Teorema Fundamental do Cálculo: Aplicação em algumas áreas do conhecimento

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Centro de Ensino Superior do Serid´

o - CERES

Departamento de Ciˆ

encias Exatas e Aplicadas - DCEA

Curso de Licenciatura em Matem´

atica

Teorema Fundamental do C´

alculo:

Aplica¸c˜ao em algumas ´areas do conhecimento

Maria Jos´e Azevedo da Silva

Caic´o-RN 2016

(2)

Maria Jos´

e Azevedo da Silva

Teorema Fundamental do C´

alculo:

Aplica¸c˜ao em algumas ´areas do conhecimento

Trabalho de Conclusão de Curso apre-sentado à Coordena¸cão do Curso de Licenciatura de Matemática pelo Centro de Ensino Superior do Seridó, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de licenciada em Matemática.

Orientadora:

Prof

a

Ma. Maria Jucimeire dos Santos

Coorientador:

Prof

o

Me. Ivanildo Freire Pereira

Caic´o-RN 2016

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Silva, Maria José Azevedo da.

Teorema Fundamental do Cálculo: Aplicação em algumas áreas do conhecimento / Maria José Azevedo da Silva. - Caicó: UFRN, 2016. 35f: il.

Orientadora: Ms. Maria Jucimeire. .

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó.

Licenciatura em Matemática.

1. Teorema Fundamental do Cálculo. 2. Derivada. 3. Integração. 4. Newton. 5. Leibniz. I. Jucimeire, Maria. II. Título.

RN/UF/BS07-CAICÓ CDU 517.2/.3

Catalogação da Publicação na Fonte

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

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-Dedicat´

oria

Aos meus pais, meus primeiros professores, que me ensinaram a ler, escrever e contar, sem que eu precisasse participar de alfabetiza¸c˜ao e que sempre me ensinaram a ´etica e a moral para seguir no caminho do bem.

Aos meus professores do Ensino Fundamental e Médio, em especial a Albaniza Dias, que sempre me fez perceber o quão maravilhoso é estar em uma sala de aula, me mostrou o verdadeiro significado de ensinar por amor e a importância de fazer o que realmente gosta.

A todos aqueles professores que fizeram parte da minha vida acadêmica, sempre me ensinando que o importante é não desistir, mesmo quando tudo parecer dar errado.

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Agradecimentos

Durante toda essa jornada como discente, s˜ao muitas as pessoas a quem devo agra-decer, pelo fato de estarem comigo, me motivando a seguir em frente nos momentos mais dif´ıceis.

Gostaria de agradecer a Deus primeiramente, por ter me concedido sa´ude e me dado a gra¸ca de ter pessoas maravilhosas ao meu redor para serem a minha base quando parecesse que o mundo desabaria.

´

E com o cora¸cão cheio de alegria e um sorriso enorme nos lábios que eu agrade¸co aos meus pais Francisca e Rogério, por toda a paciência que tiveram comigo e por todo o esfor¸co que fizeram na doen¸ca da minha mãe para que eu não desistisse.

Aos meus familiares em geral, em especial a Anailson, Josefa e Betˆania que sempre acreditaram no meu potencial e por quem tenho um apre¸co e um carinho enorme. Aos meus afilhados J´ulio, Mellyni, Larissa e Lorena que me motivam a vencer na minha caminhada, para quem sabe um dia, servir de exemplo para eles.

Aos meus professores, em especial Ivanildo Freire, por tudo o que me ensinou, por todo o apoio que me prestou desde que entrou na minha vida acadˆemica e por toda a paciˆencia que teve comigo quando menos mereci e mais precisei.

`

A minha orientadora, Maria Jucimeire, por todo o apoio e por todas as vezes que me disse, calmamente, que tudo daria certo.

Aos meus colegas de universidade Denise, Kamila, Kaline, Lidiane, Daiane, Artur, Jonas e Brunno que fizeram com que essa caminhada de quase cinco anos, pudesse ser menos ´ardua, enchendo de alegria os meus dias e me fazendo compartilhar dos melhores momentos.

`

A Jardelly e Maria de Fátima, por todos os conselhos e “puxões de orelha” para a conclusão deste trabalho e por todas as motiva¸cões nos dias em que mais pensei em desistir.

`

A Ana Santana, Renata, Jaqueline, Amanda, Joyce, Sidney, Netinho e Ana R´egia que sempre comemoraram a minha vit´oria, acreditaram no meu potencial e que foram v´ıtimas dos meus dias de estresse.

`

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trajet´oria e pelas v´arias vezes que comemoraram ao meu lado os objetivos que conquistei ao longo dessa caminhada.

Aos demais amigos (em especial ao meu trio: Moany, Laiz e Micarla), que ouviram tantas reclama¸cões e conseguiram suportar o meu estresse em todas as horas do dia e, ao invés de desistirem de mim, continuaram me motivando e me dizendo que Deus estava ao meu lado, além de proporcionarem os melhores sorrisos, no decorrer de todo este percurso.

Enfim, a todos que contribu´ıram direta ou indiretamente, Muito obrigada!

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Resumo

O presente trabalho tem como objeto de estudo o Teorema Fundamental do Cálculo, como sendo um dos maiores feitos da Matemática, por ter sido criado para soluci-onar problemas que pareciam ser imposs´ıveis de resolver, este Teorema comprova a rela¸cão inversa que existe entre a integra¸cão e a diferencia¸cão. Nesta perspectiva, o trabalho visa evidenciar a importância deste Teorema para o Cálculo Diferencial e In-tegral, tendo como base alguns autores como Palaro (2006), Picone (2007), Anacleto (2007), Thomas (2009) e Santos (2011). Neste trabalho enfatizamos o contexto his-tórico do Teorema, onde é especificada a sua “cria¸cão” e a importância de Newton e Leibniz neste feito. Abordamos também as demonstra¸cões do referido Teorema, além de propriedades, defini¸cões e resultados utilizados na demonstra¸cão. Por fim, são feitas aplica¸cões em diferentes áreas do conhecimento com o objetivo de mostrar que o Teo-rema Fundamental do Cálculo pode relacionar-se com outras áreas devido à utiliza¸cão de suas ferramentas e argumenta¸cões que se fazem presentes na resolu¸cão de diversos problemas.

Palavras-chave: Teorema Fundamental do C´alculo, Derivada, Integra¸c˜ao, Newton, Leibniz

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Abstract

This paper has as object of study the Fundamental Theorem of Calculus, one of the greatest achievements of Mathematics, since it was created to solve problems that seemed to be impossible to solve. This theorem proves the inverse relation between integration and differentiation. In this perspective, the research aims to highlight the importance of this theorem for the Differential and Integral Calculus, based on some authors as Palaro (2006), Picone (2007), Anacleto (2007), Thomas (2009) and Santos (2011). During the paper the historical context of the Theorem will be emphasized through the “creation” and efforts of Newton and Leibniz. It also offers demonstrations of that Theorem, as well as properties, definitions and results used in the statement. Finally, applications are made in different areas of knowledge in order to show that the Fundamental Theorem of Calculus can relate to other areas due to the use of its tools and arguments are present in solutions from many different problems.

Keywords: Fundamental Theorem of Calculus, Derivative, Integration, Newton, Leibniz.

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Lista de Figuras

1.1 Determina¸c˜ao da tangente `a uma curva dada, segundo Fermat . . . 14

1.2 Curva velociade-tempo . . . 16

1.3 Gr´afico espa¸co percorrido e tempo . . . 16

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Sum´

ario

1 Aspectos Hist´oricos do Desenvolvimento do Teorema Fundamental do

C´alculo 13

1.1 Contribui¸cão de alguns matemáticos do século XVII . . . 14

1.2 Contribui¸c˜ao de Newton . . . 17

1.3 Contribui¸c˜ao de Leibniz . . . 18

2 Teorema Fundamental do C´alculo 20 2.1 Resultados e defini¸c˜oes . . . 20

2.2 Teorema Fundamental do C´alculo Parte I e II . . . 21

3 Aplica¸cões utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo 26 3.1 Aplica¸cão na Entomologia . . . 26

3.2 Aplica¸c˜ao na F´ısica . . . 27

3.3 Aplica¸c˜ao na Engenharia do Tr´afego . . . 29

3.4 Aplica¸c˜ao na Economia . . . 30

3.5 Aplica¸c˜ao no Escoamento de Flu´ıdos . . . 31

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Introdu¸

c˜

ao

A Matemática pode ser caracterizada por uma série de s´ımbolos e argumenta¸cões que estão intimamente ligados a uma linguagem cient´ıfica que se encontra presente no desenvolvimento de competências e habilidades para proporcionar uma maior facilidade na aprendizagem da mesma. O Teorema Fundamental do Cálculo, o qual abordamos neste trabalho, é um dos principais resultados da Matemática, pois tem uma vasta gama de aplica¸cões tanto na Matemática quanto em outras áreas. A escolha deste tema deve-se ao fato de que talvez este Teorema tenha sido contemplado por muitos que, ainda, não sabem de sua real importância e que costumam acreditar que este é apenas mais um assunto que não fará a m´ınima diferen¸ca em sua vida acadêmica, além daquele momento em que está sendo repassado pelo docente.

Este trabalho tem por objetivo, mostrar que é poss´ıvel utilizar o Teorema Funda-mental do Cálculo para resolver problemas de diferentes áreas do conhecimento fazendo uso dessa ferramenta, além de amenizar as dificuldades encontradas em resolu¸cões de questões que utilizam vários conceitos e fórmulas.

O Teorema foi inicialmente “criado” para desenvolver o cálculo de áreas de figuras planas e problemas com tra¸cado de tangentes. Considera-se importante que os pro-fessores busquem a cada dia atualizar-se do que acontece na ciência para despertar a curiosidade de seus alunos no decorrer de suas aulas, fazendo com que eles se sintam motivados a pesquisar e descobrir novos contextos que ainda não fazem parte de seu conhecimento acadêmico. Segundo Freire (1996, p. 94)

Se há uma prática exemplar como nega¸cão da experiência formadora é a que dificulta ou inibe a curiosidade do educando e, em consequência, a do educador. É que o educador que, entregue a procedimentos autoritários ou paternalistas que impedem ou dificultam o exerc´ıcio da curiosidade do educando, termina por igualmente tolher sua própria curiosidade.[...] Como professor devo saber que sem a curiosidade que me move, que me inquieta, que me insere na busca, não aprendo nem ensino.

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pre-12

parar sua aula e, além disso, incentivar que os discentes pesquisem e se informem sobre o conteúdo estudado. No estudo sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, podemos nos deparar com pesquisas realizadas por Picone (2007) e Vianna (1998) que abordam o fato desse conteúdo não ser aplicado em sala de aula da forma como deveria, o que inibe aos alunos a capacidade de conhecer esse Teorema. Assim, será poss´ıvel perceber que os alunos sentem dificuldade em entender o Teorema Fundamental do Cálculo como sendo um dos assuntos mais relevantes de um Curso de Cálculo Diferencial e Integral. O referido trabalho foi organizado em três cap´ıtulos onde será exposto o contexto histórico do Teorema Fundamental do Cálculo, as suas respectivas demonstra¸cões e algumas aplica¸cões em determinadas áreas. O primeiro cap´ıtulo é composto por três se¸cões, as quais se referem aos matemáticos que foram importantes na “cria¸cão” do Cálculo Diferencial e Integral, assim como aqueles que elaboraram ideias e teses para desenvolver o Teorema em questão. Será apresentado ainda um pouco do trabalho desses matemáticos, que contribu´ıram para essa “cria¸cão”, além de ser mencionada a rela¸cão que existe entre a integra¸cão e a diferencia¸cão. O segundo cap´ıtulo, dividido em duas se¸cões, contém as demonstra¸cões, defini¸cões e propriedades que se fazem necessárias para mostrar os principais resultados do Teorema Fundamental do Cálculo (Partes I e II). O terceiro cap´ıtulo é formado pelas aplica¸cões do Teorema que foi apresentado no cap´ıtulo anterior. As aplica¸cões são realizadas em diversas áreas do conhecimento, tais como: F´ısica, Entomologia, Engenharia do Tráfego, Escoamento de Fluidos e Economia. Por último, apresentamos as considera¸cões finais e as referências que subsidiaram este trabalho.

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Cap´ıtulo 1

Aspectos Hist´

oricos do Desenvolvimento

do Teorema Fundamental do C´

alculo

O Cálculo Diferencial e Integral é de extrema importância nos cursos de Ciências Exatas, e de acordo com as dificuldades enfrentadas para resolver determinados pro-blemas foi criado o Teorema Fundamental do Cálculo que, em algumas partes do texto, será denotado por (TFC).

Segundo Stewart (2009, p. 364), “o Teorema Fundamental do Cálculo é inquestiona-velmente o mais importante do Cálculo e um dos maiores feitos da mente humana”. Antes de sua descoberta, os problemas que envolviam áreas, volumes e tangentes eram tão dif´ıceis a ponto de serem tratados como desafios, nos quais apenas um gênio conse-guiria enfrentá-los. E de acordo com Simmons (2007, p. 70), a grande realiza¸cão de Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz foi reconhecer e entender o significado desse Teorema que expressa o fato de que o problema da tangente pode ser utilizado para resolver o problema da área.

Embora saibamos que o cálculo é consequência de uma longa evolu¸cão, um dos pri-meiros trabalhos data do século IV a.C1 _{, ´}_{e comum encontrar em livros da Hist´}_{oria da}

Matemática, Newton e Leibniz como sendo os “pais” do Cálculo Diferencial e Integral, pois com seus trabalhos independentes, conseguiram definir um papel decisivo nesse de-senvolvimento. Antes disso, outros matemáticos, principalmente do século XVII, como Torricelli, Gregory e Fermat deram passos importantes para a descoberta das bases do Cálculo Diferencial e Integral, mas não perceberam a conexão entre esses dois conceitos como Newton e Leibniz o fizeram.

1 _{O grego Eudoxo desenvolveu o m´}_{etodo da exaust˜}_{ao, que articula os conceitos de infinit´}_{esimos (uma}

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1.1 Contribui¸cão de alguns matemáticos do século XVII 14

1.1 Contribui¸

c˜

ao de alguns matem´

aticos do s´

eculo

XVII

De acordo com Picone (2007), Pierre de Fermat, francˆes (1601-1665), foi o primeiro a encontrar o conceito moderno da reta tangente a uma curva dada e a criar um m´etodo para determinar a integral de curvas do tipo y = cxn_{. Fermat conhecia as regras}

con-temporâneas de diferencia¸cão e integra¸cão para fun¸cões potências. Meneghetti (2010) aponta que o envolvimento de Fermat com trabalhos relacionados ao estudo de números infinitesimais2, levou-o a desenvolver um método para encontrar máximos e m´ınimos, que serviu para o in´ıcio de suas contribui¸cões no desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. Segundo Santos (2011), Fermat decidiu utilizar esse método para encontrar os máximos e m´ınimos existentes em curvas poligonais e o processo de valores vizinhos para determinar a tangente de uma curva algébrica do tipo y = f (x). Para isso, tomou como base o ponto de tangência à curva de coordenadas a e b, ou seja, P (a, b) e outro ponto próximo da curva com coordenadas a + h e f (a + h), isto é, P0(a + h, f (a + h)), onde h é a extensão de Q a Q0. Tomando um ponto T qualquer e dois pontos Q(a, 0) e Q0(a + h, 0), é poss´ıvel perceber que T P Q e T P0Q0 são semelhantes (ver figura 1.1).

Figura 1.1 Determina¸c˜ao da tangente `a uma curva dada, segundo Fermat

Fonte: Santos (2011, p. 74)

Obtemos a seguinte propor¸c˜ao:

P Q T Q =

P0Q0 T Q0 .

Considere que T Q = c, T Q0 = c + h, P Q = f (a) e P0Q0 = f (a + h). Ent˜ao, a propor¸c˜ao

2 _{Um n´}_{umero ´}_{e dito ser infinitamente pequeno, ou infinitesimal, se −a < < a, para todo n´}_umero

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pode ser escrita da seguinte forma

f (a) c = f (a + h) c + h . f (a).(c + h) = c.f (a + h) f (a).c + f (a).h = c.f (a + h).

Isolando os valores que acompanham c, obtemos:

c.f (a + h) − f (a).c = f (a).h c = f (a).h f (a + h) − f (a) = f (a) f (a+h)−f (a) h .

Como Fermat n˜ao possu´ıa conhecimentos sobre o conceito de limite, atribuiu a h, valores pr´oximos de 0. Assim:

c = _{f (a+h)−f (a)}f (a)

h

= f (a) f0_(a).

Atualmente, a nota¸c˜ao anterior ´e equivalente a escrever:

lim h→0 f (a + h) − f (a) h = f 0 (a).

Portanto, esse processo era utilizado para encontrar a reta tangente a uma determi-nada curva em um de seus pontos. Porém, quando se tratava de fun¸cões deriváveis, com derivada igual a zero, não havia a possibilidade de afirmar se o ponto era de máximo ou de m´ınimo.

Palaro (2006) afirma que, o italiano Evangelista Torricelli (1608-1647), percebeu a rela¸cão inversa existente entre o problema do cálculo de áreas e o tra¸cado das tangentes, de forma intuitiva. Anacleto (2007) descreve a ideia de Torricelli, em uma linguagem contemporânea, mas faremos um breve comentário para não fugir o escopo do trabalho. Torricelli levou em considera¸cão o trabalho de Galileu que era voltado para o movimento de um ponto sob uma reta com varia¸cão de velocidade, cuja representa¸cão era feita por meio de um gráfico relacionando velocidade e tempo. Segundo Edwards Jr. (1979, p. 138-139), o racioc´ınio de Torricelli pode ser expresso através da figura 1.2

i) Supondo um objeto em movimento, descrevendo uma curva (ver figura 1.2), a distância total percorrida pelo objeto é dada pela área da região abaixo da curva. Se o ponto inicia o seu movimento com um tempo igual a 0 (t = 0) e a velocidade em um determinado tempo t varia de acordo com a fun¸cão v(t) = tn, então, a

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Figura 1.2 Curva velociade-tempo

Fonte: Edwards Jr. (1979, p. 138)

distˆancia percorrida ´e dada por

y = Z t 0 tndt = t n+1 n + 1.

ii) Ao encontrar a distˆancia percorrida y pelo ponto, o movimento do mesmo pode ser representado por um gr´afico espa¸co-tempo (ver figura 1.3)

Figura 1.3 Gr´afico espa¸co percorrido e tempo

Fonte: Edwards Jr. (1979, p. 139)

Basta considerar que o vetor velocidade do ponto é a resultante de dois vetores: um horizontal e um vertical, de comprimentos 1 e v, respectivamente. E da´ı, a inclina¸cão da reta tangente à curva é dada por v = tn, isto é,

dy dt = t

n

onde dy_dt é a derivada da fun¸cão y em rela¸cão ao tempo t.

De i) e ii) é poss´ıvel concluir que a área da região abaixo da curva v(t) = tn que vai de 0 a t é y = t_n+1n+1 e a inclina¸cão da reta tangente à curva é dy_dt = tn.

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1.2 Contribui¸c˜ao de Newton 17

O escocês James Gregory (1638−1675) conhecia virtualmente todas as formas neces-sárias para a constru¸cão do Cálculo Diferencial e Integral e tinha uma clara compreen-são sobre a rela¸cão entre os problemas citados anteriormente. Nos anos de 1667 e 1668, Gregory publicou obras relacionadas ao Cálculo Infinitesimal, onde eram apresentados resultados que poderiam ser úteis na determina¸cão de áreas e tangentes. De acordo com Boyer (1974, p. 282), Gregory poderia ter sido um dos primeiros a fundamentar o Cálculo Diferencial e Integral, caso tivesse exposto sua obra de forma anal´ıtica. As suas ideias foram essenciais na formula¸cão e sistematiza¸cão dos trabalhos desenvolvidos por Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz na constru¸cão do Cálculo.

1.2 Contribui¸

c˜

ao de Newton

De acordo com Batista (2010), os problemas fundamentais nessa constru¸cão histórica dizem respeito ao cálculo de áreas, também conhecido como problema de quadraturas3 e ao tra¸cado de tangentes em uma determinada curva. Nas nota¸cões atuais, dir´ıamos que esses dois problemas correspondem ao que chamamos, respectivamente, de integral e derivada. E foi após descobrir a série binomial, seguindo os passos de Wallis, que o inglês Isaac Newton (1642-1729) percebeu que esses dois problemas são inversos um do outro. Segundo Sad (2002), o inglês John Wallis (1616-1703) foi o responsável pela expansão em série como sendo uma ferramenta necessária para determinar o cálculo de quadraturas, além de ter uma base sobre o tra¸cado das tangentes, foi também o primeiro a utilizar o atual s´ımbolo do infinito (∞) para representar infinitas linhas sob uma superf´ıcie plana.

Consegue-se essa s´erie escrevendo (1 + x)m _{como forma de s´}_{erie de potˆ}_encia,

(1 + x)m = 1 +mx + m(m − 1) 2! x 2₊m(m − 1)(m − 2) 3! x 3_{+ ...} + m(m − 1)...(m − k + 1) k! x k

A partir dessa série, Newton calculou com facilidade, um dos principais problemas da sua época, áreas de curvas diversas.

O Teorema Fundamental do Cálculo tornou-se importante devido ao fato de que é bem mais dif´ıcil calcular a área sob uma curva do que tra¸car a tangente dessa mesma curva. Newton deu in´ıcio aos seus trabalhos relacionando duas variáveis através do

3 _{Problema de obter a ´}_{area de forma plana e fechada: expressar a ´}_{area em termos de unidade de ´}_area.

De acordo com os gregos, toda forma plana e fechada poderia ser transformada em um quadrado equivalente, cuja área deveria ser encontrada por meio de opera¸cões básicas.

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1.3 Contribui¸c˜ao de Leibniz 18

que chamamos, hoje, de fun¸cão quadrática e escreveu y = x2, determinando, assim, o “método das fluxões”. Nesse método, a variável x muda para a quantidade ˙x durante um intervalo de tempo, onde ˙x é chamado de fluxão de x; de modo análogo, a variável y muda para a quantidade ˙y no mesmo intervalo de tempo e ˙y é chamado de fluxão de y. Como x e y estão variando a uma taxa constante foram chamados de fluentes. Portanto, esse processo de encontrar a fluxão de um determinado fluente ficou conhecido como problema da tangente. Hoje, esse processo é chamado de diferencia¸cão e a fluxão de uma fun¸cão é chamada de derivada. Assim como, o processo de encontrar a fluente de uma determinada fluxão é chamado, atualmente, de integra¸cão indefinida. Newton facilitou o procedimento para encontrar a taxa de varia¸cão de qualquer fun¸cão e a maioria das regras evidenciadas nos cursos de Ciências Exatas foram descobertas por ele.

1.3 Contribui¸

c˜

ao de Leibniz

Gottfried W. Leibniz (1646-1716), um cientista alemão, dispôs de inúmeras contri-bui¸cões para a Matemática, come¸cando com o Cálculo e com seus trabalhos de Análise Combinatória, até tentar desenvolver um sistema de lógica formal no qual todas as de-du¸cões poderiam ser feitas através de algoritmos computacionais. Leibniz determinou pequenos acréscimos para as variáveis x e y, chamando-os, respectivamente, por dx e dy. A propor¸cão dy/dx é chamada de derivada de y em rela¸cão à x e é equivalente `

a fluxão de Newton, cuja nota¸cão foi usada por mais de um século e em seguida foi substitu´ıda pela propor¸cão apresentada anteriormente. Para determinar a derivada de uma fun¸cão composta, Leibniz fez uso da regra da cadeia; por exemplo, se y = g(x) e x = h(a), temos que y = i(a), onde i(a) = g(h(a)) e, portanto, a derivada seria expressa por: dy da = dy dx. dx da .

Santos (2011) declara que o triângulo caracter´ıstico foi uma das inspira¸cões utilizadas por Leibniz para fundamentar as suas ideias sobre as bases de “cria¸cão” do Cálculo Diferencial e Integral. Ao observar o triângulo caracter´ıstico, Leibniz percebeu que a razão existente entre a diferen¸ca das ordenadas e a diferen¸ca das abcissas, estava diretamente relacionada com o tra¸cado da tangente sob uma determinada curva e que, em contrapartida, o problema das áreas podia ser observado através da soma das ordenadas dos retângulos infinitamente finos sob o triângulo.

(20)

1.3 Contribui¸c˜ao de Leibniz 19

Figura 1.4 Triˆangulo Caracter´ıstico

Fonte: Santos (2011, p. 74)

Podemos observar (via figura 1.4) que o triângulo caracter´ıstico P QR e o triângulo T V U são semelhantes. Então, obtemos a propor¸cão:

QR P R =

U V T U

Considere P R = dx, QR = dy, T U = y e U V = p. Da´ı,

dy dx =

p y p.dx = y.dy

Assim como Newton, Leibniz considerava a integra¸cão como sendo um processo so-matório e inverso à diferencia¸cão. Em 1675, utilizou o s´ımbolo R

para a soma e os s´ımbolos dx e dy para as diferenciais. Leibniz foi o primeiro a enunciar que a integra-¸c˜ao e a diferencia¸c˜ao eram processos inversos um do outro.

Em alguns cursos de Cálculo, o Teorema Fundamental do Cálculo tende a ser tra-tado sem a sua devida importância, de modo que integral e derivada sejam estudadas separadamente, passando despercebida a conexão que existe entre esses dois assuntos. De acordo com Picone (2007), o professor pode ser considerado culpado por não dar a aten¸cão necessária a essa rela¸cão ou então o aluno é quem não consegue entender o seu significado.

As aplica¸cões realizadas no decorrer das aulas de Cálculo são de extrema importância para que os alunos consigam desenvolver o racioc´ınio, entender a utiliza¸cão do Teorema Fundamental do Cálculo em problemas que envolvem varia¸cão e perceber a necessidade de usar essa ferramenta para diminuir as somas extensas e tediosas que poderiam ser feitas sem o TFC.

(21)

Cap´ıtulo 2

Teorema Fundamental do C´

alculo

No in´ıcio deste cap´ıtulo, apresentamos alguns resultados e defini¸cões, encontrados em Thomas (2009), que serão necessários na demonstra¸cão do Teorema Fundamental do Cálculo.

2.1 Resultados e defini¸

c˜

oes

Defini¸c˜ao 2.1.1. Seja f uma fun¸c˜_{ao definida em X ⊂ R. f ´e cont´ınua em c ∈ X se}

lim

x→cf (x) = f (c).

Se o limite acima n˜ao existir, ou se existir, mas for diferente de f (c), dizemos que f tem uma descontinuidade (ou que ´e descont´ınua) em x = c.

Defini¸cão 2.1.2. Uma fun¸c˜_{ao F : X ⊂ R → R é uma primitiva de uma fun¸cão} f : X ⊂ R → R, se

F0(x) = f (x)

para qualquer x no dom´ınio de f .

Defini¸cão 2.1.3. A derivada de uma fun¸c˜_{ao f : X ⊂ R → R é a fun¸cão denotada por} f0 _{: X ⊂ R → R, tal que seu valor em qualquer número x do dom´ınio de f seja dado} por

f0(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h ,

desde que o limite exista.

Defini¸cão 2.1.4. Uma equa¸cão diferencial contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em rela¸cão a uma ou mais variáveis independentes.

(22)

2.2 Teorema Fundamental do C´alculo Parte I e II 21

o teorema 2.1.2, que qualquer fun¸cão limitada em [α, β] e descont´ınua em um número finito de pontos de [α, β] é integravél em [α, β].

Teorema 2.1.1. Se f for cont´ınua em [α, β], então f será integrável em [α, β].

Teorema 2.1.2. Se f for limitada em [α, β] e descont´ınua em apenas um número finito de pontos em [α, β], então f será integravél em [α, β]

Proposi¸cão 2.1.1. (Ordem de Integra¸cão) Seja f uma fun¸cão integravél definida em [α, β], então Z α β f (x)dx = − Z β α f (x)dx.

Proposi¸cão 2.1.2. (Aditividade para integrais definidas) Sendo f uma fun¸cão inte-gravél definida em [α, β], então

Z β α f (x)dx + Z c β f (x) = Z c α f (x)dx.

Proposi¸cão 2.1.3. (Zero) Seja f uma fun¸cão integravél definida em [α, β], então

Z α

α

f (x)dx = 0.

2.2 Teorema Fundamental do C´

alculo

Parte I e II

De acordo com Thomas 2009, o Teorema Fundamental do Cálculo é enunciado por duas partes. A primeira parte diz que se f for uma fun¸cão integrável, existe uma fun¸cão F definida por uma integral que vai de um número fixo até outro número x, cujo valor em x é dado por

F (x) = Z x

α

f (t)dt. (2.1)

A variável independente x é denominada como o limite superior de integra¸cão de uma integral, F é como qualquer outra fun¸cão real de uma variável real e para cada valor que essa variável x assume, existe um valor bem definido da fun¸cão, como no caso anterior em que temos a integral de f , de α até x. A equa¸cão 2.1 pode ser utilizada para encontrar solu¸cões de equa¸cões diferenciais (Defini¸cão 2.1.4), além de definir novas

(23)

fun¸cões e estabelecer a rela¸cão existente entre integrais e derivadas. Se f for uma fun¸cão cont´ınua qualquer, então existe F como uma fun¸cão derivável de x cuja derivada é a própria f . Assim, podemos escrever

d dxF (x) = d dx Z x α f (t)dt = f (x),

(lemos “_dxdF (x)” como derivada da fun¸c˜ao F em rela¸c˜ao a x).

A seguir, apresentamos o Teorema do Valor Médio que é utilizado na demonstra¸cão do TFC.

Teorema 2.2.1. (Teorema do Valor M´edio para Integrais Definidas): Se f : X ⊂ R → R for cont´ınua em [α, β], , ent˜ao existe c ∈ [α, β] tal que

f (c) = 1 β − α

Z β

α

f (x)dx.

A demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.1 pode ser encontrada em Thomas (2009, p. 357-358), pois devido ao fato de fazer uso de outros resultados, n˜ao a colocamos neste espa¸co para evitar a fuga do escopo do trabalho.

Teorema 2.2.2. (Teorema Fundamental do Cálculo – Parte I): Se f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [α, β], então a fun¸cão

F (x) = Z x

α

f (t)dt

´e deriv´avel em todo ponto x em [α, β] e

d dxF (x) = d dx Z x α f (t)dt = f (x). (2.2)

A equa¸cão 2.2 pode ser considerada uma das mais importantes da Matemática, pois evidencia o fato de que toda fun¸cão cont´ınua possui uma primitiva (Defini¸cão 2.1.2) e que integrais e derivadas são processos inversos um do outro; além disso, a equa¸cão mostra que existe uma fun¸cão cont´ınua f que é a derivada de outra fun¸cão, ou seja, Rx

α f (t)dt = F (x). Como d

dxF (x) = f (x) ´e uma equa¸c˜ao que apresenta a derivada de

uma fun¸cão desconhecida é, portanto, chamada de Equa¸cão diferencial. Demonstra¸cão (Parte I):Queremos mostrar que a derivada da fun¸cão

F (x) = Z x

α

(24)

é igual a f . Para isso, vamos aplicar a Defini¸cão 2.1.3 à fun¸cão F . Então, escrevemos

d

dxF (x) = limh→0

F (x + h) − F (x)

h . (2.3)

Devemos mostrar que quando h → 0, o limite desse quociente ´e igual a f . Temos que,

F (x + h) − F (x) = Z x+h α f (t)dt − Z x α f (t)dt.

Pelas Propriedades 2.1.1 e 2.1.2, ´e poss´ıvel simplificar o lado direito da igualdade para Rx+h x f (t)dt, ou seja, Z x+h α f (t)dt − Z x α f (t)dt = Z x+h α f (t)dt + Z α x f (t)dt = Z x+h x f (t)dt.

Assim, a equa¸c˜ao 2.3 passa a ser escrita da seguinte forma

d dxF (x) = h→0lim F (x + h) − F (x) h (2.4) = 1 h[F (x + h) − F (x)] (2.5) = 1 h Z x+h x f (t)dt. (2.6)

Como x + h − x = h, pelo Teorema do Valor M´edio o valor da da integral ´e um dos valores tomados por f no intervalo que une x + h a x, para algum c pertencente a esse intervalo, da´ı, escrevemos

1 h

Z x+h

x

f (t)dt = f (c). (2.7)

Agora, podemos constatar o que acontece para 1_h multiplicado pela integral, a partir do que ocorre a f (c) quando h → 0. Como c pertence ao intervalo [x, x+h], quando h → 0, x + h aproxima-se de x e, consequentemente, c também se aproxima de x. Como f é uma fun¸cão cont´ınua em x, temos que f (c) tende a f (x), quando h −→ 0 isto é,

lim

(25)

Usando a Defini¸c˜ao 2.1.3 e as equa¸c˜oes 2.6, 2.7 e 2.8, temos que:

d dxF (x) = h→0lim F (x + h) − F (x) h = lim h→0 1 h Z x+h x f (t)dt = lim h→0f (c) = f (x)

como quer´ıamos demonstrar.

A seguir, enunciamos a segunda parte do Teorema Fundamental do C´alculo que diz respeito ao c´alculo de integrais tendo conhecimento de pelo menos uma de suas primitivas.

Teorema 2.2.3. (Teorema Fundamental do Cálculo – Parte II): Se f é con-t´ınua em todo ponto de [α, β] e se F é qualquer primitiva de f em [α, β], então

Z β

α

f (x)dx = F (β) − F (α).

A partir desta equa¸cão, o Cálculo Diferencial e Integral passou a ser considerado de extrema importância e porque não dizer, um verdadeiro fenômeno, pelo simples fato de não existir mais a necessidade de fazer cálculos através de somas extensas e tediosas e nem de haver conhecimentos sobre limites, pois a equa¸cão envolve apenas a necessidade de que uma primitiva de f seja encontrada. Fala-se sobre somas extensas, pois a única alternativa para desenvolver solu¸cões para problemas do mundo real era encontrar aproxima¸cões por meio destas e também já que a primeira parte do Teorema em questão envolve o conceito de limite.

Demonstra¸cão (Parte II): Note que pela Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo, temos que se f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [α, β], f possui uma primitiva, ou seja,

G(x) = Z x

α

f (t)dt

Considere, agora, F como sendo uma primitiva de f tal que F (x) = G(x) + C, para alguma constante C. Aplicando a primitiva F nos extremos do intervalo [α, β], temos

(26)

que

F (β) − F (α) = [G(β) + C] − [G(α) + C] = G(β) + C − G(α) − C = G(β) − G(α).

Aplicando o Teorema, utilizada como base no in´ıcio da demonstra¸c˜ao, temos

F (β) − F (α) = Z β α f (t)dt − Z α α f (t)dt

Observe que, pela Propriedade 2.1.3, temos

Z α α f (t)dt = 0. Da´ı, F (β) − F (α) = Z β α f (t)dt − 0 = Z β α f (t)dt. Portanto, F (β) − F (α) = Z β α f (t)dt,

(27)

Cap´ıtulo 3

Aplica¸

c˜

oes utilizando o Teorema

Fundamental do C´

alculo

A seguir, apresentamos algumas aplica¸cões do Teorema Fundamental do Cálculo em determinadas ciências e podemos ver que o objetivo desse Teorema é facilitar o desenvolvimento de solu¸cões que são apresentadas de uma forma mais complicada sem esta ferramenta. Além disso, existe a oportunidade de perceber que o Cálculo pode ser utilizado em várias áreas do conhecimento e não apenas na Matemática.

3.1 Aplica¸

c˜

ao na Entomologia

A Entomologia é a ciência que estuda os insetos. O entomólogo, profissional que se dedica ao estudo de insetos, é responsável pelo estudo das caracter´ısticas f´ısicas, comportamentais e reprodutivas dos insetos.

Problema 3.1.1. Uma popula¸c˜ao de insetos cresce a uma taxa de 200 + 10t + 0, 25t2 insetos por dia. Encontre a popula¸c˜ao de insetos depois de 3 dias, supondo que existam 35 insetos em t = 0 (ROGAWSKI, 2009).

Solu¸c˜ao 3.1.1. Observe que a popula¸c˜ao de insetos varia de acordo com o tempo. Seja p(t) = 200 + 10t + 0, 25t2 _{a popula¸}_c˜_{ao de insetos em um determinado instante t, ou}

seja, vaira¸cão da popula¸cão p(t) em rela¸cão ao tempo t. Como queremos descobrir a quantidade de insetos depois de 3 dias, o intervalo varia de 0 a 3. Considere P como sendo uma primitiva de p no intervalo [0, 3]. Note que

Z p(t)dt = Z 200 + 10t + 0, 25t2 dt = 200t + 5t2+ t 3 12+ C.

(28)

3.2 Aplica¸c˜ao na F´ısica 27

Fundamental do C´alculo, temos

P (3) − P (0) = 200.3 + 5.32+ 3 3 12+ C − 200.0 + 5.02+ 0 3 12+ C = 647, 25.

Como j´a existiam 35 insetos quando t = 0, ent˜ao

647, 25 + 35 = 682, 25.

Portanto, depois de 3 dias, a popula¸c˜ao de insetos ´e de, aproximadamente, 682 insetos.

3.2 Aplica¸

c˜

ao na F´ısica

A F´ısica é a ciência que busca o conhecimento do universo, estudando as diferentes formas de intera¸cões entre máteria e energia, suas propriedades e as leis que regem tais intera¸cões.

Dentre todos os ramos da F´ısica, escolhemos a Mêcanica, parte da F´ısica que es-tuda os movimentos dos corpos, para mostrar aplica¸cões do Teorema Fundamental do Cálculo nesta área.

Problema 3.2.1. Um projétil é lan¸cado com velocidade inicial (vertical) de 100m/s. Use a fórmula v(t) = 100 − 9, 8t da velocidade para determinar a distância percorrida durante os primeiros 15s (ROGAWSKI, 2009).

Solu¸cão 3.2.1. Na F´ısica, a fun¸cão horária da velocidade em fun¸cão do tempo é dada por v = v0+ at, em que a é a acelera¸cão escalar. Mas quando se trata de queda livre

ou lan¸camento vertical, a acelera¸cão escalar é substitu´ıda pela acelera¸cão da gravidade e por estar em sentido contrário ao da velocidade, fica com o sinal negativo. Ou seja, v(t) = v0 − gt. Nesse caso, como a velocidade inicial é 100m/s e a acelera¸cão da

gravidade na Terra ´e de, aproximadamente, 9, 8m/s2_{, temos a f´}_{ormula v(t) = 100 −}

9, 8t. Temos ainda que a distˆancia total percorrida pode ser calculada pelaR |v(t)| dt. Da´ı Z |v(t)| dt = Z (100 − 9, 8t)dt = 100t − 4, 9t2+ C.

(29)

3.2 Aplica¸c˜ao na F´ısica 28

o TFC, obtemos

S(15) − S(10) = 100.15 − 4, 9.152+ C − (100.0 − 4, 9.02+ C) = 1500 − 1102, 5

= 397, 5.

Portanto, a distˆancia percorrida durante os primeiros 15s foi de 397, 5 metros.

Problema 3.2.2. A densidade linear de uma barra de comprimento 4m ´e dada por ρ(x) = 9 + 2√x medida em quilogramas por metro, em que x ´e medido em metros a partir de uma extremidade da barra. Ache a massa total da barra (ROGAWSKI, 2009).

Solu¸cão 3.2.2. De acordo com a F´ısica, a densidade linear de um determinado objeto é a rela¸cão existente entre a massa e o comprimento desse objeto, ou seja,

ρ = m L.

Neste problema, a densidade linear ´e expressa por ρ(x) = 9 + 2√x. Como a barra tem comprimento de 4m e queremos calcular a sua massa total, vamos considerar o intervalo de 0 a 4 m. Note que

Z ρ(x)dx = Z 9 + 2√x dx = Z 9 + 2x12 dx = 9x +4 3 √ x3_{+ C.}

Seja P (x) = 9x + 4₃√x3 _{+ C, uma primitiva de ρ(x) no intervalo [0, 4]. Da´ı, pelo}

Teorema Fundamental do C´alculo

P (4) − P (0) = 9.4 +4 3. √ 43_{+ C − (9.0 +} 4 3. √ 03_{+ C)} = 36 + 32 3 = 140 3 .

Portanto, a massa total da barra ´e 140

(30)

3.3 Aplica¸c˜ao na Engenharia do Tr´afego 29

3.3 Aplica¸

c˜

ao na Engenharia do Tr´

afego

Segundo o ITE-Institute fo Traffic Engineering é a área da Engenharia que lida com Planejamento e Desenho Geométrico da ruas, estradas de rodagem, com as opera¸cões de tráfego, terminais, terrenos adjacentes, embora também trate da Integra¸cão com outros modos de transporte, visando oferecer a movimenta¸cão segura, eficiente e conveniente das pessoas e das mercadorias.

Problema 3.3.1. O fluxo de tráfego num certo ponto de uma rodovia é q(t) = 3000 + 2000t − 300t2, onde t é o tempo em horas e t = 0 corresponde a 8 horas da manhã. Quantos carros passam pelo ponto durante o intervalo de tempo das 8 às 10 da manhã? (STEWART, 2012).

Solu¸cão 3.3.1. Perceba que o fluxo de tráfego é uma taxa de varia¸cão da quantidade de carros em rela¸cão ao intervalo de tempo, em um certo ponto da rodovia. E ainda que de 8 às 10 da manhã, temos um intervalo de tempo de 2 horas e temos que 8 horas da manhã é equivalente a t=0. Note que

Z

q(t)dt = Z

3000 + 2000t − 300t2 dt = 3.000t + 1.000t2− 100t3_{+ C.}

Seja Q(t) = 3.000t + 1.000t2_{− 100t}3 _{+ C a primitiva de q(t) no intervalo [0, 2], onde}

q(t) é o fluxo de tráfego em um determinado instante t. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,

Q(2) − Q(0) = 3000.2 + 1000.22− 100.23_{+ C − (3000.0 + 1000.0}2_{− 100.0}3_{+ C)}

= 6000 + 4000 − 800 = 9200.

(31)

3.4 Aplica¸c˜ao na Economia 30

3.4 Aplica¸

c˜

ao na Economia

Economia é a ciência social que estuda os processos de produ¸cão, distribui¸cão, acumu-la¸cão e consumo de bens materiais. Ou seja, estuda o controle para evitar desperd´ıcios em quaisquer atividade ou servi¸co.

Problema 3.4.1. O custo marginal de fabrica¸cão de x metros de um certo tecido é C0(x) = 3 − 0, 01x + 0, 000006x2 (em dólares por metro). Ache o aumento do custo se o n´ıvel de produ¸cão for elevado de 2000 para 4000 metros (STEWART, 2012).

Solu¸cão 3.4.1. De acordo com a Economia, o custo marginal de um bem é o acréscimo do custo total para produzir uma unidade adicional do bem. Nesse caso, temos que x é a unidade produzida de um tecido, em metros e C0 é a derivada de C em rela¸cão a x, que representa o custo marginal de fabrica¸cão desta unidade. Pela primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo, temos que

d dxC(x) = d dx Z x a c(t)dt = c(x).

Ou seja, C0(x) = c(x) = 3 − 0, 01x + 0, 000006x2. Note que

Z

c(x)dx = Z

3 − 0, 01x + 0, 000006x2 dx = 3x − 0, 005x2+ 0, 000002x3+ K.

Considere C(x) = 3x − 0, 005x2 _{+ 0, 000002x}3 _{+ K como uma primitiva de c(x) no}

intervalo [2000, 4000], ent˜ao, pela segunda parte do Teorema Fundamental do C´alculo

C(4000) − C(2000) = 3x − 0, 005x2+ 0, 000002x3+ K4000₂₀₀₀.

Substituindo os limites de integra¸c˜ao no resultado da integra¸c˜ao, temos

• limite superior: C(4000) = 3.4000 − 0, 005.40002_{+ 0.000002.4000}3_.

• limite inferior: C(2000) = 3.2000 − 0, 005.20002_{+ 0.000002.2000}3_.

O limite superior menos limite inferior é igual a 58000. Logo, o custo marginal de fabrica¸cão quando há um acréscimo no n´ıvel de produ¸cão de 2000 para 4000 é de $58000 (lê-se “cinquenta e oito mil dólares”).

(32)

3.5 Aplica¸c˜ao no Escoamento de Flu´ıdos 31

3.5 Aplica¸

c˜

ao no Escoamento de Flu´ıdos

Escoamento é uma altera¸cão na forma do flu´ıdo sujeito a a¸cão de uma tensão de cisalhamento. O escoamento de flu´ıdos torna-se altamente complexo, pois está ligado a um enorme número de variáveis necessárias para sua descri¸cão matemática.

Problema 3.5.1. A ´agua escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de r(t) = 200 − 4t litros por minuto, onde 0 ≤ t ≤ 10. Encontre a quantidade de ´

agua que escoa do tanque durante os primeiros dez minutos (STEWART, 2012).

Solu¸cão 3.5.1. De acordo com a fun¸cão citada pelo problema, temos que o escoamento da água varia de acordo com o tempo t, em minutos. Observe que pela fun¸cão a quanti-dade inicial de água que escoa pelo fundo do tanque é de 200 litros e que a cada minuto o tanque perde uma quantidade de água equivalente a 4 litros. Como queremos calcular a quantidade de água durante os primeiros dez minutos, vamos considerar o intervalo de 0 a 10 minutos. Da´ı Z r(t)dt = Z (200 − 4t) dt = 200t − 2t2+ C.

Seja R(t) = 200t − 2t2 + C, uma primitiva da fun¸cão r(t) em [0, 10]. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos

R(10) − R(0) = 200.10 − 2.102+ C − (200.0 − 2.02+ C) = 2000 − 200

= 1800.

Portanto, a quantidade de ´agua que escoa pelo tanque nos primeiros dez minutos ´e de 1800 litros.

(33)

Considera¸

c˜

oes Finais

Ao longo deste trabalho foi poss´ıvel notar que o Teorema Fundamental do Cálculo está intimamente ligado a outras ciências e que possui técnicas necessárias na resolu¸cão de problemas tanto da Matemática quanto das outras áreas. Além de possuir v´ınculos com a interdisciplinaridade, o Teorema Fundamental do Cálculo costuma ser utilizado no dia a dia das pessoas sem que elas percebam. As perguntas sobre o que fazer com tais assuntos podem ser constantes, mas este Teorema possui ferramentas que podem ser úteis na constru¸cão de vários conhecimentos, como no cálculo de distâncias, tráfego de ve´ıculos e até no escoamento da água.

O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite a visão de que a sua cria¸cão foi necessária para desencadear problemas, encontrados por matemáticos, que eram, até então, considerados imposs´ıveis de serem resolvidos. Então, temos que o objetivo geral do trabalho é mostrar a aplica¸cão do TFC em outras áreas do conhecimento, como as citadas anteriormente. Através dele, tem-se a oportunidade de perceber que a diferen-cia¸cão e a integra¸cão são problemas inversos um do outro e que outros matemáticos, além de Newton e Leibniz, possu´ıam ideias fundamentais para a sua constru¸cão. Mesmo sem realizar descobertas em conjunto, as ideias de Newton e Leibniz se complementa-ram no decorrer desse processo de cria¸cão e são consideradas a base para um dos mais importantes feitos no estudo do Cálculo Diferencial e Integral.

Por fim, estudar Matemática é muito mais do que aprender fórmulas e conceitos, é conhecer os princ´ıpios de sua cria¸cão e descobrir os motivos que levaram à sua fun-damenta¸cão teórica. Devemos lembrar que é importante para o professor, descobrir técnicas novas e diferentes para transmitir esse conhecimento, já que a Matemática é considerada como uma ciência dif´ıcil e complicada de se entender. O ensino dessa ciência tem como objetivo a forma¸cão de cidadãos que estejam aptos a realizar interven¸cões nos conteúdos estudados relacionando-os com a sua vivência social e a interessar-se pelo motivo de suas aplica¸cões. Como o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser utilizado em diferentes áreas, é importante conhecer o seu contexto histórico e as suas aplica¸cões antes de expor o conteúdo em sala de aula para estar apto a responder os questionamentos que podem ser lan¸cados pelos alunos.

(34)

Referˆ

encias

ANACLETO, G. M. C. (2007), Uma investiga¸cão sobre a aprendizagem do Teo-rema Fundamental do Cálculo, Disserta¸cão (mestrado em educa¸cão matemática), PUC-SP. Dispon´ıvel em: http://www.sapientia.pucsp.br/tde arquivos/13/TDE-20 08-01-02T09:39:38Z-4672/Publico/Gracia%20Maria%20Catelli%20Anacleto.pdf.

BATISTA, R. J. (2010), Uma breve introdu¸cão á história do C´ al-culo Diferencial e Integral, Artigo entregue para cursos de ci-ˆ

encias e engenharia, C´olegio Militar de Curitiba. Dispon´ıvel em: http://200.134.30.6/revista/index.php/revista/article/view/6.

BOYER, C.B. (1974), História da Matemática, São Paulo.

EDWARDS JR, C.H (1979), The historical development of the calculus, New York.

EVES, H. (1995), Introdu¸cão à história a matemática, São Pauloo Paulo, Cam-pinas.

FREIRE, P. (1996), bfseries Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa, Rio de Janeiro.

MENEGHETTI, R. C. G (2010), Constitui¸cão do saber matemático: reflexões filosóficas e históricas, Londrina.

NOGUEIRA, D. F.; FILHO, J. L. C. (2011), Uma nova visão sobre e δ, Texto entregue ao núcleo de estat´ıstica, matemática e matemática aplicada., Goiânia.

PALARO, L. A. (2006), A concep¸cão de Educa¸cão Matemática de Henri Le-besgue, Tese de doutorado, PUC-SP.

PICONE, D. F. B. (2007), Os registros de representa¸cão semiótica mobili-zados por professores no ensino do Teorema Fundamental do Cálculo, Disserta¸cão (mestrado em educa¸cão matemática), PUC-SP.

(35)

34

ROGAWSKI, Jon (2009), C´alculo, Vol. 1, Porto Alegre. Tradu¸c˜ao Claus Ivo Doeing.

SAD, L. A. (2002), ‘Problemas epistemológicos no per´ıodo de emergˆ en-cia do Cálculo Infinitesimal’, Revista Brasileira de História da Matem´ a-tica 2(3), 65–91. Dispon´ıvel em: http://www.rbhm.org.br/issues/RBHM%20-%20vol.2,%20no3,%20abril%20(2002)/Sad%20-%20RBHM3%20c.pdf.

SANTOS, W. C. (2011), As ideias envolvidas na gênese do Teorema Fun-damental do Cálculo, de Arquimedes a Leibniz, Disserta¸cão (mestrado em educa¸cão matemática)., PUC-SP. São Paulo.

SIMMONS, G.F (2007), .C´alculo Diferencial e Integral com Geometria Ana-l´ıtica, S˜ao Paulo.

STEWART, J. (2009), C´alculo, Vol. 1, Tradu¸c˜ao da 6a _edi¸c˜_{ao norte-americana.}

STEWART, J. (2012), Cálculo, São Paulo. Tradu¸cão da 6a _edi¸c˜_{ao norte-americana.}

THOMAS, G. B. (2009), C´alculo, Vol. 1, Pearson Education.

VIANNA, C. C. S. (1998), Student’s understanding of the Fundamental Theo-rem of Calculus: an exploration of definitions, theoTheo-rems and visual imagery, Tese (doutorado em educa¸c˜ao matem´atica), Institute of Education, University of London, London.