Distribuições de Probabilidade

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08/05/2014 Elisete Aubin/Denise Botter Aula 10 – Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade

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Variável Aleatória

Uma variável aleatória pode ser classificada em:

• Variável aleatória discreta

• Variável aleatória contínua

Uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for finito ou infinito enumerável.

Uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for não enumerável.

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Variável Aleatória Contínua

3

Exemplo:

Observa‐se o tempo de vida, em horas, de lâmpadas produzidas por uma fábrica.

Defina T: tempo de vida, em horas, da lâmpada escolhida, ao acaso, da fábrica.

→ Então, T é uma variável aleatória contínua que assume qualquer valor real não negativo.

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Exemplo: Observamos o peso, em toneladas, de 1500 cargas selecionadas, ao acaso, da população de cargas de um

terminal. O histograma por densidade é o seguinte:

Distribuições contínuas

3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0

0 .0 0 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4

P e s o

Densidade

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5

‐ a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70 kg;

A análise do histograma indica que:

‐ a maioria dos valores (88%) encontra‐se no intervalo (55; 85);

‐ existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48 kg (1,2%) e acima de 92 kg (1%).

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Vamos definir a variável aleatória

Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual é a distribuição de probabilidades de X ?

X: peso, em toneladas, de uma carga escolhida ao acaso da população.

3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0

0 . 0 0 0 0 . 0 1 5 0 . 0 3 0

P e s o

Densidade

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Variável Aleatória NORMAL

A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois:

Muitos fenômenos aleatórios comportam‐se de forma próxima a essa distribuição.

Exemplos:

1. tempo do ciclo de um pedido;

2. nível de demanda;

3. volume de vendas de uma mercadoria (em alguma unidade monetária).

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A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica ‐ grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena

proporção de valores acima de 1500 horas.

Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.

Exemplo:

Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.

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9

Modelos Contínuos de Probabilidade

Variável Aleatória Contínua

^:

• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.

• Assume valores num intervalo de números reais.

• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua.

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Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade f(x) com as propriedades:

(i) A área sob a curva de densidade é 1;

(ii) P(a ≤ X ≤ b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b;

(iii) f(x) ≥ 0, para todo x;

(iv) P(X = x₀) = 0, para x₀fixo.

Propriedades dos Modelos Contínuos

Assim, P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b).

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11

O MODELO UNIFORME

É o modelo mais simples para variáveis aleatórias contínuas. A v.a. X tem distribuição Uniforme no intervalo (a,b) [X ~ U(a,b)], se sua função densidade de probabilidade é dada por:

Pode‐se mostrar que

µ = (b+a)/2 e que σ² = (b-a)²/12, sendo µ, a média e σ² a variância de X.

f(x) = 1/(b-a), se a ≤ x ≤ b.

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Variável Aleatória UNIFORME

O gráfico da f.d.p da U(0,1).

1,0 0,8

0,6 0,4

0,2 0,0

1,50

1,25

1,00

0,75

0,50

Valores de X

Função densidade de probabilidade de X - f(x)

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13

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

1 2

1

2

( ) e

2

x

f x

⎛ −μ⎞

− ⎜⎝ σ ⎟⎠

= σ π

^, – ^∞ < x < ∞.

Pode ser mostrado que

1. μ é o valor esperado (média) de X ( ‐∞ < μ < ∞);

2. σ ² é a variância de X (σ ²> 0).

Notação : X ~ N(μ ; σ ²)

A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros μ e σ² se sua função densidade de probabilidade é dada por

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Propriedades de X ~ N(

μ

;

σ

² )

• μ é o valor esperado (média) de X;

• σ ²é a variância (e, portanto, σ é o desvio padrão);

• x = μ é ponto de máximo de f (x);

• f (x) → 0 quando x → ±

∞ ;

• μ ‐ σ e μ + σ são pontos de inflexão de f (x);

• a curva Normal é simétrica em torno da média μ.

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15

Curvas Normais com mesma variância σ² mas médias diferentes (μ₂ ^> μ1).

A distribuição Normal depende dos parâmetros

μ

_e

σ

²

μ₁ μ ₂

N(μ₁_; σ²₎ _N(μ₂_; σ²₎

x

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Curvas Normais com mesma média μ, mas com variâncias

σ σ

Influência de

σ

² na curva Normal N(μ^;σ₁²⁾

N(μ^;σ₂²⁾ σ₂²> σ₁²

μ

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17

Cálculo de probabilidades

P(a < X < b)

a μ b

Área sob a curva e acima do eixo horizontal (x) entre a e b.

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Exemplo: O tempo gasto numa prova de estatística do curso de Logística tem distribuição Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min.

a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine a prova antes de 100 minutos?

X: tempo gasto na prova ⇒ X ~ N(120; 15²)

P(X < 100) = 0,0912.

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19

b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95%

dos alunos terminem dentro do prazo estipulado?

P(X< x) = 0,95, ou seja, x = 144,67 min. X: tempo gasto na prova ⇒ X ~ N(120; 15²)

Z

120 x X

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O MODELO EXPONENCIAL

Outra distribuição contínua importante é a Exponencial.

A v.a. X tem distribuição Exponencial com média µ>0, se sua função densidade de probabilidade é dada por:

0

1 ≥

= e ⁻ , x

f(x) μ ^x ^μ

Pode‐se mostrar que

σ²= µ² e que P(X ≤ a) = 1 ‐ e ^‐a/ ^µ , a ≥ 0.

Notação: X ~ Exp(µ)

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Variável Aleatória EXPONENCIAL

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Gráfico da f.d.p da Exp(1).

0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1,2

x

f(x)

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Variável Aleatória EXPONENCIAL

Exemplo :

O tempo de vida útil (em horas) de um transistor pode ser

considerado uma v.a. com distribuição exponencial, com µ = 500 h.

⇒ Segue‐se que a vida média do transistor é 500 horas .

Determinar a probabilidade de que ele dure menos do que a média.

A probabilidade desejada é dada por: P(X < 500)= 0,6321.

MINITAB

Calc → Probability distribution → Exponential → Scale:500 → Input constant: 500

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23

Um gráfico de probabilidades é um método simples e

bastante utilizado para verificar se um conjunto de dados pode ter sido gerado a partir de uma distribuição de

probabilidades específica .

Baseia‐se na comparação entre a amostra obtida e aquela que deveria ter sido obtida caso os dados realmente seguissem a distribuição de probabilidades em investigação.

Gráfico de Probabilidades

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Gráfico de Probabilidades

1. Ordenar os dados x_i;

2. Definir a função acumulada empírica, Fe.

Esta função estima a proporção de observações menores ou iguais a cada valor x_i observada na amostra ordenada. Assim, se temos uma amostra de tamanho n, e estamos diante do quinto valor ordenado, uma possível estimativa dessa

proporção seria 5/n; por motivos teóricos vamos adotar (5‐0,5)/n.

Logo, a função acumulada empírica é dada por Fe(x_i) =(i‐0,5)/n.

Construção do Gráfico de probabilidades:

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Elisete Aubin/Denise Botter Aula 10 – Distribuições de Probabilidade 25

Construção do Gráfico:

3. Para cada valor de (i‐0,5)/n calculamos o valor esperado x_ie, tal que P(X < x_ie)=(i‐0,5)/n usando como distribuição de X aquela sob investigação.

4. O gráfico de probabilidades é um gráfico de dispersão dos pontos (x_i , x_ie).

Se a distribuição suposta for pertinente, espera‐se que os

pontos estejam aleatoriamente dispostos ao redor de uma reta.

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Exemplo: Desejamos verificar se a amostra da Tabela A, no slide a seguir, segue uma distribuição exponencial.

Vamos utilizar a média amostral desses dados (1,094) como uma aproximação da média populacional da distribuição que os gerou.

Assim, vamos verificar se os dados podem ter sido gerados de uma distribuição exponencial com média 1,094.

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08/05/2014

Tabela A. Dados (já ordenados)

Observação Dado Observação Dado

1 0,03257 11 0,94661

2 0,09560 12 1,05534

3 0,14279 13 1,26731

4 0,20426 14 1,31419

5 0,21507 15 1,31554

6 0,25680 16 1,62219

7 0,61596 17 1,98849

8 0,68740 18 2,28708

9 0,76079 19 2,48113

10 0,77090 20 3,81403

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Para a distribuição exponencial temos que

Assim, fazendo P(X ≤ x_ie) = (i – 0,5)/20 (2)

e igualando (1) e (2), segue que

x_ie = ‐ 1,094× ln[1‐(i – 0,5) / 20]

P(X ≤ x_ie) = 1 ‐ e ^– ^xie /1,094 (1)

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08/05/2014

Tabela B. Amostra esperada sob a distribuição exponencial com média 1,094

i x_i (i-0,5)/20 x_ie

1 0,03257 0,025 0,02770

2 0,09560 0,075 0,08529

3 0,14279 0,125 0,14608

4 0,20426 0,175 0,21045

5 0,21507 0,225 0,27885

6 0,25680 0,275 0,35181

7 0,61596 0,325 0,42999

8 0,68740 0,375 0,51418

9 0,76079 0,425 0,60540

10 0,77090 0,475 0,70493

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Tabela B. (continuação)

i x_i (i-0,5)/20 x_ie

11 0,94661 0,525 0,81442 12 1,05534 0,575 0,93610 13 1,26731 0,625 1,07303 14 1,31419 0,675 1,22958 15 1,31554 0,725 1,41234 16 1,62219 0,775 1,63187 17 1,98849 0,825 1,90681 18 2,28708 0,875 2,27491 19 2,48113 0,925 2,83375 20 3,81403 0,975 4,03563

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Gráfico de probabilidades exponencial para os dados da Tabela A - MINITAB (scatterplot)

4 3

2 1

0 4

3

2

1

0

Valores observados

Valores esperados