TEORIA DE MOSAICOS

Um tipo especial de recobrimento do plano é o de mosaico. Os diferentes tipos de mosaicos surgem de adicionar, ao princípio geral de repetição de um módulo em duas direcções, condições restritivas de acoplamento e regularidade. Vejamos neste capítulo os mosaicos principais, deixando de lado os mosaicos não periódicos.

A) Mosaicos regulares

Resultam de acoplar entre si uma série infinita de polígonos regulares idênticos.

TEOREMA 2.9.1. – Os únicos mosaicos regulares são os quadrangulares, triangulares e hexagonais (fig. 2.9.1.).

B) Mosaicos semirregulares

São os gerados ao combinar dois tipos de polígonos regulares de dimensões apropriadas para o acoplamento. Existem 8 tipos de tais mosaicos como ilustra a figura 2.9.2.

Fig. 2.9.2. C) Mosaicos de Escher

O artista holandês M. C. Escher, a partir de observar o uso dos 17 grupos de Simetria nos desenhos da Alhambra de Granada, elaborou uma série de mosaicos onde a figura geradora era submetida a uma série de transformações.

Apresentamos aqui uma série de esquemas devidos a P. Butzbach sobre os elementos geradores considerados por Escher (fig. 2.9.3.).

(1) Mosaicos de P1. – Resultam de escolher um paralelogramo ou um hexágono com lados opostos paralelos e aplicar o critério de que toda parte recortada num lado (concavidade) se translada paralelamente ao lado oposto paralelo (convexidade).

(2) Mosaicos de P2. - Correspondem à existência de giros nos lados de triângulos ou quadriláteros: ao recortar um troço num lado (concavidade) adicionando-o no mesmo lado, mediante um giro de 180º com centro no ponto médio do lado em questão, pode conservar-se a propriedade de embaldoseamento.

(3) Mosaicos de P3.- Neles existem recortes de um troço da figura num lado (concavidade) e com centro num vértice se gira e se adiciona dito troço em outro lado. Os giros são de 60º ou 120º e os vértices centros de giro não podem ser consecutivos.

(4) Mosaicos de P4. - Existem vértices centros de giro de 90º. Ditos vértices podem pertencer a um triângulo, um quadrilátero ou um pentágono.

(5) Mosaicos de Pg.- São aqueles nos que existe simetria com deslocamento.

No seguinte quadro sintetizamos uma série de desenhos devidos a Escher e realizados com os critérios anteriores (fig. 2.9.4.).

Fig. 2.9.4.

A atitude de Escher perante o problema dos mosaicos é, no entanto, muito diferente da atitude da Matemática ou da Cristalografia do tempo. Para a Cristalografia o problema era sobretudo de classificação de padrões. A Matemática coloca questões ainda mais gerais como, por exemplo, a de saber que transformações geométricas podem ser realizadas sobre um objecto de modo a deixar as suas propriedades invariantes. O interesse de Escher não era classificar as pavimentações mas antes descobrir e aprender as leis que a governam. O seu sistema, apesar de atribuir às isometrias um papel fundamental e de proceder com grande rigor geométrico, é, tanto nas questões que coloca como nas definições que formula, claramente distanciado dos sistemas “standard” em Matemática. O matemático parte da análise de uma determinada estrutura (o objecto do seu estudo); Escher começava sempre por uma folha de papel em branco (o espaço da sua criação). O ponto de vista estritamente

científico é de natureza global (qual a estrutura, quais as simetrias da pavimentação, etc.); o de Escher é eminentemente local: como é que um motivo simples pode ser rodeado por cópias dele próprio, combinar-se ou evoluir para outro, ilimitadamente?

O ponto de vista local de Escher é ilustrado por 6Engel ao descrever a litolografia Libertação (1955).

Neste contexto, o sistema de Escher aborda três aspectos fundamentais que eram então ignorados pela Matemática e pela Cristalografia.

1. A criação de pavimentações com dois mosaicos distintos mas com origem numa mesma figura geométrica.

2. A metamorfose, isto é, a possibilidade de ligar diferentes pavimentações por um processo dinâmico que altera o mosaico mas não modifica as simetrias em jogo. Escher reconhece que a metamorfose é possível para certos casos, mas impossível para outros, identificando cinco grupos de simetria para os quais tal é possível.

3. O uso de cores contratantes para colorir a pavimentação de forma sistemática, de modo a sublinhar a individualidade e a equivalência de mosaicos adjacentes.

O seu sistema de simetria policromática adiciona aos 17 grupos originais, 46 com duas cores, 6 com três, 6 com quatro e 3 com seis cores. Note-se que o interesse pela coloração de pavimentações e sua classificação, que constitui um aspecto fundamental na teoria de Escher, apenas surge na Cristalografia no final dos anos 50. De facto só em 1951, Shubnikor e Belor estenderam a teoria dos grupos de simetria combinando a repetição de formas com a repetição de cores.

(D) Mosaicos de cor

Classicamente, a análise geométrica de mosaicos somente tem considerado peças (de um ou vários tipos) idênticas entre si. Mas se se considera que peças iguais podem ter cores diferentes, então ao classificar a simetria do embaldoseado de acordo com a cor pode resultar uma classificação mais rica. Por exemplo, o mosaico de quadrados pode dar lugar, por coloração dos quadrados, a mosaicos com grupo de simetria diferente relativamente à cor ou à mudança dos centros de giro.

6

- Litografia Libertação (1955): “De baixo para cima acontece a metamorfose da matéria inorgânica em pássaros. Quando estes estão totalmente desenvolvidos emergem na superfície e são libertos. Podemos também adoptar a interpretação oposta: os pássaros que voam livremente encontram lugares na superfície onde se encaixam com exactidão. E, assim, a pavimentação cresce continuamente. O mesmo processo corresponde ao crescimento dos cristais. Claramente, os pássaros ignoram tudo sobre o grupo de simetria, mas sabem reconhecer o lugar vago onde se encaixam.” Engel, 1986.

Os mosaicos com cor podem enriquecer-se considerando também a possibilidade de várias peças.

Assim pois, onde exista coloração deve realizar-se a classificação de acordo com as cores e não com as peças construtivas básicas.

(E) Mosaicos de retícula da china

Daniel Sheets Dye passou um largo período de sua vida na China tratando de classificar de forma sistemáticos os retículos chineses de janelas desde o ano 1000 a. C. até 1900 d. C. O resultado de seu árduo trabalho foi o magnífico tratado “Chinese lattice designs” que contem, classificados geometricamente, mais de 1200 exemplos. Estes retículos para janelas consistem numa série de barras de madeira entrelaçadas que formam um retículo plano. Este retículo era pintado de negro ou vermelho e uma vez colocado na casa por via da janela aderindo, desde o interior, papel branco de qualidade ou papel floreado. A não existência de vidro e a mudança contínua do papel permitia celebrar acontecimentos ou ritos anuais. Dito papel mantinha a intimidade do interior e projectava ao exterior a tonalidade própria de sua coloração. (fig. 2.9.5.)

Fig. 2.9.5.

(F) Mosaico da Alhambra de Granada

Vejamos as ilustrações sobre o mosaico da Alhambra de Granada, donde podem apreciar-se os 17 grupos de simetria e os 7 grupos de frisos (fig. 2.9.6.).