3) Existe/ Pelo menos um / Algum (Quantificador existencial)

DIAGRAMAS LÓGICOS

PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS

São proposições lógicas compostas por um quantificador.

Destacam-se em provas os seguintes quantificadores:

1) Todo/Qualquer (Quantificador universal) 2) Nenhum (Quantificador universal)

3) Existe/ Pelo menos um / Algum (Quantificador existencial)

Para analisar e tirar conclusões das proposições categóricas utilizamos diagramas de círculos que são chamados de diagramas lógicos.

1) Estudo do quantificador universal todo Principais incidências: todo/qualquer

- Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B.

Ou seja: A está contido em B ou B contém A.

- Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. (não atende a comutativa).

Afirmações recorrentes:

Algum A não é B - falsa.

Quem não é A, não é B – indeterminado.

Quem não é B, não é A – verdadeira Algum B não é A – indeterminado.

Caso particular:

Como todo conjunto é subconjunto de si próprio, pode ocorrer de serem iguais.

2) Estudo do quantificador universal nenhum

- Dizer que Nenhum A é B significa que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum.

Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. (atende a comutatividade)

- Afirmações recorrentes:

Todo A é B ou todo B é A - falsa.

Algum A é B ou algum B é A - falsa.

Algum A não é B - verdadeira.

3) Estudo do quantificador existencial

-

Algum B é A é logicamente equivalente a algum A é B. (atende a comutatividade)

Afirmações recorrentes:

• Nenhum A é B - falsa.

• Todo A é B - indeterminada.

• Algum A não é B ou algum B não é A - indeterminada.

Casos particulares:

- Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não é do conjunto B.

- Obs: Algum A não é B não é equivalente a algum B não é A.

A B

EXERCÍCIOS

1- Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

2) Supondo que a sentença aberta:

“qualquer deputado estadual é advogado” é verdadeira, deduzimos que também é verdadeira a sentença:

(A) Algum deputado estadual não é advogado.

(B) Nenhum deputado estadual é advogado.

(C) Algum deputado estadual é advogado.

(D) Todos os deputados estaduais não são advogados.

(E) Nem todos os deputados estaduais são advogados.

3) Todos os belo-horizontinos são mineiros. Assim sendo:

(A) Algum belo-horizontino não é mineiro.

(B) Todos os mineiros são belo-horizontinos.

verdadeiro que:

a) algum A não é G;

b) algum A é G.

c) nenhum A é G;

d) algum G é A;

e) nenhum G é A;

5) Se é verdade que alguns adultos são felizes e que nenhum aluno de matemática é feliz, então é necessariamente verdade que:

a) algum adulto é aluno de matemática.

b) nenhum adulto é aluno de matemática.

c) algum adulto não é aluno de matemática.

d) algum aluno de matemática é adulto.

e) nenhum aluno de matemática é adulto.