SME0812 Modelos Lineares
Algumas distribuições de probabilidade úteis
Distribuição qui-quadrado
Distribuição qui-quadrado
Função geradora de momentos: mu(t) = E(etu) = (1 2t) n=2.
Distribuição qui-quadrado
Distribuição t-Student
Se Z N(0; 1) e U 2nsão variáveis aleatórias independentes, então
T = Z r U
n
tem distribuição t-Student com n graus de liberdade. A função densidade de probabilidades de T é dada por
Distribuição t-Student
Função geradora de momentos: não existe. Momentos:
E(T ) = 0 para n > 1 Var(T ) = n
Distribuição t-Student
Exemplo: Função densidade de probabilidade de T t4:
Distribuição F de Fisher-Snedecor
Sejam U1e U2variáveis aleatórias independentes tais que U1 2n1 e
U2 2n2. Então W = U1 n1 U2 n2
tem distribuição F de Snedecor,
com n1graus de liberdade no numerador e n2graus de liberdade no
denominador. A função densidade de probabilidades de W é dada por
Distribuição F de Fisher-Snedecor
Distribuição F de Fisher-Snedecor
Exemplo: Função densidade de probabilidade de W F3;4:
Distribuição qui-quadrado não central
A variável aleatória U tem distribuição qui-quadrado não central com n graus de liberdade (n 1 inteiro) e parâmetro de não centralidade se sua função densidade de probabilidades é dada por
f (u) = e 1 X k =0 k k ! u(n+2k 2)=2e u=2 Γ(n+2k2 )2(n+2k )=2; 0 < u < 1 Notação: U 2 n;.
Obs: Define-sek =1 para = 0; k = 0. Para = 0, esta densidade se reduz à da variável aleatória com distribuição 2
Distribuição qui-quadrado não central
Função geradora de momentos:
mu(t) = E(etu) = (1 2t) n=2e [1 (1 2t) 1] . Momentos: E(U) = n + 2. Var(U) = 2(n + 4).
Resultado: Se U1e U2são variáveis aleatórias independentes, com
Distribuição qui-quadrado não central
Função geradora de momentos:
mu(t) = E(etu) = (1 2t) n=2e [1 (1 2t) 1] . Momentos: E(U) = n + 2. Var(U) = 2(n + 4).
Resultado: Se U1e U2são variáveis aleatórias independentes, com
Distribuição qui-quadrado não central
Distribuição F não central
Sejam U1e U2variáveis aleatórias independentes tais que U1 2n1;
e U2 2n2. Então W = U1 n1 U2 n2
tem distribuição F não central,
com n1graus de liberdade no numerador, n2graus de liberdade no
denominador e parâmetro de não centralidade. A função densidade de probabilidades de W é dada por
Distribuição F não central
Distribuição F não-central
Exemplo: Função densidade de probabilidade de W F3;4;2:
Distribuição t-Student não central
Se X N(; 1) e U 2nsão variáveis aleatórias independentes, então
T = X r U
n
tem distribuição t de Student não central, com n graus de liberdade e parâmetro de não centralidade. A função densidade de
probabilidades de T é dada por
Distribuição t-Student não-central
Exemplo: Função densidade de probabilidade de T t4;2:
Distribuição F não central dupla
Sejam U1e U2variáveis aleatórias independentes tais que
U1 2n1;1 e U2 2n2;2. Então W = U1 n1 U2 n2
tem distribuição F não central dupla,
com n1graus de liberdade no numerador, n2graus de liberdade no
denominador e parâmetros de não centralidade1e2. A função
