Problemas de Análise Matemática III

Departamento de Engenharia Quími a

Porto, Setembro de 1998

Estedo umento ontemosproblemassele ionadosparaasaulaspráti asetrabalhode

asadadis iplinadeAnáliseMatemáti aIII,noprimeirosemestredoanole tivo1998/99.

A maior parte dos problemas foram propostos pelo Prof. Mário Rui Costa e usados

em anos anteriores; algumas modi ações tiveram queser introduzidas devido à adopção

dum novo texto guia: An Introdu tion to Dierential Equations and Their Appli ations,

S.J. Farlow, M Graw-Hill, 1994, doqual provêm quase todasas alterações aosproblemas

dosanos anteriores.

Alguns dos problemas serão resolvidos nasaulas práti as e espera-se que osrestantes

sejam resolvidos pelos alunos omo trabalho de asa. A avaliação ontínua e o exame

nal tentarão reproduzir, na medida do possível, o grau de di uldade e os temas destes

problemas.

1 Soluções das equações diferen iais. Existên ia e uni idade

Em ada equação diferen ial identique as variáveis independentes e dependentes.

De-monstreem ada asoqueafunção

y

ou

u

na olunadadireitaésoluçãodaequação,onde

a

e

c

são onstantes. 1.

dy

dx

=

x

√

x

2

_{+ a}

2

(a 6= 0)

y(x) =

√

x

2

_{+ a}

2

2.

1

4

 d

2

y

dx

2



2

− x

_dx

dy

+ y = 1 − x

2

y(x) = x

2

3.

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

= 0

u(x, y) = arctan



y

x



4.

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

+

∂

2

u

∂z

2

= 0

u(x, y, z) =

1

px

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

Demonstre quearelação dadadene umasolução implí itada equação diferen ial.

5.

yy

′

=

e

2

x

_y

2

₌

e

2

x

6.

y

′

=

y

2

xy − x

2

y = c

e

y/x

Os problemas 7 ao 11 são um teste à sua intuição (a intuição só se obtem depois de

alguma práti a e por issoé importante analizar estes problemas e assuas soluções). Em

ada aso tente adivinhar uma solução; faça alguma tentativa e verique se é ou não

solução. Diga seasolução quedes obriu é geralou parti ular.

7.

dy

dx

= y

(a função ujaderivada é iguala siprópria)

8.

dy

dx

= y

2

(derivada igualao quadrado dafunção)

9.

dy

dx

+ y = 1

10.

dy

dx

+ y =

e

x

11.

d

2

_y

dx

2

= 1

(função uja segundaderivada éigual a 1) Verique quea função dadaé solução do problemade valorini ial

12.

y

′′

+ 3y

′

+ 2y

′

= 0

,

y(0) = 0 y

′

(0) = 1

y(x) =

e

−

_x

−

e

−2

x

13.

y

′′

+ 4y = 0

,

y(0) = 1 y

′

(0) = 0

y(x) = cos 2x

DetermineseoteoremadePi ard impli aaexistên iade umasolução úni adosseguintes

problemas de valorini ial, numa vizinhançado valorini ial

x

dado. 14.

y

′

− y = 1

y(0) = 3

15.

y

′

= x

3

− y

3

y(0) = 0

16.

y

′

= −

y

y(1) = 0

17. Oproblemade valorini ial

y

′

= 2√y

,

y(0) = 0

,temumnúmeroinnito de soluções no intervalo

[0, ∞)

.

(a) Demonstre que

y(x) = x

2

éumasolução.

(b) Demonstrequese(

c

éumparâmetropositivo,aseguintefamiliadefunções(ver gura)são também soluções

y =



0

_{0 ≤ x < c}

(x − c)

2

c ≤ x

Porque não pode ser

c

negativo?

( ) Interprete estesresultados emrelaçãoao teoremade Pi ard.

x

y

1

−1

1

2

y = (x − c)

2

Soluções

Nos problemas 7 ao 10 existem mais soluções além das apresentadas a ontinuação, mas

estas são as úni as que se espera que um aluno sem onhe imento previo de equações

diferen iais des ubra 7.

y =

e

x

8.

y = −

1

x

9.

y = 1

10.

y =

e

x

2

11.

y = c

1

+ c

2

x +

x

2

2

onde

c

1

e

c

2

são onstantesarbitrárias. 14. Sim 15. Sim 16. Não

17. (a) Demonstra-se porsubstituição dire tae onferindo a ondição ini ial.

(b) Demonstra-seemformasemelhanteàalinhaanterior,masépre isoterem onta

que

√

a

2

_{= |a|}

.

( ) Em

y = 0

veri am-seas ondiçõesdo teoremadePi ard,e omopodemos ver no grá oexiste solução úni aem ada aso. Nos pontos

y = 0

não se veri a a ondição de ontinuidade de

∂f /∂y

e existe umnúmero innito de soluções. Finalmente,em

y < 0

nãoseveri anenhumadasduas ondiçõesenãoexistem

2 Equações de primeira ordem

Resolva as seguintes equações diferen iais ordinárias (todas são de variáveis separáveis,

exa tas, linearesou redutíveis a elas)

1.

dy

dt

cos y = −

t sin y

1 + t

2

y(1) =

π

2

2.

dy

dt

+ y = 1 + t

2

y(1) = 2

3.

dx

dy

= cos(x + 2y)

x(0) = 0

4.

dy

dt

=

y

2

− 2ty

y

2

5.

dy

dx

= −

x + y

x + 2y

y(2) = 3

6.

(2y +

e

x

_{cos y)y}

′

= −

e

x

_{sin y}

7.

1 + 3t − 2y − (4t − 3y − 6)

dy

dt

= 0

8.

dy

dx

=

x + 4y + 5

x − 2y − 1

y|

x=2

= 1

9.

dy

dx

=

x

2

− 1

y

2

_{+ 1}

y(−1) = 1

10.

dy

dt

+ 2ty = 2t

3

√

y

y(0) = 25

11.

dy

dx

=

x

3

− 2y

x

12.

dy

dx

=

x

x

2

_{y + y}

3

13.

dy

dx

=

x(2y + 1)

y − x

2

14.

dy

dx

=

y − x

2

y

2

_{− x}

ResolvaasseguintesequaçõesdeRi atti,sabendoque

y = y

1

(x)

éumasoluçãoparti ular: 15.

dy

dx

+

y

x

− y

2

= −

_x

1

2

y

1

(x) =

1

x

16.

dy

dx

=

2 cos

2

x − sin

2

x + y

2

2 cos x

y

1

(x) = sin x

Soluções 1.

y = arcsen

r

2

1 + t

2

2.

y = t

2

− 2t + 3

3.

x = 2

(

arctan

"√

3 tan

y

√

3

2

!#

− y

)

4.

ln



y

2

− ty + 2t

2





= c −

2

√

7

arctan

 2y − t

t

√

7



5.

x

2

+ 2xy + 2y

2

= 34

6.

y

2

₊

e

x

_{sin y = c}

7.

t + 15 = (t − y − 7) c + 3 ln |t − y − 7|

8.

(y + x/2 + 3/2)

2

(y + x + 2)

3

= 0,098

9.

y

3

+ 3y − x

3

_{+ 3x = 2}

10.

y =



t

2

− 2 + 7

e

−

_t

2

_/2



2

11.

y =

c

x

2

+

x

3

5

12.

(x

2

+ y

2

+ 1)

e

−

_y

2

= c

13.

x

2

+ 2x

2

y − y

2

= c

14.

x

3

+ y

3

− 3xy = c

15.

y

1

=

1

x

−

2x

x

2

_{+ 2c}

y

2

=

1

x

16.

y

2

= sin x +

2

3 Apli ações das equações de primeira ordem

1. Aanálisequími adeumavigadepinhoretiradadatumbadumfaraóEgip iomostrou

queo onteúdode arbono 14é55%doexistentenumpinheirovivo. Sabendoquea

meia-vida do arbono 14 é

5580 ± 45

anos, al uleaidade datumba.

2. Segundo o Fa tbook da C.I.A., os dados demográ os para Portugal em Julho de

1993 foram os seguintes: população

= 10 486 140

habitantes, taxa anual de natali-dade

= 11,59

por mil, taxa anual de mortalidade

= 9,77

por mil e taxa anual de migração

= 1,8

por mil. Admitindo que astrês taxaspermane em onstantes entre 1993 e 1997,faça umaestimativada população de Portugal emJulhode 1997.

3. Noproblemaanterioradmitaqueastaxasdenatalidadeemigraçãosejam onstantes

até ao ano 2000, enquanto a taxa de mortalidade é dire tamente propor ional à

população (modelologísti o). Cal ulequalserianestemodeloapopulação emJulho

do ano 2000 (a onstante de propor ionalidade da taxa de mortalidade al ula-se

fá ilmente apartirdosdados ini iais).

4. Aintensidadeluminosanumlagoounomardiminuiexponen ialmenteemfunçãoda

profundidade, omoresultadodaabsorçãodaluzporpartedaágua. Se

7,6

metrosde águaabsorvem15%daintensidadedaluzin identenasuperfí ie,aqueprofundidade

seriaa luzdomeio dia tãointensa omo aluz dalua heiasobre a Terra? (a luzda

lua heiasobre aTerraé

300 000

vezes maisfra aquea luzdo sola meio dia). 5. Numarea çãoquími adesegundaordemdoisreagentesAeB ombinam-seformando

um ompostoC(

A+B −→ C

). Cadamolé uladeAtemumaprobabilidadedereagir om B (por unidade de tempo) dire tamente propor ional ao número de molé ulas

deBexistentes: probabilidade

= cN

B

,emque

c

éuma onstantee

N

B

o número de

molé ulasde B.Assimonúmeromédio derea çõesporunidadedetempoé

cN

A

N

B , sendo

N

A e

N

B

o número demolé ulas deA e Bexistentesnesse instante.

(a) Demonstrequeemqualquerinstantea on entração

x

do ompostoC(emmoles por unidade de volume)veri a aseguinteequação

dx

dt

= k(a − x)(b − x)

onde

a

e

b

sãoas on entrações ini iaisde A e B, no instante

t = 0

quando a on entração de Cé zero,e

k

éuma onstante(admita ovolume onstante). (b) En ontrea solução daequação anteriorparaa onstante

k

e a on entração

x

.

( ) Quandoa on entração deumdosreagentesémuitomaior,porexemplo

a ≫ b

, otermo

a − x

permane epráti amente onstanteemuito pertodo valorini ial

a

. Resolva aequação diferen ial omadita aproximação.

(d) Resolva a equação diferen ial da alínea a no aso parti ular de on entrações

iguaisparaosdois reagentes (

a = b

).

6. En ontreastraje tórias ortogonaisda familia deelipses

4x

2

+ y

2

7. A onstantedetempo(inversada onstantedetransferên iatérmi a

k

)deumprédio é

1/k = 1

dia. Não existem sistemas de aque imento ou ar ondi ionado dentro do prédio. A temperatura exterior os ilaem forma senoidalentre omínimo de

5

◦

C às

2 horase omáximo de

25

◦

Càs14 horas.

(a) En ontreaequaçãodiferen ialparaatemperaturadentrodoprédio. (sugestão:

use o tempo

t

em dias, om origem num dia qualquer às 8 horas quando a temperatura externa temo valormédio)

(b) En ontrea solução de estado esta ionário(valoreselevadosde

t

). ( ) Quaisserão astemperaturas máxima emínima dentrodo prédio?

Soluções 1.

(4813 ± 39)

anos 2.

10 639 084

habitantes 3.

10 746 263

habitantes 4. 590 m 5. (b)

k =

1

t(a − b)

ln









b(a − x)

a(b − x)









;

x = a

1 − expkt(a − b)

1 − (a/b) expkt(a − b)

( )

k =

1

at

ln









b

b − x









(d)

k =

x

at(a − x)

6.

y

4

= cx

7. (a)

T

′

+ T = 15 + 10 sin(2πt)

(b)

T

ee

= 15 +

10

1 + 4π

2

sin(2πt) − 2π cos(2πt)

( )

T

mín

= 15 −

10

√

1 + 4π

2

= 13,4

◦

C

;

T

máx

= 15 +

10

√

1 + 4π

2

= 16,6

◦

C

4 Equações lineares de ordem 2 e superior

1. Forma normal. Demonstrequea substituição

y(x) = u(x)F (x)

,onde

F (x) ≡ exp



−

1

₂

Z

p(x) dx



transforma qualquer equação linearhomogénea de segundaordem

y

′′

+ p(x)y

′

+ q(x)y = 0

na hamada formanormal:

u

′′

+ g(x)u = 0

Redução da ordem. Mostre que a função

y

1

(x)

é solução da equação diferen ial e determine a solução geral

2.

y

′′

+

2y

′

x

+ y = 0

y

1

=

sin x

x

3.

xy

′′

− 2(x + 1)y

′

+ 4y = 0

y

1

=

e

2

x

4.

(x

2

_{+ 1)y}

′′

− 2xy

′

+ 2y = 0

y

1

= x

Resolvaosseguintesproblemas de valoresini iais

5.

y

′′

+ 3y

′

+ 2y = 0

y(0) = 1,

y

′

(0) = 0

6.

y

′′

− a

2

y = 0

y(0) = 1,

y

′

(0) = 0

7.

y

′′

− 4y

′

+ 13y = 0

y(0) = 0,

y

′

(0) = 1

8.

16y

′′

− 8y

′

+ y = 0

y(1) = 0,

y

′

(1) =

√

4

_e

9.

x

2

y

′′

− 2xy

′

+ 2y = 0

y(2) = 1,

y

′

(2) = 2

10.

x

2

y

′′

+ 3xy

′

+ 5y = 0

y(1) = 0,

y

′

(1) = 2

11.

(x − 1)

2

y

′′

− 4(x − 1)y

′

+ 4y = 0

y(0) = 0,

y

′

(0) = −3

Resolvaosseguintesproblemas de ondiçõesfronteira

12.

y

′′

− 16y = 0

y(0) = 3,

y(1/4) = 3e

13.

y

′′

+ y = 0

y(0) = 1,

y(π) = 0

En ontre asolução geraldasseguintes equações

14.

y

′′′

− 3y

′′

+ 2y

′

= 0

15.

x

3

_y

′′′

− 2x

2

_y

′′

− xy

′

+ 9y = 0

Soluções 2.

y =

1

x

(c

1

sin x + c

2

cos x)

3.

y = c

1

e

2

x

_{+ c}

2

(2x

2

+ 2x + 1)

4.

y = c

1

x + c

2

(x

2

− 1)

5.

y = 2

e

−

x

−

e

−2

x

6.

y = cosh(ax)

7.

y =

1

3

e

2

x

_sin(3x)

8.

y = (x − 1)

e

x/4

9.

y =

3

4

x

2

− x

10.

y =

sin(2 ln |x|)

x

11.

y = x − 1 + (x − 1)

4

12.

y = 3

e

4

_x

13. Não existe solução

14.

y = c

1

+ c

2

e

x

_{+ c}

3

e

2

x

15.

y =

c

1

x

+ x

3

(c

2

+ c

3

ln |x|)

5 Equações lineares não-homogeneas

En ontreasoluçãogeraldasseguintesequaçõespelométodode oe ientesindeterminados

1.

y

′′

+ y

′

− 2y = 3 − 6x

2.

y

′′

− y = x sin x

3.

y

′′

− 4y

′

+ 4y = x

e

2

x

En ontre asolução geraldasseguintes equaçõespelométodo devariação de parâmetros

4.

y

′′

+ y

′

=

e

−

x

5.

y

′′

+ 4y = tan(2x)

6.

x

2

y

′′

+ xy

′

− 4y = x

2

+ x

4

Sabendo que

y

1

(x)

e

y

2

(x)

sãosoluçõeslinearmenteindependentes daequação homogénea orrespondente, en ontre umasolução parti ular da equação não-homogénea

7.

(1 − x)y

′′

+ xy

′

− y = 2(x − 1)

2

e

−

_x

y

1

= x,

y

2

=

e

x

8.

y

′′

+

y

′

x

+



1 −

_4x

1

2



y =

_√

1

x

y

1

=

sin x

√

x

,

y

2

=

cos x

√

x

Soluções 1.

y = c

1

e

x

_{+ c}

2

e

−2

x

_{+ 3x}

2.

y = c

1

e

x

_{+ c}

2

e

−

x

−

1

₂

(x sin x + cos x)

3.

y =



c

1

+ c

2

x +

x

3

6



e

2

x

4.

y = c

1

+ (c

2

− x)

e

−

_x

5.

y = c

1

sin(2x) + c

2

cos(2x) −

1

4

cos(2x) ln









tan x + 1

tan x − 1









6.

y = c

1

x

2

+

c

2

x

2

+

x

2

4

ln |x| +

x

4

12

7.

y

p

=

 1

2

− x



e

−

_x

8.

y

p

=

1

√

x

6 Equações de diferenças, lineares homogéneas

Resolvaasseguintesequaçõesde diferenças

1.

y

n+2

+ 3y

n+1

+ 2y

n

= 0

y

0

= 1,

y

1

= 0

2.

y

n+2

+ 6y

n+1

+ 9y

n

= 0

y

0

= 1,

y

1

= 1

3.

y

n+2

− 4y

n+1

+ 13y

n

= 0

y

0

= 0,

y

1

= 1

4.

y

n+2

− 2y

n+1

+ 4y

n

= 0

y

0

= 0,

y

1

= 1

5. e

n+2

_y

n+2

− 5

e

n+1

_y

n+1

+ 6

e

n

_y

n

= 0

6.

(n + 1)y

n+1

− (n − 3)y

n

= 0

y

0

= 1

7.

(n + 1)(n + 2)y

n+2

− (n + 3)y

n

= 0

y

0

= 2,

y

1

= 1

8.

y

n+3

+ 8y

n

= 0

y

0

= 1,

y

1

= 1,

y

2

= 0

9.

y

n+3

− (n + 1)y

n

= 0

10. A su essão

{F

n

} = {1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .}

, em que ada termo é igual à soma dos dois anteriores, é hamadasu essão de Fibona i.

(a) Es reva aequação de diferenças e osvaloresini iaisque denem asu essão de

Fibona i.

(b) Demonstre que

φ ≡ (1 +

√

5)/2 ≈ 1,618

e

−1/φ

sãoraízesdo polinómio ara -terísti oda equação en ontrada naalínea anterior.

( ) Cal ule o termo geral

F

n

da su essão de Fibona i e demonstre que

F

n+1

/F

n

é igual a

φ

no limite

n −→ ∞

. O número

φ

representava na tradição grega a relação perfeita que deveria existir entre os lados de um re tângulo para se

Soluções 1.

{y

n

} = {1, 0, −2, 6, . . .}

y

n

= (−1)

n

_{(2 − 2}

n

₎

2.

{y

n

} = {1, 1, −15, 81, . . .}

y

n

= (−3)

n



1 −

4

₃

n



3.

{y

n

} = {0, 1, 4, 3, . . .}

y

n

=

(

√

13)

n

3

sin



n arctan

 3

2



4.

{y

n

} = {0, 1, 2, 0, . . .}

y

n

=

2

n

√

3

sin



nπ

3



5.

y

n

=

e

−

_n

(c

1

2

n

+ c

2

3

n

)

6.

{y

n

} = {1, −3, 3, −1, 0, 0, . . .} y

n

=







6(−1)

n

n!(3 − n)!

0 ≤ n ≤ 3

0

3 < n

7.

{y

n

} = {2, 1, 3, 2/3, 5/4, . . .} y

2

m

=

4m + 2

2

m

_m!

y

2

m+1

=

2

m

(m + 1)!

(2m + 1)!

8.

{y

n

} = {1, 1, 0, −8, −8, 0, . . .} y

3

m

= (−8)

m

_y

3

m+1

= (−8)

m

y

3

m+2

= 0

9.

y

3

m

= c

1

3

m

_Γ



m +

1

3



y

3

m+1

= c

2

3

m

Γ



m +

2

3



y

3

m+2

= c

3

3

m

m!

10. (a)

F

n+2

− F

n+1

− F

n

= 0

F

0

= F

1

= 1

( )

F

n

=

1

φ + 2

φ

n+2

_{+ (−1)}

n

_φ

−

_n



7 Método das séries

Resolva, usando o método das séries, as seguintes equações diferen iais. Compare os

re-sultados omasrespe tivassoluçõesanalíti as

1.

(1 − x

2

_)y

′

− 2xy = 0

2.

y

′

− y = 1 + x

2

3.

y

′′

− 3y

′

+ 2y = 0

4.

y

′′

− y = x

Determine asolução dasseguintes equaçõesdiferen iaislineares de segundaordem

5.

y

′′

− xy

′

+ y = 0

6.

y

′′

+ xy = 0

7.

x(1 − x)y

′′

+

1 + x

2

y

′

−

1

₂

y = 0

8.

xy

′′

+ (1 − 2x)y

′

+ (x − 1)y = 0

9.

(1 + x)x

2

_y

′′

− (1 + 2x)xy

′

+ (1 + 2x)y = 0

10.

x(x − 1)y

′′

+ (4x − 2)y

′

+ 2y = 0

11.

y

′′

+ x

2

y = 0

y(0) = 1,

y

′

(0) = 0

Nos problemas 12e 13,

n

éumparâmetro inteiro positivo. Demostrequepara ada valor de

n

existe um polinómio de grau

n

que é solução parti ular da equação e determine a forma geral dopolinómio de grau

n

omas ondiçõesfronteira dadas

12. Equação de Laguerre

xy

′′

+ (1 − x)y

′

+ ny = 0

Polinómiosde Laguerre

L

n

(x), L

n

(0) ≡ 1

13. Equação de Hermite

y

′′

− 2xy

′

+ 2ny = 0

Polinómiosde Hermite

H

n

(x)

(a) Para

n

par usea ondição

H

2

m

(0) = (−1)

m

(2m)!

m!

(b) Para

n

impar usea ondição

H

′

2

m+1

(0) = (−1)

m

2(2m + 1)!

m!

Soluções 1.

y = c

P

∞

n=0

x

2

n

₌

c

1 − x

2

2.

y = c

P

∞

n=0

x

n

n!

− x

2

− 2x − 3 = c

e

x

_{− x}

2

− 2x − 3

3.

y = c

1

P

∞

n=0

x

n

n!

+ c

2

P

∞

n=0

(2x)

n

n!

= c

1

e

x

_{+ c}

2

e

2

x

4.

y = c

1

P

∞

n=0

x

2

n

(2n)!

+ c

2

P

∞

n=0

x

2

n+1

(2n + 1)!

− x = c

1

cosh x + c

2

sinh x − x

5.

y = c

1

x + c

2



1 −

P

∞

n=0

x

2

_n

2

n

_{n!(2n − 1)}



6.

y = c

1

P

∞

n=0

(−1)

n

₃

n

_Γ



n +

1

3



(3n)!

x

3

n

_{+ c}

2

P

∞

n=0

(−1)

n

₃

n

_Γ



n +

2

3



(3n + 1)!

x

3

n+1

7.

y = c

1

(1 + x) + c

2

√

x

8.

y =

e

x

_(c

1

+ c

2

ln x)

9.

y = c

1

x + c

2

(x

2

+ x ln x)

10.

y =

c

1

x

+

c

2

1 − x

11.

y =

P

∞

n=0

(−1)

n

Γ

 3

4



16

n

_{n! Γ}



n +

3

4

 x

4

n

12.

L

n

(x) =

P

n

m=0

(−1)

m

_n!

(n − m)! m! m!

x

m

13. (a)

H

2

m

(x) =

P

m

k=0

(−1)

m+k

_(2m)!

(m − k)!(2k)!

(2x)

2

k

(b)

H

2

m+1

(x) =

P

m

k=0

(−1)

m+k

_{(2m + 1)!}

(m − k)!(2k + 1)!

(2x)

2

k+1

8 Transformadas de Lapla e

Apli ando transformadasde Lapla e,resolvaasseguintes equações

1.

y

′′

+ y

′

− 2y = 3

y(0) = 0, y

′

(0) = 1

2.

y

′′

+ 4y

′

+ 4y =

e

−2

t

_{y(0) = 0, y}

′

(0) = 0

3.

y

′′′

− 4y

′′

− y

′

+ 4y =

e

t

_{y(0) = y}

′

(0) = y

′′

(0) = 1

4.

y

′′

+ y =

e

2

t

_{cos t}

_{y(0) = 1, y}

′

(0) = 0

5.

y

′′

+ 4y = t sin(2t)

y(0) = y(π/4) = 0

6.

t

2

y

′′

− 2y = 2t

y(0)

nita,

y(2) = 2

Nas perguntas 7a 10 resolva oproblemade ondiçõesfronteira

y

′′

+ 4y = f (t)

y(0) = y

 5π

4



= 0

usando adenição da função

f (t)

dada em ada aso 7.

0

t

f(t)

1

π

2

π

3

π

8.

f (t) = δ(t − π)

9.

f (t) =







1

_{0 ≤ t < π}

0

_{π ≤ t < 2π}

sin t 2π ≤ t

10.

0

t

f(t)

1

π

/4

π

/2

3

π

/4

π

Cal ule osseguintes produtosde onvolução

11. e

at

_∗

e

at

12.

t ∗ t ∗ t

13.

t ∗ sin t

Usando a propriedade da transformada de Lapla e do produto de onvolução, al ule as

transformadas inversasdasseguintes funções

14.

4

s

2

(s − 2)

15.

1

(s

2

_{+ ω}

2

₎

2

Resolva as sequintes equações em forma geral, para qualquer função

f (t)

par elarmente ontínua eparâmetro

k

diferentede zero

16.

y

′′

− k

2

y = f (t)

y(0) = y

′

(0) = 0

17.

y

′′

− 2ky

′

+ k

2

y = f (t)

y(0) = y

′

(0) = 1

Equações integrodiferen iais. Resolvaasseguintesequações

18.

y(t) = a sin t − 2

R

t

0

y(s) cos(t − s) ds

19.

y(x) = x +

R

x

0

y(t) cos(x − t) dt

20.

R

t

0

y(s) ds − y

′

(t) = t

y(0) = 2

21.

y

′

(t) + 2y +

R

t

0

y(s) ds = sin t

y(0) = 1

Soluções 1.

y =

1

6

e

−2

t

₊

4

3

e

t

₋

3

2

2.

y =

1

2

t

2

e

−2

t

3.

y =

1

45

e

4

t

₋

1

20

e

−

t

+

1

36

(37 − 6t)

e

t

4.

8y = 7 cos t − 3 sin t +

e

2

t

_{(cos t + sin t)}

5.

y =

t

16

(sin(2t) − 2t cos(2t)) −

π

64

sin(2t)

6.

y = t

2

− t

7.

y =

1

4

(1 − cos(2t)) [u(t) − u(t − π) + u(t − 2π) − u(t − 3π)]

8.

y =

1

2

sin[2(t − π)]u(t − π) −

1

2

sin(2t)

9.

y =

1

4

(1 − cos(2t))[u(t) − u(t − π)] +

1

6

(2 sin t − sin(2t))u(t − 2π)

10.

2πy = − [2t − 2π − sin(2t)] u(t − π) + [4t − 3π − 2 cos(2t)] u



t −

3π

4



−2 [2t − π + sin(2t)] u



t −

π

2



+ [2t − π/2 + cos(2t)] u



t −

π

4



+



_{1 −}

π

2



sin(2t)u(t)

11.

t

e

at

12.

t

5!

13.

t − sin t

14. e

2

t

_{− 2t − 1}

15.

1

2ω

3

[sin(ωt) − ωt cos(ωt)]

16.

y =

1

k

R

t

0

cosh[k(t − s)]f(s) ds

17.

y =

e

kt

h

_{1 + (1 − k)t +}

R

t

0

(t − s)

e

−

_ks

f (s) ds

i

18.

y = at

e

−

_t

19.

y = 1 + t +

e

t/2

"

1

√

3

sin

√

3t

2

!

− cos

√

3t

2

!#

20.

y = 1 + cosh t

21.

y =

1

2

sin t +

e

−

_t



1 −

3

₂

t



9 Equações de diferenças lineares não-homogéneas e

não-lineares

Resolvaasseguintesequaçõesde diferenças

1.

y

n+2

− 3y

n+1

+ 2y

n

= 1

2.

y

n+2

+ y

n+1

− 2y

n

= 3

y

0

= 0, y

1

= 1

3.

y

n+2

+ 4y

n+1

+ 4y

n

= (−2)

n

_y

0

= 0, y

1

= 0

4.

y

n+1

− 2y

n

= exp(−bn)

5.

y

n+2

− 2y

n+1

+ 4y

n

= 2

n

_y

0

= 0, y

1

= 0

6.

y

n+2

+ 4y

n

=

1

3

n

y

0

= 1, y

1

= 0

7.

y

n+2

− y

n

= n

En ontre astransformadas

Z

dasseguintes su essões 8.

{1, 0, 0, . . .}

y

n

= δ

n,0

9.

{0, 0, 1, 1, . . .}

y

n

= 1 − δ

n,0

− δ

n,1

10.

y

n

= n sin(ωn)

11. Os números

{T

n

} = {1, 3, 6, 10, 15, . . .}

são hamados números triangulares, pois podemserobtidos geométri amente ontando onúmero depontos nostriângulos da

sequên ia nagura seguinte

T

1

= 1

T

2

= 3

T

3

= 6

T

4

= 10

1. Determine oproblema devalor ini ialque dene osnúmerostriangulares.

2. En ontre aforma geral

T

n

de qualquer número triangular.

Nos problemas 12 e 13 en ontre uma equação de diferenças para as seguintes somas

S

n

( ompare

S

n+1

om

S

n

). Resolva a equação de diferenças usando a ondição ini ial

S

1

para obterumafórmulageral para

S

n

12.

S

n

= 1 + 2

3

+ 3

3

+ · · · + n

3

14. Osistemaiterativo

x

n+1

= x

2

n

+ c

x

0

= 0

é umsistema aóti o. Usando valoresde

c

igual a

−1.3

,

−1.75

e

−2

al ule alguns termosdasequên ia

{x

n

}

atéobterumvalorrepetido;qualéoperíododasequên ia em ada aso? que pode on luir a partir destes resultados? Se quiser es rever um

programade omputadorpara en ontraro diagrama debifur ação, usevaloresde

c

entre

−2

e

0.25

,etenhaem ontaqueosvaloresresultantesde

x

n

estão omprendidos entre

−2

e 2. Soluções 1.

y

n

= y

0

(2 − 2

n

_{) + y}

1

(2

n

− 1) + 2

n

− n − 1

2.

y

n

= n

3.

y

n

=

(−1)

n

8

n(n − 1)2

n

4.

y

n

= 2

n



y

0

+

1

2 −

e

−

b



−

e

−

_bn

2 −

e

−

b

5.

y

n

=

2

n

4



1 − cos



nπ

₃



−

√

1

3

sin



nπ

3





6.

y

2

m

=

1

37



28(−4)

m

+

9

9

m



y

2

m+1

= −

3

37



(−4)

m

+

1

9

m



7.

y

2

m

= y

0

+ m(m − 1)

y

2

m+1

= y

1

+ m

2

8.

y(z) = 1

9.

y(z) =

1

z(z − 1)

10.

y(z) =

z(z

2

− 1) sin ω

(z

2

− 2z cos ω + 1)

2

11. 1.

T

n+1

− T

n

= n + 1

T

1

= 1

2.

T

n

=

n(n + 1)

2

12.

S

n

= T

2

n

=

n

2

_{(n + 1)}

2

4

13.

S

n

= n(n + 1)

14. Operíodoé4,3e1respe tivamente. Existempontosdebifur açãoentre

−2

e

−1.75

, e entre

−1.75

e

−1.3

10 Sistemas de equações diferen iais lineares

Resolvaosseguintesproblemas de valoresini iaispelométododa eliminação

1.



x

′

= y − x

y

′

= y − 2 sin t



x(0) = 0

y(0) = 1

2.



x

′

= y − x

y

′

= y − 2x + sin t



x(0) = 0

y(0) = 0

3.







x

′

= z

y

′

= x

z

′

= y







x(0) = 0

y(0) = −1

z(0) = 1

Nos problemas seguintes al ule a matriz e

At

e use o resultado para en ontrar a solução

do problema devalor ini ial

dx

dt

= Ax

x(0) = x

0

4.

A =



2 1

0 1



x

0

=



1

1



5.

A =





1 −1 −1

1

3

1

−3

1 −1





x

0

=





0

1

0





6.

A =



4

5

−4 −4



x

0

=



1

2



7.

A =





1 0

0

3 1 −2

2 2

1





x

0

=





1

1

1





8.

A =



2 1

0 2



x

0

=



1

1



9.

A =





−1 −1

0

0 −1

0

0

_{0 −2}





x

0

=





0

1

1





10.

A =





−7 0 6

0 5 0

6 0 2





x

0

=





1

1

1





11.

A =









1 −4 0 0

4

1 0 0

0

0 2 1

0

0 0 1









x

0

=









1

1

1

1









Soluções

1.

x = sin t

y = cos t + sin t

2.

x =

1

2

(sin t − t cos t)

y =

1

3.

























































x =

2

e

t/2

√

3

sin

3t

2

y = −

e

−

_t/2

"

cos

√

3t

2

!

+

_√

1

3

sin

√

3t

2

!#

z =

e

−

_t/2

"

cos

√

3t

2

!

−

√

1

3

sin

√

3t

2

!#

4.

x =



2

e

2

t

₋

e

t

e

t



5.

x =





e

2

t

_{− e}

3

t

e

3

_t

−

e

2

t

₊

e

3

t





6.

x =



cos(2t) + 7 sin(2t)

2 cos(2t) − 6 sin(2t)



7.

x =

e

t









1

−1 + 2 cos(2t) +

1

₂

sin(2t)

3

2

−

1

2

cos(2t) + 2 sin(2t)









8.

x =

e

2

t



1 + t

1



9.

x =

e

−

_t





−t

1

e

−

_t





10.

x =

1

5





2

e

−10

t

_{+ 3}

e

5

t

5

e

5

_t

−

e

−10

t

_{+ 6}

e

5

t





11.

x =

e

t









cos(4t) − sin(4t)

sin(4t) + cos(4t)

2

e

t

_{− 1}

1









11 Sistemasdeequações diferen iaislineares não-homogéneos

Com asmatrizesdadas em ada asoresolvao problemade valorini ial

dx

dt

= Ax + f

x(0) = x

0

1.

A =



3 1

2 2



f =



t

t



x

0

=



1

0



2.

A =





1 1 0

0 1 0

0 0 1





f =

e

t





0

1

t





x

0

=





0

1

0





3.

A =



2 −2

4 −2



f =



0

δ(t − π)



x

0

=



1

0



4.

A =





−1 −1 −2

1

1

1

2

1

3





f =

e

t





0

0

1





x

0

=





0

0

0





5.

A =



3 −1

2

0



f =



1 − u(t − 1)

0



x

0

=



0

0



Soluções 1.

x =

1

48



−3 − 12t + 16

e

t

_{+ 35}

e

4

t

−3 − 12t − 32

e

t

_{+ 35}

e

4

t



2.

x =

e

t











t +

t

2

2

1 + t

t

2

2











3.

x =



sin(2t) + cos(2t) − u(t − π) sin(2t)

2 sin(2t) + u(t − π)[cos(2t) − sin(2t)]



4.

x =

t

e

t

6





6t − t

2

3t

6 + 6t + t

2





5.

x =

1

2



3 − 4

e

−

_t

+

e

−2

t

_{− u(t − 1)(3 − 4}

e

1−

t

₊

e

2−2

t

₎

2 − 4

e

−

_t

+ 2

e

−2

t

_{− u(t − 1)(2 − 4}

e

1−

t

_{+ 2}

e

2−2

t

₎



12 Equaçõesdederivadas par iais etransformadasdeFourier

En ontre asolução geral

u(x, y)

dasseguintesequações 1.

∂u

∂x

= y

2.

∂

2

_u

∂x∂y

= 0

3.

∂

2

u

∂x∂y

= x

2

+ y

2

Utilizando transformadasde Lapla e,resolva asseguintesequaçõesde derivadaspar iais

4.

∂v

∂t

+ 2

∂v

∂x

= −v

(t > 0)

(x > 0)

v(x, 0) = 0

v(0, t) =



2t t < 1

0

t > 1

5.

∂

2

v

∂t

2

− c

2

∂

2

v

∂x

2

= 0

(t > 0)

(x > 0)

v(0, t) = sin t

lim

x→∞

v(x, t) = 0

v(x, 0) =

∂v

∂t









t=0

= 0

6.

∂u

∂t

+ x

∂u

∂x

= xt

(t > 0)

(x > 0)

u(x, 0) = 0

u(0, t) = 0

En ontre asséries deFourier seno e o-seno dasseguintes funções

7.

f (x) = 1

0 < x < π

8.

f (x) = 1 − x

0 < x < 1

Resolvaasseguintesequações

9.

∂

2

u

∂t

2

=

∂

2

u

∂x

2

(0 < x < 1)

(t > 0)

u(0, t) = u(1, t) = 0

u(x, 0) = 5 sin(3πx)

∂u

∂t









t=0

= 0

10.

∂u

∂t

− α

2

∂

2

_u

∂x

2

= 0

(0 < x < 1)

(t > 0)

u(x, 0) = x

2

u(1, t) = 1

∂u

∂x









x=0

= 1

11.

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

=

e

−

x

(0 < y < 1)

(x > 0)

Soluções

1.

u(x, y) = xy + f (y)

,onde

f

é qualquer função de

y

derivável

2.

u(x, y) = f (x)+g(y)

,onde

f

e

g

sãofunçõesde

x

e

y

,ambasderiváveisnasrespe tivas variáveis 3.

u(x, y) =

1

3

x

3

y +

1

3

xy

3

+f (x)+g(y)

,onde

f

e

g

sãofunçõesde

x

e

y

,ambasderiváveis nasrespe tivasvariáveis

4.

v(x, t) = 2

e

−

_x/2



t −

x

2

 h

u



_{t −}

x

2



− u



t − 1 −

x

2

i

5.

v(x, t) = sin



t −

x

c



u



_{t −}

x

c



6.

u(x, t) = x t − 1 +

e

−

_t

7.

f (x) =

4

π

P

∞

n=1

1

2n − 1

sin(2n − 1)x

Série o-seno:

f (x) = 1

8.

f (x) =

2

π

P

∞

n=1

1

n

sin(nπx) =

1

2

+

4

π

2

P

∞

n=1

1

(2n − 1)

2

cos [(2n − 1)πx]

9.

u(x, t) = 5 sin(3πx) cos(3πt)

10.

u(x, t) = 2

P

∞

n=0

 (−1)

n

λ

n

−

1

λ

2

n

−

e

−

_α

2

_λ

2

n

t

 1

λ

2

n

−

2(−1)

n

λ

3

n



cos(λ

n

x)

emque

λ

n

= (n + 1/2)π

11.

u(x, t) =

P

∞

n=0

2

nπ



1 +

1 − (−1)

n

_n

2

_π

2

n

2

_π

2

_{− 1}

e

−

_nπx

−

1 − (−1)

n

n

2

_π

2

_{− 1}

e

−

_x



sin(nπy)