MAT-5711 – CÁLCULO AVANÇADO
SÉTIMA LISTA DE EXERCÍCIOS – LEMA DE POINCARÉ E GRUPOS DE DERHAM
PROF. ALEXANDRE LYMBEROPOULOS
Exercício 1.
a. Reescreva o enunciado do Lema de Poincaré em termos de campos escalares e campos veto- riais deR3parak-formas, onde0≤k≤3.
b. Interprete de maneira análoga os resultados sobre duask−1-formas que têm a mesma dife- rencial, quando1≤k≤3.
Exercício 2.
a. Sejag : A → B um difeomorfismo de classe C∞ entre abertos doRn. Mostre que se A é homologicamente trivial em dimensãokse e somente seBtambém o é.
b. Encontre um aberto emR2que não seja estrelado e seja homologicamente trivial em todas as dimensões.
Exercício 3. Mostre que um abertoA ⊂ Rné homologicamente trivial em dimensão0se e so- mente seAé conexo (por caminhos).
Exercício 4. Trasncreva os teoremas de caracterização das formas fechadas que são exatas em Rn\ {0}para a linguagem de campos escalares e campos vetoriais quandon=2en=3.
Exercício 5. SejamUeVabertos deRntais queX=U∪VeA=U∩V6=∅. Seja também δ˜ : Hk(A) → Hk+1(X)
ω+Ek(A) 7→ δ(ω) +Ek+1(X) , ondeδ:Ωk(A)→Ωk+1(X)é calculada em cadaω∈Ck(A)e dada por
δ(ω) =
(dϕ∧ω emA,
0 numa vizinhança deU0∪V0.,
sendo ϕ : X → [0, 1]uma função de classeC∞tal que ϕ(x) = 0, para todox ∈ U0 eϕ(x) = 1 para todox ∈V0comU0vizinhança aberta deU\AeV0vizinhança aberta deV\A. Determine hipóteses sobreHi(U)eHi(V)para que
a. δ˜seja injetora;
b. a imagem deδ˜sejaHk+1(X); c. H0(X)seja trivial.
Exercício 6. Sejampeqpontos deRn,n≥1. Mostre que dimHk Rn\ {p,q}=
(0, sek6=n−1, 2, sek=n−1.
Dica. Estude a trivialidade da homologia do abertoRn+1\ {p,q} ×H1
deRn+1emRn+1todas as dimensões e prossiga por indução.
Exercício 7. Traduza o resultado acima em termos de formas diferenciais e estabeleça critérios para que uma forma fechada emRn\ {p,q}seja exata.
Exercício 8. Reescreva os critérios acima em termos de campos escalares e campos de vetores emRn\ {p,q}paran=2oun=3.
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