Modelagem dos efeitos da não-linearidade em transmissões DMT sobre POF

(1)

Universidade Federal Fluminense

Escola de Engenharia

Curso de Gradua¸

c˜

ao em Engenharia de

Telecomunica¸

c˜

oes

Pedro Santos Abreu

Modelagem dos efeitos da n˜

ao-linearidade em

transmiss˜

oes DMT sobre POF

Niter´

oi – RJ

2019

(2)

Modelagem dos efeitos da n˜ao-linearidade em transmiss˜oes DMT sobre POF

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Gradua¸cão em Engenharia de Teleco-munica¸cões da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do Grau de Engenheiro de Telecomunica¸cões.

Orientador: Prof. Dr. Vinicius Nunes Henrique Silva Coorientador: Prof. Dr. Tadeu Nagashima Ferreira

Niter´oi – RJ 2019

(3)

ii .

(4)

Pedro Santos Abreu

Modelagem dos efeitos da n˜ao-linearidade em transmiss˜oes DMT sobre POF

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Gradua¸cão em Engenharia de Teleco-munica¸cões da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do Grau de Engenheiro de Telecomunica¸cões.

Aprovada em 15 de Julho de 2019.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Vinicius Nunes Henrique Silva - Orientador Universidade Federal Fluminese - UFF

Prof. Dr. Tadeu Nagashima Ferreira - Coorientador Universidade Federal Fluminese - UFF

Prof. Dr. Pedro Vladimir Gonzalez Castellanos Universidade Federal Fluminese - UFF

Niter´oi – RJ 2019

(5)

iv

Resumo

Neste trabalho foram discutido os efeitos da não-linearidade do LED e do clipping em sinais DMT transmitidos em fibras óticas plásticas. Foram realizadas medi¸cões da rela¸cão sinal-ru´ıdo em sinais DMT devido à não-linearidade do LED em fun¸cão da ampli-tude do sinal e polariza¸cão do LED para diferentes comprimentos de POF. A partir dessas medi¸cões foram obtidos modelos que estimam a rela¸cão sinal-ru´ıdo para as distâncias me-didas, através de diferentes meios de modelagem matemática. Foi obtido um modelo de complexidade relativamente baixa capaz de estimar a SNR devida à não linearidade do LED com relativa precisão, em rela¸cão as medi¸cões, em fun¸cão da polariza¸cão do LED e da amplitude do sinal DMT.

(6)

Abstract

In this paper, the effects of LED clipping and nonlinearity on DMT signals trans-mitted on plastic optical fiber were discussed. Signal-to-noise ratio due to the non-linearity of the LED measurements were performed on DMT signals as a function of the signal am-plitude and bias current of the LED for different POF lengths. From these measurements models were obtained that estimate the signal-to-noise ratio for the measured distances, through different means of mathematical modeling. A relatively low complexity model was obtained, capable of estimating the SNR due to the nonlinearity of the LED with relative accuracy, in comparison to the measurement data, as a function of the LED bias current and amplitude of the DMT signal.

(7)

vi

(8)

Agradecimentos

Aos meus pais, Evaldo e Tania, por terem me incentivado a me dedicar aos estudos. Aos professores Vinicius e Tadeu, por possibilitarem a realiza¸c˜ao deste trabalho.

(9)

Lista de Figuras

2.1 Diagramas de blocos do: (a) Transmissor DMT (b) Receptor DMT [11] . . 4

2.2 Estimativa de rela¸c˜ao sinal-crosstalk para (a) primeira subportadora e (b) subportadora central. . . 6

2.3 (a) Ganho em bits devido ao clipping (∆) em fun¸cão de µ, para diferentes quantidades de bits de quantiza¸cão (R1) para N = 256 e 8 QAM. (b) µ otimizado para se obter máximo ganho de SNR em fun¸cão do número de bits do quantizador. [7]. . . 7

2.4 Penalidade na rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo para que se obtenha BER igual a 10−3 em fun¸c˜ao de ζ [9]. . . 8

2.5 Rela¸cão sinal-ru´ıdo por subportadora para diferentes números de subporta-doras e ´ındices de modula¸cão(γ). (a) 3 subportadoras (b) 7 subportadoras (c) 255 subportadoras [9]. . . 9

2.6 Rela¸cão sinal-ruido por subportadoras na transmissão utilizando DMT para vários n´ıveis de atenua¸cão [5]. . . 10

2.7 BER para várias técnicas de modula¸cão em fun¸cão da atenua¸cão para (a) 300Mb/s e (b) 450 Mb/s[5]. . . 11

3.1 Gráfico de potência ótica da FFOS por corrente de polariza¸cão obtido atra-vés de medi¸cões estáticas (sem utilizar sinal modulado) [10]. . . 13

3.2 Diagrama da configura¸c˜ao experimental [10]. . . 14

3.3 Resultados das medi¸c˜oes atrav´es de POF de 2 cm. . . 15

3.4 Resultados das medi¸c˜oes atrav´es de POF de 20 m. . . 16

4.1 Melhor modelo para 2 cm. . . 22

4.2 Melhor modelo para 20 m. . . 22

4.3 Representa¸cão em árvore de opera¸cões. . . 24

(10)

4.4 Gráfico da evolu¸cão do erro em rela¸cão às gera¸cões . . . 27 4.5 Modelo encontrado por regressão simbólica para 2 cm. (a) mostra a

in-terpola¸cão das previsões da equa¸cão 5.2 apenas nos pontos já conhecidos através das medi¸cões. (b) mostra a equa¸cão 5.2 plotada de forma cont´ınua. 29 4.6 Modelo encontrado por regressão simbólica para 20 m. (a) mostra a

in-terpola¸cão das previsões da equa¸cão 5.3 apenas nos pontos já conhecidos através das medi¸cões. (b) mostra a equa¸cão 5.2 plotada de forma cont´ınua. 30

(11)

x

Lista de Tabelas

4.1 Tabela dos modelos obtidos para as medi¸c˜oes utilizando POF de 2 cm. . . 20 4.2 Tabela dos modelos obtidos para as medi¸c˜oes utilizando POF de 20 m. . . 21

(12)

(13)

xii

Lista de Abreviaturas e Siglas

AD Anal´ogico-digital

ADC Analog-to-digital converter AFG Arbritary Function Generator BER Bit Error Rate

CAP Carrier-less amplitude–phase CP Cyclic prefix

DA Digital-anal´ogico

DAC Digital to analog converter DC Direct Current

DMT Discrete Multitone

EMI Electromagnetic interference EVM Error vector magnitude

FFOS Fast Fluorescent Optical Source FFT Fast Fourier transform

IFFT Inverse fast Fourier transform ISI Intersymbol interference LED Light-emitting Diode MSE Mean Square Error OB2B Optical back-to-back

OFDM Orthogonal frequency-division multiplexing PAM Pulse amplitude modulation

PAPR Peak to Average Power Ratio PMMA Polimetil-metacrilato

POF Plastic Optical Fiber

(14)

P/S Parallel-to-serial converter

QAM Quadrature amplitude modulation SI Step-index

SNR Signal-to-noise ratio S/P Serial-to-parallel converter SSQABS Sum of Square Errors Absolute VLC Visible light communication

(15)

Sum´

ario

Resumo iv Abstract v Agradecimentos vii Lista de Figuras ix Lista de Tabelas x

Lista de Abreviaturas e Siglas xii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 1 1.2 Organiza¸c˜ao do Trabalho . . . 2

2 Clipping e n˜ao-linearidade 3

2.1 Princ´ıpio de funcionamento do DMT . . . 3 2.2 Impacto da não-linearidade do LED em sinais DMT . . . 4 2.3 Impacto do clipping em sinais DMT . . . 6 2.4 Impacto do clipping combinada com a não-linearidade em sinais DMT . . . 7 2.5 Compara¸cão de técnicas de modula¸cão em um canal não linear . . . 9

3 Descri¸c˜ao do Experimento 12

3.1 Configura¸c˜ao Experimental . . . 14 3.2 Resultados . . . 15

4 Modelagem Matem´atica 17

4.1 Ajuste de Superf´ıcies . . . 17

(16)

4.1.1 M´etodo dos m´ınimos quadrados . . . 17

4.1.2 M´etodo de Nelder–Mead . . . 18

4.1.3 Resultados . . . 19

4.2 Programa¸c˜ao gen´etica . . . 22

4.3 Regress˜ao simb´olica . . . 23

4.3.1 Representa¸cão . . . 23 4.3.2 Métrica . . . 24 4.3.3 Resiliência . . . 25 4.3.4 Inicializa¸cão . . . 25 4.3.5 Sele¸cão . . . 25 4.3.6 Evolu¸cão . . . 25 4.3.7 Resultados . . . 26

4.4 Compara¸c˜ao entre os modelos . . . 30

5 Conclus˜ao 31 5.1 Sugest˜oes para trabalhos futuros . . . 31

Referˆencias Bibliogr´aficas 33

Apˆendice A surface fit.py 36

Apˆendice B run.bat 42

(17)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Motiva¸

c˜

ao

Com o aumento da utiliza¸cão de aplica¸cões que exigem taxas de transferência de dados cada vez maiores, como streaming de v´ıdeo em alta defini¸cão e servi¸cos em nuvem, cresce a necessidade de aumento das taxas de transmissão dos enlaces da rede de dados [1]. O uso de fibras óticas monomodo de vidro cumprem essa demanda pois possuem baixa atenua¸cão, banda larga, porém são adequadas apenas para enlaces de longa distância devido ao alto custo de implementa¸cão em redes de curta distância [1] [2].

Os principais meios de enlaces f´ısicos com fio para redes de curta distância utiliza-dos atualmente são cabos coaxiais e cabos de par tran¸cado. Esses meios possuem grandes desvantagem quando considerada a utiliza¸cão em redes de alta capacidade. O par tran-¸cado são suscept´ıveis à interferência eletromagnética (EMI). Os cabos coaxiais são menos afetados por EMI e possuem banda mais larga, porém devido à espessura dos cabos, a instala¸cão é mais complicada. Além disso a realiza¸cão de emendas e conexões em cabos coaxiais não é simples [2]. As fibras óticas de vidro multimodo a princ´ıpio parecem uma boa op¸cão para redes de curta distância de alta capacidade devido a facilidade de realizar conexões, emendas e acoplamentos em rela¸cão às fibras monomodo. Porém as fibras de vidro multimodo possuem grandes desvantagens devido à grande interferência intermodal e instabilidade de largura de banda [1]. As fibras óticas plásticas (POF) possuem maior estabilidade de largura de banda e menor interferência intermodal em rela¸cão às fibras multimodo de vidro [1], e podem atingir taxas de transmissão superiores á 1 Gb/s [4], competindo diretamente com os cabos de par tran¸cado do padrão Ethernet CAT 6. Além

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disso, as POF possuem alta tolerância a vibra¸cão, choques mecânicos e dobras [1] [2]. Os transceptores que utilizam POFs possuem gasto energético menor em compara¸cão aos que utilizam fios de cobre [2]. Em especial, as fibras óticas de polimetil-metacrilato de ´ındice degrau (SI PMMA POF) possuem núcleo com diâmetro de 1mm comparado a 8 -100µm de fibras óticas de vidro, o que torna seu manuseio simplificado [2]. A facilidade de se realizar emendas e o baixo custo dos componentes e equipamentos de teste tornam as POFs uma op¸cão adequada para redes de curta distância de alta capacidade [1] [2]. A principal desvantagem das POFs é a grande atenua¸cão. Isso faz com que os enlaces sejam limitados a no máximo 100 m. Além disso, a largura de banda não é tão grande quanto a das fibras de vidro monomodo [2]. Devido à limita¸cão de largura de banda, é necessária a utiliza¸cão de técnicas de modula¸cão de alta eficiência espectral. A utiliza¸cão de esquemas de modula¸cão multiportadora como DMT combinado com Quadrature am-plitude modulation (QAM) resulta em uma eficiência espectral superior em compara¸cão a outras técnicas [2] [3].

Para instala¸c˜oes de POF de baixo custo, o diodo emissor de luz (LED) ´e a fonte ´

otica mais adequada [3]. Porém, o LED possui um alto grau de não-linearidade [3], o que pode inviabilizar a utiliza¸cão de transmissões de sinais DMT em compara¸cão a outras técnicas de modula¸cão como PAM [5]. Por isso é necessário investigar os efeitos da n˜ ao-linearidade em sinais DMT para que o impacto possa ser reduzido através de otimiza¸cões.

1.2 Organiza¸

c˜

ao do Trabalho

O objetivo deste trabalho é obter um modelo para o impacto da não-linearidade do LED em transmissões DMT em POF em fun¸cão da amplitude do sinal e polariza¸cão do LED. O restante do trabalho é organizado da seguinte forma.

No Cap´ıtulo 2 é explicado o princ´ıpio de funcionamento do DMT e é realizada uma revisão bibliográfica sobre os efeitos do clipping e da não-linearidade em transmissões DMT. O Cap´ıtulo 3 descreve o experimento realizado para se obter as medi¸cões e são mostradas os dados obtidos. O Cap´ıtulo 4 explica as técnicas utilizadas para obter um modelos matemáticos a partir dos dados e os modelos obtidos através delas. Por fim, no Cap´ıtulo 6 o autor expões suas conclusões.

(19)

Cap´ıtulo 2

Clipping e n˜

ao-linearidade

O estudo da distor¸cão não linear em sinais DMT pode ser dividido em duas áreas principais pertinentes a este trabalho: a realiza¸cão de clipping em um emissor com fun¸cão de transferência linear, o que pode ser feito com o intuito de limitar a rela¸cão entre a potência de pico e a potência média (PAPR), e a distor¸cão causada pela não-linearidade da fun¸cão de transferência da fonte [9]. Neste trabalho é chamada de clipping a prática de imposi¸cão de um limite simétrico de amplitude para o sinal, também conhecido como hard clipping. Neste cap´ıtulo é explicado o princ´ıpio de funcionamento do DMT e realizada uma revisão bibliográfica de trabalhos nos quais são estudado os efeitos efeitos do clipping e da não-linearidade separadamente e em conjunto.

2.1 Princ´ıpio de funcionamento do DMT

DMT é uma implementa¸cão em banda base da Orthogonal frequency-division mul-tiplexing (OFDM) que possui como sa´ıda valores reais e não requer modula¸cão coerente em fase e quadratura na portadora RF [9]. Em transmissões DMT através de LEDs, o sinal é unipolar, já que o LED é polarizado ( bias). O esquemas básicos de um transmissor e receptor DMT estão mostrados na Figura 2.1.

No transmissor sequência de bits de entrado, nos esquemas mostrados é uma sequência pseudo-aleatória de bits (PRBS), é dividida em N fluxos paralelos (S/P) de bits que posteriormente são mapeadas para s´ımbolos QAM M-ários, formando um vetor de valores complexo de tamanho N para cada s´ımbolo DMT. Para que sejam obtidos va-lores reais após a transformada inversa de Fourier (IFFT), é aplicada simetria hermitiana,

(20)

o que significa que o vetor será espelhado e a fase de cada novo elemento acrescentado ao vetor será invertida, formando um vetor complexo de tamanho 2N. Depois, o sinal passa pela IFFT gerando um s´ımbolo no dom´ınio do tempo, que é um vetor real de tamanho 2N, e opcionalmente, é acrescentado ao vetor um prefixo c´ıclico (CP) para aumentar a robustez contra interferência entre s´ımbolos (ISI) e facilitar a caracteriza¸cão do canal, equaliza¸cão e sincroniza¸cão. O sinal então é serializado e convertido para analógico e transmitido pelo meio f´ısico, no caso um LED e uma SI-POF [11].

No receptor, o sinal ótico é detectado por um fotodiodo e digitalizado por um conversor analógico-digital (ADC). O sinal digital é sincronizado e convertido de serial para paralelo (S/P) e então é realizada a transformada direta de Fourier (FFT). Depois, é removido o CP e a simetria hermitiana. É realizada a equaliza¸cão e o sinal é convertido de paralelo para serial (P/S) gerando um vetor de valores complexos de tamanho N por ´

ultimo é realizado a conversão de s´ımbolos QAM para um sequencia de bits, nessa etapa também é medida a magnitude do vetor de erro (EVM) e a rela¸cão rela¸cão sinal-ru´ıdo para cada subportadora utilizando sequencias de bits conhecidas [5] [11].

Figura 2.1: Diagramas de blocos do: (a) Transmissor DMT (b) Receptor DMT [11] .

2.2 Impacto da n˜

ao-linearidade do LED em sinais

DMT

Neokosmidis et al (2009) [6], através de deriva¸cões de modelos matemáticos, analisa os efeitos da não-linearidade da fun¸cão de transferência do LED na transmissão de um sinal QAM-DMT em um sistema sem clipping. Os cálculos foram realizados utilizando medi¸cões da fun¸cão de transferência de um LED branco, que foi aproximada através de

(21)

5 um polinômio de segundo grau. O trabalho propõe um modelo para o cálculo de potência de crosstalk entre as subportadoras, que é o principal efeito da não-linearidade em sinais DMT, e demonstra que essa interferência equivale a um ru´ıdo aditivo gaussiano.

Uma das conclusões obtidas através do modelo foi que quanto maior é o número de subportadoras, maior é razão sinal-crosstalk. Esse efeito pode ser explicado pelo fato que com o aumento do número de subportadoras, a PAPR aumenta, o que faz com que os picos tenham amplitude maior porém se tornem menos frequentes e mais estreitos. Isso faz com que quando não haja picos, a potência do sinal seja menor e como só os picos serão afetados pela não-linearidade de forma significativa e no resto do sinal a potência será minimizada, o efeito da não-linearidade diminui. Esse efeito é vis´ıvel na Figura 2.2, onde a razão sinal-crosstalk está plotada em fun¸cão do número total de subportadoras.

Na prática, não é vantajoso aumentar ilimitadamente o número de subportadoras, porque a potência máxima dos picos tenderia ao infinito, já que existe a possibilidade de haver interferência construtiva entre todas as subportadoras em algum momento. Esse fato torna imposs´ıvel do sinal ser transmitido utilizando um equipamento f´ısico, já que possuem faixa dinâmica limitada. Portando, sempre haverá algum clipping no sinal, o que impõe um limite para o SNR, como será visto posteriormente neste cap´ıtulo.

Outra conclusão obtida nesse trabalho foi que com o aumento da quantidade de s´ımbolos (M) na constela¸cão QAM, a razão sinal-crosstalk é reduzida, o que é observável na Figura 2.2. O autor justifica esse fenômeno como devido ao fato que como a potência foi mantida contante, a distância entre os s´ımbolos é reduzida para M maiores, o que torna o sinal mais suscept´ıvel a ru´ıdo devido ao crosstalk.

(22)

Figura 2.2: Estimativa de rela¸c˜ao sinal-crosstalk para (a) primeira subportadora e (b) subportadora central.

O modelo obtido para o crosstalk considera o ´ındice de modula¸cão do sinal como sendo igual a 1 (γ = 1), ou seja, a amplitude é igual ao n´ıvel de polariza¸cão do sinal. Isso torna o modelo relativamente limitado, dado que não permite alterar a corrente de polariza¸cão do LED e a amplitude do sinal de forma independente. Ambos são fatores importantes para estimar os efeitos da não-linearidade, sendo que alteram a região de opera¸cão na fun¸cão de transferência. Por isso, neste trabalho será apresentado um modelo para a rela¸cão sinal-ru´ıdo (SNR) em sinais DMT em fun¸cão da amplitude e da corrente de bias, podendo assumir valores distintos.

2.3 Impacto do clipping em sinais DMT

Mestdagh et al (1994) [7] modelou matematicamente o impacto do clipping em sinais DMT com número grande de subportadoras (N > 10), visto que nesses casos a distribui¸cão da amplitude do sinal se aproxima de uma distribui¸cão gaussiana. O autor concluiu que é poss´ıvel obter ganho na rela¸cão sinal-ru´ıdo utilizando clipping no sinal. Isso acontece porque há ganho de faixa dinâmica do sinal, porém ocorre introdu¸cão de ru´ıdo devido à perda da informa¸cão carregada pela parte ceifada do sinal. Então, há um ponto ´

otimo de clipping, já que com o aumento da faixa dinâmica do sinal a rela¸cão sinal-ru´ıdo devida ao ru´ıdo dos conversores AD/DA aumenta, como será mostrado a seguir.

O parâmetro µ representa razão entre a amplitude máxima imposta pelo clipping e o desvio padrão do sinal DMT. A Figura 2.3 (a) mostra que existe um valor ótimo de µ

(23)

7 para cada quantidade de bits de quantiza¸cão que maximize o ganho da rela¸cão sinal-ru´ıdo devido à quantiza¸cão. Esse ganho pode ser expresso em bits, e é no m´ınimo 2 bits como é mostrado na Figura 2.3 (a), equivale a um ganho de aproximadamente 12dB [8] à rela¸cão sinal-ru´ıdo devida a erros de quantiza¸cão. A Figura 2.3 (b) mostra o valor de µ ótimo para maximizar o ganho de SNR em fun¸cão do número de bits do quantizador.

Figura 2.3: (a) Ganho em bits devido ao clipping (∆) em fun¸cão de µ, para diferentes quantidades de bits de quantiza¸cão (R1) para N = 256 e 8 QAM. (b) µ otimizado para se obter máximo ganho de SNR em fun¸cão do número de bits do quantizador. [7].

Portanto, se utilizado de forma correta, a introdu¸cão de clipping pode trazer me-lhorias na rela¸cão sinal-ru´ıdo em transmissões DMT.

2.4 Impacto do clipping combinada com a n˜

ao-linearidade

em sinais DMT

Inan et al (2009) [9], através de simula¸cões numéricas, analisou o impacto da n˜ ao-linearidade da fun¸cão transferência do LED em um sistema ótico DMT. Um polinômio quadrático foi usado para modelar a fun¸cão de transferência. Nas simula¸cões ocorre clipping quando a potência instantânea desvia mais que 10 dB em rela¸cão à média.

Também foi investigado o efeito da concavidade da fun¸cão de transferência na rela-¸cão sinal-ru´ıdo do sinal através do parâmetro ζ, quando ζ = 0.5 a fun¸cão de transferência é linear, quando ζ > 0.5 a fun¸cão é concava, que é o caso das fun¸cões de transferências de LEDs e para ζ < 0.5 a fun¸cão é convexa. Depois foi calculado a penalidade na rela¸cão

(24)

sinal-ru´ıdo que cada valor ζ causaria para taxa de erro de bit (BER) alvo igual a 10−3_, que é mostrada na Figura 2.2. Quanto maior é o módulo de ζ maior é a penalidade na rela¸cão sinal-ru´ıdo devido à não-linearidade.

Figura 2.4: Penalidade na rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo para que se obtenha BER igual a 10−3 _em fun¸c˜ao de ζ [9].

Foi realizada uma série de simula¸cões variando o número de subportadoras e o ´ındice de modula¸cão para se obter a rela¸cão sinal-ru´ıdo por subportadora. A partir desses resultados o autor concluiu que com o aumento do número de subportadoras a perfor-mance do sistema piora, como mostrado na Figura 2.5 o que, aparentemente, contradiz Neokosmidis et al (2009) [6].

Essa diferen¸ca nos resultados ocorre porque para ´ındices de modula¸cão pequenos (γ = 0.1) a distor¸cão causada pela não-linearidade é pequena, já que a região de opera¸cão é quase linear e a distor¸cão causada pelo clipping é predominante. Para números pequenos de subportadoras (M < 10) o clipping ocorre raramente então o ru´ıdo causado por ele é pequeno. Para números maiores de subportadoras a ocorrência de clipping se torna mais frequente e a potência do ru´ıdo causado por ele também aumenta. Portanto, quando há clipping a rela¸cão sinal-ru´ıdo piora com o aumento do número de subportadoras.

(25)

9

Figura 2.5: Rela¸cão sinal-ru´ıdo por subportadora para diferentes números de subpor-tadoras e ´ındices de modula¸cão(γ). (a) 3 subportadoras (b) 7 subportadoras (c) 255 subportadoras [9].

2.5 Compara¸

c˜

ao de t´

ecnicas de modula¸

c˜

ao em um

canal n˜

ao linear

Stepniak et al (2015) [5] analisa os efeitos da não-linearidade em uma transmissão utilizando luz vis´ıvel em espa¸co livre (VLC), utilizando as modula¸cões PAM, CAP e DMT. Para as transmissões, foi utilizado um LED azul com uma camada fosforescente que gera um componente amarelo, que resulta em uma luz branca. A corrente de bias no LED é igual a 500 mA, e as transmissões foram realizadas em visada direta a 30 cm do receptor, que possui um filtro azul. Foi utilizado clipping de 11 dB em torno da potência média nos sinais DMT.

(26)

O experimento mostrou que para sinais DMT de alta potência (menor atenua¸cão) a não-linearidade tem um grande impacto na piora da SNR, porém se a potência for baixa demais a rela¸cão sinal-ru´ıdo também é baixa devido ao ru´ıdo do receptor. Esse efeito é vis´ıvel na Figura 2.6.

Figura 2.6: Rela¸cão sinal-ruido por subportadoras na transmissão utilizando DMT para vários n´ıveis de atenua¸cão [5].

Nas medi¸cões, a modula¸cão DMT obtém pior performance que as alternativas, como mostrado na Figura 2.7. A explica¸cão apresentada é que a PAM e a CAP possuem fun¸cões densidade de probabilidade mais compactas, ou seja a PAPR é menor, causando menos distor¸cão devido à não-linearidade.

(27)

11

Figura 2.7: BER para várias técnicas de modula¸cão em fun¸cão da atenua¸cão para (a) 300Mb/s e (b) 450 Mb/s[5].

(28)

Cap´ıtulo 3

Descri¸

c˜

ao do Experimento

O objetivo do experimento é mensurar a rela¸cão entre os efeitos da não-linearidade do LED na rela¸cão sinal-ru´ıdo, a amplitude do sinal e a corrente de bias em uma transmis-são DMT em uma fibra ótica de polimetil-metacrilato de ´ındice degrau (SI PMMA POF). Também será estudado se o aumento do comprimento da fibra altera os efeitos da não linearidade. O efeito da varia¸cão da corrente de bias não foi estudado individualmente em nenhum dos trabalhos mencionados no cap´ıtulo anterior.

As medi¸cões são realizadas variando a corrente de polariza¸cão do LED (Ibias) e a amplitude do sinal DMT, para que posteriormente possam ser encontrado os parâmetros ´

otimos de opera¸cão, uma vez que o LED apresenta um alto grau de não-linearidade como mostra a Figura 3.1. As medi¸cões foram realizadas de acordo com o experimento descrito por Sampaio et al (2018) [10][11].

(29)

13

Figura 3.1: Gráfico de potência ótica da FFOS por corrente de polariza¸cão obtido através de medi¸cões estáticas (sem utilizar sinal modulado) [10].

A métrica utilizada para quantificar a rela¸cão sinal-ru´ıdo no experimento é a re-la¸cão sinal-ru´ıdo multiportadora (SN RM C). A SN RM C caracteriza todo o conjunto de subportadoras através de uma rela¸cão sinal-ru´ıdo equivalente em um sistema monoporta-dora em um canal com ru´ıdo branco gaussiano aditivo (AWGN) capaz de atingir a mesma taxa de transmissão de bits [12]. É definida como:

SN RM C = Γ      ND Y k=1 1 + SN Rk Γ ! 1 Γ − 1      (3.1)

onde ND é o número de subportadoras do sinal DMT, SN Rk é a SNR em cada subportadora k e Γ é a diferen¸ca entre o SNR e a capacidade do canal. Neste experimento Γ é empiricamente medido e igual a 5 dB.

Defining Ptarget, que é a potência do sinal a ser transmitido, é poss´ıvel contro-lar a amplitude do sinal DMT antes da conversão digital-analógica utilizado o fator de escalonamento (SF) utilizando a fórmula:

Ptarget = 1 2 V ppmax SF (3.2)

onde V ppmax é a tensão de pico a pico máxima do conversor digital-analógico (DAC) [12] .

(30)

O sinal, então, é escalonado, gerando srescaled(t) [12] que será convertido pelo DAC: srescaled(t) = s PDM T Ptarget (3.3)

3.1 Configura¸

c˜

ao Experimental

O sinal é gerado utilizando um computador e a conversão digital-analógica (DAC) é realizada utilizando um gerador de onda arbitrário (AFG) e depois capturado utilizando um osciloscópio digital, por último, é transferido de volta para o computador, onde é demodulado. Nas medi¸cões do experimento o número de portadoras é fixo, sendo igual a 494 e a ordem do QAM é 4.

A fonte ótica utilizada é composta por um LED verde de comprimento de onda de 520nm que bombardeia uma POF fluorescente gerando um comprimento de onda de 560nm, esse conjunto é referido como fonte ótica fluorescente rápida (FFOS). Esse com-primento de onda foi escolhido devido à existência de uma janela de baixa atenua¸cão na PMMA POF em 560nm [10].

Inicialmente, são realizadas as transmissões em back-to-back ótico (OB2B), onde uma POF de 2 cm de comprimento foi utilizada. Nesse caso os efeitos de dispersão e atenua¸cão da fibra ótica são desprez´ıveis. A Figura 3.2 mostra a configura¸cão experimental básica.

Posteriormente, s˜ao repetidas as medi¸c˜oes substituindo POF de 2 cm por uma de 20 m.

(31)

15

3.2 Resultados

A partir do experimento descrito foram obtidos os valores da SN RM C em fun¸cão da corrente de polariza¸cão (Bias) e do Scaling Factor. Os resultados das medi¸cões são mostrados nas Figuras 3.3 e 3.4.

´

E poss´ıvel observar que quanto menor o Scaling Factor, e consequentemente a amplitude, maior a rela¸cão sinal ru´ıdo. Não foi observado o mesmo efeito do que Stepniak et al (2015) [5], no qual para amplitudes pequenas, a SNR diminui, isso pode ser explicado porque a transmissão foi realizada em um meio guiado, o que faz com que o n´ıvel de ru´ıdo seja menor do que em VLC. Nesse caso, o efeito da não-linearidade é dominante em rela¸cão ao efeito do ru´ıdo estático. Também é observável que quanto maior é a corrente de bias maior é a SNR, isso pode ser explicado pelo aumento da potência do sinal.

Comparando os resultados das transmissões em 2 cm e 20 m, observa-se que com o aumento do comprimento da POF, o efeito da não linearidade não-aumenta visivelmente, porém ocorre uma redu¸cão da SNR em toda a região estudada.

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(33)

Cap´ıtulo 4

Modelagem Matem´

atica

A partir dos dados obtidos através das medi¸cões serão utilizados dois métodos para encontrar equa¸cões que podem descrevê-los: ajuste de superf´ıcies e regressão simbólica, que é um tipo de algoritmo de programa¸cão genética.

4.1 Ajuste de Superf´ıcies

Para esta técnica será utilizada a biblioteca de ajuste de curvas pyeq3 [13] para Python, que possui uma cole¸cão de pouco mais de cinco mil equa¸cões provenientes de diferentes áreas da ciência. Para realizar o ajuste de parâmetros das equa¸cões a biblioteca utiliza principalmente dois métodos. No caso em que a equa¸cão pode ser escrita na forma

z = k−1 X n=0

anfn(x, y) (4.1)

onde an são os coeficientes da equa¸cão, o métodos dos m´ınimos quadrado é utili-zado. Para a maioria dos outros modelos é utilizado o método de Nelder–Mead combinado com um algoritmo evolutivo diferencial para calcular os coeficientes iniciais [13].

4.1.1 M´

etodo dos m´ınimos quadrados

A partir do vetor de valores conhecidos Z = hz0 z1 ... zm−1 iT

que pode ser representado como: zi = k−1 X n=0 anfn(xi, yi) + i (4.2) i = 0, 1, 2...m − 1

(34)

onde m é a quantidade de pontos conhecidos, k é a quantidade de parâmetros da equa¸cão e i é o erro entre o valor de z medido e o fornecido pelo modelo.

Definindo: X =         f0(x0, y0) f1(x0, y0) ... fk−1(x0, y0) f0(x1, y1) f1(x1, y1) ... fk−1(x1, y1) ... ... ... ... f0(xm−1, ym−1) f1(xm−1, ym−1) ... fk−1(xm−1, ym−1)         , A =ha0 a1 ... ak−1 iT =h0 1 ... m−1 iT

Ent˜ao podemos reescrever a equa¸c˜ao (4.2) na forma matricial como

Z = XA +

E a soma dos erros quadrados pode ser definida como

m−1 X i=0

2_i = T = (Z − XA)T(Z − XA) (4.3)

´

E poss´ıvel provar que (4.3) [14] ´e m´ınimo se

A = (XTX)−1XTZ

Na biblioteca pyeq3 este método é realizado utilizando a implementa¸cão contida no pacote numpy [13] [15].

4.1.2 M´

etodo de Nelder–Mead

O método de Nelder–Mead é um algoritmo iterativo que tem o objetivo de encontrar o m´ınimo de uma fun¸cão[16].

Para encontrar o ponto m´ınimo é utilizado uma aproxima¸cão do gradiente que não depende de derivadas, apenas de valores da fun¸cão. Por este método utilizar uma aproxima¸cão do gradiente, existe a possibilidade de convergir para um m´ınimo local [16]. Por isso a biblioteca pyeq3 utiliza um algoritmo evolutivo diferencial para estimar os parâmetros iniciais. A implementa¸cão deste método utilizada pela pyeq3 é a do pacote scipy [17].

(35)

19 Este método pode ser utilizado para encontrar os parâmetros que minimizem o erro quadrado de um modelo mesmo nos casos em que o modelo não seja da forma (4.1), ou seja o modelo não precisa ser uma combina¸cão linear de fun¸cões cujos os coeficientes sejam os parâmetros que se deseja otimizar.

4.1.3 Resultados

Utilizando como entrada os valores de SN RM C em escala linear, foi executado um algoritmo que realiza o ajuste de todas os modelos contidos na biblioteca pyeq3 e retorna o modelo com menor soma de erros ao quadrado (SSQABS) para uma dada quantidade de parˆametros.

O programa foi executado para encontrar o melhor modelo com quantidades de parâmetros entre 3 a 10. Além disso, os dados de cada medi¸cão também foram ajustados `

a equa¸cão quadrática completa. Os resultados estão contidos nas Tabelas 4.1 e 4.2, onde as variáveis x, y e z representam respectivamente o Scaling Factor, Bias e o SN RM C. O código fonte do programa é mostrado no Apêndice A e o código que abre múltiplas instâncias do programa em paralelo é mostrado no Apêndice B.

O modelo com menor erro encontrado pelo método de ajuste de superf´ıcies para o SN RM C para ambos os comprimentos da POF foi o Full Cubic. O modelo é mostrado nas Figuras 4.1 e 4.2, onde está ajustado para os dados das transmissões em 2 cm e 20 m respectivamente. Nessas figuras os pontos são os dados obtidos através das medi¸cões e a superf´ıcie representa a previsão obtida pelo modelo.

(36)

Vars Modelo F´ormula SSQABS

3 Simple Equation 31 z = a*exp(b/y+c*x) 64259.1

4 Simple Equation 31 With Offset

z = a*exp(b/y+c*x) +Offset 60379.0

5 Rational K z = ay / (b(1 + x/c) +y(1 + x/d)) + Offset 43185.0 6 Taylor Series E z = a + b/x + cy +d/x2 _{+ fy}2 _{+ gy/x} _18728.4

7 Rational O z = (a + b*ln(x) + c*ln(y) + d*ln(x)ln(y))/ (1 + fx + gy + hxy) 17048.6 8 Rational O With Offset z = (a + bx + cy +dxy)/(1 + f*ln(x) + g*ln(y) + h*ln(x)*ln(y)) + Offset 13690.9 9 Transform Simplified Quadratic Logarithmic z = a + b*ln(g*x+h) + c*ln(i*y+j) + d*ln(g*x+h)2 _{+ f*ln(i*y+j)}2 122281.4 10 Full Cubic z= a + bx + cy + dx2 _{+ fy}2 _{+ gx}3 + hy3 + ixy + jx2y + kxy2 6651.1

6 Full Quadratic z = a + bx + cy + dx2 _{+ fy}2 _{+ gxy} _24101.6

Algoritimo gen´etico Equa¸c˜ao 1 4882.2

(37)

21

Vars Modelo F´ormula SSQABS

3 Simple Equation 31 z = a*exp(b/y+c*x) 38634.6

4 Simple Equation 31 With Offset z = a*exp(b/y+c*x) + Offset 36692.4 5 Mixed Inhibition B With Offset z = ay / (b(1 + x/c) + y(1 + x/d)) + Offset 18425.9

6 Taylor Series G z = a + b/x + c*ln(y)

+ d/x2 _{+ f*ln(y)}2 _{+ g*ln(y)/x} 10188.3

7 Rational O z = (a + b*ln(x) +

c*ln(y) + d*ln(x)ln(y))/(1 + fx + gy + hxy)

8318.1 8 Rational O With Offset z = (a + b*ln(x) +c*ln(y) + d*ln(x)ln(y)) /(1 + fx + gy + hxy) + Offset 7126.1

9 Transform Sag For Asphere 2 With Offset

s2= (ax+b)2 + (cy+d)2

z = (s2_{/r) /(1+(1-(k+1)(s/r)}2₎1/2₎ + A4*s4 + A6*s6 + Offset

38425.4 10 Full Cubic z = a + bx + cy + dx 2 _{+ fy}2 _{+ gx}3 _{+ hy}3₊ ixy + jx2_{y + kxy}2 3656.8 6 Full Quadratic z = a + bx + cy + dx2 + fy2 _{+ gxy} 19960.8

Algoritimo gen´etico Equa¸c˜ao 2 4413.0

(38)

Figura 4.1: Melhor modelo para 2 cm.

Figura 4.2: Melhor modelo para 20 m.

4.2 Programa¸

c˜

ao gen´

etica

Programa¸cão genética (GP) é um tipo de algor´ıtimo evolutivo usado para descobrir solu¸cões para problemas que humanos não sabem como resolver diretamente. Algoritmos

(39)

23 GP são baseados na evolu¸cão biológica e seus mecanismos, como muta¸cão aleatória, cru-zamento, uma fun¸cão de aptidão (fitness) e múltiplas gera¸cões com melhora gradativa na solu¸cão do problema [19].

A programa¸cão genética pode ser considerada um processo estocástico, sempre que a popula¸cão inicial é gerada e com cada sele¸cão e evolu¸cão do processo, indiv´ıduos aleatórios da gera¸cão atual passam por mudan¸cas aleatórias para passar para a próxima [18].

4.3 Regress˜

ao simb´

olica

A regressão simbólica é uma técnica de aprendizado de máquina, baseada em pro-grama¸cão genética, que tem como objetivo identificar uma expressão matemática que melhor descreve uma rela¸cão entre variáveis. O algor´ıtimo come¸ca com uma popula¸cão de fórmulas aleatórias que representam a rela¸cão entre variáveis independentes e uma variável dependente. A cada gera¸cão é gerada uma nova popula¸cão de fórmulas baseadas nas que obtiveram as melhores pontua¸cões na gera¸cão anterior que passam por opera-¸cões genéticas. Neste trabalho será utilizada a implementa¸cão da biblioteca gplearn, para Python. [18]

4.3.1 Representa¸

c˜

ao

Considerando uma express˜ao arbitr´aria:

y = X₀2− 3 × X1+ 0.5

tamb´em pode ser escrita como

y = X0× X0 − 3 × X1+ 0.5

Ou em linguagem de programa¸c˜ao como:

y = add(sub(mult(X0, X0), mult(3.0, X1)), 0.5)

Em todas essas representa¸cões há um arranjo de variáveis, constantes e fun¸cões. Nesse caso, as fun¸cões são adi¸cão, subtra¸cão e multiplica¸cão. Também há as variáveis X0 e X1 e as constantes 3,0 e 0,5. O conjunto de todas a variáveis, constantes e fun¸cões dispon´ıveis é chamado de conjunto primitivo. [18]

(40)

A fórmula também pode ser representada através de uma árvore de opera¸cões, como mostrado na Figura 4.3, onde os nós internos da árvore são as fun¸cões e as folhas são as constantes e variáveis. Essa representa¸cão mostra que a expressão pode ser tratada de forma recursiva. [18]

Figura 4.3: Representa¸cão em árvore de opera¸cões.

Do ponto de vista do algoritmo de regressão simbólica cada sub-árvore, por exemplo X0× X0, pode ser substitu´ıda por outra sub-árvore que represente uma expressão válida gerando assim uma árvore também válida. [18]

4.3.2 M´

etrica

Para quantificar o quão adequada é cada fórmula, é necessário determinar uma métrica de fitness. O fitness, por padrão, é baseada na média dos erros quadrados (MSE) entre os valores medidos e os valores previstos pela fórmula. O algoritmo genético busca maximizar o valor de fitness. [18]

No cálculo de fitness também há uma parcela para penalizar equa¸cões mais com-plexas, que pode ser ajustado pelo parâmetro parsimony. Se o valor desse parâmetro for muito alto equa¸cões grandes terão fitness menores mesmo que o MSE seja menor que de equa¸cões menores. E se o parsimony for muito baixo o algoritmo beneficiará equa¸cões muito grandes mesmo que a melhora do MSE seja pequena. [18]

f itness = −M SE − Lf ormula× parsimony

onde Lf ormula é o comprimento da fórmula que é definido como o número de elementos que é igual ao número de nós da árvore.

(41)

25

4.3.3 Resiliˆ

encia

Para que o programa possa ser devidamente executado, as fun¸cões utilizadas nas fórmulas não podem retornar erros, por isso são utilizadas versões protegidas das fun¸cões matemática convencionais, como: a fun¸cão de divisão retorna 1 para valores de denomi-nador muito próximos a zero, a fun¸cão raiz quadrada retorna a raiz quadrada do módulo, a fun¸cão log retorna o logaritmo do módulo. Dessa forma se garante que a execu¸cão do programa não será interrompida por erros numéricos.[18]

4.3.4 Inicializa¸

c˜

ao

Ao iniciar a execu¸cão do algor´ıtimo é gerado um primeiro conjunto de fórmulas aleatórias que compõe a primeira gera¸cão. É poss´ıvel configurar uma faixa de alturas da ´

arvore, controlando indiretamente a complexidade das fórmulas geradas inicialmente. [18] As alturas iniciais das árvores idealmente não devem ser muito grandes, pois isso resultaria em fórmulas mais complexas logo no in´ıcio e que mesmo assim não representaria bem os dados, visto que inicialmente não é utilizada a fun¸cão fitness. [18]

Também é poss´ıvel determinar o tamanho da popula¸cão, ou seja quantas fórmulas serão geradas a cada gera¸cão. [18]

4.3.5 Sele¸

c˜

ao

A partir da popula¸cão gerada em uma gera¸cão é sorteado um subconjunto aleatório, chamado de torneio. O indiv´ıduo do torneio com melhor fitness é o que passará para a próxima gera¸cão. [18]

´

E poss´ıvel controlar o tamanho do torneio. Torneios maiores farão com que o programa convirja para a solu¸cão mais rapidamente, porém um torneio menor fará com que as popula¸cões sejam mais diversificadas. [18]

4.3.6 Evolu¸

c˜

ao

O indiv´ıduo selecionado no torneio passa para a próxima gera¸cão depois de passar por opera¸cões genéticas que podem ser cruzamento, muta¸cão de sub-árvore, remo¸cão de sub-árvore, muta¸cão de nó, reprodu¸cão. E poss´ıvel configurar a probabilidade de´ ocorrência de cada uma dessas opera¸cões. [18]

(42)

Cruzamento é a opera¸cão na qual uma sub-arvore aleatória do vencedor do torneio anterior é substitu´ıda pela sub-árvore de outro individuo que é selecionado realizando se um novo torneio. [18]

Muta¸cão de sub-árvore é quando uma sub-árvore é selecionada aleatoriamente para ser substitu´ıda por uma nova sub-arvore, gerada de forma aleatória.[18]

Remo¸cão de sub-árvore sorteia uma sub-árvore aleatória para ser substitu´ıda por uma de suas folhas, tem o efeito de reduzir a complexidade das fórmulas. [18]

Muta¸cão de nó é a opera¸cão que substitui nós selecionados por novos nós gerados aleatoriamente, fun¸cões são substitu´ıdas por fun¸cões e folhas são substitu´ıdas por novas folhas.[18]

4.3.7 Resultados

Também foi realizada a modelagem dos dados de SN RM C obtidos no cap´ıtulo anterior utilizando regressão simbólica através de algoritmo genético. o código fonte do programa utilizado é mostrado no Apêndice C.

O parâmetro parsimony inicialmente foi configurado para 5 e foi decrescido gradu-almente até 0,1. Isso foi feito para for¸car o algoritmo a apenas aumentar a complexidade dos modelos caso não se encontrem modelos mais simples com menor erro. Ou seja, sempre que o erro do melhor modelo encontrado estagnasse ao passar das gera¸cões, o parsimony era decrescido manualmente. O gráfico do erro em fun¸cão da gera¸cão para a execu¸cão do algoritmo para as medi¸cões de 20 m é mostrado na Figura 4.4.

(43)

27

Figura 4.4: Gráfico da evolu¸cão do erro em rela¸cão às gera¸cões

O critério de parada do algoritmo foi que o erro SSQABS fosse próximo aos encon-trados pelos métodos de ajuste de curvas. Os erros obtidos na modelagem dos dados de 0.02 m e 20 m estão mostrados nas Tabelas 4.1 e 4.2.

As equa¸cões (5.2) e (5.3) mostram as equa¸cões obtidas através de regressão sim-bólica e as Figuras 4.5 e 4.6 mostram os gráficos dos modelos. Devido ao alto grau de complexidade das equa¸cões obtidas por este método, as equa¸cões foram representadas em texto plano ao invés da nota¸cão padrão.

(44)

(5.2) - Modelo do SN RM C para 0.02 m

z = -8.621*x^(-1.0)*(y +((-1.0*x - 0.732)*(0.097*y -0.097*(x -1.0*(x*e xp(x))^0.125)^0.5)^(-1.0)*(-0.17*x - 1.0*(y + 1.058*(y^2.0*log(log(exp (x*(log(y) + log(log(log(log(x*log(log(-1.0*exp((x^1.5*y)^0.5) + 0.503 )))))^0.5)))))*log(log(log(log(log(log(log(log(x^0.5 - 1.0*exp(x*y*log (log(log(log(log(log(x^0.5 - 1.265*I))^0.5))))*log(log(log(log(log(log (log(log(exp(y)) - 0.146)^0.5))))))) - 1.0*log(log((-0.677 + I*pi)^0.5 ))^0.5))^0.5)))))))^0.5)*log(0.253*log(-1.0*exp((exp(x*(log(y) + log(l og(log(0.697*(y^(-1.0))^0.5))))) - 1.0*log(0.253*log(-1.0*exp((-1.0*x^ 1.5*y + y)^0.5) + log(log(log(exp(x*(log(y)+ log(log(log(log(log(log(l og(-1.0*exp(y) + 0.675))^0.5))))^0.5)))))^0.5))) + log(log(exp(y)))^0. 5)^0.5) + log(-1.451*x)^0.5))^(-1.0) + log(exp(x*(-1.0*exp((-1.0*x^1.5 *y + y)^0.5) + log(y) + log(log(log(log(log(log(log(exp(y)))^0.5))) -0.068)^0.5)))))*log(log(log(log(log(log(x^0.5 - 1.0*exp(0.253*x*log(-1 .0*exp(y) + 1.401)) - 1.0*log(x)))^0.5)))))^0.5)*(exp(exp((-1.0*x^1.5* y + y + exp(x*log(x + 2.0*y - 0.253)))^0.5)) + log(log(log(log(x^0.125 )))))*log(x - 1.0*(y*log(log(x^0.5 - 1.0*log(log(log(log(log(log(y)^0. 5)))))^0.5)))^0.5 + log(-0.257*log(-1.0*exp((exp(x*(log(exp(x*log(log( y^(-0.5)*log(y))))) + log(log(exp(y))))) + log(1.119*y)^0.5 - 1.0*log( 0.253*log(0.436*exp(x) - 1.0*exp((x^1.5*y)^0.5))))^0.5) + log(1.481*x) ^0.5)) -1.964)

(45)

29 (5.3) - Modelo do SN RM C para 20 m z = 5903.078*x**(-1.0)*y**0.25*(x -0.996)**(-1.0)+x**(-1.0)*y*(x- 0.29 7)**(-1.0)*(x*log(x*log(log((x - 0.297)**0.5) - 0.506))**(-1. 0) + x*log(log((x - 0.297)**0.5) - 0.506)**(-1.0) + log(exp(11.952*X1 **0.5))) + x*(exp(x + y) - 0.506)**(-1.0) + x*log(x**(-1.0)*y**0.5 + e xp(y))**(-1.0) + 0.345*x + 11.952*y**0.5 + (x + y**0.5*(x- 0.996)**(-2 .0)*(11.952*x + 23.905*log(exp(x + y))) + (-1.0*x 1.0*x**2.0*log(exp(-1.0*x + 2.0*y))**(-1.0) + y)**0.5)*log(log(log(log(x*(x*log(log((x - 0 .297)**0.5) 0.506)**(1.0) + x**4.0*y**(1.0)*(y + log(log(x**0.5) 0.506)*log(exp(x + y + (x + y)*log(log(x*log(log(x**0.5) 0.506)) -0.582))))**(-1.0)*log(log((-1.0*X0 + log(1.147*(x**2.0*y**(-1.0))**0.5 ))**0.5) - 0.506)**(-1.0)*log(exp(x + y))**(-1.0) + 1.147*(x*log(log(l og(exp(y)) + 0.345))**(-1.0))**0.5)**(-1.0)))))**(-1.0)

Figura 4.5: Modelo encontrado por regressão simbólica para 2 cm. (a) mostra a interpo-la¸cão das previsões da equa¸cão 5.2 apenas nos pontos já conhecidos através das medi¸cões. (b) mostra a equa¸cão 5.2 plotada de forma cont´ınua.

(46)

Figura 4.6: Modelo encontrado por regressão simbólica para 20 m. (a) mostra a interpo-la¸cão das previsões da equa¸cão 5.3 apenas nos pontos já conhecidos através das medi¸cões. (b) mostra a equa¸cão 5.2 plotada de forma cont´ınua.

4.4 Compara¸

c˜

ao entre os modelos

Apesar dos modelos gerados pela regressão simbólica representarem bem os dados já conhecidos, por isso possuem erro SSQABS pequenos, os modelos se comportam mal ao prever pontos desconhecidos. Isso ocorre devido ao problema de sobre-ajuste (overfit-ting) [20], o que era esperado devido à grande complexidade das equa¸cões obtidas pelo algoritmo. O princ´ıpio da Navalha de Occam, o qual diz que modelos mais simples têm maior probabilidade de explicar um fenômeno do que modelos mais complexos, justifica esse fato [21].

Portanto, é poss´ıvel afirmar que o modelo Full Cubic representa bem os dados e tem complexidade relativamente baixa. Esse modelo pode ser utilizado para estimar o SN RM C para as transmissões em POF de 0.02 m e 20 m. O modelo pode ser melhorado se mais dados em uma região mais abrangente forem obtidos.

(47)

Cap´ıtulo 5

Conclus˜

ao

No trabalho foi feito um estudo sobre os efeitos da não não-linearidade causada por LEDs e clipping em sinais DMT sob PMMA SI-POF em rela¸cão à amplitude do sinal e polariza¸cão do LED em diferentes distâncias, visando aplica¸cões de altas taxas de transmissão em enlaces de curto alcance de baixo custo. O efeito da corrente de polariza¸cão do LED não havia sido modelado por nenhum dos trabalhos estudados, já que ou utilizam a polariza¸cão fixada ou estava atrelada a amplitude do sinal.

A partir de medi¸cões realizadas em POF, foram realizas modelagem matemática dos dados utilizado o método de ajuste de curvas, que é mais tradicional e um método de regressão simbólica baseado em algoritmo genético. A partir da regressão simbólica foi encontrado um modelo muito complexo para aplica¸cões práticas e com alto grau de sobre-ajuste.O melhor modelo foi encontrado através de ajuste de curvas.

Foi demonstrado que é poss´ıvel representar a rela¸cão sinal-ru´ıdo em transmissões QAM-DMT em fun¸cão da polariza¸cão e amplitude do sinal com um modelo relativamente simples, uma equa¸cão cúbica.

Com o modelo obtido é poss´ıvel obter estimativas de parâmetros de transmissão ´

otimos que minimizem os efeitos da n˜ao-linearidade.

5.1 Sugest˜

oes para trabalhos futuros

Futuramente, o modelo obtido podem ser aprimorados com a obten¸cão de mais dados, já que o ponto de maior de maior rela¸cão sinal-ru´ıdo está localizado fora da região onde se obtiveram as medi¸cões.

(48)

Outra possibilidade é criar um algor´ıtimo que combine a regressão linear com o ajuste de curvas para que a cada equa¸cão gerada as constantes sejam ajustadas aos dados ao invés de serem geradas aleatoriamente. Dessa forma, pode ser poss´ıvel gerar modelos mais abrangentes e que se ajustem melhor aos dados sem que a sua complexidade seja muito alta.

(49)

33

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[19] Introduction to GP (gplearn 0.4.1 documentation). Dispon´ıvel em: https: //gplearn.readthedocs.io/en/stable/intro.html. Acesso em: 18 de Junho de 2019.

[20] Overfitting. Dispon´ıvel em: https://web.ma.utexas.edu/users/mks/ statmistakes/ovefitting.html. Acesso em: 18 de Junho de 2019.

[21] Occam’s Razor. Dispon´ıvel em: http://pespmc1.vub.ac.be/OCCAMRAZ.html. Acesso em: 18 de Junho de 2019.

(52)

Apˆ

endice A

surface fit.py

import os, sys, inspect, copy

import pyeq3

def UniqueCombinations(items, n): # utility function

if n==0:

yield []

else:

for i in range(len(items)):

for cc in UniqueCombinations(items[i+1:],n-1):

yield [items[i]]+cc

def SetParametersAndFit(inEquation, resultList, inPrintStatus): # utility function

try:

# check for number of coefficients > number of data points to be fitted

if len(inEquation.GetCoefficientDesignators()) >

len(inEquation.dataCache.allDataCacheDictionary['DependentData']):

return

# check for functions requiring non-zero nor non-negative data such as 1/x, etc.

if inEquation.ShouldDataBeRejected(inEquation):

return

if inPrintStatus:

(53)

37

print(smoothnessControl,'Fitting', inEquation.__module__, "'" + inEquation.GetDisplayName() + "'")

inEquation.Solve() target =

inEquation.CalculateAllDataFittingTarget(inEquation.solvedCoefficients)

if target > 1.0E290: # error too large

return except:

print("Exception in " + inEquation.__class__.__name__ + '\n' +

str(sys.exc_info()[0]) + '\n' + str(sys.exc_info()[1]) + '\n') return t0 = copy.deepcopy(inEquation.__module__) t1 = copy.deepcopy(inEquation.__class__.__name__) t2 = copy.deepcopy(inEquation.extendedVersionHandler.__class__.__name__.split('_')[1]) t3 = copy.deepcopy(target) t4 = copy.deepcopy(inEquation.solvedCoefficients) t5 = copy.deepcopy(inEquation.polyfunctional3DFlags) t6 = copy.deepcopy(inEquation.xPolynomialOrder) t7 = copy.deepcopy(inEquation.yPolynomialOrder) resultList.append([t0,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7]) rawData_o = open('data20.txt','r').read() rawData=''

for line in rawData_o.split('\n'): #print(repr(line))

if line.strip(): vals=line.split(' ') #print(vals)

rawData+= ' '.join(vals[:2]+[str(10**(float(vals[2])/10))])+'\n'

with open('datalin20.txt','w') as f: f.write(rawData.replace(' ',',' ))

(54)

resultList = [] fittingTargetText = 'SSQABS' externalCache = pyeq3.dataCache() reducedDataCache = {} smoothnessControl = 7 import sys if len(sys.argv)>1:

smoothnessControl=int( sys.argv[1])

for submodule in inspect.getmembers(pyeq3.Models_3D):

if inspect.ismodule(submodule[1]):

for equationClass in inspect.getmembers(submodule[1]):

if inspect.isclass(equationClass[1]): # special classes if equationClass[1].splineFlag or \ equationClass[1].userSelectablePolynomialFlag or \ equationClass[1].userCustomizablePolynomialFlag or \ equationClass[1].userSelectablePolyfunctionalFlag or \ equationClass[1].userSelectableRationalFlag or \ equationClass[1].userDefinedFunctionFlag: pass

for extendedVersion in ['Default','Offset']:

if (extendedVersion == 'Offset') and (equationClass[1].autoGenerateOffsetForm == False): continue equationInstance = equationClass[1](fittingTargetText, extendedVersion) try: if len(equationInstance.GetCoefficientDesignators()) != smoothnessControl: continue except:continue

(55)

39 cache if equationInstance.dataCache.allDataCacheDictionary == {}: pyeq3.dataConvertorService().ConvertAndSortColumnarASCII(rawData, equationInstance, False) equationInstance.dataCache.CalculateNumberOfReducedDataPoints(equationInstance) if equationInstance.numberOfReducedDataPoints in reducedDataCache: equationInstance.dataCache.reducedDataCacheDictionary = reducedDataCache[equationInstance.numberOfReducedDataPoints] else: equationInstance.dataCache.reducedDataCacheDictionary = {} SetParametersAndFit(equationInstance, resultList, True)

if equationInstance.numberOfReducedDataPoints not in reducedDataCache:

reducedDataCache[equationInstance.numberOfReducedDataPoints] = equationInstance.dataCache.reducedDataCacheDictionary

resultList.sort(key=lambda item: item[3]) # currently requires the 4th result element to be fitting target

bestResult = resultList[0]

print()

print('While \"Best Fit\" may be the lowest fitting target value,')

print('it requires further evaluation to determine if it is the best')

print('for your needs. For example, it may interpolate badly.')

print()

print('"Smoothness Control" allowed a maximum of ' + str(smoothnessControl) + ' parameters')

moduleName = bestResult[0] className = bestResult[1]

(56)

fittingTarget = bestResult[3] solvedCoefficients = bestResult[4] polyfunctional3DFlags = bestResult[5] polynomialOrderX = bestResult[6] polynomialOrderY = bestResult[7] if polyfunctional3DFlags:

equation = eval(moduleName + "." + className + "('" + fittingTargetText +

"','" + extendedVersionHandlerName + "', " + str(polyfunctional3DFlags) + ")")

elif polynomialOrderX != None:

equation = eval(moduleName + "." + className + "('" + fittingTargetText + "','"+ extendedVersionHandlerName + "', " + str(polynomialOrderX) + ", " +

str(polynomialOrderY) + ")")

else:

equation = eval(moduleName + "." + className + "('" + fittingTargetText + "','" + extendedVersionHandlerName + "')") pyeq3.dataConvertorService().ConvertAndSortColumnarASCII(rawData, equation, False) equation.fittingTarget = fittingTargetText equation.solvedCoefficients = solvedCoefficients equation.dataCache.FindOrCreateAllDataCache(equation) equation.CalculateModelErrors(equation.solvedCoefficients, equation.dataCache.allDataCacheDictionary) print()

print('\"Best fit\" was', moduleName + "." + className)

print('Fitting target value', equation.fittingTarget + ":",

equation.CalculateAllDataFittingTarget(equation.solvedCoefficients))

if polyfunctional3DFlags:

print()

print('Polyfunctional flags:', polyfunctional3DFlags)

print()

if polynomialOrderX != None:

(57)

41

print('Polynomial order:', polynomialOrderX) print()

for i in range(len(equation.solvedCoefficients)):

print("Coefficient " + equation.GetCoefficientDesignators()[i] + ": " +

str(equation.solvedCoefficients[i]))

print()

(58)

Apˆ

endice B

run.bat

start cmd.exe /c python surface_fit.py 3 start cmd.exe /c python surface_fit.py 4 start cmd.exe /c python surface_fit.py 5 start cmd.exe /c python surface_fit.py 6 start cmd.exe /c python surface_fit.py 7 start cmd.exe /c python surface_fit.py 8 start cmd.exe /c python surface_fit.py 9 start cmd.exe /c python surface_fit.py 10

(59)

Apˆ

endice C

sym regress.py

import pickle

from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d, Axes3D

from gplearn.genetic import SymbolicRegressor

from gplearn.functions import make_function

from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor

from sklearn.utils.random import check_random_state

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

from expeval import expeval

from math import *

from sympy import *

import sys import traceback import os import time sys.setrecursionlimit(1500) X0 = Symbol('X0') X1 = Symbol('X1') filename = r'G:\gp_model.pkl' filename2 = r'G:\gp_model.pkl' 43

(60)

def clear_programs(ob):

try:

print('lenant', len(ob._programs))

ob._programs = (len(ob._programs))*ob._programs[-1:]

print('lenadps', len(ob._programs))

except Exception as e:

print(e)

def _exp(x1):

with np.errstate(over='ignore'):

return np.where(np.abs(x1) < 100, np.exp(x1), 0.) exp = make_function(function=_exp,

name='exp', arity=1)

def add(a, b): return a+b

def sub(a, b): return a-b

def div(a, b): return a/b

def mul(a, b): return a*b

def neg(a): return (-1)*a

def inv(a):

if a == 0: return 1 return 1/a def load_data(f): lines = f.readlines() #print((lines[0].split(' ')))

vals = [line.strip().split(' ') for line in lines] matrix = np.matrix(vals).astype(np.float)

return np.array(matrix)

if __name__ == '__main__':

scaling_factor = load_data(open("./Data/Scaling_Factor.csv", "r")) bias = load_data(open("./Data/Bias.csv", "r"))

(61)

45

snrmc = 10**(snrmc / 10)

x0, x1, y_truth = scaling_factor, bias, snrmc

x0_f, x1_f, y_truth_f = x0.flatten(), x1.flatten(), y_truth.flatten()

print(x0_f.shape)

matrix = np.column_stack((x0_f, x1_f, y_truth_f)) np.random.seed(0) rng = check_random_state(1) X_submatrix = matrix[:, 0:2] Y_submatrix = matrix[:, 2] # Training samples X_train = X_submatrix[:, 0:2] y_train = Y_submatrix[:] # Testing samples X_test = X_submatrix[80:, :] y_test = Y_submatrix[80:]

print('X_train', X_train.shape, 'y_train', y_train.shape,

'X_test', X_test.shape, 'y_test', y_test.shape)

function_set = ('add', 'sub', 'mul', 'div', 'sqrt', 'log', exp) d_params = dict(population_size=5000,

stopping_criteria=0.01,

p_crossover=0.5, p_subtree_mutation=0.1, p_hoist_mutation=0.3, p_point_mutation=0.1, max_samples=0.9, verbose=1,

parsimony_coefficient=.1, n_jobs=5, random_state=0, metric='mse',

function_set=function_set,

init_depth=(2, 6), warm_start=True)

try:

with open(filename2, 'rb') as f: est_gp = pickle.load(f) clear_programs(est_gp) est_gp.set_params(**d_params)

(62)

print(e)

est_gp = SymbolicRegressor(**d_params)

print(est_gp.get_params())

def lin2db(a): return 10*np.log10(a)

def plot_model(): fig = plt.figure()

for i, (y, score, title) in enumerate(

[(y_truth, None, "Ground Truth"), (y_gp, score_gp, "SymbolicRegressor "+

str(score_gp)+"\n"+(str(est_gp._program)))]): ax = fig.add_subplot(2, 1, i+1, projection='3d')

surf = ax.plot_surface(x0, x1, y, rstride=1,

cstride=1, cmap='jet', alpha=0.5) points = ax.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], y_train)

if score is not None:

score = ax.text(-.7, 1, .2, "$R^2 =\/ %.6f$" % score, 'x', fontsize=14) plt.title(title) plt.savefig("./imgs/tight_bbox_test" + str(params['generations'])+".jpg",) plt.close(fig) try: while 1: params = est_gp.get_params() est_gp.set_params(generations=params['generations']+100) try: strexpr = expeval(est_gp._program) print() print(strexpr) print()

(63)

47 print() y_gp = est_gp.predict( np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]).reshape(x0.shape) sse = np.sum((y_gp.ravel()-y_truth.ravel())**2) score_gp = sse

print('generation: ', params['generations'])

print((str(est_gp._program)))

print('score=', score_gp, '\n')

print(e)

traceback.print_exc() est_gp.fit(X_train, y_train)

while 1:

with open(filename2+'aux', 'wb') as f: clear_programs(est_gp)

pickle.dump(est_gp, f)

try:

with open(filename2+'aux', 'rb') as f: pickle.load(f)._program

try:

os.remove(filename2)

except:

pass

os.rename(filename2+'aux', filename2)

print('salvo ok')

break

print('erro ao salvar', e) time.sleep(1)

with open("./imgs/erros", "a") as f:

f.write('%d,%.3f\n' % (params['generations'], score_gp)) plot_model()

(64)

finally:

with open(filename2+'back', 'wb') as f: clear_programs(est_gp)