RESUMO1A-BM-2014

(1)

Parte 1

BC 0003

Edson Alex Arr´azola Iriarte

Universidade Federal do ABC

June 27, 2014

Edson Alex Arr´azola Iriarte (UFABC) sites.google.com/site/edsonarrazolairiarte June 27, 2014 1 / 30

Conte´

udo

1 Elementos de L´ogica e Linguagem Matem´atica

Proposi¸c˜oes

Proposi¸c˜oes Abertas Quantificadores Exemplos

Exemplos e Contra-exemplos Proposi¸cões Compostas A nega¸cão de uma proposi¸cão

Nega¸cão de uma proposi¸cão composta A nega¸cão do quantificador

Exemplos Implica¸c˜ao Exemplos

Nega¸cão de uma implica¸cão Condi¸cão necessária e suficiente Exemplos

A bicondicional

Proposi¸c˜

oes

Proposi¸c˜ao

´

E uma senten¸ca declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas Nota¸cão: p, q, r , · · ·

Example (Exemplos)

1 “ 2 ´e um n´umero primo ” → (V )

2 _{“ f (x ) = −x ´}_{e uma fun¸c˜}_{ao crescente ”} → _{(F )}

3 “ Vamos dan¸car ” → senten¸ca declarativa, no entanto, n˜ao

podemos atribuir um ´unico valor de verdade

Proposi¸c˜

oes Abertas

São proposi¸cões que dependem de uma ou mais variáveis

Nota¸c˜ao: p(x ), q(x ), r (x , y ), · · ·

Example (Exemplos) 1 _{p(x ) = “ x < 3 ”}

2 q(n) = “ 2n + 1 ´e ´ımpar ”

Observa¸c˜ao

O valor de verdade de uma proposi¸c˜ao aberta depende do valor atribu´ıdo `

(2)

Example (Exemplos)

Seja a proposi¸c˜ao aberta p(x ) = “ x < 3 ”.

Se x = 2 temos que p(2) = “ 2 < 3 ” → (V )

Se x = 4 temos que p(4) = “ 4 < 3 ” → (F )

Observa¸c˜ao

Para podermos falar em valor de verdade de uma proposi¸c˜ao aberta, temos

substitu´ıdo a vari´avel por um elemento qualquer dentre uma cole¸c˜ao de objetos, que denotaremos por U e chamaremos de universo do discurso ou dom´ınio do discurso.

Example (Exemplo)

Seja a proposi¸c˜_{ao aberta p(x ) = “ x ∈ R, x < 3 ”.} x ´e a vari´_{avel e U = R}

Observa¸c˜ao

O conjunto dos valores de x para os quais a proposi¸cão p(x ) é (V ) é chamado conjunto de verdade de p(x ).

Example (Exemplos)

1 Seja a proposi¸c˜ao aberta p(x ) = “ x ´e primo e 3 < x < 14 ”

O conjunto de verdade ´e {5, 7, 11, 13}

2 Seja a proposi¸c˜ao aberta p(x ) = “ x ´e real e x2+ 1 = 5 ”

O conjunto de verdade ´e {−2, 2}

Quantificadores

Através de proposi¸cões abertas podemos fazer afirma¸cões sobre

(I) todos os elementos de um conjunto

usando o quantificador universal

∀ → “ para todo ”, “ para cada ” ou “ qualquer que seja ”

(II) a existˆencia de um elemento de um conjunto

usando o quantificador existencial

∃ → “ existe ”, “ h´a ”, “ para algum ”

(III) a existˆencia de um ´unico elemento de um conjunto

usando o quantificador existencial

∃ ! → “ existe um único”, “ há um único ”

Exemplos

1 “ para todo n´umero natural n temos que 2n + 1 ´e ´ımpar ”

Em s´ımbolos:

I ∀n ∈ IN, 2n + 1 ´e ´ımpar

ou ainda

I _{∀n ∈ IN, p(n),} onde p(n) = “ 2n + 1 ´e ´ımpar ”

2 _{“ a equa¸}_c˜_{ao linear ax + b = 0, com a 6= 0, admite solu¸}_c˜_{ao real ”} Em s´ımbolos: I _{se a 6= 0, ∃ x ∈ R : ax + b = 0} ou ainda, I _{se a 6= 0, ∃ x ∈ R : q(x), onde q(x) =“ ax + b = 0 ”} 3 ∀n ∈ IN , n < n + 1 ou n < n + 1, ∀n ∈ IN 4 ∃ x ∈ R , x2 _{= x} 5 ∃! x ∈ IN , x2= x 6 ∀x ∈ {1, 2, 3, 4} , x + 3 ≤ 7 7 ∀ > 0, ∃ δ > 0 : se |x − a| < δ ent˜ao |f (x ) − f (a)| <

(3)

Exemplos e Contra-exemplos

Todo número natural é ´ımpar 5 é um exemplo

2 ´e um contra-exemplo

O quadrado de todo natural ´e maior do que 4

3 ´e um exemplo

1 ´e um contra-exemplo

Para todo n ∈ IN par temos que (n + 1)2 ´e ´ımpar 2 ´e um exemplo

3 não é um exemplo nem um contra-exemplo, pois ele não é par

Proposi¸c˜

oes Compostas

Sejam p e q duas proposi¸c˜oes. A proposi¸c˜ao:

(i ) “ p ou q ” ´e chamada disjun¸c˜ao dep eq → p ∨ q

Pergunta: Qual ´e o valor de verdade desta proposi¸c˜ao ? Resposta: p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

ou seja, p ∨ q é (V ) quando ao menos uma das proposi¸cões, ou ambas as proposi¸cões são verdadeiras. Caso contrário ela é (F ).

(ii ) “p e q ” ´e chamada conjun¸c˜ao de p e q → p ∧ q

Pergunta: Qual ´e o valor de verdade desta proposi¸c˜ao ? Resposta: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

ou seja,p ∧ q é (V ) somente quando as proposi¸cões p e q forem ambas verdadeiras. Caso contrário ela é (F ).

A nega¸c˜

ao de uma proposi¸c˜

ao

Dada uma proposi¸cão p, a nega¸cão de p, é uma proposi¸cão com valor de verdade invertido, denotada por

¬p

que é lida como “ não p ” ou “ não é verdade p ”.

Example (Exemplos)

1 Seja a proposi¸c˜ao: p = “x ´e ´ımpar ”

a nega¸cão de p: ¬p = “ x não é ´ımpar ” ou “ x é par ”

2 _{Seja a proposi¸}_c˜_ao: _{p = “}

√

2 n˜ao ´e racional ”

a nega¸cão de p: ¬p = “ não é verdade que√2 não é racional ” ou “ √2 é racional ”

(4)

Nega¸c˜

ao de uma proposi¸c˜

ao composta

nega¸c˜ao da disjun¸c˜ao: ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q

nega¸c˜ao da conjun¸c˜ao: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q

nega¸c˜ao da nega¸c˜ao: ¬(¬p) = p

Exemplos:

(1) prop: “ x ´e divis´ıvel por 2 e 3 ” ´e :

nega¸cão: “ x não é divis´ıvel por 2 ou x não é divis´ıvel por 3 ” (2) prop: “ x é divis´ıvel por 2 ou 3 ” é :

nega¸cão: “ x não é divis´ıvel por 2 e x não é divis´ıvel por 3 ”

A nega¸c˜

ao do quantificador

Seja p(x ) uma proposi¸cão aberta: A nega¸cão da proposi¸cão

para todo x em D ´e verdade p(x )

´ e

existe um x em D tal que n˜ao ´e verdade p(x ) Em s´ımbolos:

¬ (∀x ∈ D, p(x)) = ∃ x ∈ D : ¬p(x)

A nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao

existe x em D tal que ´e verdade p(x )

´e

para todo x em D n˜ao ´e verdade p(x )

Em s´ımbolos:

¬ (∃ x ∈ D : p(x)) = ∀x ∈ D, ¬p(x)

Exemplos

Converta as seguintes afirma¸cões para a forma simbólica e diga quais são as suas nega¸cões:

Af 1 Todos os numeros naturais podem ser decompostos como

produto de n´umeros primos

S´ımbolos Seja m(x ) = “ x pode ser decomposto como produto de

n´umeros primos ”, ent˜ao

∀ x ∈ IN, m(x)

Nega¸cão Existe um número natural que não pode ser decomposto

como produto de n´umeros primos. Em s´ımbolos:

(5)

Af 2 Existe algum inteiro n tal que n + 3 = 4

S´ımbolos Seja p(n) = “ n + 3 = 4 ”, ent˜ao

∃ n ∈ IN : p(n)

Nega¸c˜ao Para todo n´umero inteiro temos que n + 3 6= 4. Em s´ımbolos:

∀ n ∈ ZZ , ¬ p(n)

A implica¸c˜

ao

Sejam p e q duas proposi¸c˜oes, podemos construir a proposi¸c˜ao

“se p, ent˜ao q00

que pode ser lida como

p implica q

e a denotamos por

p ⇒ q

Oberva¸c˜ao

Na implica¸cão p ⇒q, a proposi¸cãop é chamada hipotese, premisa ou

antecedente, e a proposi¸cãoq é chamada tese, conclusão ou consequente

Pergunta: Qual ´e o valor de verdade desta proposi¸c˜ao ?

Resposta: A implica¸c˜ao p ⇒ q ´e (F ) somente no caso que a

proposi¸cão p é (V ) e a proposi¸cão q é (F ) p q p ⇒ q V V V V F F F V V F F V Observa¸cão Importante

Em matemática a implica¸cão p ⇒ q não estabelece nenhuma rela¸cão de

causa-efeito entre a hipotese e a tese. A implica¸c˜ao matematica somente

estabelece uma rela¸cão entre o valor lógico da implica¸cão e os valores lógicos da premisa e da conclusão.

(6)

Exemplos

p “ 2 ´e um n´umero par ” → (V )

q “ 3 ´e um n´umero ´ımpar ” → (V )

p ⇒ q “ Se 2 é um número par, então 3 é um número ´ımpar ” (V )

q “ 4 ´e um n´umero ´ımpar ” → (F )

p ⇒ q “ Se 2 é um número par, então 4 é um número ´ımpar ” (F )

p “ 2 ´e um n´umero ´ımpar ” → (F )

q “ 2 + 5 = 7 ” → (V )

p ⇒ q “ Se 2 é um número ´ımpar, então 2 + 5 = 7 ” (V )

p “ 2 ´e um n´umero ´ımpar ” → (F )

q “ 3 ´e um n´umero par ” → (F )

p ⇒ q “ Se 2 é um número ´ımpar, então 3 é um número par ” (V )

q “ um 4 equil´atero tem todos os ˆangulos iguais ” → (V )

p ⇒ q “ Se 4 é par, então um triângulo equilátero tem todos os ˆ

angulos iguais ” (V )

Example (Exemplo)

Imagine uma lei que diz “ Todos os motoristas de fusca devem usar gravatas vermelhas ”

Pergunta: Quando um motorista est´a desobedecendo a lei ?

Resposta: Se ele não estiver dirigindo fusca (premisa falsa), então não importa se ele está ou não usando gravata vermelha, pois a lei não se aplica a ele.

O ´unico modo dele desobedecer a lei ´e estar dirigindo um fusca

vermelho (premisa verdadeira) e n˜ao estiver usando gravata vermelha

(conclus˜ao falsa)

Nega¸c˜

ao de uma implica¸c˜

ao

¬ (p ⇒ q ) = p ∧ (¬q )

Example (Exemplos)

p ⇒ q “ Se a é par, então a2 é par ”

nega¸cão: “ a é par e a2 é ´ımpar ”

p ⇒ q “ Se f é uma fun¸cão derivável em x₀, então é cont em x₀ ”

(7)

Observa¸c˜

ao

Dada uma proposi¸c˜ao p ⇒ q ent˜ao:

rec´ıproca: q ⇒ p

contrapositiva: ¬ q ⇒ ¬p

Exemplo 1

p ⇒ q: Se x é um número racional, então x2 é um número racional rec´ıproca: Se x2 _´_{e um n´}_{umero racional, ent˜}_{ao x ´}_{e um n´}_{umero racional}

Obs: A rec´ıproca ´e (F )

contrapositiva: Se x2 não é um número racional, então x não é um número racional

Obs: A contrapositiva ´e (V )

Exemplo 2

(Para que já está familiarizado com o cálculo diferencial)

p ⇒ q: Se f é derivável em x₀, então é cont´ınua em x₀ rec´ıproca: Se f é cont´ınua em x0, então é derivável em x0

Obs: A rec´ıproca ´e (F )

contrapositiva: Se f não é cont´ınua em x0, então ela não é derivável em x0

Obs: A contrapositiva ´e (V )

Condi¸c˜

ao necess´

aria e suficiente

Uma proposi¸cão p é dita condi¸cão necessária para uma proposi¸cão q se q ⇒ p

Uma proposi¸cão p é dita condi¸cão suficiente para uma proposi¸cão q se p ⇒ q

Exemplos

Considere a seguinte proposi¸c˜ao:

Se uma pessoa nasceu em MG, então ela é brasileira Considere as seguintes situa¸cões

“ Pedro nasceu em MG ” “ Pedro ´e brasileiro ” “ Isabella nasceu em SP ” “ Isabella ´e brasileira ”

Assim: Ter nascido em MG é uma condi¸cão suficiente para ser brasileiro, mas não é uma condi¸cão necessária, ou É suficiente nascer em MG para ser brasileiro, mas não é necessário.

Observe que para ser brasileiro ´e necess´ario ter nascido em MG, SP, AMZ, etc...

(8)

(Para quem já está familiarizado com o cálculo diferencial) Considere a seguinte proposi¸cão:

Se f é derivável em x0 ⇒ f é cont´ınua em x0

Considere as seguintes situa¸c˜oes

“ f (x ) = x2 _´_{e deriv´}_{avel em 0 ”}

“ f (x ) = x2 é cont´ınua em 0 ” “ g (x ) = |x | não é derivável em 0 ” “ g (x ) = |x | é cont´ınua em 0 ”

Assim: É suficiente ser derivável em x₀ para ser cont´ınua em x₀, mas não é necessário.

A bicondicional

A express˜ao p ⇔ q ´e lida como p se e somente se q.

p ⇔ q ´e equivalente a p ⇒ q e q ⇒ p

Dizemos que p é uma condi¸cão necessária e suficiente para q.