(A) Calcule Z S1 z−1(z+z−1)2ndz (B) Conclua que 1 2π Z 2π 0 (cost)2ndt n n) Exerc´ıcio3

LISTA DE EXERC´ICIOS 6 (ATUALIZADA)

INTEGRAIS E A F ´ORMULA INTEGRAL DE CAUCHY

PROF. PAOLO PICCIONE MONITOR: GUSTAVO RAMOS

Obs. a menos de menc¸˜ao contr´aria, consideramos parametrizac¸˜oes orien- tadas no sentido anti-hor´ario.

1. INTEGRAIS

Todos os exerc´ıcios dessa sec¸˜ao podem ser feitos sem a f´ormula integral de Cauchy.

Def. Oc´ırculo unit´ario ´e o conjunto

S¹ ={z ∈C:|z|= 1}

Dador >0,

rS¹ ={z ∈C:|z|=r}

Def. Dados um conjuntoA⊂Ceξ ∈C, denotamos ξ+A={ξ+z :z ∈A}

Exerc´ıcio1. (A) Dadok ∈Z, calcule Z

S¹

z^kdz

(B) Dadosr >0ek ∈Z, calcule Z

rS¹

z^kdz

Data: 6 de novembro de 2019.

1

(C) Dadosz0 ∈C,r >0ek ∈Z, calcule Z

z0+rS¹

(z−z₀)^kdz

Lembrete.Dadosz₁, z₂ ∈Ceninteiro n˜ao-negativo, (z1+z2)ⁿ =

n

X

j=0

n j

z₁^jz^n−j₂

Exerc´ıcio2. (A) Calcule Z

S¹

z⁻¹(z+z⁻¹)²ⁿdz

(B) Conclua que 1 2π

Z 2π

0

(cost)²ⁿdt = 1·2·5·...·(2n−1) 2·4·...·(2n)

Exerc´ıcio3. Fixek∈R. (A) Calcule

Z

S¹

e^kz z dz (B) Deduza que

Z π

0

e^kcostcos(ksint) dt =π

Obs. Considere o resultado a seguir para fazer os exerc´ıcios abaixo:

Z ∞

0

e^−t2dt=

√π 2

A deduc¸˜ao detalhada desse resultado pode ser encontrada em [2], sec¸˜ao VI.12.

Exerc´ıcio4. (A) FixeR >0. Integre a func¸˜aof(z) =e^−z2 ao longo do bordo de{z ∈C:|z| ≤R,0≤Argz ≤π/8}.

(B) Estude o limite das integrais no ´ıtem anterior conformeR→ ∞.

(C) Conclua que Z 2π

0

e^−t2cos(t²) dt =

√π 4

q 1 +√

2

Exerc´ıcio5 (Integrais de Fresnel). (A) Fixe R > 0. Integre a func¸˜ao f(z) =e^−z2 ao longo do bordo de{z ∈C :|z| ≤R,0≤ Argz ≤ π/4}.

(B) Estude o limite das integrais no ´ıtem anterior conformeR→ ∞.

(C) Deduza o valor das integrais Z ∞

0

cos(t²) dt

Z ∞

0

sin(t²) dt

Dica. (exerc´ıcios 4 e 5) considere certa func¸˜aof :R→R.

Como garantir quelim_R→∞f(R) = 0sem saber o valor expl´ıcito def?

2. AFORMULA INTEGRAL DE´ CAUCHY

Lembrete.DadoA⊂C, obordodeA, oufronteiradeA, ´e o conjunto

∂A ={z ∈C:∀r >0; B_r(z)∩A6=∅, B_r(z)∩(C\A)6=∅}

Exerc´ıcio6. SejaΩ⊂Cum dom´ınio.

Sejamz₁, ..., z_k pontos distintos emΩ eΛ um dom´ınio comΛ ⊂ Ωtal que{z₁, ..., z_k} ⊂Λ.

Deduza que

k

X

j=1

Z

∂Λ

1

z−z_j dz = 2kπi

Lembrete.Seα, β ∈C, ent˜ao 1

z−α − 1

z−β = α−β

z²−(α+β)z+αβ emC\ {α, β}

Exerc´ıcio7. Calcule (A)

Z

S¹

zz¯dz

(B)

Z

3S¹

z+ 1 z dz (C)

Z

1 4S¹

z+ 1 z dz (D)

Z

5i+S¹

z+ 1 z dz (E)

Z

1 2S¹

2z+ 1 z² +z dz (F)

Z

2+S¹

1 z²−2dz (G)

Z

S¹

1 z²−2dz (H)

Z

Q

πe^π¯zdz

ondeQ´e o quadrado de v´ertices0,1,1 +iei.

(I)

Z

z0+rS¹

1 z−z₀ dz onder >0.

(J)

Z

z0+rS¹

1

(z−z₀)ⁿdz onden≥2.

(K)

Z

S¹

e^iz z² dz (L)

Z

S¹

sinz z⁴ dz (M)

Z

1+¹₄S¹

logz zⁿ dz onden≥1.

(N)

Z

S¹

e^z−e^−z zⁿ dz onden≥1.

(O)

Z

2S¹

1 z²+ 1dz (P)

Z

S¹

e^−z z² dz (Q)

Z

(^2|ξ|)^S1 e^z z²+ξ² dz ondeξ∈C\ {0}.

(R)

Z

1+2S¹

ze^z (z−1)³ dz

Algumas respostas.

´Item Resposta

(A) 0

(B) 2πi

(D) 0

(K) −2π

(R) 3eπi

REFERENCIASˆ

[1] Marcio G. Soares,C´alculo em uma vari´avel complexa, Colec¸˜ao Matem´atica Univer- sit´aria, IMPA.

[2] Donald Sarason,Complex function theory, American Mathematical Society.

UNIVERSIDADE DES ˜AOPAULO, DEPARTAMENTO DEMATEMATICA´

Email address:piccione.p@gmail.com.br, gustavopramos@gmail.com