PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO

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Curso de Licenciatura em Matemática PLANO DE AULA

IDENTIFICAÇÃO

Escola: IFC – Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio

Disciplina: Matemática Série: 2° ano

Nível: Ensino médio

Professor: Giovani Marcelo Schmidt

Tempo estimado: Cinco aulas (45min cada aula, três aulas de conteúdo um trabalho e

uma de avaliação).

TEMA: Progressão aritmética (P.A.)

Subtema: Sequências aritméticas, interpolação de meios aritméticos, soma de P.A.

JUSTIFICATIVA

O estudo da progressão aritmética facilita alguns cálculos no ramo da biologia, cálculos estatísticos em gráficos em progressões, em Geografia no crescimento populacional, em Física com movimento progressivo e etc.

OBJETIVOS

a) Realizar cálculos envolvendo progressão aritmética

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Curso de Licenciatura em Matemática CONTEÚDOS ENVOLVIDOS

Conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula. Equações do 1o

6.1 Recursos: Lousa, pincel e televisão.

6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada, usando resoluções de problemas.

PROCEDIMENTOS

Operacionalizações da aula

Descrever detalhadamente todo conteúdo da aula.

Primeiro momento: Definição:

Progressão Aritmética (P.A.) é qualquer sequência numérica na qual cada termo (a partir do segundo) é obtido somando-se ao anterior certo número constante denominado razão (r). Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente. Onde extraímos o calculo da razão: r = T.Q. - T.A.

Onde T = termo. Q = qualquer. A = anterior. Exemplos:

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Curso de Licenciatura em Matemática

(A)► Dada à sequência, qual a sua razão? (0, 2, 4, 6, 8...)

(B)► Dada à sequência, qual a sua razão? (5, 2, -1, -4)

(C)► Dada à sequência, qual a sua razão? (3, 3, 3, 3,...)

Termo Geral de uma P.A.

Para determinar os termos da sequência, aplica-se a seguinte fórmula, considere uma P.A. finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r

a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r …

a n = a1 + (n – 1) . r ou an = a_k ( k – q ).r que é a fórmula geral do termo de uma P.A.

Soma de uma P.A.

Fórmula da soma de um a P.A. Um professor de matemática, tentando manter a classe quieta, propôs um problema: somar todos os números de 1 a 100. Para a surpresa do professor, logo em seguida, um aluno, Karl Friedrich Gauss deu a resposta: 5.050.

Surpreso, o professor perguntou como Gauss conseguira o resultado tão rapidamente e ele explicou seu raciocínio: Ele notou que o 1° número mais o último era igual a 101 e que o 2° mais o penúltimo também e assim por diante.

Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA

Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n termos, observe que o primeiro termo é a1, o segundo é a2, …, o penúltimo é an – 1 e o último é an.

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Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique abaixo do segundo e assim por diante.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an + Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) + (an + a1)

Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes de

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somá-Curso de Licenciatura em Matemática

los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

2Sn = n(a1 + an)

Interpolação de meios aritméticos

Interpolar meios aritméticos significa determinar os números reais existentes entre os valores dos extremos de uma sequência numérica, de modo a se tornar uma Progressão Aritmética.

Exemplos:

(D)► O 20º termo da P.A. de razão 3 e primeiro termo – 11 é

a) 40 b) 46 c) 54 d) 68

(E)► Calcule o 1º termo da P.A. cujo trigésimo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5.

a) -147 b) -137 c) 147 d) 153

(F)► EEAR 2013 Na PA decrescente (18, 15, 12, 9, ....), o termo igual a -51 ocupa a

posição a) 30

b) 26 c) 24 d) 18

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Curso de Licenciatura em Matemática Interpolação Aritmética

Interpolar meios aritméticos significa determinar os números reais existentes entre os valores dos extremos de uma sequência numérica, de modo a se tornar uma Progressão Aritmética.

Para determinarmos os elementos existentes entre os valores extremos de uma PA, necessitamos do valor da razão.

EXEMPLO:

(G)► GIO 2013 Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98,

obtém-se uma progressão aritmética cujo sétimo termo é? a) 76

b) 65 c) 54 d) 52

Soma dos termos de uma P.A finita

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita. Sn = (a1 + an) . n/2

Conclusões da aula

Lista de exercícios de P.A.

01) Calcule o oitavo termo de uma PA de razão 3, onde o terceiro termo é 8.

02) Determine o primeiro termo de uma PA, sendo o nono termo 12 e a razão –2.

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04) Num programa de condicionamento físico um atleta corre sempre 300 metros a mais

do que correu no dia anterior. Sabe-se que no segundo dia ele correu um quilômetro. Então, no décimo dia, ele correrá:

a) 3.700 metros b) 3.100 metros

c) 3.400 metros

d) 4.000 metros e) 2.800 metros

05) Numa PA, o primeiro termo é 16 e terceiro termo é 26. Calcule o décimo termo

dessa PA.

06) Determine o 91o_{termo da PA (5, 9, ...).}

07) Qual é o primeiro termo de uma PA, em que o décimo termo vale 39 e a razão 4?

08) O oitavo termo de uma PA é 21 e o 45o_{termo é 206. Calcule o terceiro termo dessa}

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Curso de Licenciatura em Matemática 09) Quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 1000?

10) Calcule o 20o_{termo de uma PA de razão 7, sendo o primeiro termo igual a 10.}

GABARITO

01) a8 = 23 02) a1 = 28 03) a61 = 312 04) letra C 05) a10 = 61

06) a91 = 365

07) a1 = 3 08) a3 = 6 09) n = 128 10) a20 = 143

Exercícios complementares

01) Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 42 quilômetros, ao longo

da rodovia de 2.184 km, que liga Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses telefones é instalado no quilômetro 42 e o último, no quilômetro 2.142. Assim, a quantidade de telefones instalados é igual a:

a) 50 b) 51 c) 52 d) 53

02) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma

progressão aritmética cujo termo central é: a) 45

b) 52 c) 54 d) 55 e) 57

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03) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a sequência (18, a2, a3, a4, a5, a6,

96) seja uma progressão aritmética, tem-se a3 igual a:

a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47

04) Se a sequência (-8, a, 22, b, 52) é uma progressão aritmética, então o produto a.b é

igual a: a) 273 b) 259 c) 124 d) 42 e) 15

05) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de

poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de:

a) R$ 150,00 b) R$ 250,00 c) R$ 400,00 d) R$ 520,00 e) R$ 600,00

06) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ... Se a sua soma é 3280, então ela

apresenta: a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos

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Curso de Licenciatura em Matemática 07) Numa P.A. tem-se que a1 = -3 e a19 = 1. Calcule a razão.

08) Num programa de condicionamento físico uma pessoa começa correndo 300 metros

num dia, 400 metros no dia seguinte, 500metros no próximo dia e assim sucessivamente até o décimo dia. Pergunta-se:

a) Quantos metros correu no décimo dia?

b) Qual o total de metros percorridos por essa pessoas nos 10 dias?

09) Calcule o valor de x para que os números (2x; 1-7x; 3x-11) nesta ordem, formem

uma P.A.

10) Para que valor de x a sequência (x-4; 2x; x+2) é uma P.A?

GABARITO

1. B 2. C 3. B 4. B 5. E 6. B

7. r = 2/9

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Curso de Licenciatura em Matemática AVALIAÇÃO

Critérios

Compreensão dos assuntos abordados, interesse e participação nas atividades propostas, assiduidade e resolução da lista de exercícios, podendo estipular valores.

Instrumentos

Aplicação de um trabalho e aplicação de prova.

REFERÊNCIAS

MIRANDA, Danielle. Progressão Aritmética. 2017 . Disponível em < http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.htm > Acesso em 16 de outubro de 2017

CAMPAGNER, Carlos Alberto. Progressão aritmética (P.A.): Fórmula do termo

geral .Disponível em <

https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/progressao-artimetica-pa-formula-da-soma-e-do-termo-geral.htm > Acesso em14 de Novembro de 2017.