Oficina Porcentagem e Juros

Oficina – Porcentagem e Juros

Esta oficina está dividida em duas partes. A primeira consiste em uma revisão do conceito de porcentagem. Na segunda parte, os alunos deverão aplicar os conceitos vistos na primeira parte em situações-problema da vida financeira, que envolvem juros em aplicações e dívidas.

Todas essas etapas têm o objetivo de desenvolver as seguintes habilidades:

 H2 – Efetuar cálculos nos campos aditivos e multiplicativos envolvendo os números reais.  H63 – Calcular juros simples/compostos apresentados em situações do contexto financeiro.

1ª parte – Revisão de porcentagem

Falar para os alunos que esta primeira parte tem o objetivo de relembrar o significado de porcentagem, as técnicas de cálculo e a diferença entre valores absolutos e relativos.

a) Interpretação de uma porcentagem

Para uma problematização inicial, é interessante selecionar textos, manchetes ou trechos de notícia de jornais que mencionem porcentagens. Seguem alguns dos inúmeros exemplos, retirados de notícias recentes de jornais:

- Prova do ensino fundamental aponta que 57% não sabem matemática. - Umidade do ar chega a 10% em Ribeirão Preto.

- Banco Central prevê inflação 'ao redor' de 4% em 2012.

- De 2004 a 2010, matrículas na EJA caem 48,5% no estado de São Paulo. - Na seleção, Mano Menezes possui aproveitamento de 60%.

- O rendimento da poupança foi de 0,6235% em agosto.

Após mostrar as frases acima (ou outras que julgue interessantes) aos alunos, questioná-los sobre o significado da porcentagem em cada contexto, perguntando como eles interpretam as informações dadas na forma de porcentagem em cada caso. Em seguida, perguntar o que estes significados têm em comum.

A ideia é direcionar a discussão para a percepção de que as porcentagens são sempre usadas para representar “partes de alguma coisa”. Ou seja, as porcentagens são usadas com o mesmo objetivo das frações. Na verdade, porcentagens SÃO frações: frações de denominador 100. Esse conceito é absolutamente fundamental, e deve ser explicado desde o início. Ele ficará mais claro na análise das frases acima.

Seguem alguns comentários/explicações/reflexões para fazer com os alunos nessa atividade.

Na primeira frase, quando se lê que “57% dos alunos do EF não sabem matemática”, isso significa que uma fração de ₁₀₀57 (57 centésimos) do total de alunos tem desempenho insatisfatório nessa disciplina. Isto é, se tomarmos o total de alunos do EF e dividirmos esse total em 100 partes, uma quantidade equivalente a 57 dessas partes tem desempenho insatisfatório.

No exemplo da umidade, a porcentagem também indica uma parte, mas a interpretação é um pouco mais “elaborada”. O significado da umidade relativa é o seguinte. A concentração de vapor de água (umidade) no ar atmosférico tem um valor máximo, que é chamado de valor de saturação. Em condições normais de temperatura e pressão, esse valor é de aproximadamente 25 g/m3_{. Isto é, a}

maior concentração possível de vapor de água na atmosfera é de 25 g de vapor para cada metro cúbico de ar. A umidade relativa do ar em um dia qualquer é dada pela parte que a concentração de vapor no dia representa do valor máximo (valor de saturação), e essa parte é dada normalmente em termos de um porcentual. Por exemplo, em um dado dia, a umidade relativa do ar é de 10%. Isso significa que a concentração de vapor de água na atmosfera nesse dia vale uma fração de ₁₀₀10 (10 centésimos) de 25 g/m3_{, ou seja, 2,5 g/m}3 _(pois 10

100 de 25 = 2,5).

No caso do aproveitamento de Mano Menezes à frente da seleção brasileira, a porcentagem refere-se à parte que os pontos ganhos reprerefere-sentam do total de pontos disputados, considerando que a vitória vale 3 pontos, o empate 1 e a derrota 0. Por exemplo, em 4 partidas, são disputados 12 pontos (4∙3). Se um time ganha 1 jogo e empata 3, faz 6 pontos e seu aproveitamento é de 6 em 12. Como veremos adiante, esse aproveitamento equivale a 50%. Assim, quando se diz que o aproveitamento de Mano Menezes é de 60%, isso significa que a fração que os pontos ganhos representam em relação ao total de pontos disputados é uma fração equivalente a ₁₀₀60.

Discutir com os alunos os significados da porcentagem nas demais frases.

Para finalizar essa etapa, pedir que os alunos representem graficamente uma porcentagem, apresentando um quadrado e propondo que eles pintem uma superfície com área igual a 35% da área do quadrado. Para isso, eles deverão fazer algum tipo de divisão do quadrado em partes iguais. Uma possibilidade é dividir o quadrado em 10 linhas e 10 colunas, formando um quadriculado de 100 “quadradinhos”, para, em seguida, pintar 35 deles. Outra possibilidade é dividir o quadrado em 10 linhas e pintar três linhas e meia.

b) Cálculos de porcentagem

Reforçar com os alunos que o termo “por cento” tem exatamente o mesmo significado de centésimo. Com esse conceito em mente, os cálculos se tornam bastante simples.

Mostrar que os problemas que envolvem cálculos de porcentagens podem ser classificados em dois tipos básicos:

Problema Tipo 1: calcular uma dada porcentagem de um número. Exemplo:

Há cerca de 30 milhões de analfabetos funcionais no Brasil, mas apenas 3,7% estão matriculados na EJA.

Qual o número de analfabetos funcionais matriculados na EJA no Brasil? Resolução:

Devemos interpretar 3,7% como a fração ₁₀₀3,7.

Assim 3,7% de 30 milhões = ₁₀₀3,7∙30.000.000 = 1.110.000

Problema Tipo 2: calcular qual a porcentagem que um número representa de outro.

Exemplo: O salário mínimo era de R$ 510,00 e passou para R$ 545,00. Qual foi o aumento porcentual?

Resolução:

Primeiramente, deve-se identificar que a questão pede o aumento porcentual. Como o aumento foi de R$ 35.00, deve-se descobrir que porcentagem 35 representa de 510.

Para isso, podemos usar a regra de três. A parte que 35 representa de 510 é a mesma parte que x representa de 100. 35 510 = x 100 510x = 35∙100 x = 35∙100₅₁₀ ≅ 6,86 ≅ 6,9 Assim, 35 é aproximadamente 6,9% de 510

Analisando os exemplos acima, podemos sistematizar a forma de resolver ambos os tipos de problema da seguinte maneira.

Tipo 1 Calcular x% de y Multiplicar ₁₀₀x por y. Tipo 2 Calcular a porcentagem

que x representa de y Dividir x por y e multiplicar o resultado por 100

Os cálculos se tornam mais diretos quando as porcentagens são expressas na forma decimal. Retomar a representação decimal de porcentagens com os alunos.

80% = ₁₀₀80 = 0,8 1% = ₁₀₀1 = 0,01 1,5% = ₁₀₀1,5 = 0,015 0,65% = 0,65₁₀₀ = 0,0065 110% = 110₁₀₀ = 1,1 200% = 200₁₀₀ = 2

Propor aos alunos os seguintes exercícios, usando a representação decimal das porcentagens: - Calcular 12,5% de R$ 500,00. (resposta: 0,125 · 500 = R$ 62,50)

- Calcular que porcentagem 12 representa de 60 (resposta: 12₆₀ = 0,2 = 20%).

comentar que estas são partes maiores do que a unidade, e que isso é perfeitamente possível

Por fim, é fundamental reforçar com os alunos que toda porcentagem refere-se a algum valor, e esse valor deve ser explicitado quando se fala de uma porcentagem (tantos por cento de alguma coisa). Por exemplo, quando se fala que o consumo de energia elétrica no Brasil aumentou 6% no último ano, deve-se informar em relação a que os 6% se referem (aumentou 6% em relação ao consumo do ano anterior, ou dois anos antes etc).

Para mostrar como a referência é importante, discutir com eles o seguinte problema:

- Dona Neusa tinha R$ 100,00. Ganhou 10%. Depois perdeu 10% do que tinha. Com quanto ficou? Resposta: R$ 99,00

Situação inicial: Dona Neusa tinha R$ 100,00

Ganho de 10%: Dona Neusa ficou com 100 + 0,10∙ 100 = R$ 110,00.

Perda de 10%: Dona Neusa ficou com 110 – 0,10∙ 110 = 110 – 11 = R$ 99,00

Reforçar com os alunos que os primeiros 10% referem-se a R$ 100,00 e o segundo porcentual refere-se a R$ 110,00. Assim, “ganhar 10% e depois perder 10%” NÃO significa “ficar na mesma”.

b) Valor absoluto x valor relativo

Após a atividade inicial de interpretação dos significados de porcentagem e da revisão das técnicas de cálculo, concluir a parte 1 com uma discussão sobre valores absolutos e valores relativos, que está diretamente ligada ao tema das porcentagens.

Propor a seguinte pergunta aos alunos: o que tem mais água, uma uva ou uma banana?

Caso os alunos se apressem em responder, lembrar que para responder corretamente são necessárias algumas informações. Fornecer a eles os seguintes dados:

- Em uma uva de 5 g, há cerca de 4 g de água.

- Em uma banana de 100 g, há cerca de 75 g de água.

Mostrar aos alunos que há duas interpretações possíveis para a pergunta. Uma possível resposta é que há mais água na banana (75 g, contra 4 g na uva). Explicar que, nesse caso, estão sendo comparados os valores absolutos de água na banana e na uva.

Entretanto, uma segunda interpretação refere-se aos valores relativos de água, isto é à proporção, (fração, parte) que a água ocupa na massa total de cada fruta. Perguntar aos alunos como eles calculariam essas partes, fazendo uso da porcentagem.

- Em 5 g de uva há 4 g de água. Que porcentagem 4 representa de 5? Resposta: 4₅ = 0,8 ou 80%. - Em 100 g de banana, há 75 g de água. Que porcentagem 75 representa de 100? Resposta (essa é fácil!): ₁₀₀75 = 0,75 ou 75%.

Isto é, em valores relativos (parte em relação ao todo) a uva tem mais água que a banana (80% contra 75%).

Propor o seguinte problema aos alunos para reforçar a ideia de valores absolutos e valores relativos: Problema: Analise o número de assassinatos ocorridos no último ano em duas cidades.

População Nº de assassinatos Cidade A 10.000.000 2.000

Cidade B 1.000.000 1.000

Qual cidade é mais violenta?

Resposta: Em termos absolutos, a cidade A tem mais assassinatos do que a cidade B (2.000 contra 1.000), porém em termos relativos ela tem menos (2.000 em 10.000.000 = 0,0002, ou 0,02%; já 1.000 em 1.000.000 = 0,001 ou 0,1%). Neste caso, a comparação deve ser feita entre os números relativos.

2ª parte – Juros

Uma boa conceituação de juros encontra-se na enciclopédia Wikipedia. Ler o texto abaixo com os alunos e explicar, caso eles tenham dúvidas no conceito.

O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Juro A comparação com o aluguel é muito esclarecedora. Quando uma família aluga (toma emprestado) um imóvel, ela se compromete a devolver para o proprietário, após um tempo determinado, o imóvel mais um valor em dinheiro, referente ao aluguel. Nessa lógica, o próprio dinheiro também pode ser visto como um bem a ser usado, assim como um imóvel. Quando alguém aluga esse bem, deve pagar/receber por isso.

Mostrar que na vida cotidiana, há basicamente dois tipos de situações que envolvem pagamento de juros:

- dívidas contraídas (empréstimos bancários, crediários etc) - rendimento de aplicações financeiras (poupança, fundos etc). Discutir ambas as situações e a “lógica” da cobrança de juros:

Dívidas: Quando, por exemplo, se retira de uma conta bancária mais dinheiro do que realmente há nela, ela fica “no negativo”, ou “no vermelho”. Esse valor negativo é uma dívida adquirida pelo correntista para com o banco, isto é, um empréstimo dado pelo banco ao correntista. Sobre esse valor emprestado é cobrado um “aluguel” – os juros. Os juros são sempre calculados a partir de uma

porcentagem sobre o valor da dívida, chamada taxa de juros. Veja as taxas de juros médias cobradas em algumas modalidades de empréstimo bancário, em março de 2011 (valores aproximados):

Cheque especial (dívidas em conta corrente): 9% ao mês Crédito pessoal : 5% ao mês

Cartão de crédito: 11% ao mês

Crédito direto ao consumidor: 3% ao mês

Assim, se uma pessoa ficou com um saldo negativo de R$ 1.000,00 na conta corrente, ela deverá pagar ao final do mês, além desse valor, R$ 90,00 de juros do cheque especial para quitar sua dívida (9% de 1.000 = 0,09 · 1.000 = 90).

É interessante observar que o cálculo do valor total da dívida pode ser feito de uma só vez. Ao invés de primeiro calcular os juros para depois somá-los ao valor inicial da dívida, podemos fazer uma única multiplicação. Veja:

1.000 + 0,09 ∙ 1.000 = 1.000 + 90 = 1.090

Assim, o valor da dívida de R$ 1.000,00 acrescida de juros de 9% pode ser calculado diretamente por: 1,09 ∙ 1.000 = 1.090

Rendimento: Quando um cliente deposita uma quantia em uma aplicação financeira, é como se ele estivesse emprestando dinheiro ao banco. Por esse empréstimo, o banco paga um “aluguel”, os juros da aplicação, que também é dado por uma porcentagem do valor aplicado. A caderneta de poupança, por exemplo, tem uma taxa de juros de aproximadamente 0,6% ao mês. Isso significa que se uma pessoa aplicar R$ 1.000,00 na poupança, após 1 mês ela terá direito aos R$ 1.000,00 originais mais os juros de 0,6% sobre eles. 0,6% de 1.000 = 0,006 · 1.000 = 6. Ou seja, ela terá direito a resgatar R$ 1.006,00. Outras aplicações apresentam taxas um pouco maiores. Veja alguns valores de março de 2011: CDB: 0,88% ao mês CDI: 0,92% ao mês Poupança: 0,62% ao mês Renda fixa: 0,93% ao mês Fonte: www.brasileconomico.com.br/noticias/aplicacao-em-bolsa-lidera-rendimentos-em-marco_99962.html 1.000 (1+0,09) 1,09

Coloca-se o fator comum 1.000 em evidência

Assim, faz-se primeiro a multiplicação para calcular os juros e depois somam-se os juros ao valor inicial da dívida.

Assim, faz-se apenas uma multiplicação entre o fator de correção (1,09) e o valor inicial da dívida.

É muito interessante discutir com os alunos sobre as diferenças entre as taxas de juros que os bancos cobram para os empréstimos e as taxas de juros que eles pagam para as aplicações. Eles cobram uma taxa muito maior do que pagam! É essencialmente por esse motivo que o ramo bancário é um dos mais lucrativos que existem!

Problemas:

1. Um cliente investe R$ 1.000,00 em uma aplicação financeira cuja taxa de juros é de 1% ao mês. Quanto ele terá após um mês? Quanto ele terá após 2 meses? (obs: lembrar que os juros do 2º mês são calculados sobre o valor ao final do 1º mês, e não sobre os R$ 1.000,00 iniciais).

Resposta:

Ao final do 1º mês ele terá 1.000 + 1% de 1.000 = 1.000 + 10 = R$ 1.010,00 Ao final do 2º mês ele terá 1.010 + 1% de 1.010 = 1.010 + 10,10 = R$ 1.020,10 Observação: os cálculos poderiam ser feitos de forma mais direta por:

Ao final do 1º mês ele terá 1,01 ∙ 1.000 = R$ 1.010,00

Ao final do 2º mês ele terá 1,01 ∙ (1,01 ∙ 1.000) = (1,01)2 _{∙ 1.000 = R$ 1.020,10}

2. Um correntista está com uma dívida de R$ 1.000,00 no cheque especial. Sobre essa dívida incidem juros de 11% ao mês. Qual o valor da dívida após um mês? Qual o valor da dívida após 2 meses?

Resposta:

Ao final do 1º mês a dívida será de 1.000 + 11% de 1.000 = 1.000 + 110 = R$ 1.110,00 Ao final do 2º mês a dívida será de 1.110 + 11% de 1.110 = 1.110 + 122,10 = R$ 1.232,10 Observação: novamente, os cálculos poderiam ser feitos de forma mais direta por: Ao final do 1º mês ele deverá 1,11 ∙ 1.000 = R$ 1.110,00

Ao final do 2º mês ele deverá 1,11 ∙ (1,11 ∙ 1.000) = (1,11)2 _{∙ 1.000 = R$ 1.232,10}

Valor ao final do 1º mês

Dívida ao final do 1º mês

Fator de correção para 2 meses Fator de correção para 1 mês