Modelagem e Previsão de Séries Temporais de Precipitação Pluviométrica sob as Abordagens Singular Spectrum Analysis e Multi-channel Singular Spectrum

(1)

Jo˜

ao Marcos Amorim dos Santos

Modelagem e Previs˜

ao de S´

eries Temporais

de Precipita¸

c˜

ao Pluviom´

etrica sob as

Abordagens Singular Spectrum Analysis e

Multi-channel Singular Spectrum Analysis

Niter´oi - RJ, Brasil 29 de Julho de 2016

(2)

Universidade Federal Fluminense

Jo˜

ao Marcos Amorim dos Santos

Modelagem e Previs˜

ao de S´

eries

Temporais de Precipita¸

c˜

ao

Pluviom´

etrica sob as Abordagens

Singular Spectrum Analysis e

Multi-channel Singular Spectrum

Analysis

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Mois´es Lima de Menezes

Niter´oi - RJ, Brasil 29 de Julho de 2016

(3)

Universidade Federal Fluminense

Jo˜ao Marcos Amorim dos Santos

Modelagem e Previs˜ao de S´eries Temporais

de Precipita¸c˜ao Pluviom´etrica sob as

Abordagens Singular Spectrum Analysis e

Multi-channel Singular Spectrum Analysis

Monografia de Projeto Final de Gradua¸c˜ao sob o t´ıtulo “Mo-

delagem e Previsão de Séries Temporais de Precipita¸cão Plu- viométrica sob as Abordagens Singular Spectrum Analysis e Multi-channel Singular Spectrum Analysis”, defendida por

Joa˜o Marcos Amorim dos Santos e aprovada em 29 de Julho de 2016, na cidade de Nitero´i, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constituída pelos professores:

Prof. Dr. Mois´es Lima de Menezes

Orientador

Departamento de Estatística – UFF

Profa. Dra. Keila Mara Cassiano

Departamento de Estatística - UFF

Prof. MSc. Francisco Carlos Santana de Azeredo Pinto

Departamento de Estat´ıstica - UFF

(4)

S237 Santos, João Marcos Amorim dos

2016 Modelagem e previsão de séries temporais de precipitação pluviométrica sob as abordagens singular spectrum analysis e multi-channel singular spectrum analysis /João Marcos Amorim dos Santos. - Niterói: [s. n.], 2016.

57 f.

Trabalho de Conclusão de Curso - (Bacharelado em Es- tatística) – Universidade Federal Fluminense, 2016.

1. Análise espectral 2. Modelagem. 3. Precipitação pluviométrica I. Título.

(5)

Resumo

A previsão de precipita¸cões pluviométrica é uma importante ferramenta no aux´ılio ao planejamento de a¸cões e projetos. Prever o volume pluviométrico se tornou essencial dado a rela¸cão da chuva com o ambiente em que vivemos, seja pela rela¸cão deste ´ındice com a mobilidade urbana, agricultura, inunda¸cões, erosões, usinas hidrelétricas. Gerar modelos preditivos de precipita¸cão pluviométrica tem se tornado cada vez mais necessário, mediante as necessidades do crescimento global. Em pleno século XXI tem-se ouvido falar sobre a necessidade de produ¸cão de energia limpa (ex. Usinas hidrelétricas), melhor aproveitamento da água, dado que algumas popula¸cões tem sofrido com racionamento de ´

agua dado o baixo volume dos reservatórios. Todos esses projetos dependem de previsões de precipita¸cão pluviométrica, e poder gerar modelos com melhor acurácia tem grande valor para esses projetos. Dentre as maneiras de se melhorar a acurácia de previsões, tem-se a filtragem das séries, dentro das filtragens existem 2 métodos, Singular Spectrum Analysis (SSA) e Multi-channel Singular Spectrum Analysis (MSSA). Este estudo teve o objetivo de filtrar 5 séries de precipita¸cão pluviométrica, cada uma de uma região brasileira, e criar modelos de preditivos de Holt-Winters e Box-Jenkins, tanto para as séries sem filtro e para as séries filtradas pelos métodos SSA e MSSA, comparar as estat´ısticas de aderência destes modelos, verificar se de fato a filtragem melhorou a acurácia da previsão, e se a metodologia MSSA é melhor que a SSA ou ambas tem pouca diferen¸ca nos resultados quando comparada as duas. Os resultados deste estudo mostram que realizar a filtragem das séries seja pelo método SSA ou MSSA melhorou muito a acurácia do modelo, em todas as estat´ısticas de aderência pode-se observar a melhora dos valores quando a série passou por um dos filtros. Comparando os dois métodos de filtragem, SSA e MSSA, observou-se que o método MSSA se apresentou melhor na maioria das estat´ısticas de aderência comparado ao SSA, porém essa diferen¸ca entre ambos não foi muito grande. A conclusão deste trabalho mostra que aplicar a filtragem SSA ou MSSA pode gerar melhores previsões, que podem ser usados em diferentes projetos h´ıdricos.

Palavras-chaves: Precipita¸cão Pluviométrica, Séries Temporais, Singular Spectrum Analy-sis, Multi-Channel Singular Spectrum AnalyAnaly-sis, Filtragem, Modelagem, Box-Jenkins, Holt-Winters.

(6)

Dedicat´

oria

Assim diz o SENHOR ao seu ungido, a Ciro, a quem tomo pela mão direita, para abater as na¸cões diante de sua face, e descingir os lombos dos reis, para abrir diante dele as portas, e as portas não se fecharão.

Eu irei adiante de ti, e endireitarei os caminhos tortuosos; quebrarei as portas de bronze, e despeda¸carei os ferrolhos de ferro.

Dar-te-ei os tesouros escondidos, e as riquezas encobertas, para que saibas que eu sou o Senhor, o Deus de Israel, que te chama pelo teu nome.

Por amor de meu servo Jac´o, e de Israel, meu eleito, eu te chamei pelo teu nome, pus o teu sobrenome, ainda que n˜ao me conhecesses.

Eu sou o Senhor, e não há outro; fora de mim não há Deus; eu te cingirei, ainda que tu não me conhe¸cas;

Para que se saiba desde o nascente do sol, e desde o poente, que fora de mim não há outro; eu sou o Senhor, e não há outro.

(7)

Agradecimentos

A Deus, pois at´e aqui me ajudou o Senhor.

Aos meus pais, Marcos Antônio e Sandra Maria, por toda compreensão, ajuda e tudo que fizeram por mim para eu chegar até este momento.

`

A minha irmã Juliana Amorim, por não me tirar do sério mais do que as provas me tiravam.

A todos meus parentes, tios, tias, primos, primas, em especial ao Thomas Santos Bonif´acio, por compreenderem minhas ausˆencias nos eventos de fam´ılia devido minhas provas.

Aos meus amigos que fiz na faculdade, em especial ao Fernando Alencar e Igor Pinto, pelos momentos juntos na faculdade e as horas de estudos e jogos juntos.

Aos meus amigos que me ajudaram a passar no vestibular e sempre acreditaram no meu potencial, em especial ao Claudio Luiz.

`

A Universidade Federal Fluminense e todo seu corpo docente, em especial ao professor Mois´es Lima de Menezes por aceitar ser meu orientador e amigo, e ter me ajudado bastante neste trabalho de conclus˜ao de curso.

A todos professores que tive desde o pré escolar até hoje por acreditarem na educa¸cão. `

A Claudia Cristina de Aguiar Pereira por ser minha orientadora no meu tempo de inicia¸c˜ao cient´ıfica na FIOCRUZ e sempre ter se preocupado com meus estudos.

A toda GERAV/BNDES por todo aprendizado em meu per´ıodo de estágio e poder me inspirar em pessoas como vocês, em especial ao Luciano Machado e Fábio Brener Roitman por terem confiados em minha capacidade, me dando a oportunidade de fazer parte da GERAV/BNDES e serem meus coordenadores.

`

A banca examinadora, professor Francisco Carlos Santana de Azeredo Pinto e a pro-fessora Keila Mara Cassiano por participarem desde momento.

(8)

Sum´

ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 14

1.1 Contextualiza¸cão . . . p. 14 1.2 Precipita¸cões pluviométricas no cenário brasileiro . . . p. 14 1.3 Importância de gerar previsões pluviométricas . . . p. 14 1.4 Proposta . . . p. 16 1.5 Estrutura do trabalho . . . p. 16 2 Objetivos p. 17 3 Materiais e Métodos p. 18 3.1 Base de dados . . . p. 18 3.2 Séries Temporais . . . p. 18 3.2.1 Análise Descritiva . . . p. 19 3.3 Decomposi¸cão serial . . . p. 19 3.4 Estacionariedade . . . p. 20 3.4.1 Processo Estacionário . . . p. 21 3.5 Fun¸cão de Autocorrela¸cão . . . p. 22 3.6 Correlograma . . . p. 23 3.7 Fun¸cão de Autocorrela¸cão Parcial (FACP) . . . p. 23

(9)

3.8 Modelagem Holt-Winters . . . p. 24 3.8.1 Estimadores de Holt-Winters com sazonalidade aditiva . . . p. 25 3.8.2 Estimadores de Holt-Winters com sazonalidade multiplicativa . p. 26 3.9 Modelagem de Box-jenkins . . . p. 26 3.9.1 Modelos auto-regressivos AR(p) . . . p. 26 3.9.2 Modelos de médias móveis M A(q) . . . p. 27 3.9.3 Modelos não estacionários . . . p. 27

3.9.3.1 Modelos auto-regressivos integrados de m´edias m´oveis

(ARIM A) . . . p. 28 3.9.3.2 Modelos Sazonais (SARIM A) . . . p. 29 3.9.4 FACP dos modelos de Box-Jenkins . . . p. 29 3.10 Singular Spectrum Analysis . . . p. 30 3.10.1 Decomposi¸cão . . . p. 31 3.10.2 Reconstru¸cão . . . p. 31 3.11 Multi-Channel Singular Spectrum Analysis (MSSA) . . . p. 33 3.12 Estat´ısticas de Aderência . . . p. 34 3.13 Resumo da Metodologia . . . p. 36

4 An´alise dos Resultados p. 38

4.1 Dados originais . . . p. 38 4.2 Filtragem SSA e MSSA . . . p. 42 4.2.1 Séries Filtradas . . . p. 50 4.2.1.1 Modelos de previsão . . . p. 52 4.2.2 Estat´ısticas de aderência . . . p. 52

5 Conclus˜ao p. 56

(10)

Lista de Figuras

1 Unidades da Federa¸cão selecionadas . . . p. 19 2 Resumo da Metodologia . . . p. 37 3 Série histórica Rio Branco - AC . . . p. 38 4 Série histórica Recife - PE . . . p. 39 5 Série histórica Bras´ılia - DF . . . p. 39 6 Série histórica Rio de Janeiro - RJ . . . p. 40 7 Série histórica Porto Alegre - RS . . . p. 40 8 Os 9 primeiros vetores singulares na filtragem SSA para série do Rio de

Janeiro e suas respectivas contribui¸cões . . . p. 43 9 Componentes série Rio Branco via SSA . . . p. 44 10 Componentes série Recife via SSA . . . p. 45 11 Componentes série Bras´ılia via SSA . . . p. 46 12 Componentes série Rio de Janeiro via SSA . . . p. 47 13 Componentes série Porto Alegre via SSA . . . p. 48 14 Componentes das 5 séria via MSSA . . . p. 49 15 Compara¸cão entre a série original e filtrada do Rio Branco via SSA . . p. 50 16 Compara¸cão entre a série original e filtrada de Recife via SSA . . . p. 50 17 Compara¸cão entre a série original e filtrada de Bras´ılia via SSA . . . . p. 51 18 Compara¸cão entre a série original e filtrada do Rio de Janeiro via SSA p. 51 19 Compara¸cão entre a série original e filtrada de Porto Alegre via SSA . . p. 51

(11)

Lista de Tabelas

1 Identifica¸cão dos modelos . . . p. 30 2 Estat´ısticas da média pluviométrica mensal . . . p. 41 3 Tabela de correla¸cão entre as componentes da série filtrada . . . p. 42 4 Modelos anterior e posterior à filtragem das 5 séries . . . p. 52 5 Estat´ısticas de Aderência dos Modelos . . . p. 53 6 Estat´ısticas de Aderência dos Modelos (In Sample) . . . p. 54 7 Estat´ısticas de Aderência dos Modelos (Out of Sample) . . . p. 55

(12)

12

1 Introdu¸

c˜

ao

1.1 Contextualiza¸

c˜

ao

Precipita¸cão pluviométrica é um fenômeno meteorológico que possui aleatoriedade em sua ocorrência quanto em sua intensidade. O conhecimento sobre precipita¸cões plu-viométricas é de grande importância nos dias de hoje, assim como já era considerado no passado. Tal importância está agregada ao fator do n´ıvel de chuva influenciar em diferentes áreas do ambiente em que vivemos, seja ela na questão urbana, agr´ıcola ou da engenharia hidráulica (HEBERT et al., 2007) (BEIJO et al., 2005). As varia¸cões no n´ıvel das precipita¸cões pluviométricas estão principalmente relacionadas ao clima de cada região em estudo, devido seus diferentes tipos climáticos, esta¸cões do ano, e a sazonalidade envolvida (JOSEVAL, 2010). O volume de precipita¸cões pluviométrica é medido por um aparelho chamado pluviômetro, o mesmo mede em mil´ımetro (mm), a altura da lâmina de água gerada pela chuva que caiu numa área de 1m2 _{em um dado per´ıodo. Sendo assim}

quando diz-se que o n´ıvel de precipita¸cão pluviométrica foi de 10 mil´ımetros significa que choveu 10 litros e uma área de 1m2.

1.2 Precipita¸

c˜

oes pluviom´

etricas no cen´

ario brasileiro

Quando se olha para o cenário brasileiro observa-se diferentes rela¸cões com as preci-pita¸cão pluviométrica, seja devido aos investimentos com usinas hidrelétricas, dependência na irriga¸cão do plantio, n´ıvel dos rios, evacua¸cão da popula¸cão em áreas de deslizamentos, log´ıstica em rela¸cão ao transporte em dias chuvosos e melhor reaproveitamento da água.

1.3 Importˆ

ancia de gerar previs˜

oes pluviom´

etricas

Prever volume de chuva se torna uma importante ferramenta no aux´ılio ao planeja-mento de a¸cões e projetos voltados à inunda¸cões e erosão (BERTONI; TUCCI, 2009).

(13)

1.3 Importância de gerar previsões pluviométricas 13

Muitas regiões possuem moradores que habitam em áreas que sofrem grandes desastres quando ocorrem n´ıveis elevados de chuva, devido a habitarem nas margens de rios, áreas de encosta com poss´ıveis deslizamentos de terra entre outros fatores naturais envolvidos com volume de chuva (BRESSIANI, 2010).

O escoamento adequado do volume de água de precipita¸cões pluviais além de propor-cionar uma melhora na log´ıstica dos transportes, pode também ter o direcionamento dessa ´

agua para sistema h´ıdrico com baixo volume de abastecimento de água, sendo assim águas pluviais devem ser manejadas como uma das solu¸cões para o abastecimento (COHIM et al., 2008).

Outras formas de melhor aproveitar o volume de água nos centros urbanos, é por parte de uma educa¸cão populacional, onde sejam apresentadas formas adequadas e plaus´ıveis de reaproveitamento da água de chuva, seja ela para lavagem do quintal, do carro, roupa, uso sanitário ou outras poss´ıveis finalidades (SILVA, 2014) (GOLDENFUM, 2006). Além do reaproveitamento nos centros urbanos, os polos industriais, onde há uma grande con-centra¸cão de consumo de água para refrigera¸cão de máquinas dentre outras finalidades, também pode fazer uso do recurso de reaproveitamento das águas (GOLDENFUM, 2006). Desta forma, pode-se evitar o uso de água potável para essas atividades, principalmente devido ao baixo volumo apresentado nos reservatórios (COHIM et al., 2008) (SILVA, 2014).

A produ¸cão de energia brasileira também tem forte correla¸cão com o n´ıvel de pre-cipita¸cões de chuva (Trestani,2015), uma vez que mais de 60% da energia brasileira é proveniente de usinas hidrelétricas, que depende da vazão dos rios, que depende do seu n´ıvel, que depende da precipita¸cão pluviométrica. A produ¸cão de energia hidrelétrica no Brasil vem caindo ao longo dos anos devido a falta de chuva. Na compara¸cão de 2013 em rela¸cão a 2012, houve um decréscimo de 5,4% na produ¸cão de energia hidrelétrica no Brasil apesar de a capacidade instalada ter aumentado 2% de 2013 a 2012 (EPE, 2015). A grande importância da produ¸cão de energia hidrelétrica se deve ao fato de ser uma energia renovável, evitando a emissão de gases e poluentes que contribuem para o aquecimento global, um dos maiores problemas naturais enfrentado ao redor do mundo nos dias de hoje. A previsão de precipita¸cão pluviométrica é um importante fator nos investimentos e funcionamento de usinas hidrelétricas devido ao volume que os rios podem apresentar em dias chuvosos. Tal previsão também é muito importante para o planejamento energético tendo em vista a necessidade das chuvas nas nascentes dos rios que deságuam nas usinas hidrelétricas.

(14)

1.4 Proposta 14

1.4 Proposta

Este projeto tem a proposta de apresentar diferentes modelos preditivos de preci-pita¸cão pluviométrica baseado na metodologia Singular Spectrum Analysis (SSA) e Multi-channel Singular Spectrum Analysis (MSSA). Após a filtragem, as séries serão modeladas pelos tradicionais modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins. Serão geradas previsões até 24 meses à frente. Além dos modelos aplicados às séries filtradas, os mesmos serão fei-tos com as séries originais, gerando assim, três conjuntos de modelos com duas classes de modelos aplicados a cada série de precipita¸cão pluviométrica. Após as modelagens e previsões, estat´ısticas de aderência serão utilizadas para avaliar o melhor modelo para análise e previsão.

1.5 Estrutura do trabalho

Este trabalho está organizado em 5 cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1 é apresentada a in-trodu¸cão do trabalho abordando a importância de se prever o volume de precipita¸cão pluviométrica como diferentes questões no território brasileiro que dependem de tais pre-visões. No cap´ıtulo 2 são apresentados objetivos de estudo deste trabalho citando as abordagens que serão utilizadas. No cap´ıtulo 3 são apresentados os materiais e métodos dando enfoque aos processos anteriores a predi¸cão dos modelos além dos modelos de amor-tecimento exponencial de Holt-Winters, os modelos de Box-Jenkins, metodologia SSA e MSSA, bem como as estat´ısticas de aderência a serem utilizadas. No cap´ıtulo 4 são apre-sentando os resultados utilizando as filtragem SSA e MSSA, os modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins, e as estat´ısticas de aderência de cada um dos modelos. No cap´ıtulo 5 estão resumidas as principais conclusões do trabalho bem como as sugestões e analises para futuros estudos sobre o tema.

(15)

15

2 Objetivos

Este projeto teve o objetivo de criar modelos de médias mensais de precipita¸cões pluviométricas de diferentes regiões brasileira com a abordagem SSA e MSSA, verificando se realizar a filtragem contribui pra melhora da capacidade preditiva dos modelos. A ideia é a de contribuir com o planejamento do uso da água das chuvas para os diversos objetivos ao qual este bem é usado e demais projetos h´ıdricos que dependam de previsões de precipita¸cão pluviométrica.

(16)

16

3 Materiais e M´

etodos

3.1 Base de dados

O estudo foi realizado com observa¸cões de médias mensais de precipita¸cões plu-viométrica de diferentes regiões do território brasileiro. Devido a sua dimensão conti-nental, o Brasil possui diferentes caracter´ısticas climáticas, de maneira a gerar diferentes ´ındices pluviométricos. A sele¸cão das esta¸cões pluviométricas do estudo foi caracterizada pela busca de diferentes cenários regionais a qual cada uma está envolvida, seja por ser um cenário de inunda¸cão, usinas hidrelétricas (UHE), sistema h´ıdrico, polos industriais, grande centros urbanos, dentre outros fatores. Os dados são da Agência Nacional de ´

aguas (ANA) e do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). Foi escolhida uma série de um estado de cada região brasileira a fim de representar cada região, sendo assim foram usados dados de 5 esta¸cões pluviométricas diferentes, cada uma dessa séries apresentará observa¸cão média mensal de precipita¸cão pluviométrica de janeiro de 1970 à dezembro de 2014. Na escolha das séries dentro das regiões buscou-se preferencialmente séries das capitais dos Estados devido as capitais possu´ırem séries sem dados faltante no per´ıodo de janeiro de 1970 à dezembro de 2014. A figura 1 apresenta o mapa do Brasil com as marca¸cões em c´ırculo preto, das Unidades da Federa¸cão, das esta¸cões selecionadas no estudo.

3.2 S´

eries Temporais

Uma série temporal é um conjunto de observa¸cões ordenada ao longo do tempo. Sua observa¸cão pode ser discreta ou cont´ınua e a caracter´ıstica mais importante neste tipo de dados é a dependência entre as observa¸cões vizinha {Th−1; Th+1} e o interesse principal

(17)

3.3 Decomposi¸c˜ao serial 17

Figura 1: Unidades da Federa¸c˜ao selecionadas

3.2.1 An´

alise Descritiva

Ao se analisar uma ou mais séries temporais a constru¸cão de gráficos que apresentem os dados de forma sequencial ao longo tempo é fundamental e pode revelar os respectivos padrões da série. A análise gráfica pode ajudar a perceber 4 importantes componentes de uma série temporal, tendências, sazonalidade, componente c´ıclica e ru´ıdo. Além de facilitar a percep¸cão de observa¸cão discrepante e mudan¸ca estrutural no comportamento da série. As demais estat´ısticas descritiva tais como média, mediana, variância, m´ınimo, máximo, são de grande importância para reconhecimento dos dados.

• Tendência (T) é o comportamento a longo prazo da série em torno da média, este efeito pode ser crescente ou decrescente, linear ou não linear.

• Sazonalidade(S) efeitos ligados à varia¸cões periódicas recorrentes que podem ocor-rer em per´ıodos espec´ıficos do ano.

• Ciclos (C) Semelhante a componente sazonal, são varia¸cões periódicas que a priori não são associadas a neguma medida temporal, com intervalos superior à um ano. • Ru´ıdo (R) Componente aleatória de grande instabilidade não explicada por

va-ria¸cões c´ıclicas, sazonal ou de tendência, sendo puramente aleatória.

3.3 Decomposi¸

c˜

ao serial

Uma decomposi¸cão clássica de séries temporais permite que a série seja escrita como uma soma ou multiplica¸cão de componentes não observáveis. Assim, pode-se usar um

(18)

3.4 Estacionariedade 18

modelo aditivo – quando se supõe que os componentes da série temporal são somados para formar os dados – ou um modelo multiplicativo que supõe que os componentes são multiplicados um pelo outro (MORETTIN; TOLOI, 2006)(SMAILES; McGrane, 2000).

De acordo com Silver (2000), “ a decomposi¸cão clássica é útil tanto para planejamento como para previsão ”. Souza e Samohyl (2005) acrescentam que ela é uma ferramenta ´

util, pois, além de permitir previsões, auxilia na tomada de decisão acerca do método de previsão mais adequado às caracter´ısticas dos dados dispon´ıveis. (BOUZADA, 2012)

Zt = Tt+ St+ Ct+ RT (3.1)

Zt = Tt.St.Ct.RT (3.2)

3.4 Estacionariedade

Segundo Morettin e Toloi (2006), uma das suposi¸cões mais frequentes que se faz a respeito de uma série temporal é de que ela é estacionária, isso quer dizer que, ela se desenvolve no tempo aleatoriamente em torno de uma média constante, formando um equil´ıbrio estável. Uma série pode ser estacionária durante um per´ıodo muito longo, ou até mesmo ser estacionária apenas em per´ıodos muito curtos, mudando de n´ıvel ou inclina¸cão.

A classe dos modelos ARIMA (Auto-Regressivos Integrados Médias-Móveis), serão capazes de descrever de maneira satisfatória séries estacionárias e não-estacionárias, mas que não apresentam comportamento explosivo. Este tipo de estacionariedade é chamado homogêneo; a série pode ser estacionária, flutuando ao redor de um n´ıvel, por um certo tempo, depois mudar de n´ıvel e flutuar ao redor de um novo n´ıvel e assim por diante, ou então mudar de inclina¸cão, ou ambas as coisas.

Como a maioria dos procedimentos de análise estat´ıstica de séries temporais supõem que estas sejam estacionárias, devemos transformar os dados originais, se estes não for-mam uma série estacionária. A transforma¸cão mais comum consiste em tomar diferen¸cas sucessivas da série original, até se obter uma série estacionária. A primeira diferen¸ca de Zté definida por

(19)

3.4 Estacionariedade 19

a segunda diferen¸ca ´e dada por

∆2Zt= ∆ [∆Zt] = ∆ [Zt− Zt−1] ,

ou seja,

∆2Zt = Zt− 2Zt−1+ Zt−2.

De modo geral, a n-´esima diferen¸ca de Zt´e dada por

∆nZt = ∆∆n−1Zt .

Em situa¸cões normais, será suficiente tomar uma ou duas diferen¸cas para que a série se torne estacionária.

3.4.1 Processo Estacion´

ario

Segundo Morettin e Toloi (2006), um processo Z é estacionário se ele se desenvolve no tempo de modo que a escolha de uma origem no tempo não é importante. Isso quer dizer que , as caracter´ısticas de Z(t+τ ), para todo τ , são as mesmas de Zt.

Tecnicamente, h´a duas formas de estacionariedade: fraca (ou ampla, ou de segunda ordem) e estrita (ou forte).

Uma série temporal é dita estritamente estacionária se a distribui¸cão de probabilidade conjunta de Z(t1), · · · , Z(tk) é a mesma de Z(t1+τ ), · · · , Z(tk+τ ). Ou seja, o deslocamento

da origem dos tempos por uma quantidade τ não tem efeito na distribui¸cão conjunta que portanto depende apenas dos intervalos entre t1, · · · , tk, logo a média µ(t) e a variância

V (t)s˜ao constante, isto ´e.

µ(t) = µ σ2(t) = σ2 para todo t ∈ T

Do mesmo modo, todas as distribui¸c˜oes bi-dimensionais dependem de t2− t1. De fato

γ(t1, t2) = γ(t1+ t, t2+ t), fazendo t = −t2 vem que:

γ(t1, t2) = γ(t1 − t2, 0) = γ(τ ),

para τ = t1−t2. Logo, γ(t1, t2) é uma fun¸cão de um único argumento, no caso do processo

(20)

3.5 Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao 20

Um processo é dito fracamente estacionário (ou estacionário de segunda ordem) se e somente se:

i E (Z(t)) = µ(t) = µ

ii E (Z2(t)) < ∞, para todo t ∈ T ;

iii γ(t1, t2) = CovZ(t1), Z(t2) ´e uma fun¸c˜ao de t1− t2.

3.5 Fun¸

c˜

ao de Autocorrela¸

c˜

ao

A Fun¸cão de autocorrela¸cão (FAC) busca medir a correla¸cão entre as observa¸cões de uma mesma variável em diferentes horizontes de tempo, correla¸cões entre observa¸cões defasadas k = 1, 2, · · · per´ıodos de tempo. Assim, dadas n observa¸cões z1, · · · , zn de uma

s´erie temporal discreta podemos formar os pares (z1, z2), · · · , (zn−1, zn). Considerando

z1, · · · , zn−1 e z2, · · · , zn como duas vari´aveis o coeficiente de correla¸c˜ao entre zt e zt+1

ser´a dado por:

r1 = Pn−1 t=1(zt− z1)(zt+1− z2) q Pn−1 t=1(zt− z1)2 Pn−1 t=1(zt+1− z2)2 (3.3)

as respectivas m´edias amostrais s˜ao

z1 = n−1 X t=1 zt n − 1 e z2 = n X t=2 zt n − 1

como o coeficiente r1mede as correla¸cões entre as observa¸cões ele é chamado de coeficiente

de autocorrela¸c˜ao ou coeficiente de correla¸c˜ao serial. ´

E usual simplificar a equa¸cão 3.3 utilizando a média de todas as observa¸cões z =Pn

t=1zt/n, percebe-se que z1 ≈ z2 e assumindo variˆancia constante. Assim, a vers˜ao

simplificada de 3.3 fica r1 = Pn−1 t=1(zt− z)(zt+1− z) (n − 1)Pn t=1(zt− z)2/n (3.4) A equa¸cão 3.4 pode ser generalizada para calcular a correla¸cão entre observa¸cões defasadas de k per´ıodos de tempo, rk= Pn−k t=1(zt− z)(zt+k− z) Pn t=1(zt− z)2 (3.5) A equa¸cão 3.5 nos fornece o coeficiente de correla¸cão de ordem k.

(21)

3.6 Correlograma 21

Outra forma de obtermos o mesmo resultado e de forma mais usual é pela autoco-variância ck, definido pela fórmula:

ck = n−k X t=1 (zt− z)(zt+k− z) n , k = 0, 1, 2, · · · (3.6)

e o coeficiente de autocorrela¸c˜ao fica sendo obtido pela f´ormula rk = c_ck₀

3.6 Correlograma

Uma forma usual de apresentar os coeficientes de autocorrela¸cão da série é através de um correlograma. Correlograma é um gráfico com os k primeiros coeficientes de au-tocorrela¸cão rk. A fun¸cão do correlograma na análise de séries temporais é auxiliar a

identifica¸cão de caracter´ısticas da série. Essas caracter´ısticas são por exemplo:

• Se uma série é puramente aleatória os seus valores defasados não são correlacionados ,i.e. rk se aproxima de zero.

• Quando o correlograma possui decaimento muito lento das autocorrela¸cões, evidência a não estacionariedade da série.

• Quando uma série possui o fator sazonal, será percept´ıvel no correlograma um padrão na mesma frequência do fator sazonal.

• Além de o correlograma da FAC e da fun¸cão de autocovariância parcial que será apre-sentado na se¸cão seguinte, auxiliar a identifica¸cão do modelo paramétrico ARIMA.

3.7 Fun¸

c˜

ao de Autocorrela¸

c˜

ao Parcial (FACP)

Uma outra ferramenta utilizada no processo de identifica¸cão do modelo é a fun¸cão de autocorrela¸cão parcial. Esta medida corresponde a correla¸cão de Zt e Zt−k removendo o

efeito das observa¸c˜oes Zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1 e ´e denotada por φkk, ou seja

φkk = Corr(Zt, Zt−l/zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1)

Um m´etodo geral para encontrar a (FACP) para um processo estacion´ario com (FAC) ρk

(22)

3.8 Modelagem Holt-Winters 22

ρj = φk1ρj−1+ φk2ρ1+ · · · + φkkρj − 1, j = 1, 2, . . . , k

Desenvolvendo a equa¸c˜ao temos

ρ1 = φk1+ φk2ρ1+ · · · + φkkρj−1

ρ2 = φk1ρ1+ φk2+ · · · + φkkρj−2

..

. = ...

ρj = φk1ρj−1+ φk2ρj−2+ · · · + φkk

Resolvendo as equa¸c˜oes acima sucessivamente para k = 1, 2, ..., obtemos φkk da seguinte

maneira φ11= ρ1 φ22= 1 ρ1 ρ1 ρ2 1 ρ1 ρ1 1 =⇒ φ22= ρ2− ρ21 1 − ρ2 1 φ33= 1 ρ1 ρ1 ρ1 1 ρ2 ρ2 ρ1 ρ3 1 ρ1 ρ2 ρ1 1 ρ1 ρ2 ρ1 1 =⇒ φ33= ρ3+ ρ22ρ1+ ρ13− 2ρ1ρ2− ρ21ρ3 1 − 2ρ2 1− ρ22 em geral temos φkk= |P∗ k| |Pk|

onde Pké a matriz de autocorrela¸cão, e Pk∗ é a matriz Pk com a ultima coluna substitu´ıda

pelo vetor de autocorrela¸c˜ao.

3.8 Modelagem Holt-Winters

O procedimento de alisamento exponencial (Holt-Winters) pode ser generalizado para séries que contenham tendência e varia¸cão sazonal. Segundo Morettin e Toloi (2006), existem dois tipos de procedimento cuja utiliza¸cão depende das caracter´ısticas da série

(23)

3.8 Modelagem Holt-Winters 23

considerada. Tais procedimentos são baseados em três equa¸cões com constantes de sua-viza¸cão diferentes, que são associadas a cada uma das componentes do padrão da série: n´ıvel, tendência e sazonalidade.

b

Zt(h) = µt+ Tt+ St+ at

Onde µté o n´ıvel, Tté a tendência, St sazonalidade e até o ru´ıdo branco com média zero

e variˆancia constante.

Existem duas varia¸cões deste método, que diferem na natureza do componente sazonal. O método aditivo é preferido quando as varia¸cões sazonais são mais ou menos constante através da série, enquanto que o método multiplicativo é preferido quando as varia¸cões sazonais estão mudando proporcional ao n´ıvel da série.

3.8.1 Estimadores de Holt-Winters com sazonalidade aditiva

No método aditivo a componente sazonal é expressa em termos absolutos na escala da série observada, e na equa¸cão de n´ıvel da série é ajustada sazonalmente subtraindo o componente sazonal. ba1(t) = αZt−ρbm(t)(t − 1) + (1 − α) [ba1(t − 1) +ba2(t − 1)] ba2(t) = β [ba1(t) −ba1(t − 1)] + (1 − β)ba2(t − 1) ρm(t)(t) = γ [Zt−ba1(t)] + (1 − γ) ρm(t)(t − 1) Equa¸cão de previsão b Zt(h) = (ba1(t) + h ×ba2(t)) + ρm(t+h)(t) Onde : • _ba1(t) é o n´ıvel em t

• _ba2(t) é a tendência (inclina¸cão) em t

(24)

3.9 Modelagem de Box-jenkins 24

3.8.2 Estimadores de Holt-Winters com sazonalidade

multipli-cativa

No método multiplicativo a componente sazonal é expressa em termos relativos (per-centuais) e da série é ajustada sazonalmente dividindo-se através da componente sazonal.

b a1(t) = α " Zt b ρm(t)(t − 1) # + (1 − α) × [_ba1(t − 1) +ba2(t − 1)] b a2(t) = β [ba1(t) −ba1(t − 1)] + (1 − β)ba2(t − 1) ρm(t)(t) = γ Zt b a1(t) + (1 − γ) × ρm(t)(t − 1) Equa¸cão de previsão b Zt(h) = (ba1(t) + h ×ba2(t)] × ρm(t)(t) Onde : • _ba1(t) é o n´ıvel em t

• _ba2(t) é a tendência (inclina¸cão) em t

• ρ_bm(t)(t) ´e o fator sazonal em t

3.9 Modelagem de Box-jenkins

A metodologia Box-Jenkins amplamente utilizada no ajuste de modelos paramétricos, consiste em ajustar modelos auto-regressivos integrados de médias móveis, ARIM A(p, d, q), a um conjunto de dados. Segundo Fava (2000), os modelos ARIM A resultam da com-bina¸cão de três componentes denominados “filtros”: o componente auto-regressivo (AR), o filtro de integra¸cão (I) e o componente de médias móveis (MA). Uma série pode ser modelada pelos três filtros ou apenas um subconjunto deles, resultando em vários modelos abordados a seguir.

3.9.1 Modelos auto-regressivos AR(p)

Em um modelo auto-regressivo, a série de dados históricos Zt é descrita por seus

(25)

3.9 Modelagem de Box-jenkins 25 por: ˜ Zt= φ1Z˜t−1+ φ2Z˜t−2+ · · · + φpZ˜t−p+ at (3.7) onde, ˜ Zt = Zt− µ

O modelo 3.7 pode ser reescrito utilizando o operador de defasagem B, o operador de defasagem B ´e definido da seguinte forma:

BZt = Zt−1; BmZt= Zt−m (3.8)

ent˜ao utilizando a fun¸c˜ao 3.8 em 3.7 obtemos que:

φ(B) = 1 − φ1B − φ2B2− · · · − φpBp

φ(B) ˜Zt= at

3.9.2 Modelos de m´

edias m´

oveis M A(q)

Em um modelo de médias móveis, a série Ztresulta da combina¸cão dos ru´ıdos brancos

a do per´ıodo atual com aqueles ocorridos em per´ıodos anteriores. Assim, um modelo de médias móveis de ordem q ou M A(q) é dado por:

Zt = µ + at+ θ1at−1+ · · · + θqat−q (3.9) sendo ˜Zt = Zt− µ ˜ Zt= (1 − θ1B − · · · − θqBq)at = θ(B)at (3.10) onde θ(B) = 1 − θ1B − θ2B2− · · · − θqBq (3.11)

é o operador de médias móveis de ordem q.

3.9.3 Modelos n˜

ao estacion´

arios

Quando uma série temporal apresenta média e variância dependentes do tempo, é por-que ela não é estacionária. A não-estacionariedade de uma série implica que a varia¸cão

(26)

dos dados não permanece essencialmente constante sobre o tempo, isto é, as flutua¸cões au-mentam ou diminuem com o passar do tempo, indicando que a variância está se alterando. Para detectar a não-estacionariedade de uma série, o comportamento temporal pode ser analisado graficamente, ou, então, aplicando os testes estat´ısticos de raiz unitária. O teste de raiz unitária mais usado é o de Dickey-Fuller.

3.9.3.1 Modelos auto-regressivos integrados de médias móveis (ARIM A) Como a maioria dos procedimentos de análise estat´ıstica de séries temporais supõe que estas sejam estacionárias, será necessário transformá-las caso ainda não sejam. Se-gundo Morettin e Toloi (2006), a transforma¸cão mais comum consiste em tomar diferen¸cas sucessivas da série original até obter uma série estacionária.

Segue que o operador de diferen¸ca ´e definido por :

∆Zt = Zt− Zt−1= (1 − B)Zt

B ´e o operador de transla¸c˜ao visto anteriormente. Logo segue-se que ∆ = 1 − B

No caso de duas diferen¸ca tem-se

∆2Zt = ∆ [∆Zt] = ∆ [Zt− Zt−1] = Zt− 2Zt−1+ Zt−2

De modo geral, a n-´esima diferen¸ca de Zt ´e

∆nZt= ∆∆n−1Zt

Segundo Morettin e Toloi (2006), em situa¸cões normais será suficiente tomar uma ou duas diferen¸cas para obter estacionariedade em uma série. O número d de diferen¸cas necessárias para tornar a série estacionária é denominado ordem de integra¸cão. Após obter estacionariedade diz-se que Zt segue um modelo auto-regressivo, integrado, de médias

móveis, ou modelo ARIM A(p, d, q), onde p é o polinômio auto-regressivo é q o polinômio de médias móveis.

(27)

3.9.3.2 Modelos Sazonais (SARIM A)

Os modelos ARIM A exploram a autocorrela¸cão entre os valores da série em instantes sucessivos, mas quando os dados são observados em per´ıodos inferiores a um ano, a série também pode apresentar autocorrela¸cão para uma esta¸cão de sazonalidade s. Os modelos que contemplam as séries que apresentam autocorrela¸cão sazonal são conhecidos como SARIM A.

Os modelos SARIM A contêm uma parte não sazonal, com parâmetros (p, d, q), e uma sazonal,com parâmetros (P, D, Q)s . O modelo mais geral é dado pela equa¸cão:

(1 − φ1B − · · · − φpBp)(1 − Φ1Bs− · · · − ΦpBP S)(1 − B)d(1 − Bs)DZt=

(1 − θ1B − · · · − θqBq)(1 − Θ1Bs− · · · − ΘQBsQ) (3.13)

em que:

• (1 − φ1B − · · · − φpBp) ´e a parte auto-regressiva n˜ao-sazonal de ordem p;

• (1 − Φ1Bs− · · · − ΦpBP S) ´e a parte auto-regressiva sazonal de ordem P e per´ıodo

sazonal s;

• (1 − B)d _´_{e parte de integra¸c˜}_{ao n˜}_{ao-sazonal de ordem d;}

• (1 − Bs₎D _´_{e parte de integra¸c˜}_{ao sazonal de ordem D e per´ıodo sazonal s;}

• (1 − θ1B − · · · − θqBq) é a parte não-sazonal de médias móveis de ordem q;

• (1 − Θ1Bs− · · · − ΘQBsQ) é a parte sazonal de médias móveis de ordem Q e per´ıodo

sazonal s.

3.9.4 FACP dos modelos de Box-Jenkins

Nos processos AR, MA e ARMA temos as seguintes (FACP) te´oricas: i) em um processo AR(p) a (FACP) ´e da forma: φkk6= 0, se k < p

φkk= 0, se k > p

ii) em um processo M A(q) a (FACP) se comporta de maneira similar `a (FAC) de um processo AR(p), isto ´e, composta por exponenciais e\ou senoides amortecidas;

(28)

3.10 Singular Spectrum Analysis 28

iii) um processo ARM A(p, q) tem (FACP) que se comporta como a (FACP) de um processo MA puro. Devido aos fatores acima, segue que a (FACP) é útil para identificar modelos AR puros, não sendo tão útil para identificar modelos M A e ARM A. Uma ma-neira simples de estimar as (FACP) de um processo consistem em substituir nas equa¸cões de Yullie-Walker as (FAC) por suas estimativas

rj = ˆφk1rj−1+ · · · + ˆφkkrj−k, j = 1, . . . , k,

e resolver estas equa¸c˜oes para k = 1, 2, 3, · · ·

A (FAC) também é utilizada na identifica¸cão dos parâmetros dos modelos de Box-Jenkins a tabela 1 mostra a rela¸cão entre a (FAC) e a (FACP) na identifica¸cão dos modelos.

Tabela 1: Identifica¸c˜ao dos modelos

AR MA ARMA

FAC Decai

exponencial-mente

Corte brusco ap´os a defasagem q

Decai exponencialmente ap´os a defasagem q FACP Corte brusco ap´os a

defasagem p

Decai exponencial-mente

Decai exponencialmente ap´os a defasagem p

3.10 Singular Spectrum Analysis

Singular Spectrum Analysis (SSA), é uma técnica não paramétrica que permite de-compor uma série temporal em sinal e ru´ıdo. E uma t´´ ecnica útil para filtrar dados de séries temporais. Menezes et al., (2004) utilizaram três metodologias na abordagem SSA: Análise de componentes principais (ACP), ACP associado com Análise de Cluster e Análise Gráfica dos Vetores Singulares. Em seu artigo é mostrado que o melhor método em SSA é a Análise Gráfica dos vetores singulares, que será usado neste projeto. SSA é um método recente e poderoso em séries temporais que incorpora elementos de análise clássica de séries temporais, estat´ıstica multivariada, geometria multivariada, sistemas dinâmicos e processamentos de sinais (ELSNER; TSONIS, 1996). SSA tem sido aplicada com su-cesso em diversas áreas: na matemática e f´ısica a economia e matemática financeira, na meteorologia e oceanografia a ciências sociais (GOLYNADINA et al., 2001).

(29)

O método SSA é um procedimento que pode ser utilizado, dentre outras aplica¸cões, na remo¸cão de ru´ıdo e de séries temporais (GOLYNADINA et al., 2001; HASSANI et al, 2012). A versão básica do método SSA pode ser dividida em duas etapas: decomposi¸cão e reconstru¸cão.

3.10.1 Decomposi¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de decomposi¸cão pode ser subdividida em duas partes: Incorpora¸cão e decomposi¸cão em valores singulares (SVD – Singular Value Decomposition).

Seja Zt= [z1, . . . zT]1×T uma s´erie temporal (HAMILTON, 1994) e considere L tal que

2 ≤ L ≤ T de modo que L é um parâmetro a ser estimado e é chamado de comprimento da janela (GOLYANDINA et al., 2001). Entende-se por Incorpora¸cão o procedimento no qual uma série temporal ZT é levada a uma matriz X = [z1, . . . , zk]L×T, para todo

k ∈ [1, . . . , K], onde K = T − L + 1. A matriz X, conhecida como matriz trajetória é uma matriz Hankel, ou seja, os elementos de xi,j tal que i + j = constante são iguais

(HASSANI et al., 2012).

Considere S = XX0. Os autovalores de S dispostos em ordem de significância λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0 são obtidos e os respectivos autovalores U1, . . . , UL são encontrados.

Considere V0 = (X0UL)/

√

λ, como S é positivo semi-definido, então a matriz trajetória X pode ser expressa pela decomposi¸cão em valores singulares (SVD) apresentada em (3.9):

X = E1+ E2+ · · · + EL, (3.14)

onde El =

√

λUlVl0, para todo l = 1, . . . , L. A cole¸c˜ao (

√

λl, Ul, Vl) ´e conhecida como

auto-tripla da expansão SVD de X. Os elementos da autotripla são definidos respectivamente por: valor singular, vetor singular à esquerda e vetor singular à direita de X (MENEZES et al., 2014). A contribui¸cão de cada componente em (3.9) pode ser mensurada pela razão de autovalores λl/

PL

l=1λl.

3.10.2 Reconstru¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de reconstru¸cão está subdividida em duas partes: agrupamento e média diagonal. A etapa de agrupamento consiste no procedimento de agrupar algumas sequências de matrizes elementares resultantes da decomposi¸cão SVD

(30)

em grupos disjuntos e, ap´os isso, som´a-las, gerando novas matrizes elementares. Considere a sequencia PL

l=1El de matrizes elementares da expans˜ao de SVD. Agrupe

as mesmas em m grupos disjuntos utilizando algum método, por exemplo, por meio de análise de componentes principais, análise gráfica de vetores singulares ou agrupamento hierárquico e assumir que o conjunto de ´ındices gerado é dado por {I1, . . . , Im}, de modo

que a expans˜ao (3.9) pode ser reescrita como em (3.10), sendo XIi arbitr´aria tal queXIi =

Ppi j=1XIij (MENEZES et al., 2014). X = L X l=1 El = m X i=1 XIi (3.15)

O objetivo do agrupamento é diminuir o número de componentes na expansão da matriz trajetória X. A contribui¸cão de cada componente é mensurada pela razão (3.11) (MENEZES et al., 2014). Ppi j=1λIij PL l=1λl . (3.16)

Considere a matriz trajet´oria X e assuma que L∗ = min(L, K) e K∗ = max(L, K). Considere x(i)_l,k um elemento na linha l e coluna k na matriz XIi. O elemento z

(i)

t da

componente hz(i)_t i

1×T

da série temporal [zt]_1×T é calculado por meio da média diagonal

da matriz elementar XIi definida em (3.12), a partir da matriz elementar XIi.

z(i)_t =                  t P l=1 x(i)_l,t−l+1 t , se 1 ≤ t < L ∗ L∗ P l=1 x(i)_l,t−l+1 L∗ , se L∗ ≤ t < K∗ T −K∗+1 P l=t−K∗+1 x(i)_l,t−l+1 T −K∗₊₁ , se K ∗ _{≤ t ≤ T} (3.17) Cada componente h z_t(i) i

1×T concentra parte da energia da s´erie temporal original

[zt]1×T que pode ser mensurada pela raz˜ao de autovalores pi P j=1 λIij/ d P l=1 λl. De acordo com

Hassani et al. (2012), podemos classificar as componentes SSA hz_t(i)i

1×T

de uma série temporal arbitrária [zt]1×T em três categorais: tendência, componentes harmônicas (ciclo

e sazonalidade) e ru´ıdo (GOLYNADINA et al., 2001).

(31)

3.11 Multi-Channel Singular Spectrum Analysis (MSSA) 31

(HASSANI et al., 2012). Tal propriedade caracteriza quão bem separados estão as dife-rentes, componentes, umas das outras. Uma boa medida de separabilidade é a Correla¸cão Ponderada. Por correla¸cão ponderada weighted correlation ou w-correla¸cão, podemos en-tender como uma fun¸cão que quantifica a dependência linear entre duas componentes SSA Z_T(1) e Z_T(2) definida em (3.13) (MENEZES et al., 2014).

ρ(w)_ij = Z_T(i), Z_T(j) w ||Z_T(i)||w||Z (j) T ||w . (3.18) onde ||Z_T(i)||w = r Z_T(i), Z_T(i) w ; ||Z_T(j)||w = r Z_T(j), Z_T(j) w ;Z_T(i), Z_T(j) w = T P k=1 wkz (i) k z (j) k e wk= min{k, L, T − k}.

Através da separabilidade, pode-se verificar estatisticamente se duas componentes SSA estão bem separadas, em termos de dependência linear. Se o valor absoluto da w-correla¸cão é pequeno (HASSANI et al., 2012), então as componentes SSA correspondentes são classificadas como w-ortogonais (ou quase w-ortogonais); caso contrário, são ditas mal separadas. Salienta-se que comumente utiliza-se a correla¸cão ponderada na fase de agrupamento SSA (GOLYNADINA et al., 2001).

3.11 Multi-Channel Singular Spectrum Analysis (MSSA)

A metodologia MSSA é uma extensão do SSA para trabalhar com análise e previsão de séries temporais multidimensionais. O procedimento MSSA segue a mesma estrutura do procedimento SSA com a diferen¸ca de fazê-lo usando um sistema de séries temporais em face de uma única série. Considere o sistema de s séries temporais de tamanho T .

Z(k) =z_t(k)

T

t=1 (3.19)

Onde k = 1, . . . , s. O caso particular do procedimento MSSA para , equivale ao procedi-mento usando SSA (GOLYNADINA et al., 2001).

Escolhendo um único tamanho de janela janela de defasagem, L para todas as s séries, onde 1 < L < T , na fase de incorpora¸cão MSSA são obtidos k = T − L + 1 vetores defasados X_j(k) =

z_j(k), . . . , z_j+L−1(k) T

, j = 1, . . . , K para cada série Z(k), k = 1, . . . , s. Assim, para cada série Z(k) , é poss´ıvel obter através de um mapa invert´ıvel F(k), uma matriz de trajetória como em (3.13).

(32)

3.12 Estat´ısticas de Aderˆencia 32 X(k) =        z₁(k) z(k)₂ · · · z_K(k) z₂(k) z(k)₃ · · · z_K+1(k) .. . ... . .. ... z_L(k) z(k)_L+1 · · · z_T(k)        (3.20)

A matriz trajetória da série multidimensional Z(1), Z(2), · · · , Z(s)é, então, uma ma-triz de dimensão Ls × K e tem a seguinte forma:

X =hX₁(1) : . . . : X_K(1) : . . . : X₁(s): . . . : X_k(s)i

T

=X(1) : . . . : X(s)T (3.21)

O espa¸co trajetória (GOLYNADINA et al., 2001) é definido por um espa¸co linear spanado pelos vetores defasados (colunas da matriz trajetória X).

A partir de S = XXT_{, onde os autovalores de S em ordem de magnitude λ}

1 ≥ · · · ≥

λLS ≥ 0, U1, . . . , ULS os respectivos autovalores associados, d = maxj : λj > 0 o posto da

matriz S e Vj =

XT_U j

pλj

, j = 1, . . . , d. Denotando Ej =pλjUjVjT, ent˜ao o SVD da matriz

trajet´oria de X pode ser escrito por: X = E1+ · · · + Ed.

De forma an´aloga, a fase de agrupamento particiona o conjunto de ´ındices em sub-conjuntos disjuntos I1, . . . , Im de modo que a matriz trajet´oria pode ser reescrita no que

pode ser chamado de decomposi¸c˜ao agrupada:

X = XI1+ · · · + XIm (3.22)

Por fim a média diagonal é aplicada a cada uma das séries decompostas em3.11 e então o grupo de sinais reconstru´ıdos dado por eZ(k)₌

e Z(k)T

t=1

, k = 1, . . . , s ´e obtido.

3.12 Estat´ısticas de Aderˆ

encia

MAE é Mean Absolute Error, apresenta o afastamento médio das previsões em rela¸cão aos valores observados.

(33)

3.12 Estat´ısticas de Aderˆencia 33 M AE = N X t=1 [|zt− ˆzt|] × 1 N Onde

• zT ´e o valor observado da s´erie

• ˆzT ´e o valor previsto da s´erie

• N ´e o n´umero de per´ıodos usados

MAPE é Mean Absolute Percentage Error, é calculado como a média do erro percen-tual: M AP E = N X t=1 |zt− ˆzt| zt × 1 N Onde

RMSE é Root Mean Squared Error, apresenta valores do erro nas mesmas dimensões da variável analisada:

RM SE = 2 v u u t PN t=1(zt− ˆzt 2 N Onde

O coeficiente de determina¸c˜ao, tamb´em chamado de R2_{, ´}_{e uma medida de ajustamento}

(34)

3.13 Resumo da Metodologia 34

o modelo consegue explicar os valores observados. Quanto maior o R2, mais explicativo ´e o modelo, melhor ele se ajusta `a amostra.

R2 = 1 − PN t=1(zt− ˆzt) 2 PN t=1(zt− ¯zt) 2 ! Onde

• ˆzT ´e o valor observado da s´erie

• ¯z ´e a m´edia dos valores observados

O Critério de Informa¸cão Bayesiano (BIC) é definido como:

BICp = −2log(Lp) + [(p + 1) + 1]log(N ).

O BIC aumentam conforme SQE aumenta. Além disso, o critério penaliza modelos com muitas variáveis sendo que valores menores do BIC são prefer´ıveis.

SQE = PN

t=1(zt− ˆzt) 2

N

Como modelos com mais variáveis tendem a produzir menor SQE mas usam mais parâmetros, a melhor escolha é balancear o ajuste com a quantidade de variáveis.

3.13 Resumo da Metodologia

No Cap´ıtulo 2, foram expostos os objetivos deste projeto. A figura 1, mostra exata-mente o processo para modelagem via Holt-Winters e Box-Jenkins. Serão introduzidas várias séries originais onde as mesmas passarão pela filtragem SSA e MSSA, onde serão divididas em 3 partes: Tendência, Harmônica e Ru´ıdo. Após a filtragem será retirado o Ru´ıdo, onde a nova série apenas com as partes: Tendência e Harmônica será analisada e feita a compara¸cão com a mesma série filtrada via MSSA e sem a filtragem SSA. A partir das séries: original e filtrada será feita a modelagem Box-Jenkins e de Holt-Winters para análises. Os softwares utilizados para o estudo foram: FPW (Forecast Pro for Windows) para fazer a modelagem Holt-Winters e Box-Jenkins e CaterpillarSSA para abordagem SSA via análise gráfica dos componentes principais. Os resultados obtidos ao longo dos experimentos computacionais realizados são comparados em termos das estat´ısticas de

(35)

3.13 Resumo da Metodologia 35

aderˆencia: MAPE (Mean Absolute Percentage Error) , RMSE (Root Mean Squared Er-ror), BIC (Bayesian Information Criterion) e R2 (coeficiente de determina¸c˜ao).

(36)

36

4 An´

alise dos Resultados

4.1 Dados originais

Após toda prepara¸cão necessária, foram feitas as análises gráficas e descritivas das séries das 5 regiões brasileira no per´ıodo de janeiro de 1970 a dezembro de 2014. As figuras 3 a 7 apresentam os gráficos das séries em estudo.

Figura 3: S´erie hist´orica Rio Branco - AC

Observa-se na figura 3 que ao longo dos 45 anos a série história de média mensais de precipita¸cão pluviométrica de Rio Branco, apresentou mudan¸ca ao longo dos anos, tendo apresentados picos superiores aos 14 mil´ımetros de chuva, e chegando a 16 mil´ımetros/m2. Em janeiro de 2014, o Acre registrou sua maior média histórica de chuva no mês de janeiro no Estado.

A figura 4 mostra que a região de Recife foi atingida por picos de precipita¸cão plu-viométrica de 24 até 26 mil´ımetros, nos anos de 1973, 2004 e 2011, quando em

(37)

carac-4.1 Dados originais 37

Figura 4: S´erie hist´orica Recife - PE

ter´ıstica normal seu n´ıvel de precipita¸cão tende estar perto de 15 mil´ımetros. O mês de abril de 1973 teve a maior média de precipita¸cão pluviométrica do Estado.

Figura 5: S´erie hist´orica Bras´ılia - DF

Observa-se na figura 5 que o n´ıvel de precipita¸cão pluviométrica tende estar perto do 10 mil´ımetros, tendo atingido em alguns anos como 2006 o ´ındice de 17 mil´ımetros. O mês de outubro de 2006, foi o mais chuvoso para o mês citado da história de Bras´ılia.

Observa-se na figura 6 que o n´ıvel de precipita¸cão pluviométrica na série histórica do Rio de Janeiro se comportou em sua grande maioria com observa¸cões de até 10 mil´ımetros, em alguns casos chegando até a 15 mil´ımetros, porém no ano de 2007 observa-se o maior

(38)

4.1 Dados originais 38

Figura 6: S´erie hist´orica Rio de Janeiro - RJ

pico, no qual a série atingiu os 20 mil´ımetros. Neste mesmo ano a cidade de Nova Friburgo foi uma das mais atingidas, e 12 munic´ıpios do estado decretaram situa¸cão de emergência.

Figura 7: S´erie hist´orica Porto Alegre - RS

A figura 7 mostra que dentre as séries de cada região apresentada, Porto Alegre é a que possui os menores valores observados entre as séries, tendo no geral seu ´ındice perto dos 8 mil´ımetros, e tendo sua maior anomalia no ano de 1982, quando a série registrou a média pluviométrica mensal de 12 mil´ımetros. Neste mesmo ano o mundo estava sob um dos mais intenso episódios de El Niño. Porto Alegre chegou a registrar 138,8 mil´ımetros de chuva em um único dia.

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4.1 Dados originais 39

A tabela 2 apresenta as médias e desvios padrão das médias mensais pluviométricas no per´ıodo de janeiro de 1970 a dezembro de 2014.

Tabela 2: Estat´ısticas da m´edia pluviom´etrica mensal

Mˆes Estat´ıstica Rio Branco Recife Bras´ılia Rio de Janeiro Porto Alegre

Jan Média 9.27 3.30 7.27 8.53 3.45 Desvio Padrão 3.08 2.17 3.56 3.97 1.69 Fev Média 10.22 5.00 6.65 5.73 3.86 Desvio Padrão 2.73 3.48 3.18 3.20 1.73 Mar Média 8.33 6.93 6.56 5.28 3.26 Desvio Padrão 2.99 3.96 2.66 2.54 1.61 Abr Média 6.10 9.93 4.44 3.69 3.39 Desvio Padrão 2.72 5.72 2.47 1.75 1.84 Mai Média 3.08 10.29 0.99 2.15 3.45 Desvio Padrão 1.67 4.57 0.86 1.01 1.98 Jun Média 1.26 12.75 0.32 1.34 4.72 Desvio Padrão 1.20 4.42 0.67 0.99 2.65 Jul Média 1.16 11.37 0.24 1.39 4.42 Desvio Padrão 1.11 4.62 0.57 1.01 2.33 Ago Média 1.69 6.68 0.57 1.45 4.28 Desvio Padrão 1.16 3.49 0.78 1.33 2.19 Set Média 3.15 3.70 1.72 2.95 4.36 Desvio Padrão 1.86 2.50 1.37 2.09 2.42 Out Média 4.91 2.06 5.27 4.54 3.90 Desvio Padrão 2.04 1.49 3.16 1.80 2.14 Nov Média 6.65 1.32 7.90 7.89 3.53 Desvio Padrão 2.39 0.81 2.76 3.12 2.14 Dez Média 8.13 1.93 8.05 9.57 3.35 Desvio Padrão 2.23 1.48 2.80 2.79 1.48

Na tabela 2 pode-se perceber os meses com maiores volumes de chuva de cada região. Observa-se que em Rio Branco o per´ıodo com maiores ´ındices pluviométricos está de dezembro a abril. Em Recife os maiores ´ındices estão de abril a julho e neste mesmo per´ıodo é o per´ıodo de maior dispersão entre as médias registradas. Bras´ılia apresenta seus maiores ´ındices no per´ıodo de novembro a mar¸co, e grande seca de maio a agosto, onde a média está abaixo de 1 mm. O munic´ıpio do Rio de Janeiro tem seus maiores ´ındices pluviométricos no per´ıodo de novembro a janeiro, e pouca chuva de junho a agosto, onde a série registra em média menos de 2 mm de chuva. Porto Alegre de todas as séries foi a que apresentou menor varia¸cão entre os meses, não tendo grande diferen¸ca entre os meses, porém de junho a setembro chovendo um pouco mais que os demais meses.

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4.2 Filtragem SSA e MSSA 40

4.2 Filtragem SSA e MSSA

Após conhecer as caracter´ısticas das séries originais, foram realizadas as filtragens de cada uma das séries via SSA e MSSA. Com o objetivo de realizar a filtragem das séries originais, foi considerado o comprimento da janela L = T /2 = 270. A decomposi¸cão das 3 componentes da série, tendência, harmônica e ru´ıdo, foram feitas pela análise gráfica dos autovetores (ou vetores singulares). A figura 8 apresenta os 9 primeiros vetores singulares da série do Rio de Janeiro, pelo método SSA, e sua repetitivas contribui¸cão para série. Através da figura 8 observa-se que o autovetor 1 corresponde a componente de tendência, os autovetores 2 a 7 pertencem a componente harmônica e os demais autovetores foram considerados pertencente a componente ruidosa. O critério utilizado para selecionar o melhor filtro foi aquele que nos deixava com a menor correla¸cão entre as componentes.

A tabela 3 apresenta as correla¸cões entre as componentes tendência, harmônica e ruidosa, para cada uma das 5 séries pela filtragem SSA e pela filtragem MSSA.

Tabela 3: Tabela de correla¸c˜ao entre as componentes da s´erie filtrada

Filtragem Série Componente Tendência Harmônica Ru´ıdo

SSA Rio Branco Tendência 1 0 0,001 Harmônica 0 1 0,018 Ru´ıdo 0,001 0,018 1 Recife Tendência 1 0 0,005 Harmônica 0 1 0,01 Ru´ıdo 0,005 0,01 1 Bras´ılia Tendência 1 0,001 0,004 Harmônica 0,001 1 0,023 Ru´ıdo 0,004 0,023 1 Rio de Janerio Tendência 1 0 0,001 Harmônica 0 1 0,013 Ru´ıdo 0,001 0,013 1 Porto Alegre Tendência 1 0,004 0,001 Harmônica 0,004 1 0,053 Ru´ıdo 0,001 0,053 1 MSSA Rio Branco Tendência 1 0 0,004 Recife Bras´ılia Harmônica 0 1 0,017 Rio de Janerio

Porto Alegre Ru´ıdo 0,004 0,017 1

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Figura 8: Os 9 primeiros vetores singulares na filtragem SSA para s´erie do Rio de Janeiro e suas respectivas contribui¸c˜oes

os casos. Como a correla¸cão foi muito pequena, pode-se dizer que cada componente está bem definida, ou seja, os vetores singulares estão bem classificados.

As figuras 9 a 13 mostram o gráfico de cada uma das componentes para cada série pela filtragem SSA. A figura 14 mostra o gráfico de cada uma das componentes pela filtragem MSSA.

Observa-se através das figuras 9 a 13, que cada uma das regiões apresentam compor-tamento diferente entre si e que cada uma das 3 componentes estão bem definidas. Após se verificar a qualidade da separa¸cão das componentes, o passo seguinte foi a elimina¸cão da componente ruidosa, tendo cada série filtrada apenas as componentes harmônica e tendência.

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Figura 9: Componentes s´erie Rio Branco via SSA

Na figura 14 pode-se observar a diferen¸ca dentro de cada gráfico, pois a cada 540 pontos (janeiro de 1970 a dez de 2014) está contida a componente de uma série, a ordem

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Figura 10: Componentes s´erie Recife via SSA

é Rio Branco, Recife, Bras´ılia, Rio de Janeiro e Porto Alegre e, como pode ser observado, as três componentes estão bem definidas.

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4.2.1 S´

eries Filtradas

Após a elimina¸cão da componente ruidosa de cada uma das séries, foram criados gráficos com a série original e filtrada a fim de se observar o comportamento anterior e posterior ao filtro. As figuras 15 a 19 apresenta o gráfico da série original e filtrada de cada uma das séries. Observa-se que nas figuras 15 a 19 que o filtro tornou as séries mais homogêneas, as deixando mais suave e eliminando os picos observados nas séries originais. Os mesmo podem estar associados à caracter´ısticas que apenas o fator do ´ındice pluviométrico não seria suficiente para explicar.

Figura 15: Compara¸c˜ao entre a s´erie original e filtrada do Rio Branco via SSA

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Figura 17: Compara¸c˜ao entre a s´erie original e filtrada de Bras´ılia via SSA

Figura 18: Compara¸c˜ao entre a s´erie original e filtrada do Rio de Janeiro via SSA

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4.2.1.1 Modelos de previs˜ao

Em posse das séries filtradas via SSA e MSSA, foram criados os modelos preditivos de cada uma delas. As séries, tanto original, quanto filtradas, foram modeladas pela metodologia Holt-Winters e Box-Jenkins. A tabela 4 mostra o melhor modelo por cada um dos dois métodos pelo programa Forecast For Windows (FPW) para cada uma das séries.

Tabela 4: Modelos anterior e posterior `a filtragem das 5 s´eries

S´erie Modelo Holt-Winters Box & Jenkins

Rio Branco

SSA H-W+, sem tendˆencia SARIM A(1, 0, 4)(1, 1, 1)12

MSSA H-W+, sem tendˆencia SARIM A(1, 1, 3)(1, 1, 2)12

Sem Filtro H-W+, sem tendˆencia SARIM A(0, 0, 0)(1, 0, 1)12

Recife

SSA H-W+ SARIM A(2, 0, 3)(1, 1, 3)12

Sem Filtro H-W×, sem tendˆencia SARIM A(1, 0, 0)(1, 0, 1)12

Bras´ılia

SSA H-W+ SARIM A(1, 0, 3)(1, 1, 3)12

Sem Filtro H, sem tendˆencia SARIM A(0, 0, 0)(2, 0, 1)12

Rio de Janeiro

SSA H-W+, sem tendˆencia SARIM A(2, 0, 2)(1, 1, 4)12

Porto Alegre

SSA H, sem tendˆencia SARIM A(2, 0, 3)(2, 0, 2)12

MSSA H-W×, sem tendˆencia SARIM A(1, 1, 1)(0, 1, 4)12

Na tabela 4 H-W significa que o modelo representado é de Holt-Winter e apenas H representa modelo de Holt (sem sazonalidade), o sinal de mais + indica sazonalidade aditiva e o sinal de × sazonalidade multiplicativa. Pode-se notar na tabela 4 que a maioria das séries séries foram modeladas pelo método de Holt-Winters sem tendência. O fato dos modelos repetirem o número de parâmetros, não se trata do mesmo modelo, pois os valores dos parâmetros se diferenciam.

4.2.2 Estat´ısticas de aderˆ

encia

Após ajustar-se os modelos de Holt-Winters e Box-Jenkins para cada uma das séries, foram tiradas as estat´ısticas de aderência de cada um dos 30 modelos, a fim de se comparar o melhor modelo e verificar a se a filtragem via SSA ou MSSA apresentou melhora no

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ajuste do modelo, e se possui diferen¸ca na qualidade do ajuste entre os métodos SSA para o MSSA. Neste projeto será utilizado as seguintes estat´ısticas de aderência: MAPE, RMSE, BIC e R2 _ajustado.

Tabela 5: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos

S´erie M´etodo Modelo MAPE RMSE BIC R2

Rio Branco

SSA Holt-Winters 0,6744 0,7918 0,8011 0,9412

Box-Jenkins 0,3290 0,4704 0,4899 0,9790

MSSA Holt-Winters 0,0515 0,1919 0,1942 0,9964

Box-Jenkins 0,0046 0,0198 0,0207 1,0000

Sem Filtro Holt-Winters 1,1260 2,2210 2,2470 0,6569

Box-Jenkins 1,0660 2,2230 2,2490 0,6564 Recife SSA Holt-Winters 0,3257 1,1400 1,1600 0,9216 Box-Jenkins 0,0946 0,3226 0,3400 0,9996 MSSA Holt-Winters 0,1759 0,7467 0,7554 0,9647 Box-Jenkins 0,0283 0,1119 0,1572 0,9983

Box-Jenkins 0,6273 3,6130 2,6790 0,6032 Bras´ılia SSA Holt-Winters 0,2982 0,2378 0,2420 0,9940 Box-Jenkins 0,1210 0,0635 0,0666 0,9996 MSSA Holt-Winters 0,2876 0,1910 0,1932 0,9960 Box-Jenkins 0,0271 0,0289 0,0303 0,9999

Box-Jenkins 1,8510 2,3570 2,3980 0,6177 Rio de Janeiro SSA Holt-Winters 0,1334 0,4196 0,4245 0,9785 Box-Jenkins 0,0324 0,1136 0,1430 0,9973 MSSA Holt-Winters 0,0591 0,2173 0,2199 0,9943 Box-Jenkins 0,0105 0,0418 0,0463 0,9997

Box-Jenkins 0,9508 2,3450 2,3870 0,5781 Porto Alegre SSA Holt-Winters 0,0952 0,4183 0,4232 0,5017 Box-Jenkins 0,0068 0,0318 0,0335 0,9971 MSSA Holt-Winters 0,0536 0,2771 0,2804 0,7888 Box-Jenkins 0,0054 0,0289 0,0310 0,9976

Box-Jenkins 0,8376 2,0810 2,0570 0,0187

Na tabela 5 pode-se observar que em todas as estat´ısticas de aderˆencia ter aplicado o filtro melhorou a qualidade dos ajustes, diminuindo os erros (MAPE, RMSE, BIC) e aumentando a qualidade preditiva do modelo (R2 _ajustado). _{Nota-se tamb´}_{em que}

a filtragem MSSA se apresentou melhor que a filtragem SSA, porém a diferen¸ca entre as duas foi baixa, e quando qualquer uma das duas foi aplicada, obtiveram-se grandes melhoras nos ajustes dos dados em compara¸cão a série original.

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da amostra (in sample), chamado também de amostra de treinamento, e fora da amostra (out of sample) chamado amostra de teste, na primeira parte são utilizados 516 das 540 observa¸cões como fase para criar os modelos e na segunda parte, 24 observa¸cões finais como fase de teste dos modelos. Na primeira parte, os valores modelados são obtidos a partir dos dados históricos da série. Na segunda parte, os valores modelados são obtidos a partir dos valores anteriores do próprio modelo, configurando-se assim, como previsões que podem ser comparadas com valores reais podendo, desta forma, comparar os resultados tanto na modelagem como na previsão.

Tabela 6: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos (In Sample)

S´erie M´etodo Modelo MAPE RMSE BIC R2

Rio Branco

SSA Holt-Winters 0,7196 0,8036 0,8134 0,9389

Box-Jenkins 0,2499 0,4017 0,4191 0,9846

MSSA Holt-Winters 0,0529 0,1956 0,1980 0,9963

Box-Jenkins 0,0069 0,0265 0,0276 0,9999

Box-Jenkins 1,1650 2,1570 2,2100 0,6687 Recife SSA Holt-Winters 0,3313 1,1520 1,1740 0,9202 Box-Jenkins 0,0905 0,3099 0,3272 0,9942 MSSA Holt-Winters 0,1824 0,7630 0,7723 0,9631 Box-Jenkins 0,0250 0,0994 0,1370 0,9987

Box-Jenkins 0,6140 3,7090 2,6630 0,6104 Bras´ılia SSA Holt-Winters 0,3124 0,2310 0,2353 0,9943 Box-Jenkins 0,0996 0,0510 0,0535 0,9997 MSSA Holt-Winters 0,2884 0,1864 0,1887 0,9961 Box-Jenkins 0,0341 0,0250 0,0260 0,9999

Box-Jenkins 0,6154 2,3450 2,3880 0,6139 Rio de Janeiro SSA Holt-Winters 0,1192 0,3728 0,3773 0,9828 Box-Jenkins 0,0298 0,0981 0,1266 0,9978 MSSA Holt-Winters 0,0597 0,2182 0,2209 0,9942 Box-Jenkins 0,0104 0,0395 0,0454 0,9997

Box-Jenkins 0,9396 2,3330 2,3610 0,5904 Porto Alegre SSA Holt-Winters 0,0987 0,4275 0,4327 0,4999 Box-Jenkins 0,0067 0,0302 0,0319 0,9975 MSSA Holt-Winters 0,0550 0,2823 0,2857 0,7803 Box-Jenkins 0,0049 0,0243 0,0291 0,9982

Box-Jenkins 0,8571 2,0580 2,0700 0,0215

Como pode-se observar nas tabelas 6 e 7 a filtragem também MSSA e SSA se apre-sentaram melhor quando comparado aos modelos das séries originais, mostrando também

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Tabela 7: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos (Out of Sample)

S´erie M´etodo Modelo MAD MAPE GRMAE

Rio Branco

SSA Holt-Winters 0,7010 0,4240 0,3900

Box-Jenkins 0,4560 0,1950 0,2360

MSSA Holt-Winters 0,1310 0,0330 0,0740

Box-Jenkins 0,1250 0,0390 0,0850

Sem Filtro Holt-Winters 2,4520 0,6570 0,5220

Box-Jenkins 2,5710 0,6700 0,5710 Recife SSA Holt-Winters 0,6570 0,1990 0,2920 Box-Jenkins 0,2850 0,0770 0,1640 MSSA Holt-Winters 0,1190 0,0350 0,0490 Box-Jenkins 0,1790 0,0820 0,0650

Box-Jenkins 2,0100 0,4410 0,6070 Bras´ılia SSA Holt-Winters 0,3600 0,2700 0,0850 Box-Jenkins 0,2450 0,2030 0,0560 MSSA Holt-Winters 0,2630 0,4390 0,2060 Box-Jenkins 0,1170 0,2690 0,0610

Sem Filtro Holt-Winters 3,2280 -

-Box-Jenkins 1,7300 - -Rio de Janeiro SSA Holt-Winters 0,8470 0,4470 0,7630 Box-Jenkins 0,2430 0,1120 0,2220 MSSA Holt-Winters 0,1550 0,0460 0,0990 Box-Jenkins 0,0560 0,0160 0,0320

Box-Jenkins 1,8570 0,8270 0,9560 Porto Alegre SSA Holt-Winters 0,0800 0,0200 0,5140 Box-Jenkins 0,0240 0,0060 0,1430 MSSA Holt-Winters 0,0950 0,0250 0,1800 Box-Jenkins 0,0520 0,0140 0,1300

Sem Filtro Holt-Winters 1,4700 -

-Box-Jenkins 1,5460 -