Explicitar e Discutir Diferenças: o que isso teria a ver com
formação de professores?
Viviane Cristina Almada de Oliveira
Uma visada sobre formação de professores de Matemática
Em dezembro de 2002, a Faculdade de Educação da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) deu destaque de aproximadamente 135 páginas na publicação Educação
em Revista a uma seleção de artigos que compuseram um Dossiê: a pesquisa em Educação Matemática no Brasil.
Em um deles, Fiorentini et al. (2002) apresentam um balanço da pesquisa brasileira, no período de 1978 a 2002, em relação à formação de professores que ensinam Matemática1. As 112 pesquisas por eles analisadas nesse artigo são distribuídas em três focos temáticos: formação inicial, formação continuada e outros. No geral, a partir da avaliação por eles realizada, afirmam que:
[...] o campo de pesquisa ligado à formação continuada do professor [que ensina Matemática] a partir da prática profissional – o qual envolve saberes, habilidades, competências, pensamento e práticas – é um terreno ainda praticamente inexplorado, pois a maioria dos saberes didático-pedagógicos veiculados pela Educação Matemática são saberes oriundos das ciências educativas, produzidos quase exclusivamente sob o paradigma da racionalidade técnica. (p. 158-159)
Destacamos duas idéias importantes nessa citação.
A primeira diz respeito à estrutura da grande maioria, senão da totalidade, dos cursos de licenciatura e também das pós-graduações lato sensu, na qual ainda prevalecem o enfoque matemático em disciplinas técnicas e o enfoque pedagógico em disciplinas de formação do professor. Em segundo lugar, os autores sinalizam quanto à escassez de pesquisas em relação à formação continuada a partir da prática docente, apontando uma necessidade de investigações mais contundentes sobre questões relacionadas a esse campo.
Ainda no artigo intitulado Reflexions on an emerging field: researching mathematics
teacher education, Adler et al. (2005) apresentam um levantamento de pesquisas sobre
formação de professores de Matemática, realizadas no período de 1999 a 2003, a partir de
1 A terminologia professores que ensinam Matemática é adotada para contemplar também os professores da Educação Infantil e das séries iniciais do Ensino Fundamental.
anais de conferências e de periódicos internacionais. Dentre outras várias interessantes análises feitas pelos autores, destacamos uma que chama a atenção para os tipos de estudos menos realizados na formação de professores de Matemática. Dentre tais estudos encontram-se aqueles que estabelecem comparações entre diferentes oportunidades de aprender, colocando como questão “Como é uma abordagem que ajude professores a aprender Matemática comparada com outra?” (ADLER et al., 2005, p. 376, tradução nossa2). Em certo sentido, nossa proposta de estudo também passará por essa questão.
Estudos dessa natureza – como os sugeridos anteriormente por Fiorentini et al. e por Adler et al. – dão contribuições na elaboração de diretrizes tanto para a formação continuada quanto para as licenciaturas em Matemática e nas reflexões de professores formadores de professores de Matemática.
Sobre diferenças e formação de professores de Matemática
No livro Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI, escrito por Lins e Gimenez, têm destaque idéias atinentes à matemática da rua e matemática da escola, mais especificamente, no que concerne à aritmética e álgebra. Essa distinção – da rua e da escola – evidencia a diferença entre os significados da rua e os significados da escola, e não a depreciação de uns frente aos outros. Contrariamente a concepções facilitadoras – que usam as coisas da rua para ajudar os alunos a aprenderem a matemática da escola, como se a matemática da rua fosse uma versão imperfeita da matemática da escola – os autores defendem que
o papel da escola é participar da análise e da tematização dos significados da matemática da rua – no caso particular da Educação Matemática –, e no desenvolvimento de novos significados, possivelmente matemáticos, que irão coexistir com os significados não-matemáticos, em vez de tentar substituí-los. (p. 18)
Tratar de diferentes modos de produzir significados3 – de fato, essa não é uma direção originalmente apontada nessa última obra. Lins (1993), referindo-se ao seu trabalho de doutorado (LINS, 1992), afirma que o que sua pesquisa sugere é “que é preciso que, na sala de aula, os diferentes modos de se produzir significados sejam explicitados, que se tornem objeto de atenção pelos alunos” (p. 12).
2How does one approach to helping teachers to learn mathematics compare with another?
3 Usamos o termo significado de acordo com o Modelo dos Campos Semânticos (LINS, 1992; LINS&GIMENEZ, 1997; LINS, 1999; LINS, 2001).
Ressalta-se a premência dessa recomendação ao observarmos nossa pesquisa de mestrado, que tratou da produção de significados para noção de transformação linear (no contexto da disciplina de Álgebra Linear). No estudo de casos feito naquela ocasião, mereceram destaque duas noções das quais as alunas falaram durante as entrevistas e que interferiram na produção de significados para transformação linear: vetor (segmento orientado de reta) e espaço vetorial (lugar). Notamos que o caráter geométrico dessas idéias permaneceu na fala das alunas ao tratarem de transformações lineares, então tomadas como ferramentas que modificam características (comprimento, sentido, direção) dos vetores. Chamamos essas idéias de naturalizadas.
Na disciplina de Álgebra Linear cursada pelas alunas – como é na maioria dos cursos de Matemática – espaços vetoriais são abordados como estruturas e os vetores como elementos do conjunto de base. Percebemos então que, apesar desse encaminhamento na disciplina, as idéias naturalizadas de vetor e espaço vetorial daquelas alunas permaneceram quase intocadas. Ou seja,
O aluno inicia a disciplina com as idéias geométricas, consegue ser aprovado nela deixando (ou não) de lado tais idéias, e, passado o período em que cursava a disciplina, permanece com as idéias iniciais. A experiência matemática que um aluno poderia adquirir nessa disciplina seria exatamente de tratar das diferenças entre os significados produzidos para vetor e espaço (vetorial), por exemplo, na Geometria Analítica e na Álgebra Linear; cada um é adequado a determinadas situações ou problemas. Nesse sentido é que acreditamos que as disciplinas matemáticas dos cursos de Matemática (em particular da Licenciatura) necessitam ser repensadas. (OLIVEIRA, 2002, p. 101 e 102)
Silva (2003), em sua pesquisa de doutorado, focou a dinâmica do processo de produção de significados para a Matemática. Para tanto, considerou a produção de significados de alunos de um Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática para um problema4 proposto pelo professor da disciplina de Álgebra Linear. A partir da leitura de seu trabalho, também percebemos certa dificuldade ou resistência de alguns alunos em lidar com diferentes modos de produção de significados. Em particular, no caso do aluno Ades, apesar de todas as discussões e exposições ocorridas dentro da sala de aula investigada, em nenhum momento “ele produziu significados em outra direção diferente daquela em que ele estava operando inicialmente”. Essa característica foi tão recorrente na dinâmica do processo de produção de significados analisado – e isso diz respeito também a
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“Problema para investigar:
R2 é o conjunto dos pares ordenados de números reais: R2 = {(x, y) tal que x, y R}
Investigue se é possível existir um espaço vetorial real (isto é, R é o corpo dos escalares) onde R2 é o conjunto de vetores desse espaço e que tenha dimensão 3.” (p. 41)
outros alunos – que Silva usou o termo impermeabilização para designar essa postura de “não compartilhar novos interlocutores, diferentes daqueles para o qual ele estava voltado, de não se propor a produzir significados numa outra direção”.
Esses exemplos ilustram o fato de que explicitar e discutir diferentes modos de produção de significados, em geral, não faz parte dos objetivos dos formadores de professores de Matemática. Assim sendo, como professores de Matemática – incapazes de perceber a diferença – podem lidar com os conhecimentos que os seus alunos produzem para idéias matemáticas a partir de suas experiências fora da escola e até mesmo dentro da escola? Entendemos, portanto, que esse não tratamento de diferentes modos de produção de significados constitui-se em uma lacuna na formação do professor de Matemática.
A partir dessas e outras pesquisas e das reflexões e discussões do grupo de orientandos do Prof. Romulo Campos Lins, que originaria o grupo de pesquisa Sigma-t no ano de 2004, refletimos sobre o papel das disciplinas matemáticas nos cursos de licenciatura, as quais, como geralmente realizadas, não ofereciam oportunidades para que os futuros professores de Matemática desenvolvessem-se matematicamente; ou seja, não criavam situações/oportunidades para que os licenciandos ampliassem os significados produzidos para idéias matemáticas, sem com isso eliminar ou corrigir as idéias naturalizadas.
As evidências observadas sugeriram a necessidade de se desenvolver uma abordagem de ensino que tratasse de idéias naturalizadas explicitamente, dando aos estudantes uma chance de falar sobre elas, discutindo-as nas suas relações com idéias abstratas, não- naturais. Assim, naquele momento já considerávamos que
No caso particular da formação de professores de matemática [...] isso exigiria maiores mudanças na forma como ela tem sido tradicionalmente concebida (cursos matemáticos mais complementação pedagógica). (OLIVEIRA & LINS, 2002, p. 9, tradução nossa)
Voltando nosso olhar para outros trabalhos, identificamos Moreira & David (2005) que, buscando contribuir para a discussão sobre a licenciatura em Matemática, tratam questões sobre números, com as quais professores freqüentemente se deparam em sua prática, para analisar as relações entre Matemática Acadêmica (ou Científica) e Matemática Escolar na formação inicial do professor. Para tanto, utilizam exemplos que caracterizam “uma forma específica de distanciamento entre formação e prática” (p. 47) e apresentam uma compreensão da mesma no que se refere aos conjuntos dos números naturais, racionais e reais.
Essa publicação levanta questões relativas ao tratamento do conteúdo matemático dentro das disciplinas de conteúdo específico nos cursos de licenciatura. Parte, portanto, de subdivisões da dita Matemática Acadêmica, em conteúdos curriculares – previstos nas Diretrizes Curriculares para os cursos de licenciatura em Matemática (Parecer CNE/CES 1.302/2001) – para, no interior das mesmas, abordar os conteúdos programáticos que lhes são devidos com vistas à prática docente.
Ao final da obra, concluem que:
Freqüentemente os licenciados se vêem diante do problema de desenvolver sua ação pedagógica em sala de aula a partir de uma formação que não lhes proporcionou acesso à discussão de uma série de questões fundamentais da prática escolar. Nessas condições, qualquer solução que se adote incorporará, de alguma forma, essa falha de formação, ainda que ela não implique necessariamente uma dificuldade incontornável. [...] uma apresentação do conhecimento matemático absolutizado em sua forma compacta, abstrata e formal [...] pode reforçar certos tipos de dificuldades que o professor vai eventualmente encontrar em sua prática efetiva. (MOREIRA & DAVID, 2005, p. 102)
Cabe destacar que a dificuldade identificada por esses autores como principal à tal prática do professor de Matemática encontra-se exatamente em
[...] identificar e reconhecer como legítimas e importantes certas formas de conhecimento que, embora se distanciem das formas válidas da Matemática Científica, são cruciais na educação básica porque se vinculam ao processo de construção escolar do saber matemático. (ibdem, 2005, p. 102)
Entendemos que esse chamado distanciamento entre “certas formas de conhecimento” e a “Matemática Científica” caracteriza-se como não compartilhar modos de produção de significados. Assim, a própria divisão dos cursos de licenciatura nas disciplinas como atualmente constituídas impõe limites de legitimidade à discussão do conteúdo. Lins apresenta um exemplo que ilustra essa situação:
[…] quando um curso é organizado dentro de uma disciplina matemática (por exemplo, Álgebra Linear), o que os objetos tratados nela são, já está limitado pelas relações que têm com outros objetos naquela teoria. Por exemplo, ainda que ‘dimensão’possa ser muitas coisas fora da Álgebra Linear (veja Lins et al, 2002), dentro da Álgebra Linear pode ser apenas poucas coisas (matematicamente equivalentes). (LINS, 2005 a, tradução nossa)
Esse mesmo engessamento acreditamos ocorrer quando, por exemplo, Shulman trata do conhecimento pedagógico do conteúdo, por ele caracterizado como aquele que
[...] abarca os aspectos do assunto que são mais férteis para o ensino. Dentro da categoria de conhecimento pedagógico do conteúdo eu incluo, para os tópicos mais regularmente ensinados na área do conteúdo de cada um, as mais úteis formas de representação dessas idéias, as mais poderosas analogias, ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações – em uma palavra a forma de representar e formular o assunto que o torna compreensível para outros... (SHULMAN, 1987 apud OLIVEIRA, 2005, p. 5)
Mesmo havendo um olhar diferenciado sobre o conteúdo - conforme Moreira & David trataram mais detalhada e especificamente para alguns conjuntos numéricos - o que se
enfatiza continua a ser o conteúdo, fechado nas subdivisões da Matemática acadêmica. Consideramos, conforme Linardi (2006), que
assumir tais categorias [da Matemática acadêmica] nos coloca na posição do catequizador que se utiliza da própria linguagem (do dominador) para catequizar o dominado, assujeitando o professor às esferas acadêmicas (da Matemática do matemático) e pública (dos PCN, por exemplo) (p. 24). Contudo, sabemos que as Diretrizes Curriculares para os cursos de licenciatura de Matemática prevêem que
A organização dos currículos das IES deve contemplar os conteúdos comuns [Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Fundamentos de Análise, Fundamentos de Álgebra, Fundamentos de Geometria e Geometria Analítica] a todos os cursos de Matemática [...] (Parecer CNE/CES 1.302/2001, p. 5)
e que aqueles sejam distribuídos ao longo do curso. Observamos assim que a legislação específica à formação de professores de Matemática, atualmente vigente, apresenta conteúdos pré-determinados para comporem a estrutura curricular das licenciaturas; ou seja, qualquer proposta de reformulação ou mudança curricular em cursos de Matemática, minimamente, deverá cumprir essa exigência. Assim, torna-se difícil – impossível do ponto de vista legal – vislumbrar transformações efetivas às licenciaturas em Matemática que “subvertam” a atual estrutura.
Dessa maneira, compreendemos que cursos de formação continuada constituem campo mais fértil para efetivar propostas concernentes à formação de professores de Matemática, bem como permitem a realização de estudos pilotos para subsidiar críticas e sugestões fundamentadas a uma possível, e futura, implementação em licenciatura.
No que concerne às pesquisas sobre formação continuada no Brasil, Fiorentini et al. indicam um subfoco em cursos de atualização ou especialização. Dos seis trabalhos a ele relacionados no levantamento realizado, apenas dois estudam cursos de especialização. Ambos os cursos citados ocorreram “sob uma concepção de formação reflexiva”; um foi estruturado em disciplinas (Silva, 1998) e o outro a partir de problemas práticos profissionais dos professores (Krüger, 2001) (FIORENTINI et al., 2002, p. 151).
Embora tenhamos apresentado, até o momento, discussões sobre algumas tentativas de diminuir lacunas na formação do professor de Matemática no Brasil, referências internacionais podem nos auxiliar a melhor compreender esse campo de investigação.
Jaworski (2005, 2003, 1998) indica a relevância de professores-pesquisadores investigarem suas próprias práticas de sala de aula e discute questões que emergem a partir desse tipo de formação como, por exemplo, aspectos da aprendizagem de insiders e
outsiders a partir da perspectiva de co-learning5 no processo da pesquisa e o desenvolvimento de comunidades de investigação (inquiry comunities). Em particular, no que concerne à Matemática, a pesquisadora ressalta no desenvolvimento das pesquisas, até aquele momento, que apesar de as questões discutidas
[...] envolverem ensino e aprendizagem de Matemática, para os professores as questões pareciam essencialmente pedagógicas em vez de matemáticas.
Foi notável que, nas reuniões do projeto, discussões admitiam principalmente que a substância das pesquisas dos professores era ensino de Matemática. Assim, freqüentemente, nós discutíamos idéias e objetivos na pesquisa, métodos de pesquisa e seus usos e resultados, e apenas aludíamos ao ensino ou à aprendizagem de Matemática para exemplificar questões de pesquisa. Foi como se, para os professores, a natureza matemática dos seus trabalhos fosse um dado, fosse implícita e inquestionada. Decisões sobre que Matemática deveria ser feita, que tarefas de sala de aula seriam apropriadas, e que resultados seriam desejados, foram uma parte normal do processo de ensino, difíceis de extrair como relatadas problematicamente para as questões da pesquisa. (JAWORSKI, 1998, p. 25, tradução nossa)
Provavelmente, essa postura dos professores em relação à Matemática, que também decorre de sua formação inicial, refletiu sobre o trabalho desenvolvido por cada um deles em sala de aula.
Arriscamos dizer que, possivelmente, tais professores, por assumirem Matemática como um dado, não concebam a diferença entre essa Matemática, ou a Matemática da escola, e a Matemática da rua (LINS & GIMENEZ, 1997); ou que, mesmo concebendo essa diferença, não promovam reflexões sobre ela.
O monstro mora nos portões da diferença: essa é uma das teses de Cohen, enunciada e comentada por Lins em seu artigo Matemática, Monstros, Significados e
Educação Matemática (LINS, 2004). Justamente para falar desse estranhamento entre
escola e rua, Lins se utiliza dos monstros e ressalta que
O problema não está na diferença, mas exatamente na recusa em reconhecê-la e lidar com ela frente a frente. Naturaliza-se a recusa passando ao aluno a responsabilidade de lidar com ela: decifra-me ou te devoro, nada mais. [...] A naturalização da recusa em lidar com a diferença funda-se precisamente na negação de que exista uma diferença. Ao invés disso postula-se apenas uma falta: se você não me decifra é porque não sabe. (p. 116)
Mas como lidar, refletir sobre ou discutir a diferença se não a reconheço? “É apenas ao se tornar sensível a este estranhamento, por tê-lo vivido como aluno-futuro-professor, que o professor poderá ser sensibilizado para a necessidade de ler seus alunos sempre, ao invés de apenas compará-lo contra um mapa do que deveria ser” (LINS, 2005c, p. 121).
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“In co-learning agreement, researchers and practitioners are both participants in processes of education and systems of schooling. Both are engaged in action and reflection. By working together, each might learn something about the world of the other. Of equal importance, however, each may learn something more about his or her own world and its connections to instituitions and schooling. (WAGNER, 1997, apud JAWORSKI, 2003, p. 250)
Reconhecer e lidar com a diferença: uma proposta de formação de professores
Em 2006, os trabalhos de quase cinco anos do Prof. Romulo Campos Lins junto ao Sigma-t culminaram na elaboração do projeto6 Design e implementação de um programa de formação continuada de professores de Matemática. Como o próprio título já diz, o
referido projeto
trata do design e implementação de um programa de formação de professores de matemática, apoiados nos resultados obtidos naquele projeto ["Um quadro de referência para as disciplinas matemáticas da Licenciatura em Matemática" (CNPq Processo n°. 350823/93-6)], em conseqüência do trabalho de investigação do grupo de pesquisa Sigma-t.
(Lins, 2005 b, p. 1)
No que se refere ao entendimento do próprio Sigma-t em relação às suas investigações, encontramo-nos numa etapa de transição. Passamos de uma etapa em que há entendimento de que os cursos que comporão esse programa de formação continuada serão assentados em categorias que correspondam a campos típicos da atividade humana, no lugar de categorias relativas à Matemática do matemático ou a diretrizes curriculares, para outra, na qual ocorrerá a implementação desses cursos e os estudos a eles associados.
De fato, como vimos anteriormente, muitas pesquisas – assim como nossas (con)vivências profissionais – apontam existir uma insuficiência do esquema de formação profissional vigente nos cursos de licenciatura em Matemática e em cursos de formação continuada do professor de Matemática. Nisso reside a importância do projeto Design, o qual visa à produção e à avaliação de um quadro de referência para a formação de professores de Matemática, centrada na prática profissional, de modo que se tenha um curso de Educação Matemática.
Para Lins (2005c) “o centro da atividade profissional do professor [de Matemática] (...) é ler os alunos e tomar decisões sobre o que está acontecendo e como seguir”(p. 120) e isso envolve, primordialmente, reconhecer e lidar com a diferença. Nessa direção, utilizar categorias correspondentes a campos típicos da atividade humana para direcionar a formulação e o seu desenvolvimento desses cursos se mostra potencialmente produtivo, pois
[...] toma como diretriz a necessidade de realizar a formação e o desenvolvimento do professor a partir de categorias que ele pode compartilhar com seus alunos e alunas, de modo que ao invés de se formar dentro de certas categorias, para depois ter que investir no que alguns autores chamam de "recontextualização" — o que, inclusive, exige uma competência profissional específica e complexa —, sua formação já se dê a partir do contexto das categorias "da vida cotidiana", de modo que a "recontextualização" aconteça do natural (o cotidiano) para o não-natural (o matemático). Assim, a
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passagem aos modos de produção de significados da Matemática do matemático se dá como
ampliação de entendimento, e não como "verdadeira essência do que se diz na rua", nem substituição
do "intuitivo" pelo "matemático". (Lins, 2005 b, p. 7)
A partir dessa nova perspectiva, Lins (2005 a, tradução nossa) indica que
[...] ‘pedagogia’e ‘matemática’ não são separadas – tanto quanto elas não estão separadas em sala de aula. O método através do qual a investigação e discussão procedem, gera conhecimento matemático e não-matemático e entendimento ao mesmo tempo, assim como a introdução de noções matemáticas também gera conhecimento matemático e não-matemático e entendimento ao mesmo
tempo. Pedagogia e matemática estão presentes como categorias para análise do processo, mas não
como categorias que de fato dirigem a produção de significado, conhecimento e entendimento – assim como isso também não acontece nas salas de aula. Além disso, matemática ‘avançada’e ‘elementar’ também não são separadas; uma não vem depois da outra, como as questões e problemas que devem emergir não são regulados por categorias pré-estabelecidas (teorias) da matemática do matemático, [...]
mas pela dinâmica da exploração de uma categoria familiar, que seja correspondente a um campo típico da atividade humana como, por exemplo, espaço.
No interior do projeto Design há várias frentes de trabalho. Vamos nos limitar, a partir de agora, a discorrer sobre os aspectos e abordagens do mesmo que estejam em relação direta com o estudo por nós desenvolvido em nível de doutorado.
Sabemos que essa estruturação – a partir de categorias correspondentes a campos típicos da atividade humana – não se adequa ao padrão geralmente utilizado na constituição de cursos de formação (continuada) de professores de Matemática.
Portanto, o que nos propomos a desenvolver é uma investigação sobre como os professores-alunos desse(s) curso(s) encaram/enxergam essa formação visando aos processos de ensino e de aprendizagem nas suas salas de aula, a partir dos seus discursos em relação às suas práticas e ao próprio curso. Algumas questões que orientarão esse estudo:
Qual a direção dos discursos dos professores-alunos em relação à prática de sala de aula?
De que maneira os elementos vinculados à formação a partir de categorias correspondentes a campos típicos da atividade humana são incorporados na prática da sala de aula dos professores?
Em que medida categorias da Matemática do matemático permanecem na prática de sala de aula dos professores?
De acordo com o andamento da pesquisa, podem ser acrescentadas outras questões que nos permitam analisar com mais precisão a formação proposta.
A base teórica de referência para o estudo proposto é o Modelo dos Campos Semânticos (LINS & GIMENEZ, 1997; LINS, 1992, 1999, 2001).
Para desenvolver nossa pesquisa, e assim atingir o propósito de nossa investigação, realizaremos um trabalho de campo, coletando dados a partir das aulas do curso de formação continuada e de entrevistas com os professores-alunos. Faremos uso do registro em vídeo, observando o que Meira argumenta:
A filmagem em vídeo pode [...] capturar múltiplas pistas visuais e auditivas que vão de expressões faciais a diagramas no quadro-negro, e do aspecto geral de uma atividade a diálogos entre professor e alunos. [O vídeo] é menos sujeito ao viés do observador que anotações baseadas em observação, simplesmente porque ele registra informações em maior densidade. (MEIRA, apud SILVA, 2003, p. 55)
Também fará parte do nosso trabalho a constituição de instrumentos adequados, que permitam uma análise mais fina e detalhada tanto da fala dos professores-alunos e das próprias atividades desenvolvidas no curso. Nessa direção, estamos realizando uma revisão bibliográfica consistente que possa nos auxiliar na composição dos mesmos.
Dessa forma, pretendemos contribuir para a construção de um novo paradigma na formação de professores de Matemática.
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