Gabarito Lista de exerc´ıcios 5 - Variáveis Aleatórias e Distribui¸cão Binomial – C A S A

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MAE116 – No¸c˜ oes de Estat´ıstica

Grupo A - 1

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semestre de 2014

Gabarito Lista de exerc´ıcios 5 - Variáveis Aleatórias e Distribui¸cão Binomial – C A S A

Exerc´ıcio 1.

(2,0 pontos). Dados sobre acidentes automobil´ısticos levantados por uma companhia de seguros informaram o seguinte: a probabilidade de que um motorista segurado sofra um acidente automobil´ıstico em um ano é de 0,15. Se um acidente ocorrer, os danos com o ve´ıculo montam a 20% do seu valor de mercado, com probabilidade de 0,8, enquanto a probabilidade de esses danos atingirem 60% do seu valor de mercado é de 0,12, e uma perda total tem probabilidade de 0,08. Que prêmio deve a companhia cobrar sobre um automóvel com valor de R$ 50.000,00, a fim de que o lucro esperado da companhia seja nulo? OBS: prêmio é o valor anual que a companhia de seguros cobra do segurado.

Resposta:

Considere os seguintes eventos:

A: o motorista segurado sofre um acidente automobil´ıstico em um ano dado, D¹ :os danos com o ve´ıculo montam a 20% do seu valor de mercado,

D² :os danos com o ve´ıculo montam a 60% do seu valor de mercado, D3 :os danos com o ve´ıculo montam a totalidade do seu valor de mercado,

Temos do enunciado do exerc´ıcio que:

P(A) = 0,15, P(D1|A) = 0,80, P(D2|A) = 0,12 e P(D3|A) = 0,08.

A 0,15

D1

0,80

0,15×0,80 = 0,120 (R$ 10.000,00)

D²

0,12 0,15×0,12 = 0,018 (R$ 30.000,00)

D3

0,08

0,15×0,08 = 0,012 (R$ 50.000,00)

A^c 0,85

0,85 (R$ 0,00)

O prêmio que a companhia deve cobrar sobre um automóvel com valor de R$ 50.000,00, a fim de que o lucro esperado da companhia seja nulo é:

E(X) = 0,120×10.000,00 + 0,018×30.000,00 + 0,012×50.000,00 + 0,85×0 = 2.340,00.

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Exerc´ıcio 2.

(3,0 pontos). Numa universidade relata-se que 4% dos alunos que realizam seu vestibular cada ano recebem bolsa de estudos. Considere selecionar uma amostra de 30 estudantes que fizeram o ´ultimo vestibular.

(a) (0,75 pontos). Qual ´e a probabilidade de exatamente 2 receberem bolsas de estudos entre os 30 selecionados?

Resposta:

Seja a variável aleatóriaX que conta o número de estudantes na amostra de 30 que fizeram o último vestibular e receberam bolsa de estudo. Então X tem distribui¸cão binomial com parâmetrosn = 30 ep= 0,04 e sua fun¸cão densidade de probabilidade é dada por:

P(X =k) = 30

k

(0,04)^k(0,96)³⁰⁻^k k = 0,1, . . . ,30

Usaremos o R-commander para calcular as probabilidades da distribui¸cão binomial esco- lhendo as seguintes op¸cões: Distribui¸cões ⇒ Distribui¸cões Discretas ⇒ Distribui¸cão Binomial

⇒ Probabilidades da binomial... e escrevemos 30 em Experimentos da Binomial, 0.04 em Probabilidade de sucesso e clicamos Ok.

Passo 1:

Passo 2:

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Obtemos os seguintes resultados:

.Table

Pr 0 2.938576e-01 1 3.673221e-01 2 2.219237e-01 3 8.630368e-02 4 2.427291e-02 5 5.259130e-03 6 9.130435e-04 7 1.304348e-04 8 1.562500e-05 9 1.591435e-06 10 1.392506e-07 11 1.054929e-08 12 6.959598e-10 13 4.015153e-11 14 2.031476e-12 15 9.028783e-14 16 3.526868e-15 17 1.210200e-16 18 3.641805e-18 19 9.583698e-20 20 2.196264e-21 21 4.357667e-23 22 7.427842e-25 23 1.076499e-26 24 1.308245e-28 25 1.308245e-30 26 1.048273e-32 27 6.470823e-35 28 2.888760e-37 29 8.301035e-40 30 1.152922e-42

A probabilidade de exatamente 2 receberem bolsas de estudos entre os 30 selecionados ´e

P(X = 2) = 0,2219237.

(b) (0,75 pontos). Qual ´e a probabilidade de no m´aximo 3 receberem bolsas de estudo entre os 30 selecionados?

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Resposta:

P(X ≤3) =P(X = 0) +P(X = 1) +P(X = 2) +P(X = 3)

=0,2938576 + 0,3673221 + 0,2219237 + 0,08630368

=0,9694071

(c) (0,75 pontos). Qual é a probabilidade de que o número dos que não recebem a bolsa, dentre os 30 selecionados, esteja entre 24 e 27 (inclusive)?

Resposta:

Defina la variável aleatória Y que conta o número de estudantes na amostra de 30 que fizeram o último vestibular e não receberem bolsa de estudo. Então temos que Y tem distribui¸cão binomial com parâmetros n = 30 e p = 0,96. Além disso temos que P(Y = k) = P(X = 30−k), para k = 0,1, . . . ,30. Assim a probabilidade de que o n´umero dos que não recebem a bolsa, dentre os 30 selecionados, esteja entre 24 e 27, inclusive é:

P(24 ≤Y ≤27) =P(Y = 24) +P(Y = 25) +P(Y = 26) +P(Y = 27)

=P(X = 6) +P(X = 5) +P(X = 4) +P(X = 3)

=0,000913 + 0,005259 + 0,024273 + 0,086304

=0,116749

(d) (0,75 pontos). Qual ´e a probabilidade de pelo menos 1 receber bolsa entre os 30 selecionados?

Resposta:

P(X ≥1) =1−P(X <1) = 1−P(X= 0)

=1−0,2938576 = 0,7061424

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Exerc´ıcio 3.

(3,0 pontos). Um estudo realizado por uma empresa de turismo indica que 30% dos passageiros que utilizam certo aeroporto realizam voos de curta distˆancia, de at´e 500 milhas. Selecionando- se aleatoriamente 25 passageiros desse aeroporto, determine:

(a) (0,75 pontos). A probabilidade de que pelo menos 12 sejam passageiros de voos de curta distˆancia;

Resposta:

Seja X a variável aleatória que conta o número de passageiros que utilizam o aeroporto e realizam voos de curta distância de até 500 milhas. Então X tem distribui¸cão binomial com parâmetrosn = 25 ep= 0,30 e sua fun¸cão densidade de probabilidade é dada por:

P(X =k) = 25

k

(0,30)^k(0,70)²⁵⁻^k k = 0,1, . . . ,25

precisamos encontrar ent˜aoP(X ≥12) = 1−P(X ≤11).

Para calcular esta probabilidade no R-commander escolhemos as seguintes op¸c˜oes:

Distribui¸cões ⇒Distribui¸cões Discretas ⇒Distribui¸cão Binomial⇒ Probabilidades das caudas da binomial... e escrevemos 11 em Valores da Variável, 25 emExperimentos da Binomial, 0.3 em Probabilidade de sucesso, escolhemos a op¸cão Cauda inferiore clicamos Ok.

Obtemos o seguinte resultado:

pbinom(c(11), size=25, prob=0.3, lower.tail=TRUE) [1] 0.9557535

A probabilidade de que pelo menos 12 sejam passageiros de voos de curta distˆancia ´e

P(X ≥12) =1−P(X ≤11)

=1−0,9557535 = 0,0442465

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Passo 1:

Passo 2:

(b) (0,75 pontos). A probabilidade de que no m´aximo 13 sejam passageiros de voos de curta distˆancia;

P(X ≤13) =0,994006

(c) (0,75 pontos). A probabilidade de que exatamente 10 n˜ao sejam passageiros de voos de curta distˆancia;

Resposta:

Defina a variável aleatória Y como o número de passageiros que utilizam o aeroporto e não realizam voos de curta distância. Então Y tem distribui¸cão binomial com parâmetros n = 25 e p = 0,70. Além disso temos que P(Y = k) = P(X = 25 − k), para k = 0,1, . . . ,25. Assim a probabilidade de que exatamente 10 n˜ao sejam passageiros de voos de curta distância é

P(Y = 10) =P(X = 15) = 0,001324897

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(d) (0,75 pontos). O número esperado de passageiros de voos de curta distância? E qual é o desvio padrão?

Resposta:

• n´umero esperado de passageiros de voos de curta distˆancia,

µ= E(X) = np= 25×0,30 = 7,5.

• desvio padr˜ao,

σ =p

Var(X) =p

np(1−p) =p

25×0,30×0,70 =p

5,25 = 2,291288.

Exerc´ıcio 4.

(2,0 pontos). Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de uma outra fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão de fiscaliza¸cão inspecionou as fazendas e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adi¸cão de água, enquanto que para F2 e F3, essa propor¸cão era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de sorvetes, os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identifica¸cão das fazendas.

(a) (1,0 ponto). Qual ´e a probabilidade de selecionar ao acaso um gal˜ao adulterado do refrigerador?

Resposta:

Considere os seguintes eventos:

A: o leite produzido estava adulterado por adi¸c˜ao de ´agua,

F1 : o fabricante de sorvetes recebe o leite que utiliza da fazenda F1, F2 : o fabricante de sorvetes recebe o leite que utiliza da fazenda F2, F3 : o fabricante de sorvetes recebe o leite que utiliza da fazenda F3,

Temos do enunciado do exerc´ıcio que: P(F1) = 0,20, P(F2) = 0,30, P(F3) = 0,50, P(A|F1) = 0,20, P(A|F2) = 0,05 eP(A|F3) = 0,02.

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F1

0,20

0,20 A 0,20×0,20 = 0,040

A^c 0,80

0,20×0,80 = 0,160

F2 0,30

0,05 A 0,30×0,05 = 0,015

A^c 0,95

0,30×0,95 = 0,285

F3 0,50

0,02 A 0,50×0,02 = 0,010

A^c 0,98

0,50×0,98 = 0,490

A probabilidade de selecionar ao acaso um gal˜ao adulterado do refrigerador ´e:

P(A) =P(F1∩A) +P(F2∩A) +P(F3∩A)

=P(F1)P(A|F1) +P(F2)P(A|F2) +P(F3)P(A|F3)

= 0,20×0,20 + 0,30×0,05 + 0,50×0,02

= 0,040 + 0,015 + 0,010 = 0,065

(b) (1,0 pontos). Selecionando-se, ao acaso, 10 gal˜oes, qual ´e a probabilidade de que pelo menos 1 esteja adulterado?

Resposta:

Defina la variável aleatória X como o número de galões na amostra de 10 selecionada que estão adulterados. EntãoX tem distribui¸cão binomial com parâmetrosn= 10ep= 0,065

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e sua fun¸c˜ao densidade de probabilidade ´e:

P(X =k) = 10

k

(0,065)^k(0,935)¹⁰⁻^k k = 0,1, . . . ,10

Asim, P(X ≥1) = 1−P(X = 0) = 1−0,510642 = 0,4893585.