Teodria da Simetria

MANUEL MONTEIRO RIBEIRO

TEORIA DA SIMETRIA

«Trabalho científico apresentado no ISE para a obtenção do grau de Licenciatura em ensino da Matemática»

Orientadora: Professora Doutora NATALIA V. K. DIAS FURTADO Trabalho Científico O júri _______________________________

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ISE Praia,...de...de 2008

AGRADECIMENTOS

Cordialmente, os meus profundos e sinceros agradecimentos, a minha imensa gratidão e reconhecimento:

 À Professora Doutora NATÁLIA V. K. DIAS FURTADO que, de forma sábia, se disponibilizou em me orientar no trabalho, para que este se concretizasse;

 Aos professores e colegas do ISE, pelo apoio prestado ao longo do curso;

 Finalmente, o meu reconhecimento e gratidão aos meus familiares mais próximos, pelo apoio e carinho dados em momentos difíceis na elaboração deste trabalho.

“A Beleza está estreitamente relacionada com a simetria.”

H. Weyl

“Tu, no teu lago, te contemplas a ti mesmo.”

J. M. Legaré

“Os desenhos do matemático, como os do pintor ou o poeta, têm de ser belos: as ideias, como as cores ou as palavras devem relacionar-se de maneira harmoniosa.”

Dedicatória

Dedico este trabalho à minha família pelo seu apoio incondicional e em especial ao meu filho Mauro.

ÍNDICE

I – INTRODUÇÃO………..7

1.1 OBJECTIVO DO TRABALHO………...7

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO………..8

II – TEORIA DA SIMETRIA ………...………10

2.1 SOBRE O CONCEITO DE GEOMETRIA………10

2.2 TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS... 12

2.3 ISOMETRIAS OU MOVIMENTOS RÍGIDOS ... 17

2.4 GRUPO DE SIMETRIA DE UMA FIGURA PLANA ... 21

2.5 GRUPOS PONTUAIS DE SIMETRIA OU DE LEONARDO ... 25

Teorema de Leonardo ... 26

2.6 GRUPOS DE SIMETRIA DOS FRISOS ... 28

2.7 CLASSIFICAÇÃO PARA OS GRUPOS DE FRISOS ... 36

Algoritmo de “Rose e Stafford” de classificação de frisos ... 36

Fluxograma para classificação de frisos de Wasburn e Crowe ... 37

Chave para a classificação dos grupos de frisos ... 39

2.8 GRUPO DE SIMETRIA DO PLANO ... 40

Algoritmo de identificação dos 17 grupos de simetria do plano ... 47

2.9 TEORIA DE MOSAICOS ... 48

III – CONCLUSÃO………53

IV – BIBLIOGRAFIA ………...56

V – ANEXOS...……….58

A.1 GRUPO DE LEONARDO E DESENHO ... 58

A.2 OS FRISOS E A ARQUITECTURA ... 59

I – INTRODUÇÃO

A teoria da simetria constitui hoje um belo exemplo de teoria inter-disciplinar, na qual problemas de diversos campos científicos, artísticos e técnicos são abordados com a metodologia comum da simetria.

A nível linguístico, como assinala H. Weyl, hoje em dia existem dois significados distintos da palavra simetria: por uma parte a aceitação «simetria» equivalente a «concordância, equilíbrio, boa proporção» utilizada principalmente em Arquitectura e por outra a conotação geométrica da palavra. A este último significado se destina o presente trabalho. Neste sentido se entenderá que a teoria da simetria é uma parte da geometria que operando sobre o espaço euclidiano engloba como transformações todas as isometrias, sendo seu interesse específico o estudo dos grupos de isometrias que deixam invariantes as figuras. Em tal teoria se enquadram os grupos de simetria pontuais, os grupos de frisos, os grupos de simetria do plano, a teoria de mosaicos,... etc. conceitos que se desenvolvem com especial detalhe ao longo deste trabalho.

1.1. OBJECTIVO DO TRABALHO

No âmbito da elaboração do presente trabalho para o fim do curso de Complemento de Licenciatura – Monografia – retratamos e desenvolvemos o tema “Teoria da Simetria” pois, à Geometria deve ser atribuído um papel de relevo por se considerar o ramo singular da Matemática para a consecução do desenvolvimento da capacidade de interpretar e intervir no mundo que nos rodeia, de estruturar o raciocínio lógico, de analisar e sintetizar, de comunicar pela imagem, mas também por contribuir para uma formação indispensável a muitas

profissões e, em súmula, a Geometria é geradora de problemas de grande riqueza e facilitadora da compreensão do Universo e é um campo tremendamente dinâmico e em constante evolução.

Notemos que a presente monografia é ampliação e aprofundamento da matéria estudada nas disciplinas “Álgebra Linear e Geometria Analítica”, “Álgebra Superior” e “Geometria II” do Curso de Bacharelato e de Complemento de Licenciatura em Ensino da Matemática. Por isso, a parte, ligada com as estruturas algébricas, as transformações ortogonais e com isometrias, que foram detalhadamente consideradas, nas disciplinas indicadas, não entram de maneira aprofundada no corpo do trabalho, mas fazem-se algumas observações e lembranças. Pressupõe-se que o leitor ou utilizador desse material tem os pré-requisitos necessários para acompanhar o texto.

O objectivo da monografia será a de:

1 – recolher e sistematizar material, através do qual os professores e alunos podem aprofundar os seus conhecimentos adquiridos;

2 – mostrar a beleza da simetria e suas diversas aplicações na vida real.

1.2. ESTRUTURA DO TRABALHO

Dada a complexidade do tema e a interligação entre a simetria, os frisos e a arquitectura assim como a teoria de mosaicos, estruturamos o trabalho da seguinte forma:

I – Introdução.

II – Teoria da simetria.

2.1 – Sobre o conceito de geometria. 2.2 – Transformações ortogonais. 2.3 – Isometria ou movimentos rígidos. 2.4 – Grupos de simetria de uma figura plana. 2.5 – Grupos pontuais de simetria ou de Leonardo. 2.6 – Grupos de simetria dos frisos.

2.7 – Classificação para os grupos de frisos. 2.8 – Grupo de simetria do plano.

III – Conclusão. IV – Bibliografia. V – Anexos.

Através desta monografia pode-se compartilhar nossa fascinação pelo tema da simetria e pode encontrar por si mesmo um amplo campo de criação própria.

II – TEORIA DA SIMETRIA

2.1.- SOBRE O CONCEITO DE GEOMETRIA

A geometria sempre parte da observação da realidade. Diferentes realidades motivam diferentes modelações geométricas e diferentes linguagens matemáticas, provocando enfoques metodologicamente diferentes da geometria, que é um campo dinâmico e evolutivo, sempre interligado com o mundo real. Por isso, na pergunta “O que é a geometria” são dadas diferentes respostas ao longo da história.

Em 1872 o matemático alemão Félix Klein publicou seu famoso trabalho Vergleichende Betrachtungen Uber neuere geometrische Forschungen, conhecido posteriormente como o Programa de Erlanger, onde se justifica a definição moderna e unificadora da Geometria.

Para Klein, numa geometria existem duas bases fundamentais: um espaço E e um grupo

 

E

G de transformações desse espaço. O espaço E pode ser um conjunto finito de elementos, a recta r, o espaço R3, …, qualquer conjunto não vazio. O grupo de transformações G

 

E

(contínuo) com identidade, contido no grupo de todas as possíveis bijecções de E em E. A partir desse par



E,G

 

E



se pode classificar as figuras, os subconjuntos não vazios de E, de acordo com as transformações de G

 

E , seguindo o seguinte critério: as figuras F e F' de E são equivalentes, e escreve-se F~F', se e só se uma transformação T de G

 

E transforma F

em F',i. é, T

 

F F'. Notemos as seguintes propriedades dessa relação:

a) F ~F (propriedade reflexiva de ~ ou reflexividade);

b) se F~ F',então F'~F (propriedade simétrica de ~ ou simetria); c) se F~F' e F'~F'',então F~F'' (propriedade transitiva de ~ ou transitividade).

Ser ~ uma relação de equivalência, facilita classificação das figuras do espaço: em cada “classe” de figuras aparecem umas figuras dadas e todas as figuras obtidas a partir dessas mediante as transformações consideradas, naturalmente, sobre um mesmo espaço podem se considerar diferentes grupos de transformações, dando lugar com isso a generalização de diferentes geometrias: existem tantas geometrias quantos possíveis subgrupos do grupo de bijecções do espaço em si mesmo.

Qual é a distinção essencial entre uma geometria e outra?1

Conforme o Klein “o que caracteriza cada geometria são as propriedades das figuras que são preservadas/ou, como também se diz, permanecem invariantes” para certo grupo de transformações, quer dizer, permanecem verdadeiros após a figura ser transformada por uma qualquer transformação do grupo.

Quanto mais “rica” é uma geometria, mais pequeno é o grupo de transformações característico dessa geometria, e vice-versa. Grupos de transformações já vinham sendo considerados em geometria, mas a novidade do programa de Klein foi transformá-los no principal objecto de estudo, permitindo não só classificar as geometrias como traduzir problemas geométricos (nomeadamente, em geometria projectiva) em linguagem algébrica e resolvê-los por métodos algébricos da teoria dos invariantes, Klein também mostrou, que existe uma relação entre o grupo das rotações do dodecaedro (um dos 5 sólidos platónicos, poliedro regular com 12 faces pentagonais) e as raízes da equação algébrica geral do quinto grau, a qual explica a razão pela qual dita equação pode ser resolvida por meio de funções elípticas (mas não por radicais, como mostrou Abel).

As classificações das geometrias segundo Klein procedem da mais geral, a projectiva, com maior grupo de transformações, para a mais especial ou particular, a euclidiana, que tem o mais pequeno grupo de transformações. Pelo meio ficam, em generalidade decrescente, a geometria afim, a hiperbólica, a elíptica e a parabólica.

As transformações que caracterizam a geometria euclidiana são as isometrias ou movimentos rígidos, i. é, as colineações  que preservam as distâncias para quaisquer pontos

P e Q , d



P,Q

 

d P,Q



.2

1

C. Alsira – E. Trillas, Lecciones de Álgebra Y Geometria, Editorial Gustavo Gili, S. A., Barcelona, 1984 (pp. 12 - 14)

***Desde a óptica de Klein, se tem o seguinte esquema que corresponde às diferentes geometrias:

Geometrias clássicas em R3

Geometria Transformações Invariantes

Uniforme Semelhanças Ângulos, paralelismo, razões

Euclidiana Isometrias Distâncias, ângulos,

paralelismo, razões

Afim Afinidades Paralelismo, razões

Projectiva Projectividades Razões

Assim, na geometria euclidiana, as transformações consideradas são as isometrias ou movimentos rígidos (automorfismos), as translações, as rotações, as reflexões (inflexões axiais) e reflexões deslizantes.

Intuitivamente, podemos dizer que uma isometria preserva ou conserva a “forma” e a “grandeza” das figuras: se  é uma isometria e 

 

F F' então as figuras F e F' têm a mesma “forma” e “grandeza”.

Para qualquer figura FR2 e isometria , também dizemos que  é uma simetria de F sse 

 

F F. É fácil mostrar que o conjunto

  

F Iso

Sim   ( R2):

  

F F

é um subgrupo de Iso(R2), chamado o grupo simétrico ou grupo de simetria de F, e também designado, por vezes, S

 

F .

Na geometria equiforme consideram-se as semelhanças, i. é, as composições de homotetias com isometrias.

2.2 TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS

No espaço euclidiano (Rn, ·) interessa muito especialmente estudar todas as possíveis transformações que conservam o produto escalar. Para ele se estabelece a seguinte definição:

Definição 2.2.1. – Um endomorfismo T: Rn  Rn se diz ortogonal se conserva os produtos escalares, isto é, se T

   

x T y xy, para todo par x,y de Rn.

Podemos recopiar no seguinte teorema as propriedades básicas de ditas transformações. Teorema 2.2.1. – Seja T uma aplicação linear e ortogonal de Rn. Então:

i) T conserva as normas, as distâncias e os ângulos.

ii) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais.

iii) Se T admite um valor próprio , necessariamente é 1.ou 1.

Demonstração:

Por conservar T os produtos escalares resulta T

 

x  T

   

x T x  xx  x , isto é, T respeita as normas e, sendo linear verifica T

   

x T y  T



xy



 xy , as distâncias se conservam. Relativamente aos ângulos cabe notar que

   

_{ }

   

_{ }

cos ; y x y x y T x T y T x T cos _{T x} _{T y}   _x _y          _  _   

de onde se segue i). Por conservar T as normas e os ângulos (e em particular a ortogonalidade) resulta ii). Por último para iii), se T

 

v v,para certo , necessariamente

 

v v

T v

v      

 e portanto  1 e 1.

Do ponto de vista destes resultados podemos caracterizar matricialmente ditas transformações:

Teorema 2.2.2. – As matrizes das transformações ortogonais se denominam ortogonais e se caracterizam pelo facto de que sua matriz inversa coincide com sua transposta. Em particular, seu determinante vale +1 ou -1.

Demonstração: - Seja

 

T a matriz da transformação ortogonal T. Então

   

x T y



 

T x





 

T y



x



   

T T



y, T

y

x         t t  

para todo x,y, onde

   

T t  T I_n e portanto

   

T t T 1. Reciprocamente, se

   

T t T 1

resulta T

   

x T y xt



   

T t  T



yxy e T é ortogonal. Como, além disso, se

   

T t T 1 é

 

T det

 

T det

 

T /det

 

T

det  t  11 será



det

 

T



2 1 e det

 

T 1. Portanto, os endomorfismos ortogonais são bijectivos.

Quando det

 

T 1 se diz que se conserva a orientação da figura e quando detA1 se diz que se muda de orientação.

O conjunto GO( Rn) =



T T: Rn  Rn linear e ortogonal



é um grupo relativamente à composição que se chama ortogonal de Rn e, pelo teorema anterior, se identifica com o grupo das matrizes nn ortogonais.

Vamos dar agora explicitamente as classificações de todas as transformações ortogonais de R2 e R3, i. é, os componentes de GO( R2) e GO( R3).

a) Transformações ortogonais em R2.

Seja T: R2  R2 linear e ortogonal. Se sua matriz é

 

_

      d c b a

T ao ter que se verificar

   

_T t _{ T} 1_resulta

 

               a c b d T det d b c a 1 , ou equivalente

_{ }

T det d a e

_{ }

T det b c  .

Distinguiremos os dois possíveis casos de det

 

T 1. Se det

 

T 1 será ad,cb;

de donde

 

_        a b b a

T e a2b21. Existirá então um ângulo  tal que acos e bsen e, portanto

 

T se poderá escrever como

 

. cos sen sen cos T _           

Ditas transformações é um giro ou rotação de centro na origem

 

0,0 e ângulo  (fig. 2.2.1.). Se 180º se fala também de simetria central.

Fig. 2.2.1.

No outro caso, se det

 

T 1 será ad,cb; e

 

_

       a b b a T com a2b21, portanto existirá também  com acos e bsen e

 

_            cos sen sen cos T

Dita matriz representa uma simetria axial com eixo, a recta ytg

 

x, 2

 _{recta que passa}

por

 

0,0 e forma um ângulo

2

Fig. 2.2.2.

No que se segue anotaremos por G_o _{o giro de centro o} _{e ângulo}  _{e por} 2 

S a simetria axial relativamente à recta ytg

 

x.

2

 _{Como elementos fixos, os giros só têm a}

origem e as simetrias axiais, os eixos de simetria. Em particular, se v₁o é um vector unitário num eixo de simetria e se elege um v₂ unitário e ortogonal a v₁, resultará que relativamente a esta base ortonormal privilegiada v₁,v₂ a matriz da simetria axial é _

     1 0 0 1 . b) Transformações ortogonais em R3.

Seja T: R3  R3 linear e ortogonal. Vamos classificar T de acordo com a dimensão do subespaço de seus vectores fixos

Ker



TI₃

 

 x R3 T

  

x x .

Por ser Ker



TI₃



R3, existirão quatro possíveis valores para sua dimensão: b1) Se dim Ker



TI3



3, todos os pontos de R

3

são fixos e é TI₃, a identidade. b2) Se dim Ker



TI3



2, existe um plano  de vectores fixos. Sejam v1,v2

 

uma base ortonormal de . Em particular T

 

v₁ v₁ e T

 

v₂ v₂. Escolhendo (fig. 2.2.3) v₃ unitário e ortogonal a  obteremos uma base ortonormal de R3: v₁,v₂,v₃. Como T

 

v₁ v₁,

 

v₂ v₂

T   e T

 

v₃ é outra base ortonormal, necessariamente é T

 

v₃ v₃, mas então 1. Se fosse 1 seria T

 

v₃ v₃ e v₃ estaria em , o qual é absurdo por construção.

Portanto é 1, com o que T

 

v₃ v₃ e em dita base ortonormal especial a matriz de

T é             1 0 0 0 1 0 0 0 1 T ,

tratando-se de uma simetria especular relativamente ao plano  . Como a priori det

 

T 1,

Fig. 2.2.3.

b3) Se dim Ker



TI3



1, existe uma recta r de vectores fixos. Seja v1



um vector unitário em r



T

 

v₁ v₁



e sejam v₂,v₃ uma base ortonormal do plano  perpendicular a r que

passa pela origem



 v₂,v₃v₁



(fig. 2.2.4.).

Fig. 2.2.4.

Por ser v₁,v₂,v₃ uma base ortonormal de R3, será T

 

v₁ v₁, T

   

v₂ ,T v₃ uma base ortonormal e, portanto, T

   

v₂ ,T v₃ v₁ Então a restrição de T a  actua como uma

aplicação linear T _:  que é ortogonal e não possui nenhum vector fixo em  , salvo a

origem. Logo dita restrição é necessariamente um giro em  de centro o e certo ângulo . Por isso é

T

  

v₂  0, cos, sen



, T

  

v₃  0, sen, cos



,

e a matriz de T será (na base especial v₁,v₂,v₃):

 

, cos sen sen cos T                 0 0 0 0 1

tratando-se de uma rotação em torno do eixo rv₁ que conserva a orientação



det

 

T 1



.

b4) Se dim Ker



TI3



0, somente a origem fica fixo por T. Por isso T não pode

ter um valor próprio +1; mas ao ser a equação característica det



TI₃



0 do terceiro grau, admitirá uma solução real que necessariamente deverá ser -1. Seja v₁ unitário e tal que

 

v v .

T ₁ ₁ No plano v₁ escolha-se uma base ortonormal v₂,v₃. Então, por ser (fig. 2.2.5.) v₁,v₂,v₃ uma base ortonormal de R3, e T

 

v₁ v₁, resulta como antes

   

_{ }

1 3 2 , T v v v

T    e a restrição de T ao plano 



v₁,v₂



será T_ :,linear e ortogonal sem nenhum ponto fixo salvo a origem, tratando-se pois T _ de um giro:

  

v cos , sen



, T

  

v sen , cos



.

T_ ₂    _ ₃    

Nesta especial basev₁,v₂,v₃ a matriz de T é

e se trata de uma simetria rotacional ou rotação imprópria que muda a orientação



det

 

T 1



.

Fig. 2.2.4.

Com o anterior esgotamos todas as possibilidades de análises e portanto a classificação está completa, isto é:

Teoremas de classificação 2.2.3. – As únicas transformações ortogonais em R2 são os giros em torno da origem e as simetrias axiais com eixos que passam pela origem. As únicas transformações ortogonais em R3 são as rotações em torno de um eixo pela origem, a simetria especular relativamente a um plano que contem a origem e a simetria rotacional.

2.3.- ISOMETRIAS OU MOVIMENTOS RÍGIDOS

Um movimento rígido ou isometria é uma aplicação F: Rn  Rn que conserva as distâncias, isto é, F

   

x F y  xy , para todo par de pontos x,y de Rn.

Exemplos de isometrias são:

a) As transformações ortogonais, como endomorfismos T de Rn que conservam o produto escalar



T

   

x T y xy



são isometrias ao verificar-se:

   

x T y T



x y



T



x y

 

T x y

 

x y

 

x y



x y ;

T               

b) As translações T_a: Rn  Rn tais que T_a

 

x xa, até mesmo não sendo lineares se a0,conservam as distancias, pois:

 

x T

  

y x a

 

y a



x y T_a   _a        .

 

                 cos sen sen cos T 0 0 0 0 1

Notando que se F e G são isometrias sua composição F G também o é:



FG

  

x  FG

 

y  F



G

 

x



F



G

 

y



 G

   

x G y xy ,

resulta um terceiro exemplo:

c) As composições de translações e transformações ortogonais são isometrias.

Podemos agora estabelecer o teorema fundamental de representação das isometrias, segundo o qual toda isometria é do tipo c) descrito anteriormente.

Teorema 2.3.1. – Toda isometria F é uma transformação ortogonal, ou bem uma translação composta com uma transformação ortogonal.

Demonstração – Seja F: Rn  Rn isometria. Vamos distinguir dois casos: Caso 1. – Seja F

 

0 0. Neste caso para todo z R n se cumpre:

   

z F z F

 

z F

 

z F

 

z z z z.

F      2    0 2  0 2   2

Como F

   

x F y 2  xy 2 resulta F

       

x F x F y F y 2F

   

x F y xxyy2xy, e utilizando a propriedade primeiramente verificada

    

F x F x xx, F

   

y F y yy



se segue F

   

x F y xy. Assim pois, F conserva os produtos escalares. Falta verificar que F é linear para poder concluir que, neste caso de F

 

0 0, F é uma transformação ortogonal. Para isto notemos que se e₁,...,e_n é base ortonormal de Rn, ao conservar F os produtos escalares, necessariamente F

 

e₁ ,...,F

 

e_n é uma base ortonormal de Rn. Consideremos agora x,y Rn

e R. para cada i1,2,...,n se satisfaz:

  



  

 



  

    

   



x y



e x e y , e y F e F x F e F y x F e F y F x F y x F e F i i i i i i i 0                                             

portanto, ao ser o vector F



xy

  

F x F

 

y ortogonal a todos os elementos

 

e ,...,F

 

en

F ₁  da base ortonormal, necessariamente dito vector é nulo; i. é,



x y

  

F x F

 

y ,

F      0

e F é linear, como se queria demonstrar.

Caso 2. – Seja F

 

0 0. Considera-se então a aplicação F~ : Rn  Rn, dada por

 

x F

 

x F

 

0

F~   . Evidentemente F~

     

0 F0 F0 0 e sendo F isometria F~ também o é, pois

   

x F~ y F

 

x F

 

F



y F

 



F

   

x F y x y F~       0   0       .

Portanto, F~ é uma isometria que deixa fixo a origem e pelo caso 1, F~ é uma transformação ortogonal. Como F

 

x F~

 

x F

 

0 , poderá escrever-se F T_F

 

 F~

0

 e resulta que F é a composição da transformação ortogonal F com a translação do vector F

 

0 . (Teorema está demonstrado).

Como as isometrias são bijectivas e são afinidades, é fácil ver que o conjunto de todas isometrias

GM( Rn)



T T : Rn Rn isometria



forma um grupo relativamente à composição que é um subgrupo do grupo afim GA( Rn) e que contem por sua vez como subgrupo o grupo ortogonal GO( Rn):

GO( Rn)  GM( Rn)  GA ( Rn).    Grupo ortogonal Grupo métrico Grupo afim

(conserva o produto escalar, (conserva distâncias, (conserva paralelismo) i. é, ângulos, rotações) translações, rotações)

Ao grupo métrico GM( Rn) se lhe denomina também geometria métrica.

A nível de descrição matricial da isometria F T_F

 

₀ F~, sendo

 

F~ A~

 

a_ij uma matriz ortogonal e F

 

0 



a₁,...,a_n



o vector translação, pode escrever-se a transformação F na seguinte forma:                                                                                                                        1 1 0 0 1 2 1 1 1 1 12 2 1 n n nn n n n x x x a a a a a a ' x ' x ' x

donde implicitamente se assume o convénio de identificar os vectores de Rn:



x₁,x₂,...,x_n



com os de Rn+1:



x₁,x₂,...,x_n,1



de última coordenada 1. O seguinte esquema resume as isometrias de R2 e R3 (fig. 2.3.1.).

ISOMETRIAS TRANSLAÇÃO           1 0 0 1 0 0 1 b a +1 R2 TRANSLAÇÃO E GIRO            1 0 0 b cos sen a sen cos     +1 TRANSLAÇÃO E SIMETRIA AXIAL           1 0 0 1 0 0 1 b a -1 TRANSLAÇÃO             1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 c b a +1 TRANSLAÇÃO E SIMETRIA ESPECULAR _            1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 c b a -1 R3 _{TRANSLAÇÃO E} ROTAÇÃO AXIAL              1 0 0 0 0 0 0 0 1 c cos sen b sen cos a     +1 TRANSLAÇÃO E SIMETRIA ROTACIONAL _             1 0 0 0 0 0 0 0 1 c cos sen b sen cos a     -1 Fig. 2.3.1.

A tabela anterior permite que se sinta a importância que tem a posição relativa da translação da isometria com os elementos fixos da transformação ortogonal associada. No caso particular de que exista paralelismo foram introduzidos denominações especiais. Tal é o caso do movimento helicoidal (rotação axial com translação paralela ao eixo) ou simetria com deslizamento (simetria axial do plano com translação paralela ao eixo).

2.4. GRUPO DE SIMETRIA DE UMA FIGURA PLANA

No que se segue se entenderá por figura plana F qualquer subconjunto de R2. Estudar «estaticamente» F consiste em analisar as propriedades métricas ou euclidianas de F (seus

ângulos, suas convexidades, e concavidades,... etc.). Mas por ser o grupo euclidiano ou métrico GM (R2) simples (toda isometria é uma translação composta com uma rotação ou uma simetria axial), também cabe analisar F «dinamicamente», isto é, estudar sob que

movimentos rígidos permanecem F invariante. Para isso, dada a figura plana F, considere-se

, F

S o conjunto de todas as isometrias que transformam a figura em si mesma, isto é,

T GM

S_F  (R2) T  F F.

Ao considerar a composição de isometrias (que são bijectivas) se verifica trivialmente: a) Se T, _T' F S  então _TT'_SF, b) Se ' _F S T então T'1S_F, c) I₂S_F,

propriedades que asseguram uma estrutura de grupo a S_F. Por isso a S_F se lhe denomina o

grupo de simetria da figura F. Tal grupo é, evidentemente, um subgrupo do grupo GM (R2). Vamos determinar S_F para algumas figuras simples:

P _________________r B C A D B C r1 1 r A D r2 B A C B C A D Fig. 2.4.1. 1

f : Por f₁ se tratar de um ponto P, 1 f

S contem todas as rotações de centro O e todas as simetrias axiais com O no eixo e as combinações de ditos movimentos. Se trata

evidentemente de um grupo com infinitos elementos que, no entanto, não existe nenhuma translação.

:

f₂ A recta r ficará invariante por todas as translações de vector paralelo a r, por todas as simetrias com eixo ortogonal a r e por todas as rotações de 180º (simetrias centrais) com centro num ponto de r. Os ditos movimentos gerarão S_f2.

:

f₃ O trapézio irregular f₃ só é invariante pela identidade e, portanto, resulta um grupo de simetria trivial S_f3 

 

I₂ .

4

f

: O rectângulo [ABCD], com AB BC , _____ ____

 tem dois eixos de simetria r₁ e r₂e é invariante pelo giro de 180º ao redor do ponto P (intersecção de r com ₁ r ). Assim pois, ₂

). S , S , G , I (

S_f4  _{2 P}180º _{r1 r2} Por tratar-se de um grupo com um número finito de elementos cabe escrever a «tabela» do grupo:

O 2 I Sr₁ Sr₂ G_P180º 2 I I₂ S_r1 S_r2 º P G180 1 r S 1 r S I₂ º P G180 Sr2 2 r S 2 r S º P G180 I2 Sr₁ º P G180 G180_P º Sr2 Sr1 I2 :

f₅ O triângulo equilátero [ABC] de centro de gravidade 0, é invariante para os três giros: º 240 0 º 120 0 ,G

G e G360₀ º I₂ e pelas simetrias de eixos 0A, 0B e 0C. Eis, pois, a tabela de dito grupo S_{f .}:

O I2 o o G120 G_o240o Sr1 Sr2 Sr3 2 I I₂ o o G120 G_o240o Sr1 Sr2 Sr3 o o G120 G_o120o G_o240o I2 Sr2 Sr3 Sr1 o o G240 G_o240o I2 G_o120o Sr3 Sr1 Sr2 1 r S 1 r S 3 r S 2 r S I₂ o o G240 G_o120o 2 r S S_r2 S_r1 S_r3 o o G120 I2 G_o240o 3 r S 3 r S 2 r S 1 r S o o G240 G_o120o I2 6

f : O mosaico rectangular infinito gerado pelo ladrilho rectangular [ABCD] é invariante pelas

translações múltiplas dos vectores AD e 

AB(e suas combinações), assim como para as simetrias axiais próprias de f₄ e as de eixos paralelos que passam pelos centros dos ladrilhos.

Por se tratar de um grupo infinito não tem cabimento fazer a tabela, mas sim dar estes movimentos geradores do grupo de simetria.

Recapitulemos depois das análises dos exemplos anteriores algumas observações que podem ser úteis com vista a determinar grupos S_F de simetrias de figuras F:

1) S_F contem como mínimo a identidade I₂. Assim pois, qualquer figura por irregular que seja «tem» grupo de simetria. Por isso cabe dizer que a figura é mais regular quantos mais elementos tenham S_F.

2) Figuras muito distintas podem ter o mesmo grupo de simetria. Isto é, S_F não caracteriza univocamente à figura F. Por exemplo, as seguintes figuras têm como grupo de simetria 1 f S antes descrito.  Fig. 2.4.2.

3) Nas figuras cabe distinguir os pontos fixos dos elementos duplos. Os pontos fixos o são pelos movimentos (centros de rotações, eixos de simetria, ….). Os elementos duplos são

aqueles subconjuntos que se transformam «globalmente» em si mesmos (mesmo que não tenham pontos fixos). Por exemplo, numa simetria axial o eixo é de pontos fixos, mas as rectas ortogonais ao eixo são elementos duplos com um só ponto fixo. Note-se que as translações não têm pontos fixos e, no entanto, admitem rectas duplas (as paralelas ao vector translação).

4) Os grupos de simetria S_F podem ser finitos ou infinitos. No caso finito pode fazer-se a tabela completa do grupo e no caso infinito cabe enumerar os elementos geradores deS_F , isto é, as isometrias que combinadas entre elas dão todos os possíveis elementos de S_F . Note-se que a finitude ou não de S_F não está na relação a priori com a acotação ou infinitude geométrica da figura F. Assim, um ponto ou círculo têm grupo de simetria infinito e, pelo contrário, a seguinte figura F infinita tem grupo S_F finito (fig. 2.4.3.).

Fig. 2.4.3.

5) As figuras podem «classificar-se» a partir dos grupos de simetria. Basta definir a relação de equivalência: “ F~F’, duas figuras são simetricamente equivalentes, se e só se existe uma isometria f GM (R2) tal que S f S_F f

F'   1   ”, ou equivalentemente, “T' f 1Tf para cada TS_F,T'S_F'.”

6) A quantidade de elementos do grupo de simetria S_F de uma figura F coincide com o número de maneiras diferentes em que a figura F recortada num plano de cartão pode reintegrar-se no cartão.

Por exemplo:

(1) (2) (3)

Fig. 2.4.4

No caso (1) só existe uma possibilidade, no (2) existem 6 possibilidades (girando o cartão de lado se é preciso) e no caso (3) há infinitas maneiras. Este princípio manual tão elementar tem importância radical no problema do acoplamento, multiuso e coordenação de desenhos.

Nos sub-capítulos seguintes se estudarão com detalhe três tipos especiais de grupos de simetria: os pontuais ou de Leonardo, os dos frisos infinitos e os chamados do plano.

2.5. GRUPOS PONTUAIS DE SIMETRIA OU DE LEONARDO

Um tipo especial de grupo de simetria é o chamado grupo pontual ou de Leonardo, em honra de Leonardo da Vinci, quem utilizou tais grupos em alguns de seus desenhos arquitectónicos de capelas.

DEFINIÇÃO 2.5.1. – Um grupo de simetria S_F de uma figura plana F, se chama pontual ou de Leonardo se S_F é um grupo finito e existe um ponto O de F, fixo por todos os elementos de S_F . Ao dito ponto fixo se lhe denomina centro de simetria de F.

Vamos encontrar todos os possíveis grupos de Leonardo. Com efeito, se S_F é um tal grupo finito com um ponto O fixo [ao ser S_F GM(R2)], S_F não pode conter nenhuma translação ao ser O fixo, portanto, S_F só poderá ter giros ou rotações com centro O e simetrias axiais com O no eixo. Vamos analisar dois casos:

a) Se S_F contem um giro ou rotação G_o de centro O e ângulo , necessariamente deverá conter G_o ,G_o G_oG_o2,...,G_o...G_oG_ok,... todas os giros ou rotações de centro O e ângulo k. Mas sendo S_F um grupo finito, a única possibilidade para conter a anterior sucessão é que a dita sucessão só contenha um número finito de elementos distintos, o qual é equivalente a que, para certo n, resulte G_on G_o2 I₂, isto é, .

n



2 Assim pois, se S_F

contem um giro(ou rotação), este será de ângulo

n



2

e S_F também conterá as suas

repetições G ,G ,...,G ,Gn n G_o I . o n ) n ( o n o n o 2 2 2 2 1 2 2 2      _  

Indicamos por C_n o grupo cíclico gerado por G2/n, isto é,

C_n



G_o2k/n k1,2,....,n



então uma primeira possibilidade é que o grupo seja



S_r,S_rS_r I₂



. Se S_F contem além disso outra simetria S_r' , com rr'



Or'



, deverá conter S_rS_r' S_r'S_r G_o, sendo  o dobro do ângulo formado por r e r’. Mas pela a), necessariamente será ,

n



 2 para certo

n>1. Neste caso S_F deverá conter os Or, elementos do grupo cíclico C_n mais todas as n simetrias axiais obtidas ao girar a recta r segundo os ângulos ,k , ,....,n.

n

k2 12 Chamaremos

n

D ao grupo diedral com n giros e n simetrias axiais, isto é, para n>1:           G ,S i , ,...,n. D _ri i n o n 12 2

Para n1 temos D₁



S_r,I₂



. Note-se que é C₁

 

I₂ , mas D_n

 

I₂ , para todo n. Toda esta argumentação prévia tem permitido encontrar todos os possíveis grupos pontuais, isto é, acabamos de demonstrar o teorema de Leonardo.

TEOREMA DE LEONARDO 2.5.1. – Os únicos grupos de simetria de Leonardo são os grupos cíclicos C_n ou os grupos diedrais D_n, para n1,2,....

Na figura 2.5.1. se recopiam os ditos grupos (com a notação _o º/n

n º G G₃₆₀  360 e n º k n º ) k ( n º G ... ... G

G₃₆₀  ₃₆₀   ₃₆₀ ). Ressaltemos que se bem que todos os grupos são finitos, existem infinitos deles.

Fig. 2..5.1.

Na tabela anterior foram dados figuras geradas a partir de um módulo, por iteração dos grupos C_n e D_n. Vamos evidenciar agora que, os grupos de Leonardo para n3, se correspondem univocamente com os grupos de simetria dos polígonos. Todo polígono de n-lados ou n-polígono está determinado por n vértices distintos V₁,V₂,...,V_n e os n lados ou segmentos



V₁V₂



,V₂V₃

 

,...,V_n₁V_n



,V_nV₁



(os lados só têm em comum os vértices). Cada três

vértices consecutivos determina um ângulo. O n-polígono se diz convexo se dados os pontos, situados nos lados, o segmento que os une está contido no interior do polígono ou na sua fronteira. Quando o n-polígono é convexo e todos seus lados e ângulos são iguais, se diz que é um polígono regular. Por exemplo, das figuras seguintes com 12 lados (fig. 2.5.2.) só a primeira é um 12-polígono regular; a segunda (cruz grega) é um 12-polígono não regular e a terceira não é um polígono. Clarificado este conceito de polígono, podemos prosseguir o estudo dos grupos C_n e D_n.

1) 2) 3) Fig.2.5.2.

TEOREMA 2.5.2. – Para todo n3 o grupo diedral D_n é exactamente o grupo de simetria do n-polígono regular.

Demonstração. - Evidentemente D₃ é grupo de simetria de um triângulo equilátero. Dado um polígono P_n regular e com n lados (inscrito numa circunferência) este ficará invariante por D_n, ao conter D_n os giros de centro, o centro da simetria e ângulo 2/n, e as simetrias axiais relativamente às rectas determinadas pelos pares de vértices diametralmente opostos e pelos pontos médios dos lados paralelos. Assim pois, D_nS_Fn. Mas se uma isometria T está em _{F ,}

n

S ao conservar T as distâncias e ângulos necessariamente enviará V ₁ a outro vértice V_{i 0}; então V₂irá parar a V_i01V_i01, portanto T (que deixa fixo o centro) será ou um giro ou uma simetria de D , com o que _n TD_n e S_P D_n.

n  Em conclusão, n P D S _n  (fig. 2.5.3.). Fig.2.5.3.

Ao mesmo que sucede com os grupos D₁ e D₂ também os grupos cíclicos C₁ e C₂ são especiais (fig. 2.5.4.).

Fig.2.5.4.

Para construir polígonos (não regulares) que correspondam a C_n, com n3,

consideremos uma circunferência C de centro O e um ponto W₁ de C.. Seja M₁ um ponto médio do raio

_____ 1

OP e tracemos o círculo C centrado em O e de raio ₁

_____ 1

OM . Ao dividir C em n partes obtemos os pontos W₁,W₂,...,W_n. Marque-se sobre C os pontos médios ₁

n M ..., , M , M_{1 2} dos raios OW ,OW ,...,OW . _____ n _____ _____ 2

1 Seja Q o polígono orientado obtido ao unir o n caminho de pontos M₁,W₁,M₂,W₂,M₃,W₃,...,W_n1,M_n,W_n,M₁ (fig. 2.5.5.).

Fig.2.5.5.

TEOREMA 2.5.3. – Para todo n3 o grupo cíclico C_n é exactamente o grupo de simetria do n – polígono orientado Q_n.

Demonstração. - Obviamente em C S .

n

Q

n  Como TSQ_n deixa fixo O, T será um

giro de centro O ou bem uma simetria ao axial com eixo por O. Por ser T isometria, T enviará

1

X a outro vértice W_i0. Se T fosse simetria axial enviaria W₂ a W_i01W_i01 e então existiria um giro G tal que G T fixaria O e W₂, pelo qual o segmento



WM₃



iria parar a



W₂M₁



que não está em Q_n.. Assim, T é giro, está em C_n e é S_Qn C_n.

2.6. GRUPOS DE SIMETRIA DOS FRISOS

Os frisos, elementos substanciais da ornamentação clássica, têm como denominador comum a repetição de um determinado módulo, figura ou motivo ao longo de uma banda

rectangular, dando-se sempre uma periodicidade sistemática na repetição do módulo, o que constitui, precisamente, a base do ritmo que o friso comunica.

Por isso no desenho de frisos existem de entrada dois graus de liberdade: a eleição do motivo gerador e a eleição de aquelas transformações que aplicadas ao motivo inicial permitam «encher» a banda rectangular que contem o friso. Enquanto que o desenhador pode eleger arbitrariamente o motivo inicial, resulta que as possíveis transformações para gerar os frisos se limitam a uma gama muito limitada: os sete grupos de frisos que estudaremos com detalhe seguidamente. Esta limitação generativa, longe de moderar as possibilidades criativas vem mostrar a essência geométrica que se esconde por de trás de uns desenhos tão diversos como sugestivos. Contemplemos antes de entrar na descrição matemática do tema os seguintes sete esquemas (fig. 2.6.1.).

F₁ F₁1 F₁2 F₁3 _F2 F₂1 F₂2 Fig. 2.6.1.

Pode-se analisar visualmente quais são os movimentos que em cada caso foram aplicados ao motivo inicial. Note-se que a efeitos de classificação serão indistinguíveis aqueles frisos que contenham o mesmo «tipo» de transformações.

Vamos introduzir agora a definição formal de friso:

DEFINIÇÃO 2.6.1.- Seja r uma recta com vector director a. Um grupo de simetria F de um friso é qualquer grupo de isometrias do plano que deixa fixa r e contenha, como únicas translações o grupo gerado pela translação T_a; isto é:

b) F



T_na n



, e se T_bF é bna com n.

Evidentemente, todo grupo de friso conterá infinitos elementos, pois como mínimo estará formado pelo grupo de translações gerado por T_a.

LEMA 2.6.1. – As únicas isometrias que podem formar parte de um grupo de friso com recta fixa r são: as translações T_na, com n e a vector director de r; a simetria axial S _r

relativamente a r; as simetrias axiais S com eixo r’ ortogonal a r; os giros _r' n A A G

G  de centro um ponto A de r e ângulo 180º, e as combinações de todos os movimento anteriores.

Pode-se reconstruir facilmente a demonstração deste lema vendo que qualquer outro tipo de isometria no descrito no enunciado violaria a invariância de r. No que segue utilizaremos sistematicamente as notações introduzidas neste lema: T_na,

r S , S , _r' G e indicaremos _A ) ( A T A_n  _na _{e por} n M o ponto médio de A e _n A_n1.

LEMA 2.6.2. – Com as notações precedentes se verifica:

a) Se A,B,Crentão G_AG_BG_C G_CG_BG_A G_D, para certo Dr. b) Sr Ta TaSr. c) Se Ar é T_a G_A G_M . 1   

d) Ta Sr.Sr', se r´´ ortogonal a r no ponto médio entre Prr´ e Ta(P). e) Se Ar e T é isometria, é TG_AT1 G_T(A).

Agora estamos em condições de começar a descrição sistemática dos sete grupos de frisos.

1) Grupo de friso F só com translações. Neste caso, pela própria definição de grupo e ₁

friso, F constará só das translações geradas por ₁ T_a; _{isto é,} F₁ 



T_nan



.

Note-se que o grupo F estará contido em todos os demais grupos de frisos. Um friso ₁

típico com grupo F é: (fig. 2.6.2.). ₁

A0 M0 A1 M1 A2 M2 A3 M3 A5 Fig.2.6.2.

2) Grupo de friso F que contem ₂ F e só tem isometrias que conservam a orientação. ₁

Se é F₂F₁ e F só tem isometrias que conservam a orientação, necessariamente ₂ F deve ₂

conter só giros G com _A, Ar e não terá nenhuma simetria axial. Assim, se F₁  F₂ e 2

2, F

F

G_A deverá conter também os elementos da forma T_naG_A,n. _{Em particular,} 2

F

conterá os elementos T_2maG_2maG_Tma_(A) [ c) do lema 2.6.2], isto é, todos os giros de centro A_m T_ma( A), _{com m}_{.. Também}

2 F deverá conter T _{m a}G_A G_Mm ) 1 2 ( giros de

centro M , ponto médio entre _m T_ma( A) _{e ( ).} ) 1

( A

T_{m a}

 Vejamos agora que F não pode conter 2 nenhum outro tipo de giro.

Com efeito, se G_BF₂ seria ₂

2 F T G G AB A B    e portanto deveria se  , a n A B G T G 

para certo n de Z, pois tais são as únicas translações permissíveis em F em tal caso ocorreria ₂;



( )



( ) , ) ( _.n a n A B B A G G A T A A

G     e portanto B seria o ponto médio entre A e A isto é, B _n,

seria um ponto Mm. Assim temos demonstrado que F , por conter só isometrias que 2 conservam a orientação, só pode conter F , os giros ₁

n A G e os giros , n M G isto é: F₂ 



T ,G ,G n



, n n M A a n

e F se gera combinando somente ₂ 

a

T com G para certo _A, Ar. Um friso característico de 2

F é (fig. 2.6.3.).

Fig. 2.6.3.

Como acabamos de ver F e ₁ F são os únicos grupos que só contêm isometrias que ₂

conservam a orientação. Os restantes grupos de frisos resultarão de admitir simetrias axiais, isto é, de ampliar F e ₁ F com ditas simetrias. ₂

3) Grupo de friso F obtido ao ampliar ₁1 F com ₁ S e suas combinações. Se t

1 1 1 F F  e S_tF₁1, F₁1 também conterá _t a n a n t T T S S     [ b) lema 2.6.2], sendo , a n t T S  com , 0 ,    n

Um friso típico com grupo F é (fig. 2.6.4.). ₁1

Fig. 2.6.4.

4) Grupo de friso F obtido ao ampliar ₂1 F com ₂ S e suas combinações. Assim _t F ₂1

conterá além de 

a

T e G (geradores de _A F ) 2 S e todas as combinações do tipo: t (*) F₂1 



S G T ;n,k,i(1,2)



, a n i A k t   devendo-se recordar que S comuta com _t 

a

T e G (lema 2.6.2). Em particular de (*) resulta _A

que F contem a simetria com deslizamento ₂1 _t

a n S T  que transforma A em A T ( A). a n n   Também F conterá os elementos 21 A t rn

a n S S G T    2 e A r rn a n S S G T ' ) 1 2 (      , donde (fig.

2.7.1) r' indica a perpendicular a r em _n A e _n r' a perpendicular a r em _n M ponto médio de _n

n

A e A_n1.

Um friso característico com grupo F é (fig. 2.6.5.). ₂1

Fig. 2.6.5.

5) Grupo de friso F obtido ampliando ₁2 F só com uma simetria ₁ S_r'(r´r) e suas combinações. Se F se gera com 12 F e 1 Sr'(r´r) necessariamente todo elemento de

2 1

F será da forma S_r'T_a S_{r ''}, onde r''r,r''passa pelo ponto médio entre Prr' e )

(P

T_a [pela d) do lema 2.6.2].

Por isso F não conterá ₁2 S , mas sim todas as simetrias com eixos perpendiculares a r _r

nos pontos Arr´,A_n e M Um friso característico com grupo _n. 2 1

F (fig. 2.6.6.) é:

6) Grupo de friso F obtido ampliando ₂2 F com ₂ Sr'(r´ r,rr' Am,Mm se m



e suas combinações.

2 2

F contem F (terá ₂ G para certo A de r) e contem _A, S com r’ ortogonal a r. Se _r´ rr´

fosse A _n M_n resultaria F₂2 F₂1 o qual é absurdo. Seja pois rr´ P , com P A_m e m

M

P para todo m.. Como _r' a

S

T  estará em

2 2

F e pelo lema 2.6.2. d) dita

transformação é a simetria axial S_r',' com r’’ perpendicular a r no ponto médio de P e T_a(P) (fig. 2.7.1.), podemos supor sem perda de generalidade que P é precisamente o ponto médio de A e M [pois ao ser GS_r(A)  Sr GASr'

F

2₂, necessariamente Sr'(A)deve ser um dos centros permissíveis de giro, isto é, S_r'(A) M]. Além disso, F não pode conter a simetria ₂2

A r

S _' (r'A perpendicular a r em A), pois em caso contrário 2 2

F conteria também a translação

A r r S

S ' ' que envia A a M, o qual é absurdo (AM a ).

___ _

 Analogamente se vê que tão pouco 2

2

F pode conter S _r.

Em definitiva, F estará gerado por 22 Ta,GA ,Sr'' com r ''ortogonal a r em P ponto médio de A e M. Agora bem, por ser L S_r'G_A uma simetria com deslizamento que leva A a M será a T L L   _{e ,} ' ´r L GA S  

e por ele L S_r'G_A e G geram _A F . Um friso típico com grupo ₂2 F é (fig. 2.6.7.). ₂2

Fig. 2.6.7.

7) Grupo de friso F obtido ampliando 13 F com uma simetria com deslizamento e 1 suas combinações. Seja IF₁3 uma simetria com deslizamento. Como necessariamente

3 1

F I

I  é uma translação, deve ser de F e será ₁ II T_ma , para certo m. Distinguiremos os casos m2n ou m2n1.

Se fosse m2n seria II T_2na, e ao permutar I com T_a resultaria (T_na I)(T_na I)I₂,