Lista 7.4 Optimização com Restrições de Desigualdade

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Apontamentos Cálculo II

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Lista 7.4 – Optimização com Restrições de

Desigualdade

1. Problema de optimização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com m restrições de desigualdade:

Problema de escolha, entre todos os pontos do domínio de f cujas variáveis respeitam um sistema de m inequações, aqueles que têm maiores ou menores imagens, local ou globalmente. f: Df n g: Dg n m opt_x 1,…,xnf x1,…,xn s.a. g₁ x₁,…,x_n b₁ … g_m x₁,…,x_n b_m

2. Tipos de soluções de problemas de optimização com restrições de desigualdade:

x é minimizante local de f restrita a g x b: x V_x D : x_f g b, f x f x x é minimizante global de f restrita a g x b: x D : xf g b, f x f x* x é maximizante local de f restrita a g x b: x Vx Df: g x b, f x f x

x é maximizante global de f restrita a g x b: x Vx* Df: g x b, f x f x

3. Problema de optimização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com p restrições de limitação de sinal:

Problema de escolha, entre todos os pontos do domínio de f cujas variáveis de índice 1, 2, ... e p são não negativas (se as restrições forem de não‐negatividade) ou não positivas (se as restrições forem de não‐positividade), aqueles que têm maiores ou menores imagens, local ou globalmente. f: Df n opt_x 1,…,xnf x1,…,xn s.a. x₁ 0 … x_p 0

4. Problema de optimização de uma função f, de 2_{em , com 2 restrições de}

não-negatividade:

Problema de escolha, entre todos os pontos do domínio de f cujas variáveis x e y são não negativas, aquel es que têm maiores ou menores imagens, local ou globalmente.

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Lista 7.4 – Optimização com Restrições de Desigualdade

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opt_x,yf x,y s.a. x 0 y 0

5. Condições necessárias para a resolução de problemas de optimização com restrições de limitação de sinal (x Variável associada à restrição de limitação

de sinal): i Maximização e não‐negatividade: f_x_i x 0 x_i 0 x ._i f_x_i x 0 Maximização e não‐positividade: f_x_i x 0 x_i 0 x_i.f_x_i x 0 Minimização e não‐negatividade: f_x_i x 0 x_i 0 x ._i f_x_i x 0 Minimização e não‐positividade: fx_i x 0 xi 0 xi. fx_i x 0

6. Problema de optimização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com i restrições de igualdade, d de desigualdade e p de limitação de sinal:

Problema de escolha, entre todos os pontos do domínio de f cujas variáveis respeitam um sistema de i equações e d inequações e cujas variáveis de índice 1, 2, ... e p são não negativas (se as restrições forem de não‐negatividade) ou não positivas (se as restrições forem de não‐positividade), aqueles que têm maiores ou menores imagens, local ou globalmente. f: D_f n g: D_g n i d max(min)_x 1,…,xnf x1, … , xn s.a. g₁ x₁, … , x_n b₁ … g_i x₁, … , x_n b_i g_{i 1} x1, … , xn bi 1 … g_{i d} x1, … , xn bi d x₁ 0 … x_p 0

7. Método da resolução gráfica de um problema de optimização com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal:

Processo que consiste na representação gráfica das curvas de nível da função objectivo e do conjunto de oportunidades do problema, para que seja possível escolher, entre todos os pontos do conjunto de oportunidades, aquele que pertence a uma curva de nível associada à maior imagem da função.

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3 8. Método de Kuhn – Tucker para a resolução de um problema de optimização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com i restrições de igualdade, d de desigualdade e p de limitação de sinal:

Processo que consiste na determinação de pontos que resolvem um conjunto de condições, relativas às suas variáveis e a uma função, denominada Lagrangeana. Os valores das variáveis de decisão dos pontos encontrados podem constituir as coordenadas de possíveis soluções do problema.

f: D_f n g: D_g n i d max(min)_x 1,…,xnf x1, … , xn s.a. g₁ x₁, … , x_n b₁ … g_i x₁, … , x_n b_i g_{i 1} x1, … , xn bi 1 … g_{i d} x1, … , xn bi d x₁ 0 … x_p 0 : n x _n, ₁, _i, λ , λ x₁, … , x λ x , x_n D q r 1, … , x λ … , λ i 1, … i d f n 1. b1 g1 1, … λi. bi g_i x1, … , xn λi 1. bi 1 g_{i 1} x1, … , xn λi d. bi d g_{i d} x1, … , xn

9. Condições de Kuhn – Tucker associadas a um problema de maximização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com i restrições de igualdade, d de menor ou igual e p de não-negatividade:

Condições associadas ao método de Kuhn – Tucker, relativas a este problema. f: Df n g: D_g n i d maxx1,…,xnf x1, … , xn s.a. g₁ x₁, … , x_n b₁ … g_i x1, … , xn bi g_{i 1} x₁, … , x_n b_{i 1} … g_{i d} x₁, … , x_n b_{i d} x1 0 … xp 0 : n x , … , x , λ , … , d f , … , xn λ1. b1 g₁ x1, … , xn D q r 1 n 1 λi x1 λ_{i d}. b_{i d} g_{i d} x₁, … , x_n Condições de Kuhn – Tucker:

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4 – Optimização com Res ições Des aldad 4 Lista 7. tr de igu e x₁ x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 x1 0 x1. x₁ x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 … … … … … x_p x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 xp 0 x1. x₁ x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 x_{p 1} x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 … x_n x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 λ1 x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 … λi x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 λi 1 x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 λi 1 0 λi 1. λi 1 x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 … … … … … λi d x1, … , xn, λ1, … , λi d 0 λi d 0 λi d. λi d x1, … , xn, λ1, … , λi d 0

10. Condições de Kuhn – Tucker associadas a um problema de maximização de uma função f, de 2 em , com 1 restrição de igualdade, 1 de menor ou igual e 1 de não-negatividade:

Condições associadas ao método de Kuhn – Tucker, relativas a este problema. f: D_f 2

g: Dg 2 2

maxx,yf x,y s.a.

g₁ x,y b₁ g₂ x,y b2

x 0 :

x,y,λ f x,y λ1. b1 g₁ x,y λ2. b2 g₂ x,y

D 3

Condições ed Kuhn Tucker: –

x x,y,λ 0 x 0 x. x x,y,λ 0 y x,y,λ 0 λ1 x,y,λ 0 x 0 ₂ 0 ₂. ₂ ,λ λ₂ ,y,λ λ λ λ x,y 0

f_x x,y λ₁. g_1x x,y λ₂. g_2x x,y 0 x 0 x. f_x x,y λ₁. g_1x x,y λ₂. g_2x x,y 0 fy x,y λ1. g_1y x,y λ2. g_2y x,y 0

g₁ x,y b₁

g₂ x,y b2 λ2 0 λ2. b2 g₂ x,y 0

11. Adaptação de problemas d imiza om restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal:

e opt ção c

Maximização e minimização: min_xf x max_x f x Menor ou igual e maior ou igual: g x b g x b

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Lista 7.4 – Optimização com Restrições d

5 e Desigualdade

Não‐negatividade e não positividade: x 0 x' 0 (x' x)

12. Limitações de sinal dos multiplicadores de Lagrange (λ) nas condições de Kuhn – Tucker:

Maximização e restrição j de menor ou igual: λj 0

Maximização e restrição j de maior ou igual: λ_j 0 Minimização e restrição j de menor ou igual: λ_j 0 Minimização e restrição j de maior ou igual: λ_j 0

13. Restrição de desigualdade activa num ponto do conjunto de oportunidades, xo_,

num problema de optimização com restrições de desigualdade:

Restrição, c j u a função associada, g_j, a sus me o valor limite permitido pela restrição, bj, em xo.

Restrição g_j x b_j é activa g_j xo _b j

14. Teorema da Suficiência de Kuhn – Tucker: Se: Problema: max_x₁,…,x_nf x1, … , xn s.a. g₁ x₁, … , x_n b₁ … g_i x1, … , xn bi g_{i 1} x₁, … , x_n b_{i 1} … g_{i d} x₁, … , x_n b_{i d} x1 0 … n x 0 f (estritamente) côncava e diferenciável em x , …1 , xn n: x1 0 … xn 0 convexa e e c vel em x1, … , xn n: x1 0 … xn 0 g difer n iá x₁, … , xn, λ1, … , λi d verifica as condições de Kuhn – Tucker associadas ao problema Então: x1, … , xn é maximizante global (único) do problema

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15. Teorema da Necessidade de Kuhn – Tucker: Se: Problema: max_x₁,…,x_nf x1, … , xn s.a. g₁ x₁, … , x_n b₁ … g_i x1, … , xn bi g_{i 1} x1, … , xn bi 1 … g_{i d} x₁, … , x_n b_{i d} x₁ 0 … xn 0

X Conjunto de oportunidadesProblema gx g_a

1, … , gas Função vectorial constituída pelas s componentes de g associadas a

restrições de desigualdade activas do problema em x Pelo meno uma das seguintess condições é verificada:

j 1, … ,i d ,g linear_j

int X j 1 …, ,i d ,g_j convexa

e o x r 1, … ,d : g_j activa em x, gj ₀ X conv x f X , j x fr X , rank Jgx _x _s x₁, … , xn é maximizante do problema Então: λ1, … , λi d i d: x1, … , xn, λ1, … , λi d verifica as condições de Kuhn – Tucker

16. Teorema do Envelope em optimização com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal:

Se:

f: D_f n

f diferenciável

Problema: opt f x s.a. restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal, associadas a u ções diferenciáveis

x

f n

X x1,…,xn Conjunto de variáveis de decisão do problema

Α α1,… α, k Conjunto de parâmetros do problema

x α x₁ α ,…,α , … , x_n α ,…,α é extremante do problema, para o vector de parâmetros ,…,

1 k 1 k

α₁ α_k

f α₁, … , α_k f x₁ α₁,…,α_k , … , x_n α₁,…,α_k , α₁,…,α_k Então:

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7 Lista 7.4 – Optimização com Restrições de Desigualdade

i 1, … ,k , f _α_i α₁, … , α_k _α_i x₁ α₁,…,α_k , … , x_n α₁,…,α_k , α₁,…,α_k

17. Teorema do Envelope em optimização com restrições de igualdade aplicado a uma função com 2 variáveis de decisão, 1 restrição de desigualdade, 2 restrições de não-negatividade e 1 parâmetro:

Se:

f: D_f 2 g: D_g 2

f,g diferenciáveis

Problema: opt_x,yf x,y s.a.

g x,y b x 0 y 0 X x,y Conjunto de variáveis de decisão do problema P râ e do problema b a m tro b extremante do problema, para o parâmetro b x b , y é f b f x b , y b Então: f b _b x b , y b ,b

18. Teorema do Envelope em optimização com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal, variação de parâmetros do problema e variação dos extremos condicionados da função objectivo:

O Teorema do Envelope em optimização com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal é útil na medida em que permite que, se um parâmetro de um problema variar, não seja preciso voltar a resolver um problema de optimização para conhecer os novos extremos condicionados da função objectivo. Quando um parâmetro varia infinitesimalmente, a variação destes extremos é igual à variação da função Lagrangeana, avaliada nos pontos extremantes originais.