Estudo da Distribui ~ao de Pequenos Objetos no Sistema Solar
Tese apresentada a Universidade
Federal de Vi osa omo parte das
exi-g^en iasdo programa de Pos-Gradua ~ao
emFsi a Apli adapara a obten ~aodo
ttulode Magister S ientiae.
VICOSA
MINAS GERAIS- BRASIL
A minha esposa,
Jandira,
eminha lha,
- Aos meus pais, Jo~ao e Fatima, pelo apoio e in entivo que sempre deram aos
meus estudos.
- Ao professor Ri ardo,peladedi a ~aoque teve omigo.
- A todos osprofessores dodepartamento de Fsi a.
- Aos olegas do urso.
Lista de Figuras vi Lista de Tabelas x Resumo xi Abstra t xii 1 Introdu ~ao 1 2 O Modelo 8
3 Resson^an ias de Movimento Medio 15
4 O Estudo da Distribui ~ao de Pequenos Corpos no Sistema Solar 24
4.1 O Modelo Planar . . . 31
4.1.1 Regi~aoSol-Jupiter . . . 31
4.1.2 Regi~aoentre Jupitere Saturno . . . 33
4.1.3 Regi~aoentre Saturno e Urano . . . 36
4.1.4 Regi~aoentre Urano eNetuno . . . 37
4.1.5 Regi~aoTransnetuno . . . 39
4.2 O Modelo 3-D . . . 41
4.2.1 Regi~aoSol-Jupiter . . . 41
4.2.2 Regi~aoentre Jupitere Saturno . . . 41
4.2.3 Regi~aoentre Saturno e Urano . . . 44
4.2.4 Regi~aoentre Urano eNetuno . . . 46
2.1 In u^en ia dos en ontros proximos: (a)no semi-eixo maior, (b) na
ex- entri idadee ( ) na in lina ~ao. . . 14
3.1 A rela ~aolinear dadapelaexpress~ao3.1entre os elementos$
m
2 e
m
2
paraasregi~oesderesson^an iademovimentomedio: (a)resson^an ia3:2
om Jupiter, (b) 4:3 om Jupiter, ( ) 4:5 om Saturno e (d) 2:3 om
Saturno. . . 17
3.2 Resson^an ias om Jupiter naregi~aoSol-Jupiter. . . 19
3.3 Resson^an ias na regi~ao Jupiter-Saturno: (a) om Jupiter,(b) om
Sa-turno, ( ) om Urano e(d) om Netuno. . . 20
3.4 Resson^an ias na regi~ao Saturno-Urano: (a) om Jupiter,(b) om
Sat-urno, ( ) om Urano e(d) om Netuno. . . 21
3.5 Resson^an ias na regi~ao Urano-Netuno: (a) om Jupiter, (b) om
Sat-urno, ( ) om Urano e(d) om Netuno. . . 22
3.6 Resson^an ias naregi~ao Transnetuno: (a) om Saturno, (b) om Urano
e ( ) om Netuno. . . 23
4.1 Para ada faixa foi adotada uma distribui ~ao aleatoria n~ao uniforme
paraain lina ~ao. Ovalormaximoe30 o
ea urvanormalesta entrada
em 0 o
4.2 (a) Compara ~ao do oe iente de orrela ~ao, R , para sete leis de
de- aimento. (b) Umaamplia ~aonoeixoverti alde (a)permite-nos
visu-alizarosvaloresdeR 2
proximosde 1. Comopodemosobservaraleide
pot^en ia foia queapresentou o oe iente de orrela ~ao maisproximo
de 1 para a maioria das faixas. O ret^angulo transparente orresponde
a regi~ao onde o numero de en ontros proximos e pequeno, forne endo
baixos valores para R 2
. . . 29
4.3 O ajuste aos dados da integra ~aoforne ido pelalei de pot^en ia. . . 30
4.4 An~ao orrela ~aoentre N
nTotal et
m a x
paraaregi~aoSol-Jupiterno
mod-elo n~ao planar. Para as demais regi~oes, tanto para o modelo planar
omo para o modelo n~ao planar, N
nTotal e t
m a x
s~ao semelhantemente
n~ao orrela ionados. . . 31
4.5 A regi~ao interna a Jupiter: (a) gra o do tempo de deple ~ao, (b) do
numero relativo de objetos remane entes e ( ) o produto dos gra os
(a) e(b). . . 33
4.6 A distribui ~ao dos asteroides numerados para a regi~aoentre 0.5 UA e
5.5 UA. . . 33 4.7 Osgra os: (a)dot m a x ,(b)doN nTotal e( )doP PL
paraaregi~aoentre
Jupiter e Saturno. . . 34
4.8 A determina ~aodos lo ais queapresentam resson^an ias de movimento
medio (barras verti ais) no estudo da distribui ~ao de objetos (gra o
do P
PL
) naregi~aoentre Jupitere Saturno. . . 35
4.9 A regi~ao entre Saturno e Urano: (a) gra o do t
m a x , (b) do N nTotal e ( ) doP PL . . . 36
4.10 A determina ~aodos lo ais queapresentam resson^an ias de movimento
medio no estudo da distribui ~ao de objetos na regi~ao entre Saturno e
Urano. . . 37
4.11 Os resultados obtidos para a regi~ao entre Urano e Netuno: (a)para o
t m a x , (b) para o N nTotal e ( ) para o P PL . . . 38
medio no estudo da distribui ~ao de objetos na regi~ao entre Urano e
Netuno. . . 39
4.13 A regi~aotransnetuniana: (a)gra odot
m a x ,(b) doN nTotal e( ) doP PL . 40
4.14 A ara teriza ~ao de resson^a ias de movimento medio na distribui ~ao
de pequenos objetos daregi~aoTransnetuno. . . 40
4.15 A regi~ao interna a Jupiter: (a) gra o do tempo maximo de deple ~ao
de objetos, (b) do numero relativo de objetos remane entes e ( ) o
par^ametrode popula ~aolo al. . . 42
4.16 Regi~aoentre Jupiter e Saturno: (a) gra o do tempo de deple ~ao, (b)
donumerorelativodeobjetosremane entese( )oprodutodosgra os
(a) e(b). . . 43
4.17 A determina ~aode resson^a ias de movimentomedionogra o doP
PL
obtidonoestudodadistribui ~aodepequenosobjetosnaregi~aoJ
upiter-Saturno. . . 43
4.18 Regi~aoentre Saturno e Urano: (a) gra o dot
m a x
, (b) doN
nTotal e ( )
do par^ametro de popula ~aolo al, P
PL
. . . 44
4.19 A ara teriza ~aodos lo aisqueapresentam resson^an iasde movimento
medio no gra o do P
PL
obtido no estudo da distribui ~ao de objetos
na regi~aoentre Saturno e Urano. . . 45
4.20 Osresultadosobtidosparaaregi~aoentre UranoeNetuno. (a)ogra o
do t m ax , (b) doN nTotal e ( ) do P PL . . . 46
4.21 A determina ~aodos lo ais queapresentam resson^an ias de movimento
medio no estudo da distribui ~ao de objetos na regi~ao entre Urano e
Netuno. . . 47 4.22 Os gra os: (a) do t m a x , (b) do N nTotal e ( ) do P PL para a regi~ao Transnetuno. . . 49
4.23 Aidenti a ~aodoslo aisqueapresentaramresson^an iasdemovimento
medionogra odopar~ametrode popula ~aolo alobtidoparaaregi~ao
PL nTotal
4.25 A depend^en ia doP
PL
emrela ~aoaointervalode exentri idades ini iais. 51
4.26 A in u^en iado tnos valores de: (a) t
m a x ,(b) N nTotal e( ) P PL . . . . 51
LADEIRA, Denis Gouv^ea, M.S., Universidade Federal de Vi osa, Dezembro,
2003. Estudo da Distribui ~ao de Pequenos Objetos no Sistema
Solar. Orientador: Ri ardo Reis Cordeiro; Conselheiros: Afr^anio Pereira
Rodrigues,Jose ArnaldoRedinze Mar eloLobato Martins
No presente trabalhoestudamosa distribui ~aodos pequenos orpos emvarias
regi~oes doSistema Solar utilizandoo fato de que, para pequenos intervalos de
semi-eixo maior, o numero de part ulas que sofrem en ontros proximos no tempo segue
uma lei de pot^en ia. O estudo e realizado utilizando modelos planar e n~ao planar.
Considerando os sete maiores planetas, empregamos as equa ~oes do movimento do
problema de n- orpos em um sistema de refer^en ia helio ^entri o para integrar um
total de 10 x 10 6
ondi ~oes ini iais que foram distribudas entre 0.52 UA e 52 UA.
Os resultados obtidos s~ao omparados om a distribui ~ao de asteroides e ometas
LADEIRA, Denis Gouv^ea, M.S., Universidade Federal de Vi osa, De ember,
2003. Study of the Distribuition of Small Bodies in the Solar
System. Adviser: Ri ardo Reis Cordeiro; Committee members: Afr^anio
Pereira Rodrigues,Jose ArnaldoRedinze Mar elo LobatoMartins
Inthepresentworkwestudythedistribuitionofsmallbodiesinseveralregions
of the Solar System onsidering the fa t that, for small intervals of semi-major axis,
the parti lesnumber that su er lose approa hsin the time ful llsapowerlaw. The
study is performedby planarand 3-Dmodels. Consideringthe seven greaterplanets,
we employ the motion's equations for the n-body problem in a helio entri frame to
integratetheorbitsof10x10 6
initial onditionsdistributedbetween0.52AUe52AU.
The results were ompared with the distribution of observed asteroids and omets,
Introdu ~ao
Em muitos problemas da astronomia din^ami a as investiga ~oes via simula ~oes
om-puta ionais s~ao realizadas integrando sistemas de equa ~oes que des revem o
movi-mento de um onjuntode orpos uja on gura ~ao muda de a ordo om o problema
que esta sendo estudado. Tais simula ~oes normalmente envolvem integra ~oes para
largas es alas de tempo, as vezes equivalentes a idade do Sistema Solar. Estes
sis-temas s~ao normalmente omplexose apresentam din^ami asbastante ri as, revelando
estruturas fra tais e omportamentos de natureza aoti a ( omomostrado por
Muri-son (1989) e Cordeiro et al. (1999)). Podemos itar tambemo trabalho de Sussman
e Wisdom (1988), onde s~ao relatadas evid^en ias numeri as de que o movimento de
Plut~aoe aoti o,eotrabalhode Laskar(1989,1990) noqualemostrado queo
movi-mento dos planetasinternosetambem aoti o. Anotavel evolu ~aododesempenho e
poten ialidadedos omputadores eosurgimentodeumanovagera ~aode arquiteturas
omputa ionaisparalelasest~aopermitindoquenovosproblemasemastronomiasejam
estudados.
A n~ao uniformedistribui ~aodos pequenos objetos noSistemaSolarealgo que
tem despertado a uriosidade de muitos astr^onomos. Na regi~ao interna a Jupiter
s~ao onhe idos varios ni hos favoraveis a exist^en ia de aglomerados de asteroides.
Ja na regi~ao entre Jupiter e Netuno e onhe ido um numero relativamente pequeno
geral, es uros (3/4 dos asteroides onhe idos possuem albedo geometri o em torno
de 3.5 %), ent~ao a observa ~ao de tais objetos nesta regi~aoe bastante dif il. Existe
tambemapossibilidadedestaregi~aoserdinami amenteinstavel,aindaqueparalongos
perodos de tempo. Na fria regi~ao transnetuniana tambem e onhe ido um numero
signi ativode objetosque,nagrandemaioria,s~aonu leos ometarios possuindo, em
sua omposi ~ao,umaboapropor ~aode aguanoestadosolido. Bus andoumamelhor
ompreens~aodosaspe tosrela ionadosadistribui ~aodospequenos orposdoSistema
Solar varios modelos forampropostos edesenvolvidos aolongo dos ultimos anos.
Le ar e Franklin (1973) apresentaram os resultados de um estudo para as
regi~oes entre Marte e Jupiter e entre Jupiter e Saturno. A regi~ao entre Marte e
Jupiter foi estudada usando 260 part ulas, as quais tiveram valores de semi-eixo
maior uniformemente distribudos no intervalo de 2.862 UA a 4.423 UA. As
ex en-tri idades foram aleatoriamente es olhidas entre 0.0 a 0.3. Ja para a regi~ao entre
Jupiter e Saturno eles empregaram 100 part ulas om semi-eixo maior variando de
5.723UAa9.105UAeex entri idades aleatoriamentees olhidasnointervalode0.0a
0.1. Alemdisso eles assumiram Saturno om uma massade 30% damassade Jupiter
e omsemi-eixomaioriguala9.521UA.OplanetaSaturno foi onsideradoapenasno
estudo da regi~ao situada entre Jupiter e Saturno. Eles observaram que entre Marte
e Jupiter, na regi~ao entre 4.0 UA e 5.2 UA, uma grande quantidade de objetos e
ejetada ate2400 anos. Naresson^an ia 3:2 omJupiterpou as orbitasforamejetadas
em2400 anos e,nomesmointervalode tempo,nenhuma part uladeixou aregi~aoda
resson^an ia 2:1 om Jupiter. Para a regi~ao entre Jupiter e Saturno eles veri aram
que er a de 85% dos objetos abandonama regi~aoate6000 anos.
Nomesmoano,Everhart(1973),emborapreo upadoprin ipalmente omorbitas
dotipoferradurae omosasteroidesTroianos,apresentou um estudodaregi~aoentre
Jupiter e Saturno no qual orbitas de baixa ex entri idade permane eram nas
inte-gra ~oes por um tempoda ordemde 10 5
anos.
Shoemaker e Wolfe (1984) simularama evolu ~ao de 2000 part ulas na regi~ao
situada entre Urano eNetuno paraum tempode 4.5x 10 9
todaa simula ~aoapenas 9% das ondi ~oes ini iais.
Franklin et al. (1989) estenderam o trabalho que haviam realizado em 1973,
estudando a regi~ao situada entre 7.0 UA e 7.5 UA. Eles veri aram que orbitas om
valores de ex entri idades proximas aos dos planetas vizinhos eram mais estaveis
que orbitas menos ex ^entri as. Eles observaram, tambem, que part ulas dotadas
de in lina ~oes mais elevadas s~ao apazes de permane er em orbita por tempos mais
longos.
No mesmo ano, Dun an et al. (1989) usaramum modelo simpli ado de dois
planetasqueseaproximavabastantedoproblemarestritodetr^es orposetrataramas
orbitas das part ulas omo Keplerianas. As perturba ~oes provo adas nas part ulas
foramaproximadasporimpulsosa ada onjun ~ao. Alemdisso,nomodeloosplanetas
e as part ulas teste estavam on nados no plano. Com este metodoeles estudaram
as regi~oes situadasentre adapar de planetasadja entes, in luindoapenas estes dois
planetas omoperturbadores. Osplanetastiveramsuasorbitasrestritasamovimentos
ir ulares, e as part ulas assumiram orbitas de baixa ex entri idade. Realizando
integra ~oes para um tempo de 4.5 x 10 9
anos, eles veri aram que muitas part ulas
om orbitas noregimequase ir ularsobreviveram porum tempo daordemdaidade
do SistemaSolar.
Um ano mais tarde Weibel et al. (1990) desenvolveram um experimento no
qual onsideraram o Sol, Jupiter e Saturno omo mutuamente perturbadores. O
modelo onsistiu em integrar o movimento orbital de 125 part ulas teste situadas,
ini ialmente, no intervalo de 5.7 UA e 8.8 UA. A ex entri idade das part ulas foi
aleatoriamentees olhidanointervalode 0.0a0.02,easin lina ~oesentre0:0 o
e
aprox-imadamente 3:61 o
. Segundo o modelo proposto, a regi~ao entre Jupiter e Saturno
n~aoforne enenhuma ondi ~aopara queeventuais aglomeradosde objetosseformem,
ex eto nas regi~oes proximas aos pontos Lagrangeanos de Jupiter. Estes autores
on- luemqueumabus arealmenteminu iosapororbitas estaveisnaregi~aoentreJupiter
e Saturno exigesimula ~oes om maioresintervalosde ex entri idade ein lina ~ao.
numeri o poderiam afetar orbitas de natureza estavel. Eles en ontraram que orbitas
situadasnasproximidadesde7.2UAe7.54UAs~ao apazesdepermane erpor800000
perodos de Jupiter sem ruzar om a orbita dos planetas. O modelo usado por eles
foi o mesmo de Le ar e Franklin (1973).
Gladman e Dun an (1990), usando um metodo de mapeamentosimpleti o de
quarta ordemdesenvolvidoporCandy eRozmus(1990),apresentaramresultadosque
diferiram bastante de Dun an et al. (1989). O estudo foi realizado via integra ~ao
direta das equa ~oes de movimento tridimensionais para um problema de n - orpos.
A regi~ao entre Jupiter e Saturno foi estudada utilizando 900 part ulas que foram
distribudas entre 6.76 UA e 8.06 UA. O Sol, Jupiter e Saturno foram onsiderados
omomutuamenteinteragentes. Oestudo onsistiu,tambem,emsimular90part ulas
para a regi~ao situada entre Saturno e Urano e mais 90 para a regi~ao entre Urano e
Netuno. Os planetas tiveram liberdade para des reverem suas trajetorias no espa o
tridimensional e as orbitas das part ulas foram, ini ialmente, oplanares e de baixa
ex entri idade. Neste modelo as part ulas eram removidas da simula ~ao por
even-tuais en ontros proximos que o orriam om planetas ou aso elas abandonassem o
Sistema Solar. A integra ~ao foi pro essada por um tempo equivalente a 22.5 x 10 6
anos. Gladman e Dun an (1990) foram os primeiros a utilizarem o on eito de
en- ontroproximo omo riterio paraex luir objetosdaintegra ~ao,oque onstituiuma
aproxima ~ao mais realsti a que os trabalhos men ionados anteriormente, nos quais
as part ulas eram removidas aso ruzassem orbitas de planetas. Eles veri aram
que a maioria das part ulas teste situadasentre os planetasgigantes s~ao eliminadas
da integra ~ao em uma es ala de tempo daordem de 10 6
anos devido a o orr^en ia de
en ontros proximos.
Holman eWisdom (1993)usaram uma te ni a de mapeamentosimpleti oque
eles ja haviam desenvolvido anteriormente (Wisdom e Holman (1991)) para integrar
o movimento de part ulas e planetas em oordenadas de Ja obi. As simula ~oes
foram pro essadas no espa o tridimensional sendo as ondi ~oes ini iais da posi ~ao
realizadoemduas partes. Naprimeirafoi apresentadoum estudodaestabilidade dos
pontos Lagrangeanos L
4 e L
5
dos planetas Jupiter, Saturno, Urano e Netuno. Para
isto, osautores integraram asorbitas de 4000 part ulas teste que foramdistribudas
nas proximidades de taispontos. Os valores ini iaisde semi-eixo forames olhidosno
intervalo de 0.96 a 1.04 do semi-eixo do planeta do qual os pontos L
4 e L
5
estavam
sendo estudados. Os resultados obtidos mostraram que os pontos Lagrangeanos L
4
e L
5
de Jupiter, Urano e Netuno s~ao estaveis por 20 x 10 6
anos. Os pontosL
4 e L
5
de Saturno mostraram-se instaveis, embora que, uriosamente, a vizinhan a destes
pontostenham se revelado estaveis por 20 x 10 6
anos. Este sesultado foi on rmado
por de la Barre et al. (1996), que realizaram integra ~oes de 412 x 10 6
anos. Na
segunda parte do trabalho de Holman e Wisdom foi analisado o omportamento de
3000 part ulas teste que possuam semi-eixo maior ini ial no limite de 5 UA a 50
UA. Para asregi~oes exteriores a Netuno o tempo de integra ~aoadotado foi de 200 x
10 6
anos. Ja para as regi~oes interiores o tempo de integra ~ao foi de 800 x 10 6
anos.
Elesveri aramquenumerosaspart ulassituadasentreosplanetasexterioresealem
Netuno ate43UAforamremovidasdaintegra ~aoporen ontros proximos, ex eto em
pequenas regi~oes entre Urano e Netuno nas quais pou as part ulas permane eram
por800 x 10 6
anos.
Holman (1997) usou o mesmo esquema simpleti o de Wisdom e Holman para
simular orbitasde milharesde part ulas teste na regi~aoentre Urano e Netuno,
situ-adas entre 24UA e 27UA. As part ulas tiveram, ini ialmente, in lina ~oes variando
de 0 o
a 10 o
e ex entri idades inferiores a 0.05. A simula ~ao foi pro essada por um
tempoequivalentea4.5x10 9
anos. Osresultadosal an adosrevelaramquepart ulas
om ex entri idadeini iale o >0:03 ouin lina ~aoini iali o >3 o s~aoremovidasem1x 10 9
anos, enquanto que part ulas om ex entri idade ini ial e
o >0:01 ou in lina ~ao ini ial i o >1 o s~ao removidas ate 4.5 x 10 9 anos.
Mais re entemente, Grazier et al. (1999) publi aram um estudo onde foi
uti-lizadoumpro essodeintegra ~aootimizadode13 a
ordemasso iadoametodos apazes
todos os planetas jovianos. A massa dos planetas terrestres foi adi ionada a massa
do Sol e aspart ulas foram onsideradas sem massa. O estudo foi realizadopara as
regi~oes entre Jupiter e Saturno, entre Saturno e Urano e entre Urano e Netuno. A
distribui ~ao dos valores ini iais do semi-eixo maior das part ulas foi uma gaussiana
entrada no valor medio de semi-eixo maior do par de planetas que delimitam ada
regi~aodetalformaqueadist^an iaentre estes planetas orrespondesse a6
a
,onde
a
orrespondeaodesvio padr~aodagaussiana. As in lina ~oesini iais foramdistribudas
de formagaussiana ommediaem0 o
edesviopadr~ao
i de10
o
. Alemdisso,osvalores
ini iais da ex entri idade foram aleatoriamente es olhidos de 0.0 a 1.0 usando uma
distribui ~aoexponen ial que privilegiaex entri idades mais baixas. As fasesini iais,
bem omoaslongitudesdoperielioedonodoas endente, foramdistribudasuniforme
e randomi amente de 0 o
a 360 o
. As integra ~oes foramrealizadas para um tempo de
1 x 10 9
anos. No estudo da regi~ao entre Jupiter eSaturno, 100000 ondi ~oes ini iais
foram integradas utilizando, para isto, 10 esta ~oes de trabalho em paralelo. Para
as regi~oes entre Saturno e Urano e entre Urano e Netuno, eles empregaram 10000
part ulasusando50esta ~oes de trabalhosimultaneamente, emesmoassim gastaram
30 vezes mais tempode CPU omrela ~aoaregi~aoentre JupitereSaturno. Eles
veri- aramquepou osobjetospodem permane erestaveissobreumafra ~aosigni ativa
da idade do Sistema Solar. Na regi~ao entre Saturno e Urano eles observaram que
objetospodempermane erestaveisate100x10 6
anosem12.5UA,14.4UA e16UA.
Eles onstataram tambem a exist^en ia de orbitas estaveis ate 5 x 10 6
anos em 22.4
UA, 23.2 UA, 24.5 UA e 26UA.
O presentetrabalhotambemtem omo objetivo analizaradistribui ~aode
pe-quenos objetos no Sistema Solar. O estudo e realizado onsiderando que a taxa de
en ontrosproximosdepart ulasqueapresentamsemi-eixomaiorini ialdentrodeum
pequeno intervalo segue uma lei de pot^en ia. No aptulo 2 apresentamos o modelo
din^ami o empregadoe uma des ri ~ao date ni ade integra ~aoutilizada. No aptulo
3 apresentamos os resultados obtidos no estudo de identi a ~ao das prin ipais
sultados obtidosneste estudo, identi amosas prin ipaisresson^an ias de movimento
medioasso iadasaregi~oesde baixadensidadede objetosbem omoaquelasqueest~ao
asso iadas a regi~oes que apresentam maior densidade de objetos e ainda dis utimos
omo a arbitrariedadede ertos par^ametrospode afetar osresultados. Por m,
O Modelo
Em nosso trabalhodividimos o SistemaSolar em in o regi~oes ara terizando-as por
intervalos delimitados pelos valores de semi-eixo maior dos quatro planetasgigantes.
Mostramos, natabelaque se segue,o que ada uma destas regi~oes abrange:
Regi~ao Abrang^en ia Semi-eixomaior (UA)
Sol - J upiter Desde asproximidades doSol De 0.52 a 5.72
atepou oalemde Jupiter
J upiter - Saturno Desde Jupiterate pou o De 5.2a10.4
alem de Saturno
Saturno - Urano Aproximadamenteentre De 9.36 a19.25
Saturno e Urano
Urano - Netuno Aproximadamenteentre De 19.25 a 30.17
Urano e Netuno
Alem de Netuno
Transnetuno englobandoa regi~ao De 30.17 a52.0
do intur~ao de Kuiper
Tabela2.1: A divis~aodo SistemaSolar emregi~oes.
Consideramos em nosso estudo os sete maiores planetas do Sistema Solar
(V^enus, Terra, Marte, Jupiter, Saturno, Urano eNetuno), admitindo-os omo orpos
pontuais emutuamenteperturbadores. Devidoaofatode que,noSistemaSolar real,
os pequenos objetos apresentam massas relativamente pequenas quando omparadas
as massasdos planetas, des onsideramos, ent~ao, os efeitos gravita ionaisdestes sobre
en iaisparaoproblemaden- orposabaixo(Danby,1994,MurrayeDermott,(1999)): _ ~r i =~v i (2.1) _ ~v i = k 2 (m 0 +m i ) k~r i k 3 ~ r i +k 2 n 1 X j=1;j6=i m j ~r j ~r i k~r ij k 3 k 2 n 1 X j=1;j6=i m j ~r j k~r j k 3 (2.2) onde m 0 e a massa do Sol, m i
e a massa do i-esimo orpo, ~r
i
e o vetor posi ~ao do
i-esimo orpo om rela ~ao ao Sol, k 2
e a onstante da gravita ~ao universal, ~r
ij e o
vetor posi ~aodoi-esimo orpo omrela ~aoao orpoj. Oprimeirotermo dasegunda
express~ao e a intera ~ao gravita ional entre o Sol e o orpo i. O primeiro somatorio
orrespondeaos termosdiretosdaperturba ~aoqueosoutrosn 2 orposexer emno
i-esimo orpo. Osegundo somatorio orrespondeaos termosindiretos,oqual
origina-se aoadotarmos o sistema de refer^en ia n~ao iner ial. Se o orpo i for uma part ula
teste ent~ao m
i =0.
Existemmuitosintegradoresquepodemserutilizadosparadeterminarasolu ~ao
numeri a do sistema de equa ~oes diferen iais a ima. Tais integradores s~ao
ara -terizados pela apa idade de resolver qualquer sistema de equa ~oes diferen iais
or-dinarias. Embora sejam pre isos, estes integradores demandam um tempo de
om-puta ~ao apre iavel. Este e opre o a ser pago pelageneralidade que eles apresentam.
Comainten ~aodeimplementaralgoritmosmaisvelozesparaoestudode
prob-lemas Hamiltonianos, Neri(1988), Forest e Ruth (1990),Yoshida (1990)propuseram
um algoritmosimpleti oparaoestudodeproblemasdin^ami osparaosquaisa
Hamil-toniana H(~q;~p) pode ser es rita omo a soma de de duas fun ~oes, uma das quais
depende apenas do momentop~e outra quedepende apenas da oordenada ~q
H(~q;~p)=T( ~p)+V(~q).
Assim, se o sistema evolui de um tempo ini ial t
o
para um tempo posterior
t
o
+ ,onde e opassode tempo,ent~aoointervaloentre t
o et
o
+ podeser dividido
em um numero inteiro n de subintervalos, onde o valorde n, o qual de ne a ordem
lim L( ) k , om k nito e real,
!0 n
onde L( )edado por
L( )=maxk~q(k n ) ~q k k, k=1;2;3;:::;n. em que ~q(k n ) e a solu ~ao exata e ~q k
e o valor forne ido pelo mapa. O esquema
simpleti o proposto estabele e que a evolu ~ao dos vetores ~q e ~p, em um passo de
tempo,edada por:
~ q 1 =~q 0 + 1 H ~ p ( ~p 0 ;~q 0 ) ~ p 1 =~p 0 d 1 H ~ q ( ~p 0 ;~q 1 ) ~ q 2 =~q 1 + 2 H ~ p ( ~p 1 ;~q 1 ) ~ p 2 =~p 1 d 2 H ~ q ( ~p 1 ;~q 2 ) ~ q 3 =~q 2 + 3 H ~ p ( ~p 2 ;~q 2 ) ~ p 3 =~p 2 d 3 H ~ q ( ~p 2 ;~q 3 ) : : : : : : ~ q n =~q n 1 + n H ~ p ( ~p n 1 ;~q n 1 ) ~ p n =~p n 1 d n H ~ q ( ~p n 1 ;~q n ) onde ~ q i =~q(t o +i n )
omo o intervalo de tempo entre t
o e t
o
+ esta sendo dividido em n subintervalos
temos que: n X i=1 i = n X i=1 d i = : Portanto, os oe ientes i ed i
obede em aseguintepropriedade:
n X i=1 i = n X i=1 d i =1;
No aso parti ular emque o mapa utilizadoede 1 a
1 e d 1 =1. Se o mapafor de 2 a ordem,n =2, 1 = 2 = 1 2 ; d 1 =1ed 2 =0. E, se for de 4 a ordem, n=4, 1 = 4 = 1 2(2 2 1=3 ) ; 2 = 3 = 1 2 1=3 2(2 2 1=3 ) ; d 1 =d 3 = 1 2 2 1=3 ; d 2 = 2 1=3 2 2 1=3 ; ed 4 =0.
Paran =3n~aoexiste umaformaanalti apara os oe ientes
i ed
i
.
Normal-mente a pre is~ao de um mapa res e quanto maior for a sua ordem. Por outro lado,
podemos observar que a omplexidade do mapa tambem res e om n, o que pode
n~ao ser interessante, em fun ~ao do tempo de pro essamento que sera onsumido na
integra ~ao.
Ometodode integra ~aoqueadotamosebaseado nomapeamentode 2 a
ordem
de Wisdon e Holman (1992). Neste mapeamento o intervalo de tempo (passo do
integrador)e dividido em duas partes e opro esso de integra ~aoe ara terizadopor
tr^es etapas:
1 - Na primeira etapa, emum intervalode tempoigual a
2
, ada orpo evolui sua
orbita em torno do Sol independentemente dos demais. Em outras palavras,
o sistema evolui des onsiderando as intera ~oes mutuas entre os planetas bem
omo ain u^en iados planetasnas orbitas daspart ulas. Oestudoe,portanto,
onsiderado omo n 1problemas de dois orpose, utilizandoo algoritmo
ap-resentado emDanby (1988),aevolu ~aodosistemae determinadapelas fun ~oes
f eg de Gauss.
determinadas no primeiroestagio, o termo das perturba ~oes multipli adas por
.
3 - Finalmenterepete-seaprimeiraetapaondenovameteasintera ~oesmutuasentre
os orposs~aodes onsideradase,paraumintervalodetempoiguala
2
,asfun ~oes
f eg deGausss~aoempregadasdeterminando,assim,aevolu ~aodosistemapara
a outra metadedo intervalode tempo.
No modelo omputa ional empregado as integra ~os s~ao efetuadas de forma
simult^anea para o movimento dos planetas e das part ulas e, monitorando em ada
passo de tempo a dist^an ia relativa das part ulas aos planetas, somos apazes de
dete tar ao orr^en ia de en ontros proximos.
Consideramos,emnossoestudo,oen ontroproximo omoasitua ~aoondeuma
part ula e en ontrada dentro da esfera de in u^en ia de algum planeta. O valor do
raiodaesferade in u^en ia deum planetafoi onsiderado omoadist^an iado\ponto
de equilbrio instavel interno", L
1
, ao respe tivo planeta. Como o nosso problema e
elpti oent~ao al ulamosopontodeequilbrioL
1
\instant^aneo",oqualedeterminado
em adapassodeintegra ~aosupondo,apenasparaefeitode al ulodeL
1
,queaorbita
do planetae ir ular. Esta de ni ~aoapresenta umvalorque n~aodifere muito doraio
da esfera de Hill. Com este riterio a ex entri idade do planeta produz um efeito
os ilanteno raiodaesfera de in u^en ia.
Comoebem onhe ido, quando uma part ula penetra naesfera de in u^en ia
de algum planeta os valores do semi-eixo maior e da ex entri idade desta part ula,
muitas das vezes, sofrem abruptas mudan as, passando a des rever uma orbita om
ara tersti a ompletamentediferentedaquepossuaanteriormenteaoen ontro,
po-dendo ulminar em uma olis~ao om o Sol ou om algum planeta, ou ate mesmo
adquirir uma orbita hiperboli a (em rela ~ao aoSol), fazendo om que esta part ula
seja ejetada do SistemaSolar. Na gura 2.1nos mostramos osresultados de uma
in-tegra ~aoondes~aoilustradososefeitos dosen ontros proximosnos elementosorbitais,
ri idade e ( ) da in lina ~ao de uma orbita om a o = 4:5 UA, e o = 0:05, i o = 1:65 o , o =78:0 o , o =199:4 o e$ o =122:2 o
. Os en ontros proximos s~ao mar ados quando
as linhas nas se tornam verti ais. O valor 4 nos gra os de linha na indi a que
a part ula penetrou na esfera de in u^en ia de Jupiter e o valor 5 indi a que este
fen^omeno o orreu om Saturno. Como podemos per eber, osinstantes dos en ontros
proximos est~ao,namaioriados asos, asso iadosamudan as substan iaisnos valores
dos par^ametros orbitaisa, e e i.
Como nosso trabalho onsiste em estudar a distribui ~ao dos pequenos orpos
em varias regi~oes doSistemaSolar, ent~aoo nosso interesseeidenti ar quaisorbitas
s~ao estaveis, no sentido de n~ao apresentarem en ontro proximo, uma vez que tais
orbitas ontribuemde modomaissigni ativoparaa ara teriza ~aodapopula ~ao de
objetosemumasubregi~aodoSistemaSolar. Emfun ~aodestefato,oquea onte eapos
o en ontro proximon~ao sera objeto de estudo neste trabalho. Assim, as integra ~oes
efetuadasaolongodestetrabalhos~aointerrompidasaposoinstanteemqueapart ula
Figura 2.1: In u^en ia dos en ontros proximos: (a)no semi-eixomaior, (b) na
ex en-tri idade e( ) nain lina ~ao. (b)
Resson^an ias de Movimento Medio
Como e bem onhe ido (ver, por exemplo, Mi helle Moons (1997)), os fen^omenos
de resson^an ias de movimento medio s~ao de grande import^an ia nos estudos da
dis-tribui ~ao dos pequenos orpos no Sistema Solar. O riterio que adotamos na
iden-ti a ~ao das resson^an ias de movimento medio onsiste em determinar se o ^angulo
ressonante libra em torno de 0 o
ou 180 o
durante um determinado perodo de
in-tegra ~ao. A express~ao do ^angulo , a qual pode ser obtida do estudo da teoria de
perturba ~aoparaoproblemadetr^es orpos,rela ionaaslongitudesmediasdoplaneta
e da part ula, m 1 e m 2
, e a longitude do perielio da part ula, $
m 2 , da seguinte forma: =p m1 q m2 (p q)$ m2
onde p e q s~aointeirostais que
p q n m 2 n m 1 ; onde n m 1
e o movimento medio do planeta e n
m
2
o movimento medio da part ula.
Da express~ao do ^anguloressonante a ima temos que:
$ m2 = p p q m1 q p q m2 p q (3.1)
m
2
a longitude media,
m
2
, dapart ula. Na gura 3.1mostramos oresultado de quatro
simula ~oes onde as equa ~oes (2.1) e (2.2) foramintegradas noespa o tridimensional
por um tempo de, aproximadamente, 47600 anos. As integra ~oes foram realizadas
empregando, para ada gra o da gura 3.1, 10000 part ulas. As longitudes ini iais
(do perielio, media e do nodo as edente) das part ulas foram es olhidas uniforme
e aleatoriamente entre 0 o
e 360 o
. As ex entri idades ini iais foram distribudas de
formauniforme nointervaloentre 0 e0.4easin lina ~oes ini iaisforamdeterminadas
randomi amente entre 0 o
e 30 o
, porem obede endo uma distribui ~ao gaussiana om
< i >= 0 o e desvio padr~ao i = 10 o
. As ondi ~oes ini iais dos planetas foram
extradasdoTheAstronomi alAlmana (1996)paraadata07/02/1996. Cadagra o
mostrado na gura 3.1 orresponde auma resson^an iade movimento medio: a gura
3.1-a orresponde aresson^an ia 3:2 om Jupiter (grupo de Hilda,proximade 4 UA),
a gura3.1-b orrespondearesson^an ia4:3 omJupiter(Thule, proximade4.3UA),
a 3.1- a 4:5 om Saturno (situada perto de 11.2 UA) e a 3.1-d a 2:3 om Saturno
(nasproximidadesde 12.7UA).Ospontospretos orrespondema ondi ~oesini iaisde
part ulasquen~aosofreramen ontroproximoduranteotempodeintegra ~aoadotado.
As linhaslargas orrespondemaos valoresde $
m2 emfun ~aode m2 dadospor3.1no aso emque =0 o
. Aslinhasestreitas, analogamenteaslinhaslargas, orrespondem
ao aso emque =180 o
Figura 3.1: A rela ~ao linear dada pela express~ao 3.1 entre os elementos $ m 2 e m 2
para as regi~oes de resson^an iade movimentomedio: (a)resson^an ia 3:2 omJupiter,
(b) 4:3 om Jupiter, ( ) 4:5 om Saturno e(d) 2:3 om Saturno.
( ) (d)
Com o objetivode identi ar asprin ipais resson^an ias no SistemaSolar,
uti-lizamos um modelo planar, restrito e elpti o, onde os sete maiores planetas e as
part ulas evoluem suas orbitas em torno do Sol, o qual onstitui a origem do nosso
sistemaderefer^en ia. Asorbitasdaspart ulass~aoperturbadasportodososplanetas,
os quaistambemseperturbammutuamente. O onjuntodeequa ~oes diferen iaisque
des reve a din^ami ado sistemae dado pelas equa ~oes 2.1e 2.2, onde os vetores ~r,~v
e _
~v est~ao on nados em um mesmo plano. As ondi ~oes ini iais dos planetas foram
obtidas,projetando nae lpti a,osvalores deposi ~aoevelo idade al uladosapartir
dos dados extrados do The Astronomi al Almana , 1996. Para ada regi~aodes rita
aleatoriaeuniforme, es olhidasentre 0 e360 eaintegra ~aodomovimentode todas
part ulasini iounoperihelio. Nesta etapadotrabalhoadotamos, paraaregi~ao
inte-rioraSaturno,opassodetempo omoum inquentaavosdoperododeJupiter,oque
orrespondea,aproximadamente, 0.2372anos. Para asregi~oes exterioresaSaturno o
passo foi de um de imo do perodo de Jupiter (1:186 anos). As integra ~oes foram
pro essadas para um tempototal orrespondente a 1000 passos.
As omensurabilidades analisadas no estudo da identi a ~ao das prin ipais
resson^an ias de movimentomedio foram: 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 1:7, 1:8, 1:9, 2:3,
2:5, 2:7,2:9,3:4, 3:5,3:7,3:8, 4:5,4:7,4:9,5:6, 5:7,5:8,5:9,6:7, 7:8,7:9,8:9etambem
as raz~oes inversas. Oprograma desenvolvidoe apaz de veri ar, para ada uma das
40000 ondi ~oes ini iais em uma dada regi~ao, se existe alguma raz~ao de movimento
medio entre as men ionadas a ima para a qual o ^angulo ressonante libra, durante
o tempode integra ~ao,emtorno de 0 o
ou180 o
.
Nas guras queseseguemmostramososresultados obtidosnoestudoda
iden-ti a ~ao de resson^an ias de movimento medio. Para melhorar a vizualiza ~ao, nestas
guras est~ao mostradas apenas as resson^an ias que apresentaram maior numero de
ondi ~oes ini iais, visto que algumas regi~oes apresentam um numero relativamente
grande de resson^an ias de movimento medio. Desta forma as regi~oes bran as
or-respondem a resson^an ias que apresentam menor numero de ondi ~oes ini iais om
o ^angulo librando em torno de 0 o
ou 180 o
ou a ondi ~oes ini iais para as quais o
^
angulo apresenta ir ula ~ao.
Asresson^an ias3:1,5:2e2:1na gura3.2est~aoasso iadasasgaps deKirkwood
no intur~ao prin ipal. Podemos tambem veri ar resson^an ias que est~ao asso iadas
a popula ~oes onhe idas de objetos, omo porexemplo, as resson^an ias 3:2 e 1:1, as
As omensurabilidades1:1 omJupiter/5:2 omSaturno,nas guras3.3-ae
3.3-b, respe tivamente, orrespondem ao grupo dos asteroides Troianos. As resson^an ias
1:1 om Saturno/2:5 om Jupiter, nas guras 3.3-b e 3.3-a, est~ao rela ionadas aos
pontos Lagrangeanos L
4 e L
5
de Saturno e, onforme nossa abordagem para
deter-minar a distribui ~ao de pequenos objetos que sera apresentada no aptulo 4, estas
resson^an ias orrespondemauma on entra ~ao depart ulasteste. Veremostambem
queoespa oentre JupitereSaturnoapresentaumpequenonumerode part ulasque
n~ao sofrem en ontro proximo, o que pode ser onsequ^en ia da grandequantidade de
( ) (d)
Figura 3.3: Resson^an ias na regi~ao Jupiter-Saturno: (a) om Jupiter, (b) om
Sa-turno, ( ) om Urano e(d) om Netuno.
Os resultados obtidosnoestudo daregi~aoentre Saturno eUrano s~ao
apresen-tados na gura 3.4. No aptulo 4 veremos que algumas destas resson^an ias est~ao
asso iadas a on entra ~oes de part ulasteste, omoas resson^an ias 4:7 om Saturno
e 1:1 om Urano (2:1 om Netuno). Veremos tambem que existem resson^an ias para
asquaiso orreo ontrario. Porexemploasresson^an ias8:7e7:6 omUrano, 9:4 om
Netuno e 2:5 om Saturno orrespondem, em semi-eixo, a regi~oes onde e pequeno o
( ) (d)
Figura3.4: Resson^an iasnaregi~aoSaturno-Urano: (a) omJupiter,(b) omSaturno,
( ) om Urano e (d) om Netuno.
As resson^an ias 1:1 om Urano/2:1 om Netuno nas guras 3.5- e 3.5-d
on-stituem, respe tivamente, a ontinua ~ao das guras 3.4- e 3.4-d e est~ao asso iadas
aos pontos de equilbrio Lagrangeanos L
4 e L
5
de Urano. Como podemos observar,
esta regi~ao apresenta um grande numero de resson^an ias de movimento medio,
( ) (d)
Figura3.5: Resson^an iasnaregi~aoUrano-Netuno: (a) omJupiter,(b) om Saturno,
( ) om Urano e (d) om Netuno.
Na gura 3.6 mostramos as prin ipais omensurabilidades om os planetas
Saturno, UranoeNetunoobtidasparaaregi~aoTransnetuno. Nenhumadas ondi ~oes
ini iais apresentou libra ~ao om Jupiter. Como veremos, as resson^an ias 2:3, 4:7 e
1:2 om Netuno orrespondem,emsemi-eixo,aregi~oes queapresentam on entra ~oes
de part ulas teste. Podemos observar que as resson^an ias 1:2 om Urano/1:1 om
Netuno que surgem nas guras 3.6-b e 3.6- se ompletam, respe tivamente, om os
(b) ( )
Figura 3.6: Resson^an ias na regi~ao Transnetuno: (a) om Saturno, (b) om Urano e
O Estudo da Distribui ~ao de
Pequenos Corpos no Sistema Solar
O metodo empregado neste aptulo onsiste em dividir ada uma das in o regi~oes
men ionadas na tabela 2.1 em em faixas ara terizadas por pequenos intervalos de
semi-eixo maior. Em ada uma destas faixas, onde a ex entri idade varia
uniforme-mente de 0.0 a 0.4, adotamos um grid 100 x 100 no espa o a-e orrespondendo ao
semi-eixo maior e ex entri idadeini iais das orbitas a serem integradas. Pro edendo
desta forma,aevolu ~ao orbitalde 1.000.000 de part ulasfoi determinada para ada
regi~ao. As equa ~oes do movimento dadas por (2.1) e (2.2) s~ao integradas ate que
a part ula penetre na esfera de in u^en ia de algum planeta ou ate que um tempo
limite seja atingido. Se dentro do prazo de integra ~aoa part ula penetrar na esfera
de in u^en ia de qualquer planeta a simula ~aoidenti a o instante que isto a onte e
e tambem om qual planeta o en ontro proximo o orreu. O valor empregado para
o passo foi P J 50 , onde P J
11:9 anos e o perodo de Jupiter, e o tempo maximo de
integra ~ao foi 4000P
J
(47600anos).
No estudo via um modelo planar a longitude do perielio in ial foi, para as
part ulas, aleatoriamente determinada de 0 o
a 360 o
e a longitude media ini ial foi
0 o
. As ondi ~oes ini iais dos planetas foram obtidas a partir dos elementos orbitais
forne idospeloTheAstronomi alAlmana (1996)paraadata07/02/1996,projetando
duzidos de formaaleatoria, poremseguindo uma distribui ~aonormal onde adotamos < i >= 0 o e desvio padr~ao i = 10 o
. Alem disso, om o intuito de n~ao in luirmos
obitas retrogradas,nos onsideramos apenasos valoresabsolutos de i forne idospelo
algoritmo desenvolvido om base no metodo de VonNewman; Sobol, J.M.(1983). A
situa ~ao des rita pode ser visualizada na gura 4.1, onde mostramos a distribui ~ao
gerada para uma subregi~ao parti ular, situada na regi~ao Jupiter - Saturno. Os
de-mais elementos lassi os, longitude donodoas endente, longitude media e longitude
do perielioforam distribudos uniformementee de formaaleatoria nointervalo de 0 o
a 360 o
. Neste estudo, os par^ametros orbitais dos planetas foram extrados do The
Astronomi alAlmana (1996)para a data 07/02/1996.
Figura4.1: Para ada faixafoiadotadaumadistribui ~aoaleatorian~aouniformepara
a in lina ~ao. O valor maximo e 30 o
e a urva normal esta entrada em 0 o
. O eixo
verti al dohistograma estanormalizado.
Sis-ao grande tempo de pro essamento normalmente requerido. Um numero
su ien-temente grande de part ulas teste distribudas de forma onveniente pode ser mais
interessantequeumestudorealizadoutilizandoumamodestaquantidadede ondi ~oes
ini iais. Por outrolado otempode integra ~aodeveser longoo su ientepara queos
variosfen^omenosinvestigadostenham ondi ~oes de semanifestar. Muitos estudosem
astronomia s~ao realizados tentando-se maximizar, na medida do possvel, estes dois
fatores.
O estudo que aqui propomos se diferen ia dos trabalhos ja desenvolvidos
ba-si amente por levar em onta um numero onsideravel de ondi ~oes ini iais que s~ao
integradas por um intervalo de tempo n~ao muito grande. A ideia fundamental
on-siste natentativade inferiralgunsresultadosdin^ami ospara onsideraveistemposde
evolu ~ao sem efetuar longas integra ~oes.
O fato de que no passado os impa tos entre pequenos e grandes orpos eram
mais frequentes do que nos dias atuais (ver por exemplo Shoemaker & Shoemaker
(1999)) nos leva a assumir que a taxa de o orr^en ia de en ontros proximos e uma
fun ~ao de res ente dotempo. Dividindoo tempototal de integra ~aoemk intervalos
de valort
t=
tem po total dei ntegra ~a o k (4.1) e onsiderando queN ep
(nt) seja o numerode objetos quesofrem en ontroproximo
om algumplanetanointervalode tempoentre (n 1)tent, ondeneum inteiro
tal que n =1; 2; 3; :::; k, ent~ao podemos, a partir dos valores de N
ep
(nt) obtidos
da integra ~ao, determinar a lei de de aimento representativa de ada uma das em
faixas de uma dada regi~ao. Uma vez onhe ida aexpress~ao matemati aque des reve
a o orr^en ia dos en ontros proximos somos ent~ao apazes de determinar N
ep (nt)
para valores de n t~ao grandes quanto sejam ne essarios. Seja n
m a x
o valor de n a
partir doqualaquantidade de en ontros proximos possa ser onsideradadesprezvel.
Considerando">0 omoumnumerodespresveldeen ontrosproximosnumintervalo
t, ent~ao n
m a x
N ep (n m a x t)<"N ep (n m a x 1)t : (4.2) Conhe endo n m a x
podemos,para ada faixa, determinar otempomaximo
t
m ax =n
m a x
t; (4.3)
apartirdoqualopro essodeen ontros proximospodeserdes onsiderado. Onumero
de orbitas quen~aoapresentam en ontros proximos sera, ent~ao,dado por
N restante =N Total n max X n=1 N ep (nt)) (4.4) onde N Total
eo numeroini ial de part ulas em ada faixa. Fazendo
N nTotal = N restante N Total (4.5)
temos o numerorelativo de objetosque n~aosofrem en ontroproximoem ada faixa.
A maior parte deste estudo foi realizada adotando-se t = 200 P
J
, o que
orrespondeaproximadamentea2380anos. Maisadiantedis utiremos omoaes olha
do valordo t e de outros par^ametros pode afetar os resultados da distribui ~ao dos
pequenos objetos no Sistema Solar. Como o tempo empregado nas simula ~oes foi
de 4000P
J
e t = 200 P
J
, temos, de 4.1, que k = 20. Deste modo, utilizando os
resultados das integra ~oes determinamos, para ada faixa, os valores de N
ep
(nt),
onde 1 n k(= 20). Com o objetivo de identi ar a express~ao matemati a
que melhor des reve a taxa temporal N
ep
(nt) de en ontros proximos, ajustes n~
ao-linearesforamfeitos onsiderandoseis leisde de aimentoatr^espar^ametros(a,b e ).
As formas de de aimentoutilizadasforam asseguintes:
N ep (nt)=alog b nt+ (4.6)
N ep (nt)=alog b nt + (4.7) N ep (nt)=a+be nt (4.8) N ep (nt)=ae b n t + (4.9) N ep (nt)=ae 1 bn t+ ! (4.10) N ep (nt)=a(nt b) (4.11)
Realizamos, ainda,o ajuste n~ao-linearpara uma generaliza ~aodaleide
de ai-mento mista de Simoet al. 1995,de nida adois par^ametros,a e b, omo:
N ep (nt)=(nt) a log(nt) b (4.12)
Ospar^ametrosdasleisdede aimentoa imaforamdeterminados,viaajusten~ao
linear, para ada faixa daregi~aoSol-Jupiter. Comparandoo oe ientede orrela ~ao
R 2
forne ido peloajuste para ada leide de aimentopodemosidenti ar aquela que
melhor se ajusta aos dados obtidos pela integra ~ao. Os resultados s~ao apresentados
na gura 4.2. Como podemos veri ar a lei de pot^en ia apresenta, na maioria dos
asos, omaior valorpara R 2
e, portanto,o melhor ajuste. Com base neste resultado
Figura 4.2: (a)Compara ~ao do oe iente de orrela ~ao, R 2
, para sete leis de
de ai-mento. (b) Uma amplia ~aono eixo verti al de (a) permite-nos visualizar os valores
de R 2
proximos de 1. Como podemos observara leide pot^en ia foia que apresentou
o oe iente de orrela ~aomais proximode 1 para amaioria das faixas. O ret^angulo
transparente orresponde a regi~ao onde o numero de en ontros proximos e pequeno,
forne endo baixos valores para R 2
.
deste trabalho. A regi~ao delimitada pelo ret^angulo transparente orresponde a um
onjunto de faixas onde o metodon~ao eapli avel. O numero de en ontros proximos
nesta regi~aoe,dentro doprazo de tempoempregado nasimula ~ao, muito pequeno,o
que forne e baixos valores de R 2
para todas asleis de de aimentoanalisadas. Como
podemosnotar,ointervalodesemi-eixomaior ompreendidopeloret^angulo
transpar-ente orresponde, emboaparte, aregi~aodo intur~aodos asteroides.
Nas guras4.3-ae4.3-bmostramos,emgra oslog-log,oajusteforne idopela
lei de pot^en ia para duas diferentes faixas. A primeira orresponde ao intervalo de
semi-eixo entre 1.40462 UA e 1.45664UA e asegunda aointervaloentre 7.69939 UA
transparente da gura 4.2. Como podemos observar, o oe iente de orrela ~ao, R 2
,
obtidonoajusteda gura4.3-dapresentaum valorsigni ativamentemais baixoque
os outros tr^esajustes.
( ) (d)
(a) (b)
Figura 4.3: Oajusteaos dadosda integra ~aoforne idopelaleide pot^en ia: (a) para
uma faixa da regi~ao Sol-Jupiter, (b) para uma faixa da regi~ao Jupiter-Saturno, ( )
paraumafaixalo alizadanaregi~aodeThulee(d)paraumafaixalo alizadanaregi~ao
do ret^angulo da gura 4.2, onde o metodon~aoe apli avel.
Com o numero de en ontros proximos, N
ep
(nt), forne ido pela integra ~ao,
determinamos, via ajuste n~ao-linear, os par^ametros a, b e da lei de pot^en ia para
ada faixa de todas as regi~oes do SistemaSolar. Empregando a express~ao 4.11 para
determinar onumerode en ontros proximose adotando"=1obtemos, pormeio das
express~oes 4.2 e 4.3, o valordo tempo maximo t
m a x
a partir do qual a o orr^en ia de
en ontros proximos pode ser des onsiderada e, pela express~ao 4.5, determinamos o
numero relativoN
nTotal
de objetos quepermane emem ada faixa.
Na gura4.4mostramos,para aregi~aoSol-Jupiter,ogra o deN
nTotal xt
m a x .
nTotal m a x
faixa. Por meio desta gura podemos on luir que n~ao existe uma orrela ~ao bem
de nida entre ospar^ametrosN
nTotal e t
m a x
(uma orrela ~aolinear, porexemplo,seria
visualizada, na gura 4.4, omo um alinhamento dos pontos em torno de uma reta
media). Desta forma oproduto t
m a x N
nTotal
pode ser um par^ametroimportantena
ara teriza ~ao da distribui ~ao de objetos. De fato, omo mostraremos na proxima
se ~ao, o produto t
m a x N
nTotal
se aproxima melhor da distribui ~ao observada de
pe-quenos objetosederesultadosobtidosemoutrostrabalhos,queospar^ametrosN
nTotal
ou t
m a x
onsiderados separadamente. Em fun ~ao deste fato o produto t
m a x N
nTotal
sera de nido omo par^ametro de popula ~aolo al, P
PL : P PL =t m a x N nTotal : (4.13)
Figura4.4: A n~ao orrela ~aoentre N
nTotal et
m a x
paraaregi~aoSol-Jupiternomodelo
n~ao planar. Para asdemais regi~oes, tanto para omodelo planar omopara o modelo
n~ao planar,N nTotal e t m a x s~aosemelhantemente n~ao orrela ionados. 4.1 O Modelo Planar
4.1.1 Regi~ao Sol-Jupiter
Na gura 4.5mostramos os gra osde t
m a x , N
nTotal eP
PL
nTotal
enquantoquet
m a x
,paraomesmovalordesemi-eixo,apresentaummaximo(altovalor
relativo). Proximo a 4.0 UA temos um maximo em N
nTotal
e um mnimo em t
m a x e
o mesmo a ontesse para 3.5 UA e 3.7 UA. Entre 3.75 UA e 3.85 UA t
m a x
apresenta
valores onsideraveisenquantoN
nTotal
apresentabaixos valores; eomaximoquet
m ax
apresenta nas proximidades de 3.65 UA orresponde a um mnimo em N
nTotal . O
mesmojan~aoa onte e paraointervaloentre4.5UAe5.0UAonde t
m a x eN
nTotal
ap-resentamvalorespequenos,eentre5.0UAe5.5UAondeambosapresentammaximo.
Per ebemos tambem que os maximos e os mnimos de N
nTotal
que surgem para os
valores de semi-eixo menores que 1.5 UA est~ao todos semelhantemente asso iados a
baixos valores de t
m a x
. Toda esta omplexidade e, sem duvida, proveniente da n~ao
exist^en ia de orrela ~ao entre os par^ametros t
m a x e N
nTotal
, onforme dis utido na
se ~aoanterior.
Agora, analizando a gura 4.5- , veri amos que o P
PL
apresenta maximos
para valores de semi-eixo maior orrespondentes ao grupo de Apollo (entre 1.2 UA
e 1.5 UA), ao grupo de Hungaria (em 2.0 UA), ao grupo de Cybele (em 3.5 UA),
ao grupo Hilda (resson^an ia 3:2, em 4.0 UA), a Thule (resson^an ia 4:3, em 4.3 UA)
e aos asteroides Troianos (resson^an ia 1:1, em 5.2 UA). O maximo em 3.7 UA,
res-son^an ia 5:3, pare e n~ao onstituir um grupo onhe ido de asteroides. Osret^angulos
de or inza que s~ao apresentados na gura 4.5 orrespondem, em semi-eixo maior,
aos ret^angulos transparentes da gura 4.2.
Na gura 4.6 mostramos a distribui ~ao observada de objetos. Nesta gura
foram onsideradosapenasosasteroidesnumerados omexe entri idadesmenoresque
0.5ein lina ~oesinferioresa10 o
. Nesta guraas olunasdohistogramat^emlargurade
0.052 UA,oque orresponde alarguraadotadade adafaixa paraobten ~ao da gura
4.5. A es ala verti al foi limitada em 100 para melhor visualiza ~ao dos lo ais om
menornumerodeasteroides. Comparandoas guras4.5- e4.6podemos on luirque
queopar^ametrode popula ~olo al,P
PL
,pare e onstituir umaboaaproxima ~aopara
o estudo dadistribui ~aode pequenos objetos,uma vez que amaioriadas regi~oes que
apresentam altosvalores doP
PL
Figura 4.5: A regi~ao interna a Jupiter: (a) gra o do tempo de deple ~ao, (b) do
numero relativode objetos remane entes e( ) oproduto dos gra os (a)e (b). (b)
( )
4.1.2 Regi~ao entre Jupiter e Saturno
Na gura 4.7 apresentamos os resultados obtidos para a regi~ao entre Jupiter e
Sat-urno. Como podemos observar, t
m a x e N
nTotal
apresentam valores onsideraveis nas
proximidades de 5.2 UA, o que produz um P
PL
bem alto naregi~ao dos Troianos. O
maximoque o gra o do P
PL
apresenta emtorno de 9.6UA esta rela ionado om as
vizinhan as dos pontos L
4 e L
5
de Saturno. Osmaximos queoP
PL
apresenta em 7.2
atraves deuma integra ~aopara10 9
anos. Alinha horizontalmostrada na gura4.7-
orresponde aovalordo P
PL
da regi~aode Thule, na gura 4.5- . Comopodemos
ob-servar,opar^ametrode popula ~aolo alquearegi~aoentre JupitereSaturnoapresenta
e, ex eto nas proximidades de Jupiter, menor que o P
PL
de Thule. De fato, pou os
objetos s~ao onhe idos nesta regi~ao alemdos asteroides Troianos.
Figura 4.7: Os gra os: (a) do t
m a x
, (b) doN
nTotal
e ( ) do P
PL
para a regi~aoentre
Jupitere Saturno. (a)
(b)
( )
Utilizandoo metododes rito no aptulo 3identi amos, nos gra osdo P
PL ,
as prin ipais resson^an ias de movimento medio. Nas guras que seguem as olunas
retangulares indi am regi~oes de resson^an ia media om um determinado planeta. A
linha na ontnua indi a as resson^an ias om Jupiter e a linha mais larga ontnua
indi a as resson^an ias om Saturno. As resson^an ias om Urano e Netuno s~ao
indi- adas pelas linhas tra ejadas, na e larga, respe tivamente. O entro destas barras
orrespondeaovalormedioemsemi-eixomaior,<a>
ress
,dasresson^an iasanalisadas
e a largura das barrase 2
ress
, sendo
ress
o desvio padr~ao, em semi-eixo maior, de
ada resson^an ia. A altura das barras, dada por N
r
numero totalde ondi ~oes ini iaisem ada regi~ao. Desta formaasbarrasmais largas
indi amresson^an iasque obremummaiorintervalode semi-eixo,enquantoqueuma
barra mais alta aponta a regi~ao onde foi maior o numero de ondi ~oes ini iais que
apresentaram libra ~aodo^angulo rti o duranteo tempo de integra ~ao adotado.
Figura 4.8: A determina ~ao dos lo ais que apresentam resson^an ias de movimento
medio (barras verti ais) no estudo da distribui ~ao de objetos (gra o do P
PL ) na
regi~aoentre Jupitere Saturno.
Na gura4.8podemosobservarqueosmaximosnas proximidadesde7.2UAe
7.4UAn~ao orrespondemao entrodenenhumadasresson^an iasdemovimentomedio
analisadas. Entre estes maximos temos as resson^an ias 3:5 om Jupiter e 3:8 om
Saturno. Entre5.5 UA e7UAeentre 7.5UAe 9UAobservamos um grandenumero
de resson^an iasdemovimentomedio,oquepode tersidoresponsavelpelobaixovalor
doP
PL
paraestesintervalosdesemi-eixo. Naregi~aode Jupiter,emaproximadamente
5.2 UA,podemosobservarumaresson^an ia om Jupiter(1:1) asso iadaaosTroianos.
Nesta regi~ao observamos tambem resson^an ias om dois outros planetas, sendo elas
a 5:2 om Saturno e 7:1 om Netuno. O maximo em 9.4 UA orresponde ao entro
Osresultadosobtidosparaaregi~aoSaturno-Uranos~aomostradosna gura4.9. Como
podemos notar, os maximos que t
m ax
apresenta para 13 UA, 13.8 UA, 14.25 UA e
14.4 UA est~ao asso iados a baixos valores de N
nTotal
, o que reduz o P
PL
para estes
valores de semi-eixo maior. Podemos observar tambem que os maximos que o P
PL
apresenta nas proximidades de 12 UA, 12.5 UA, 13.5 UA e entre 14.7 UA e 16 UA
est~ao asso iados aos altos valores que N
nTotal
apresenta para estes valores de
semi-eixo. Os maximos que P
PL
apresenta nas proximidades de 9.6 UA e 19.3 UA est~ao
asso iados aos hipoteti os troianos de Saturno e Urano, respe tivamente. A linha
horizontal na gura 4.9- mostra o valor do P
PL
da regi~ao dos Troianos na gura
4.5- . Como podemos veri ar, em 12.5 UA e 13.5 UA o P
PL
e superior ao P
PL dos
Troianos. As vizinha as destesvaloresde semi-eixomaior s~ao, portanto,boas
andi-Figura 4.9: A regi~ao entre Saturno e Urano: (a) gra o dot
m a x , (b) do N nTotal e ( ) do P PL . (a) (b) ( )
datas a possurem on entra ~oes de pequenos orpos. O maximo em 12.5 UA e o
pi o em16UA tambemforamen ontrados porGrazieret al. 1999. Contudo nosn~ao
ri a em resson^an ias de movimento medio. Em 9.6 UA veri amos, novamente, as
resson^an ias 1:1 om Saturno e 2:5 om Jupiter. O maximo que o P
PL
apresenta
em 12.5 UA orresponde a resson^an ia 2:3 om Saturno e o maximo em 13.5 UA
orresponde ao entro da resson^an ia 3:5 om Saturno. Osmaximos doP
PL
em 14.8
UA e 15.3 UA n~ao orrespondem ao entro de nenhuma das resson^an ias analisadas.
Em 15.9 UA oP
PL
possiu um maximoque orresponde aresson^an ia 4:3 om Urano
e opequeno pi oem17 UA orresponde aresson^an ia 7:3 om Netuno. Em19.3 UA
temos a resson^an ia 1:1 om Urano. O maximo que o P
PL
apresenta em 18.9 UA
orrespondearesson^an ia 2:1 omNetuno eagap em 19.2 UA aresson^an ia 1:7 om
Jupiter.
Figura 4.10: A determina ~ao dos lo ais que apresentam resson^an ias de movimento
medio no estudoda distribui ~aode objetos naregi~aoentre Saturno eUrano.
4.1.4 Regi~ao entre Urano e Netuno
Na gura4.11apresentamos osgra ospara aregi~aoentre UranoeNetuno. Aes ala
m a x PL
esta asso iadoaos hipoteti ostroianos de Netuno. Como podemos observar,a gura
4.11- apresenta, em 19.6 UA, 21.9 UA, 22.5 UA, 24 UA e 26 UA, valores que n~ao
diferem muito do P
PL
de Thule. Portanto n~ao esperamos que sejam en ontrados
muitos objetos entre 19.5 UA e 29 UA. Holmam 1997 en ontrou on entra ~oes de
objetosestaveis para 4.5Gyr naregi~aoentre Urano eNetuno. O baixovalordo P
PL
que veri amos para esta regi~ao e, ontudo, onsistente om o fato de que apenas
quatro part ulas al an aram100 Myr notrabalhode Grazieret al. 1999.
Figura 4.11: Os resultados obtidos para a regi~ao entre Urano e Netuno: (a) para o
t m a x , (b) para oN nTotal e ( ) para o P PL . (a) (b) ( )
Comopodemosveri ar,omaximoem19.6UAnas guras4.11 e4.12ea
on-tinua ~aodas guras4.9e4.10, orrespondendoaresson^an ia1:1 omUrano. Podemos
observartambem, na gura4.12, que os pi os em21.9 UA e 22.5 UA n~ao
orrespon-dem ao entro de nenhuma resson^an ia e que entre eles temos tr^es resson^an ias: em
22 UA temos a 2:7 om Saturno e a 8:5 om Netuno e, um pou o a direita, em 22.3
UA, temos a4:5 om Urano. Omaximodo par^ametro de popula ~aolo alem24 UA
PL
proximoa 30UA orresponde aresson^an ia 1:1 om Netuno.
Figura 4.12: A determina ~ao dos lo ais que apresentam resson^an ias de movimento
medio no estudoda distribui ~aode objetos naregi~aoentre Urano e Netuno.
4.1.5 Regi~ao Transnetuno
Os resultados obtidos para a regi~ao Transnetuno s~ao mostrados na gura 4.13. Da
mesma forma que na gura 4.11-a, a es ala verti al da gura 4.13-a esta logaritmi a
para melhor visualiza ~ao dos valores pequenos de t
m a x
. Como podemos observar,
o gra o do P
PL
da regi~ao transnetuniana e mar ada pela presen a de inumeros
maximos, sendo alguns superiores ao P
PL
dos Troianos. Os pi os nas proximidades
de 43.7 UA e 47.7 UA orrespondem, respe tivamente, as resson^an ias 4:7 e 1:2,
ambas om Netuno, onde s~ao observados aglomerados de objetos. O gra o do P
PL
apresenta um pi o em 39.6 UA, o qual esta asso iado a resson^an ia 2:3 om Netuno,
onde tambem e observada uma popula ~ao de objetos (lembramos, entretanto, que
estes resultados foramobtidosdomodelo planar. Como seramostrado nase ~ao4.2.5
este maximoebem mais a entuado no modelo 3-D).Algumas das faixas situadasno
Figura4.13: Aregi~aotransnetuniana: (a)gra odot m ax ,(b)doN nTotal e( )doP PL . (b) ( ) de orrela ~ao R 2
n~ao muito satisfatorios. Portantoos gra os de t
m a x , N
nTotal e P
PL
podem, para alguns valores de semi-eixo deste intervalo,n~aoserem muito on aveis.
Na gura 4.14 podemos observar que omaximoem30.8 UA n~ao orresponde
Figura 4.14: A ara teriza ~aode resson^a ias de movimentomedio na distribui ~ao de
pequenos objetos daregi~aoTransnetuno.
ao entrode nenhumaresson^an iade movimentomedio. Omaximoem35UA
tivamente, asresson^an ias2:3, 5:8e3:5, todas omNetuno. Osmaximosem43.7UA
e em47.7 UA orrespondemas resson^an ias 4:7e 1:2, ambas omNetuno. A gap em
40 UA orresponde a resson^an ia 1:3 om Urano.
4.2 O Modelo 3-D
4.2.1 Regi~ao Sol-Jupiter
Na gura4.15 mostramososresultados obtidosnoestudodomodelon~aoplanarpara
a regi~ao Sol-Jupiter. Como podemos notar, a regi~ao onde o ajuste n~ao e on avel,
mar ada pela faixa inza, aumentou om rela ~ao ao modelo planar. Os pi os que o
P
PL
apresenta nas proximidades de 4 UA e 4.3 UA orrespondem, respe tivamente,
ao grupo de Hilda, resson^an ia 3:2, e Thule, resson^an ia 4:3. Podemos observar
tambemaltosvaloresdoP
PL
para aregi~aodos Troianos,resson^an ia1:1, em5.2UA.
Comparando as guras4.5- e4.15- notamosqueo maximoem3.7UA, resson^an ia
5:3, desapare e para o modelo n~ao planar. O alto valor que o P
PL
apresenta nas
proximidades de 0.52 UA n~ao orresponde a nenhum grupo de asteroides onhe ido.
Entretantolembramosaqui quenomodelo adotadon~ao foiin ludoMer urio. Assim
n~aosabemos oefeitodesteplanetanoP
PL
paraa regi~aosituadanas proximidades de
0.52 UA.
4.2.2 Regi~ao entre Jupiter e Saturno
Na gura 4.16 e mostrado o resultado obtido para a regi~ao entre Jupiter e Saturno.
Comparando as guras 4.7 e 4.16 podemos observar que, para esta regi~ao, o modelo
planar e o modelo tridimensional n~ao apresentam signi ativas diferen as. A linha
horizontalmostraoP
PL
daregi~aode Thuleobtidonomodelon~aoplanar(em 4.3UA
na gura4.15- ). Oaltovalorqueo P
PL
as-(b)
( )
Figura 4.15: A regi~ao interna a Jupiter: (a) gra o do tempo maximo de deple ~ao
de objetos, (b) do numero relativo de objetos remane entes e ( ) o par^ametro de
popula ~aolo al.
teroidesTroianos,eopi oem9.65UAestarela ionadoaospontosL
4 eL
5
deSaturno.
Como podemosobservar,os pi osque oP
PL
apresenta em 7.2 UA e7.4 UA possuem
valores quen~aodiferem muito doP
PL
de Thule.
Na gura 4.17 podemos observar que o maximo do P
PL
nas proximidades de
Saturno, em 9.65UA, esta asso iadoaduasresson^an ias. S~aoelasa1:1 om Saturno
e 2:5 om Jupiter. Da mesma forma que no modelo planar, os pequenos pi os em
7.2 UA e7.4 UA n~ao orrespondemao entro de nenhuma resson^an ia de movimento
medio. Proximo a Jupiter, em 5.2 UA, temos as resson^an ias 1:1 om Jupiter, 5:2
Figura 4.16: Regi~ao entre Jupiter e Saturno: (a) gra o do tempo de deple ~ao, (b)
do numerorelativo de objetosremane entes e ( ) o produtodos gra os (a) e(b). (b)
( )
Troianos. Como podemos observar a maior parte desta regi~ao e oberta por
res-son^an iasdemovimentomedio. Possivelmenteestaeraz~aopelaqualoP
PL
apresenta,
para esta regi~ao,baixos valores.
Figura 4.17: A determina ~ao de resson^a ias de movimento medio no gra o do P
PL
Os resultados obtidos no estudo da regi~ao entre Saturno e Urano s~ao mostrados na
gura 4.18. Comparandoas guras 4.9e4.18notamosque,nesta regi~ao,ain lina ~ao
produziu uma grande diferen a na distribui ~ao dos pequenos orpos. Podemos
ob-servar na gura 4.18- que o par^ametro de popula ~ao lo al apresenta, em 13.9 UA,
um maximorelativamentemais altoque o P
PL
dos Troianos. Notamos tambemque
os maximos do par^ametro de popula ~ao lo al em11.6 UA, 12.8 UA, 13.1 UA e 13.6
UA apresentam valores proximos ao P
PL
dos Troianos. Portanto, diferentemente da
regi~aoentre JupitereSaturno, aregi~aoentre Saturno eUrano ofere e ondi ~oes mais
favoraveisaexist^en ia deregi~oes om on entra ~oes de pequenos orpos. Oret^angulo
inza entre 19.1 UAe 19.3UA esta obrindo umaregi~aoondeonumerode en ontros
proximos foi, dentro doprazo de integra ~ao, pequeno, o quen~ao nos permitiu
deter-minar, omseguran a, ospar^ametrosdaleide pot^en ia. Omaximoqueen ontramos
Figura 4.18: Regi~ao entre Saturno e Urano: (a) gra o do t
m a x
, (b) do N
nTotal e ( )
do par^ametro de popula ~ao lo al, P
PL . (a)
(b)
Grazier et al. 1999 en ontram dois outros pi os, em 12.5 UA e 16 UA, que nos n~ao
obtemos.
Analisando a gura 4.19 veri amos que o maximo do P
PL
em 9.65 UA
or-responde a duas resson^an ias de movimento medio, sendo elas a 2:5 om Jupiter e
1:1 om Saturno. Os maximos que o P
PL
apresenta em11.6 UA e 12.8 UA n~ao
or-respondem ao entro de nenhuma das resson^an ias de movimento medio analisadas.
O maximo em 13.1 UA orresponde ao entro da resson^an ia 1:4 om Jupiter. O
maximo em 13.6 UA orresponde a resson^an ia 5:3 om Urano e o maximo em 13.9
UA n~ao orrespondeao entrodenenhumaresson^an ia. Agapem13UA orresponde
Figura 4.19: A ara teriza ~ao dos lo ais que apresentam resson^an ias de movimento
medio nogra o do P
PL
obtido no estudoda distribui ~aode objetos na regi~aoentre
Saturno e Urano.
a resson^an ia 9:5 om Urano e a gap em 14.15 UA as resson^an ias 2:9 om Jupiter
e 5:9 om Saturno. O maximo que o P
PL
apresenta em 14.3 UA n~ao orresponde
ao entro de nenhuma resson^an ia de movimento medio estudada. Como podemos
observar,ogra odoP
PL
apresenta,nointervalodesemi-eixoentre 14.5UAe18UA,
valores baixos, o que pode ser uma onsequ^en ia do grande numero de resson^an ias
4.2.4 Regi~ao entre Urano e Netuno
Na gura4.20mostramososgra osdot
m a x ,N
nTotal eP
PL
paraaregi~aoentreUranoe
Netuno. ComopodemosnotarosmaximosqueN
nTotal
apresentanasproximidadesde
22.9UA,24.9UA,25.15UA,25.4UAe29.4UAest~aotodosasso iados,nestesmesmos
valores de semi-eixo, a mnimos no gra o do t
m a x
. As faixas inza que apare em
em torno de 19.5 UA e 30 UA est~ao, da mesma forma que nos asos anteriores,
obrindo faixasondeonumerodeen ontrosproximosfoipequenodentrodotempode
integra ~aoe,portanto,n~aonos permitiuobterum bomajustepara aleide pot^en ia.
Como podemos observar, o gra o do par^ametro de popula ~ao lo al apresenta, em
22.9 UA, 24.9 UA, 25.15 UA, 25.4 UA e 29.4, valores quen~ao diferemmuito doP
PL
Figura 4.20: Osresultados obtidos para aregi~aoentre Urano e Netuno. (a)ogra o
do t m a x , (b) doN nTotal e ( ) do P PL . (a) (b) ( )
dos Troianos. O maximoque obtemosem 25.4 UA on rma o resultado de Holmam
1997 no qual objetos nas vizinhan as de 25.6 UA permane eram na integra ~ao por
proximidadesde 24.6 UAs~ao apazes de permane ernaintegra ~aopor4.5Gyr.
Gra-zier et al. 1999observaramqueosobjetosnas vizinhan as de24.5 UAs~aoeliminados
da integra ~ao antes de 100 Myr. Como podemos observar, o P
PL
que obtemos para
este intervalo de semi-eixo foi baixo. Grazier et al. 1999 veri aram que, na regi~ao
entre Urano e Netuno, apenas quatro de 10000 ondi ~oes ini iais permane eram por
100 Myr. De fato, a maior parte desta regi~ao e ara terizada por baixos valores de
P
PL .
Figura 4.21: A determina ~ao dos lo ais que apresentam resson^an ias de movimento
medio no estudoda distribui ~aode objetos naregi~aoentre Urano e Netuno.
Podemos observar, nas guras 4.20 e 4.21, que a faixa inza entre 19.3 UA e
19.6 UA e a ontinua ~ao da faixa inza das guras 4.18 e 4.19, orrespondendo as
resson^an ias 1:7 om Jupiter, 1:1 om Urano e 2:1 om Netuno. O maximo que o
P
PL
apresenta em 22.9 UA n~ao orresponde ao entro de nenhuma das resson^an ias
de movimentomedioestudadas eesta situadaentre asresson^an ias 7:9 om Urano (a
esquerda) e3:2 omNetuno (adireita). OmaximoqueoP
PL
apresentaem29.4 UA,
omo podemosveri ar,tambemn~ao orrespondeao entrode nenhumaresson^an ia.
