AULA 4. Produto escalar. Produto escalar definição algébrica. , chamamos de produto. escalar o número real: Notação: u v ou u, v e se lê: u escalar v.

AULA 4

Produto escalar

Produto escalar – definição algébrica

Sejam u 



x₁,y₁,z₁



e v 



x₂ ,y₂ ,z₂



, chamamos de produto escalar o número real:

2 1 2 1 2 1x y y z z x v u     Notação: u  v ou u , v e se lê: “ u escalar v ”. Exemplos:

1) Dados os vetores u



1,2,3



_e v



3,4,1



, calcular: a) u  v = 1 . (-3) + 2 . 4 + 3 . (-1) = –3 + 8 – 3 = 2

b)



u  v

 

  u  v



= (-2 , 6 , 2)  (-4 , 2 , -4) = (-2) . (-4) + 6 . 2 + 2 . (-4) =

= 8 + 12 – 8 = 12

2) Dados os vetores u



4 ,  , 1



_e v



 ,2 , 3



_{e os pontos A(4 , -1 , 2)} e B(3 , 2 , -1), determinar o valor de  tal que u 



v  BA



5.

) 3 , 3 , 1 ( B A BA     BA v  = ( + 1 , -1 , 6)



v BA



5 u    



4 ,  , 1



(1,1,6)5 4 . ( + 1) +  . (-1) + (-1) . 6 = 5 4 + 4 -  - 6 = 5 3 = 7 3 7  

Propriedades do produto escalar: i) u  v  v  u ii) u 



v  w



 u  v  u  w iii) 



u  v

  

  u  v  u 

 

 v iv) u  u 0 se u  0 e u  u 0 se u  0 v) u  u  u 2 Exemplos:

1) Sendo u 



x,y,z



, demonstre a propriedade v) Resolução:



 



2 2 2 z y x z z y y x x z , y , x z , y , x u u            



2 2 2



2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{y z u x y z u x y z} x u             u  u  u 2 2) Mostrar que 2 2 2 v v u 2 u v u      Resolução:  



 



     v 2 2 2 i 2 ii v 2 v v u 2 u v u v v v u 2 u u v u v v u v v u u u v u v u v u                          Analogamente, 2 2 2 v v u 2 u v u      Resolva você ...

3) Sendo u 4, v 2 e u  v 3, calcular



3 u 2 v

 

  u 4 v



. Resolução:



 



38 32 42 48 2 8 3 14 4 3 v 8 v u 14 u 3 v v 8 u v 2 v u 12 u u 3 v 4 u v 2 u 3 2 2 2 2                                   Exercício resolvido:

Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u = (2 , -1 , 3), tal que vu42. Resolução:

Seja v 



x,y,z



o vetor procurado.

Como vu42, temos:



x,y,z

 

 2,1,3



2xy3z42(i) Como os vetores são paralelos, temos:

3 z 1 y 2 x u // v    

Ou seja, multiplicando em cruz, temos: - x = 2y  x = - 2y

- z = 3y  z = - 3y (ii)

Logo, substituindo as equações obtidas em (ii) em (i), obtemos: 2(- 2y) – y + 3(- 3y) = - 42 - 4y – y – 9y = - 42 - 14y = - 42 y = 3  x = - 2 . 3  x = - 6 z = -3 . 3  z = - 9 Logo, v 



6,3,9



Produto escalar – definição geométrica

Sejam u e v ,vetores não paralelos, e  o ângulo formado por eles, então temos que:

º 180 0 ; cos v u v u       Demonstração:

Exemplo: Sendo u 2, v 3 e 120º o ângulo entre u e v , calcule v u  . Resolução:      v u v cos u º 120 cos 3 2 v u     3 2 1 3 2 v u           A B C u v u - v



Propriedades:

i) u  v 0  cos0  0º90º, ou seja,  é um ângulo agudo. ii) u  v 0  cos0  90º180º, ou seja,  é um ângulo obtuso. iii) u  v 0  cos0  90º, ou seja,  é um ângulo reto:

v u 0

v

u     : condição de ortogonalidade de dois vetores Exemplo: Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:

a) u 



1,2,3



e v 



4,5,2



v u  = 1 . 4 + (-2) . 5 + 3 . 2 = 4 – 10 + 6 = 0  são ortogonais. b) i e j



1,0,0

 

0,1,0



j i    = 1 . 0 + 0 . 1 + 0 . 0 = 0 + 0 + 0 = 0  são ortogonais. Exercícios resolvidos:

1) Qual o valor de  para que os vetores ai2j4k e

k 3 j ) 2 1 ( i 2 b      sejam ortogonais? A B C u v u - v  cos sen 0º 90º 180º _ +

Resolução: 0 b a b a     ( , 2 , -4)  (2 , 1 - 2 , 3) = 0 2 + 2 - 4 - 12 = 0 - 2 = 10  = - 5

2) Dados os pontos A(m , 1 , 0); B(m – 1 , 2m , 2) e C(1 , 3 , -1), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo.

Resolução:

Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB

seja ortogonal ao vetor AC :

0 AC AB AC AB     (-1 , 2m – 1 , 2)  (1 – m , 2 , -1) = 0 - 1 + m + 4m – 2 – 2 = 0 5m = 5 m = 1

Para calcular a área do triângulo, precisamos das medidas de sua base ( AB )

e de sua altura ( AC ):



1,2m 1,2

 

1,1,2



AB ( 1) 1 2 6 AB         2 2  2 



1 m,2, 1

 

0,2, 1



AC 0 2 ( 1) 5 AC        2 2  2  A B C u v u - v  cos sen 0º 90º 180º _ + A B C

Logo, . a . u 2 30 2 5 6 2 AC AB 2 h b A       

3) Determinar o vetor v, sabendo que

, v é ortogonal ao eixo x, 6

w

v   e w i 2j. Resolução:

Seja v 



x,y,z



o vetor procurado.

Como v é ortogonal ao eixo x, tomamos o vetor i 



1,0,0



como representante do eixo x. Portanto, temos:

0 i v i v    



x,y,z

 

 1,0,0



0  x000  x0 Como vw 6, temos:



0,y,z

 

 1,2,0



6  02y06  y3

Por ultimo, para determinarmos o valor de z, usamos o fato de que

: 4 z 16 z 25 z 9 5 z 3 02  2  2    2   2    Logo, v 



0,3,4



ou v 



0,3,4



Cálculo do ângulo entre dois vetores: De u  v  u  v cos, temos: v u v u cos     Exemplos:

1) Calcular o ângulo entre os vetores u



1, 1 ,4



e v



1, 2 , 2



Resolução: 9 8 2 1 v u      2 3 18 16 1 1 u      3 9 4 4 1 v      2 2 2 2 2 1 3 2 3 9 v u v u cos           Logo, 45º 2 2 arccos   

2) Seja o triângulo de vértices A(2 , 1 , 3); B(1 , 0 , -1) e C(-1 , 2 , 1). Determinar o ângulo interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B? Resolução: A B C u v u - v  A B C u v u - v q cos sen 0º 90º 180º _ + A B C A B C B^ 180 - B ^

BC BA BC BA Bˆ cos   



1,1,4



BA 1 1 16 18 3 2 B A BA         



2,2,2



BC 4 4 4 12 2 3 BC        8 8 2 2 BC BA      9 6 2 36 6 8 6 6 6 6 8 3 2 2 3 8 Bˆ cos        Logo, 57,02º 9 6 2 arccos Bˆ  

E, portanto, o ângulo externo ao vértice B, é: 180º - 57,02º = 122,98º

3) Sabendo que o vetor v = (2 , 1 , - 1) forma ângulo de 60º com o vetor AB determinado pelos pontos A(3 , 1 , -2) e B(4 , 0 , m),calcular m.

Resolução: v AB v AB º 60 cos   



1, 1,m 2



A B AB      1 m 2 m 1 2 ) 2 m ( ) 1 ( 2 v AB             

  

1 m 2



1 1 m 4m 4 m 4m 6 1 AB  2   2   2    2    2  

 

1 4 1 1 6 1 2 v  2  2  2     6 6 m 4 m 1 m 2 1 º 60 cos 2 _{  }     

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:





6m 24m 36 1 m 2 m 4 1 6 m 4 m . 6 1 m 2 m 4 1 2 2 2 2           

4 m 2 0 8 m 0 16 m 8 m ) 2 ( 0 32 m 16 m 2 36 m 24 m 6 4 m 8 m 4 2 2 2 2                 

4) Um vetor v do espaço forma com os vetores i e j ângulos de 60º e 120º respectivamente. Determinar o vetor v sabendo que sua norma é 2.

Resolução:

Seja v 



x,y,z



o vetor procurado.

Como v forma ângulo de 60º com o vetor i 



1,0,0



, temos:



 



1 x 2 x 2 1 2 1 z , y , x 0 , 0 , 1 2 1 v i v i º 60 cos           

Como v forma ângulo de 120º com o vetor j 



0,1,0



, temos:



 



1 y 2 y 2 1 2 1 z , y , x 0 , 1 , 0 2 1 v j v j º 120 cos             

Por ultimo, para determinarmos o valor de z, usamos o fato de que v 2:

 

1 z 2 1 1 z 4 z 2 z 2

12  2  2     2   2   

Logo, v 



1,1, 2



ou v 



1,1, 2



Obs.: Os ângulos formados entre um vetor e os eixos coordenados são chamados ângulos diretores.

5) Determinar o vetor v, tal que: v 4; v é ortogonal ao eixo Oz e forma ângulo de 60º com o vetor i e ângulo obtuso com j.

Resolução:

Seja v 



x,y,z



o vetor procurado.

Como v é ortogonal ao eixo z, tomamos o vetor k 



0,0,1



como representante do eixo z. Portanto, temos:

0 k v k v    



x,y,z

 

 0,0,1



0  00z0  z0

Como v forma ângulo de 60º com o vetor i 



1,0,0



, temos:



 



2 x 4 x 2 1 4 1 z , y , x 0 , 0 , 1 2 1 v i v i º 60 cos           

Como v forma ângulo obtuso (maior que 90º) com o vetor j 



0,1,0



, temos:



0,1,0

 

2,y,0



0 y 0 0 v j 0 cos         ()

Por ultimo, para determinarmos o valor de y, usamos o fato de que v 4:

3 2 y 12 y 16 y 4 4 0 y 22  2 2    2   2    De (), temos que y2 3 Logo, v 



2,2 3,0



Projeção de um vetor sobre outro

Sejam u e v vetores não nulos e  o ângulo entre eles:

Seja v₁ é a projeção ortogonal de v sobre u .

Notação: v proj v u 1  u u u u v v proj u           

Observação: veja a demonstração dessa fórmula em WINTERLE (2000).

Exemplos:

1) Dados os vetores u 



3,0,1



e v 



2,1,2



, determinar proj v

u e u proj v . Resolução:













     _{ }                                               5 2 , 0 , 5 6 1 , 0 , 3 5 2 1 , 0 , 3 10 4 1 , 0 , 3 1 1 0 0 3 3 1 2 0 1 3 ) 2 ( u u u u v v proj u













      _{ }                                               9 8 , 9 4 , 9 8 2 , 1 , 2 9 4 2 , 1 , 2 9 4 2 , 1 , 2 2 2 1 1 ) 2 ( ) 2 ( 4 v v v v u u proj v u v u - v q cos sen 0º 90º 180º _ + A B C A B C B^ 180 - B^ v1

2) Sejam os pontos A(-1 , -1 , 2); B(2 , 1 , 1) e C(m , -5 , 3). a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. Resolução:

a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB seja ortogonal ao vetor AC :

0 AC AB AC AB     (3 , 2 , -1)  (m + 1 , - 4 , 1) = 0 3m + 3 – 8 – 1 = 0 3m = 6 m = 2

b) Para determinarmos o ponto H, precisamos, em primeiro lugar, determinar o vetor BH que é a projeção do vetor BA sobre o vetor BC :

) 1 , 2 , 3 ( B A BA      ) 2 , 6 , 0 ( B C BC    













      _        _                                                      10 7 , 10 21 , 0 20 14 , 20 42 , 0 2 , 6 , 0 20 7 2 , 6 , 0 40 4 1 2 , 6 , 0 2 2 ) 6 ( ) 6 ( 0 0 2 1 ) 6 ( ) 2 ( 0 ) 3 ( BC BC BC BC BA BA proj BH BC Como BH = H – B, temos: H = BH + B H =





      _         _ 10 17 , 10 11 , 2 1 , 1 , 2 10 7 , 10 21 , 0 A B H C

3) Sejam A(2 , 1 , 3); B(m , 3 , 5) e C(0 , 4 , 1) vértices de um triângulo. Determine:

a) O valor de m para que o triângulo ABC seja retângulo em A.

b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.

d) Mostrar que AH  BC. Resolução:

a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB seja ortogonal ao vetor AC :

0 AC AB AC AB     (m - 2 , 2 , 2)  (- 2 , 3 , - 2) = 0 - 2m + 4 + 6 – 4 = 0 - 2m = - 6 m = 3

b) A medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é a norma do vetor BH que é a projeção do vetor BA sobre o vetor BC :

) 2 , 2 , 1 ( B A BA       ) 4 , 1 , 3 ( B C BC     









     _{ }                                                    26 36 , 26 9 , 26 27 4 , 1 , 3 26 9 4 , 1 , 3 ) 4 ( ) 4 ( 1 1 ) 3 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( BC BC BC BC BA BA proj BH BC Logo, A B H C

. c . u 26 26 9 26 2106 26 1296 81 729 26 36 26 9 26 27 BH _{2 2} 2 2 2                           c) Como BH = H – B, temos: H = BH + B H =





             _{ } 26 94 , 26 87 , 26 51 5 , 3 , 3 26 36 , 26 9 , 26 27 d) AH  BC  AH  BC 0 De fato:





0 26 64 26 61 26 3 4 , 1 , 3 26 16 , 26 61 , 26 1 _{      }       REFERÊNCIAS

CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Pearson, 2010.

STEINBRUCHY, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 1987.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.