SOFTWARE PARA ESTUDOS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA: FUNÇÕES ELEMENTARES
Edvaldo Lima da Silva1
Faculdade de Ciências Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência Universidade Estadual Paulista – UNESP
edvaldo@fc.unesp.br, arobinso@fc.unesp.br 1. REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
Neste trabalho propomos uma apresentação de representações de algumas funções elementares de uma variável complexa utilizando o recurso de domínio de cores. As plotagens são feitas através do software F(C): Funções Complexas e interpretadas segundo o sistema de cores HLS.
Este estudo restringe a abordagens visuais das seguintes funções: parte real, parte imaginária, modular e conjugado.
Algumas variações de coeficientes específicos de cada tipo de função serão, na medida do possível, analisadas frente às modificações gráficas. Assim, o estudo de características intrínsecas a cada função será lançado.
O software está em desenvolvimento no Programa de Pós-Graduação em Educação para Ciência, Faculdade de Ciências, UNESP, Bauru e estará em processo de avaliação a reprogramação durante a utilização em disciplina Variáveis Complexas de cursos de Licenciatura em Matemática, Física e Engenharias. O propósito é disponibilizar essa ferramenta para auxiliar estudos envolvendo funções de uma variável complexa.
Figura 1. Tela principal do software F(C): Funções Complexas
2. FUNÇÕES ELEMENTARES
2.1. MAPA DO PLANO COMPLEXO (F(Z) = Z)
A Figura 2 mostra o Mapa do Plano Complexo.onde cada cor é associada a uma posição no plano. A partir dessa definição, o software F(C): Funções Complexas representa todas as funções de uma variável complexa pré-definidas. É o mapa de cores para a geração de novos gráficos. Dada uma função, as posições se referirão ao conjunto domínio desta função. O atributo cor, de cada posição, se referirá aos elementos do conjunto imagem. Assim, a leitura do gráfico é feita pela posição de tonalidades ou porções de cores na representação.
Nota-se que essa associação é proveniente de uma projeção esterográfica de uma superfície esférica colorida propositalmente por um sistema de distribuição de cores baseado na composição.
Figura 2. Mapa do Plano Complexo pelo sistema de cores HLS
Esse mapa e imprescindível para se realizar leituras provenientes de plotagens desses gráficos de funções de uma variável complexa nesse sistema.
2.2. FUNÇÃO PARTE REAL (F(A + BI) = A)
Figura 3. Função Parte Real
A característica fundamental desta função é a de apresentar uma repetição de cores na direção vertical. Isso se deve ao fato de, nesta função específica, não importar os valores que a parte imaginária da função possa adquirir, uma vez que apenas a parte real é levada em consideração. Observe que cada secção horizontal mostra exatamente as características de cores do eixo real do Mapa do Plano Complexo.
Ao acrescentarmos um coeficiente multiplicativo à função, verificamos ampliações e reduções, ou seja, variação da escala do gráfico. Observe essas variações de f(z) = A*Re(z):
A=1 A=-1
A=2 A=-2
A=3 A=-3
A=4 A=-4
Tabela 1. Variação da f(z) = A*Re(z)
Nota-se que há uma simetria entre valores positivos e negativos do coeficiente A, cujo eixo de simetria é o próprio eixo vertical (eixo imaginário).
2.3. FUNÇÃO PARTE IMAGINÁRIA (F(A + BI) = BI)
A repetição aqui é na direção vertical, pois a parte real desta função é desprezada ao se compor o conjunto imagem. As cores também coincidem com àquelas atribuídas ao eixo vertical (imaginário) do Mapa do Plano Complexo.
Figura 4. Função Parte Imaginária
Além das observações feitas na função parte real, que também podem ser observadas para esta, as seguintes também valem para ambas, nas suas especificidades. Variações da f(z) = Re(z^B):
B=1 B=3/2
B=3 B=-3
B=4 B=-3,5
Tabela 2. Variação da Função Parte Imaginária
É importante notar que o somatório do número de repetições das tonalidades (ciam e vermelho em porções contínuas) coincide com o dobro do valor de B, ou seja, o grau de z corresponde à metade do número de ciclos de cores no gráfico. Algebricamente é notável que, ao se trabalhar com potências, o número de raízes é igual ao número do expoente da potência (Teorema Fundamental da Álgebra) em se tratando de operações no conjunto dos números complexos:
Qualquer equação polinomial de grau n com coeficientes complexos possui n raízes complexas.
Por exemplo, para uma tonalidade de vermelho representada pelo número 1 +
0i, os valores de z, para o qual o coeficiente B de valor 4,.que satisfazem z^B = 1 + 0i
são: 1 + 0i; 0 + i, -1 + 0i e -1 - i. Pois (1 + 0i)^4 = (0 + i)^4 = (-1 + 0i)^4 = (-1 - i)^4 =
1 + 0i que é o valor atribuído inicialmente a variável z.
Ao se atribuir valores negativos ao coeficiente B, percebe-se que há uma inversão, não linear, de cores.
Acrescentando valores reais às funções parte real e parte imaginária, percebe-se o seguinte: para coeficientes reais acrescentados em funções parte real, há translações
do gráfico como um todo; para coeficientes reais acrescentados em funções parte imaginária, há translações de cores.
f(z) = Re(z) + C f(z) = Im(z) + C
C=1 C=1
C=-1/2 C=-1/2
C=-π/2 C=-π/2
Tabela 3. Translações
As translações do gráfico de função parte real são evidentes. Coeficientes positivos, translações para a esquerda, coeficientes negativos, para a direita. Já para funções parte imaginária isso não ocorre do mesmo modo. A translação é feita com o conjunto de cores representativas, ou seja, se para um coeficiente C com valor nulo podemos associar às cores do eixo vertical (x = 0) do Mapa do Plano Complexo, para valores reais atribuídos ao coeficiente C temos uma translação de todos os pontos (x =
2.4. FUNÇÃO MODULAR (F(A + BI) = SQRT(A^2 + B^2))
A função modular apresenta apenas tonalidades da cor vermelha por se tratar de valores absoluto (as associações para o eixo real no sentido positivo são para as tonalidades de vermelho, veja o Mapa). Assim, há uma regularidade nas posições que tenham distancia iguais do centro.
No estudo de alguns coeficientes poderão aparecer cores com tonalidade de ciam (f(z) =abs(z) + C, para C real negativo), as tendências ao branco poderão ser mais rápidas (f(z) = A*abs(z), para A real maior que 1) ou mais lentas (para A real entre 0 e
1).
Figura 5. Função Modular
2.5. FUNÇÃO CONJUGADO (F(A + BI) = A – BI
As características básicas desse tipo de função não diferem da f(z) = z no que diz respeito a variações de coeficientes. Trataremos esses aspectos em estudos de funções polinomiais.
Figura 6. Função Conjugado
Palavras-chave: Funções de uma Variável Complexa Elementares, Software
Educativo
3. REFERÊNCIAS
ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações, 3ª ed., Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, p. 1-74. 2000.
CHURCHILL, R. V. Variáveis Complexas e suas Aplicações, São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, p. 1-61. 1978.
CONWAY, J. B. Functions of one Complex Variable, 2nd ed., New York, Springer-Verlag, p. 1-10. 1978.
NEEDHAM, T. Visual Complex Analysis, Reprint Edition, New York, Claredon Press. 2000.
THALLER, B. Visual Quantum Mechanics, New York, Springer-Verlag, p. 1-14. 2000.
