1  zi  2 [ z  i  21  zi [ z  i  2  2 zi [ z @ 2 zi  2 @ i [ z  i 1  zi  2 z  i

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Trabalho para a 2ª Certificação – Valor: 1,5 – GABARITO 1) Escreva o complexo z = 1 + i na forma complexa e calcule z⁸.

Solução. A forma geral é z = a + bi. Logo, a = 1 e b = 1. Calculando o módulo e o argumento, temos:

i) ^{LL M}z^M^q1²1²

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

^p^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w2^w ii)

cos  a

|z|

fffffff 1

pfffffffffffwwwwwwwwwwwwwwww2w

sen  b

|z|

fffffff 1

pfffffffffffwwwwwwwwwwwwwwww2w X^

^^

^\

^^

^^ Z

[  

4^fffff . A forma trigonometria e a potência são:

a) z^p^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w2^w cos

4^fffffiAsen  4^fffff

d e

b) z⁸^b^p^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w2^w^w^c⁸ cos 4

fffffiAsen 4

fffff

d e8

16 cos 8A 4

fffff

d e

iAsen 8A 4

fffff

d e

F G

16 cos2 ^` iAsen2^a16

2) (Fuvest)Sendo i unidade imaginária, resolva a equação: zi 1zi

ffffffffffffffff2

Solução. Considerando z = a + bi, temos:

zi

1ffffffffffffffffzi2[ zi2 1^` zi^a[ zi22zi[ z@2zi2@i[ [ z 2@i

1ffffffffffffffffff@2i ^`2@i^aA1^` 2i^a 1@2i

` a

A1^` 2i^a

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff24i@i@2i² 1@4i²

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff43i 14

ffffffffffffffffff4 5

ffff3 5

fffi

3) Qual o polinômio que subtraído de A(x) = 2x³- x²- 4x + 5 dá o polinômio B(x) = x² + 3x -1 ?

Solução. Seja F(x) o polinômio tal que F(x) - A(x) = B(x). Logo, F(x) = A(x) + B(x). Temos:

F x^{` a}^b2x³@x²@4x 5^c^bx²3x@1^c2x³@x4

4) (FEI-SP) A soma de dois polinômios P(x) + Q(x) é um polinômio de grau 6 e o grau do polinômio que representa a diferença P(x) - Q(x) é 4. Quais afirmações a seguir são verdadeiras?

I. A diferença Q(x) e P(x) tem grau 6.

II. P(x) e Q(x) têm o mesmo grau.

III. P(x) tem grau 5.

IV. Q(x) tem grau 4 V. P(x) tem grau 4.

Solução. Analisando cada sentença observa-se que os polinômios precisam ter o mesmo grau e esses não podem ser inferiores a 6, pois não se cancelariam na subtração. Logo, somente a sentença II é a verdadeira.

5) (UFBA) Considere os polinômios na variável a :

(2)

P1= 3a³-4a²b+7b³ P2= -6a³ + 15a²b + 5b³ P3= ma³ + na²b + pb³ Sendo P1+P2+P3 = 0, calcule m +n +p.

Solução. Escrevendo a expressão da soma dos polinômios, temos:

0 ) 5

7 ( ) 15 4 ( ) 6 3 ( 3 2

1P P   ma³  b bnb a²  b³  b³ pb³  P

Como a variável é “a”, consideramos que o polinômio nulo possui coeficientes de cada potência de “a”

como nulos. Assim:

 

 















































12 12

0 5

7 11 11

0 15

4 3 0

6 3

3 3

3

b pb pb b p

b

n b nb nb

b b

m m

. Logo, m + n + p = 3 – 11 – 12 = - 20.

6) Um polinômio P de grau 2 satisfez as condições P(0)=2, P(-1)=12, P(2)=6. Determine P e suas raízes.

Solução. Um polinômio de grau 2 é da forma P(x) = ax² + bx + c. Considerando as condições indicadas, temos:

i) Cálculo dos coeficientes a, b e c.

a) P(0)a(0)²b(0)cc2

b) P(1)a(1)² b(1)212ab2ab10 c) P(2)a(2)²b(2)264a2b22ab2

Resolvendo o sistema do item (b), vem:

 





 

 

 





6 123 4 22 10

b a a ba ba

O polinômio é P(x) = 4x² – 6x + 2.

ii) Cálculo das raízes. Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

 



 





 

 

 







 

2 1 8 4 8 1 8 8

2 6 8

32 36 6 )4(

2 )2 )(4 (4 )6 ( )6 (

2 2 1

x x x

7) Um polinômio P(x) é do 2º grau. Sabendo-se que p(-1) = 12, P(0) = 6 e 2 é a raiz de P(x), escreva o polinômio e determine P(5).

Solução. Um polinômio de grau 2 é da forma P(x) = ax² + bx + c. Considerando as condições indicadas, temos:

(3)

a) P(0)6a(0)²b(0)c6c6

b) Como 2 é raiz, então P⁽²⁾⁰a⁽²⁾² b⁽²⁾⁶⁰⁴a²b⁶²ab³ P(1)a(1)² b(1)612ab6ab6

Resolvendo o sistema do item (b), vem:

 





 

 







5 33 1 6

32 b a a ba

ba

Logo, P(x) = x² – 5x + 6 e P(5) = (5)² – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6.

8) (ITA 2008) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica.Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o grau de P é 62,então o de maior grau tem grau igual a:

a)30 b)32 c)34 d)36 e)38

Solução. O grau do polinômio formado pelo produto de 5 polinômios será a soma dos graus de cada um desses polinômios. Como estão em PG, sejam esses graus da forma: 2, 2q, 2q², 2q³ e 2q⁴. A soma

desses termos é 31 31 1 31 30 0

1 ) 1 ( 62 2 1

) 1

( 5 5 5 5

1

5        



 

 

  q q q q

q q q

q

S a .

A soma dos coeficientes é 0. Logo, P(1) = 0. Mas se q = 1, a PG seria constante. Analisando para q = 2, temos 2⁵ – 31(2) + 30 = 0. Logo, q = 2 satisfaz. Os graus seriam 2, 4, 8, 16 e 32 cuja soma seria 62. Logo o maior grau dos 5 polinômios é 32. Opção (b).