Quest˜ao 2

MAT0103 — COMPLEMENTOS DE MATEM ´ATICA PARA CONTABILIDADE E ADMINISTRAC¸ ˜AO

LISTA DE EXERC´ICIOS 5

PROFESSOR: PAOLO PICCIONE

MONITOR: LEANDRO AUGUSTO LICHTENFELZ

Quest˜ao 1. Enuncie o Teorema de Weierstrass. Prove que sef : R → R ´e uma func¸˜ao cont´ınua, tal que lim

x→+∞f(x) = lim

x→−∞f(x) = +∞, ent˜aof admite m´ınimo emR. Dˆe um exemplo de func¸˜aof : ]0,1]→Rcont´ınua que n˜ao admite nem m´aximo nem m´ınimo em]0,1].

Quest˜ao 2. Enuncie o Teorema do Valor M´edio (Teorema de Lagrange). Prove que existeα∈

0,^π₂

tal que:

e^senαcosα= _π² e−1 .

Quest˜ao 3. Quais das seguintes afirmac¸˜oes ´e verdadeira? Argumente sua re- sposta: se a afirmac¸˜ao for falsa, mostre um contra-exemplo, se for verdadeira, a prove.

(a) Sex0∈[a, b]´e um ponto de m´aximo local da func¸˜ao deriv´avelf : [a, b]→ R, ent˜aof⁰(x₀) = 0.

(b) Sef⁰(x₀) = 0ent˜aox₀´e um ponto ou de m´aximo local dafou de m´ınimo local daf.

(c) Se f : [a, b] → Rfor uma func¸˜ao deriv´avel, e com derivada cont´ınua, ent˜ao existeM > 0tal que para todox1, x2 ∈ [a, b],

f(x1)−f(x2)

≤

M· |x₁−x₂|.

(d) Sef : [a, b]→Rfor uma func¸˜ao deriv´avel ef(x)≥0para todox∈[a, b], ex0 ∈]a, b[´e tal quef(x0) = 0, ent˜aof⁰(x0) = 0.

(e) Sef :R→R´e uma func¸˜ao deriv´avel par, ent˜ao sua derivadaf⁰ :R→R

´e uma func¸˜ao par.

Quest˜ao 4.Prove que para todox₁, x₂∈R,|cosx₁−cosx₂| ≤ |x₁−x₂|.

Date: Vers˜ao atualizada, 27 de Junho de 2011.

2 P. PICCIONE, L. A. LICHTENFELZ

Quest˜ao 5.Determine o polinˆomio de grau menor o igual a2que melhor aprox- ima a func¸˜aof(x)dada perto do pontox₀ dado.

(1) f(x) = cosx,x₀ = ^π₄; (2) f(x) =e^2x,x₀= 1;

(3) ln(1 + 2x),x0 = 0;

(4) f(x) = tgx,x0= 0;

(5) f(x) =e^sinx,x₀ = 0.