Análise e desenvolvimento de novas configurações de antenas, filtros e superfícies seletivas de frequência não-uniformes e reconfiguráveis pelo método WCIP generalizado

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO. Análise e Desenvolvimento de Novas Configurações de Antenas, Filtros e Superfícies Seletivas de Frequência Não-Uniformes e Reconfiguráveis pelo Método WCIP Generalizado. Valdemir Praxedes da Silva Neto. Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção Tese de Doutorado apresentada ao Programa de PósGraduação em Engenharia Elétrica e Computação da UFRN (área de concentração: Telecomunicações) como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica e Computação.. Número de Ordem do PPgEEC: D164 Natal/RN, 2016..

(2) Catalogação da publicação na fonte. Universidade Federal do Rio Grande do Norte Sistema de Bibliotecas Biblioteca Central Zila Mamede. Silva Neto, Valdemir Praxedes da. Análise e desenvolvimento de novas configurações de antenas, filtros e superfícies seletivas de frequência não-uniformes e reconfiguráveis pelo método WCIP generalizado / Valdemir Praxedes da Silva Neto. – Natal, RN, 2016. 151 f: il. Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D'Assunção. Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação. 1. Ondas eletromagnéticas – Tese. 2. Wave Concept Iterative Procedure (WCIP) – Tese. 3. Antenas – Tese. 4. Filtros elétricos – Tese. 5. Superfícies seletivas de frequência – Tese. 6. Circuitos de micro-ondas – Tese. 7. Telecomunicações – Tese. I. D'Assunção , Adaildo Gomes. II. Título. RN/UF/BCZM. CDU 621.37(043.2).

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(4) À minha família, que sempre foi a base de todas as minhas conquistas, apoiando-me em todas as minhas decisões.. Dedico.

(5) Agradecimentos Agradeço a Deus, que me deu sabedoria, força, coragem nos momentos difíceis e determinação para concretizar esta etapa tão importante de minha vida. Aos meus pais, José Valdemir e Francisca Helena, e à minha irmã, Fabíola, meus agradecimentos pelo amor, confiança e incentivo em nunca desistir de meus objetivos. Vocês são os principais motivos de ter persistido até o fim. Aos meus tios, Otacílio e Amélia, que me acolheram durante graduação e pósgraduação aqui em Natal, meus sinceros agradecimentos. A toda minha família, pela confiança, incentivo e amor depositados. A todos que contribuíram para a realização deste sonho, em especial, meus avós e tios; A minha namorada, pelo incentivo e cobrança pela escrita desta tese. Ao orientador, amigo e professor, Adaildo Gomes D’Assunção, pela dedicação, compreensão e amizade comprovada no transcorrer deste trabalho, sempre me apoiando e incentivando. Foi um modelo seguido durante toda minha jornada acadêmica. Os conhecimentos por ele passados, serão levados por toda vida. Às professoras Cristhianne de Fátima Linhas de Vasconcelos e Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque, pelos ensinamentos, disposição, solidariedade, incentivo e pela amizade que construímos durante toda essa jornada. Levarei por toda a vida. Aos demais mestres, colegas e funcionários da UFRN. Ao CNPq e à CAPES, pelo suporte financeiro concedido para a realização deste trabalho..

(6) RESUMO. Os sistemas modernos de comunicações demandam dispositivos com elevado desempenho de operação. Para o atendimento dessa demanda, torna-se essencial o desenvolvimento de novos dispositivos que sejam leves, de baixo custo, que apresentem facilidade de construção e capacidade de integração com outros circuitos que integram o sistema por completo. Desta forma, novas configurações de circuitos integrados de microondas atraem cada vez mais a atenção dos pesquisadores, pelo bom desempenho na integração e prototipagem de sistemas de transmissão e recepção de sinais sem fio. Este trabalho propõe e detalha a aplicação de uma técnica numérica, constituída por uma formulação de onda completa, baseada no conceito de ondas eletromagnéticas e no princípio da reflexão e transmissão de ondas na interface do circuito: Wave Concept Iterative Procedurte (WCIP). O método Wave Concept Iterative Procedure (WCIP), ou método iterativo das ondas, é apresentado como uma ferramenta com alto grau de precisão no estudo de circuitos planares de micro-ondas. São propostas novas configurações de estruturas de antenas, filtros e superfícies seletivas de frequência. Para antenas, são apresentadas antenas com patch fractal aleatório, nas configurações tradicionais e como monopolo. São realizadas análise da resposta em frequência dessas antenas impressas em diferentes substratos dielétricos, dentre eles, materiais têxteis. Foram obtidos e discutidos resultados para frequência de ressonância, largura de banda, perda de retorno e diagrama de radiação. Foram investigadas duas configurações de filtros planares, cujas sínteses e caracterização das respostas em frequência foram apresentadas e realizadas por meio da aplicação do método WCIP. São mostrados os resultados para as respostas em frequência. Nesta tese, são também analisadas diferentes configurações de FSS, tais como: FSS com elementos fractais, reconguráveis e FSS baseadas em arranjos não uniformes de elementos. Alguns protótipos dos dispositivos propostos foram construídos e os resultados experimentais comprovaram o.

(7) modelo matemático apresentado. Os resultados obtidos também foram comparados com os resultados simulados pelo Ansoft HFSS, tendo sido observada uma boa concordância entre eles.. Palavras-chave: Ondas eletromagnéticas, Wave Concept Iterative Procedure (WCIP), antenas de planares, filtros, superfícies seletivas de frequência, FSS, circuitos de microondas..

(8) ABSTRACT. The modern communications systems require devices with high operating performance. For the supply of this demand, it is essential to develop new devices that are lightweight, low cost, showing ease of construction and ability to integrate with other circuits that make up the system completely. Thus, new configurations of integrated microwave circuits increasingly attract the attention of researchers, the good performance in the integration and prototyping of transmitting and receiving wireless signals systems. This paper proposes and details the application of a numerical technique, consisting of a full-wave formulation, based on the concept of electromagnetic waves and the principle of reflection and wave transmission circuit in the interface: Wave Concept Iterative Procedure (WCIP). The method Wave Concept Iterative Procedure (WCIP) or waves iterative method is presented as a tool with high precision in planar circuits study microwave. New configurations are proposed antenna structures, filters, and frequency selective surfaces. For antennas, antennas are presented with random fractal patch in traditional settings and how monopole, response analysis are performed in frequency of such printed antennas in different dielectric substrate, including textiles. Results for resonance frequency, bandwidth, return loss and radiation pattern were obtained and discussed. Two planar filter settings were presented. Their synthesis and characterization of the frequency response were presented and carried out by applying the method WCIP. Results for its frequency response are shown. FSS different settings are presented in this thesis, such as: FSS with fractal elements, reconguráveis and FSS based on non-uniform arrangement of elements. Some prototypes of the devices proposed in this thesis were built and the experimental results showed the mathematical model presented. The results were also compared with the Ansoft HFSS simulation results, it was observed a good correlation between them..

(9) Keywords: Electromagnetic waves, Wave Concept Iterative Procedure (WCIP) planar antennas, filters, frequency selective surfaces, FSS, microwave circuits..

(10) Sumário Lista de Figuras. xii. Lista de Tabelas. xviii. Lista de Símbolos e Abreviaturas. xx. Capítulo 1. Introdução. 21. Capítulo 2. Método Iterativo das Ondas (WCIP). 27. 2.1 Introdução. 27. 2.2 Generalidades e Processo Iterativo do WCIP. 28. 2.3 Caracterização do Operador de Espalhamento no Domínio Espacial. 34. 2.3.1 Operador de Espalhamento no Domínio Espacial em Região Metálica. 35. 2.3.2 Operador de Espalhamento no Domínio Espacial em Região Dielétrica. 36. 2.3.3 Operador de Espalhamento no Domínio Espacial em Região de Fonte. 38. 2.3.4 Operador de Espalhamento no Domínio Espacial em Região de Carga. 41. 2.3.5 Generalização do Operador de Espalhamento no Domínio Espacial. 43. 2.4 Caracterização do Operador de Reflexão no Domínio Modal. 44. 2.5 Relação entre os Domínios Espacial, Espectral e Modal. 47 ix.

(11) Capítulo 3. Capítulo 4. 2.6 Definição da Transformada Modal de Fourier. 48. 2.7 Formulação do Método WCIP para Estruturas Multicamadas. 51. 2.8 Aproximação WCIP para Análise de Estruturas NãoUniformes de FSS. 54. 2.9 Aplicações do Método WCIP. 56. 2.9.1 Estudo de uma Linha de Microfita. 56. 2.9.2 Estudo de um Acoplador Híbrido 180º ou em Anel (RatRace Coupler). 58. 2.9.3 Análise de FSS Limitada com Elementos Quase-Fractais Circulares. 62. 2.10 Considerações Finais. 65. Análise de Novas Configurações de Antenas pelo Método WCIP. 66. 3.1 Introdução. 66. 3.2 Estudo de Antenas de Microfita em Geometria QuaseFractal de Mandelbrot. 68. 3.3 Estudo de Monopolos de Microfita para Sistemas UWB. 75. 3.4 Estudo de Antena de Ressoador Cilíndrico Ferrimagnético (FRA – Ferrite Resonator Antenna). 79. 3.5 Considerações Finais. 87. Análise de Novas Configurações de Filtros Planares pelo Método WCIP. 89. 4.1 Introdução. 89. 4.2 Análise de Filtro Passa-Banda Impresso em Substrato Isotrópico e Anisotrópico. 90 x.

(12) 4.3 Análise de Filtro Passa-Banda em Geometria Inspirada no Fractal de Mandelbrot (Mandelbrot Inspired). Capítulo 5. Capítulo 6. 98. 4.4 Considerações Finais. 105. Análise de Novas Configurações de FSS pelo Método WCIP. 106. 5.1 Introdução. 106. 5.2 Análise de Superfície Seletiva de Frequência em Geometria Fractal de Cruz. 107. 5.3 Análise de Superfícies Seletivas de Frequência Formadas por Arranjos Não-Uniformes. 116. 5.4 Análise de Superfícies Seletivas de Frequência Reconfiguráveis e com Arranjos Não-Uniformes. 128. 5.5 Considerações Finais. 134. Conclusão. 135. Referências Bibliográficas. 139. xi.

(13) Lista de Figuras 2.1. Estrutura de FSS para aplicação do método WCIP. 28. 2.2. Ondas incidentes e refletidas na interface dos circuitos utilizados na formulação do método WCIP.. 29. 2.3. Colinearidade entre os vetores E T i e apenas modos TE e TM.. em estruturas planares propagando. 31. 2.4. Etapas de cada iteração no método WCIP: (a) Incidência da onda oriunda da fonte; (b) Geração das ondas refletidas no domínio espacial; (c) Geração de ondas incidentes no domínio modal e (d) Superposição das ondas e geração de novas ondas incidentes.. 32. 2.5. Discretização de uma linha de microfita terminada por uma carga e. 35. .  Ji. identificação dos diferentes tipos de regiões a serem analisadas pelo método WCIP. 2.6. Circuito equivalente para um pixel metálico: (a) pixel metálico e (b) circuito equivalente.. 36. 2.7. Circuito equivalente para um pixel dielétrico: (a) pixel dielétrico e (b). 37. circuito equivalente. 2.8. Tipos de fontes utilizadas na modelagem WCIP: (a) fonte distribuída e (b) fonte localizada.. 39. 2.9. Circuito equivalente para um pixel em região de fonte: (a) pixel em região de fonte e (b) circuito equivalente.. 40. 2.10 Circuito equivalente para um pixel em região de carga: (a) pixel em região de carga e (b) circuito equivalente.. 42. xii.

(14) 2.11 Determinação do operador de reflexão no domínio modal: (a) representação. 44. dos meios pelo operador admitância e (b) operador de reflexão no domínio modal. 2.12 Diferentes tipos de estrutura para determinação da admitância de modo: (a). 45. free-standing; (b) estrutura em substrato suspenso e (c) estrutura com substrato dielétrico curto circuitado com um plano de terra (microfita). 2.13 Relação de passagem entre os domínios espacial, modal e espectral.. 48. 2.14 Estrutura de múltiplas camadas para aplicação do método WCIP. 52. 2.15 Secção de linha de transmissão representando a transmissão que acontece. 53. no meio 2. 2.16 Esquema para análise de estruturas não-uniformes de FSS.. 55. 2.17 Estrutura básica de uma linha de microfita.. 56. 2.18 Representação da discretização de uma seção de linha de transmissão terminada por um curto-circuito.. 57. 2.19 Impedância de entrada vista pela fonte em função da frequência.. 58. 2.20 Acoplador híbrido 180º (rat-race).. 59. 2.21 Resposta em frequência para acoplador híbrido 180º: (a) Módulo dos parâmetros S e (b) Defasagem entre os sinas das portas 2 e 4.. 61. 2.22 Geometria da FSS quase-fractal: (a) k=0 e (b) k=3.. 62. 2.23 Coeficiente de transmissão para a FSS com elementos quase-fractais circulares.. 63. 2.24 Análise da estabilidade angular da resposta em frequência da FSS com elementos quase-fractais: (a) 0º, (b) 20º, (c) 40º e (d) 60º.. 64. 3.1. Estrutura básica de uma antena de microfita.. 67 xiii.

(15) 3.2. Classes de materiais utilizados como substrato de antenas.. 68. 3.3. Antena de microfita com patch quase-fractal de Mandelbrot (dimensões da estrutura em mm).. 69. 3.4. Perda de Retorno simulada para antena em geoemtria quase-fractal de. 71. Mandelbrot 3.5. Protótipo de antena com patch em geometria quase-fractal de Mandelbrot.. 71. 3.6. Perda de retorno para antena de microfita em geometria fractal de Mandelbrot impressa em Brim Santista.. 72. 3.7. Distribuição de corrente para antena de microfita em geometria quase-ractal de Mandelbrot impressa em Brim Santista.. 73. 3.8. Diagrama de Radiação para antena de microfita em geometria quase-fractal de Mandelbrot impressa em Brim Santista: (a) Diagrama 3D e (b) Diagrama 2D.. 74. 3.9. Antena monopolo de microfita com patch quase-fractal de Mandelbrot: (a) estrutura analisada, e (b) protótipo construído.. 76. 3.10 Perda de retorno simulada pelo método WCIP para monopolos de microfita impressos em diferentes substratos.. 77. 3.11 Resposta em frequência para monopolo de microfita em substrato Brim Santista: (a) perda de retorno e (b) VSWR.. 79. 3.12 Estrutura da antena de ressoador ferrimagnético: (a) estrutura completa da antenna e (b) aproximação do ressoador analisada pelo método WCIP.. 80. 3.13 Perda de retorno para as FRA construidas com as ferritas 1 e 2.. 83. 3.14. 84. Perda de retorno simulada e medida para FRA com ressoador de ferrita 2.. 3.15 Características da FRA processada a 900º: (a) Diagrama de radiação e (b) Impedância de entrada na Carta de Smith.. 85. 3.16 Perda de retorno para FRA considerando diferentes campos externos.. 86. 4.1. Estrutura de Filtro Proposta: (a) geometria do ressoador e (b) protótipo construído.. 91. xiv.

(16) 4.2. Resposta em Frequência medida para o filtro passa baixa.. 92. 4.3. Resposta simulada e medida para o filtro proposto: (a) perda de inserção e (b) perda de retorno.. 93. 4.4. Resposta em frequência do filtro passa-baixa impresso em substrato anisotrópico de Epsilam-10.. 95. 4.5. Resposta em frequência do filtro passa-baixa impresso em substrato anisotrópico de PBN.. 96. 4.6. Frequência do filtro passa-baixa em função da razão de anisotropia.. 97. 4.7. Estruturas dos filtros de Mandelbrot analisados: (a) 1ª ordem; (b) 2ª ordem e (c) 3ª ordem.. 99. 4.8. Perdas por inserção simuladas pelo método WCIP para o filtro em fractal de Mandelbrot.. 100. 4.9. Resposta em frequência simulada e medida para o filtro com fractal de Mandelbrot de 1ª ordem.. 101. 4.10 Resposta em frequência simulada e medida para o filtro com fractal de Mandelbrot de 2ª ordem.. 102. 4.11 Resposta em frequência simulada e medida para o filtro com fractal de Mandelbrot de 3ª ordem.. 104. 5.1. Elementos de FSS Fractal de Cruz: (a) Gerador e (b) Primeira Fractal iteração. 107. 5.2. Fotografias de protótipos de FSS fabricados com geometria fractal de cruz: (a) Gerador e (b) Primeira Fractal iteração.. 108. 5.3. Resultados simulados para o coeficiente de transmissão para diferentes valores de periodicidade da FSS: (a) FSS1 (gerador) e (b) FSS2 (primeira iteração fractal).. 109. 5.4. Resultados simulados para o coeficiente de transmissão para FSS com elementos 110 Fractal e Cruz mostradas na Fig.5.1.. 5.5. Resultados simulados para o coeficiente de transmissão para FSS com elementos 111 Fractal e Cruz FSS1.. xv.

(17) 5.6. Resultados simulados para o coeficiente de transmissão para FSS com elementos 112 Fractal e Cruz FSS2.. 5.7. Coeficiente de transmissão medido variando a ângulo de incidência das ondas com polarização TE para as estruturas propostas FSS: (a) FSS1, e (b) FSS2.. 113. 5.8. Coeficiente de transmissão medido variando a ângulo de incidência das ondas com polarização TM para as estruturas propostas FSS: (a) FSS1, e (b) FSS2.. 114. 5.9. Estruturas de FSS não-uniformes consideradas neste trabalho: (a) FSS1; (b) FSS2; (c) FSS3 e (d) FSS4.. 118. 5.10 Fotografias dos protótipos de FSS não-uniformes construídos: (a) FSS não uniformes com elementos de k = 0 e k = 1 (FSS-1) e (b) FSS não-uniformes com elementos de k = 0 e k = 2 (FSS4).. 119. 5.11 Comportamento da resposta em frequência simulada pelo método WCIP para FSS não-uniforme.. 120. 5.12 Comparação entre resultados simulados (HFSS e WCIP) para o coeficiente de transmissão: (a) FSS1 e FSS2 e (b) FSS3 e FSS4.. 121. 5.13 Comparação entre resultados simulados e medidos para o coeficiente de transmissão da FSS proposta na Fig. 5.10(a).. 122. 5.14 Comparação entre resultados simulados e medidos para o coeficiente de transmissão da FSS proposta em Fig. 5.10(b).. 123. 5.15 Simulação WCIP paramétrica considerando diferentes malhas de discretização: (a) FSS da Fig. 5.10(a) e (b) FSS da Fig. 5.10(b).. 125. 5.16 Coeficiente de transmissão da FSS não uniforme ilustrado na Fig. 5.10 (a), para ângulos de incidência diferentes: (a) 0º, (b) 30 °, (c) e 60 ° (d) 80º.. 126. 5.17 Coeficiente de transmissão da FSS não uniforme ilustrado na Fig. 5.10 (b), para ângulos de incidência diferentes: (a) 0º, (b) 30 °, (c) e 60 ° (d) 80º.. 127. 5.18 Superfície Seletiva de Frequência: (a) Elemento patch e (b) estrutura do arranjo.. 129. 5.19 Resultados simulados e medidos para o coeficiente de transmissão da FSS reconfigurável: (a) estado OFF e (b) estado ON.. 131. 5.20 Resultados simulados e medidos para o coeficiente de transmissão da FSS parcialmente reconfigurável.. 132. xvi.

(18) 5.21 Resultados simulados e medidos dos coeficientes de transmissão para a FSS nãouniforme proposta em onda incidente oblíqua considerando diferentes ângulos: (a) 20º; (b) 30º; (c) 45º, e (d) 60º.. 133. xvii.

(19) Lista de Tabelas. 2.1. Resposta em Frequência para o acoplador híbrido 180º. 61. 2.2. Resposta em frequência da FSS considerando diferentes ângulos de incidência.. 65. 3.1. Parâmetros dos substratos utilizados nesta tese para análise de antenas de microfita.. 70. 3.2. Comparação entre os valores simulados e medidos para resposta em frequência da antena de microfita em fractal de Mandelbrot impressa em substrato Brim Santista.. 72. 3.3. Parâmentros para o ressoador cilíndrico de ferrita para o caso desmagnetizado.. 81. 3.4. Resposta em frequência da FRA magnetizada considerando diferentes campos magnéticos externos de excitação.. 87. 4.1. Resposta em Frequência Simulada e Medida para o Filtro Passa-Banda. 94. 4.2. Resposta em Frequência Simulada e Medida para o Filtro de 1ª ordem.. 101. 4.3. Resposta em Frequência Simulada e Medida para o Filtro de 2ª ordem.. 103. 4.4. Resposta em Frequência Simulada e Medida para o Filtro de 3ª ordem.. 11. 5.1. Os resultados medidos para os comportamentos em frequência do coeficiente de transmissão considerando variação do ângulo de incidência da onda plana com polarizações TE e TM.. 115. 5.2. Resposta em fequência das FSS não-uniformes.. 124. xviii.

(20) 5.3. Resposta em fequência das FSS reconfigurável não-uniformes (Primeira Ressonância).. 134. 5.4. Resposta em fequência das FSS reconfigurável não-uniformes (Segunda Ressonância).. 134. xix.

(21) Lista de Símbolos e Abreviaturas.  A. Onda plana incidente numa superfície..  B. Onda plana refletida numa superfície..  A0. Onda plana gerada por uma fonte e incidente numa superfície..  E. Vetor campo elétrico..  Et. Vetor campo elétrico (componente tangencial)..  H. Vetor campo magnético..  Ht. Vetor campo magnético (componente tangencial).. . Superfície de descontinuidade..  J. Vetor densidade de corrente superficial..  n. Vetor normal unitário.. Sˆ. Operador de espalhamento (domínio espacial).. ˆ. Operador de reflexão (domínio modal).. Z0. Impedância característica..  f mn. Base modal para os modos TE ou TM.. ˆ Y. Operador admitância..  Ym n. Admitância de modos TE ou TM..  m n. Constante de propagação para os modos TE ou TM.. ε. Permissividade elétrica.. µ. Permeabilidade magnética. xx.

(22) εr. Permissividade elétrica relativa.. µr. Permeabilidade magnética relativa.. ε0. Permissividade elétrica do vácuo.. µ0. Permeabilidade magnética do vácuo.. km,n. Número de onda do modo de propagação (m,n).. λ. Comprimento de onda.. H. Altura do substrato.. TE. Modo Transversal Elétrico.. TM. Modo Transversal Magnético.. TEM. Modo Transversal Eletromagnético.. WCIP. Wave Concept Iterative Procedure (Método Iterativo das Ondas).. MoM. Method of Moments (Método dos Momentos).. FDTD. Finite Diference Time Domain (Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo).. FEM. Finite Elements Method (Método dos Elementos Finitos).. xxi.

(23) CAPÍTULO 1 Introdução. Os sistemas de comunicações atuais apresentam um crescente avanço tecnológico para atender aos requisitos e demandas da sociedade moderna, tais como elevado número de usuários com a maior mobilidade possível, aumento da capacidade de transmissão, além de uma maior rapidez e eficiência na transmissão e recepção de dados. Neste contexto, com o intuito de atender às novas demandas, novos dispositivos estão sendo estudados para integrar novos sistemas de telecomunicações [1]–[5]. O desenvolvimento de novos circuitos planares, dentre eles, antenas, filtros, e superfícies seletivas de frequência, por exemplo, têm atraído atenção de pesquisadores e indústrias de tecnologia de telecomunicações. Isto deve-se ao fato desses dispositivos apresentarem muitas características vantajosas como peso e dimensões reduzidos, facilidade de construção, custo baixo e grande capacidade de integração com outros dispositivos em sistemas de comunicações sem fio [5], [6]. Com o objetivo de desenvolver circuitos com alto grau de confiabilidade, diversas técnicas de análise são utilizadas para estudar o projeto eletromagnético desses circuitos. Essas técnicas de análise de circuitos planares estão relacionadas com as características estruturais dos circuitos e o tipo de dispositivo considerado (antena, filtro e FSS). Os métodos de análise de circuitos planares são agrupados em duas grandes classes, denominadas de métodos aproximados e métodos de onda completa. Os métodos aproximados são, em sua maioria, satisfatoriamente precisos até determinados valores de frequência, reduzindo a precisão na predição do desempenho da estrutura, à medida que a frequência aumenta [7]–[11]. Os métodos de onda completa são caracterizados por apresentarem uma rigorosa formulação matemática e por necessitarem de um esforço computacional e analítico maior, quando comparados aos métodos aproximados 21.

(24) CAPÍTULO 1. . Introdução. [12]. Dentre as técnicas de análise mais tradicionais têm-se o método da imitância [13]–[15], método do circuito equivalente [10],[11], método dos momentos (MoM) [16]–[19], método dos elementos finitos (FEM) [20],[21], e método FDTD [22]–[24], dentre outros. O método do circuito equivalente é uma técnica aproximada de análise eficiente e satisfatória que produz resultados consideravelmente satisfatórios. Em sua formulação, cada elemento condutor é modelado por seu circuito equivalente de linha de transmissão sem perdas, considerando apenas componentes localizados indutivos e capacitivos [10],[11]. A partir da análise e resolução desse circuito, obtêm-se as características de transmissão do circuito em estudo. Embora o método apresente resultados satisfatórios em uma análise consideravelmente rápida, o método do circuito equivalente apresenta reduzida precisão para frequências mais elevadas. O método da imitância, bastante semelhante ao do circuito equivalente, substitui os elementos do circuito planar por um equivalente em linhas de transmissão. Essa técnica consiste em realizar o desacoplamento entre os modos TE e TM, obtendo dois circuitos separados, desta forma, facilitando a resolução matricial do problema. A modelagem do método da imitância no domínio espectral realiza a solução do problema de condições de contorno. O estabelecimento das condições de contorno adequadas à estrutura permite obter equações algébricas que relacionam as componentes de campo tangenciais, com as densidades de corrente tangenciais, através de uma matriz de impedância, determinada com a aplicação da teoria de linhas de transmissão aos circuitos desacoplados de modos TE e TM. O método dos momentos, proposto por Harrington [19], baseia-se na discretização para resolução de equações diferenciais e integrais, aplicável, portanto, na solução de problemas eletromagnéticos. Assim, este método determina a solução das equações de Maxwell, por meio de equações integrais que podem ser obtidas utilizando-se de aproximações das funções de Green. Essa equação integral é obtida na tentativa de caracterizar o comportamento da corrente induzida sobre o circuito, que é desconhecida e, no caso, é o integrando da equação integral a ser resolvida [25]. A análise pelo método dos momentos pode ser realizada tanto no domínio modal como no domínio espectral.. 22.

(25) CAPÍTULO 1. . Introdução. Expande-se o integrando da equação, que é a variável desconhecida, em uma combinação linear de um conjunto de funções de base conhecidas com coeficientes desconhecidos. Este método permite discretizar uma equação integral convertendo-a em uma equação matricial. A variável desconhecida é então determinada por meio da resolução da equação matricial. Embora o MoM possa ser aplicado com eficiência na resolução da equação integral, em alguns casos, necessita de um processamento intenso para a construção das funções de Green, pois a mesma depende do tipo de simetria que o problema apresente. A determinação dessas funções e a escolha das funções de base são as etapas mais importantes para a aplicação do método dos momentos. A escolha das funções de base e de teste pode ser facilitada, quando utilizado um caso particular do método dos momentos denominado de método de Garlekin. Neste caso, as funções de base e de testes são idênticas e as soluções resultantes são da forma variacional [19]. O princípio básico do método dos elementos finitos FEM, consiste em discretizar o domínio da estrutura completamente, em elementos de dimensões infinitesimais, denominados de elemento finito; convertendo-se o domínio do problema em um domínio discreto. Estas unidades discretizadas podem apresentar qualquer forma geométrica bem definida como elementos triangulares para configurações planares ou tetraédricas e elementos prismáticos para configurações tridimensionais, satisfatórios para geometrias curvadas, por exemplo. O método FEM utiliza integração de funções de base sobre o domínio de definição que é dividido em várias subseções, e desta forma, resolve a equação de Laplace em cada subdivisão do domínio de definição. O método dos elementos finitos divide um problema caracterizado por uma equação diferencial parcial (EDP) única, em diversos problemas nas unidades discretizadas, onde cada um desses problemas é descrito por um sistema de equações algébricas, cujas soluções são bem mais simples que a resolução da EDP original [25]. O método FDTD apresenta uma formulação de onda completa, baseada na discretização das equações de Maxwell, no domínio do tempo e do espaço. Essa técnica permite analisar estruturas não-homogêneas e circuitos com quaisquer geometrias [25].. 23.

(26) CAPÍTULO 1. . Introdução. Esta tese, aplica o método WCIP na análise e caracterização de diversos tipos de circuitos planares. O método iterativo das ondas (WCIP – Wave Concept Iterative Procedure) é um método integral, desenvolvido na década de 1990, que introduz o conceito de ondas para descrever as condições de contorno e as relações de continuidade de campos na interface do circuito que se quer caracterizar [31] – [36]. Este método pode ser aplicado em muitos circuitos de micro-ondas, dentre os quais antenas de microfita, filtros e superfícies seletivas de frequência. A escolha do método iterativo das ondas como técnica de análise das estruturas caracterizadas neste trabalho, deve-se ao fato desta técnica ter atraído a atenção de muitos pesquisadores nos últimos anos e apresentar características bastantes interessantes como, eficiência e precisão nos cálculos, esforço computacional relativamente baixo quando comparado a outras técnicas numéricas e por utilizar conceitos do eletromagnetismo clássico em sua formulação. A primeira antena de microfita foi proposta por Deschamps, em 1953 [3]. Ela baseiase em um elemento condutor denominado de patch, que pode apresentar diferentes geometrias, impresso substrato dielétrico e, este, sustentado por um plano de terra. Esta estrutura tem atraído a atenção de muitos pesquisadores por apresentar uma geometria leve, dimensões reduzidas, facilidade e baixo custo de construção. As antenas são dispositivos responsáveis por realizar a interface entre o meio guiado e o meio não-guiado, durante o processo de comunicação sem fio. Neste estudo, será enfatizada a proposição de novas estruturas de antenas, caracterização de antenas em substratos têxteis e a aplicação do WCIP em uma nova configuração de antena, baseada em um ressoador ferrimagnético. Os filtros planares são estruturas responsáveis por realizar a separação de componentes de sinais úteis, das componentes indesejadas. Em geral, um filtro é um circuito de duas portas, que controla a resposta em frequência de um sistema de micro-ondas, transmitindo apenas as componentes de frequência que se encontram dentro da banda passante [32],[33]. Neste trabalho, o método WCIP é aplicado na análise e caracterização de filtros planares de microondas com diversas configurações e impressos em diferentes tipos de materiais.. 24.

(27) CAPÍTULO 1. . Introdução. As superfícies seletivas de frequência, tradicionalmente, são definidas por arranjos periódicos de elementos do tipo patch ou abertura, cuja função principal é filtrar sinais em determinadas faixas de frequência [34]-[36]. A resposta em freqüência de uma FSS é controlada por seus parâmentros como tipo de elemento, dimensões físicas, tipo de material utilizado como substrato e periodicidade. Em geral, a estrutura de medição de uma FSS consiste em duas antenas direcionais, geralmente cornetas, utilizadas como elementos de transmissão e recepção, em uma câmara anecóica. Um anteparo, revestido nas bordas com material absorvedor, é colocado com a FSS na linha de visada direta entre as duas antenas. A partir da relação entre os sinais recebidos e transmitidos pelas antenas calculam-se as características de transmissão e reflexão da FSS [36]. Nesse trabalho, são propostas novas configurações de FSS, baseadas em arranjos não-uniformes e elementos patches condutores em geometria fractal, além de estudos sobre a reconfiguração de FSS. O conteúdo teórico e experimental desta tese está apresentado e organizado em seis capítulos, os quais estão descritos a seguir. O Capítulo 2 apresenta a descrição do método iterativo das ondas (WCIP), detalhando o algoritmo empregado na formulação teórica desta técnica numérica. Inicialmente, é feita uma introdução sobre os princípios do método e, em seguida, é apresentada a descrição da formulação no domínio espacial e modal. A iteratividade do método é apresentada por meio da transformada modal de Fourier, que tem sua formulação detalhada neste capítulo. Resultados simulados de alguns circuitos planares tradicionais são mostrados, para fins de exemplificação da aplicabilidade da formulação proposta. O Capítulo 3 sintetiza os resultados da aplicação do WCIP na caracterização de antenas planares. São propostas 3 configurações de antenas: antena de microfita e monopolo de microfita, para aplicações em sistemas UWB com geometria fractal de Mandelbrot e impresso em substratos têxteis, e a antena de ressoador ferrimagnético. Ressalta-se nesse capitulo, a formulação do método WCIP em coordenadas cilíndricas para caracterização da antena de ressoador dielétrico. Os resultados do método WCIP serão discutidos e comparados com os de experimentos.. 25.

(28) CAPÍTULO 1. . Introdução. O Capítulo 4 apresenta resultados da caracterização de filtros planares pelo método iterativo das ondas. Duas estruturas de filtros são caracterizadas, considerando diversas situações de geometrias e tipo de substrato sob o qual esses filtros são impressos. O Capítulo 5 mostra os resultados da caracterização de superfícies seletivas de frequência pelo método iterativo das ondas. Diversas estruturas de FSS são propostas e caracterizadas por meio da teoria proposta nesta tese, com simulações realizadas em software comercial e experimentos. O Capítulo 6 apresenta as conclusões gerais deste trabalho, ressaltando suas principais contribuições. Além disso, são realizadas diversas considerações sobre o método iterativo das ondas e sobre os circuitos propostos. Por fim, são apresentadas propostas de continuidade e a aplicação deste trabalho.. 26.

(29) CAPÍTULO 2 Método Iterativo das Ondas (WCIP). 2.1 Introdução Este capítulo apresenta uma descrição detalhada do método numérico utilizado nesta tese para a caracterização da resposta em frequência de superfícies seletivas de frequência, ressaltando suas características principais. O método iterativo das ondas (WCIP – Wave Concept Iterative Procedure) foi desenvolvido na década de 1990 e é aplicado para solução de problemas de eletromagnetismo formulados por meio de equações integrais. Ao contrário dos métodos integrais clássicos, que utilizam a formulação em termos de campos elétricos e magnéticos para estabelecer as condições de contorno e continuidade do campo eletromagnético, este método utiliza o conceito de ondas eletromagnéticas para descrever as condições de contorno e as condições de continuidade do campo na interface do circuito que se deseja analisar. Neste caso, o método WCIP utiliza-se de uma combinação linear das . . componentes tangenciais dos campos E e H para descrever e formular o problema que se deseja resolver. O objetivo desta modelagem é utilizar a relação entre as ondas eletromagnéticas incidentes e refletidas na interface do circuito e no meio em torno do mesmo, para determinar os campos elétrico e magnético correspondentes. Para tanto, a formulação do método WCIP constitui-se basicamente de duas equações: uma que descreve o espalhamento das ondas na interface do circuito, que é estabelecida no domínio espacial; e a outra que descreve as condições de propagação nos meios ao redor do circuito, neste caso, a equação é caracterizada pelo parâmetro de reflexão descrito no domínio modal. O caráter iterativo do método é determinado pela passagem entre os domínios espacial e modal, sendo este estabelecido por meio do uso da transformada modal de Fourier (FMT – Fourier Modal Transform) e pela. 27.

(30) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP) transformada modal de Fourier inversa (IMFT/MFT-1 – Inverse Fourier Modal Transform)[37],[38]. O método de onda completa WCIP apresenta algumas vantagens em relação a outros métodos de análise rigorosos, quando utilizado na caracterização de FSS, por exemplo [40]– [42]. Dentre essas vantagens, podem ser citadas, a facilidade de implementação e a rápida execução do algoritmo na caracterização da estrutura, decorrentes da inexistência de funções de teste, pois no WCIP estas funções são substituídas por pixels na interface que contém o circuito em análise.. 2.2 Generalidades e Processo Iterativo do Método WCIP Para compreensão da formulação do método WCIP, considere a estrutura apresentada na Fig. 2.1, que consiste de uma FSS que caracteriza a interface de descontinuidade que separa os meios 1 e 2, admitidos sem perdas. Para o caso de FSS, o circuito é excitado por meio de fontes de onda eletromagnética distribuída, cuja onda incide sobre toda superfície do circuito. O circuito está inserido no interior de um guia de ondas, cujas paredes laterais são do tipo elétrica ou magnética. Quando se trata de um circuito periódico, a análise é feita baseando-se na caracterização de uma célula elementar e paredes laterais periódicas, para garantir a repetição da estrutura.. Figura 2.1 – Estrutura de FSS para aplicação do método WCIP.. 28.

(31) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). A interface do circuito pode apresentar sub-regiões distintas (metal, dielétrico, carga ou fontes). Dependendo do tipo de sub-região, devem ser aplicadas as condições de continuidade dos campos (elétrico e magnético) e gerar as ondas incidentes e refletidas na . . superfície do circuito, em função das componentes tangencias dos campos E e H . Considera-se que a interface do circuito denominada de Ω, apresente espessura desprezível e que esteja em uma região em que exista uma onda eletromagnética se propagando. Esta onda eletromagnética apresenta componentes tangenciais dos campos elétrico e magnético, ou seja, componentes perpendiculares à região de propagação da onda.. . Denomina-se n , o vetor normal à superfície de descontinuidade;.   A i e Bi. são as ondas. incidentes e refletidas no meio i, como indicado na Fig. 2.2.. Figura 2.2 – Ondas incidentes e refletidas na interface dos circuitos utilizados na formulação do método WCIP. . . Considerando que a interação entre os campos E e H é responsável por dar origem à onda eletromagnética, as ondas incidentes e refletidas na interface do circuito são descritas. 29.

(32) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP) em termos das componentes tangenciais desse campos pelas equações (2.1) e (2.2), respectivamente [37]-[42]:  Ai   Bi . E. Ti.    Z 0i H T i  n. E. Ti.    Z 0i H T i  n. 1 2 Z 0i 1 2 Z 0i. . . (2.1). . . (2.2).  ETi. onde i representa o meio de propagação da onda;. e.  HTi. representam as componentes. tangencias dos campos elétrico e magnético, respectivamente, no meio i, e Z0i representa a impedância característica do meio i, e pode ser calculada [37]-[43]: Z 0i . Convencionou-se definir as ondas superficial,.  Ji. i i  Ai. (2.3) e.  Bi. em termos da densidade de corrente. , que representa o campo magnético rotacional de 90°, definida por:    Ji  H T i  n. (2.4). Portanto, as equações (2.1) e (2.2) podem ser reescritas em função da densidade de corrente superficial como:  Ai   Bi . 1 2 Z 0i 1 2 Z 0i. E. Ti.   Z 0i J i. . (2.5). E. Ti.   Z 0i J i. . (2.6). Para o caso de estruturas planares propagando apenas modos TE e TM, os vetores e.  Ji.  ETi. são colineares, como indicado na Fig. 2.3.. 30.

(33) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). Figura 2.3 – Colinearidade entre os vetores E T i e modos TE e TM..  Ji. em estruturas planares propagando apenas. Reagrupando as equações (2.5) e (2.6), pode-se escrever aos campos elétrico e magnético como função das ondas incidente e refletida, conforme é mostrado nas equações (2.7) e (2.8).. .    E Ti  Z0i Ai  Bi  Ji . Calculados os valores de.  ETi. 1 Z 0i. e.  Ji. A. i.   Bi. . (2.7). . (2.8). , pode-se determinar características como parâmetros. de espalhamento, parâmetros de impedância, frequência de ressonância e largura de banda nas estruturas analisadas. O princípio de funcionamento do método WCIP é bastante simples e pode ser  (1) representado pela Fig. 2.4. Para cada iteração, inicialmente é considerada uma onda A 01 , produzida por uma fonte qualquer incide sobre uma superfície do circuito, oriunda do meio 1. Ao incidir sobre esta interface, a onda sofrerá dois fenômenos eletromagnéticos: reflexão para o meio de origem e transmissão para o meio 2, como indicado na Fig. 2.4(a). Ao sofrer esses dois fenômenos esta onda dará origem a duas ondas refletidas na superfície do circuito para  (1)  (1) os meios 1 e 2, B1 e B 2 , respectivamente como ilustrado em Fig.2.4(b).. 31.

(34) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). (a). (c). (b). (d). Figura 2.4 – Etapas de cada iteração no método WCIP: (a) Incidência da onda oriunda da fonte; (b) Geração das ondas refletidas no domínio espacial; (c) Geração de ondas incidentes no domínio modal e (d) Superposição das ondas e geração de novas ondas incidentes..  (1)  (1) As ondas B1 e B 2 se propagaram nas direções dos meios externos e. são. determinadas pelas características geométricas das estruturas e pelas condições de propagação nos meios externos, essas ondas sofrerão um processo de reflexão, como está descrito na Fig.  (1) 2.4(c). A onda B1 sofrerá reflexão devido às características de propagação do meio 1, dando  (1) origem à onda A1 que irá incidir novamente na superfície do circuito, da mesma forma  (1)  (1) acontecerá com a onda B 2 originando a onda A 2 . 32.

(35) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP) Na segunda interação.  A (2) 01 incidirá sobre a interface do circuito juntamente com.  (1)  (1) superposição das ondas A1 e A 2 . Estas ondas sofrerão mais uma vez um espalhamento ao incidir sobre a interface do circuito, gerando novas ondas refletidas na superfície de descontinuidade. Desta forma, essas ondas seguirão se propagando nos meios 1 e 2 e sofrerão novamente o processo de reflexão; garantindo desta maneira a continuidade do processo até que a convergência seja atingida. A Fig. 2.4(d) ilustra essa última etapa do processo iterativo. Com a continuidade do processo iterativo, após a k-ésima iteração, a onda incidente sobre a superfície do circuito será dada como sendo a superposição de todas as ondas incidentes e refletidas. A cada iteração parte da potência pode ser absorvida das ondas, em decorrência das características da interface do circuito e das condições de propagação dos meios externos; desta forma, o processo converge e o somatório das ondas é obtido por meio das equações (2.9) e (2.10) [38]:   Bi(k)  Sˆ A i(k)  A (k) 0  (k)  (k) A i  Γˆ Bi. Na equação (2.9),. Sˆ. (2.9) (2.10). representa o operador de espalhamento definido no domínio. espacial. Ele é responsável por descrever as condições de contorno na interface do circuito que está sendo estudado. O operador de reflexão, ˆ , definido no domínio modal está presente na equação (2.10). Este operador é responsável por descrever as características de propagação nos meios externos, em volta do circuito. Portanto, desta forma, o método WCIP necessita de dois meios distintos para estabelecer sua formulação. Nesses dois domínios são realizadas as análises dos campos eletromagnéticos, por meio da definição dos processos de reflexão e transmissão de ondas eletromagnéticas (domínio espacial) e propagação de ondas eletromagnéticas em meios dielétricos (domínio modal). O número de iterações que permite a convergência do método é determinado pelo cálculo dos parâmetros do circuito. Uma vez que esse parâmetro é constante, pode-se afirmar que o método convergiu. Em geral, os parâmetros utilizados para convergência podem ser impedância ou admitância de entrada, por exemplo. O número de iterações necessárias para. 33.

(36) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP) alcançar a convergência dependerá das características do circuito como dimensões físicas e geometria da estrutura estudada. Na sequência deste capítulo, estão detalhados os principais operadores utilizados no WCIP. Além disso, será apresentada a definição da transformada modal de Fourier utilizada na passagem entre os domínios espacial e modal.. 2.3 Caracterização do Operador de Espalhamento no Domínio Espacial O operador de espalhamento no domínio espacial,. Sˆ ,. leva em consideração as. condições de contorno na superfície do circuito e estas são estabelecidas em decorrência do tipo de material encontrado no pixel de discretização (metal, dielétrico, fonte, carga). Para a definição do operador. Sˆ ,. deve-se aplicar para cada tipo de material as condições de. continuidade de campo, apresentadas em (2.11) e (2.12).    E, para dielétrico s ET 1  ET 2    0, para condutor. (2.11).    0, para dielétrico s J1  J 2     J , para condutores. (2.12). A primeira etapa para estabelecer as expressões do operador no domínio espacial é discretizar a superfície do circuito em estudo e identificar as diferentes regiões que aparecem na estrutura, como indicado na Fig. 2.5, que apresenta discretização da superfície de uma linha de microfita. Assim, para cara diferente tipo de região (Fig. 2.5), condições de contorno distintas são verificadas e, portanto, precisa-se descrever um operador. Sˆ. para cada uma delas,. a partir do estabelecimento das condições descritas em (2.11) e (2.12).. 34.

(37) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). Figura 2.5 – Discretização de uma linha de microfita terminada por uma carga e identificação dos diferentes tipos de regiões a serem analisadas pelo método WCIP.. Os operadores de espalhamento no domínio espacial estão descritos a seguir. Eles são obtidos impondo-se as condições de continuidade de campo descritas em (2.11) e (2.12), às equações de definição das ondas incidentes e refletidas, respectivamente, (2.5) e (2.6). Desta forma, obtem-se um parâmetro que satisfaça a equação (2.13) para cada tipo de região encontrada na interface do circuito.    A 1  ˆ  B1      S   B  A   2  2. onde as ondas.  A1. e.  A2. do meio 1 e as ondas. (2.13). representam as ondas incidentes sobre a superfície do circuito oriundas  B1. e.  B 2 representam. as ondas refletidas na interface do circuito oriundas. dos meios 1 e 2, respectivamente.. 2.3.1 Operador de Espalhamento no Domínio Espacial em Região Metálica Considerando a região preenchida por metal, pode-se afirmar que o campo elétrico tangencial é nulo nas duas regiões, ou seja,.   E T1  E T2  0 .. O circuito equivalente para esse. tipo de região é apresentado na Fig. 2.6.. 35.

(38) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). Figura 2.6 – Circuito equivalente para um pixel metálico: (a) pixel metálico e (b) circuito equivalente.. Impondo-se essas condições às equações (2.7) e (2.8) que definem os campos tangenciais, tem-se:. . . . .     Z01 A1  B1  Z02 A 2  B2  0. A relação apresentada permite concluir que.   A 1   B1. e.   A 2  B 2. (2.14). . Reescrevendo-se,. portanto, essas conclusões na forma matricial, obtém-se um sistema de equações que relaciona as ondas incidentes com as ondas refletidas na interface, dependendo do metal de que é constituída a interface do campo gerador. Para que essa condição seja satisfeita, o operador de espalhamento do domínio espacial para incidência de onda em uma região metálica é definido por:  1 0   S m    0  1. (2.15). 2.3.2 Operador de Espalhamento no Domínio Espacial em Região Dielétrica Considerando-se que as ondas sejam analisadas em um subdomínio dielétrico na interface discretizada do circuito, neste caso, para os pixels em região dielétrica, os campos. 36.

(39) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP) elétricos tangenciais são iguais e diferentes de zero ( E T 1  E T 2 ). No entanto o somatório das componentes do vetor densidade de corrente superficial é nula ( J T 1  J T 2  0 ). O circuito equivalente para pixels no subdomínio dielétrico é apresentado na Fig. 2.7.. Figura 2.7 – Circuito equivalente para um pixel dielétrico: (a) pixel dielétrico e (b) circuito equivalente.. Impondo-se essas condições às equações (2.7) e (2.8), obtêm-se um sistema de equações dado por:.. . . .     Z 01 A1  B1  Z 02 A 2  B2 1 Z 01. A. 1. .   B1  . 1 Z 02. A. 2.   B2. . (2.16). . (2.17). Rearranjando as equações (2.16) e (2.17), pode-se escrever um sistema matricial que permite obter as ondas.  A1. e.  A2. como uma combinação linear das ondas.  B1. e.  B2 .. Esse sistema. é apresentado em (2.18).    A 1  ˆ  B1      SD    B  A   2  2. (2.18). onde Sˆ D representa o operador de espalhamento do subdomínio de pixels dielétricos e pode ser escrito como:. 37.

(40) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP).  η2  1  2 ˆS   η  1 D  2η  2  η 1 com η . 2η   η 1  η2 1   2  η 1 2. (2.19). Z 01 . Z 02. Neste caso, parte da onda é transmitida de um meio para outro e parte dela é refletida para o meio de origem, o que corresponde às condições de contorno entre dois meios dielétricos distintos em guias de onda ou linhas de transmissão. Para o caso em que os dielétricos possuem a mesma permissividade dielétrica, tem-se que η  1 , obtendo-se, portanto, um operador de espalhamento para este caso específico, expresso por (2.20). 0 1  Sˆ D   1 0. (2.20). Neste caso, todas as ondas são transmitidas de um meio para outro não havendo, portanto, geração de ondas refletidas na interface do circuito.. 2.3.3 Operador de Espalhamento no Domínio Espacial em Região de Fonte Na modelagem WCIP, as fontes do circuito são modeladas por meio das componentes equivalentes do campo elétrico, obedecendo às condições de contorno. Para as aplicações realizadas nessa tese, considerou-se fontes linearmente polarizadas em apenas uma direção, sendo portanto possível modelar os circuitos com excitação própria (denominados por fontes localizadas) ou não (denominadas por fontes distribuídas), como pode ser visto na Fig.2.8.. 38.

(41) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). Figura 2.8 – Tipos de fontes utilizadas na modelagem WCIP: (a) fonte distribuída e (b) fonte localizada.. A forma de excitação, ilustrada pela Fig. 2.8(a), representa uma fonte do tipo distribuída. Neste caso, a fonte é definida sobre toda superfície do circuito e as ondas de excitação partem de uma região externa, sendo este tipo de fonte utilizada na análise de superfícies seletivas de frequência. Para o caso de fontes distribuídas, a sua definição é feita no domínio modal, portanto não provocando nenhuma mudança no operador de espalhamento no domínio espacial. A Fig. 2.8(b), apresenta uma fonte localizada. Neste caso, a fonte definida em uma região limitada do espaço e, dessa região partem as ondas de excitação. Esse tipo de fonte é modelada no domínio espacial, sendo muito comum para caracterização a excitação de antenas, filtros, acopladores e divisores de potência por exemplo. Considerando o caso de fontes localizadas, o circuito equivalente para o caso mais geral, os pixels na região de fonte são apresentados na Fig. 2.9.. 39.

(42) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). Figura 2.9 – Circuito equivalente para um pixel em região de fonte: (a) pixel em região de fonte e (b) circuito equivalente.. Para o caso de fonte bilateral, como mostra a Fig. 2.9, as ondas são geradas nos lados da superfície de descontinuidade, de forma que os campos elétricos transversos, são os mesmos nos meios 1 e 2. Aplicando-se as condições de contorno ao circuito equivalente da Fig. 2.9(b), tem-se:. .      E T 1  E T 2  E 0  Z 0 J1  J 2. . (2.21). . onde E 0 representa o campo elétrico gerado pela fonte e Z0 representa a impedância interna da fonte. Reescrevendo-se (2.21), em função das ondas incidentes e refletidas tem-se:.   1     Z 01 A1  B1  E 0  Z 0  A1  B1   Z 01.    1 A 2  B2  Z 02 .   1     Z 02 A 2  B 2  E 0  Z 0  A1  B1   Z 01.    1 A 2  B2  Z 02 . . . . . . . . . . . . . (2.22). (2.23). Resolvendo-se o sistema de equações formado por (2.22) e (2.23), determina-se a relação entre as ondas incidentes e refletidas para pixels em região de fonte bilateral como:. 40.

(43) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP).  η1  η 2  1  ˆS   η1  η 2  1 F η3   η  η 1 2  1. η3   η1  η 2  1   η1  η 2  1  η1  η 2  1 . (2.24). onde:. η1 . Z0 Z 01. (2.25). η2 . Z0 Z 02. (2.26). η3 . 2Z 0. (2.27). Z 01Z 02. Um fonte localizada pode gerar ondas em apenas um único meio, neste caso tem-se. . uma fonte unilateral. Se considerarmos uma fonte unilateral no meio 1, tem-se que E T2  0 , ou seja, um curto circuito é estabelecido no terminal dois, no circuito apresentado na Fig. 2.8(b). Neste caso, tem–se que:.    E T 1  E 0  Z 0 J1. (2.28). O operador de espalhamento, é dado por: 0 0   Sˆ F    0  1. (2.29). 2.3.4 Operador de Espalhamento no Domínio Espacial em Região de Carga Para o caso em que o pixel é representado por uma região de carga, as componentes do campo elétrico tangencial são iguais ao somatório das componentes do vetor densidade de corrente superficial multiplicado pela impedância de carga. O circuito equivalente é apresentado na Fig. 2.10.. 41.

(44) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). Figura 2.10 – Circuito equivalente para um pixel em região de carga: (a) pixel em região de carga e (b) circuito equivalente.. Para o caso mostrado na Fig. 2.10(b), tem-se:. .     E T 1  E T 2  Z C J1  J 2. . (2.30). Reescrevendo-se as expressões, em termos das ondas incidentes e refletidas, tem-se:.  1     Z 01 A1  B1  Z c  A1  B1   Z 01. Z 02.   1    Z 02 A 2  B 2  Z c  A1  B1   Z 01.   1 A 2  B2 Z 02. . . . . . . . . 1. A. . 2.    B2  . . (2.31). .  . (2.32). Assim, o operador de espalhamento no domínio espacial para o caso de pixel em região de carga é definido por:.  η1c  η 2c  1  ˆS   η1c  η 2c  1 C η3c   η  η 1 2c  1c. η3c   η1c  η 2c  1   η1c  η 2c  1  η1c  η 2c  1 . (2.33). onde:. 42.

(45) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). η1c . Zc Z 01 Zc Z 02. η 2c  η3c . 2Z 0c Z 01Z 02. (2.34). (2.35). (2.36). 2.3.5 Generalização do Operador de Espalhamento no Domínio Espacial Agrupando-se todas as relações entre as ondas incidentes e refletidas para cada subdomínio analisado (metal, dielétrico, fonte e carga), ao nível da interface do circuito em análise, pode-se definir o operador de espalhamento no domínio espacial como:. Sˆ xy.  ˆ η  η2  1 ˆ η2  1 ˆ η  η2c  1 ˆ   Hm  1 HF  2 H d  1c Hc η  η  1 η  1 η 1 2 1c  η 2c  1   η3 2 ˆ η3c ˆ ˆ   η  η  1 H F   2  1 H d  η  η  1 H c 1 2 1c 2c .  η3 2 ˆ η3c Hˆ F  2 Hd  Hˆ c  η1  η2  1  1 η1c  η2c  1  η1  η2  1 ˆ η2  1 ˆ η1c  η2c  1 ˆ  ˆ  Hm  HF  2 Hd  Hc  η1  η2  1 η 1 η1c  η2c  1  . (2.37). Usando a equação (2.37), determina-se o operador de espalhamento em função das características dos materiais que constituem os pixels e das funções Hˆ m , Hˆ d , Hˆ F e Hˆ c , que são funções do tipo degrau de Heaviside definidas como: 1, no metal ˆ  H  m 0, outros casos. (2.38). 1, no dielétrico ˆ  H  d  0, outros casos. (2.39). 1, na fonte ˆ  H  F 0, outros casos. (2.40). ˆ   1, na carga H c 0, outros casos. (2.41). 43.

(46) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP) O operador definido por (2.37) é aplicado na equação que relaciona as ondas incidentes e refletidas na interface do circuito, caracterizando completamente a análise do processo iterativo do método das ondas no domínio espacial.. 2.4 Caracterização do Operador de Reflexão no Domínio Modal ˆ , relaciona as ondas refletidas e O operador de reflexão no domínio modal, . transmitidas na interface dw circuitos nos meios superior e inferior em torno da superfície circuital. Esse operador leva em consideração as condições de propagação das ondas nos meios em torno da interface discretizada. Cada um dos meios em torno da interface será representado por um operador admitância Yî , definido no domínio modal como indicado na Fig. 2.11.. Figura 2.11 – Determinação do operador de reflexão no domínio modal: (a) representação dos meios pelo operador admitância e (b) operador de reflexão no domínio modal.. Para cada meio em torno da interface, pode-se estabelecer uma relação entre os campos elétrico e magnético, este último representado pela densidade superficial de corrente, como mostra a equação (2.42):.   ˆ J i  Yi E i. (2.42). 44.

(47) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP) onde Yî é o operador admitância, que é escrito como o desenvolvimento espectral das admitâncias de modos TEmn e TMmn em termos da base modal, dos modos propagantes na estrutura em análise:. ˆ   f TE Y TE f TE  f TM Y TM Y TM Y i mn mn.i mn mn mn.i mn.i m. TE. (2.43). n. TM. TE. TM. sendo Ymn,i e Ymn,i , as admitâncias dos modos TEmn e TMmn, respectivamente, e f mn e f mn , representam suas bases modais. O operador adamitância, Yî , é descrito por meio de um produto escalar Hemiteano, segundo a notação bra-ket. As admitâncias de modo dos meios em torno da superfície do circuito são obtidas de acordo com as características do circuito em questão. A Fig. 2.12, apresenta casos possíveis de circuitos, para se determinar as admitâncias de modo [44].. Figura 2.12 – Diferentes tipos de estrutura para determinação da admitância de modo: (a) free-standing; (b) estrutura em substrato suspenso e (c) estrutura com substrato dielétrico curto-circuitado com um plano de terra (microfita).. Para o caso observado na Figura 2.12(a), temos uma estrutura free-standing. A permissividade elétrica e a permeabilidade magnética são constantes ao longo do eixo z. As admitâncias de modos TEmn e TMmn são expressas por:. 45.

(48) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP).  zm n,i ji ji   zm n,i. TE Y0mn, i . (2.44). TM Y0mn, i. (2.45). onde εi e µi representam, respectivamente, a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética do meio i, ω representa a frequência angular, m e n correspondem as variações para os campos nas direções x e y para os modos considerados. A constante de propagação na direção z,.  zmn,i , é escrita em termos das dimensões do pixel analisado (dx e dy) e de k0, que. representa a constante de propagação no vácuo, dada por:. 2.  zm n,i. 2.  2m   2n    k 02 ri       dx   dy . (2.46). Para estruturas do tipo representado em Fig.2.12(b), o meio abaixo da da linha de microfita metálica é um substrato dielétrico de altura h. Para este caso, as admitâncias equivalentes de modos TE e TM, são dadas respectivamente por: TE TE Ymn, i  Y0mn,i coth zmn,i h i . (2.47). TM TM Ymn, i  Y0mn,i coth zmn,i h i . (2.48). onde hi representa a altura do meio i. Se um plano de terra for inserido a uma distância h da estrutura, separados por um material dielétrico, como é ilustrado pela Fig. 2.12(c), as admitâncias de modo, neste caso serão determinadas por: TE TE Ymn, i  Y0mn,i tanh  zmn,i h i . (2.49). TM TM Ymn, i  Y0mn,i tanh  zmn,i h i . (2.50). Se substituirmos as equações (2.7) e (2.8), na equação (2.42), o operador de reflexão no domínio modal é escrito como:. 46.

(49) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP). ˆ ˆ  1  Z 0i Y m n,i 1  Z 0i Yˆ. (2.51).  . ˆ estabelecerá uma relação entre as ondas A e B . Este operador é definido O operador . no domínio espectral e as ondas serão decompostas em modos TE e TM, ou seja, o operador de reflexão pode ser calculado, determinando-se os coeficientes de reflexão para os modos TE e TM, individualmente, pelas expressões:. 1  Z 0i Ymn,i TE ˆ mn  ,i TE 1  Z 0i Ymn ,i. (2.52). 1  Z 0iYmn,i TM ˆ mn ,i  TM 1  Z 0iYmn ,i. (2.53). TE. TM. 2.5 Relação entre os Domínios Espacial, Espectral e Modal A modelagem realizada pelo método das ondas WCIP utiliza a passagem por três domínios distintos: espacial, espectral e modal. As equações (2.9) e (2.10) representam as equações básicas do WCIP. A primeira é descrita no domínio espacial, estabelecendo o comportamento das ondas na interface da superfície do circuito, enquanto que a segunda é escrita no domínio espectral e modal, onde descreve a propagação das ondas nos meios em torno da interface do circuito.. . Para cada iteração, inicialmente uma onda A 0 proveniente de uma fonte oriunda do meio 1, por exemplo, incidirá sobre a superfície do circuito e sofrerá dois processos: reflexão para o meio de origem e refração para o outro meio. Estes fenômenos serão descritos por meio. . . do operador de espalhamento no domínio espacial, gerando as ondas B1 e B 2 . Essas ondas irão se propagar nos meios 1 e 2, respectivamente. As condições de propagação dessas ondas serão estabelecidas no domínio modal. A. . . passagem das ondas B1 e B 2 do domínio espacial para o domínio modal é obtida pela. . . transformada modal de Fourier. Inicialmente, as ondas B1 e B 2 serão escritas no domínio espectral por meio da transformada rápida de Fourier (FFT). Em seguida, essas ondas serão. 47.

(50) CAPÍTULO 2. MÉTODO ITERATIVO DAS ONDAS (WCIP).   B decompostas em modos TE e TM, ou seja, as ondas 1 e B 2 do domínio espectral serão descritas como uma combinação linear em um espaço vetorial, em que as bases desse espaço vetorial serão as funções de base dos modos TE e TM que se propagam na estrutura. A utilização conjunta da FFT e dessa decomposição das ondas em modos, completam a transformada modal de Fourier..   B De posse das expressões das ondas 1 e B 2 no domínio modal, é calculado para cada modo o operado de reflexão no domínio modal. Em seguida, usando a equação (2.10) são. . . calculadas as ondas A1 e A 2 . Estas ondas serão submetidas a transformada modal de Fourier inversa ou anti-transformada, sendo escritas novamente no domínio espacial e o processo reiniciado para a próxima iteração. A Fig. 2.13 ilustra a relação de passagem entre esses domínios.. Figura 2.13 – Relação de passagem entre os domínio espacial, modal e espectral.. 2.6 Definição da Transformada Modal de Fourier A Transformada Modal de Fourier (FMT) permite definir as amplitudes das ondas como uma decomposição em ondas TE e TM, no domínio modal. Essa transformada permite a passagem das onda do domínio espacial para o domínio modal. A anti-transformada, ou transformada modal de Fourier inversa (FMT-1), permite o retorno do domínio modal para o domínio espacial. A seguir, é descrita a definição da transformada Modal de Fourier para um problema com simetria do tipo cartesiana [45]-[47].. 48.