t❡r❛❧ ❧✐♠✐tlim_x→p+✳

✶✳✷✳ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❇r✐❡❢ ❙✉r✈❡② ✶✳ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✶✳✷ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❇r✐❡❢ ❙✉r✈❡②

❘❡✢❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ❛♣♣❡❛r ♣❡rs✐st❡♥t❧② ✐♥ s❡✈❡r❛❧ ❜r❛♥❝❤❡s ♦❢ P❤②s✐❝s✳ ❈♦♠♠♦♥ ❜❛s✐❝ ❡①❛♠♣❧❡s ❢♦❧❧♦✇ ❜❡❧♦✇✳

▲♦✇ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ y ♦♥ ❛ r♦♣❡ ✐s ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ t♦ ♦❜❡② ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ∂_∂x2y2 −_v12∂ 2_y

∂t2 = 0✱

✇❤❡r❡ v = qF_λ✱ ✇❤❡r❡ λ ❛♥❞ F ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♠❛ss ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ❛♥❞ t❤❡ t❡♥s✐♦♥ ♦♥ t❤❡ r♦♣❡

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❉❡✜♥✐♥❣ t❤❡ ♥❡✇ ✈❛r✐❛❜❧❡s ξ _≡x₋vt ❛♥❞ η _≡x+vt✱ t❤❡ ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ r❡❞✉❝❡s t♦

∂2_y

∂η∂ξ = 0✱ s❤♦✇✐♥❣ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s y(x, t) = y+(ξ) +

y₋(η) ❢♦r t✇♦ ❛r❜✐tr❛r② ♦♥❡✲✈❛r✐❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s y+ ❛♥❞ y−✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s s♦❧✉t✐♦♥ ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞✿ ✐t ❥✉st r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ♣✉❧s❡s✱ ♦♥❡ s❤❛♣❡❞ ❛s y+ ♣r♦♣❛❣❛t✐♥❣

t♦✇❛r❞s t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ x ❛①✐s ❛♥❞ ❛ ♣✉❧s❡ y₋ ♣r♦♣❛❣❛t✐♥❣ ❜❛❝❦✇❛r❞s✳ ■❢ t✇♦ r♦♣❡s

♠❛❞❡ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❛t❡r✐❛❧s✱ t❤❛t ✐s✱ r♦♣❡s ♣♦ss❡ss✐♥❣ ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ❢♦r t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rλ✱ t✇♦ ✇❛✈❡

❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❤♦❧❞ ❛t t❤❡ t✇♦ ❤❛❧❢✲❧✐♥❡s ❛♥❞ ✇❤❡♥ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣♦s❡❞ r♦♣❡ ✐s ✉s❡❞ ❛s ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❥✉st ❢♦r✇❛r❞ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ✐♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ r♦♣❡✬s ♣✐❡❝❡s✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛s ❤❛✈✐♥❣ ❛♥ ✐♥❝✐❞❡♥t ✇❛✈❡ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❜❡❡♥ ♣❛rt✐❛❧❧② r❡✢❡❝t❡❞ ❜❛❝❦✇❛r❞ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ✜rst ♣✐❡❝❡ ❛♥❞ ❛ tr❛♥s♠✐tt❡❞ ♣❛rt t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣✐❡❝❡✳ ❘❡✢❡❝t✐♦♥ ✭tr❛♥s♠✐ss✐♦♥✮ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

R✭T✮ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ r❛t✐♦ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ r❡✢❡❝t❡❞ ✭tr❛♥s♠✐tt❡❞✮ ❛♥❞ ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❛rt✳ ■♥ t❤✐s

❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡s❡ r❛t✐♦s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ t✐♠❡ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♣♦✇❡r✱ ✇❤✐❝❤ ❢♦r ❛♥ ❤❛r♠♦♥✐❝ ✇❛✈❡ ✇✐t❤ ❢r❡q✉❡♥❝② ω ❛♥❞ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ A r❡❛❞s 1₂λω2A2v✳ ❚❤❡② ♦❜❡② t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ R+T = 1 ❛♥❞

R_→0 ✇❤❡♥λ1 →λ2 ❛♥❞R→1 ❛sλ2 → ∞✳ ❊①t❡♥s✐♦♥s t♦ ♥♦♥ ❤❛r♠♦♥✐❝ ✇❛✈❡s ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❛❧t ✇✐t❤

❋♦✉r✐❡r ❛♥❛❧②s✐s✳

❖t❤❡r ❡①❛♠♣❧❡s ❝♦♥st✐t✉t❡s ❛s s♦❧✈✐♥❣ t✐♠❡✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✭♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✮ ❙❝❤rö❞✐♥❣❡r✬s ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦t❡♥t✐❛❧s✱ s❛②✱ t❤❡ st❡♣ ♣♦t❡♥t✐❛❧✳ ❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥✲ ❞✐t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ t❤❡ ✇❛✈❡ ❛♥❞ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ✐♥ ♦♥❧② ♦♥❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ ❤❛❧❢✲❧✐♥❡ ❝❛♥ ❛❣❛✐♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ✐♥❝✐❞❡♥t✱ r❡✢❡❝t❡❞ ❛♥❞ tr❛♥s♠✐tt❡❞ ♣❛rts✳ ❘❡✢❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇✐t❤ ❛✐❞ ♦❢ ❝♦♥s❡r✈❡❞ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❝✉rr❡♥t ♦❢ ❙❝❤rö❞✐♥❣❡r✬s ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ R+T = 1 ❛❧s♦ ❤♦❧❞s✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ t✇♦ st❡♣ ♣♦t❡♥t✐❛❧s✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ✜♥❞ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ t✉♥♥❡❧✐♥❣✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✳ ❚❤❡s❡ ✇❛✈❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t✉♥♥❡❧✐♥❣✱ ❤❛✈❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉s ♦♥❡s ✐♥ ♦♣t✐❝s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇✐t❤ ❛✐❞ ♦❢ P♦②✐♥t✐♥❣ ✈❡❝t♦rs✳ ■♥ ♦♣t✐❝s ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♦❜t❛✐♥ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞✉r✐♥❣ r❡❢r❛❝t✐♦♥✱ ✐❢ ✐♥❝✐❞❡♥t ✇❛✈❡ ♣♦❧❛r✐s❛t✐♦♥ ✐s ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ ✐♥❝✐❞❡♥t ♣❧❛♥❡ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❝✐❞❡♥t ❛♥❣❧❡ ✐s t❤❡ ❇r❡✇st❡r✬s ❛♥❣❧❡✳

❆❧❧ t❤❡s❡ ❢♦r♠❡r ❡①❛♠♣❧❡s s❤❛r❡ ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ❝♦♠♠♦♥ ❢❡❛t✉r❡✿ ❛❧❧ ❡♥❡r❣② ❜❛❧❛♥❝❡✱ ♦r ♣r♦❜❛✲ ❜✐❧✐t② ❜❛❧❛♥❝❡ ✐♥ ❝❛s❡ ♦❢ ❙❝❤rö❞✐♥❣❡r✬s ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✐s s♦❧❡❧② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥ t❤❡ ✇❛✈❡s t❤❡♠s❡❧✈❡s✱ ♥♦ ❡♥❡r❣② ❡①❝❤❛♥❣❡ ✐s ❛❧❧♦✇❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✇❛✈❡s ❛♥❞ t❤❡ ♠❡❞✐❛ ✐ts❡❧❢✶_{✳ ❚❤✐s ❢❛❝t ✉❧t✐♠❛t❡❧② ❧❡❛❞s t♦} t❤❡ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥ R +T = 1✳ ❆s ✇❡ ❛r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ s❡❡ ❞✉r✐♥❣ t❤✐s ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♣❤②s✐❝❛❧ s②st❡♠s ✇❤❡r❡ t❤✐s ✐s s✐♠♣❧② ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡✳ ■♥ ❩❡❧✬❞♦✈✐❝❤✬s ❝②❧✐♥❞❡r✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❤❡r❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ r❛❞✐❛t✐♦♥ ✐s ✐♥❝✐❞❡♥t ✉♣♦♥ ❛ ❝♦♥❞✉❝t✐♥❣ ❝②❧✐♥❞❡r✱ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ r❛❞✐❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥ ❦✐♥❡t✐❝ ❡♥❡r❣② ❛♥❞ ✈✐❝❡✲✈❡rs❛✳ ❚❤✐s ♠❛② ❡✈❡♥t✉❛❧❧② ❧❡❛❞ t♦ R > 1✱ ❝❤❛r❛❝t❡r✐s✐♥❣ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✳

❇❡❛r✐♥❣ t❤✐s ✐♥ ♠✐♥❞✱ ❛♥❞ r❡♠❡♠❜❡r✐♥❣ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❦♥♦✇♥ ♣r♦❝❡ss ✭t❤❡ P❡♥r♦s❡ ♣r♦❝❡ss✮ t♦ ❡①tr❛❝t ❡♥❡r❣② ❢r♦♠ ❛ r♦t❛t✐♥❣ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡✱ ♥♦ ✇♦♥❞❡r ♠❛② t❤❡② ❜❡ s✉❜❥❡❝t❡❞ t♦ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✳ P❡♥r♦s❡ ♣r♦❝❡ss ❝♦♥s✐sts ♦♥ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❛ ♣❛rt✐❝❧❡ t♦ ❞✐s✐♥t❡❣r❛t❡ ✐♥ t✇♦ ♣❛rts✳ ❚❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛rt✐❝❧❡ ❢♦✉r✲ ♠♦♠❡♥t✉♠ ✐s ❛ t✐♠❡❧✐❦❡ ✈❡❝t♦r pa₀✱ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦✉r✲♠♦♠❡♥t❛ ♦❢ t❤❡ ♣❛rts ❛r❡ t❤❡ t✐♠❡❧✐❦❡ ✈❡❝t♦rs pa₁

❛♥❞ pa₂✱ s✉❝❤ ❛s pa₀ = pa₁ +pa₂✳ ❋♦r ❛♥ ♦❜s❡r✈❡r ❛t ✐♥✜♥✐t②✱ t❤❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ ♣❛rt✐❝❧❡ ✇❤♦s❡ ❢♦✉r✲

✶_{❚❤✐s ❢❛❝t ✐s ♠❛♥✐❢❡st❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✹✮ ❜❡❧♦✇✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✳ ■❢ ✐ts s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞}

s✐❞❡ ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ❛tξ0→ ∞✱ ✇❤❡r❡ t②♣✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❛♣♣r♦❛❝❤T

1

2e−iωξ ❛♥❞ ✐❢Γ≡0✱ ❡①♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡r❡ ✐s

♥♦ ❞✐ss✐♣❛t✐♦♥✱ t❤❡♥ ✭✷✳✹✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛sR+T = 1✳

✶✳✷✳ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❇r✐❡❢ ❙✉r✈❡② ✶✳ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

♠♦♠❡♥t✉♠ ✐s pa ❝❛♥ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s ₋paξa✱ ✇❤❡r❡ ξa ✐s ❛ t✐♠❡❧✐❦❡ ❑✐❧❧✐♥❣ ✜❡❧❞ ❛t ✐♥✜♥✐t②✳ ❚❤✐s

✐s t❤❡ ❝♦♠♠♦♥ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ ♣❛rt✐❝❧❡ ✇❤♦s❡ ✇♦r❧❞✲❧✐♥❡ ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ✐♥t❡r❝❡♣t t❤❡ ✇♦r❧❞✲❧✐♥❡ ♦❢ ♦❜s❡r✈❡r✳ ■♥ ❑❡rr s♣❛❝❡✲t✐♠❡✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ r❡❣✐♦♥ ✭❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❡r❣♦s♣❤❡r❡✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❑✐❧❧✐♥❣ ✈❡❝t♦r ξa ❜❡❝♦♠❡s s♣❛❝❡❧✐❦❡✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❡♥❡r❣② t♦ ❜❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✇✐t❤✐♥ ✭❛♥❞ ♦♥❧② ✇✐t❤✐♥✮

t❤✐s r❡❣✐♦♥✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❛rr❛♥❣❡ t❤❡ ❞✐s✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ s✉❝❤ ❛s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢r❛❣♠❡♥ts ♣♦ss❡ss❡s ♥❡❣❛t✐✈❡ ❡♥❡r❣② ❛♥❞ ❡♥t❡rs t❤❡ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡✱ ❧❡❛✈✐♥❣ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢r❛❣♠❡♥t ✇✐t❤ ❡♥❡r❣② ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛rt✐❝❧❡✱ ❡①tr❛❝t✐♥❣ ❡♥❡r❣② ❢r♦♠ t❤❡ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡✳ ❋r♦♠ ❝❡rt❛✐♥ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✱ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✐s t❤❡ ✇❛✈❡ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ❢♦r P❡♥r♦s❡ ♣r♦❝❡ss✱ ❛♥❞✱ ✐♥ ❢❛❝t t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ❤♦r✐③♦♥ ✐s ♥♦t ❝r✉❝✐❛❧ ❢♦r t❤❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥ ✐♥ ❑❡rr s♣❛❝❡✲t✐♠❡✱ ❜✉t t❤❡ ❡r❣♦s♣❤❡r❡ ✐s ❬✷✱ ✸❪✳

■♥ ✈✐❡✇ ♦❢ t❤✐s ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❡①tr❛❝t✐♥❣ ❡♥❡r❣② ❢r♦♠ ❛ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡✱ ✐t ❤❛s ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞ ❬✹✱ ✺❪ ❛ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ t♦ ❡①tr❛❝t ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ❡♥❡r❣② ✭✇❡ ❛r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ t❤✐s ❧✐♠✐t ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ s♦✲ ❝❛❧❧❡❞ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s✮ ✐♥ s❤♦rt ♣❡r✐♦❞ ♦❢ t✐♠❡ ✭❛ ❵❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ ❜♦♠❜✬✮✳ ❖♥❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ✐s t♦ s✉rr♦✉♥❞ ❛ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ ❛♥❞ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ r❛❞✐❛t✐♦♥ ❛t ✐♥✜♥✐t② ✇✐t❤ ❛ ♠✐rr♦r t❤❛t ❞♦❡s ♥♦t ❛❧t❡rs ♥❡✐t❤❡r t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② ♥♦r t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦❢ r❛❞✐❛t✐♦♥✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❛♠♣❧✐✜❡❞ r❛❞✐❛t✐♦♥ ❡♠✐tt❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ ✐s ❞✐r❡❝t❡❞ ♦♥❝❡ ♠♦r❡ t♦✇❛r❞s ✐t✱ ✉♥t✐❧ t❤❡ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ r♦t❛t✐♦♥ ✐s t♦♦ ❢❛✐♥t ❢♦r t❤✐s ♣r♦❝❡ss t♦ ❣♦ ♦♥✳ ❆♥♦t❤❡r ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❝♦♥s✐sts ♦♥ ♠❛ss✐✈❡ ❜♦s♦♥✐❝ ✐♥❝✐❞❡♥t r❛❞✐❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ♠❛ss ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✐♥t✉✐t✐✈❡❧② ✐♠❛❣✐♥❡❞ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♠✐rr♦r✱ ❜❡✐♥❣ ❛ttr❛❝t❡❞ ❛❣❛✐♥ t♦✇❛r❞ t❤❡ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡✳ ❈♦♥s❡♥s✉s ❤❛s st✐❧❧ ♥♦t ❜❡❡♥ r❡❛❝❤❡❞ ♥♦✇❛❞❛②s ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✐t❛t✐✈❡ r❡s✉❧ts✱ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❝✉♠❜❡rs♦♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ s♣❡❝✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❬✹✱ ✺❪✳

❯♥❢♦rt✉♥❛t❡❧②✱ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s s❡✈❡r❛❧ ♦t❤❡r ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛✱ ✐s ❢❛r ❢r♦♠ ❜❡✐♥❣ ❛ s✐♠♣❧❡ t❛s❦✳ ❚❤❡r❡ ✐s✱ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❛ ❝♦♥s♦❧❛t✐♦♥✿ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♥♦♥✲❣r❛✈✐t❛t✐♦♥❛❧ s②st❡♠ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦ t❤♦s❡ ♦❢ ✜❡❧❞s ❛r♦✉♥❞ ❛ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡✳ ❘✐❝❤ ❡①❛♠♣❧❡s ❛r❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s✱ ❡✐t❤❡r ❢♦r s♦✉♥❞ ✇❛✈❡s✱ ✐♥ t❤❡ ♣✐♦♥❡❡r✐♥❣ ✇♦r❦ ❬✻❪✱ ♦r ✐♥ ❣r❛✈✐t② ✇❛✈❡s ❬✼❪✳ ❚❤❡r❡ ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ s②st❡♠s t❤❛t ❝❛♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡t❡❝t ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ❬✼❪✱ ❞❡s♣✐t❡ ♦❢ ❝♦✉rs❡ ♦❢ ❜❡✐♥❣ ♦♥❡ ❢✉rt❤❡r ♣❤②s✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ s②st❡♠ t❤❛t ❡①❤✐❜✐ts s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✳ ❲❡ s❤❛❧❧ ♥♦t ❞❡s❝r✐❜❡ ✐t t❤❡♦r❡t✐❝❛❧❧②✱ s✐♥❝❡ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ r❡❞✉♥❞❛♥t ✇✐t❤ ♦✉r ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥✳ ❚❤❡s❡ ❛♥❛❧♦❣✉❡ s②st❡♠s ❛r❡ ♠✉❝❤ ❝❧♦s❡r t♦ ❞✐r❡❝t ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥✳ ◆❛♠❡❧②✱ st✐♠✉❧❛t❡❞ ❍❛✇❦✐♥❣ ❡♠✐ss✐♦♥ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❞❡t❡❝t❡❞ ❬✽❪ ✐♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ s②st❡♠s✦

■t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ❜❡❛r ✐♥ ♠✐♥❞ t❤❛t t❤❡s❡ ❛♥❛❧♦❣✐❡s ❛r❡ ❢♦r♠❛❧ ♦♥❧②✱ s♦ t❤❡ ❧✐♠✐t❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❛❜❧❡✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ s②st❡♠ ✇❡ s❤❛❧❧ s❡❡ ❛r❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉s ♦♥❧② t♦ t❤❡ ❦✐♥❡♠❛t✐❝s ♦❢ ●❡♥❡r❛❧ ❘❡❧❛t✐✈✐t②✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ♠❡tr✐❝ ✐s s♦ ❝❤♦s❡♥ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ t❤❡ ❛♥❛❧♦❣② t♦ t❛❦❡ ♣❧❛❝❡✱ ♥♦t ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ s♦♠❡ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❧✐❦❡ ❊✐♥st❡✐♥✬s✱ ❛♥❞ t❤❡ ❛♥❛❧♦❣② ✐s ❧♦st t♦ t❤❛t ❡①t❡♥t✳ ❋r♦♠ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✱ t❤❡s❡ s②st❡♠s ❝❛♥ ❜❡ ❜❡tt❡r ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ❛♥❛❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦♠♣✉t❡rs✳ ❚❤❡② ❛r❡ ✉s❡❢✉❧ ❢♦r ✉s t♦ s❡❡ s♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✇❡ ❛❧r❡❛❞② ❡①♣❡❝t✱ ❜✉t ♠✐❣❤t ❜❡ t♦♦ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ♥❡✈❡r ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞✐s❝♦✈❡r ♥♦✈❡❧ P❤②s✐❝s✳ P❡rs♦♥❛❧❧②✱ ■ ❜❡❧✐❡✈❡ t❤❡② ❛r❡ ❛ ❧✐tt❧❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❛t✿ t❤❡② s✉❣❣❡st ❤♦✇ s♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛r❡ ❝❤❛♥❣❡❞ ✇❤❡♥ s♦♠❡ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ t❤❡ ❦♥♦✇♥ ♣❤②s✐❝s ❛r❡ ❛❧❧♦✇❡❞ t♦ ✈❛r② ✭t❤❡ ♣❤♦t♦♥ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥ ❝♦♥st✐t✉t❡s ❛♥ ❡①❝❡❧❧❡♥t ❡①❛♠♣❧❡✮✱ ♣♦ss✐❜❧② ❣✐✈✐♥❣ ✉s ✐♥s✐❣❤t ❢♦r ✇❤❛t t♦ ❡①♣❡❝t ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ t❤❡♦r② ♦❢ ❣r❛✈✐t②✱ t❤❛t ✐s st✐❧❧ ♠✐ss✐♥❣ ♥♦✇❛❞❛②s✳

■♥ ✇❤❛t ❢♦❧❧♦✇s✱ ■ ❛tt❡♠♣t t♦ ❣✐✈❡ ❛ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ♥♦t ❡①❤❛✉st✐✈❡ ❛❝❝♦✉♥t ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts ❛❜♦✉t s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡✱ ❣✐✈✐♥❣ ❡♠♣❤❛s✐s ♦♥ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡s ❛♥❞ ✐ts s✉r♣r✐s✐♥❣❧② r✐❝❤ r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s✳

✶✳✷✳ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❇r✐❡❢ ❙✉r✈❡② ✶✳ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

2

●❡♥❡r❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t

✷✳✶ ❈r✐t❡r✐❛

■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❝r✐t❡r✐❛✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥ ❛♥② ♣❤②s✐❝❛❧ s②st❡♠ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❧✐♥❡❛r ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✱ t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r ♦r ♥♦t s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✐s ♣r❡s❡♥t✳ ❲❡ s❤❛❧❧ ❢♦❧❧♦✇ ❬✾❪✳ ❙✉❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠

h′′(η) +b(η)h(η) +c(η)h(η) = 0,

✇❤❡♥b✈❛♥✐s❤❡s✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛s ❛❧r❡❛❞② t❤❡ ❢♦r♠ t♦ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❢✉rt❤❡r✱ ✇❤❡♥ ✐t ❞♦❡s ♥♦t✱ ✇❡

❝❛♥ ❡♠♣❧♦② t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s s❛t✐s❢②✐♥❣

d2_η

dξ2 =

1

h′_(η), ✭✷✳✶✮

s♦ t❤❛t t❤❡ ♥❡✇ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s

d2f

dξ2 + [V(ξ) + iΓ(ξ)]f = 0. ✭✷✳✷✮

❯♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s t❤❛t ❢♦r ❧❛r❣❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡ ξ✱ V(ξ) ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ❛ ❝♦♥st❛♥tω2 _{❛♥❞ ξΓ(ξ) ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ③❡r♦✱ st✐❧❧ ♦♥ t❤✐s ❧✐♠✐t ✇❡ s❡❡❦ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠}

f(ξ) =e−iωξ+R12eiωξ, ✭✷✳✸✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ R = _|R12|2 > 0 ✐s ✐♠♠❡❞✐❛t❡✿ ✐t r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡

✐♥❝✐❞❡♥t ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ✇❤✐❝❤ ✐s tr❛✈❡❧❧✐♥❣ ❛❣❛✐♥st t❤❡ 0x ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✭❛s

✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ♦♥❡✮✳ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❲r♦♥s❦✐❛♥W(f, f∗_{)✳ ❲❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠} t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❖❉❊ t❤❛t ✐❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ✭✷✳✷✮ ✇❡r❡ r❡❛❧✱ t❤✐s ❲r♦♥s❦✐❛♥ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ❝♦♥st❛♥t✱ s✐♥❝❡ ❜♦t❤ f ❛♥❞ f∗ ✇♦✉❧❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② s❛t✐s❢② ✭✷✳✷✮✳ ❚❤✐s ❝♦♥st❛♥❝② ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ s❡❡♥ ❞✐r❡❝t❧②

❢r♦♠ ❆❜❡❧✬s ✐❞❡♥t✐t② ✇✐t❤ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❢♦rf′✳ ❚❤✐s ✐s ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡♥Γ₆= 0✳ d

dξ[iW(f, f

∗_{)] = i} d dξ

fdf∗

dξ −f

∗df dξ

= 2Γ|f|2,

✷✳✶✳ ❈r✐t❡r✐❛ ✷✳ ●❡♥❡r❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t

✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ ✭✷✳✷✮ ♦♥ t❤❡ ❧❛st st❡♣✳ ■♥t❡❣r❛t✐♥❣ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛✐❞ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ❛❜♦✈❡ ❢♦r t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ ❛❧❧ q✉❛♥t✐t✐❡s ❛t ❧❛r❣❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ξ

iW(f, f∗)_|∞−iW(f, f∗)_|ξ0 = 2

Z _∞

ξ0

Γ_|f_|2

❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✷✳✸✮ ✇❡ ❣❡t

R= 1 + i

2ωW(f, f

∗_)|ξ

0 −

1

ω

Z _∞

ξ0

dξΓ_|f_|2. ✭✷✳✹✮

❙✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✐s t❤❡♥ ♣r❡s❡♥t ✇❤❡♥

iW(f, f∗)|ξ0 −2

Z _∞

ξ0

Γ(ξ)|f(ξ)|2dξ >0,

❚❤❡ ❝❛s❡ ✇❡ ❥✉st st✉❞✐❡❞ ✐s ✉s❡❢✉❧ ❢♦r t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✱ ❢♦r ❝❤❛♣t❡r t❤r❡❡✱ ✇❤❡♥ ✇❡ ♠❛♥❛❣❡ t♦ s❡♣❛r❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r ❛ s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♠♦♥❣ ♦t❤❡r ❝❛s❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ s❤❛❧❧ ❣❡♥❡r❛❧✐s❡ ❛ ♣❛rt✐❛❧ r❡s✉❧t ❢r♦♠ ❬✾❪ ❢♦r ❛ s②st❡♠ ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❖❉❊s✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ♦♥❧② ✜rst✲♦r❞❡r ❧✐♥❡❛r s②st❡♠s✱ ❜✉t t❤✐s ♠❡❛♥s ♥♦ ❧♦ss ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✐t② s✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s tr❛♥s❢♦r♠ ❛ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ❧✐♥❡❛r ❖❉❊ ✐♥t♦ ❛ s②st❡♠ ♦❢ ✜rst ♦r❞❡r ❖❉❊s✳ ❙✉❝❤ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s

d

dtX=A(t)X+B(t), ✭✷✳✺✮

✇❤❡r❡X ❛♥❞B ❛r❡n_×1♠❛tr✐❝❡s ❛♥❞A✐s ❛♥n_×n♠❛tr✐① ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ♥✉♠❜❡rs✳ ◆♦✇✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ n_×n♠❛tr✐① S ✇❤♦s❡ ❝♦❧✉♠♥s ❛r❡ s♦❧✉t✐♦♥s Xi ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② W(t)✐ts ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t

❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❲r♦♥s❦✐❛♥✱ t❤❛t ✐s W(t) = detS(t)✭♥♦♠❡♥❝❧❛t✉r❡ ❛❧s♦ ❛❞♦♣t❡❞ ❜② ❬✶✵❪✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ ❤❡r❡✮✳ ❈♦♥s✐❞❡r✱ ❛s ✇❡ ❞✐❞ ❜❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❜❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s✱ t❤❛t ✐s B(t) _≡ 0✳ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts W = P_σsgn(σ)S_1σ(1)S_2σ(2). . . S_nσ(n)✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ s✉♠

r✉♥s ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥sσ ♦❢(1,2, . . . , n)✱ ❛♥❞sgn(σ)✐s−1❢♦r ♦❞❞ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s ❛♥❞+1 ❢♦r ❡✈❡♥ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s✱

d dtW =

n X

i=1

X

σ

sgn(σ)S_1σ(1). . . S_{i−1σ(i−1)}dSiσ(i)

dt Si+1σ(i+1). . . Snσ(n).

❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✷✳✺✮ ❢♦r t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✱

d dtW =

n X

i=1

X

σ n X

k=1

sgn(σ)AikS1σ(1). . . Skσ(i). . . Snσ(n).

▲❡tτ ❜❡ ❛♥♦t❤❡r ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥i6=k❜② ❛ s✐♥❣❧❡ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦✈❡rσt❤❛t ✐♥t❡r❝❤❛♥❣❡s

♣♦s✐t✐♦♥si ❛♥❞k✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡ sgn(τ) =−sgn(σ)✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ♦♥❧② t❤❡ t❡r♠ k=is✉r✈✐✈❡s ❛❢t❡r

t❤❡ s✉♠ ♦✈❡rσ✳

d dtW =

n X

i=1 Aii

X

σ

sgn(σ)S_1σ(1). . . S_iσ(i). . . S_nσ(n)= TrA W(t),

✇❤❡r❡ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ❤❛s ❜❡❡♥ ✉s❡❞ ♦♥❝❡ ♠♦r❡✳ ■♥t❡❣r❛t✐♥❣ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❡ ✜♥❞ ✇❤❛t ✇❡ ❝❛❧❧ ❤❡♥❝❡❢♦rt❤ ❛s ❣❡♥❡r❛❧✐s❡❞ ❆❜❡❧✬s ✐❞❡♥t✐t②✿

W(t) =W(t0)

Z t

t0

dt′exp TrA(t′) ✭✷✳✻✮

✷✳✷✳ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❩❡❧✬❞♦✈✐❝❤ ❈②❧✐♥❞❡r ✷✳ ●❡♥❡r❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t

❚♦ r❡❝♦✈❡r t❤❡ ❝❛s❡ st✉❞✐❡❞ ✐♥ ❬✾❪✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✜rst ♦r❞❡r s②st❡♠ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ✭✷✳✷✮✿

df

dξ = g(ξ) ❛♥❞

dg

dξ = (V + iΓ)f✳ ❈❧❡❛r❧② t❤❡ ❲r♦♥s❦✐❛♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ❛❜♦✈❡ ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡

❲r♦♥s❦✐❛♥ ❢♦r s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❖❉❊✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ t❡r♠ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ✜rst ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢f ✐♥ ✭✷✳✷✮✱ t❤❡ ♠❛tr✐①A✐s tr❛❝❡❧❡ss ❛♥❞ t❤❡ ❲r♦♥s❦✐❛♥ ❜❡t✇❡❡♥ s♦❧✉t✐♦♥s ✐s ❝♦♥s❡r✈❡❞

❜② ✈✐rt✉❡ ♦❢ ✭✷✳✻✮✳

■❢ ✇❡ ✐♠♣♦s❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ❢♦r t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡♥❝♦✉♥t❡r ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r r❡✢❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❣❡♥❡r❛❧✐s❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ♦♥ ❝❤❛♣t❡r ✜✈❡✱ ❜❡❧♦✇✳

✷✳✷ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❩❡❧✬❞♦✈✐❝❤ ❈②❧✐♥❞❡r

❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✭❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡ ♦❢✮ t❤❡ ❩❡❧✬❞♦✈✐❝❤✬s ❝②❧✐♥❞❡r✱ t❤❛t ✐s ❛ ❝♦♥❞✉❝t✐♥❣ r✐❣✐❞ ❝②❧✐♥❞❡r ✇✐t❤ r❛❞✐✉sa❛♥❞ ❝♦♥❞✉❝t✐✈✐t②σ >0r♦t❛t✐♥❣ ❛r♦✉♥❞ ✐ts s②♠♠❡tr② ❛①✐s ✇✐t❤ ❛♥❣✉❧❛r ✈❡❧♦❝✐t②Ω✭Ωa <1✮ ✐♥ ▼✐♥❦♦✇s❦✐ s♣❛❝❡✲t✐♠❡✳ ❇② ❖❤♠✬s ❧❛✇✱ja_=σFab_u

b+ρua ✐♥s✐❞❡ ✐t ❛♥❞ ③❡r♦

♦✉ts✐❞❡✱ ✇❤❡r❡ρ✐s t❤❡ ❝❤❛r❣❡ ❞❡♥s✐t② ❛s ♠❡❛s✉r❡❞ ❜② ❛♥ ♦❜s❡r✈❡r s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝❤❛r❣❡s ❛r❡ ❛t r❡st✳

❋♦r s✉❝❤ ❛ r♦t❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❢♦✉r✲✈❡❧♦❝✐t② ❢♦r ❛ ♣♦✐♥t ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ❝②❧✐♥❞❡r ✐s ❣✐✈❡♥✱ ✐♥ ❝②❧✐♥❞r✐❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s s✉❝❤ t❤❛tds2 _=−dt2_{+ dr}2_+r2_dφ2_{+ dz}2 _❜②u

µ(r) = √₁ 1

−Ω2_r2(−1,0,Ωr

2_,0)✳

❋♦r ❝♦♥s✐st❡♥❝②✱ Habub = ǫ(ω)Fabub ❛♥❞ εabcdFcdub = µ(ω)εabcdHcdub✱ ✇❤❡r❡ ω ✐s ♠❡❛s✉r❡❞ ✐♥

❝②❧✐♥❞❡r✬s ❢r❛♠❡✱ ♠✉st s❛t✐s❢② ▼❛①✇❡❧❧✬s ❡q✉❛t✐♦♥s✿

∂[cFab]= 0 ❛♥❞ ∂bHab= 4πja. ✭✷✳✼✮

❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡r❡ ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♠♦❞❡s ✇❤✐❝❤ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✭❬✶✶❪✮✱ ❢♦r s❛❦❡ ♦❢ s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ✇❡ s❤❛❧❧ ❝♦♥s✐❞❡rρ= 0 ❛♥❞ ♠♦❞❡s ✇✐t❤

~

E= ω−mΩ

ω√1−Ω2_r2 f(r)

√

r e

i(mφ−ωt)_e~

z

~ B =

m₋ωΩr2 ωr√1−Ω2_r2e~r+

i

ωe~φ

d dr

f(r)

√

r e

i(mφ−ωt)_, ✭✷✳✽✮

r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ❡❧❡❝tr✐❝ ❛♥❞ ♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❧❡❞ ♠❡❛s✉r❡❞ ✐♥ t❤❡ r♦t❛t✐♥❣ ❢r❛♠❡✳ ❇❡❝❛✉s❡ φ ✐s ♣❡r✐♦❞✐❝✱ m

♠✉st ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r✱ s❛② ♣♦s✐t✐✈❡✳

■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ✇r✐t❡ ❞♦✇♥ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✳✼✮ ✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐♥ t❤✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠✳ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♥♦t s❛t✐s✜❡❞ tr✐✈✐❛❧❧② ❣✐✈❡s

d2f

dr2 +ω

2_f+ (1−ǫµ)(ω−mΩ)2

1₋Ω2_r2 f−

4m2₋1

4r2 f+ 4πiµσ

ω₋mΩ

√

1₋Ω2_r2f = 0 ✭✷✳✾✮

❢♦rr < a ❛♥❞

d2f

dr2 +ω 2_f

−4m

2₋₁

4r2 f = 0

❢♦r r > a✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ s❡tt❧❡❞ǫ=µ= 0❢♦r r > a✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s ✇❡ ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ✈❛❝✉✉♠ ♦✉ts✐❞❡

t❤❡ ❝②❧✐♥❞❡r✳ ❚❤❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❛♥s❛t③ ❝❤♦✐❝❡✳

❆❧t❤♦✉❣❤ ✐t ✐s ❢❛r ❢r♦♠ ❜❡✐♥❣ s✐♠♣❧❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡①❛❝t ✈❛❧✉❡ ❢♦r t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t✱ ✭✷✳✹✮ ♠❛② ✐♥❞✐❝❛t❡ ✇❤❡♥ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❲❡ ♠✉st ❛♣♣❧② ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭❛t t❤❡ ♣♦✐♥tr= 0✮✳ ❚❤❡ t❤✐r❞ ❛♥❞ ✜❢t❤ t❡r♠ ✐♥ ✭✷✳✾✮ ♠❛② ❜❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛✐❞ ♦❢(1₋Ωr2)−1_≈ 1 + Ωr2 _{❛♥❞(1−Ωr}2₎−1/2 _{≈1 +}1

2Ωr2 ♥❡❛r t❤❡ ❛①✐s✳ ❲✐t❤✐♥ t❤✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✭✷✳✾✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥

❛s

d2f

dr2 +C0f+C2r

2_{f −}4m2−1

4r2 f = 0,

✷✳✷✳ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❩❡❧✬❞♦✈✐❝❤ ❈②❧✐♥❞❡r ✷✳ ●❡♥❡r❛❧ ❚r❡❛t♠❡♥t

✇❤❡r❡C0 ❛♥❞C2 ❛r❡ ❝♦♥st❛♥ts✳ ❙✐♥❝❡ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ♣♦ss❡ss❡s ❛ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ ❛①✐s✱ ✇❡ ♠❛②

s❡❛r❝❤ s♦❧✉t✐♦♥ ✐♥ s❡r✐❡s ❢♦r♠

f(r) = ∞

X

n=0

Anrn+λ. ✭✷✳✶✵✮

❚❤❡ ✐♥❞✐❝✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✶_{✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r n = 0 ❛❢t❡r ✭✷✳✶✵✮ ✐s s✉❜st✐t✉t❡❞ ❜❛❝❦ ✐♥t♦} t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✐s t❤❡♥ λ(λ₋1)₋m2₋ 1

4 = 0✱ ✇✐t❤ r♦♦ts 12 ±m✳ ❆s ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞

♦♥❧② ✐♥ r❡❣✉❧❛r s♦❧✉t✐♦♥s✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ♦♥❧② t❤❡ ✉♣♣❡r s✐❣♥✳ ❚❤❡ ✐♥❞✐❝✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❣✐✈❡s t❤❡ ❧♦✇❡st ♣♦✇❡r ✐♥r❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✭✷✳✶✵✮✳ ❙♦✱ ♥❡❛r t❤❡ ❛①✐s✱ t❤✐s t❡r♠ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ t❤❡ ♠♦st ✐♠♣♦rt❛♥t

❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥✳ ❙♦f(r)_≈A0rm+1/2 ♥❡❛rr= 0✳ ◆♦✇✱ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ♦♥ ✭✷✳✹✮ ❛♥❞ ❜❡❛r✐♥❣ ✐♥ ♠✐♥❞ t❤❛t

t❤❡ ❲r♦♥s❦✐❛♥ t❡r♠ tr✐✈✐❛❧❧② ✈❛♥✐s❤❡s✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥

R= 1₋4πµσ

ω

Z a

0

dr (ω−mΩ)|f(r)| 2

r√1−Ω2_r2 ,

❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ s❡❡ t❤❛t s✉♣❡rr❛❞✐❛♥❝❡ ✐s ♣r❡s❡♥t ✇❤❡♥❡✈❡r ω < mΩ✳ ❲❡ ❛❧s♦ s❡❡ t❤❛t ✐♥ ❝❛s❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥s✉❧❛t♦r ❝②❧✐♥❞❡r✱ t❤❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ✉♥✐t❛r②✳

❚♦ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❡♥❡r❣② ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① P♦②♥t✐♥❣ ✈❡❝t♦r ✭❬✶✸❪✮ ❢♦r t❤❡ ♠♦❞❡s ✇✐t❤ ❛✐❞ ♦❢ ✭✷✳✽✮✿ _S~ _=EB∗

re~φ−EBφ∗e~r✳ ■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ❡♥❡r❣② ❝❛rr✐❡❞ ❛✇❛② ❜② t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝

✜❡❧❞ ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ❛♥❞ ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ✢✉① ♦❢ t❤❡ r❡❛❧ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ P♦②♥t✐♥❣ ✈❡❝t♦r ❛❝r♦ss t❤❡ ❝②❧✐♥❞❡r✬s s✉r❢❛❝❡✳

❋r♦♠ t❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ r❡s✉❧t ❢r♦♠ ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s∇·S~+_∂t∂(u_♠❡❝+u_❡♠) = 0✱ ✇❡ ❧❡❛r♥ t❤❛t ✐♥ t❤❡ s✉♣❡rr❛❞✐❛♥t r❡❣✐♠❡ ❛❧❧ ❣❛✐♥ ✐♥ r❛❞✐❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ♠✉st ❜❡ ❝♦♠♣❡♥s❛t❡❞ ❜② ❛ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ❡♥❡r❣② ❧♦st✱ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ❡♥❡r❣② ❢r♦♠ t❤❡ ❝②❧✐♥❞❡r✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛♥❣✉✲ ❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ✐♥ ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ❬✶✸❪✱ ✇❡ ❧❡❛r♥ t❤❛t t❤❡ ❝②❧✐♥❞❡r ♠✉st ❧♦s❡ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ✐♥ ❢❛✈♦✉r ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞✳ ❚❤❡ t✐♠❡ ❛✈❡r❛❣❡❞ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦❢ t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞ ✐s~_L=R

d3x ~r×S~✱ ❣✐✈✐♥❣ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢2πR dr rE(r)B_r∗(r)e~z ♣❡r ✉♥✐t ❧❡♥❣t❤✱ ❞✐r❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤✇✐s❡✱

❛s ✇❡ ♠✐❣❤t ❡①♣❡❝t✷_✳

✶_{❢♦r ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♠❡t❤♦❞✱ s❡❡✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❝❤❛♣t❡r ♥✐♥❡ ♦❢ ❬✶✷❪}

✷_{❚❤❡ ❡❛s✐❡st ✇❛② t♦ ❝♦♥✈✐♥❝❡ ♦♥❡s❡❧❢ ✐s ❜② ✇r✐t✐♥❣ t❤❡ ❝r♦ss ♣r♦❞✉❝t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ✈❡❝t♦r ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①}

P♦②♥t✐♥❣ ✈❡❝t♦r ✐♥ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❞✐r❡❝t❡❞ ❛❧♦♥❣e~x ❛♥❞ e~y ✈❛♥✐s❤ ✇❤❡♥ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ♦✈❡r

t❤❡ ❛♥❣✉❧❛r ✈❛r✐❛❜❧❡✳

3

❑❡rr ❇❧❛❝❦ ❍♦❧❡s

✸✳✶ ❙♣✐♥♦rs

❚❤❡ ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s ♠❡r❡❧② t♦ ✜① ♥♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ t♦ ❣✐✈❡ r❡❛❞❡rs s♦♠❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧ t❡❝❤♥✐q✉❡s✳ ❲❡ ❞♦ ♥♦t ✐♥t❡♥❞ t♦ ❝♦♥str✉❝t ✭✇❤❡♥ ♣♦ss✐❜❧❡✮ ❛ ❢♦r♠❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ s♣✐♥♦rs ✐♥ ❝✉r✈❡❞ s♣❛❝❡✲t✐♠❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s q✉✐t❡ ❡①t❡♥s✐✈❡✳ ❲❡ r❡❢❡r t♦ ❬✶✹❪ ❢♦r ❛♥ ❛❝❝♦✉♥t ♦❢ t❤✐s t❛s❦✳

❆ s♣✐♥♦r s♣❛❝❡ (W, ǫAB) ✐s ❛ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ W ♦✈❡r C✱ ✇❤♦s❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❛r❡ ❞❡✲

♥♦t❡❞ ✇✐t❤ s✉♣❡rs❝r✐♣ts ✭ξA ∈ W✮ ✇❤✐❧st ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ✐ts ❞✉❛❧ ✇✐t❤ s✉❜s❝r✐♣ts ✭ξA ∈ W∗✮✱ ❛♥❞ ❛♥

❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ t❡♥s♦rǫAB :W ⊗W →C✉s✉❛❧❧② ❝❛❧❧❡❞ s❦❡✇✲♠❡tr✐❝✳

❋r♦♠ W ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ❞✉❛❧ s♣❛❝❡ W¯∗_{✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛♥t✐❧✐♥❡❛r} ♠❛♣s ❢r♦♠W t♦ C✳ ❊❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤✐s s♣❛❝❡ ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ❛ ♣r✐♠❡❞ s✉❜s❝r✐♣t ✭_{ξA′ ∈W}¯∗✮✳ _ǫAB ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❢♦r♠ ❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✈❡❝t♦rs ♦❢W ❛♥❞W∗ ❜②ξB=ǫABξA✱ ❛♥❞ t❤❡ r❡❝✐♣r♦❝❛❧

❜② ❞❡✜♥✐♥❣ǫAB _{❜② ǫ}AB_ǫ

BC =−δAC✳ ❙✐♠✐❧❛r r❡❧❛t✐♦♥s ❤♦❧❞ ❢♦r ♣r✐♠❡❞ ✐♥❞✐❝❡s✱ ❜② s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ǫAB

❜②¯ǫA′_B′✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❥✉st t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ǫ_AB✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛ s♣✐♥♦r✐❛❧ ❜❛s✐s(oA, ιA) ♦❢ W s❛t✐s❢②✐♥❣oAιA= 1✳ ❚❤❡♥

tAA′ = √1

2(o

A_o¯A′

+ιA¯ιA′), xAA′ = √1

2(o

A_¯ιA′

+ιAo¯A′), yAA′ = √i

2(o

A_¯ιA′

−ιAo¯A′), zAA′ = √1

2(o

A_¯oA′

−ιA¯ιA′),

✭✸✳✶✮

❝♦♠♣r✐s❡s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❢♦✉r ❝♦♠♣❧❡① ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡Y ♦❢ t❡♥s♦rs ✭W∗⊗W¯∗→C✮✳ ❊❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ❛❜♦✈❡✱ s❛② tAA′✱ ❤❛s t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t¯A′A=tAA′✱ s♦ t❤❡② ❛r❡ r❡❢❡rr❡❞ ❛s r❡❛❧ ❛♥❞ ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t

♦❢Y ✐s r❡❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ❡①♣❛♥❞❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜❛s✐s ❛❜♦✈❡ ✇✐t❤ r❡❛❧ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❇② ❧✐♥❡❛r✐t②✱ t❤❡

s✉❜s❡t V ⊂Y ♦❢ r❡❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ✐s ❛ ❢♦✉r r❡❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ♦✈❡rR✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝♦♠♣❛r❡ ✇✐t❤ r❡s✉❧ts ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤✐s ❜❛s✐sǫAB =oAιB−ιAoB✱ ✇❡ ♠❛②

r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥tsǫΞΘ ♦❢ ǫAB ♦♥ ❛ ♠❛tr✐①✱

ǫΞΘ=

0 1

−1 0

,