Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística
Mestrado em Matemática Aplicada e Estatística
Modelagem Matemática e Simulação Numérica
da Injeção de Partículas em Meios Porosos
Jocenrique Carlo de Oliveira Rios Filho
Natal – RN Junho de 2019
Modelagem Matemática e Simulação Numérica da
Injeção de Partículas em Meios Porosos
Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Es-tatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obtenção do título de Mestre.
Área de Concentração: Modelagem Matemá-tica.
Linha de Pesquisa: Matemática Computaci-onal
Orientador
Prof. Dr. Sidarta Araújo de Lima
Co-orientadorProf. Dr. Adriano dos Santos
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística – PPGMAE
Natal – RN Junho de 2019
Rios Filho, Jocenrique Carlo de Oliveira.
Modelagem matemática e simulação numérica da injeção de partículas em meios porosos / Jocenrique Carlo de Oliveira Rios Filho. - 2019.
104f.: il.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística. Natal, 2019. Orientador: Sidarta Araújo de Lima.
Coorientador: Adriano dos Santos.
1. Matemática Dissertação. 2. Modelagem matemática -Dissertação. 3. Simulação numérica - -Dissertação. 4. Método dos volumes finitos - Dissertação. I. Lima, Sidarta Araújo de. II. Santos, Adriano dos. III. Título.
RN/UF/CCET CDU 51
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET
Agradeço a Deus.
Aos meus avós, José Nilton Cordeiro, Luiza Batista Cordeiro e Maria Euzélia de Oliveira Rios.
Aos meus pais, Magna Luiza Batista Cordeiro e Jocenrique Carlo de Oliveira Rios. À minha noiva, Aléxia Mafra Guedes da Silva e Sousa.
À minha família. Aos meus amigos.
Aos meus professores, em especial meus orientadores, Prof. Dr. Sidarta Araújo de Lima e Prof. Dr. Adriano dos Santos.
À banca examinadora, Prof. Dr. Adolfo Puime Pires, Prof. Dr. Júlio César Santos
Nascimento, Prof. Dr. Luiz Carlos Radtke, Profa. Dra. Viviane Klein.
Injeção de Partículas em Meios Porosos
Autor: Jocenrique Carlo de Oliveira Rios Filho Orientador: Prof. Dr. Sidarta Araújo de Lima Co-orientador: Prof. Dr. Adriano dos Santos
Resumo
Neste trabalho abordamos a problemática associada aos processos de movimento de flui-dos, transporte e retenção de partículas em meios porosos. Em particular, destacamos o fenômeno de filtração e adsorção que ocorrem durante o processo de injeção de partículas em meios porosos. O objetivo principal do trabalho é deduzir uma modelagem matemática e computacional para o processo de filtração profunda e adsorção de partículas. Deduzido o modelo matemático baseado em equações diferenciais, soluções analíticas são obtidas considerando alguns casos particulares para o coeficiente de filtração. Do ponto de vista computacional, utilizamos os método de volumes finitos de primeira ordem Upwind e Lax-Friedrichs (LxF) e de alta ordem Nessyahu & Tadmor (NT) e Kurganov & Tadmor (KT), com o objetivo de obter soluções numéricas para a equação do transporte de partículas, e o método de Runge-Kutta para a equação da cinética de retenção. Em seguida, simu-lações numéricas são propostas para o processo de filtração possibilitando compreender a filtração profunda, bem como avaliar as propriedades ótimas dos métodos de volumes finitos propostos. Os resultados mostram que as aproximações obtidas pelo método KT são mais acuradas e robustas do que as obtidas pelos métodos Upwind, LxF e NT. Por fim, aplicamos o esquema numérico proposto, baseado no método KT, juntamente a um processo de otimização usando mínimos quadrados para a obtenção dos coeficientes efe-tivos do modelo matemático desenvolvido, tomando como base perfis experimentais de concentrações efluente e retida disponíveis na literatura.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Simulação Numérica, Método do Volumes Fini-tos, Filtração, Equações Hiperbólicas, Método das Características.
Particles Injection in Porous Media
Author: Jocenrique Carlo de Oliveira Rios Filho Advisor: Prof. Dr. Sidarta Araújo de Lima Co-advisor: Prof. Dr. Adriano dos Santos
Abstract
In this work we present the problematic associated with fluid flow, transport and particle retention processes in porous media. In particular, we highlight the filtration and adsorp-tion phenomena that occur during particle injecadsorp-tion in porous media. This work main goal is to deduct a mathematical and computational modeling of deep bed filtration and particle adsorption. Having the mathematical model been deducted, based on differential equations, analytical solutions for particular cases of the filtration coefficient are obtai-ned. For the computational model, the high order finite volume method of Kurganov & Tadmor (KT) is proposed in order to obtain numerical solutions for the particle transport equation, and the Runge-Kutta method is used for the retention kinetics. Furthermore, numerical simulations for the filtration process are proposed making it possible to unders-tand filtration, as well as evaluating the optimal properties of the proposed finite volume method. The results showed that numerical approximations obtained by KT method are more acurated and robust than those obtained by Upwind, LxF and NT. Finally, we use the proposed numerical scheme, based on KT method, altogether with a least squa-res optimization proccess to obtain the mathematical model effective coefficients using experimental data available in literature as reference.
Keywords: Mathematical Modelling, Numerical Simulation, Finite Volume Method, Fil-tration, Hyperbolic Equations, Method of Characteristics.
2.1 Exclusão pelo tamanho durante a filtração profunda: (a) σk < σmax,k e
(b) σk= σmax,k. . . p. 22
2.2 Esboço do deslocamento da frente de retenção máxima. . . p. 25
2.3 Regiões R1, R2, R3 e R4 e as correspondentes curvas características. . . p. 28
2.4 Trajetória das curvas características para T (X), X(T ) e Tf(X) . . . p. 36
2.5 Trajetória das curvas características para T (X), X(T ) e Tf(X) . . . p. 37
3.1 Discretização do domínio espacial para o método dos volumes finitos. . p. 40
3.2 Esquemático do método LxF usando o Algoritmo REA. . . p. 44
3.3 Esquemático das reconstruções e construção em malha dual do método
NT. . . p. 46
3.4 Esquema da construção em malha dual para o método KT. . . p. 50
4.1 Evolução da concentração de partículas (a) em suspensão e (b) retidas
considerando o coeficiente de filtração constante. . . p. 60
4.2 Perfis de concentração efluente para diferentes valores de b. . . p. 61
4.3 Evolução da concentração de partículas (a) em suspensão e (b) retidas
considerando o caso não linear. . . p. 63
4.4 Perfis de concentração de partículas em suspensão obtidas pelos métodos
(a) e (c) UP e KT; e (b) e (d) NT e KT para diferentes malhas (a)–(b)
temporais e (c)–(d) espaciais. . . p. 64
4.5 Curvas de concentração efluente para a solução analítica em comparação
com os esquemas numéricos (a) UP (L1error = 0.03) e LxF (L1error= 0.3347)
e (b) NT (L1
error = 0.0205) e KT (L1error = 8.44 × 10
−4) do problema de
advecção-dispersão. . . p. 66
4.6 Evolução dos perfis analítico e numérico da concentração de partículas
(a) em suspensão e (b) retidas considerando um coeficiente de filtração
constante. . . p. 67
4.7 Soluções analítica e numérica para a concentração efluente de partículas
em suspensão considerando um coeficiente de filtração linear. . . p. 68
4.8 Evolução dos perfis analítico e numérico da concentração de partículas
(a) em suspensão e (b) retidas considerando um coeficiente de filtração
porte de partículas com T = 1 pvi (a) sem retenção mecânica e (b) com
retenção mecânica (λ0 = 0.5) para diferentes coeficientes de adsorção e
(c) diferentes tempos. . . p. 69
4.10 Evolução dos perfis analíticos e numéricos da concentração de partículas (a) em suspensão e (b) retidas considerando múltipos mecanismos de
retenção. . . p. 70
4.11 Evolução dos perfis numéricos da concentração de partículas (a) em
sus-pensão e (b) retidas considenrando o modelo matemático proposto. . . p. 72
5.1 Ajuste de parâmetros utilizando solução analítica e modelo numérico
proposto. Perfis de (a) concentração efluente de partículas em suspensão
e (b) concentração de partículas retidas. . . p. 79
5.2 Comparação entre modelo proposto e dados experimentais da injeção de
coloides (3.2 µm) no meio poroso 3550. Concentrações normalizadas (a)
de partículas retidas (T = 1.9 pvi ) e (b) efluente. . . p. 83
5.3 Comparação entre modelo proposto e dados experimentais da injeção de
solução polimérica em testemunho de arenito (a) LOWC.500 e (b) T2-sand. p. 85 B.1 Comparação entre modelo proposto e dados experimentais da injeção de
colóides no meio poroso 2030 (BRADFORD et al., 2002). Concentrações normalizadas de partículas retidas (a) 0.45 µm, T = 1.6 pvi, (c) 1.0 µm, T = 1.38 pvi, (e) 3.2 µm, T = 1.8 pvi e efluente (b) 0.45 µm, (d) 1.0 µm
e (f) 3.2 µm. . . p. 99
B.2 Comparação entre modelo proposto e dados experimentais da injeção de colóides no meio poroso 3550 (BRADFORD et al., 2002). Concentrações normalizadas de partículas retidas (a) 0.45 µm, T = 1.75 pvi, (c) 1.0 µm, T = 1.75 pvi, (e) 3.2 µm, T = 1.9 pvi e efluente (b) 0.45 µm, (d) 1.0 µm
e (f) 3.2 µm. . . p. 100
B.3 Comparação entre modelo proposto e dados experimentais da injeção de colóides no meio poroso MIX (BRADFORD et al., 2002). Concentrações normalizadas de partículas retidas (a) 0.45 µm, T = 2.2 pvi, (c) 1.0 µm, T = 1.81 pvi, (e) 3.2 µm, T = 2.18 pvi e efluente (b) 0.45 µm, (d) 1.0 µm
colóides no meio poroso 70110 (BRADFORD et al., 2002). Concentrações normalizadas de partículas retidas (a) 0.45 µm, T = 1.75 pvi, (c) 1.0 µm, T = 1.81 pvi, (e) 3.2 µm, T = 1.65 pvi e efluente (b) 0.45 µm, (d) 1.0 µm
e (f) 3.2 µm. . . p. 102
B.5 Comparação entre modelo proposto e dados experimentais da injeção de colóides no meio poroso 2030 (BRADFORD et al., 2002). Concentrações normalizadas de partículas retidas (a) 0.45 µm, T = 2.6 pvi, (c) 1.0 µm, T = 3.25 pvi, (e) 3.2 µm, T = 3.2 pvi e efluente (b) 0.45 µm, (d) 1.0 µm
e (f) 3.2 µm. . . p. 103
B.6 Comparação entre modelo proposto e dados experimentais da injeção de solução polimérica em testemunho de (a) arenito (SORBIE, 1991), (b) teflon (DOMINGUEZ; WILLHITE, 1977), (c)–(d) arenito T1 e (e)–(f)
5.1 Análise comparativa de erro e probabilidade de significância do modelo numérico proposto (MP) em contraste com o modelo analítico (AS) de Araújo e Santos (2013). Parâmetros otimizados para a injeção de coloides:
α1, λ0,1, λ0,2, b2 e P e. . . p. 81
5.2 Parâmetros otimizados para a injeção de soluções poliméricas: R, λ0, b e
c, concentração de partículas em suspensão (m−3).
s, concentração de partículas retidas mecanicamente (m−3).
γ, concentração de partículas adsorvidas (m−3).
L, comprimento do meio poroso (m). φ, porosidade.
VD, velocidade de Darcy (ms−1).
D, coeficiente de dispersão hidrodinâmica (m2s−1).
D0, coeficiente de difusão molecular (m2s−1).
ω1, ω2, constantes experimentais da dispersão mecânica.
ˆ
λ(s), coeficiente de filtração função de s (m−1).
X, coordenada espacial adimensional. T , tempo adimensional.
P e, número de Péclet.
λ, coeficiente de filtração adimensional função de σ.
σ, concentração média total de partículas retidas mecanicamente (m−3).
λ0, coeficiente de filtração inicial adimensional.
σmax, coeficiente de retenção máxima.
Γ, concentração média total de partículas adsorvidas (m−3).
c0, concentração total de partículas injetadas (m−3).
β, δ, constantes de adsorção.
X1, fronteira móvel (X1 ∈ [0, 1]).
T∗, tempo característico adimensional em que a retenção máxima é atingida.
V, velocidade adimensional de propagação da fronteira móvel.
Xf, Tf, posição adimensional do choque da solução na equação do transporte de partículas.
c+, c−, concentrações à frente e atrás do choque (m−3).
f (c), função de fluxo advectivo função de c.
q(cX), função de fluxo dispersivo função da derivada cX.
Tinj, tempo adimensional de injeção.
R, fator de retardamento.
φ∗, volume poroso inacessível/excluído.
E, função erro quadrático. e, função resíduo.
F (x, a), função objetivo do processo de otimização (coordenadas x e parâmetros a). ∇E, gradiente de E.
HE, Hessiana de E.
1 Introdução p. 16
2 Modelagem Matemática do Transporte de Partículas p. 20
2.1 Modelo matemático para filtração profunda . . . p. 20
2.2 Problema de valor de contorno móvel . . . p. 24
2.3 Soluções analíticas do modelo reduzido . . . p. 26
2.4 Soluções analíticas para o transporte com retenção mecânica e adsorção
Langmuir . . . p. 32
2.4.1 Solução para o transporte com adsorção Langmuir . . . p. 33
2.4.2 Solução para o transporte com retenção mecânica e adsorção
Langmuir . . . p. 35
3 Métodos de Volumes Finitos p. 39
3.1 Método dos volumes finitos para equações conservativas . . . p. 39
3.2 Métodos de Godunov para equações conservativas . . . p. 42
3.2.1 Método de Lax-Friedrichs . . . p. 43
3.2.2 Método de Nessyahu-Tadmor . . . p. 45
3.2.3 Método de Kurganov-Tadmor . . . p. 48
3.2.3.1 Método KT totalmente discreto . . . p. 48
3.2.3.2 Método KT semi-discreto . . . p. 53
3.3 Diferenças centradas para o operador elíptico . . . p. 55
3.4 Discretização da filtração profunda . . . p. 56
3.5 Discretização do termo de retardamento . . . p. 56
4 Análise das Soluções Analíticas e Numéricas p. 58
4.1 Soluções analíticas . . . p. 58
4.1.1 Solução analítica para filtração constante . . . p. 58
4.1.2 Solução analítica para filtração linear . . . p. 60
4.1.3 Solução analítica para filtração não linear . . . p. 61
4.2 Validação do método numérico e simulações numéricas . . . p. 63
4.2.1 Soluções analíticas e numéricas para coeficiente linear . . . p. 63
4.2.4 Soluções analíticas e numéricas para filtração constante e
adsor-ção Langmuir . . . p. 68
4.2.5 Soluções analíticas e numéricas para múltiplos mecanismos de
filtração . . . p. 70
4.2.6 Soluções numéricas para o modelo matemático proposto . . . . p. 71
5 Simulação Numérica para Aferição de Coeficientes Efetivos p. 73
5.1 Estado da arte para aferição de parâmetros físicos . . . p. 74
5.2 Metodologia proposta para aferição de parâmetros do modelo . . . p. 75
5.2.1 Processo de otimização . . . p. 76
5.2.2 Resultados e discussões . . . p. 80
6 Conclusões e Trabalhos Futuros p. 88
Referências p. 89
Apêndice A -- Determinação da Velocidade de Propagação do Choque p. 93
A.1 Problema de Riemann . . . p. 94
A.2 Equação do transporte com adsorção . . . p. 96
Introdução
Devido à sua importância científica e industrial, o processo de retenção durante o deslocamento de fluidos e transporte de partículas em meios porosos tem sido extensi-vamente estudado (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970; ELIMELECH; GREGORY; JIA, 1995; SANTOS; ARAÚJO, 2015). Aplicações são encontradas em diversos domínios da indústria do petróleo, engenharia química e engenharia ambiental (SHARMA; YORT-SOS, 1987; RAMARAO; TIEN, 2005; CLARK; PITT, 2009). Dentre as quais destacamos o escoamento multifásico na indústria do petróleo, o tratamento de águas residuais na engenharia química e o transporte de contaminantes em meios porosos na engenharia ambiental.
Em particular, no ramo da engenharia de petróleo, a obstrução de membranas e injeção de soluções poliméricas durante os processos de recuperação avançada de hidro-carbonetos são típicos problemas envolvendo processos de retenção (CRAFT; HAWKINS; TERRY, 1991). Neste contexto, estamos interessados no transporte de partículas em sus-pensão, caso típico da injeção de soluções poliméricas. Durante o processo de injeção, devido às dimensões características do meio poroso e suas propriedades físico-químicas, algumas partículas podem ser capturadas, dando origem ao fenômeno comumente denomi-nado de retenção (TIEN; RAMARO, 1995; SORBIE, 1991; ARAÚJO; SANTOS, 2013). Tal fenômeno é responsável pela obstrução dos poros, ocasionando uma diminuição na permeabilidade efetiva do meio poroso. Consequentemente, ocorre um dano à formação gerando perda de injetividade e queda na produção dos hidrocarbonetos (CIVAN, 2015). Neste cenário, ocorre um aumento nos custos de produção, uma vez que as atividades de intervenção, tais como acidificação, fluxo reverso e fraturamento hidráulico, podem ser necessárias para desobstruir os poros bloqueados e aumentar a injetividade (ROSA; CAR-VALHO; XAVIER, 2006; TIAB, 2015). Diversos autores reportaram na literatura uma potencial redução de permeabilidade devido aos fenômenos de retenção de até 30%, para curtos períodos de injeção (menos de cinco volumes porosos injetados), podendo alcançar 95%, para longos períodos (GRUESBECK; COLLINS et al., 1982; WOJTANOWICZ et al., 1987; WOJTANOWICZ; KRILOV; LANGLINAIS, 1988).
Durante o movimento de partículas em meios porosos diversos mecanismos físico-químicos são responsáveis pela retenção, tais como exclusão pelo tamanho,
dessorção, deposição ou precipitação e reações químicas. O mecanismo de exclusão pelo tamanho ocorre quando uma partícula é retida por um poro de tamanho caracterísico inferior, ocasionando o bloqueio do poro (SANTOS; BEDRIKOVETSKY; FONTOURA, 2008). Por sua vez, os fenômenos de adsorção/dessorção surgem devido aos efeitos elétricos e físico-químicos das interações entre as partículas e a fase sólida do meio poroso (DO-MINGUEZ; WILLHITE, 1977; SORBIE, 1991; ROUQUEROL et al., 2013). Além destes, destacamos os clássicos fenômenos de advecção, que resulta no deslocamento das partícu-las devido à velocidade do fluido, difusão Browniana, que ocorre devido ao movimento de dispersão aleatório das partículas, e a dispersão hidrodinâmica, que ocorre devido às dife-rentes linhas de fluxo no escoamento em um meio poroso (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970; LOGAN, 2001).
Do ponto de vista da modelagem matemática, o transporte de partículas em suspensão em meios porosos consiste em um sistema de equações diferenciais composto pela conser-vação de massa e lei de Darcy para a fase fluida, possibilitando quantificar a velocidade e pressão média do fluido (IWASAKI; SLADE; STANLEY, 1937; ROSA; CARVALHO; XA-VIER, 2006). Além disso, as concentrações de partículas em suspensão e retidas pelo meio poroso são modeladas por equações de conservação da massa da partícula e equações para cinéticas de retenção. Neste trabalho, o modelo resultante para o transporte das partícu-las consiste de uma equação diferencial parcial hiperbólica/elíptica não homogênea e não linear. O termo fonte, dado pela taxa de variação da concentração de partículas retidas, é quantificado considerando uma cinética de retenção definida em termos do coeficiente de filtração (SHARMA; YORTSOS, 1987; SANTOS; BARROS, 2010; ARAÚJO; SAN-TOS, 2013). Além das partículas retidas, a equação do transporte incorpora a adsorção instantânea de partículas, que é modelada comumente via isotermas, tais como polinomial ou Langmuir (LOGAN, 2001). Neste contexto, os fenômenos de adsorção dão origem a uma não linearidade no termo parabólico da equação do transporte das partículas em suspensão.
De posse do modelo matemático baseado em equações diferenciais parciais e ordi-nárias, rededuzimos soluções analíticas considerando o problema de valor de contorno móvel (ou “fronteira móvel”) estabelecido a partir de um valor de retenção máxima
(SAN-TOS; ARAÚJO, 2015). Além disso, calculamos o tempo característico T∗, onde a retenção
atinge o valor máximo, i.e., todos os poros inferiores são bloqueados e o fluxo é redire-cionado para os poros maiores. Quando a retenção máxima é atingida, o fenômeno de filtração profunda é finalizado e a concentração de partículas em suspensão é dada pelo valor da concentração injetada (SANTOS; ARAÚJO, 2015). Adicionalmente,
incorpora-mos o termo de adsorção na solução analítica do modelo da filtração profunda. Neste caso, consideramos o fenômeno de adsorção quantificado por isotermas e a retenção mecânica por um coeficiente de filtração constante e obtemos uma solução para as concentrações de partículas em suspensão e retidas (FARAJZADEH et al., 2016). Vale destacar que nos resultados unidimensionais discutidos nesta pesquisa, a hidrodinâmica é dada por um perfil linear na pressão e velocidade de Darcy constante.
Do ponto de vista da modelagem computacional, propomos a discretização do sistema de equações diferenciais parciais utilizando o método de volumes finitos e diferenças fini-tas. Para obter as aproximações da equação diferencial ordinária que modela a cinética
de retenção consideramos o método de Runge-Kutta 3a ordem (ASCHER; MATTHEIJ;
RUSSELL, 1994). Para a simulação numérica da equação do transporte de partículas em suspensão, utilizamos diferentes formulações do método dos volumes finitos para o opera-dor hiperbólico, tais como Upwind (Up), Lax-Friedrichs (LxF), Nessyahu-Tadmor (NT) e Kurganov-Tadmor (KT) (LAX, 1954; PATANKAR, 1980; NESSYAHU; TADMOR, 1990; KURGANOV; TADMOR, 2000) e diferenças centradas para o operador elíptico (LEVE-QUE, 1992). Em particular, destacamos o método KT para equações hiperbólicas, que consiste em um esquema central cuja aproximação da solução é de segunda ordem. Vale ressaltar que a precisão do método KT é de extrema importância para os problemas apli-cados que são desenvolvidos, uma vez que as soluções possuem fortes camadas limites e, portanto, são difíceis de serem capturadas com precisão utilizando métodos clássicos, tais como Upwind e LxF.
Com o objetivo de validar os esquemas numéricos, bem como analisar a acurácia do método dos volumes finitos, soluções numéricas são confrontadas com soluções ana-líticas (LAPIDUS; AMUNDSON, 1952; SANTOS; ARAÚJO, 2015; FARAJZADEH et al., 2016). Inicialmente, realizamos simulações numéricas para o problema do transporte de partículas e retenção considerando o modelo clássico (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970), onde a retenção é ilimitada e os efeitos da dispersão hidrodinâmica e adsorção são desconsiderados na equação do transporte. Incorporamos ao modelo os fenômenos de dispersão hidrodinâmica e adsorção, avaliamos a acurácia do método de volumes finitos KT comparando as soluções analíticas e numéricas para casos particulares, onde a ad-sorção é linear e o coeficiente de filtração é constante. Finalmente, realizamos simulações numéricas envolvendo todos os termos do modelo matemático considerando casos mais gerais.
Como aplicação da modelagem numérica desenvolvida, propomos utilizar as soluções discretas do método KT para aferição dos parâmetros efetivos do modelo matemático para
transporte e retenção. Neste contexto, propomos um processo de otimização de funções multivariáveis utilizando mínimos quadrados a fim de ajustar as soluções numéricas com resultados obtidos experimentalmente. Como resultado, obtemos os parâmetros efetivos do modelo considerando perfis experimentais para concentrações efluente e retida de par-tículas disponíveis na literatura (DOMINGUEZ; WILLHITE, 1977; SORBIE; PARKER; CLIFFORD, 1987; BRADFORD et al., 2002; MANICHAND; SERIGHT et al., 2014).
Em suma, desenvolvemos nesta dissertação um modelo matemático para a injeção de partículas em meios poroso incorporando os fenômenos de dispersão e adsorção. Além disso, rededuzimos soluções analíticas para o modelo da filtração profunda considerando retenção limitada de partículas. Propomos a extensão do modelo incorporando o termo de adsorção e rededuzimos uma solução analítica considerando o coeficiente de filtração constante. Na modelagem computacional, discretizamos o modelo matemático proposto via métodos de volumes finitos de alta ordem e diferenças finitas. Finalmente, aplicamos o esquema numérico desenvolvido nesta dissertação no desenvolvimento de uma metodo-logia capaz de aferir com precisão os coeficientes efetivos do modelo matemático proposto baseado em uma técnica de otimização.
Do ponto de vista organizacional, além do capítulo introdutório e apêndices A e B, a dissertação se divide em quatro capítulos e uma conclusão. No Capítulo 2 apresentamos a modelagem matemática que consiste em uma dedução de equações diferenciais que mo-delam o fenômeno de filtração profunda em meios porosos. Adicionalmente, discutimos a teoria dos múltiplos mecanismos de retenção e o problema do valor de contorno móvel. Partindo de um modelo reduzido, deduzimos soluções analíticas para o problema do va-lor de contorno móvel. Incorporamos a adsorção, via isoterma de Langmuir, ao modelo reduzido e rededuzimos a solução analítica para um coeficiente de filtração constante. No Capítulo 3, desenvolvemos a discretização do sistema de equações pelo método dos volumes finitos e das diferenças finitas baseado em formulações totalmente discreta e semi-discreta do método KT e Runge-Kutta, com o intuito de modelar numericamente o fenômeno da filtração profunda. No Capítulo 4, apresentamos as soluções analíticas para três casos de coeficientes de filtração considerando retenção limitada: caso constante, caso linear e caso não linear. Além disso, apresentamos os resultados das simulações numéri-cas para os numéri-casos propostos e fazemos uma análise de acurácia dos métodos comparando com as soluções analíticas. No Capítulo 5, utilizamos o esquema numérico desenvolvido juntamente com uma técnica de otimização e resultados experimentais da literatura com o objetivo de obter os parâmetros efetivos do modelo matemático. Por fim, no Capítulo 6 apresentamos as conclusões e recomendações para trabalhos futuros.
Modelagem Matemática do Transporte de
Partículas
Neste capítulo desenvolvemos a modelagem matemática baseada em equações dife-renciais parciais para o transporte de partículas em meios porosos considerando reten-ção mecânica limitada e adsorreten-ção das partículas (SANTOS; ARAÚJO, 2015; SANTOS; BARROS, 2010). Para tanto, partimos do modelo proposto por Santos e Barros (2010) e obtemos um modelo matemático baseado nas leis de conservação de massa das partículas em suspensão e retidas, incorporando os efeitos da dispersão hidrodinâmica e adsorção. Assumimos o meio poroso homogêneo saturado por um único fluido incompressível e es-coamento unidimensional, temos que a velocidade de Darcy é constante. Por sua vez, o transporte das partículas em suspensão é quantificado considerando a equação do balanço de massa das partículas na fase fluida. No modelo matemático são incorporados os efei-tos da dispersão hidrodinâmica das partículas, advecção dominante, retenção mecânica e adsorção (SORBIE, 1991). Desta forma, a equação para o movimento das partículas em suspensão é dada por uma equação diferencial parcial em regime elíptico/hiperbólico não homogênea (TIEN; RAMARO, 1995). Para o fechamento do sistema de equações, a concentração de partículas retidas é modelada como um processo de cinética dado por uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e o processo de adsorção instantâ-nea é quantificado por isotermas incorporando uma não liinstantâ-nearidade adicional ao modelo matemático (LOGAN, 2001; SANTOS; BEDRIKOVETSKY, 2006).
2.1. Modelo matemático para filtração profunda
Para a modelagem matemática do movimento das partículas em suspensão, considera-mos que as partículas estão em suspensão em um fluido deslocante incompressível sujeitas aos mecanismos de retenção dados pelo fenômeno de filtração profunda e adsorção ins-tantânea. Além disso, consideramos que as partículas se movem com uma velocidade que depende da velocidade do fluido, dispersão hidrodinâmica e adsorção. Como hipóteses simplificadoras, assumimos o meio poroso homogêneo tal que o escoamento do fluido e
transporte das partículas é reduzido à forma unidimensional. Denotamos ck = ck(x, t),
sk = sk(x, t) e γk = γk(x, t; ck), com k = {1, 2, . . . , n}, as concentrações da k-ésima
tícula em suspensão, retida e adsorvida, respectivamente. Portanto, o balanço de massa das k-partículas em suspensão é dado na forma (GENUCHTEN; WIERENGA, 1976; SANTOS; BARROS, 2010): φ∂ck ∂t + VD ∂ck ∂x − Dk ∂2c k ∂x2 = − ∂sk ∂t − ∂γk ∂t , em (0, L) × (0, t], (2.1)
onde L é o comprimento do meio poroso com φ, VD a porosidade do meio e velocidade
de Darcy, respectivamente. Por sua vez, Dk é o coeficiente de dispersão hidrodinâmica
efetivo da k-ésima partícula dado na forma (PERKINS; JOHNSTON, 1963):
Dk = D0,k + ω1,kV
ω2,k
D , (2.2)
com D0,k o coeficiente de difusão molecular efetivo e ω1,k, ω2,k constantes obtidas
experi-mentalmente.
Para retenção mecânica devido à exclusão pelo tamanho, consideramos que cada par-tícula bloqueia um único poro, ou seja, uma vez bloqueado, o poro torna-se inacessível ao fluxo. Na modelagem matemática, assumimos a taxa de retenção de partículas proporci-onal ao fluxo de partículas em suspensão. Dessa forma, considerando a fase sólida rígida e incompressível, o modelo matemático para a cinética de retenção mecânica é dado na forma (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970):
∂sk
∂t = ˆλk(sk)VDck, em [0, L] × (0, t], (2.3)
onde ˆλk = ˆλk(sk) é o coeficiente de filtração que quantifica a probabilidade de retenção
por unidade de comprimento. Nas equações (2.1), (2.2) e (2.3), propomos reescrever as variáveis do problema na forma:
X := x L; T := VDt Lφ; P ek := VDL Dk ; λk:= ˆλkL; σk:= sk φ; Γk := γk φ, (2.4)
onde X é a coordenada espacial adimensional, T o tempo adimensional e P e o número de Péclet. Substituindo as variáveis (2.4) em (2.1) e (2.3), obtemos uma nova versão do modelo na forma:
Encontrar c, σ : R → (0, 1) × (0, T ] tal que ∂ck ∂T + ∂ck ∂X − 1 P ek ∂2c k ∂X2 = − ∂σk ∂T − ∂Γk ∂T , ∂σk ∂T = λk(σk)ck. (2.5a) (2.5b)
(a) Sólido Sólido Sólido Sólido Partícula Partícula Dispersão (b) Sólido Sólido Sólido Sólido Fluxo
Figura 2.1: Exclusão pelo tamanho durante a filtração profunda: (a) σk < σmax,k e (b)
σk= σmax,k.
proposta por Araújo e Santos (2013) na forma: λk(σk) = λ0,k 1 − σk σmax,k , (2.6)
onde λ0,k é o coeficiente de filtração inicial e σmax,k é o coeficiente de retenção máxima
dependente da distribuição de poros e de partículas (SHARMA et al., 2000).
Em seu trabalho, Santos e Araújo (2015) propuseram uma versão reduzida do modelo
(2.5a)–(2.5b), onde foi desprezado os efeitos da adsorção (Γk = 0) e dispersão
hidrodi-nâmica (Dk = 0). Além disso, o modelo considera ainda que o meio poroso contém uma
fração de poros com tamanho característico maior que o diâmetro da maior partícula injetada (ver Figura 2.1). Portanto, as partículas são capturadas pelo meio poroso até que todos os poros inferiores sejam bloqueados. Consequentemente, os poros abertos que restam são maiores que a maior partícula injetada e não ocorre retenção de partículas pelo fenômeno de exclusão pelo tamanho (SANTOS; BEDRIKOVETSKY; FONTOURA, 2008). Neste contexto, propomos uma retenção mecânica limitada, onde a função para o coeficiente de filtração é reescrito na forma:
λk(σk) = Λk(σk), σk < σmax,k 0, σk = σmax,k , (2.7)
onde o coeficiente de filtração, Λk = Λk(σk), governa o processo de captura das partículas. Podemos perceber que, para retenção mecânica de uma determinada partícula k, atingida
a retenção máxima σk = σmax,k todos os poros menores que a maior partícula foram
bloqueados e o processo de filtração é finalizado. Consequentemente, o coeficiente de
filtração é nulo (λk = 0) e todo o fluxo hidrodinâmico é redirecionado para os poros
maiores (ver Figura 2.1). Vale destacar que, nas equações (2.1)–(2.7) consideramos que as interações partícula/partícula são desprezadas, resultando em um coeficiente de filtração independente da concentração de partículas em suspensão (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970; TIEN; RAMARO, 1995).
Para o fechamento do modelo matemático (2.5a)–(2.5b) propomos condições inicial e de contorno. Supondo que inicialmente não há partícula em suspensão ou retida no meio poroso, temos que:
ck(X, 0) = σk(X, 0) = 0, ∀ X ∈ [0, 1]. (2.8)
Assumindo uma concentração total constante (c0) continuamente injetada com vazão
cons-tante, a condição de contorno para k-ésima partícula é dada na forma:
ck(0, T ) = αkc0, ∀ T ∈ [0, T ], (2.9)
onde αk representa a fração (0 ≤ αk ≤ 1) da k-ésima partícula injetada.
Considerando o equilíbrio termodinâmico, a adsorção da k-ésima partícula é dada por uma isoterma de Langmuir:
Γk(ck) =
βkck 1 + δkck
Γmax,k, (2.10)
onde Γmax,k é a concentração máxima de partículas adsorvida com βk, δk parâmetros
obtido experimentalmente (BOULINGUIEZ; CLOIREC; WOLBERT, 2008).
Portanto, a evolução do processo de filtração profunda consiste em resolver o sistema de equações diferenciais parciais (2.5a)–(2.5b) para o transporte das partículas em suspen-são e cinética de retenção das partículas juntamente com a isoterma (2.10) para adsorção das partículas e condições inicial e de contorno (2.8) e (2.9). Com o objetivo de mode-lar o comportamento médio para um conjunto de partículas (k = 1, 2, . . . , n), tal como proposto por Santos e Barros (2010) o modelo (2.5a)–(2.5b), (2.8)–(2.10) é resolvido para
Γ, definidas na forma: c(x, t) := n P k=1 αkck(x, t) n P k=1 αk ; σ(x, t) := n P k=1 αkσk(x, t) n P k=1 αk ; Γ(x, t) := n P k=1 αkΓk(x, t) n P k=1 αk , (2.11)
onde αk ∈ [0, 1] representa a fração da k-ésima partícula injetada em relação à
concentra-ção total.
2.2. Problema de valor de contorno móvel
Nesta seção, com o objetivo de obter soluções analíticas, consideramos um modelo re-duzido onde desprezamos os efeitos da dispersão (P e → ∞) e adsorção (Γ = 0). Portanto, o sistema de equações (2.5a)–(2.5b) e (2.7) é reescrito considerando apenas um tipo de partícula na forma:
Encontrar c, σ : R → (0, 1] × (0, T ] tal que ∂c ∂T + ∂c ∂X = − ∂σ ∂T, ∂σ ∂T = Λ(σ)c, (2.12a) (2.12b) onde as condições iniciais e de contorno são dadas por
c(X, 0) = σ(X, 0) = 0 e c(0, T ) = c0. (2.13)
Consideramos que o fenômeno de exclusão pelo tamanho atinge uma retenção máxima onde os poros menores são bloqueados e o fluxo é redirecionado para os poros maiores. Portanto, a modelagem do transporte de partículas exibe uma fronteira móvel. Neste cenário, na modelagem matemática do processo de injeção de partículas em meios porosos
surge uma variável de fundamental importância que consiste do tempo T∗ = T∗(X) em
que a retenção máxima é atingida em um ponto X ∈ [0, 1] do domínio espacial. Denotando
T0∗ o tempo em que a retenção máxima é atingida em X = 0, temos que:
σ(X = 0, T0∗) = σmax. (2.14)
Para tempos T > T0∗, a retenção máxima é continuamente atingida ao longo de todo o
meio poroso. Portanto, para qualquer posição X1 ∈ [0, 1] temos que no tempo T = T∗(X1)
Figura 2.2: Esboço do deslocamento da frente de retenção máxima.
dada na forma:
σ (X, T∗(X)) = σmax. (2.15)
Além disso, quando σ = σmax o coeficiente de filtração é igual a zero e a concentração
de partículas em suspensão é igual a concentração injetada (c0), logo:
c (X, T∗(X)) = c0. (2.16)
Para um meio poroso homogêneo, T = T∗(X) é uma função monótona crescente e a
frente de retenção máxima se propaga no meio com velocidade V definida na forma:
V = dT
∗(X)
dX −1
. (2.17)
Nas discussões a seguir, além da solução analítica para o sistema de equações (2.12a)–
(2.12b) apresentamos uma metodologia para calcular T = T∗(X). Para a solução no
tempo T0∗ = T∗(X = 0) utilizamos a equação (2.12b) na seção X = 0 e a condição de
contorno (2.13), logo, temos que:
dσ(0, T )
dT = Λ(σ(0, T ))c0. (2.18)
Integrando a equação acima e substituindo a condição de contorno (2.14), temos que:
T0∗ = 1 c0 lim σ(0,T )→σmax σ(0,T )
Z
0 dξ Λ(ξ). (2.19)É importante observar que para determinados coeficientes de filtração, a integral na
igualdade acima pode divergir (SANTOS; ARAÚJO, 2015). Nestas situações, T0∗ tende
coeficiente de filtração Λ(σ) dado na forma: Λ(σ) = λ0(1 − bσ). (2.20) Substituindo (2.20) em (2.19), obtemos: T0∗ = − 1 λ0bc0 ln (1 − bσmax). (2.21)
Portanto, fazendo bσmax → 1, temos que T0∗ → ∞ e σmax nunca é atingido. Por outro
lado, se T0∗ é finito o problema de valor de contorno móvel pode ser considerado para os
próximos tempos T ≥ T0∗ . Agora, considerando um coeficiente de filtração Λ(σ) na forma:
Λ(σ) = λ0 r 1 − σ σmax , (2.22) e substituindo (2.22) em (2.19) obtemos: T0∗ = 2 λ0 σmax c0 . (2.23)
Na sequência do texto vamos discutir como obter T∗(X) para qualquer X ∈ (0, 1].
2.3. Soluções analíticas do modelo reduzido
Nesta seção propomos soluções analíticas para o modelo reduzido (2.12a)–(2.12b) e (2.13) usando o método das características (ALVAREZ, 2004). Definindo a mudança de variável ψ(σ) := σ
Z
0 dξ Λ(ξ), (2.24)e derivando ψ(σ) em relação a T e usando (2.24), temos que: ∂ψ(σ) ∂T = dψ dσ ∂σ ∂T = 1 Λ(σ) ∂σ ∂T. (2.25)
Agora, combinando a equação (2.12b) e (2.25), obtemos
c = 1 Λ(σ) ∂σ ∂T = ∂ψ(σ) ∂T , (2.26)
e substituindo (2.26) na equação (2.12a), resulta em: ∂ ∂T ∂ψ(σ) ∂T + ∂ψ(σ) ∂X = −∂σ ∂T. (2.27)
Integrando a equação (2.27) juntamente com a condição inicial (2.13), obtemos: ∂ψ(σ)
∂T +
∂ψ(σ)
∂X = −σ. (2.28)
Vale destacar que, a expressão (2.7) assegura que a equação (2.28) só é válida para os
valores de σ < σmax. Tomando o diferencial total da função ψ = ψ(σ), temos que
dψ(σ) dT = ∂ψ(σ) ∂T + ∂ψ(σ) ∂X dX dT , (2.29) e dψ(σ) dX = ∂ψ(σ) ∂T dT dX + ∂ψ(σ) ∂X . (2.30)
Combinando (2.28) com (2.29)–(2.30) temos que, ao longo das curvas características dX/dT = 1 ou dT /dX = 1, a equação (2.28) pode ser reescrita como uma EDO na forma: dψ(σ) dX = −σ, (2.31) ou dψ(σ) dT = −σ. (2.32)
Agora, substituindo (2.24) em (2.31)–(2.32) e utilizando a regra de Leibniz resulta em: dσ
dX = −Λ(σ)σ, (2.33)
ou
dσ
dT = −Λ(σ)σ. (2.34)
Para deduzir as soluções analíticas, faremos uso da condição de Rankine-Hugoniot que estabelece a condição do salto da solução para uma dada solução inicial descontínua (ver Apêndice A)(LEVEQUE, 1992). Para tanto, propomos o particionamento do domínio das características tempo/espaço nas seguintes regiões (ver Figura 2.3):
R1 = {(X, T ); 0 ≤ X ≤ 1, 0 ≤ T < X} ; (2.35) R2 = {(X, T ); 0 ≤ X ≤ 1, X ≤ T < X + T0∗} ; (2.36) R3 = {(X, T ); 0 ≤ X ≤ 1, X + T0∗ ≤ T < T ∗ (X)} ; (2.37) R4 = {(X, T ); 0 ≤ X ≤ 1, T ≥ T∗(X)} . (2.38)
Figura 2.3: Regiões R1, R2, R3 e R4 e as correspondentes curvas características.
É importante destacar que os subdomínios R1 e R2 são as clássicas regiões do problema
de Riemann separadas pela reta T = X que caracteriza o choque da solução. Além disso,
as regiões R3 e R4 surgem devido à condição de contorno móvel (retenção limitada)
sepa-rada pela evolução do tempo característico T∗ = T∗(X). Vale destacar que, considerando
a retenção limitada, o tempo característico T∗ = T∗(X) surge como uma incógnita no
problema. Portanto, a dedução das soluções do sistema de equações (2.12a)–(2.12b) fica
inteiramente dependente do cálculo do T∗ = T∗(X). A seguir deduzimos a solução
ana-lítica do sistema de equações (2.12a)–(2.12b) para cada subdomínio R1, R2, R3 e R4.
Na região R1:
Para os valores T < X, a condição de Rankine-Hugoniot assegura que os pares (X, T ) que satisfazem a restrição estão à frente do choque e a solução é dada pela condição inicial (2.13) (ver detalhes no Apêndice A). Portanto, integrando a equação (2.34) ao longo das características juntamente com as condições iniciais (2.13), a solução trivial para concentração de partículas retidas é dada na forma:
Substituindo (2.39) na equação (2.12a), a equação é reduzida a um clássico problema de Riemann. Dessa forma, aplicando o método das características juntamente com as
condições iniciais (2.13), obtemos na região R1a solução para a concentração de partículas
em suspensão:
c(X, T ) = 0, 0 ≤ T < X. (2.40)
Portanto, na região R1 as soluções para c e σ não dependem do coeficiente de filtração,
isto é, para quaisquer funções Λ(σ), a solução do sistema (2.12a)–(2.12b) é dada por (2.39)–(2.40).
Na região R2:
Integrando a equação (2.33) ao longo das características (ver Figura 2.3) resulta no seguinte perfil de partículas retidas:
σ(X,T )
Z
σ(0,T −X) du uΛ(u) = −X, X ≤ T < T ∗ 0 + X. (2.41)Por sua vez, o valor de σ(0, T − X) é obtido integrando a equação (2.12b) juntamente com a condição de contorno (2.13) na forma:
σ(0,T −X)
Z
0 du Λ(u) = c0(T − X), X ≤ T < T ∗ 0 + X. (2.42)Agora, no sistema (2.12a)–(2.12b) substituindo a equação de cinética na equação do trans-porte resulta em:
∂c
∂T +
∂c
∂X = −Λ(σ)c. (2.43)
Ao longo das características (dX/dT = 1), a equação (2.43) se reduz a: dc dX = −Λ(σ)c. (2.44) Combinando (2.33) e (2.44), obtemos d dX ln c σ = 0. (2.45)
temos que:
c(X, T ) = c0
σ(0, T − X)σ(X, T ), (2.46)
onde σ(X, T ) e σ(0, T − X) são obtidos a partir da solução das equações (2.41)–(2.42), respectivamente.
Portanto, na região R2, conhecida a função Λ(σ) a solução do sistema (2.12a)–(2.12b)
é dada pela solução das integrais (2.41)–(2.42) juntamente com (2.46).
Na região R3:
Devido às restrições de retenção mecânica máxima (2.15)–(2.16), a solução do sistema de equações (2.12a)–(2.12b) diferem significativamente da solução clássica do problema
de Riemann não homogêneo. Integrando a equação (2.33) na região R3, obtemos:
σ(X,T ) Z σ(X1,T∗(X1)) du uΛ(u) = − X Z X1 dX, T0∗+ X ≤ T < T∗(X1). (2.47)
Considerando a condição de contorno (2.15), temos que: σ(X,T ) Z σmax du uΛ(u) = −(X − X1), T ∗ 0 + X ≤ T < T ∗ (X1). (2.48)
Para um dado coeficiente de filtração Λ = Λ(σ) a equação acima permite determinar o
perfil de retenção de partículas na região R3. Além disso, integrando a equação (2.45)
jun-tamente com as restrições (2.15)–(2.16) podemos determinar a concentração de partículas em suspensão na forma:
c(X, T ) = c0
σmax
σ(X, T ). (2.49)
Um ponto importante é como determinar a fronteira móvel X1 em (2.48), uma vez que a
concentração de partículas em suspensão e retidas dependem desse valor que é desconhe-cido. Das curvas características, temos que:
dT
dX = 1 ⇔ T = X + C1 (2.50)
onde C1 é a constante de integração. Como ilustra a Figura 2.3, para cada curva
caracte-rística existe um único valor de X1. Portanto, definimos a parametrização:
X1 := X1(ξ), ξ := X − T, (2.51)
correspondente X1 sobre as curvas características partindo dos pontos (X1, T∗(X1)) na
curva T∗(X) (ver Figura 2.3). Derivando ambos os lados da equação (2.48) em relação a
T e utilizando a expressão (2.51) temos que: 1 σΛ(σ) ∂σ ∂T = ∂X1(ξ) ∂T ⇔ ∂σ ∂T = σΛ(σ) ∂X1(ξ) ∂T = −σΛ(σ) dX1(ξ) dξ . (2.52)
Por sua vez, substituindo a solução (2.49) na equação (2.12b) obtemos: ∂σ
∂T = Λ(σ)
c0
σmax
σ. (2.53)
Combinando as equações (2.52)–(2.53), segue que:
dX1(ξ)
dξ = −
c0
σmax
. (2.54)
Das equações (2.14) e (2.15), temos que T = T0∗ ⇒ X1 = 0. Logo, considerando (2.51) em
X = 0, segue a condição:
X1(−T0∗) = 0. (2.55)
Integrando a equação (2.54) e substituindo a condição (2.55), temos que:
X1(ξ) = −
c0
σmax
(ξ + T0∗). (2.56)
Usando a definição (2.51) em (2.56) obtemos a expressão:
X1(X, T ) =
c0
σmax
(T − X − T0∗), T − X > T0∗. (2.57)
Conhecendo a expressão para o coeficiente de filtração, a solução para a concentração de partículas retidas é obtida através da substituição da equação (2.57) em (2.48). Em se-guida, obtemos a concentração de partículas em suspensão c(X, T ) através da substituição da equação (2.48) em (2.49).
Finalmente, considerando o fato que X1(X, T∗(X)) = X, o tempo no qual a retenção
mecânica máxima é atingida é obtido imediatamente de (2.57) na forma:
T∗(X) = 1 + σmax c0 X + T0∗, (2.58)
onde T0∗ pode ser obtido da igualdade (2.19).
da frente de retenção máxima na forma: V = 1 + σmax c0 −1 . (2.59)
De posse da expressão acima, podemos observar que a velocidade de propagação é
inde-pendente do coeficiente de filtração. Além disso, sendo σmax/c0 positivo, V < dX/dT = 1.
Portanto, a frente de retenção máxima se propaga mais lentamente do que a frente de concentração de partículas em suspensão.
Portanto, na região R3, conhecendo a função Λ(σ), a solução do sistema (2.12a)–
(2.12b) é dada pela solução da integral (2.48), com X1 dado pela igualdade (2.57),
junta-mente com (2.49) para concentração de partículas retidas.
Na região R4:
Para T ≥ T∗(X), a retenção máxima é atingida e o coeficiente de filtração é nulo.
Consequentemente, a solução para o sistema (2.12a)–(2.12b) é dada na forma:
c(X, T ) = c0, T ≥ T∗(X); (2.60)
σ(X, T ) = σmax, T ≥ T∗(X). (2.61)
Portanto, na região R4, a solução é independente do coeficiente de filtração e a solução
do sistema de equações (2.12a)–(2.12b) é dada pelas expressões (2.60)–(2.61).
2.4. Soluções analíticas para o transporte com retenção mecânica
e adsorção Langmuir
Nesta seção obtemos soluções analíticas para o transporte de partículas considerando os fenômenos de retenção mecânica e adsorção (FARAJZADEH et al., 2016). No modelo matemático (2.5a)–(2.5b) se desprezarmos os efeitos da dispersão (P e → ∞) e conside-rarmos apenas um tipo de partícula, temos que:
Encontrar c, σ : R → (0, 1] × (0, T ] tal que ∂c ∂T + ∂c ∂X = − ∂σ ∂T − ∂Γ ∂T, ∂σ ∂T = Λ(σ)c, (2.62a) (2.62b) onde as condições iniciais e de contorno são dadas por
c(X, 0) = σ(X, 0) = 0 e c(0, T ) = c0. (2.63)
equação (2.62a) em (2.62b), obtemos: ∂
∂T(c + Γ(c)) +
∂c
∂X = −Λ(σ)c. (2.64)
Derivando o termo parabólico, a equação acima é reescrita em uma forma equivalente:
(1 + Γ0(c))∂c
∂T +
∂c
∂X = −Λ(σ)c. (2.65)
A equação (2.64) e sua forma equivalente (2.65) são equações hiperbólicas que, a depender das condições iniciais e de contorno (2.63), geram soluções descontínuas configurando um choque que se propaga no tempo/espaço (ver discussão detalhada em LeVeque (2004)). Considerando a condição de Rankine-Hugoniot, a velocidade de propagação do choque na equação (2.65) é dada na forma (ver Apêndice A):
dXf dT = [c] [c] + [Γ] e dTf dX = [c] + [Γ] [c] , (2.66)
onde Xf = Xf(T ) e Tf = Tf(X) representa a evolução da posição do choque para um
dado inicial descontínuo e a condição de salto no choque [S] := S+− S− é definido como
a diferença entre os valores à frente S+ e atrás S− do choque (LEVEQUE, 1992).
A fim de garantir a estabilidade e unicidade da solução do problema (2.62a)–(2.62a), (2.65), c(X, T ) deve satisfazer as condições de entropia de Lax (LAX, 1973) e Oleinik (OLEINIK, 1957) (ver detalhes no Apêndice A) (PANFILOV, 2019).
2.4.1. Solução para o transporte com adsorção Langmuir
Iniciamos considerando a solução para o caso particular da equação (2.65) na forma homogênea. Portanto, fazendo Λ(σ) = 0 temos que:
(1 + Γ0(c))∂c
∂T +
∂c
∂X = 0. (2.67)
A equação (2.67) juntamente com as condições iniciais e de contorno (2.63) caracteriza o problema do tipo Burger, dado por um problema de Riemann com velocidade variável (LEVEQUE, 1992; LEVEQUE, 2004; RIBEIRO, 2007). Portanto, definimos as curvas características X = X(T ) e T = T (X) na forma dX dT = 1 1 + Γ0(c) e dT dX = 1 + Γ 0 (c). (2.68)
Vale ressaltar que ao longo das curvas características temos que d dTc(X(T ), T ) = dX dT ∂c ∂X + ∂c ∂T = 0 (2.69)
e d dXc(X, T (X)) = ∂c ∂X + dT dX ∂c ∂T = 0, (2.70)
ou seja, c é constante ao longo de X(T ) e T (X). Portanto, as curvas características da equação (2.67) são retas com inclinações dadas pela equação (2.68). Substituindo a isoterma de Langmuir (2.10) em (2.68), temos que:
dX dT = 1 + βΓmax (1 + δc)2 −1 e dT dX = 1 + βΓmax (1 + δc)2. (2.71)
Integrando as equações acima, obtemos a trajetória das curvas características X = X(T )
X = X0+ T Z 0 dT 1 + βΓmax(1 + δc) −2, ∀ X0 ∈ [0, 1], (2.72)
partindo do eixo das abscissas na posição X0, e T = T (X)
T = T0+ X + βΓmax X Z 0 dX (1 + δc)2, ∀ T0 ∈ [0, tf], (2.73)
partindo do eixo das ordenadas no tempo T0. No eixo das abscisas, onde T = 0, a condição
inicial (2.63) garante que c(X, 0) = 0. Logo, as curvas (2.72) partem do eixo X na forma da reta:
X = X0+
T
1 + βΓmax
. (2.74)
Analogamente, no eixo das ordenadas, onde X = 0, a condição de contorno (2.63) garante
que c(0, T ) = c0. Logo, as curvas (2.72) partem do eixo T na forma da reta:
T = T0+ 1 + βΓmax (1 + δc0) 2 X. (2.75)
É importante observar que as famílias de curvas características (2.74) e (2.75) possuem inclinações diferentes. Consequentemente, as curvas se cruzam e o problema perde unici-dade. Isso ocorre devido à descontinuidade da solução gerada pelas condições inicial e de contorno (2.63). Portanto, precisamos delimitar as regiões onde c(X, T ) vale a condição inicial c(X, 0) e onde c(X, T ) vale a condição de contorno c(0, T ), para todo (X, T ). A trajetória da curva característica que delimita essas duas regiões é dada pela evolução da
equação do transporte (2.67) na forma (LEVEQUE, 1992): c(X, T ) = c0, T ≥ Tf(X), 0, T < Tf(X). (2.76)
Para determinar Tf(X), usamos a condição de Rankine-Hugoniot (2.66) dada por:
dTf
dX =
c+− c−+ Γ(c+) − Γ(c−)
c+− c− , (2.77)
onde a solução à frente do choque é dada pela condição inicial, i.e., c+ = 0. Por sua vez,
atrás do choque a condição de contorno garante que c− = c0. Substituindo c− na equação
(2.77) e integrando a equação resultante, obtemos:
Tf = 1 + βΓmax 1 + βc0 X. (2.78)
Na Figura 2.4 traçamos o plano das características T –X com as respectivas trajetórias
das curvas características à frente e atrás da frente de choque Tf(X). É importante
ob-servar a diferença nas inclinações das curvas características. Portanto, obter uma solução única para equação do transporte (2.64) requer, necessariamente, uma condição adicional, tal como Rankine-Hugoniot. Portanto, ao longo das características T = T (X), a solução da equação (2.67) é obtida substituindo (2.78) em (2.77) na forma:
c(X, T ) = c0, T ≥ 1 + βΓmax 1 + δc0 X, 0, T < 1 + βΓmax 1 + δc0 X. (2.79)
Vale ressaltar que a solução para o problema de Riemann é obtida de maneira análoga à (2.79). A equação de Riemann equivale à equação (2.67) com Γ = 0. Neste caso, a solução é a propagação da solução inicial descontínua com velocidade constante dX/dT = 1. Para o caso da equação (2.79) a solução inicial do problema se propaga com velocidade
dX/dT = (1 + Γ(c0))
−1 < 1.
2.4.2. Solução para o transporte com retenção mecânica e adsorção Langmuir Seguimos a seção obtendo a solução da equação do transporte com retenção mecânica e adsorção (FARAJZADEH et al., 2016). Para tanto, reescrevemos a equação (2.65) sobre as características (2.68) na forma das EDOs:
dc
dX = −Λ(σ)c e
dc
Figura 2.4: Trajetória das curvas características para T (X), X(T ) e Tf(X) .
Consideramos o caso particular com Λ(σ) dada pela função constante
Λ(σ) = λ0 ∈ R. (2.81)
Substituindo (2.81) na equação (2.80) e integrando a EDO resultante obtemos a solução para c = c(X, T ) na forma: c(X, T ) = c0exp(−λ0X), T ≥ Tf(X), 0, T < Tf(X). (2.82)
Integrando a equação (2.73) usando a solução (2.82) para T ≥ Tf(X) obtemos a trajetória
das curvas características T = T (X) na forma:
T = T0 + X −βΓmax λ0 − ln(1 + δ exp(−λ0X)) + ln(1 + δ) + 1 1 + δ exp(−λ0X) − 1 1 + δ − λ0X . (2.83)
Para T < Tf(X) a trajetória das curvas características X = X(T ) é dada pela equação
Figura 2.5: Trajetória das curvas características para T (X), X(T ) e Tf(X) .
É importante observar na solução (2.82) que c(X, T ) decresce monotonicamente ao
longo das características de c(X, T ) = c0 até c(X, T ) = 0 com X tendendo a infinito. Logo,
as inclinações das curvas características aumentam de 1 + βΓmax/(1 + δc0)
2
em X = 0
até 1 + βΓmax à medida que X tende a infinito. Além disso, as características que partem
do eixo das ordenadas em T = 0 possuem inclinação maior do que as características que partem do eixo das abscissas em X = 0. Consequentemente, as famílias de curvas características se cruzam, i.e.,
dT dX = 1 + Γ 0 (c) = 1 + βΓmax (1 + δ exp(λ0X))2 < 1 + Γ0(0) = 1 + βΓmax. (2.84)
Substituindo a solução c− (2.82) na equação (2.77), obtemos a trajetória da curva
carac-terística do choque Tf(X): Tf = X + βΓmax X
Z
0 dX 1 + δ exp(−λ0X) = X(1 + βΓmax) + βΓmax λ0 ln 1 + δ exp(−λ0X) 1 + δ . (2.85) Na Figura 2.5 traçamos o plano das características T –X com as respectivas trajetóriasdas curvas características à frente e atrás da frente de choque Tf = Tf(X). É importante observar que a trajetória das curvas características atrás do choque e a trajetória de
Tf = Tf(X) sofrem uma deformação devido à solução exponencial para c(X, T ).
Portanto, a solução do sistema (2.62a)–(2.62b) sujeito às condições (2.63) com Λ(σ) constante dado por (2.81) é reescrita substituindo (2.85) em (2.82) na forma:
c(X, T ) = c0exp(−λ0X), T ≥ X(1 + βΓmax) + βΓmax λ0 ln 1 + δ exp(−λ0X) 1 + δ , 0, T < X(1 + βΓmax) + βΓmax λ0 ln 1 + δ exp(−λ0X) 1 + δ . (2.86)
Para os tempos T ≥ Tf(X), a solução para a variável σ = σ(X, T ) é obtida integrando a
equação (2.62b) com Λ(σ) dada por (2.81) considerando as condições (2.63) na forma:
σ(X, T ) = λ0c0(T − Tf(X)) exp(−λ0X). (2.87)
Substituindo (2.85) na equação acima, obtemos:
σ(X, T ) = λ0c0 T − X(1 + βΓmax) − βΓmax λ0 ln 1 + δ exp(−λ0X) 1 + δ exp(−λ0X). (2.88)
Métodos de Volumes Finitos
Neste capítulo propomos a discretização do modelo matemático para a filtração pro-funda em meios porosos utilizando o método dos volumes finitos (PATANKAR, 1980). Mais especificamente, estamos interessados no método de alta ordem desenvolvido por Kurganov & Tadmor (KURGANOV; TADMOR, 2000). Inicialmente discutimos a for-mulação clássica de volumes finitos e apresentamos o esquema explícito para o método Upwind. Em seguida, discutimos a discretização das equações via esquemas centrais Lax-Friedrichs (LxF), Nessyahu-Tadmor (NT) e Kurganov-Tadmor (KT). Uma das vantagens do método dos volumes finitos é a possibilidade de discretizar o modelo a partir da forma integral da lei de conservação, que assegura a conservação de massa no interior de cada volume de controle quando se utiliza esquemas conservativos.
Vale destacar que, a derivação das equações discretas pode ser obtida combinando os métodos de volumes finitos e diferenças finitas (LEVEQUE, 2004). Neste contexto, discutiremos a discretização das equações (2.5a)–(2.5b) utilizando o método dos volumes
finitos assumindo P e → ∞, λk(σk) = 0 e βk = 0. Em seguida, os termos desconsiderados
na equação do transporte (2.5a) são incorporados na discretização utilizando o método das diferenças finitas e método de Newton. Para a EDO que modela a cinética de retenção utilizamos o método de diferenças finitas de Runge-Kutta de alta ordem.
3.1. Método dos volumes finitos para equações conservativas
Denotando c = c(X, T ) a variável conservativa de interesse, o problema modelo é dado na forma:∂c
∂T +
∂f
∂X = 0, em (0, 1] × (0, tf], (3.1)
onde f = f (c) é denominada função de fluxo com X e T as coordenadas espacial e temporal adimensionais.
O método dos volumes finitos consiste em subdividir o domínio espacial em intervalos (ou “células”) comumente denominados de “volumes finitos”. Neste trabalho adotamos a
notação Ci para o i-ésimo volume de controle em torno de cada nó genérico Xi da malha
espacial, com i = {1, 2, . . . , NX}, onde NX é o número de nós da malha (ver Figura 3.1).
Além disso, o domínio temporal é discretizado em um passo de tempo arbitrário ∆T = 39
Figura 3.1: Discretização do domínio espacial para o método dos volumes finitos.
Tn+1 − Tn, com n = {0, 1, . . . , N
T}, onde NT é o número total de passos temporais.
Seguindo os passos do método dos volumes finitos, integramos a equação conservativa
(3.1) no volume Ci =Xi−1/2, Xi+1/2 e no intervalo [Tn, Tn+1]:
Z Ci Tn+1 Z Tn ∂ ∂Tc(X, T )dT dX = − Tn+1 Z Tn Z Ci ∂ ∂Xf (c(X, T ))dXdT. (3.2)
Fazendo uso do teorema fundamental do cálculo temos que: Z Ci c X, Tn+1dX = Z Ci c(X, Tn)dX − Tn+1 Z Tn f (c(X, T )) Ci dT. (3.3)
De acordo com a definição do volume de controle e cálculo da integral temporal do fluxo surgem diferentes versões dos esquemas de volumes finitos (PATANKAR, 1980).
Definindo Ci = [Xi−1/2, Xi+1/2] tal como descrito na Figura 3.1 e calculando a integral
temporal do fluxo pela regra do ponto médio, obtemos a forma explícita:
Xi+1/2 Z Xi−1/2 c X, Tn+1dX = Xi+1/2 Z Xi−1/2 c(X, Tn)dX − ∆Tf cni+1/2 − f cni−1/2. (3.4)
Durante o texto, utilizamos a notação padrão fin := f (Xi, Tn) para funções aplicadas no
ponto (Xi := i∆X, Tn:= n∆T ). Definindo a solução média em cada volume de controle
na forma: ¯ cni ≈ ¯c(Xi, Tn) := 1 ∆X Z Ci c(X, Tn)dX. (3.5)
Agora substituindo (3.5) em (3.4) obtemos a forma geral dos métodos explícitos: ¯ cn+1i = ¯cni − ∆T ∆Xf c n i+1/2 − f c n i−1/2. (3.6)
onde as soluções são calculadas atarasadas na forma (LEVEQUE, 2004):
f (cni+1/2) ≈ f (cni) e f (cni−1/2) ≈ f (cni−1). (3.7)
Substituindo (3.7) em (3.4), obtemos o método Upwind na forma: ¯ cn+1i = ¯cni − ∆T ∆Xf (c n i) − f c n i−1. (3.8)
Vale ressaltar que o esquema numérico (3.8) representa uma aproximação de primeira ordem da equação (3.1) (LEVEQUE, 2004). Incorporando o efeito da dispersão na equação (3.1), temos que:
∂c
∂T +
∂
∂X(f − q) = 0, (3.9)
onde f = f (c) é termo advectivo e q = cX é a derivada espacial. Integrando a equação
conservativa (3.9) no volume de controle e no tempo, temos que: Z Ci Tn+1 Z Tn ∂ ∂Tc(X, T )dT dX = − Tn+1 Z Tn Z Ci ∂ ∂Xf (c(X, T )) − ∂ ∂XcX(X, T ) dXdT. (3.10)
Utilizando o teorema fundamental do cálculo e regra do retângulo para os fluxos, obtemos:
Xi+1/2 Z Xi−1/2 c X, Tn+1dX = Xi+1/2 Z Xi−1/2 c(X, Tn)dX − ∆Tf cni+1/2 − f cni−1/2 + ∆Th(cX)ni+1/2− (cX)ni−1/2 i . (3.11) Substituindo (3.5) em (3.11) obtemos: ¯ cn+1i = ¯cni − ∆T ∆Xf (c n i) − f c n i−1 + ∆T ∆X h (cX)ni+1/2− (cX)ni−1/2 i . (3.12)
Finalmente, aproximando as derivadas (cX)ni±1/2por diferenças finitas centradas, obtemos:
¯ cn+1i = ¯cni − ∆T ∆Xf (c n i) − f c n i−1 + ∆T ∆X cn i+1− cni ∆X − c n i − cni−1 ∆X . (3.13)
Nas próximas seções discutimos aproximações de segunda ordem do método dos vo-lumes finitos baseado no algoritmo REA. Para tanto, construímos a aproximação para o método Lax-Friedrichs (LxF) (LAX, 1954). Em seguida, partimos para construção dos métodos de alta ordem Nessyahu-Tadmor (NT) e Kurganov-Tadmor (KT) (NESSYAHU; TADMOR, 1990; KURGANOV; TADMOR, 2000). Vale destacar que, dependendo da hiperbolicidade do problema e solução inicial, temos soluções com fortes choques e,
conse-quentemente, são difíceis de serem capturadas com precisão utilizando métodos clássicos de baixa ordem, tais como LxF e Upwind (LEVEQUE, 2004).
3.2. Métodos de Godunov para equações conservativas
Os métodos de Godunov propõem discretizar a equação diferencial via algoritmo REA (reconstruct-evolve-average) (GODUNOV, 1959). O objetivo principal é calcular com acu-rácia as soluções nos nós do volume de controle (ABREU; PEREIRA; RIBEIRO, 2009). Podemos perceber nas equações (3.2)-(3.3) que o cálculo dos fluxos são dependentes das soluções nos nós do volume de controle. Considerando a abordagem do algoritmo REA as
soluções dos nós, cn
i±1/2, são reconstruídas de forma acurada integrando uma
rediscretiza-ção das equações em volumes duais. Dessa forma, evitamos o cálculo de soluções médias nas interfaces dos volumes de controle que incorporam considerável erro numérico. Neste contexto, fazendo uso da solução média (3.5), descrevemos o algoritmo REA:
Passo R (Reconstruct ): reconstrua uma aproximação polinomial por partes definida
em cada volume de controle, a partir de cada solução média ¯cn
i com i = 1, . . . , NX. Para
uma aproximação constante por partes, a reconstrução é dada pela solução média no
ponto xi em tn na forma:
˜
c(X, Tn) = ¯cni, ∀ X ∈ Ci. (3.14)
Passo E (Evolve): evolua a equação modelo de forma exata (ou aproximada), como
em (3.3), para obter a solução média ˜c(X, Tn+1) na malha dual.
Passo A (Average): tome a média sobre cada célula (Ci) utilizando as soluções na
malha dual para obter as novas soluções médias nos nós da malha real ¯ cn+1i = 1 |Ci| Z Ci ˜ c X, Tn+1dX. (3.15)
Repita os passos REA para n = {1, 2, . . . , NT}.
Dentre as propriedades necessárias à convergência dos métodos explícitos de volumes finitos destacamos a estabilidade. A fim de garantir a estabilidade dos métodos desen-volvidos neste capítulo, as formulações propostas devem satisfazer a condição necessária de convergência prescrita pelo número de Courant ou condição CFL (COURANT; FRI-EDRICHS; LEWY, 1967) para problemas hiperbólicos, dada por:
CF L = max |f0(c)|∆T
∆X ≤ 1. (3.16)
con-dição de estabilidade do método pode ser ainda mais restritiva e, portanto, tomamos a desigualdade (3.16) apenas como referência.
3.2.1. Método de Lax-Friedrichs
Nesta seção propomos a discretização da equação modelo (3.1) via método de Lax-Friedrichs (LxF) (LAX, 1954; FRIEDRICHS, 1954). O método LxF consiste em um es-quema central de primeira ordem (caso particular dos métodos NT e KT) que irá propor uma reconstrução polinomial constante por partes dentro de cada volume de controle. A metodologia introduz à formulação discreta do método dos volumes finitos uma excessiva
e indesejada dispersão numérica da O(∆X2/∆T ) (ABREU; PEREIRA; RIBEIRO, 2009).
Por outro lado, o método LxF possui a vantagem de ser um esquema central, condicio-nalmente estável, cuja formulação se tornou base para os métodos de alta ordem. Neste contexto, propomos o método LxF para problemas hiperbólicos fazendo uso do algoritmo REA na forma:
Passo R: de posse das soluções cni = c(Xi, Tn) construímos uma aproximação
cons-tante dentro de cada volume de controle Ci = Xi−1/2, Xi+1/2, tal como apresentado na
Figura 3.2.
Passo E: para cada nó do volume de controle Xi±1/2construímos o volume de controle
dual Ci+1/2 = [Xi, Xi+1] e consideramos a equação (3.3) no intervalo genérico Ci+1/2 ×
[Tn, Tn+1] para obter: Xi+1 Z Xi c X, Tn+1dX = Xi+1 Z Xi c(X, Tn)dX − Tn+1 Z Tn [f (c(Xi+1, T )) − f (c(Xi, T ))]dT, (3.17)
Considerando uma malha homogênea, definimos a solução média no volume dual ¯cn+1i+1/2
na forma: ¯ cn+1i+1/2 ≈ ¯c Xi+1/2, Tn+1 := 1 ∆X Xi+1 Z Xi c X, Tn+1dX. (3.18)
Substituindo (3.18) em (3.17) e resolvendo a integral temporal do fluxo pela regra do ponto médio, temos que:
¯ cn+1i+1/2 = 1 ∆X Xi+1 Z Xi c(X, Tn)dX − ∆T ∆Xf c n i+1 − f (c n i). (3.19)
Figura 3.2: Esquemático do método LxF usando o Algoritmo REA.
Fazendo uso da reconstrução constante (3.14) e substituindo em (3.19), obtemos:
¯ cn+1i+1/2 = 1 ∆X Xi+1/2 Z Xi ¯ cnidX + Xi+1 Z Xi+1/2 ¯ cni+1dX − ∆T ∆Xf c n i+1 − f (c n i). (3.20)
Resolvendo as integrais, resulta em: ¯ cn+1i+1/2 = ¯c n i + ¯cni+1 2 − ∆T ∆Xf c n i+1 − f (c n i). (3.21)
De maneira análoga, definimos o volume de controle dual Ci−1/2 = [Xi−1, Xi] e repetindo
um procedimento análogo ao anterior para obtermos ¯cn+1i−1/2 temos que:
¯ cn+1i−1/2 = ¯c n i−1+ ¯cni 2 − ∆T ∆Xf c n i−1 − f (c n i). (3.22)
Passo A: a solução na malha real é definida na forma:
¯ cn+1i := 1 ∆X Xi+1/2 Z Xi−1/2 ˜ c X, Tn+1dX. (3.23)
temos que: ¯ cn+1i = 1 ∆X Xi Z Xi−1/2 ¯ cn+1i−1/2dX + Xi+1/2 Z Xi ¯ cn+1i+1/2dX = ¯ cn+1i−1/2+ ¯cn+1i+1/2 2 . (3.24)
Substituindo (3.21) e (3.22) em (3.24), obtemos o esquema central explícito de primeira ordem totalmente discreto para o método LxF na forma:
¯ cn+1i = ¯c n i−1+ 2¯cni + ¯cni+1 4 − ∆T 2∆Xf c n i+1 − f c n i−1. (3.25) 3.2.2. Método de Nessyahu-Tadmor
Nesta seção propomos a discretização da equação modelo (3.1) via método de Nes-syahu & Tadmor (NT) (NESSYAHU; TADMOR, 1990). O método NT consiste em um esquema central de segunda ordem (extensão imediata do método LxF e caso particular do método KT) onde a reconstrução constante por partes é substituída por polinômios
lineares. O esquema apresenta dispersão numérica, da ordem de O(∆X4/∆T ) (RIBEIRO,
2007), muito menor do que o método LxF. Por outro lado, o método NT possui a desvan-tagem de ser um esquema central, condicionalmente estável, cuja formulação totalmente discreta sofre com a perda de precisão em cenários onde o passo temporal ∆T precisa ser muito pequeno para garantir a estabilidade da formulação. Neste contexto, propomos o método NT para problemas hiperbólicos fazendo uso do algoritmo REA na forma:
Passo R: estendendo a formulação LxF propomos uma reconstrução em
Ci =Xi−1/2, Xi+1/2 na forma (ver Figura 3.3):
˜
c(X, Tn) = ¯cni + (cX)ni(X − Xi), ∀ X ∈ Ci. (3.26)
Na equação acima (cX)ni são aproximações das derivadas espaciais. A fim de garantir a
característica não oscilatória do método, propomos a utilização do limitador MinMod para o cálculo da derivada definido na forma (LEER, 1979):
(cX)ni := M M {∆1, ∆2} ≡ M inM od{∆1, ∆2} =
1
2(sign(∆1) + sign(∆2)) · min (|∆1| , |∆2|),
(3.27)
onde ∆j, com j = 1, 2, são as aproximações numéricas das derivadas. Neste trabalho,
uti-lizamos as aproximações clássicas de derivadas: backward e forward (PATANKAR, 1980). Além deste, utilizamos a definição da classe de limitadores UNO, que possui precisão maior do que a MinMod (3.27) (HARTEN; OSHER, 1987). Neste contexto, definimos as
