• Potencial elétrico

Física 3 (EMB5043): Potencial elétrico

MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL

Prof. Diego Alexandre Duarte

Universidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville

Sumário

• Energia potencial elétrica

• Potencial elétrico

• Superfícies equipotenciais

• Potencial elétrico

• PRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS

• DIPOLO ELÉTRICO

• DIPOLO ELÉTRICO

• Campo elétrico

• CALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO

• DIPOLO ELÉTRICO

• RESOLUÇÃO NA PLATAFORMA PhET

• Potencial elétrico

• PRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS

• Resolução de problemas da Lista 4

Material para estudos

• Capítulo 24 do Halliday volume 3 e capítulo 4 do Moysés volume 3.

• Estudar os problemas da Lista 4 que está disponível

em diegoduarte.paginas.ufsc.br.

Energia potencial elétrica

Considere uma carga q com velocidade v

0

que está se aproximando de uma carga Q.

A força de repulsão sobre q é dada por:

2 0

4 ˆ

F qQ r

πε r

=

W = ∫ F dr ⋅

+

Q

q F

em que r é a posição de q no instante da análise. A carga Q está na origem. O trabalho realizado sobre q é dado por:

v 0

W = ∫ F dr ⋅

+

Q r

em que dr é um elemento de caminho percorrido pela carga q e que tem sentido oposto ao da força F:

( ) ( )

2 2 2

0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

4 4 4

qQ qQ qQ dr

W r rdr r r dr

r r r

πε πε πε

 

 

= ∫       ⋅ = ∫ ⋅ = ∫

O sinal negativo será implementado no sentido

de integração

Energia potencial elétrica

A força F realiza trabalho entre dois raios quaisquer r

1

e r

2

( r

1

> r

2

):

indicando, pelo teorema do trabalho e da energia cinética, que a energia cinética da partícula q está reduzindo:

2

1

1 2

2

0 0 2 1 0 1 2

1 1

4 4 4 0

r

r

r r

qQ dr qQ qQ

W πε r πε r r πε r r

    −  

   

= ∫ = −     −    = −        <

= ∆ = − <

(1)

até entrar em repouso. Em seguida, na mesma distância, a força realiza trabalho positivo com o mesmo módulo:

indicando que a força elétrica é conservativa...

0

0

W = ∆ = − K K K <

1

2

2 1

2

0 0 1 2 0 1 2

1 1

4 4 4 0

r

r

r r

qQ dr qQ qQ

W πε r πε r r πε r r

    −  

   

= ∫ = −     −    = −        >

Energia potencial elétrica

...pois a integral no caminho fechado é zero:

mostrando, pelo princípio da conservação de energia, que ela converte energia potencial elétrica em energia cinética e vice-versa. Assim, o trabalho pode ser escrito também da seguinte forma:

2 0

4 0

C

qQ dr W = πε ∫ r =

( )

= −∆ = − −

em que U é a energia potencial elétrica armazenada no campo elétrico. Com (1) em (2), temos:

Considerando que a partícula q vem do infinito (r

→ ∞ ) até uma posição r

= r, a energia potencial elétrica fica escrita como:

(

)

W = −∆ = − U U − U ⁽²⁾

0

0 2 1

1 1 4

U U qQ

r r πε

 

 

− =    −   

Energia potencial elétrica

onde o termo U

= 0 é a energia potencial elétrica de referência.

4

U qQ

πε r

=

Potencial elétrico

Considere uma carga elétrica q com uma energia potencial elétrica U num ponto P do espaço. A quantidade de energia potencial para cada unidade de carga recebe o nome de potencial elétrico V:

representado em joule por coulomb (J/C) ou volt (V) no SI. Considerando que a partícula está num campo conservativo, a variação da energia potencial indica a realização de trabalho:

V U

= q

realização de trabalho:

0 0

0

U U U

U W

V V V

q q q q

∆ = − = − = − = −

2 0

1

4

Q

dr

V F dr E dr

q πε

r

∆ = − ∫ ⋅ = − ∫ ⋅ = − ∫

+

E

F

O sentido de dr no produto escalar foi definido no sentido de integração

Superfícies equipotenciais

que fornece:

em que V

= 0 no infinito. Assim:

0 0

4 4

Q

Q

V πε r

πε r

∆ = =

4

V Q

πε r

=

Potencial elétrico gerado por uma carga

pontual

E _dr

+

V₃ V₂ V₁

V E dr

∆ = − ∫ ⋅

Quando o caminho de integração é perpendicular ao campo elétrico, a d.d.p. é zero, dando origem às superfícies equipotenciais.

0 se E dr

= ⊥

Potencial elétrico

PRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS: DIPOLO ELÉTRICO

Calcule o potencial elétrico num ponto P qualquer do plano gerado pelo dipolo elétrico ao lado.

P

+q

z

+ r

r

O potencial elétrico gerado no ponto P é a soma dos potenciais gerados por cada carga:

d

–q

r

+

-

r

0 0 0 0

1 1

4 4 4 4

r r

q q q q

V πε r πε r πε r r πε r r

− +

+ − + − + −

   − 

−      

= + =     −    =       

θ

(2)

O potencial elétrico é uma grandeza escalar; desta forma, não há necessidade de realizar decomposição vetorial!

Potencial elétrico

PRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS: DIPÓLO ELÉTRICO

O termo r_– – r₊ representa a diferença entre as distâncias das cargas até o ponto P. A distância r representa a distância do CM até o ponto P.

Considerando que este ponto está numa distância r muito maior que d, os segmentos r_– e r₊ tornam-se aproximadamente paralelos e iguais. Desta forma, escrevemos:

escrevemos:

cos (3)

r r d

r r r

− + θ

− +

− =

≈ ≈

Substituindo as equações (3) na equação (2), obtemos:

em que p = qd é o momento de dipolo elétrico.

2 2

0 0 0

cos 1 cos

4 4 4

r r

q q d p

V r r r r

θ θ

πε πε πε

− +

+ −

 −      

     

=        ≈       =      

Campo elétrico

CALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO

A partir da relação entre potencial e campo elétrico,

ou ,

em que é o elemento do caminho de integração e E tem direção radial, o campo elétrico pode ser escrito como:

V E dr

∆ = − ∫ ⋅

r

E dV

= − dr

dV

= − ⋅

Considerando um campo elétrico qualquer em coordenadas esféricas, por analogia, podemos escrever:

o que permite representar o vetor campo elétrico:

dr

1 dV

E

= − r d θ ¹ sin E dV

r d

φ

= − θ φ

ˆ ˆ

r

ˆ

E = E r + E

θ + E

φ

Campo elétrico

CALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO

como:

1 ˆ 1 ˆ

ˆ sin

V V V

E r

r r θ r φ

θ θ φ

 

 ∂    ∂    ∂ 

 

= −    ∂    + −    ∂    + −    ∂    

1 ˆ 1 ˆ

ˆ sin

E r V

r r θ r φ

θ θ φ

   ∂   ∂     ∂   

  

= −       ∂   +    ∂    +    ∂      

onde o termo entre colchetes representa o operador gradiente:

A equação (5) traz um benefício muito interessante: como não há necessidade de análise vetorial para o cálculo do potencial elétrico, podemos obter a direção do campo elétrico resultante por meio da aplicação do gradiente no potencial. Desta forma, a informação vetorial do campo é obtida automaticamente.

∇

 

E = −∇ V

Campo elétrico

DIPÓLO ELÉTRICO

No problema do dipolo elétrico, obtemos a seguinte expressão para o cálculo do potencial:

que é representado em coordenadas esféricas (r, θ, ϕ). Para determinar o campo elétrico, basta aplicar o gradiente do potencial:

= −∇

2 0

1 cos

4 V p

r θ πε

 

=      

nestas coordenadas:

1 ˆ 1 ˆ

ˆ sin

V V V

E r

r r θ r φ

θ θ φ

 

 ∂    ∂    ∂ 

 

= −    ∂    −    ∂    −    ∂    

E = −∇ V

( )

2 3

0

1 ˆ 1 ˆ

cos cos

4

E p r

r r r

θ θ θ

πε θ

       

 ∂ ∂ 

       

= −       ∂         +   ∂      

Campo elétrico

DIPÓLO ELÉTRICO

...que fornece a seguinte equação:

( ) ( )

3 0

ˆ ˆ

2 cos sin

4

E p r

r θ θ θ

πε

 

=   +  

3 0 o

2 ˆ

0

E p r

πε r θ

=

=

3 0 o

ˆ 4

90 E p

r θ πε

θ

=

=

3 0 o

2 ˆ

180

E p r

πε r θ

= −

=

3 0 o

ˆ 4

270 E p

r θ πε

θ

= −

= P

P

P

P

Campo elétrico

DIPÓLO ELÉTRICO: RESOLUÇÃO NA PLATAFORMA PhET

Vamos resolver este problema no programa Cargas e Campos da plataforma PhET...

da plataforma PhET...

;)

Potencial elétrico

PRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS

Calcule o potencial elétrico gerado no ponto P por um disco de raio R carregado com densidade superficial uniforme σ.

Para calcular o potencial de corpos extensos, iniciamos com a mesma lógica dos cálculos anteriores: definimos um elemento de carga dQ e calculamos o potencial gerado em P:

dQ dQ

dV = =

em que dQ é um elemento de carga na superfície dA = 2πR’dR’ de um anel de raio médio R’ e espessura dR’:

( )

0 0

4 4 '

dV πε r πε R z

= =

+

( )

( )

( )

0 0 0

2 ' '

4 ' 4 ' 4 '

dQ dA R dR

dV

R z R z R z

σ σ π

πε πε πε

= = =

+ + +

A integral é resolvida com a mudança de variável: e

R ' = z tan α ^{dR ' = z} ( ^{sec α} )

^{d α}

Potencial elétrico

PRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2 2 2 2

0 0

0 0

tan sec tan sec

' '

tan sec

2 sec 2

2 ' 2 tan

z d z d

R dR z

dV d

R z z z

σ α α α σ α α α

σ σ

α α α

ε α ε

ε ε α

= = = =

+ +

( ^sin )

du = − α d α

( )

0 0 0 0

tan sec sin

2 2 cos

R R

z z

V σ d σ α d

α α α α

ε ε α

= ∫ = ∫

Aplicando a segunda mudança de variável: e , temos:

u = cos α ^{du = −} ( ^{sin α} ) ^{d α} ( )

2

0 0

0 0 0 0 0

0

1 1 '

2 2 2 cos 2

R

R R

R

R z

z du z z z

V u u z

σ σ σ σ

ε ε ε α ε

= − ∫ = = = +

(

)

2

V σ R z z

= ε + −

α z

R’ tan α = R’/z

Potencial elétrico gerado no ponto P

Potencial elétrico

PRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS

Com este resultado, podemos calcular o campo elétrico a partir da aplicação do gradiente do potencial em coordenadas cilíndricas:

E = −∇V

1 ˆ

ˆ ˆ

V V V

E z

ρ φ z

ρ ρ φ

 ∂    ∂    ∂ 

   

= −     ∂  −        ∂  −       ∂   

com o potencial sendo uma função apenas da coordenada z:

ˆ ˆ

E z

ρ φ z

ρ ρ φ

   

= −     ∂  −        ∂  −       ∂   

(

)

0 0

ˆ ˆ 1 ˆ

2 2

dV d z

E z R z z z z

dz dz R z

σ σ

ε ε

 

   

 

      

    

= −       = −       + −       =   − +    

que é o mesmo resultado obtido via lei de Coulomb.

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 2

Para mostrar que este campo independe do caminho, as integrais da função ao longo dos três caminhos devem ser iguais:

1 2 3

C C C

F dl ⋅ = F dl ⋅ = F dl ⋅

∫ ∫ ∫

Caminho 1: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 0 e um segmento Caminho 1: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 0 e um segmento vertical com 0 ≤ y ≤ 2 em x = 1:

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2

2

0 0

0 1

ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 1

2 2

C

F dl xy x x y dx x dy y xdx dy

= =

      

     

⋅ =  +  ⋅ +  = +  =

∫ ∫ ∫ ∫

Caminho 2: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 2 e um segmento vertical com 0 ≤ y ≤ 2 em x = 0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 2

2

0 0

1 0

ˆ ˆ ˆ ˆ 2 0 1

C 2

F dl xy x x y dx x dy y xdx dy

= =

   

    

⋅ =  +     ⋅ +  = + =

∫ ∫ ∫ ∫

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 2

Caminho 3: formado por um único segmento descrito por y = 2x.

Caminho 3: formado por um único segmento descrito por y = 2x.

Se F é um vetor de força e o caminhos de integração representam distâncias, as integrais de linha são o trabalho realizado sobre um corpo.

( ) ( ) ( )

3

1 2

2

2 2

0 0

2/3 1/3

ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1

2 8

C

F dl xy x x y dx x dy y x dx y dy

= =

        

     

⋅ =   +          ⋅  +  = +       =

∫ ∫ ∫ ∫

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 5

O potencial em cada ponto é gerado pela soma dos potenciais individuais:

( ) ( )

1 1

4 4 4

A

q q q

V πε a πε b d πε a b d

 

−  

= + + =    − +   

e a diferença de potencial V_A– V_B é dada por:

( ) ( )

0 0 0

4 πε a 4 πε b + d 4 πε    a b + d   

( ) ( )

0 0 0

1 1

4 4 4

B

q q q

V πε a d πε b πε a d b

 

−  

= + + =    + −   

( ) ( )

0

1 1 1 1

A B

4 V V q

a b d a d b

πε

     

 

     

− =        − +       − + −       

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 6

Para calcular o potencial dentro da esfera no ponto P_in vamos utilizar a definição de potencial:

P_in

P_out

V E dr

∆ = − ∫ ⋅

Considere o trabalho realizado na direção radial para trazer uma partícula do infinito até o ponto P_in. Neste caminho, existe o campo elétrico do infinito até a superfície da esfera e outro campo elétrico da superfície da esfera até o ponto P :

superfície da esfera até o ponto P_in:

out in

V E dr E dr E dr

∆ = − ∫ ⋅ = − ∫ ⋅ − ∫ ⋅

( ) ( )

out

2

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

4 3

R r

R V

q r

V dr r r dr r r

r

ρ

πε ε

∞

     

   

∆ = − ∫        ⋅ − ∫        ⋅

Item (a): o potencial no ponto P_out é dado por:

4

V q

πε r

=

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 6

P_in

P_out

2

0 0

4 3

R r

R

q r

V dr dr

r

ρ

πε ε

∞

∆ = − ∫ − ∫

2

0 0

4 3

R r

R

q dr

V rdr

r

ρ

πε

ε

∆ = − ∫ − ∫

r

∞ R

em que ρ é a densidade volumétrica de carga :

ρ = 3 q 4 π R

2 2 2

3 2

0 0 0

1 1

4 4 2 2 4 2 2

q q r R q r

V πε R πε R πε R R

     

   

∆ = −     −    =     − +   

2 2 0

3

4 2 2

q r

V πε R R

 

 

∆ =    −   

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 9

dQ Considere um elemento de carga dQ do balão que possui carga total Q. A energia potencial deste elemento de carga é dada pela equação:

( ) ( )

0 0 0 0

4 4 4 4

Q dQ dQ QdQ dQ QdQ dU πε R πε R πε R πε R

= − = − ≈

Somando as energia potenciais de todos os elementos de carga dQ, a energia total será:

0 0 0 0

0

4 πε R 4 πε R 4 πε R 4 πε R

≈

2

0 0

0

' '

4 8

Q

Q dQ Q

U = ∫ πε R = πε R

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 11

a

4

V Q

πε r

=

x

O

( ) ( )

( )

( )

4 4 4

cx dx

dQ dx

dV a x a x a x

λ

πε πε πε

= = =

− − −

L

( ) ( ) ( )

0 0 0

4 4 4

dV

=

=

=

− − −

( )

0

4 0 _L

c xdx

V = πε ₋ a x

∫

= −

( ) ( )

0 0 0

0

0 0 0

( )

4 _L 4 _{L L} 4 ln ^L

c a u du c du c

V a du a a x a x

u u

πε ₋ πε _{− −} πε ⁻

 

−    

= −

∫

∫

∫

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 11

a x

O L

( ) ( )

{ ( ) ( ) }

ln ln ln

4 ^L 4

c c

V a a x a x a a a a a L a L

πε   ⁻ πε    

= −

(

) ( )

{

( )

(

)

}

0 0

4πε   ^−L 4πε    

0

4 ln 1

ac L L

V πε a a

   

 

=   + − 

Considerando L = 12,0 cm, c = 28,9 pC/m², e a = 3,00 cm, obtemos: V = −18, 6 mV

Por que a tensão é negativa?

A densidade linear cx é negativa ao assumirmos x negativo.

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 11 – Observações

a

x O

L

( ) ( )

( )

( )

4 4 4

cx dx

dQ dx

dV x a x a x a

λ

πε πε πε

= = =

+ + +

( ) ( ) ( )

0 0 0

4πε x+a 4πε x+a 4πε x+a

( )

0 0

4

c L xdx V = πε x a

∫

Realizando a troca de variável e :u

= +

( ) ( )

0 0 0 0 0 0 0

( )

4 4 4 ln

L L L

c u a du c du c L

V du a x a a x a

u u

πε πε πε

 

−    

=

∫

∫

∫

Resolução de problemas

LISTA 4, PROBLEMA 11 – Observações

a

x O

L

( )

( )

{ ( )

( )

( ) }

4 4

c L c

V x a a x a L a a L a a a a

πε   πε    

= 

(

) (

)

{

(

) (

)

( )

}

0 0

4πε   4πε    

0

4 ln 1

ac L L

V πε a a

   

 

= −   + − 

Considerando L = 12,0 cm, c = 28,9 pC/m², e a = 3,00 cm, obtemos:

18, 6 mV V = +

Dúvidas?

[email protected] Skype: diego_a_d

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