• Nenhum resultado encontrado

Taylor

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Taylor"

Copied!
8
0
0

Texto

(1)

�������� �

������ �� ���������

�������� ���� � ������ �� ���� �an(x− c)n � ���������� �� ������ �� ���������� ���� ��� ������ �� ���������� ������ R �� ���� � ����� �������� ���� |x − c| < R ��� �������� �� ��������� �� ���� R ��� ������ �� c� � ������� ���� ����� ���� ����� � ���������� �� ���� �� ������������� ������ ���� ������� �� ������� � ������������ ���� ���� ������ � ������ ���� ������� ��� ��������� � ������������ ���� ���� ������ ��������������� � ������ �� �������� ������� ��� �������� �� (x − c) ��������� �� n� ���� �� ���� �� sen x = ∞ � n=0 (−1)nx2n+1 (2n + 1)! ��� ��� 2n + 1 ���� ���������� ������ ������ �������� �� ���� �� ����� � ���� �� �������������

��� ���� �� ������������

��� ����� �� ����� � ���� �� ������������ R � ������� � ����� �� ����� �� �� ����� ��������� ��������� �� (x − c) ���� ���������� ������� �� x �� ���� � ������ ��������� ������� ���� � n enx3n+5� ������������ � ����� ����� an = ennx3n+5� ��������� �� ��������� �� x− c� ����� ��� r = lim n→∞ |an+1| |an| = lim n→∞ (n + 1) n en+1 en |x|3(n+1)+5 |x|3n+5 = limn→∞ (n + 1)e n |x| 3 = ∞ ∞ L�Hopital = lim n→∞ e|x|3 1 = e|x| 3. ������� ��� � ������ � �������� �� n � ����������������� ��������� � �������� �� n� ���� ���������� �� r < 1 ���� �������� � ������������� e|x|3 < 1⇔ |x| < 1 e3� ����� � ���� �� ������������ � R = 1 e3� � ���� �� ��� ������������ �� ������ � �������� ������� ���� � n 2n(x− 1) n+1 2 � ����� ��� r = lim n→∞ � � �an+1(x− 1) n+1+1 2 � � � � � �an(x− 1) n+1 2 � � � = lim n→∞ (n + 1) n 2n+1 2n |x − 1| 1 2 = lim n→∞ (n + 1)2 n |x − 1| 1 2 = ∞ ∞ ��

(2)

�������� �� ������ �� ��������� �� ��������� � ����� �� ���������� ����� r = lim n→∞ 2 1|x − 1| 1 2 = 2|x − 1|12� ����� � ������������ � ���� ���� �������� r = 2|x − 1|1 2 < 1 =⇒ |x − 1|12 < 1 2 =⇒ |x − 1| < 1 4� ����� |x − 1| < 1 4� ������ � ���� �� ������������ � R = 1 4� � ���������� �������� ��� |x − c| < R � ��� |ac − c| < R �� �������� ������� ���� �(2x− 1)n2� ����� ��� r = lim n→∞ � � �(2x − 1)n+12 � � � � �(2x − 1)n 2�� = lim n→∞|2x − 1| 1 2 =|2x − 1|12� ����� � ������������ � ���� ���� �������� r = |2x − 1|12 < 1 =⇒ |2x − 1| 1 2 < 1 2 =⇒ |2x − 1| < 1 4� ����� 2 � �x − 1 2 � � < 1 4 =⇒ � �x − 1 2 � � < 1 8� ������ � ���� �� ������������ � R = 1 8 � ������ �� ������������ � 1 2� ����� ����������� � ���������� � ����� �����(2x− 1)n2 =�2 n 2 �x− 1 2 �n 2 ����� �� ������� � ����� �� ����� �� ����� ���������� ��� ����� ������������� ��������������� �� � ������ �� ��������� � �� ������an(x− c)αn+β� � ��� ������� ��� ����� ����������� � ����� �� ���� �� ����� ��� ��������� �� (x − c) ���� lim n→∞ |(x − c)α(n+1)+β| |(x − c)αn+β| = limn→∞ |(x − c)αn+α+β| |(x − c)αn+β| =|x − c| α. ����� �� ρ = lim n→∞ |an+1| |an| �� ρ = limn→∞ n � |an| ����� ������� �� �������� ����� ������� ���� an � � ����� ��� �� ��������� �� (x − c)� ����� ��� r = lim n→∞ � �an+1(x− c)α(n+1)+β � � |an(x− c)αn+β| = lim n→∞ |an+1| |an| lim n→∞ � �(x − c)α(n+1)+β�� |(x − c)αn+β| = ρ|x − c| α. ������ � ������������ � ���� ���� �������� r = ρ|x − c|α < 1⇒ |x − c| <�1 ρ �1 α � �� ����� � ���� �� ������������ � R =�1 ρ �1 α � ���� ������� � ���� ���� ������������� �������������� ��� �� ���� �� ������� ������� � ������������ ��� ������ ����� �� ���� �� �� ����� �� ����� ������ ���� ������ ������

��� � ��������� �� ������������

� ��������� �� ������������ � � ��������� I ��� ������ �� c � ���� R ��� ��� � ������ �� ��������� �������� ��� � ������� ��� x ∈ I� ���� ������������ � ��������� �� |x − c < R =⇒ −R < x − c < R =⇒ c − R < x < c + R � � ����������� � �������� � ��������� � ������� � [c − R, c + R] ��� ���� ��������� ������� �� �������� ���������� �� ������� � ��� ������ ������� ��� ��� ������������ ����������� ��� ������ �� ��������� � ������� ��� ������� � ������� �� �������� � �������� �� ��������� �� ������������� ���������� ���� ���� ��� � ������ �� ��������� � �������� ��� ��������� ���� ������ �������� ������ �� ������� �� ����� �� ��������� �� ������� ���������� ���� ��� �������� ���� �� ���� �� fn(x) = xn ��� � ��� ��������� �� ������� ��������� � � ����������� �� ��������� (−1, 1]� �� �������� � ������ f (x) = lim n→∞fn(x)� ��� ������ ����������� ���� ���� f(x) =    0 ,−1 < x < 1 1 , x = 1 ������������ ������� ���� ��������� � ��������� �� ������������ ���xn n �

(3)

r = lim n→∞ |an+1xn+1| |anxn| = lim n→∞ (n + 1) n |x|n+1 |x|n = limn→∞ (n + 1)|x| n = ∞ ∞ L�Hopital = lim n→∞ |x| 1 =|x|� ���� r < 1 ���� ���������� |x| < 1� ���� ���� �� ������������ � R = 1� ���� � ������ � c = 0� � ��������� � I =]−1, 1[� ��� �� ��� ������ �� ��������� ���������� ���� �� ��� ��������� x = 1 ����� �1 n � p������� ��� p = 1 ��� � ����������� ���� x = −1� ����� �(−1)n n ��� � ��� ����� ��������� ��� lim n→∞an= limn→∞ 1 n = 1 ∞ = 0� an��� ���������� ���� an+1≤ an ⇔ 1 n+1 ≤ 1 n ⇔ n ≤ n+1 ⇔ 0 ≤ 1� ����� � ������������ ��������� � ��������� � I = [−1, 1[�

��� ��������� � ���������

��������� � ��������� ��� ������ �� ��������� ��� ��������� ����� � ������ ���� ������� ������ ����� � ��������� ���� � ����� ��������� ��� ����� �anxn ���� n = 0�� ���� ��� ��������� ������ �������� ��������� ���������� �� ��������� ���� ������ � ������������ ��� �������� � �� ��������� ������ ������ ������������ ��� ��������� ��� � ���� �� ������������ ��� ����� ���� ����� �� ������� � ����� ��� ���� �� ��������� �� � ����� ��� ���� �� ��������� ��� ��������� ���� ��� ���������� ������� ���� ���� ex = ∞ � n=0 xn n! ���� ���� x ����������� �� ����� �� ������ �� ������� � ����� ��� � ex2dx = � ∞ n=0 x2n n! dx = ∞ � n=0 x2n+1 n!(2n + 1) + C ��� ��� � ���� �� ������������ R = ∞� ������ ����������� ��� ������������� �� ������ �� ���������� �� ������ � ex2 dx ��� ��� ��� ������������� �� ������ �� ������� ������������ ������ ������ ����� � �������� ������� �� ������ �� ������ ���������� ������� ����� � ����� �� ��������� ∞ � n=0 (n + 1)xn 2n �������� �� ��������� (−2, 2) ����������� �� ����� ��� ������ �������� � �������� �� [−1, 1]� � 1 −1 ∞ � n=0 (n + 1)xn 2n dx = � � n=0 (n + 1)xn+1 2n(n + 1) �1 −1 = � � n=0 xn+1 2n �1 −1 = ∞ � n=0 � 1 2 �n+1 − ∞ � n=0 � −1 2 �n+1 = ∞ � n=0 1 2 � 1 2 �n − ∞ � n=0 1 2 � −1 2 �n . ���� � ����� �� ���� ������ ������������ � 1 −1 ∞ � n=0 (n + 1)xn 2n dx = 1 2 1 1 2 − 1 2 1 + 1 2 = 1 4 − 3 4 = −1 2 . �� ������� ������ ��� ��� �������� ����� � ����� ����� �� �������� �������� ��� �� ���� ������ � ������ ���� ��� ��� ����� �� ��� ���������� �� �������� � ���� ������� �� ������ ����������� ���� ��� ����� ���� ������� � �������� ��������

(4)

�������� �� ������ �� ��������� �� ������� ����� ln(1 + x) = �∞ n=0 (−1)nxn+1 n + 1 ���� −1 < x ≤ 1� ���� ��� ln x ��� ���� ��� ������� �� ������ �� ����� �anxn ���� ������������ �� �������� ���� ln 0 =� ∃� ��� � ������ �������� �� x = 0� �� �������� ��� � ������������ �� x� f(x) = ln(1 + x) ������ ���� x = 0� ������� ��� f�(x) = (ln(1 + x))= 1 1+x� ���� ∞ � n=0 aorn= a0 1− r� ����� ��� f�(x) = 1 1 + x = ∞ � n=0 (−x)n= ∞ � n=0 (−1)nxn ���� r = −x ��� |r| = | − x| = |x| < 1� ����������� ����� ��� f(x) =� f (x)dx = � ∞ n=0 (−1)nxndx = ∞ � n=0 (−1)n xn+1 n + 1 + C� ���������� ���� x = 0� ����� f(0) = 0+C =⇒ ln 1 = C =⇒ 0 = C� ���� f(x) =�∞ n=0 (−1)nx n+1 n + 1 ���� |x| < 1� ���� �� ������ �� ��������� ���� x = 1 � ������ �������� ����������� � ���� x = −1� � ������ �������� ���� ln(1 + x) � �������� ����� ���������� ���� ��� ������������ ���� ������ �� ��������� ������� ���� −1 < x ≤ 1� �� ������� u = 1 + x� ����� ��� x = u − 1 � ������� ln(u) = ∞ � n=0 (−1)n(u− 1) n+1 n + 1 � ���������� ����� ���� ��� x = c � � ����� ����� �� ���� ������� ����� � ����� �� �������� ������ �� �������� �an(x−c)n� ���� ��� � ����� �� ������ ���������� ���������� ���� ��� ������ ���������� ��� x = 1 �� ������ �� ��������� �� ln(1 + x)� ������ ln 2 = ∞ � n=0 (−1)n n + 1 ������� ����� ����� ��� arctan x = ∞ � n=0 (−1)nx2n+1 2n + 1 ���� −1 ≤ x ≤ 1� ���� arctan �(x) = 1 1+x2� � � ���� �� ������ ����������� ��� ����� r = −x2 ���� |r| = | − x2| < 1 =⇒ |x| < 1� ������ arctan�(x) = ∞ � n=0 � −x2�n = ∞ � n=0 (−1)nx2n� ����������� ����� arctan(x) = ∞ � n=0 (−1)nx2n+1 2n + 1 + C� ���� tan 0 = 0 =⇒ arctan 0 = 0� ����� ��� C = 0 ������������ ����� arctan x = ∞ � n=0 (−1)nx2n+1 2n + 1 � ���� � ������ �������� ���� x = −1 � x = 1 ������������ � ������ �������� ��� � ������ ���� −1 ≤ x ≤ 1 ��� ���� �������� ��� ��� ������ ��������� ���������� ����� ���� tan�π 4 � = 1� ����� ��� π 4 = arctan(1) = ∞ � n=0 (−1)n 2n + 1 ������� �� �������� ���������

(5)

�������� �

������ �� ������ � �� ���������

������� ���� �� f(x) =�∞ n=0 an(x− c)n ����� an= f (n)(c) n! � ������������� ���� ������ �� ��������� ��� ���������� f ������ ����� ��� ������� ����� �� ����� � ���������� ��� (x − c)0 � ���������� ����� ��� f(k)(x) = ∞ � n=k ann× (n − 1) × · · · × (n − k + 1)(x − c)n−k ������������ ������ f(k)(c) = a kk × (k − 1) × · · · × (k − k + 1) = akk! ��������� � ����������������� ak = f (k)(c) k! � �� ���� �� ������ ��� ������ �� ���������� � ������� ����� ������� ����� � ������ �� ��������� ��� ���������� � ������� ��� ��� ���� ������ � ����� � ��� ������ �� ���������� � ��� ������ ��������� �������� ������� ������� ��������� ������� ���� ���������� ����� ���� �������� �� � �������� �������� � ������ �� ������ �� ������ �� ���������� ������� ��� ��������� �� f ����� ��������� ��������� ��� � ����� N + 1 �� ��������� �������� c � x ����� f(x) = N � n=0 f(n)(c)(x− c)n n! + RN ���� Rn = f(n+1)(z)(x−c)n+1 (n+1)! ��� z ∈ [c, x]� ���������� f(x) = pN(x) + RN ��� pN(x) = a0+ a1(x− c) + · · · + aN(x− c)N � ��������� ��� ��������� ��� ����� N �� f �������� ��� �� ���������� ������� ������� ��� ai = f (i)(c) i! ������������ �� �������� � ����� �� ��������� �� ���� ������ ���� ���������� � ��� ��� � ����� ����� � ��������� pn(x) = N � n=0 f(n)(c)(x− c)n n! � ������� �� ��������� �� ������ �� ����� N �� ����� �� c � ����� ���� ������� � ����� �� f(x)� � ���� � �������� ��� |Rn| ≤ Mn+1|x−c| n+1 (n+1)! ���� Mn+1 � �� ��������� ���� |f(n+1(z)|� ���� �� �� ������ ��� ��� |f(n+)(z)| ≤ M n+1 ��� ��� ��������� �� z �������� ������� �� x � n�� � ������ ∞ � n=0 f(n)(c)(x− c)n n! � ���������� �� ������ �� ������ �� ����� �� c� ������ c = 0� � ������������������ �� ������ � ���������� �� ������������������ �� ���������� ��������� ���� ������ ���� ������� ��� � x �� c� ����� ���� � ����� ������ �� �� ����� � ����� �� x ��� �������� �������� ������ ����������� �� ����� �� ����� ���� ������� �� ��� ������� � ����� �� ������ � ���� ���������� ��

(6)

�������� �� ������ �� ������ � �� ��������� �� ������� ���� ������� � ����� �� sen 0.1 ������ � ������ �� ����� 3 � ������ � ��� ����� ����� ��� sen�x = cos x� sen��x = − sen x� sen���x = − cos x � sen(4)x = sen x� � ����� ���� �������

�� 0.1 ��� ������� �� ������� �� ������ � ���� ��������� � 0� ������ �� �������� ����� �� 0 � p3(x) = f (0) + f�(0)(x− 0) + f��(0)(x−0) 2 2! + f���(0) (x−0)3 3! � ����� f(0) = sen 0 = 0� f�(0) = cos 0 = 1� f��(0) = − sen 0 = 0�f���(0) = − cos 0 = −1 �� ���� p 3(x) = 0 + x + 0x 2 2! + −x 3 3! = x− x3 6� ������ sen 0.1� 0.1 − 0.13 6 = 0.1− 0.001 6 = 0.1− 0.00016666 · · · = 0.0998333 · · ·

���� ������� � ����� ����� ��� M4 ≥ max{|f(4)(z)|} = max{| sen z|} ��� z ∈ [c, x] = [0, 0.1]�

���� | sen θ| ≤ 1� ������� ����� M4 = 1� ����� |R3| ≤ M4|x| 4 4! = 0.14 24 = 0.0001 24 � ������ lim N→∞RN = 0� ����� ��� f(x) = �∞ n=0 f(n)(c)(x−c)n n! � � ������ � ����� � ��� ������ �� ������� ����� ����� f � ���������� �� ������ ���������� ���� ������� ��� �������� �� |f(n+1)(z)| ≤ M ���� ���� n� ∀z ∈ [c, x] ������ �������� ��� ��������� ��� ��������� ���� ������ M ��� ��� ������� �� n� ��� �� z�� ���������� ���� ���� ��� ��� ���� ������ �� ������ C∞ ���� ��� ����� ��������� ���������� � ���������� ��� �������� f(x) =    e−1x2 , x�= 0 0 , x = 0 ��� ����� ��������� ��������� � f (k)(0) = 0 ���� ���� k ������������ ������ � ������ �� ������ �� ����� �� 0 ���� ∞ � n=0 0xn n! = ∞ � n=0 0 = 0 ��� �������� ���� ���� x� ��� � ����� ��� ��� � f(x) ���� x �= 0 ���� ������ ��������� �� ��� f(x) �������� ��� � ������ �� ������ �� ����� �� 0�� ������� ���� ����� ������ ��� ex = ∞ � n=0 xn n! ���� ���� x. ����� f(x) = e x� f(x) = ex� f��(x) = ex ���� f(n)(x) = ex� ����� ���� ������� �������� ������ � ���� ��������� � �� c = 0� ������ ������� ����� � ������ �� ������ �� ����� �� 0� ����� ����� ������� f(0) = e0 = 1� f(n)(0) = e0 = 1���� ���� n�� ����� � ������ �� ���������� ������� �� ����� �� 0� ∞ � n=0 f(n)(c)(x− c)n n! = ∞ � n=0 f(n)(0)xn n! = ∞ � n=0 xn n!� ���� ��� f(x) ���� ����� � ������ �� ������� � ���� ���� ������ � ���� ������ n ������� ����� ��� |f(n+1)(z)| = |ez| = ez � �������� �� ��������� [c, x] = [0, x]� ������� ��� ���� ������ �������� �� ��������� ������� ������ ������� � �������� ����� ������ �� ������ M �� [0, x]� ���� �� ��������� M ��� ��� |f(n+1)(z)| ≤ M ���� ���� z ∈ [c, x] = [0, x]� ���� |f(n+1)(z)| = |ez| = ez ��� ������� �� n� M ������ ��� ������� �� n ��� fn+1(z) �������� �� n� M n ������ ���������� �� n� ��� ���� ��� ������ ����� ������ ������ |f(n+1)(z)| � �������� ���� ������ M ��� ��� ������� �� n� ������ lim N→∞|RN| = limN→∞ � �f(N +1)(z N) � � xN (N + 1)! ≤ limN→∞ M xN N ! = M× 0 = 0 ���� ���������� �� ������� ������ ����� f(x) = ∞ � n=0 xn n! � ������� ����� �������� ������� ���� ����� ������ ��� sen x = ∞ � n=0 (−1)nx2n+1 (2n + 1)! ���� ���� x. ����� f(x) = sen x� f �(x) =

cos x� f��(x) = − sen x�f(3)(x) = − cos x� f(4)(x) = sen x = f (x)� ���� �������� ��� ���� ����� ��

(7)

����������� ���� ������� �� ����� ���� ����� ��������� ��� ���� �� ������ � | sen x| ≤ 1 � | cos x| ≤ 1� ����� ��� |fn+1(z)| 1 ���� ���� n� ������ lim N→∞|RN| = limN→∞ � �f(N +1)(z N) � � xN (N + 1)! ≤ limN→∞ xN N ! = M× 0 = 0, ��������� ���� ���������� ���� ���� ���� ���� ����������������� sen x �������� ��� � ������ �� ���������� ���� ���� x� ���� ����� � ������ �� ��������� �c = 0�� ���������� ��� f(0) = sen 0 = 0� f�(0) = cos 0 = 1 f��(0) =− sen 0 = 0�f(3)(0) = − cos 0 = −1 � ������ �� ������ ������ �� ����� ���� ������ �������� � ����� � f� ������ �� ����� ��� ������ � ����� � ��� �������� ��� ��� ��� �������� �� ������ �� ���������� �� ����� ����� ������� �� ����� � ��� ����� �������� � 1� ������ ���� n = 2k + 1� ����� ��� f(n)(0) = f2k+1(0) = (−1)k� ���������� � ������ �� ���������� ������� �� ����� �� 0� � ∞ � n=0 f(n)(0)(x− 0)n n! = ∞ � k=0 f(2k+1)(0)x2k=1 (2k + 1)! = ∞ � k=0 (−1)kx2k+1 (2k + 1)! � ��� ������ � ��������� �� �������� � ������������ �� n� ���� �� ������� � ������� ������� ���� ����� ������ ��� ln x = ∞ � n=0 (−1)n(x− 1)n+1 n + 1 ���� 0 < x < 2 ������ �������� �� ������ �� ������� ����� f(x) = ln x� ����� ��� f�(x) = 1 x� f��(x) = −1x2� f���(x) = 1×2 x3 � f(4)(x) = −1×2×3x4 � f(5)(x) = 1×2×3×4 x5 , . . . �� ����� ��� f(n)(x) = (−1) n+1(n−1)! xn ���� n > 0� � ��� ���� ��� ��������� ���� ������� ����� ������������ ����� f(n)(1) = (−1)n+1(n−1)! 1n+1 = (−1)n+1(n− 1)! ���� n > 0 �� ���� ����� � ������ �� ������ f (x) = ∞ � n=0 f(n)(1)(x− 1)n n! = f (1) + ∞ � n=1 f(n)(1)(x− 1)n n! = 0 + ∞ � n=1 (−1)n+1(n− 1)!(x − 1)n n! = ∞ � n=0 (−1)n+1(x− 1)n n . ���� ����� ������ �������� ��� ln x� ���������� �������� � ����� �� ����� ����� ��� |f(n+1)(z)| =�� �(nz−1)!n � � � ��� � ������������� ����� ��� ������ � ������ ������ ����� �� z ��� ������� ���� z = 0 � ����� �������� ��������� �������� ��� [x, 1] ��� �������� 0� �� ����� ��� x > 0. ����� |f(n+1)(z)| =�� �(nz−1)!n � � � ≤ (nx−1)!n = Mn+1 �� 0 < x < 1� ������ lim N→∞|Rn| = limn→∞ � �f(n+1)(z n) � � xn (n + 1)! ≤ limN→∞ Mn|x − 1|n n! = limn→∞ (n− 1)!|x − 1|n n! = limn→∞ |x − 1|n n �� |z − 1| < 1� ����� ��� lim n→∞|x − 1| n= 0 �� ���� lim N→∞|Rn| = 0 ∞ = 0� ������ � ������ �������� ��� f(x) �� 0 < x < 2� ���� x = 2� � ������ �������� ����������� � ���� �������� ��� f(x) ���� ���� 0 < x < 2� �������� �� x = 2 ������ ����� f(x) � ������ �� ��������� ��� ����������� ���� ������ ��� � ������ �������� ���� x > 2� �����������

(8)

�������� �� ������ �� ������ � �� ��������� �� �� ������ ��� cos x = �∞ n=0 (−1)nx2n (2n)! ���� ���� x� �� �������� � ������ �� ������ �� cos x �� ����� �� π 2� �� ������� � ������ �� ������ �� sen(x2) �� ����� �� 0� ����� ��� � ������ �� sen x� ���� ����� ������ �� ��������� ��� ���������� � ������ � �� ������ �������� �����

Referências

Documentos relacionados

Como se sabe, a data tradicional para a celebração da Se- mana de oração pela unidade dos cristãos, no hemisfério norte, vai de 18 a 25 de janeiro, data proposta em 1908 pelo

A nossa experiência na orientação da autoria e implementação de aplicaçòes hipermídia voltadas para a área educacional demonstrou uma tendência para a formação

En- tre os tratamentos com herbicidas, observa-se que não houve diferença significativa na produção total de MS, demonstrando que, para as condições em que foi con- duzido

De fato não se trata nem de um romance reacionário, como o entendeu Jacinto do Prado Coelho, nem de texto portador de “moralidade demasiado simples”, proposta por

Portanto, acreditamos que foi na década de 1970 que o processo de metro- polização ganhou novas proporções mundiais e se manifestou na urbanização de modo mais predominante

Zn tissue accumulation in Solanum nigrum grown in a non-contaminated and a naturally contaminated Zn matrix and the effect of inoculation with different arbuscular mycorrhizal

Em vista disso, o Departamento de Pesca e Aquicultura da Universidade Federal Rural de Pernambuco, em parceria com a Aqualider Maricultura Ltda., iniciou os trabalhos de criação

...127 Tabela 33: Grau de importância dos principais parceiros de atividades conjuntas no arranjo produtivo local de materiais transformados de plástico da região Norte do estado