Método Iterativo das Ondas (WCIP)
2.2 Generalidades e Processo Iterativo do Método WCIP
Para compreensão da formulação do método WCIP, considere a estrutura apresentada na Fig. 2.1, que consiste de uma FSS que caracteriza a interface de descontinuidade que separa os meios 1 e 2, admitidos sem perdas. Para o caso de FSS, o circuito é excitado por meio de fontes de onda eletromagnética distribuída, cuja onda incide sobre toda superfície do circuito. O circuito está inserido no interior de um guia de ondas, cujas paredes laterais são do tipo elétrica ou magnética. Quando se trata de um circuito periódico, a análise é feita baseando-se na caracterização de uma célula elementar e paredes laterais periódicas, para garantir a repetição da estrutura.
A interface do circuito pode apresentar sub-regiões distintas (metal, dielétrico, carga ou fontes). Dependendo do tipo de sub-região, devem ser aplicadas as condições de continuidade dos campos (elétrico e magnético) e gerar as ondas incidentes e refletidas na superfície do circuito, em função das componentes tangencias dos campos E
e H
.
Considera-se que a interface do circuito denominada de Ω, apresente espessura desprezível e que esteja em uma região em que exista uma onda eletromagnética se propagando. Esta onda eletromagnética apresenta componentes tangenciais dos campos elétrico e magnético, ou seja, componentes perpendiculares à região de propagação da onda. Denomina-se n, o vetor normal à superfície de descontinuidade; Ai
e Bi
são as ondas incidentes e refletidas no meio i, como indicado na Fig. 2.2.
Figura 2.2 – Ondas incidentes e refletidas na interface dos circuitos utilizados na formulação
do método WCIP.
Considerando que a interação entre os campos E e H é responsável por dar origem à onda eletromagnética, as ondas incidentes e refletidas na interface do circuito são descritas
em termos das componentes tangenciais desse campos pelas equações (2.1) e (2.2), respectivamente [37]-[42]:
E Z
H n
Z 2 1 A T i 0i T i 0i i (2.1)
E Z
H n
Z 2 1 B T i 0i T i 0i i (2.2) onde i representa o meio de propagação da onda; ET i
e HT i
representam as componentes tangencias dos campos elétrico e magnético, respectivamente, no meio i, e Z0i representa a
impedância característica do meio i, e pode ser calculada [37]-[43]: i i i Z 0 (2.3) Convencionou-se definir as ondas Ai
e Bi
em termos da densidade de corrente superficial, Ji
, que representa o campo magnético rotacional de 90°, definida por: Ji HT i n (2.4)
Portanto, as equações (2.1) e (2.2) podem ser reescritas em função da densidade de corrente superficial como:
T i 0i i
0i i E Z J Z 2 1 A (2.5)
T i 0i i
0i i E Z J Z 2 1 B (2.6)Para o caso de estruturas planares propagando apenas modos TE e TM, os vetores ET i
e Ji
Figura 2.3 – Colinearidade entre os vetoresET i
e Ji
em estruturas planares propagando apenas modos TE e TM.
Reagrupando as equações (2.5) e (2.6), pode-se escrever aos campos elétrico e magnético como função das ondas incidente e refletida, conforme é mostrado nas equações (2.7) e (2.8). ETi Z0i
Ai Bi
(2.7)
i i
0i i A B Z 1 J (2.8) Calculados os valores de ET i e Ji , pode-se determinar características como parâmetros de espalhamento, parâmetros de impedância, frequência de ressonância e largura de banda nas estruturas analisadas.
O princípio de funcionamento do método WCIP é bastante simples e pode ser representado pela Fig. 2.4. Para cada iteração, inicialmente é considerada uma onda A(1)01
, produzida por uma fonte qualquer incide sobre uma superfície do circuito, oriunda do meio 1. Ao incidir sobre esta interface, a onda sofrerá dois fenômenos eletromagnéticos: reflexão para o meio de origem e transmissão para o meio 2, como indicado na Fig. 2.4(a). Ao sofrer esses dois fenômenos esta onda dará origem a duas ondas refletidas na superfície do circuito para os meios 1 e 2, B1(1)
e B(1)2
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.4 – Etapas de cada iteração no método WCIP: (a) Incidência da onda oriunda da
fonte; (b) Geração das ondas refletidas no domínio espacial; (c) Geração de ondas incidentes no domínio modal e (d) Superposição das ondas e geração de novas ondas incidentes.
As ondas B1(1) e B(1)2 se propagaram nas direções dos meios externos e são determinadas pelas características geométricas das estruturas e pelas condições de propagação nos meios externos, essas ondas sofrerão um processo de reflexão, como está descrito na Fig. 2.4(c). A onda B1(1) sofrerá reflexão devido às características de propagação do meio 1, dando origem à onda A1(1) que irá incidir novamente na superfície do circuito, da mesma forma acontecerá com a onda B(1)2
originando a onda A(1)2
Na segunda interação A(2)01
incidirá sobre a interface do circuito juntamente com superposição das ondas A1(1) e A(1)2 . Estas ondas sofrerão mais uma vez um espalhamento ao incidir sobre a interface do circuito, gerando novas ondas refletidas na superfície de descontinuidade. Desta forma, essas ondas seguirão se propagando nos meios 1 e 2 e sofrerão novamente o processo de reflexão; garantindo desta maneira a continuidade do processo até que a convergência seja atingida. A Fig. 2.4(d) ilustra essa última etapa do processo iterativo. Com a continuidade do processo iterativo, após a k-ésima iteração, a onda incidente sobre a superfície do circuito será dada como sendo a superposição de todas as ondas incidentes e refletidas. A cada iteração parte da potência pode ser absorvida das ondas, em decorrência das características da interface do circuito e das condições de propagação dos meios externos; desta forma, o processo converge e o somatório das ondas é obtido por meio das equações (2.9) e (2.10) [38]: B(k)i SˆA(k)i A(k)0 (2.9) (k)i (k) i ΓˆB A (2.10) Na equação (2.9), Sˆ representa o operador de espalhamento definido no domínio
espacial. Ele é responsável por descrever as condições de contorno na interface do circuito que está sendo estudado. O operador de reflexão, ˆ, definido no domínio modal está presente na equação (2.10). Este operador é responsável por descrever as características de propagação nos meios externos, em volta do circuito.
Portanto, desta forma, o método WCIP necessita de dois meios distintos para estabelecer sua formulação. Nesses dois domínios são realizadas as análises dos campos eletromagnéticos, por meio da definição dos processos de reflexão e transmissão de ondas eletromagnéticas (domínio espacial) e propagação de ondas eletromagnéticas em meios dielétricos (domínio modal).
O número de iterações que permite a convergência do método é determinado pelo cálculo dos parâmetros do circuito. Uma vez que esse parâmetro é constante, pode-se afirmar que o método convergiu. Em geral, os parâmetros utilizados para convergência podem ser impedância ou admitância de entrada, por exemplo. O número de iterações necessárias para
alcançar a convergência dependerá das características do circuito como dimensões físicas e geometria da estrutura estudada.
Na sequência deste capítulo, estão detalhados os principais operadores utilizados no WCIP. Além disso, será apresentada a definição da transformada modal de Fourier utilizada na passagem entre os domínios espacial e modal.