Análise espacial de dados de contagem por meio de um modelo autorregressivo condicional

(1)

Andrine Mendon¸

ca Mˆ

osca

An´

alise Espacial de Dados de Contagem por

Meio de um Modelo Autorregressivo

Condicional

Niter´oi - RJ, Brasil 17 de janeiro de 2017

(2)

Universidade Federal Fluminense

Andrine Mendon¸

ca Mˆ

osca

An´

alise Espacial de Dados de

Contagem por Meio de um Modelo

Autorregressivo Condicional

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Jony Arrais Pinto Junior

Niter´oi - RJ, Brasil 17 de janeiro de 2017

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Universidade Federal Fluminense

Andrine Mendon¸

ca Mˆ

osca

An´

alise Espacial de Dados de Contagem por

Meio de um Modelo Autorregressivo

Condicional

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Análise Espacial de Dados de Contagem por Meio de um Modelo Autorregressivo Condicional”, defendida por Andrine Mendon¸ca Môsca e aprovada em 17 de janeiro de 2017, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Jony Arrais Pinto Junior Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Luis Guillermo Coca Velarde Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Gilberto Pereira Sassi Departamento de Estat´ıstica – UFF

(4)

M894 Môsca, Andrine Mendonça

Análise espacial de dados de contagem por meio de um modelo autorregressivo condicional / Andrine Mendonça Môsca. – Niterói, RJ: [s.n.], 2017.

55f.

Orientador: Prof. Jony Arrais Pinto Junior

TCC (Bacharelado em Estatística) – Universidade Federal Fluminense, 2017.

1.Inferência bayesiana. 2.Análise espacial (Estatística). I. Título.

CDD 519.54

(5)

Resumo

Com a crescente coleta de dados georreferenciados vivenciada nas últimas décadas, surge a necessidade da utiliza¸cão de informa¸cão da localiza¸cão geográfica na modelagem dos mais diversos fenômenos cient´ıficos, principalmente quando o fenômeno de interesse é estudado em uma região com uma grande heterogeneidade espacial. O foco deste tra-balho é no ramo da Estat´ıstica Espacial conhecido como Dados de Área. Desta forma, foi analisado um banco de dados contendo o número de óbitos por álcool nas Unidades Federativas do Brasil, considerando como variáveis regressoras o sexo do ind´ıviduo e a faixa etária em que está incluso (se possui menos de 30 anos de idade ou se possui 30 anos ou mais de idade). Para isto, foram comparados três modelos segundo o critério DIC, para decidir qual se ajusta melhor a estes dados. O modelo 1 não assume dependência espacial estre as regiões; já o modelo 2, assume dependência espacial por meio de uma priori CAR (Besag et al. [1]); e, por fim, o modelo 3, que assume tanto independência, quanto dependência espacial (esta última também por meio de uma priori CAR). O ter-ceiro modelo foi dividido em três versões (3*, 3** e 3***), devido a resultados não muito satisfatórios obtidos no ajuste do mesmo. Em rela¸cão aos resultados, os parâmetros α1 e

α2, associados, respectivamente, ao sexo e faixa et´aria, apresentam estimativas pontuais

positivas, o que mostra que, de acordo com este estudo, o fato do indiv´ıduo ser do sexo masculino e ter 30 anos ou mais de idade, aumenta o número de óbitos por ingestão de bebidas alcoólicas. Além disso, concluiu-se que os modelo 3* e 3**, apresentam menor variabilidade dos efeitos espaciais u e b. Segundo o critério DIC, o modelo 3**, que pos-sui os dois tipos de efeitos aleatórios (com dependência espacial e com independência), e que considera fixa a precisão dos efeitos que assumem dependência espacial (com pri-ori CAR), é o melhor para ajustar os dados. Neste projeto utilizou-se uma abordagem completamente Bayesiana. Toda a metodologia foi implementada no software livre R e OpenBUGS.

(6)

Dedicat´

oria

Dedico este trabalho a todos os meus familiares, amigos e professores, por sempre acreditaram em mim e me apoiaram.

Em especial, à: minha mãe, Maria Angélica, por ser minha fortaleza; minha avó materna, Lucinéa, por todo carinho e incentivo; minha segunda mãe, muito amiga da fam´ılia, Antônia Lúcia; meus avós paternos, Francisco e Marly; meu pai, Altair; meus avós maternos, Lucimar (avó biológica) e Walter; estas últimas cinco pessoas, em memória.

`

As minhas amigas: Let´ıcia Cunha e Thabata Souza, por mostrarem que amizade iniciada no Ensino Fundamental sobrevive sim, independente de qualquer obst´aculo; e Sarah Braga, por toda meiguice, delicadeza e pelo companheirismo.

Aos meus lindos irmãos uffianos: Bruno Leonardo e Daniel Oliveira, por toda esta longa estrada que percorremos juntos, por todas as conquistas que alcan¸camos unidos, por todas as dificuldades que me ajudaram a enfrentar, por todos os conselhos (na vida pessoal e acadêmica), pelas palavras gentis e por todos os abra¸cos carinhosos que recebi. Aos fofos jovens ibgeanos: Maycon Mazotto, por toda sinceridade, companheirismo, conselhos, implicâncias (mais da minha parte do que da dele) e por provar que o fato de ser exibido não altera em nada a humildade presente em sua alma; Rodrigo Ventura, pelos momentos engra¸cados e incr´ıveis, conversas sérias (e outras nem tão sérias assim), incentivo, boas influências, abra¸cos sinceros e acolhedores (mesmo os desajeitados) e por mostrar que apesar do intenso cálculo do PIB trimestral, seu cora¸cão se mantém doce e bondoso; e Ronan Barradas, pelas risadas, carinho infinito, abra¸cos encorajadores, ami-zade inabalável, discussões sobre bom (ou mau) gosto, conversas, maturidade (ou falta desta) e por me tornar uma padawan exemplar.

(7)

Agradecimentos

Primeiramente, `a Deus, por me aben¸coar e me dar for¸cas diante de todas as dificul-dades que tive de enfrentar.

`

A minha fam´ılia, que sempre acreditou em mim. Em especial, minha mãe, Maria Angélica, e minha avó, Lucinéa. Se tenho bom caráter e bom cora¸cão, é porque me espelhei nelas. Além disso, recebi muito amor, carinho e uma excelente educa¸cão.

Aos meus amigos, por sempre torcerem e acreditarem em mim. Obrigada, Amanda Gomes, Deborah Cholodovski, Hugo Fiares, Let´ıcia Cunha, Matheus Camilo, Pedro Hen-rique, Pedro Romeiro, Rayssa da Paz, Sarah Braga, Thabata Costa, Thaylla Carolina e, claro, meus irm˜aos da vida, Bruno Leonardo e Daniel Oliveira, que me ajudaram, estu-daram comigo, foram pacientes e compreensivos, e se foi poss´ıvel concluir este trabalho, foi gra¸cas ao apoio e aos ensinamentos deles.

Aos meus professores, coordenadores e diretores, desde o Ensino Fundamental at´e minha Gradua¸c˜ao, por todo conhecimento que me proporcionaram. Em especial, Jony Arrais, meu orientador, por ter sido paciente, ter me dedicado seu tempo, ter me dado a oportunidade de ser sua orientanda e me ajudar a concluir este projeto.

Aos meus grandes amigos do IBGE, por me receberem com tanto carinho e por faze-rem as horas de estágio serem tão prazerosas. Aprendi muito, me diverti muito e conheci pessoas incr´ıveis e maravilhosas, que levarei comigo por toda a vida. Obrigada, Andréa Bastos, Arthur Cepeda, Augusto Fadel, Breno Campolina, Carlos Arieira, Carlos So-bral, Daniel de Almeida, Eliseu Oliveira, Emanuel Rodrigues, Eudes Monteiro, Francisco Marta, Frederico Barcellos, Henny Buckentin, Inês Teixeira, Júlio Siqueira, Kézia da Cu-nha, Lúcia Ribeiro, Márcia Quintslr, Maycon Mazotto, Paulo Gonzaga, Pedro Albuquer-que, Pedro Sotto, Priscila Koeller, Rodrigo Ventura, Ronan Barradas, Roselir Baptista, Samuel Cruz, e a todas as outras pessoas especiais que convivi no IBGE.

A todos os bichinhos que tive, por compartilharem comigo momentos de alegria e leveza, por me entederem e ficarem ao meu lado nos momentos tristes. Obrigada, meu brutamonte, Banzé; meu ca¸cula, Ícaro; minha magrela, Paloma; e minhas estrelinhas, Bochecha, Cristal, Docinho, Mimi, Rex, Slash, Tina e Vitória.

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Sum´

ario

Lista de Figuras Lista de Tabelas 1 Introdu¸c˜ao p. 11 2 Objetivos p. 14 3 Materiais e M´etodos p. 15

3.1 Inferˆencia Bayesiana . . . p. 15 3.1.1 Teorema de Bayes . . . p. 16 3.1.2 Monte Carlo via Cadeia de Markov - MCMC . . . p. 17 3.1.3 Estima¸c˜ao Bayesiana . . . p. 19 3.2 Estat´ıstica Espacial . . . p. 21 3.3 Modelos Estudados . . . p. 24 3.3.1 Modelo 1 . . . p. 25 3.3.2 Modelo 2 . . . p. 30 3.3.3 Modelo 3 . . . p. 34 3.4 Deviance Information Criterion - DIC . . . p. 37

4 An´alise dos Resultados p. 38

4.1 Base de Dados . . . p. 38 4.2 Modelos . . . p. 39 4.3 Resultados . . . p. 42

(9)

5 Conclus˜ao p. 52

(10)

Lista de Figuras

1 Mortalidade por homic´ıdios o Rio de Janeiro para os triˆenios 1979-1981

e 1990-1992 (Câmara [2]) . . . p. 22 2 Distribui¸cão de perfis e amostras de solo em Santa Catarina (figura à

esquerda) e distribui¸cão cont´ınua estimada para a variável satura¸cão por

bases (figura à direita) (Câmara [3]) . . . p. 23 3 Exemplo de tipos de padrão de pontos (Louren¸co [4]) . . . p. 23 4 Região S particionada . . . p. 27 5 Número de óbitos por álcool em cada UF . . . p. 42 6 Número de óbitos por álcool para cada categoria de sexo e faixa etária

em cada UF . . . p. 43 7 Histogramas das distribui¸c˜oes a posteriori do parˆametro δ para cada

modelo utilizado . . . p. 44 8 Histogramas das distribui¸c˜oes a posteriori do efeito do sexo α1 para cada

modelo utilizado . . . p. 45 9 Histogramas das distribui¸c˜oes a posteriori do efeito da faixa et´aria α2

para cada modelo utilizado . . . p. 46 10 Gr´afico das medianas e intervalo de credibilidade de 95% das distribui¸c˜oes

a posteriori do parâmetro u para cada modelo utilizado . . . p. 47 11 Histogramas das distribui¸cões a posteriori do parâmetro τu para cada

modelo utilizado . . . p. 47 12 Gr´afico das medianas e intervalo de credibilidade de 95% das distribui¸c˜oes

a posteriori do parâmetro b para cada modelo utilizado . . . p. 48 13 Histogramas das distribui¸cões a posteriori do parâmetro τb para cada

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Lista de Tabelas

1 Configura¸c˜oes das covari´aveis Vj no exemplo . . . p. 28

2 Resultado do teste I de Moran . . . p. 43 3 Medianas e Intervalos de Credibilidade de 95% para os parˆametros δ, α1

e α2 dos modelos ajustados . . . p. 49

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11

1 Introdu¸

c˜

ao

Cada vez com maior frequência, métodos estat´ısticos tem sido utilizados para explicar fenômenos da natureza e cotidianos. O uso desses recursos, na maioria das vezes, facilita o entendimento e ajuda a prever o comportamento do evento de interesse. Por este motivo, a procura de pesquisadores por explica¸cões usando modelos estat´ısticos tem aumentado.

Dentro da Estat´ıstica, há um tipo de abordagem que estuda dados espaciais, cujo nome é Estat´ıstica Espacial. Maiores detalhes sobre esta área que vem crescendo ao longo das últimas décadas podem ser vistos, por exemplo, por Ripley [5] e Cressie [6].

Um dos poss´ıveis tipos de dados analisados pela Estat´ıstica Espacial s˜ao os dados de ´

area. O estudo de dados de área é um ramo desta abordagem que consiste em entender um fenômeno de interesse numa determinada região particionada em sub-regiões ou áreas, que podem ser munic´ıpios, bairros ou setores censitários. Para este grupo de dados, a localiza¸cão exata do evento não importa, o que interessa é apenas o número de eventos observado em cada sub-região.

Modelagens desse tipo são muito comuns quando deseja-se estudar doen¸cas ou proble-mas sociais, mais especificamente, quando a variável que deseja-se estudar é a contagem do número de casos ocorridos do fenômeno de interesse, o que, além de produzir informa¸cões a respeito do problema, como regiões com maiores intensidades e quais covariáveis afetam diretamente a maior ocorrência de casos, serve como alerta a popula¸cão sobre o porquê da preven¸cão do problema em questão.

Dentre os modelos utilizados para a modelagem de problemas com estas caracter´ısticas, um dos mais utilizados ´e o modelo condicional autorregressivo Gaussiano intr´ınseco (CAR), que foi introduzido por Besag [1], em 1974 . Inicialmente, estes modelos eram conhecidos por “Campo Aleat´orio Markoviano Gaussiano” (CAMG).

Diversos trabalhos vem utilizando as ideias contidas em Besag [1], como, por exemplo, em Vivar [7], tese na qual interessou-se em propor uma classe de modelos espa¸co-temporais para dados de ´area na fam´ılia exponencial; e em Ferreira [8], em que houve o interesse em

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1 Introdu¸c˜ao 12

modelar o número de casos de dengue nos bairros do munic´ıpio do Rio de Janeiro. Na segunda referência, o autor, assim como neste trabalho, em uma de suas análises, adotou o efeito CAR como distribui¸cão a priori (permitindo uma interpreta¸cão de efeito espacial para o mesmo), além de adotar também efeitos que pressupõem independência entre si. A diferen¸ca é que, no modelo em que o efeito CAR foi considerado, optou por testar várias estruturas de vizinhan¸ca. Os resultados satisfatórios obtidos pelo autor (Ferreira [8]), serviram como motiva¸cão para dar continuidade a este trabalho.

Pode-se ainda citar o trabalho de Caumo [9], que também optou por trabalhar com da-dos de área sobre o mapeamento de doen¸cas relacionadas à natalidade em mulheres jovens. Em um trabalho recente, Paez e Gamerman [10], em suas análises sobre concentra¸cões de part´ıculas inaláveis na região metropolitana do Rio de Janeiro, também fizeram um estudo espa¸co-temporal aplicando o efeito CAR como priori para a componente espacial. Agora, suponha que um pesquisador esteja interessado em estudar o número de óbitos decorrentes da ingestão de bebidas alcoólicas. Sabe-se que problemas desse tipo podem acarretar tanto na morte de quem consome, quanto na de terceiros. Para o trabalho em questão, será utilizada uma base de dados reais com o número de mortos por consumo de ´

alcool nas Unidades Federativas brasileiras, entre os anos de 1998 a 2012.

Questões como a que foi citada acima podem estar relacionada com problemas básicos da sociedade, como, por exemplo, analfabetismo ou educa¸cão precária, IDH da popula¸cão, renda mensal média, entre outros, sendo estas covariáveis associadas ao local onde ocor-reu o óbito. Além disso, pode-se considerar como influência do fenômeno analisado algu-mas informa¸cões a respeito dos próprios indiv´ıduos (covariáveis não-espaciais), como, por exemplo, sexo, idade, entre outros.

O objetivo deste trabalho é estudar modelos para dados de área, considerando a presen¸ca de covariáveis espaciais e não espaciais para o número de óbitos decorrentes da ingestão de bebidas alcoólicas. Como serão estudados mais de um modelo, tem-se como objetivo, também, utilizar um critério de sele¸cão de modelos para escolher o “melhor” modelo.

O trabalho em questão está dividido em cinco cap´ıtulos, sendo, a introdu¸cão, o pri-meiro. Seguido pelo Cap´ıtulo 2, que apresenta os objetivos do trabalho, em que o principal é comparar os três modelos propostos utilizando o critério DIC.

Já no Cap´ıtulo 3, é apresentada toda a metodologia necessária para a realiza¸cão do trabalho. Este cap´ıtulo é composto por quatro se¸cões: a Se¸cão 3.1, que apresenta os

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1 Introdu¸c˜ao 13

principais pontos da inferência bayesiana; a Se¸cão 3.2 que descreve o ramo da estat´ıstica conhecido como Estat´ıstica Espacial, mostrando os três grupos de dados abordados nesta ´

area de estudo; a Se¸cão 3.3, que expõe os três modelos propostos para ajustar os dados; e, por fim, a Se¸cão 3.4, que explica como calcular e qual é a regra de decisão do DIC

O Cap´ıtulo 4 apresenta os resultados obtidos no tabalho, o qual está dividido em três se¸cões: a Se¸cão 4.1, que descreve a base de dados; a Se¸cão 4.2, que mostra os modelos já aplicado aos dados; e a Se¸cão 4.3, que mostra a decisão tomada a partir do DIC. Finalizando, segue o Cap´ıtulo 5, que explicita a coclusão do trabalho.

(15)

14

2 Objetivos

Este trabalho tem como objetivo principal estudar modelos para dados de contagem, em que alguns destes utilizam efeitos autorregressivos condicionais. Para tal, ser˜ao reali-zados os seguintes passos:

• Estudar trˆes modelos para dados de contagem:

– um modelo que supõe independência entre as regiões;

– um modelo em que as regiões são dependentes, tais que existe um efeito que representa uma espécie de média ponderada dos bairros com os quais fazem vizinhan¸ca;

– um terceiro modelo que apresenta componentes presentes nos dois modelos anteriores.

• Ajustar os modelos em um conjunto de dados reais referentes a quantidade de ´obitos pelo consumo de ´alcool nos estados brasileiros sob um enfoque bayesiano;

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15

3 Materiais e M´

etodos

Note que, neste trabalho deseja-se modelar, sob o enfoque bayesiano, dados de conta-gem por meio de modelos autorregressivos condicionais. Deste modo, é necessário enten-der as ferramentas que compõem este processo. Por isso, este cap´ıtulo tem como objetivo apresentar, de forma sucinta, as fundamenta¸cões teóricas, modelos e métodos que estarão presentes neste trabalho.

3.1 Inferˆ

encia Bayesiana

Aqui será apresentada uma breve explica¸cão do que é a inferência Bayesiana, sua importância e aplica¸cão.

Para se definir inferência Bayesiana, é necessário inicialmente se discutir o que é inferência. A inferência utilizada com frequência quando deseja-se fazer afirma¸cões sobre medidas desconhecidas, as quais são chamadas de parâmetros, como, por exemplo, uma média populacional ou a probabilidade de contrair uma determinada doen¸ca.

A principal diferen¸ca entre a inferência Clássica e a Bayesiana é que, na citada primei-ramente, o parâmetro é uma quantidade fixa e desconhecida. Enquanto, na Bayesiana, esta quantidade também é desconhecida, porém não mais fixa, e sim aleatória. Desta forma, toda informa¸cão dispon´ıvel é necessária para se inferir, inclusive alguma “cren¸ca” a priori a respeito do parâmetro em questão.

Na próxima subse¸cão, será apresentado um importante resultado utilizado na in-ferência Bayesiana, denominado Teorema de Bayes, a partir do qual é poss´ıvel calcular a distribui¸cão a posteriori para um parâmetro de interesse.

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3.1 Inferˆencia Bayesiana 16

3.1.1 Teorema de Bayes

O Teorema de Bayes é um método de atualiza¸cão de probabilidades. Desta forma, permite encontrar a probabilidade (ou distribui¸cão) a posteriori para o parâmetro (ou, em alguns casos, vetor de parâmetros) de interesse. A distribui¸cão a posteriori é a pro-babilidade condicional atribu´ıda ao parâmetro após considerar a evidência ou evento que influencie no mesmo.

Para isto, é necessário que a distibui¸cão a priori do parâmetro seja conhecida e que a fun¸cão de verossimilhan¸ca já tenha sido calculada. A distribui¸cão a priori é a probailidade antes de qualquer dado ou evidência sobre o parâmetro e a verossimilha¸ca é uma fun¸cão que, a partir de um banco de dados observados, permite fazer inferências sobre o valor do mesmo.

Por simplicidade, considerar dois eventos, A e B. Assim, para encontrar a distribui¸c˜ao a posteriori de A, denotada por p(A|B), aplica-se o Teorema de Bayes da seguinte forma:

p(A|B) = p(A ∩ B)

p(B) . (3.1)

Note que pode-se obter de (3.1) o seguinte resultado:

p(A ∩ B) = p(A|B)p(B). (3.2)

Aplicando-se o Teorema de Bayes como foi feito em (3.1), tem-se que a distribui¸c˜ao de B dado A ´e dada por:

p(B|A) = p(A ∩ B)

p(A) . (3.3)

Agora, seguindo o mesmo racioc´ınio de (3.2):

p(A ∩ B) = p(B|A)p(A). (3.4)

Com base em (3.1), (3.2), (3.3) e (3.4), tem-se que:

p(A|B) = p(B|A)p(A)

p(B) ,

em que p(A) é a distribui¸cão a priori de A, p(B) é a distribui¸cão a priori de B, p(B|A) é a distribui¸cão a posteriori de B e p(A|B) é a distribui¸cão a posteriori de A.

Há outros teoremas e métodos importantes utilizados na inferência Bayesiana e que também serão necessários para este trabalho. Entre estes, estão os métodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC), que são bastante úteis quando deseja-se amostrar

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a partir das distribui¸c˜oes a posteriori obtidas.

3.1.2 Monte Carlo via Cadeia de Markov - MCMC

Para amostrar de uma certa distribui¸cão p(·) usando um algoritmo MCMC, este deve produzir uma cadeia de Markov que seja homogênea, ergódica e irredut´ıvel, e que possua distribui¸cão estacionária p(·).

Uma cadeia de Markov é denominada homogênea se a probabilidade de transi¸cão for estacionária; é dita ergódica quando esta é aperiódica e recorrente positiva; é recorrente positiva quando o número médio de passos até que a cadeia retorne a qualquer estado é finito; e, finalizando, uma cadeia é dita irredut´ıvel quando é sempre poss´ıvel mudar de um estado para outro, sendo que esta mudan¸ca não ocorre, necessariamente, em um único passo.

A seguir ser˜ao apresentados dois algoritmos MCMC utilizados para amostrar a partir das distribui¸c˜oes condicionais completas.

• Algoritmo Amostrador de Gibbs

O algoritmo foi proposto, em 1984, por Geman e Geman [11]. Por´em, apenas em 1990, Gelfand e Smith [12] expuseram essas ideias para toda a comunidade estat´ıstica.

Utiliza-se este método quando a disribui¸cão que deseja-se amostrar é conhecida, porém, este procedimento é custoso ou é dif´ıcil de executar.

Seja um vetor de parˆametros θ = (θ1, θ2, ..., θt)T que possui distrbui¸c˜ao p(θ). A

amostra, de tamanho m, que deseja-se obter ´e (θ(1), θ(2), ..., θ(m))T, em que θ(i) ∼ p(θ), i = 1, ..., m.

O parˆametro θj, j = 1, ..., t pode ser um escalar, um vetor ou uma matriz.

Considera-se θ−r o conjunto de vari´aveis θ exceto o r-´esimo elemento.

As distrbui¸cões pr(θr) = p(θr|θ−r), r = 1, ..., t são denominadas por distribui¸cões

con-dicionais completa, que, para este caso, ser˜ao consideradas conhecidas. Desta forma, abaixo s˜ao descritos os passos do amostrador de Gibbs:

1. Um valor inicial aleat´orio ´e escolhido para cada θr, r = 1, ..., t, em que θ(0) =

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2. O contador da itera¸c˜ao ´e inicializado: i = 1;

3. Um novo valor θ(i) = (θ₁(i), θ(i)₂ , ..., θ(i)_t ) ´e obtido por meio das distribui¸c˜oes condicio-nais completas: θ₁(i) ∼ p(θ1|θ (i−1) 2 , θ (i−1) 3 , ..., θ (i−1) t )T θ₂(i) ∼ p(θ2|θ (i) 1 , θ (i−1) 3 , ..., θ (i−1) t )T .. . θ_t(i−1) ∼ p(θt|θ (i) 1 , θ (i) 2 , ..., θ (i) t−1) T_;

4. O contador ´e alterado de i para i + 1;

5. Os itens (3) e (4) devem ser repetidos at´e obter convergˆencia.

A convergência das cadeias de Markov é esperada após um per´ıodo chamado de aque-cimento ou burn-in. Para diminuir a autocorrela¸cão dos parâmetros pode-se usar o que denomina-se de espa¸camento ou thin, após o aquecimento.

A quantidade de itera¸cões necessárias para o aquecimento é (w−1) e z é o espa¸camento. Então, é poss´ıvel obter as amostras

θ(w), θ(w+z), θ(w+2z),

s˜ao usados como sendo a amostra de θ da distribui¸c˜ao de interesse.

• Algoritmo Metropolis-Hastings

O algoritmo em quest˜ao foi proposto em 1953 por Metropolis et al. [13], e posterior-mente, em 1970, aperfei¸coado por Hastings [14].

Deseja-se amostrar da distribui¸cão p(φ). Da mesma maneira que acontece no algo-ritmo amostrador de Gibbs, o de Metropolis-Hastings, partindo de uma cadeia de Markov, cria uma sequência φ(0), φ(1), ... , que possui p(φ) como distibui¸cão limite. É utilizado

quando a distribui¸cão condicional completa é uma distribui¸cão desconhecida ou quando esta não pôde ser reconhecida.

Segue abaixo o funcionamento do algoritmo Metropolis-Hastings:

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2. O contador da itera¸c˜ao ´e incializado: i = 1;

3. De uma distribui¸cão conhecida, denominada por distribui¸cão proposta ou fun¸cão de densidade de transi¸cão, é gerado ξ ∼ q ξ|φ(i−1)_.

O ponto gerado tem min 1, p(ξ) q₍ξ|φ(i−1)₎ q₍φ(i−1)_|ξ₎ p₍φ(i−1)₎

de probabilidade de ser aceito, em que a distribui¸cão de interesse é p(·). Se o ponto for aceito, φ(i) = ξ. Se não for, φ(i) _{= φ}(i−1)_{, e a cadeia mantˆ}_{em-se im´}_ovel;

4. O contador ´e alterado de i para i + 1;

5. Os passos 3 e 4 são repetidos até obter covergência.

3.1.3 Estima¸

c˜

ao Bayesiana

Assim como na inferência Clássica, na Bayesiana também existem duas formas de se fazer estima¸cão: pontual e intervalar.

Este tópico apresentará a descri¸cão desses dois métodos. Antes disso, é válido lembrar a defini¸cão de estimador.

Defini¸cão: Um estimador de um parâmetro é qualquer fun¸cão dos dados (amostra). Deseja-se que esta fun¸cão represente bem o valor verdadeiro do parâmetro.

• Estima¸c˜ao Pontual

Para a estima¸cão pontual, utiliza-se o estimador de Bayes, que nada mais é do que um estimador escolhido com o intuito de minimizar a média a posteriori de alguma medida de distância entre o estimador e o parâmetro.

Seja y1, ..., ykvariáveis aleatórias cuja distribui¸cão conjunta depende de um parâmetro

θ.

Então, de acordo com a defin¸cão apresentada anteriormente, um estimador para o parâmetro θ é qualquer fun¸cão de y, g(y1, ..., yk). Já a estimativa é esta fun¸cão aplicada

aos yi, i = 1, ..., k, observados.

O estimador de Bayes varia de acordo com o tipo de fun¸cão perda, que é uma fun¸cão real de duas variáveis, P (θ, ˆθ), sendo θ ∈ Ω (espa¸co amostral) e ˆ_{θ ∈ R.}

Esta fun¸cão possui a seguinte interpreta¸cão: haverá uma perda P (θ, ˆθ) se o valor verdadeiro do parâmetro for θ e o estimador for ˆθ.

(21)

Os diferentes tipos de fun¸c˜ao perda ser˜ao explicitados mais adiante.

Porém, quando há dificuldade em coletar um conjunto de dados ou este procedimento não é poss´ıvel, considerando p(θ) a distribui¸cão a priori do parâmetro θ, deve-se escolher uma estimativa particular ˆθ. Então, a perda esperada será:

EhP θ, ˆθi= Z

Ω

P (θ, ˆθ)p(θ)dθ.

Assim, um estimador para ˆθ ser´a escolhido de modo a minimizar a perda esperada. Considerando ainda os y1, ..., yk observados, e seja p(θ|y1, ..., yk) a distribui¸c˜ao a

pos-teriori de θ, a perda esperada, também denominada por risco de uma regra de decisão, é dada por: R(ˆθ) = Eθ|y h P θ, ˆθi= Z Ω P (θ, ˆθ)p(θ|y1, ..., yk)dθ,

em que, da mesma forma, escolhe-se ˆθ de maneira que o risco seja m´ınimo.

A regra de decisão δ∗ é dita ótima e denomina-se esta de estimador de Bayes quando considera-se uma fun¸cão perda P (θ, ˆθ), uma fun¸cão das variáveis δ∗ = g(y) e y = (y1, ..., yk)T, supondo E

h

P θ, ˆθi o m´ınimo poss´ıvel, R (δ∗) < R (δ), ∀δ. Diante disto, o risco desta regra ´e chamado de risco de Bayes.

Agora, tendo em vista as defini¸cões expostas, seguem os três tipos conhecidos de fun¸cão perda:

1. Perda Quadr´atica

P (θ, ˆθ) = (θ − ˆθ)2

Neste caso, o estimador de Bayes para o parâmetro θ é dado por E[θ|y1, .., yk] (média

a posteriori de θ). Este tipo de perda ´e caraterizado por penalizar bastante o erro de estima¸c˜ao.

2. Perda Absoluta

P (θ, ˆθ) = |θ − ˆθ|

Esta fun¸cão é conhecida por suas puni¸cões apresentarem um crescimento linear com o erro de estima¸cão. O estimador de Bayes associado a este tipo de perda é a mediana a posteriori de θ.

(22)

3.2 Estat´ıstica Espacial 21 3. Perda 0-1 P (θ, ˆθ) = ( 1, se |θ − ˆθ| > ε, ∀ε > 0 0, se |θ − ˆθ| < ε .

J´a neste caso, o estimador de Bayes associado ´e a moda a posteriori de θ.

• Estima¸c˜ao Intervalar

Na inferência Bayesiana, a estima¸cão intervalar é chamada de intervalo de credibili-dade.

Considerar θ o parâmetro (em alguns casos, pode ser um vetor de parâmetros) que deseja-se estimar, o qual está definido em Θ (espa¸co paramétrico). Seja também RC uma quantidade intervalar que, por sua vez, está contida em Θ.

Se P (θ ∈ RC|y) > 1 − α, em que y são os y1, ..., yk observados, então a região RC é

uma regi˜ao de credibilidade de 100(1 − α)% para θ.

Os limites inferior e superior da RC são os quantis da distribui¸cão a posteriori do parâmetro (ou vetor de parâmetros) de interesse, para um n´ıvel de credibilidade de (1 − α)%.

A seguir será discutido de forma resumida a área da Estat´ıstica responsável pela modelagem de dados georreferenciados: a Estat´ıstica Espacial.

3.2 Estat´ıstica Espacial

Todo dado observado possui informa¸cões temporal e espacial. Estas informa¸cões po-dem ser consideradas ou não na hora de modelar os dados.

A modelagem espacial é um ramo da estat´ıstica utilizado quando a localiza¸cão ge-ográfica do fenômeno de estudo influencia nos resultados da análise. O objetivo de intro-duzir a localiza¸cão no modelo é tornar a explica¸cão do comportamento do fenômeno de interesse mais clara e realista.

As três poss´ıveis classifica¸cões para os conjuntos de dados espaciais, de acordo com as teorias de Cressie [6] e Banerjee et al. [15], são:

(23)

3.2 Estat´ıstica Espacial 22

• Dados de área: Neste tipo de dados, particiona-se a região de estudo em áreas, onde, em cada parti¸cão, são medidas as variáveis de interesse e as covariáveis que, de alguma forma, afetam a distribui¸cão das variáveis em questão. Esta abordagem tem como objetivo a verifica¸cão da existência de um padrão ou estrutura de correla¸cão espacial nas observa¸cões. Neste caso, as localiza¸cões da variável de interesse, a qual ´

e discreta, s˜ao fixas. A Figura 1 apresenta um exemplo para ilustrar este tipo de dados.

Figura 1: Mortalidade por homic´ıdios o Rio de Janeiro para os triˆenios 1979-1981 e 1990-1992 (Cˆamara [2])

• Geoestat´ıstica: É um tipo de modelagem probabil´ıstica utilizada para análise e mapeamento de dados levando em considera¸cão a sua distribui¸cão espacial e tempo-ral. Tem aplica¸cão direta quando deseja-se estimar valores da variável de interesse em locais que não foram considerados na amostra (predi¸cão espacial). Neste caso, as localiza¸cões também são ditas fixas, já a variável de interesse é continua. A Figura 2 exemplifica este tipo de dados.

(24)

3.2 Estat´ıstica Espacial 23

Figura 2: Distribui¸cão de perfis e amostras de solo em Santa Catarina (figura à esquerda) e distribui¸cão cont´ınua estimada para a variável satura¸cão por bases (figura à direita) (Câmara [3])

• Padrões de Pontos: O objetivo principal da análise destes dados é o estudo da distribui¸cão espacial dos pontos (localiza¸cões), testando se o padrão observado é aleatório, apresenta aglomerados ou apresenta uma distribui¸cão regular. A Figura 3 mostra estes poss´ıveis padrões que os dados podem apresentar.

Figura 3: Exemplo de tipos de padr˜ao de pontos (Louren¸co [4])

O enfoque deste trabalho se dará em dados de área. Como foi apresentado acima, neste tipo de dados, mede-se a variável de interesse em cada parti¸cão da região de estudo. Desta forma, deve-se decidir se há dependência ou não entre as parti¸cões vizinhas e, caso haja, decidir o grau de proximidade espacial entre essas áreas (uma espécie de “peso” que quantifica o grau de influência que cada vizinho exerce sobre outro).

O principal objetivo do estudo de dados de área é identificar se a variável de interesse apresenta algum padrão espacial e se existe rela¸cão espacial entre esta e as covariáveis consideradas no estudo. Recomenda-se que este tipo de abordagem seja utilizada em estudos nos quais os dados analisados tenham sido coletados a partir de levantamentos populacionais, como, por exemplo, o censo, realizado pelo IBGE.

(25)

3.3 Modelos Estudados 24

Estes dados podem ser representados graficamente por meio de um Mapa de Padrão de Cores (Choropleth Map), em que as áreas do mapa são coloridas de acordo com uma escala discreta associada aos seus respectivos valores, vide o trabalho de Caumo [9]. Esta escala de cores pode ter seu número de classes calculado com base no que foi sugerido por Bailey e Gatrell [16]. Uma dessas op¸cões é a utiliza¸cão de quantis ou frequências pré-definidas.

Em rela¸cão a autocorrela¸cão espacial, Moran [17] e Geary [18] apresentam ´ındices que ajudam a quantificar a magnitude da mesma. No trabalho escrito por Braga et al. [19], o Índice Global de Moran tem sua fórmula explicitada, além de também mostrar como é feita a estima¸cão da variável de interesse por meio da Média Móvel Espacial. Segundo o mesmo autor (Braga et al. [19]), esta é uma espécie de média ponderada, a qual representa uma maneira simples para avalia¸cão de varia¸cões e tendências, vide o livro de 1995 de Bailey e Gatrell [16].

Tendo em vista que o trabalho em questão utiliza o efeito CAR em alguns modelos, é válido citar que os artigos de Besag [20], Clayton e Kaldor [21], Cressie e Chan [22], Waller et al. [23], Xia e Carlin [24] foram alguns dos pioneiros no assunto.

Na se¸c˜ao seguinte ser˜ao apresentados os modelos estudados neste trabalho.

3.3 Modelos Estudados

Suponha que um pesquisador, que está estudando a contagem do número de casos de dengue em uma certa região S = ∪k

i=1Si, com Si ∩ Sl = ∅ se i 6= l, deseja verificar

se covariáveis como, por exemplo, número de agentes que visita as casas da região, sexo e idade dos infectados, podem ajudar a explicar a varia¸cão espacial observada nos casos da doen¸ca para aquela região. Note que, existe diferen¸ca entre os tipos de covariáveis consideradas. Aqui, tem-se covariáveis associadas ao espa¸co (número de agentes que visita as casas da região) e covariáveis associadas aos indiv´ıduos (sexo e idade). Neste trabalho, as covariáveis associadas ao espa¸co serão denotadas por X e aos indiv´ıduos por V .

O uso de covariáveis não-espaciais aparece constantemente em muitas áreas, princi-palmente na área médica, onde deseja-se estudar a distribui¸cão espacial de uma doen¸ca espec´ıfica em fun¸cão de caracter´ısticas das unidades experimentais, como, por exemplo, idade, escolaridade, gênero e etc. Assim, vê-se a importância de tratar modelos com estas caracter´ısticas.

(26)

Assuma que foram observados um vetor V = (V1, . . . , Vp1) de covari´aveis associadas

aos indiv´ıduos e um vetor X = (X1, . . . , Xp2) de covari´aveis espaciais. De modo que,

Xi, i = 1, . . . , k é o vetor de covariáveis associadas à região i e Vj, j = 1, . . . , v é o vetor

com uma configura¸cão pertencente ao espa¸co de todas as configura¸cões poss´ıveis V. Para entender melhor a composi¸cão de V, suponha, por exemplo, que as covariáveis associadas aos indiv´ıduos observadas sejam gênero e idade e entre os eventos observados existiam pessoas dos gêneros masculino (M) e feminino (F) e com idades iguais a 20, 21 e 22 anos. Neste caso, V seria um espa¸co composto pelas seguintes configura¸cões

V = {(F, 20); (F, 21); (F, 22); (M, 20); (M, 21); (M, 22)}.

Para todos os modelos estudados neste trabalho, considere que foi observado o vetor y = (y1, . . . , yk)T, com yi = (yi1, ..., yiv), i = 1, . . . , k, em que yij ´e o n´umero de casos do

evento de interesse na regi˜ao i com configura¸c˜ao j. Cada yij, i = 1, ..., k e j = 1, ..., v, segue

uma distribui¸cão Poisson com média Λij = rijλij, em que rij é conhecido (no trabalho em

questão, assume o total da popula¸cão de indiv´ıduos do tipo Vj pertencentes à sub-região

i) e λij ´e uma informa¸c˜ao desconhecida. Sendo assim:

yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., k e j = 1, ..., v. (3.5)

Os modelos estudados neste trabalho, se diferem em fun¸cão da especifica¸cão da parte desconhecida λij. Além disso, não houve um critério para as escolhas das distribui¸cões a

priori nem dos valores atribu´ıdos aos parâmetros das mesmas, o que a literatura chama de prioris vagas. O trabalho de Ehlers [25] sobre Inferência Bayesiana apresenta explica¸cões a respeito deste tipo de priori.

A seguir ser˜ao apresentados os trˆes modelos com suas particularidades.

3.3.1 Modelo 1

Neste modelo, não será considerada nenhuma dependência espacial entre as sub-regiões. Desta forma, cada ui, i = 1, ..., k (componentes do vetor de efeitos espaciais

u), segue uma distribui¸cão Normal de média 0 e variância τ_u−1. Segue, abaixo, a com-posi¸cão do modelo 1:

(27)

3.3 Modelos Estudados 26 yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., k e j = 1, ..., v Λij = rijλij log(λij) = δ + αTVj + βTXi+ ui u = (u1, ..., uk)T ∼ Nk(0, τu−1Ik) δ ∼ N (t, η1) α ∼ Np1(o, η2Ip1) β ∼ Np2(a, η3Ip2), em que τu ∼ Gama(c, d),

e p1 e p2 correspondem, respectivamente, ao número de covariáveis não-espaciais e

espa-ciais presentes no modelo.

A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para este modelo ´e dada por:

L(δ, α, β, u|y) = exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj + βTXi+ ui} ) × k Y i=1 v Y j=1 (rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ ui})yij yij! . (3.6) Exemplo

Para ilustrar o modelo, suponha que foram observados 15 ocorrências do evento de interesse na região S particionada em 9 sub-regiões como mostra a Figura 4:

(28)

Figura 4: Regi˜ao S particionada

Apesar da Figura 4 apresentar a localiza¸cão do evento de interesse, aqui o interesse se dá no número de ocorrências do evento em cada sub-região. Como motiva¸cão, considere que a região S representa a cidade de Niterói particionada por seus bairros e suponha ainda o exemplo em que há o interesse em modelar o número de casos de dengue nos bairros da cidade de Niterói, considerando as covariáveis “número de agentes que visita as casas dos bairros” e “programa de coleta de lixo consciente”. Considerar também que V é composto por vetores com caracter´ısticas dos indiv´ıduos que fazem parte da base de dados, neste caso, sexo (0 = “Feminino” e 1 = “Masculino”) e mora com a fam´ılia (0 = “Não” e 1 = “Sim”). Desta forma, V = {V1, . . . , V4}, é da seguinte forma:

V1 = (0, 0)T : Mulheres que n˜ao moram com a fam´ılia

V2 = (0, 1)T : Mulheres que moram com a fam´ılia

V3 = (1, 0)T : Homens que n˜ao moram com a fam´ılia

V4 = (1, 1)T : Homens que moram com a fam´ılia.

Para o exemplo em questão, tem-se as seguintes configura¸cões de indiv´ıduos por sub-região, apresentadas na Tabela 1:

(29)

Sub-regi˜ao V1 V2 V3 V4

1 um indiv´ıduo um indiv´ıduo um indiv´ıduo

2 um indiv´ıduo

3 um indiv´ıduo

4 um indiv´ıduo

5 dois indiv´ıduos um indiv´ıduo

6

7 um indiv´ıduo um indiv´ıduo

8 um indiv´ıduo

9 um indiv´ıduo um indiv´ıduo um indiv´ıduo

Tabela 1: Configura¸c˜oes das covari´aveis Vj no exemplo

Portanto, para este exemplo, a verossimilhan¸ca assume a seguinte forma:

L(δ, α, β, u|y) ∝ [r11exp{δ + αTV1+ βTX1 + u1}]1× [r12exp{δ + αTV2 + βTX1+ u1}]1

× [r13exp{δ + αTV3+ βTX1 + u1}]1× [r24exp{δ + αTV4 + βTX2+ u2}]1 × [r32exp{δ + αTV2+ βTX3 + u3}]1× [r41exp{δ + αTV1 + βTX4+ u4}]1 × [r53exp{δ + αTV3+ βTX5 + u5}]2× [r54exp{δ + αTV4 + βTX5+ u5}]1 × [r71exp{δ + αTV1+ βTX7 + u7}]1× [r74exp{δ + αTV4 + βTX7+ u7}]1 × [r84exp{δ + αTV4+ βTX8 + u8}]1× [r92exp{δ + αTV2 + βTX9+ u9}]1 × [r93exp{δ + αTV3+ βTX9 + u9}]1× [r94exp{δ + αTV4 + βTX9+ u9}]1 × exp ( − 9 X i=1 4 X j=1 rijexp{δ + αTVj+ βTXi + ui} ) .

Inferˆencia para o modelo 1

Com base no modelo 1 descrito acima, para fazer inferência Bayesiana será necessário definir a distribui¸cão a priori conjunta, a qual, assumindo independência a priori de δ, α, β, u e τu pode ser definida como:

p(δ, α, β, u, τu) = p(δ)p(α)p(β)p(u|τu)p(τu), em que p(u|τu) ∝ τ k 2 u exp n −τu 2 u T_uo . (3.7)

(30)

. Também é necessário calcular a distribui¸cão a posteriori conjunta, que é dada por:

p(δ, α, β, u, τu|y) ∝ L(δ, α, β, u|y)p(δ, α, β, u, τu) ∝ τ k 2+c−1 u k Y i=1 v Y j=1 (rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ ui})yij yij! × exp ( −dτu− k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj + βTXi+ ui} ) × exp −1 2(α − o) T_{(α − o) + (β − a)}T_{(β − a)} × exp −1 2(δ − t) 2 _{+ τ} u(uTu) .

A partir da distribui¸cão a posteriori conjunta, é poss´ıvel escrever as distribui¸cões con-dicionais completas, que também serão importantes para fazer inferência sobre o modelo.

Desta forma, a distribui¸c˜ao de δ|y, α, β, u, τu ´e:

p(δ|y, α, β, u, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 [rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ ui}] − 1 2(δ − t) 2 ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j+ βTXi+ ui yij .

J´a a de α|y, δ, β, u, τu ´e dada por:

p(α|y, δ, β, u, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 [rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ ui}] − 1 2(α − o) T_{(α − o)} ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j + βTXi+ ui yij .

A distribui¸c˜ao de β|y, δ, α, u, τu ´e dada por:

p(β|y, δ, α, u, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 [rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ ui}] − 1 2(β − a) T_{(β − a)} ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j + βTXi+ ui yij .

(31)

Seguida da distribui¸c˜ao de u|y, δ, α, β, τu que ´e:

p(u|y, δ, α, β, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 [rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ ui}] − 1 2τu(u T_u) ) × k Y i=1 v Y j=1 exp{δ + αT_V j + βTXi+ ui} yij .

Por fim, a distribui¸c˜ao de τu|y, δ, α, β, u ´e dada por:

p(τu|y, δ, α, β, u) ∝ τ (k₂+c)−1 u exp − 1 2(u T_{u) + d} τu ,

de onde conclui-se que:

τu|y, δ, α, β, u ∼ Gama k 2 + c, 1 2(u T_{u) + d} . (3.8)

3.3.2 Modelo 2

Neste segundo modelo, diferentemente do primeiro, pretense considerar uma de-pendência espacial entre as sub-regiões. Aqui, a dependência espacial será expressa por meio da distribui¸cão a priori adotada para um dos componentes de λij. Deste modo,

a seguir ser´a apresentado um modelo Condicional Autorregressivo Gaussiano Intr´ınseco (CAR) (Besag et al. [1]), neste caso, um CAR(τ_b−1):

yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., k e j = 1, ..., v Λij = rijλij log(λij) = δ + αTVj + βTXi+ bi bi|bl = sl, l 6= i ∼ N (mi, vi) δ ∼ N (t, η1) α ∼ Np1(o, η2Ip1) β ∼ Np2(a, η3Ip2), em que τb ∼ Gama(g, h), mi = P l∈γi wilsl P l∈γi wil e vi = 1 τb P l∈γi wil .

(32)

Cada mi e vi são, respectivamente, médias e variâncias ponderadas, considerando os

vizinhos γi (conjunto de ´areas que fazem vizinhan¸ca com a ´area i) e W , uma matriz de

pesos em que cada wil recebe um valor dependendo da estrutura de vizinhan¸ca adotada.

Como foi dito acima, está sendo considerada uma dependência espacial entre as sub-regiões e, para a defini¸cão do modelo CAR, é preciso definir quem serão considerados vizinhos. Na literatuta existem diversas estruturas de vizinhan¸ca. A seguir serão apre-sentadas, de forma sucinta, algumas dessas estruturas.

Tipos de Estrutura de Vizinhan¸ca

Aqui serão apresentadas algumas estruturas de vizinhan¸ca para os casos em que há dependência espacial entre as regiões, como ocorre no modelo 2 explicitado acima.

- Vizinhan¸ca bin´aria

Neste trabalho, optou-se por adotar este tipo de estrutura. Este é o tipo mais simples e é utilizado em modelagens em que considera-se apenas o fato de uma parti¸cão da região de estudo (que podem ser bairros, munic´ıpios, microrregiões, UF, entre outros) fazer fronteira com outra. Sendo assim, a matriz W de pesos é compostas por 0 e 1, em que wil

recebe 1 se a parti¸cão i faz fronteira com a parti¸cão l, e recebe 0 caso não fa¸ca. Em casos como este, tem-se que a média e a variância dos efeitos espaciais são, respectivamente:

mi = P l∈γi sl ni e vi = 1 τbni ,

em que ni, i = 1, ..., k, é o número de vizinhos da parti¸cão i.

- Vizinhan¸ca ponderada pelo tamanho da fronteira

Quando as parti¸cões da região de estudo não possuem o mesmo tamanho, é interes-sante optar por este tipo de modelagem, já que leva em consder¸cão a extensão da fronteira entre elas. Neste tipo de estrutura, diferente da binária, wil assume o valor do

compri-mento da fronteira entre a parti¸cão i e a parti¸cão l, em km. Desta forma, a influência do efeito espacial de uma parti¸cão em seu vizinho pode aumentar ou diminuir de acordo com o tamanho da fronteira entre eles.

- Vizinhan¸ca ponderada pelo tamanho da fronteira e pelas barreiras naturais

Este tipo de estrutura de vizinhan¸ca é uma deriva¸cão da que foi descrita no item anterior e baseia-se em uma discussão proposta por Mollié, em 1996 [26]. Neste caso, considera-se que fronteiras naturais, como montanhas, rios e mares, podem influenciar

(33)

nas an´alises. Assim, wil assume o valor do comprimento da fronteira entre a parti¸c˜ao i e

a parti¸c˜ao l, em km, menos o comprimento da fronteira coberta pela “parede” natural. Voltando ao modelo, segue abaixo a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para o mesmo:

L(δ, α, β, b|y) = exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi} ) × k Y i=1 v Y j=1 (rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi})yij yij! .

Assim com foi dito no modelo anterior, para fazer inferência Bayesiana sobre este modelo também será necessário definir a distribui¸cão a priori conjunta dos parâmetros em questão, a qual, assumindo independência a priori de δ, α, β, b e τb, pode ser escrita

como: p(δ, α, β, b, τb) = p(δ)p(α)p(β)p(b|τb)p(τb), em que: p(b|τb) ∝ τ k 2 b exp ( −τb 2 k X i=1 X l<i wil(bi− bl)2 ) . (3.9)

Diante disso, segue que a distribui¸c˜ao a posteriori conjunta ´e:

p(δ, α, β, b, τb|y) ∝ L(δ, α, β, b|y)p(δ, α, β, b, τb) ∝ L(δ, α, β, b|y)p(δ)p(α)p(β)p(b|τb)p(τb) ∝ τ k 2+g−1 b k Y i=1 v Y j=1 exp{δ + αT Vj + βTXi+ bi} yij × exp ( −1 2 " (β − a)T(β − a) + τb k X i=1 X l<i wil(bi− bl)2 #) × exp ( −hτb− k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi} ) × exp −1 2(α − o) T_{(α − o) + (δ − t)}2 .

Sabendo a distribui¸c˜ao a posteriori conjunta, seguem abaixo as distribui¸c˜oes condici-onais completas.

(34)

3.3 Modelos Estudados 33 A distribui¸c˜ao de δ|α, β, y, b, τb ´e: p(δ|y, α, β, b, τb) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 [rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi}] − 1 2(δ − t) 2 ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j + βTXi+ bi yij .

J´a a de α|y, δ, β, b, τb ´e dada por:

p(α|y, δ, β, u, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 [rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ bi}] − 1 2(α − o) T (α − o) ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j + βTXi+ bi yij .

A distribui¸c˜ao de β|δ, α, y, b, τb ´e semelhante a do modelo anterior, sendo expressa como:

p(β|y, δ, α, b, τb) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 [rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi}] − 1 2(β − a) T_{(β − a)} ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j + βTXi+ bi yij .

Já a distribui¸cão de b|y, δ, α, β, τb é dada por:

p(b|y, δ, α, β, τb) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ bi} − τb 2 k X i=1 X l<i wil(bi− bl)2 ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j + βTXi+ bi yij .

A distribui¸c˜ao de τb|y, δ, α, β, b ´e a seguinte:

p(τb|y, δ, α, β, b) ∝ τ (k₂+g)−1 b exp ( − " h + 1 2 k X i=1 X l<i wil(bi− bl)2 # τb ) ,

em que pode-se concluir que:

τb|y, δ, α, β, b ∼ Gama k 2 + g, h + 1 2 k X i=1 X l<i wil(bi− bl)2 ! . (3.10)

(35)

3.3.3 Modelo 3

O modelo 3 será definido utilizando componentes presentes nos modelos 1 e 2, isto é, λij será composto tanto por bi, i = 1, . . . , k, como por ui, i = 1, . . . , k. Note que os

demais modelos só possuem um componente que varia no espa¸co, já o modelo 3 possui dois. Deste modo, o modelo é definido por:

yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., k e j = 1, ..., v Λij = rijλij log(λij) = δ + αTVj + βTXi+ bi+ ui bi|bl = sl, l 6= i ∼ N (mi, vi) u = (u1, ..., uk)T ∼ Nk(0, τu−1Ik) δ ∼ N (t, η1) α ∼ Np1(o, η2Ip1) β ∼ Np2(a, η3Ip2), em que mi = P l∈γi wilsl P l∈γi wil e vi = 1 τb P l∈γi wil , τb ∼ Gama(g, h) e τu ∼ Gama(c, d).

Dando continuidade, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para o terceiro modelo ´e dada por:

L(δ, α, β, b, u|y) = exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ bi+ ui} ) × k Y i=1 v Y j=1 (rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi+ ui})yij yij! .

Seguindo o que foi dito nos modelos anteriores, novamente será necessário definir a distribui¸cão a priori conjunta dos parâmetros do modelo 3. Desta forma, assumindo independência a priori de δ, α, β, b, u, τb e τu, tem-se que a disribui¸cão a priori conjunta

(36)

pode ser definida como:

p(δ, α, β, b, u, τb, τu) = p(δ)p(α)p(β)p(b|τb)p(τb)p(u|τu)p(τu),

em que p(u|τu) e p(b|τb) s˜ao as mesmas distribui¸c˜oes explicitadas, respectivamente, por

(3.7) e (3.9).

A distribui¸c˜ao a posteriori conjunta para este modelo ´e:

p(δ, α, β, b, u, τb, τu|y) ∝ L(δ, α, β, b, u|y)p(δ, α, β, b, u, τb, τu) ∝ L(δ, α, β, b, u|y)p(δ)p(α)p(β)p(b|τb)p(τb)p(u|τu)p(τu) ∝ τ k 2+g−1 b exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj+ βTXi + bi+ ui} ) × τk2+c−1 u k Y i=1 v Y l=1 (rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi+ ui})yij yij! × exp −1 2(δ − t) 2_{+ (α − o)}T_{(α − o) + (β − a)}T_{(β − a)} × exp ( −τb " h + 1 2 k X i=1 X l<i wil(bi− bl)2 #) × exp −τu d + 1 2(u T_u)

Abaixo, seguem as distribui¸c˜oes condicionais completas, iniciando pela de δ|y, α, β, b, u, τb, τu,

que ´e dada por:

p(δ|y, α, β, b, u, τb, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 [rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ bi+ ui}] − 1 2(δ − t) 2 ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j+ βTXi+ bi+ ui yij A distribui¸c˜ao de α|y, δ, β, b, u, τb, τu ´e: p(α|y, δ, β, b, u, τb, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ bi+ ui} ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j+ βTXi+ bi+ ui yij × exp −1 2(α − o) T_{(α − o)} .

(37)

3.3 Modelos Estudados 36 J´a a de β|y, δ, α, b, u, τb, τu ´e: p(β|y, δ, α, b, u, τb, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj+ βTXi+ bi+ ui} ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j+ βTXi+ bi+ ui yij × exp −1 2(β − a) T_{(β − a)} .

Seguida pela de b|y, δ, α, β, u, τb, τu, dada por:

p(b|y, β, u, τb, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi+ ui} ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT_V j+ βTXi+ bi+ ui yij × exp ( −τb 2 k X i=1 X l<i wil(bi− bl)2 ) . Já a disribui¸cão de u|y, δ, α, β, b, τb, τu é: p(u|y, δ, α, β, b, τb, τu) ∝ exp ( − k X i=1 v X j=1 rijexp{δ + αTVj + βTXi+ bi+ ui} − τu 2 u T_u ) × k Y i=1 v Y j=1 exp δ + αT Vj+ βTXi+ bi+ ui yij .

Finalizando, as distribui¸c˜oes de τu|y, δ, α, β, b, u, τb e τb|y, δ, α, β, b, u, τu s˜ao as

mes-mas do primeiro e segundo modelo, vide (3.8) e (3.10), respectivamente.

Para escolher o modelo que melhor se adequa à distribui¸cão espacial dos dados de interesse, utiliza-se o DIC (Deviance Information Criterion). A próxima se¸cão dará uma breve explica¸cão de como aplicar este método.

(38)

3.4 Deviance Information Criterion - DIC 37

3.4 Deviance Information Criterion - DIC

O DIC é um critério de sele¸cão de modelos muito utilizado na inferência Bayesiana quando o método MCMC foi necessário para se obter as disribui¸cões a posteriori. Este critério, assim como o AIC (Akaike Information Criterion) e o BIC (Bayesian Information Criterion), é uma aproxima¸cão assintótica, que se torna melhor de acordo com o aumento do tamanho da amostra.

Seja yi, i = 1, ..., k a variável de interesse, θ o vetor de parâmetros, L(θ|y) a fun¸cão

de verossimilhan¸ca de y e κ uma constante.

Diante disto, pode-se definir o desvio de θ e a sua esperan¸ca como, respectivamente:

D(θ) = −2log(L(θ|y)) + κ e D = E[D(θ)],¯

em que ¯D é uma medida que avalia a qualidade do ajuste do modelo em rela¸cão aos dados. O DIC é calculado da seguinte maneira:

DIC = pD + ¯D,

que tamb´em pode ser reescrito como:

DIC = D(¯θ) + 2pD,

em que ¯θ é a média do vetor de parâmetros θ e pD, segundo Spiegelhter [27], é tal que:

pD = ¯D − D(¯θ).

Com base neste crit´erio, o melhor modelo ´e aquele que apresentar o menor valor para o DIC.

(39)

38

4 An´

alise dos Resultados

Este cap´ıtulo do trabalho apresenta os resultados obtidos a partir das análises dos dados. Aqui estão presentes gráficos e tabelas, além da decisão tomada a partir do critério de compara¸cão de modelos. O cap´ıtulo está dividido em três se¸cões: Base de Dados, em que o banco de dados utilizado é descrito; Modelos, em que as modelagens propostas são apresentadas de forma já aplicada aos dados que foram usados; e, enfim, Resultados, se¸cão na qual a resposta sobre qual modelo se adequa melhor aos dados é revelada.

4.1 Base de Dados

Para realizar as análises, foi utilizado um banco de dados com o número de óbitos devido a ingestão de bebidas alcoólicas nos vinte e seis estados brasileiros e no Distrito Federal (totalizando vinte e sete Unidades Federativas), o qual foi adquirido no SIM (Sis-tema de Informa¸cão de Mortalidade). As observa¸cões presentes na base foram coletadas entre os anos de 1998 e 2012 e são divididas por sexo (0 = “Feminino” e 1 = “Masculino”) e faixa etária (0 = “Indv´ıduos com até 30 anos de idade” e 1 = “Indiv´ıduos com 30 anos de idade ou mais”). Todas as análises foram feitas nos softwares R e OpenBUGS.

Para ajustar os três modelos apresentados na Se¸cão 3.3, não foram utilizadas co-variáveis espaciais (seriam estas: Número de Alfabetizados por UF, Renda Mensal Média Nominal por UF e IDH por UF, todas tendo como fonte o SIDRA, Sistema IBGE de Recupera¸cão Automática, para o ano de 2010). Isto aconteceu porque, utilizando es-tas covariáveis, os resultados apresentavam instabilidades, isto é, alguns parâmetros não mostravam convergência e outros um intervalo de credibilidade demasiadamente grande. Portanto, nas modelagens foram consideradas apenas as covariáveis não-espaciais (sexo e idade, de forma como foram descritas no primeiro parágrafo desta se¸cão), sendo rij,

(40)

4.2 Modelos 39

4.2 Modelos

Abaixo estão descritos todos os modelos utilizados para modelagem dos dados. São estes: o modelo 1, que leva em considera¸cão um efeito aleatório que não assume de-pendência espacial entre as UF brasileiras; o modelo 2, que, ao contrário do 1, considera que as UF possuem dependência espacial (CAR, com estrutuara de vizinhan¸ca binária); e o modelo 3, o qual possui os dois tipos de efeitos espaciais aleatórios. Este último foi di-vidido em três novas versões, devido a um ajuste insatisfatório, com certas instabilidades, que tinham como consequências, por exemplo, intervalos de credibilidades muito grandes para os parâmetros deste modelo. Assim, tem-se o modelo 3∗, em que o τu é fixo (o valor

utilizado foi a mediana obtida no modelo 1, 3,3095); o modelo 3∗∗, em que o τb ´e fixo (o

valor utilizado foi a mediana obtida no modelo 2, 1,6420); e, por ´ultimo, o modelo 3∗∗∗, em que tanto o τu quanto o τb s˜ao fixos (da mesma forma que nos dois modelos anteriores, os

valores utilizados foram as medianas obtidas nos modelos 1 e 2, respectivamente). Assim, os modelos se d˜ao da seguinte forma:

Modelo 1 yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., 27 e j = 1, ..., 4 Λij = rijλij log(λij) = δ + αTVj + ui u = (u1, ..., u27)T ∼ N27(0, τu−1I27) δ ∼ N (0, η1) α ∼ N2(0, η2I2), em que τu ∼ Gama 1, 1 1000 e η1 = η2 = 1 10000.

(41)

4.2 Modelos 40 Modelo 2 yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., 27 e j = 1, ..., 4 Λij = rijλij log(λij) = δ + αTVj + bi bi|bl = sl, l 6= i ∼ N (mi, vi) δ ∼ N (0, η1) α ∼ N2(0, η2I2), em que mi = P l∈γi sl ni e vi = 1 τbni , i = 1, ..., 27 e l = 1, ..., 27, l 6= i, e τb ∼ Gama 2, 5 1000 e η1 = η2 = 1 10000. Modelo 3* yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., 27 e j = 1, ..., 4 Λij = rijλij log(λij) = δ + αTVj + bi+ ui bi|bl = sl, l 6= i ∼ N (mi, vi) u = (u1, ..., u27)T ∼ N27(0, τu−1I27) δ ∼ N (0, η1) α ∼ N2(0, η2I2), em que mi = P l∈γi sl ni e vi = 1 τbni , i = 1, ..., 27 e l = 1, ..., 27, l 6= i, e τu = 3, 3095, τb ∼ Gama 2, 5 1000 e η1 = η2 = 1 10000.

(42)

4.2 Modelos 41 Modelo 3** yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., 27 e j = 1, ..., 4 Λij = rijλij log(λij) = δ + αTVj + bi+ ui bi|bl = sl, l 6= i ∼ N (mi, vi) u = (u1, ..., u27)T ∼ N27(0, τu−1I27) δ ∼ N (0, η1) α ∼ N2(0, η2I2) em que mi = P l∈γi sl ni e vi = 1 τbni , i = 1, ..., 27 e l = 1, ..., 27, l 6= i, e τb = 1, 6420, η1 = η2 = 1 10000 e τu ∼ Gama 1, 1 1000 . Modelo 3*** yij|rij, λij ∼ P oisson(Λij), i = 1, ..., 27 e j = 1, ..., 4 Λij = rijλij log(λij) = δ + αTVj + bi+ ui bi|bl = sl, l 6= i ∼ N (mi, vi) u = (u1, ..., u27)T ∼ N27(0, τu−1I27) δ ∼ N (0, η1) α ∼ N2(0, η2I2) em que mi = P l∈γi sl ni e vi = 1 τbni , i = 1, ..., 27 e l = 1, ..., 27, l 6= i, e τb = 1, 6420, τu = 3, 3095 e η1 = η2 = 1 10000.

(43)

4.3 Resultados 42

4.3 Resultados

Esta se¸cão ilustra os resultados por meio de gráficos e tabelas, além de responder ao questionamento principal do estudo, que consiste em determinar o modelo que melhor se adequa aos dados (número de óbitos por ingestão de bebidas alcoólicas nas Unidades Federativas brasileiras).

Figura 5: Número de óbitos por álcool em cada UF

Para uma primeira visualiza¸cão dos dados utilizados, observa-se a Figura 5, a qual mostra a distribui¸cão do número de óbitos por ingestão de bebidas alcoólicas nas Unidades Federativas brasileiras. Nota-se que as regiões Sudeste e Nordeste são as que apresentam mais UF com quantidades altas de mortes por ingestão de álcool.

(44)

4.3 Resultados 43

Figura 6: Número de óbitos por álcool para cada categoria de sexo e faixa etária em cada UF

Já a Figura 6 também mostra a distribui¸cão do número de óbitos por ingestão de bebidas alcoólicas nas Unidades Federativas brasileiras, porém, considerando o sexo e a faixa etária das v´ıtimas. Para cada categoria de sexo e faixa etária, observa-se que o padrão apresentado para o total de mortes (não considerando o sexo nem a faixa etária dos indiv´ıduos) se repete, ou seja, as regiões Sudeste e Nordeste são as que possuem mais UF com v´ıtimas fatais tendo como causa a ingestão de álcool, tendo estas UF grandes quantidades de óbitos. Além disso, nota-se que o mapa que ilustra as mortes de indiv´ıduos homens com 30 anos ou mais de idade, apresenta números maiores de v´ıtimas do que as demais categorias presentes, indicando uma poss´ıvel rela¸cão entre indiv´ıduos que possuem estas carater´ısticas e o aumento de óbitos pela ingestão de álcool.

I de Moran Global P-valor

0,3053 0,0039

(45)

4.3 Resultados 44

A Tabela 2 mostra o valor da estat´ısica do teste (I de Moran Global) e o p-valor correspondentes ao teste I de Moran, o qual tem como objetivo testar a hipótese de dependência espacial nos dados. Considerando um n´ıvel de significância de 5%, conclui-se com o teste que há ind´ıcios de que os dados possuem dependência espacial. Porém, mesmo diante deste resultado, optou-se por continuar a considerar efeitos que pressupõem independência espacial nos modelos que eram compostos por este tipo de efeito.

(a) Modelo 1 (b) Modelo 2

(c) Modelo 3* (d) Modelo 3**

(e) Modelo 3***

Figura 7: Histogramas das distribui¸c˜oes a posteriori do parˆametro δ para cada modelo utilizado

(46)

4.3 Resultados 45

(e) Modelo 3***

Figura 8: Histogramas das distribui¸c˜oes a posteriori do efeito do sexo α1para cada modelo

(47)

4.3 Resultados 46

(e) Modelo 3***

Figura 9: Histogramas das distribui¸c˜oes a posteriori do efeito da faixa et´aria α2 para cada

(48)

4.3 Resultados 47

(a) Modelo 1 (b) Modelo 3*

(c) Modelo 3** (d) Modelo 3***

Figura 10: Gráfico das medianas e intervalo de credibilidade de 95% das distribui¸cões a posteriori do parâmetro u para cada modelo utilizado

(a) Modelo 1 (b) Modelo 3**

Figura 11: Histogramas das distribui¸c˜oes a posteriori do parˆametro τu para cada modelo

(49)

4.3 Resultados 48

(c) Modelo 3** (d) Modelo 3***

Figura 12: Gráfico das medianas e intervalo de credibilidade de 95% das distribui¸cões a posteriori do parâmetro b para cada modelo utilizado

Figura 13: Histogramas das distribui¸c˜oes a posteriori do parˆametro τb para cada modelo

(50)

4.3 Resultados 49 δ α1 α2 Modelo Md IC 95% Md IC 95% Md IC 95% 1 -0,1284 (-0,2461 ; 0,0003) 2,1990 (2,1770 ; 2,2190) 2,9450 (2,9159 ; 2,9740) 2 -0,1812 (-0,2444 ; -0,1181) 2,1990 (2,1620 ; 2,2390) 2,9440 (2,8890 ; 2,9950) 3* -0,2899 (-0,4739 ; -0,0722) 2,1990 (2,1640 ; 2,2340) 2,9480 (2,8980 ; 2,9960) 3** -0,2108 (-0,4156 ; -0,0580) 2,1990 (2,1620 ; 2,2370) 2,9460 (2,8950 ; 2,9960) 3*** -0,3179 (-0,4877 ; -0,1454) 2,2000 (2,1670 ; 2,2300) 2,9450 (2,9010 ; 2,9890) Tabela 3: Medianas e Intervalos de Credibilidade de 95% para os parˆametros δ, α1 e α2

dos modelos ajustados

Para todos os gráficos apresentados, as linhas verticais tracejadas representam os intervalos de credibilidade de 95% para o parâmetro em questão. Para cada parâmetro, os gráficos foram constru´ıdos utilizando o mesmo eixo x, para que seja poss´ıvel a compara¸cão entre os mesmos. No caso dos parâmetros δ, α1 e α2, as respectivas medianas e intevalos

de credibilidade de 95% est˜ao explicitados na Tabela 3.

De acordo com os gráficos da Figura 7 e a Tabela 3, observa-se que os intervalos de credibilidade de 95% para δ (intercepto) contêm apenas valores negativos, para todos os modelos ajustados, exceto o modelo 1, cujo intervalo contém o zero, indicando que neste modelo o intercepto não é estatisticamente significativo. Além disso, as estimativas pontuais (medianas) são negativas para os modelos cujo efeito foi considerado diferente de 0, tendo o modelo 2 a maior estimativa (-0,1812) e o modelo 3*** a menor (-0,3179). Já as estimativas pontuais e intervalares para o parâmetro α1 (associado ao sexo),

como pode ser visto na Figura 8 e na Tabela 3, são muito próximas para todos os modelos. Nota-se que os intervalos de credibilidade não possuem o zero em todos os modelos e que as estimativas pontuais são positivas, indicando que se o indiv´ıduo for homem, o número de óbitos por álcool aumenta.

Para o parâmetro α2 (associado à faixa etária), os intervalos de credibilidade de 95%

apresentam limites e comprimentos próximos para todos os modelos, além de não pos-suirem o zero, como pode se visto na Figura 9 e Tabela 3. Em rela¸cão às estimativas pontuais, estas apresentam valores próximos e positivos, com uma diferen¸ca máxima de 0,004 da menor estimativa (modelo 2: md = 2,9440) para a maior (modelo 3*: md = 2,9480). O fato dessas estimativas serem positivas significa que, se o indiv´ıduo tem 30 anos ou mais de idade, aumenta o número de óbitos por ingestão de bebidas alcoólicas.

Quanto aos parˆametros ui, i = 1, ..., 27 (efeitos espaciais independentes), presentes

nos modelos 1, 3*, 3** e 3***, percebe-se que no modelo 1, que apresenta apenas este vetor de efeitos espaciais, as estimativas pontuais variam muito mais entre si do que nos

(51)

4.3 Resultados 50

outros modelos, os quais apresentam, além do vetor u, o vetor b de efeitos aleatórios espaciais (este fato pode ser comprovado quando compara-se as estimativas obtidas em rela¸cão a reta y = 0 tracejada), vide Figura 10. Isso ocorre porque o modelo apresenta apenas este componente variando de região para região (as UF, neste caso). O mesmo acontece em rela¸cão aos bi, i = 1, ..., 27 (efeitos espaciais dependentes), presentes nos

modelos 2, 3*, 3** e 3*** (ver Figura 12). Ou seja, por apresentarem os dois tipos de efeitos espaciais, os modelos 3*, 3** e 3*** possuem menor varia¸cão no espa¸co, quando comparadas os modelos que apresentam apenas um dos efeitos. Além disso, os intervalos de credibilidades de 95% para estas três versões do modelo 3 são muito maiores.

Em rela¸cão às precisões, observando a Figura 11, conclui-se que os valores das es-timativas para τu (precisão dos efeitos espaciais independentes, u), são todas positivas

(como já era de se esperar, já que trata-se de precisão, que é o inverso da variância). Além disso, no modelo 3**, estes valores são mais altos, com estimativas chegando a 40, o que tem como consequência uma menor variabilidade para o vetor u (efeitos espaciais independentes). O mesmo comportamento se repete para as estimativas da precisão do vetor de efeitos espaciais dependentes, b, o τb (vide Figura 13). Neste caso, o modelo que

apresenta maiores estimativas é o 3*, chegando a assumir valores próximos de 12. Desta forma, o modelo 3* é o que apresenta menor variabilidade para o vetor b (efeitos espaciais dependentes). Estes resultados comprovam o que foi conclu´ıdo no parágrafo anterior.

Para fazer o ajuste utilizando o modelo 1, foram realizadas 400.000 itera¸cões, das quais 200.000 fizeram parte do per´ıodo aquecimento (burn-in) e utilizou-se um espa¸camento (thin) de 100 unidades. Já no caso dos modelo 2, 300.000 itera¸cões foram realizadas em que o burn-in foi de 100.000 itera¸cões e, novamente, houve um espa¸camento de 100. Para o modelo 3**, foram necessárias 1.000.000 itera¸cões para obter convergência, em que 800.000 foram tomadas como aquecimento e, mais uma vez, o espa¸camento foi de 100. Por fim, no ajuste dos modelos 3* e 3***, 1.200.000 itera¸cões foram rodadas, tendo 1.000.000 destas utilizadas no per´ıodo de aquecimento e utilizou-se um espa¸camento de 100 unidades. Com isso, todas as modelagens obtiveram uma amostra final de tamanho 2.000.

(52)

4.3 Resultados 51 Modelo DIC 1 2.014 2 2.111 3* -4.246 3** -22.660 3*** -16.600

Tabela 4: DIC dos modelos ajustados

Diante de todos esses resultados, é o momento de decidir qual o melhor modelo para ajustar os dados. Neste trabalho, o critério escolhido para tomar esta decisão foi o DIC. A Tabela 4 apresenta o valor deste critério para cada modelo considerado nesta análise. Desta forma, observa-se que o modelo 3** é o que apresenta o menor DIC (-22.660), portanto, pela regra de decisão explicitada na Se¸cão 3.4, o modelo 3**, no qual o τb é fixo,

(53)

52

5 Conclus˜

ao

Neste trabalho, analisou-se a distribui¸cão espacial dos óbitos por ingestão de bebidas alcoólicas nas Unidades Federativas brasileiras, entre os anos de 1998 e 2012, utilizando um enfoque totalmente bayesiano.

Como já foi mencionado, este consiste em um estudo de dados de área, tendo em sua modelagem o uso apenas de covariáveis não-espaciais, ou seja, aquelas que dizem respeito aos indiv´ıduos que fizeram parte do estudo (neste caso, sexo e faixa etária).

Para realizar o estudo, foram considerados três modelos iniciais, tendo o terceiro mo-delo recebido três novas versões devido a resultados não satisfatorios obtidos com o modelo 3 original (intervalos de credibilidade muito grandes para os parâmetros considerados).

O modelo 1 é o mais simples dos cinco modelos: é um modelo que não considera um efeito espacial, isto é, pressupõe independência entre as regiões em que o fenômeno de interesse foi estudado (no caso, as UF do Brasil). Em contrapartida, o modelo 2 já apresenta uma modelagem em que se pressupõe uma dependência espacial, por meio de uma priori CAR considerando uma estrutura de vizinhan¸ca binária. O modelo 3, que foi repartido em três versões, apresenta, para todas estas, os dois tipos de efeito: com dependência e com independência espacial. As três vertentes deste modelo se diferenciam da seguinte forma: o modelo 3* considera fixa a precisão dos efeitos espaciais indepen-dentes; já o modelo 3**, considera fixa a precisão dos efeitos espaciais dependentes; por fim, o modelo 3*** considera estas duas quantidades fixas.

Dentre os resultados obtidos, pose destacar que modelos que possuem tanto de-pendência espacial (segundo a estrutura de vizinhan¸ca binária) entre as parti¸cões da região de estudo (neste caso, as Unidades Federativas brasileiras), quanto independência espa-cial entre as mesmas, apresentam resultados melhores quando comparados com os que possuem apenas um destes efeitos.

Observa-se que os parˆametros α1 e α2 apresentam estimativas pontuais positivas, o