UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE
UNIVERSIDADEFEDERAL DORIOGRANDE DO NORTE
CENTRO DETECNOLOGIA
PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIAELÉTRICA E DECOMPUTAÇÃO
Ajuste de Controlador PID por Método de
Autossintonia Baseado em Estimativa de
Robustez
Luiz André Pontarolo
Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dórea
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.
Número de ordem PPgEEC: M551
Natal, RN, julho de 2019
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Pontarolo, Luiz André.
Ajuste de controlador PID por método de autossintonia baseado em estimativa de robustez / Luiz André Pontarolo. - 2019
65f.: il.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Cen-tro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação, Natal, 2019.
Orientador: Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dórea.
1. Autossintonia de controladores Dissertação. 2. Controladores PID -Dissertação. 3. Robustez - -Dissertação. 4. Experimento do relé - -Dissertação. 5. CLP - Dissertação. I. Dórea, Carlos Eduardo Trabuco. II. Título.
Agradecimentos
Inicialmente, deixo meus sinceros agradecimentos aos meus pais, Marcos e Rozélia, por toda a dedicação, correção e incentivo que me ofereceram em todos os momentos.
À minha esposa Marianna, agradeço por todo o respeito, companheirismo e apoio, mesmo nos momentos em que a pesquisa nos limitou os períodos de convívio.
Ao meu orientador, prof. Trabuco, agradeço pelo tratamento cordial e respeitoso, pelos ensinamentos nas disciplinas do curso e pelas orientações.
Aos meus colegas de Laut, em especial ao Éverton, agradeço pelo apoio dado, pelo co-nhecimento compartilhado e pelo bom ambiente que proporcionaram para a elaboração deste trabalho.
Por fim, deixo meus agradecimentos aos professores e demais colaboradores que se dedi-cam para manter o Laut com uma ótima estrutura para pesquisa.
Resumo
Este trabalho propõe um método de autossintonia de controladores PID, de modo a garantir robustez ao sistema, sendo implementado em Controlador Lógico Programável (CLP) por meio de experimentos do relé, com a possibilidade de ser aplicado em contro-ladores PI-D. O método de autossintonia proposto foi elaborado por meio da adaptação de métodos voltados para controladores PI já existentes, com o objetivo de utilizar pou-cas estruturas iterativas, permitindo a implementação em CLP, assim como melhorar o desempenho na resposta transitória do sistema. A robustez é obtida pela máxima sensi-bilidade do sistema, sendo estabelecida pelo usuário. Os experimentos do relé fornecem pontos de resposta em frequência que permitem o cálculo de parâmetros que modificam os termos originais do controlador, de modo a retirar os pontos do interior do círculo de máxima sensibilidade. Os resultados de aplicações em dois CLP, de sistemas didáticos distintos, permitiram a comparação com um método de ajuste de controlador PI existente e a demonstração da eficácia do método.
Palavras-chave: Autossintonia de Controladores, Controladores PID, Robustez, Ex-perimento do Relé, CLP.
Abstract
This work proposes a autotuning method of PID controllers, in order to guarantee robustness to the system, being implemented in Programmable Logic Controller (PLC) through relay experiments, with the possibility of being applied in PI-D controllers. The autotuning method proposed was developed through the adaptation of methods directed to existing PI controllers, with the objective of using few iterative structures, allowing the implementation in PLC, as well as improving the performance in the transient response of the system. Robustness is obtained by the maximum sensitivity of the system. Re-lay experiments provide frequency response points that allow calculation of parameters that modify the original terms of the controller in order to remove the points from the interior of the maximum sensitivity circle. Results of two PLC applications of different didactic systems allowed comparison with an existing PI controller tuning method and the demonstration of the effectiveness of the method.
Sumário
Sumário i
Lista de Figuras iii
Lista de Tabelas v
Lista de Símbolos e Abreviaturas vii
1 Introdução 1 1.1 Revisão Bibliográfica . . . 1 1.2 Justificativa . . . 2 1.3 Organização do texto . . . 3 2 Fundamentos Teóricos 5 2.1 Sistemas de Controle . . . 5 2.2 Controladores PID . . . 7 2.3 Resposta em Frequência . . . 8 2.4 Diagrama de Nyquist . . . 8 2.5 Diagrama de Bode . . . 8
2.6 Estabilidade em Sistemas de Controle . . . 10
2.6.1 Margens de Fase e de Ganho . . . 10
2.6.2 Função de sensibilidade . . . 11
2.7 Experimento do Relé . . . 13
2.7.1 Estimação da margem de fase . . . 14
2.7.2 Estimação da margem de ganho . . . 16
2.8 Modelo FOPDT . . . 16
2.9 Controlador PI-D . . . 17
2.10 Conclusão . . . 18
3 Autossintonia de Controladores 19 3.1 Ressintonia de Controladores PID . . . 19
3.2 Ressintonia de Controladores PI . . . 23
3.2.1 Determinação do parâmetroα . . . 25
3.2.2 Determinação do parâmetroβ . . . 26
3.3 Inclusão do termo derivativo . . . 28
3.4 Determinação do valor de Td . . . 30
3.5 Resumo dos procedimentos . . . 32 3.6 Conclusão . . . 32 4 Exemplos de Ressintonia 35 4.1 Exemplo 1 . . . 35 4.2 Exemplo 2 . . . 40 4.3 Exemplo 3 . . . 44 4.4 Conclusão . . . 48 5 Resultados Experimentais 49 5.1 Implementação no sistema didático Training Box Duo . . . 49
5.1.1 Resultados . . . 49
5.2 Implementação na planta didática Authomathika PDH-1002 . . . 53
5.3 Ressintonia da malha FIC-1001A . . . 53
5.4 Ressintonia da malha FIC-1001B . . . 57
5.5 Conclusão . . . 59
6 Conclusão 61
Lista de Figuras
2.1 Sistema básico. . . 5
2.2 Sistema com controlador em malha aberta. . . 6
2.3 Sistema com controlador em malha fechada. . . 6
2.4 Sistema com controlador PID. . . 7
2.5 Diagrama de Nyquist. . . 9
2.6 Diagramas de Bode. . . 9
2.7 Margens de fase e de ganho no Diagrama de Nyquist. . . 11
2.8 Margens de fase e de ganho no Diagrama de Bode. . . 12
2.9 Círculo Ms no Diagrama de Nyquist. . . 13
2.10 Malha utilizada pelo método do relé. . . 13
2.11 Malha utilizada para estimativa de margem de fase no método do relé. . . 15
2.12 Malha simplificada de estimativa de margem de fase no método do relé. . 15
2.13 Malha utilizada para estimativa de margem de ganho no método do relé. . 16
2.14 Sistema com controlador PI-D em malha fechada. . . 18
3.1 Exemplo de Diagrama de Bode com tangência emωd. . . 20
3.2 Exemplo de Diagrama de Nyquist com tangência emωd. . . 20
3.3 Sistema utilizado para determinar̸ G(s) e|G(s)| . . . 21
3.4 Composição de curva de Nyquist pelo método de Malladi e Yadaiah. . . . 22
3.5 Variação deα. . . 23
3.6 Variação deβ. . . 24
3.7 Pontos estimados L( jωu), L( jωi) e L( jωc) no Diagrama de Nyquist. . . . 25
3.8 Deslocamento de L( jωi) com a variação deα. . . 26
3.9 Deslocamento dos pontos estimados com a variação deβ. . . 27
3.10 Variação de Td. . . 30
3.11 Contribuição de Tdna variação de L2( jωi2) . . . 32
4.1 Exemplo 1 - Determinação dos pontos críticos. . . 36
4.2 Exemplo 1 - Posição dos pontos críticos após a determinação dos parâ-metrosα, β e Td. . . 38
4.3 Exemplo 1 - Curvas de Nyquist após inserção de parâmetros. . . 39
4.4 Exemplo 1 - Resposta ao degrau. . . 39
4.5 Exemplo 2 - Determinação dos pontos críticos. . . 41
4.6 Exemplo 2 - Posição dos pontos críticos após a determinação dos parâ-metrosα, β e Td. . . 42
4.7 Exemplo 2 - Curvas de Nyquist após inserção de parâmetros. . . 43
4.8 Exemplo 2 - Resposta ao Degrau. . . 43
4.9 Exemplo 3 - Determinação dos pontos críticos. . . 45
4.10 Exemplo 3 - Posição dos pontos críticos após a determinação dos parâ-metrosα, β e Td. . . 46
4.11 Exemplo 3 - Curvas de Nyquist após inserção de parâmetros. . . 47
4.12 Exemplo 3 - Resposta ao degrau. . . 47
5.1 Bloco PIDA elaborado para o sistema didático Training Box Duo. . . 50
5.2 Variação dos pontos críticos da ressintonia do sistema didático Training Box Duo com controlador PID. . . 51
5.3 Variação dos pontos críticos da ressintonia do sistema didático Training Box Duo com controlador PI. . . 51
5.4 Resposta ao degrau da ressintonia do sistema didático Training Box Duo. 52 5.5 Resposta à perturbação da ressintonia do sistema didático Training Box Duo. . . 52
5.6 Bloco PIDA elaborado para a planta didática Authomathika PDH-1002. . 54
5.7 Variação dos pontos críticos da ressintonia da malha FIC-1001A com con-trolador PID. . . 55
5.8 Variação dos pontos críticos da ressintonia da malha FIC-1001A com con-trolador PI. . . 55
5.9 Resposta transitória para a ressintonia da malha FIC-1001A. . . 56
5.10 Variação dos pontos críticos da ressintonia da malha FIC-1001B com con-trolador PID. . . 57
5.11 Variação dos pontos críticos da ressintonia da malha FIC-1001B com con-trolador PI. . . 58
Lista de Tabelas
4.1 Exemplo 1 - Margens de ganho e de fase após determinação de parâmetros. 38 4.2 Exemplo 1 - Tempo de acomodação, tempo de subida e overshoot. . . 40 4.3 Exemplo 2 - Margens de ganho e de fase após determinação de parâmetros. 42 4.4 Exemplo 2 - Tempo de acomodação, tempo de subida e overshoot. . . 44 4.5 Exemplo 3 - Margens de ganho e de fase após determinação de parâmetros. 46 4.6 Exemplo 3 - Tempo de acomodação, tempo de subida e overshoot. . . 48
5.1 Resultados da resposta ao degrau na ressintonia da malha FIC-1001A. . . 56 5.2 Resultados da resposta ao degrau na ressintonia da malha FIC-1001B. . . 58
Lista de Símbolos e Abreviaturas
α Parâmetro de ajuste do controle integral β Parâmetro de ajuste do controle proporcional ωc Frequência de cruzamento de ganho
ωd Frequência de tangência desejada
ωi Frequência intermediária entreωc eωu
ωu Frequência de cruzamento de fase
ωi2 Frequência intermediária entreωueωi
ωi3 Frequência intermediária entreωieωc
ϕm Fase do sistema na frequência desejada
τ Tempo Morto Normalizado
a Amplitude de entrada do relé
C(s) Função de transferência do controlador
C1(s) Função de transferência do controlador após a inclusão do parâmetroα
C2(s) Função de transferência do controlador após a inclusão dos parâmetroα e β
C3(s) Função de transferência do controlador após a inclusão dos parâmetrosα e β e
Td
d Amplitude de saída do relé
G(s) Função de transferência do processo
Kp Ganho proporcional
L Tempo de atraso do modelo FOPDT
L(s) Função de transferência de malha aberta
L1(s) Função de transferência de malha aberta após a inclusão do parâmetroα
L2(s) Função de transferência de malha aberta após a inclusão dos parâmetroα e β
L3(s) Função de transferência de malha aberta após a inclusão dos parâmetrosα e β
e Td
Ms Máxima sensibilidade
S(s) Função de sensibilidade do sistema
sa Termo derivativo de amplitude
sp Termo derivativo de fase
T Termo de primeira ordem do modelo FOPDT
T (s) Função de transferência do sistema de malha fechada
Td Tempo derivativo
Ti Tempo integral
BIBO Bounded-Input Bounded-Output
CLP Controlador Lógico Programável
CPU Unidade Central de Processamento
FOPDT First Order Plus Dead Time
FOPID Fractional Order PID
MF Margem de fase
MG Margem de ganho
PI Proporcional-Integral
PID Proporcional-Integral-Derivativo
PIDA PID Avançado
PSO Particle Swarm Optimization
Capítulo 1
Introdução
Os sistemas de controle, como são conhecidos atualmente, têm seu início com a che-gada do século XX. De acordo com Bennett (1996), a história dos sistemas de controle pode ser dividida nos seguintes períodos:
• Controle antigo: antes de 1900 • Período pré-clássico: 1900-1940 • Período clássico: 1935-1960 • Controle moderno: a partir de 1955
No período pré-clássico foram difundidos os sistemas de comunicação. Lewis (1992) afirma que em virtude das pesquisas no domínio da frequência realizadas entre as décadas de 20 e 30, para solucionar problemas de amplificação de sinais, H.S. Black, em 1927, introduziu o conceito de realimentação negativa, a fim de realizar ajustes de fase em frequências específicas. Na sequência, H. Nyquist desenvolveu um critério de estabilidade baseado em gráficos polares de uma função complexa. Em 1938, H. W. Bode, por meio de gráficos de resposta em frequência para magnitude e fase investigou a estabilidade em malha fechada e criou os conceitos de margem de ganho e de fase.
Neste período, também houve um impulso de pesquisas voltadas às Grandes Guerras. O primeiro controle PID foi desenvolvido para o controle de direção de navios por Mi-norsky (1922). Já no período clássico, o trabalho mais destacado é o de Ziegler & Nichols (1942) que difundiram o controle PID por meio de um método de sintonia simples, onde, a partir de características dinâmicas do processo, é possível a determinação dos parâmetros de controle.
O período de controle moderno foi impulsionado pela crescente evolução dos siste-mas computacionais, que permitem um processamento de informações elevado. Neste período surgiu o controle digital, lógicas mais complexas de algoritmos iterativos (essen-ciais para processos de otimização), técnicas de autossintonia, além de controles voltados à robustez.
1.1
Revisão Bibliográfica
A sintonia dos processos proposta por Ziegler & Nichols (1942) para estimar os pa-râmetros PID dá-se basicamente por dois métodos. O primeiro, conhecido como método
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
de resposta ao degrau, avalia o processo em malha aberta a partir de uma excitação por um sinal em degrau. No segundo, há uma excitação com um controlador proporcional em malha fechada e analisa-se a resposta oscilatória até apresentar amplitude constante. A partir desta resposta, determinam-se dois parâmetros, conhecidos como ganho crítico e período crítico, sendo respectivamente o ganho que provoca a oscilação e o período da os-cilação. Com esses dois parâmetros, é possível, por meio de fórmulas simples, determinar valores adequados para os termos PID.
Outra forma de sintonia comumente utilizada é a técnica de sintonia automática uti-lizando o relé realimentado, apresentada por Aström & Hägglund (1984). O relé, agindo como o controlador, provoca oscilações na resposta de malha fechada, permitindo a de-terminação do período crítico e, associando a amplitude do relé com a da resposta, deter-minar o ganho crítico. Com esses dois valores críticos, é possível deterdeter-minar os valores dos parâmetros do controlador PID.
A partir deste trabalho, os processos de sintonia com o uso de relé foram evoluindo, permitindo a determinação de novos parâmetros, como no trabalho de Longchamp & Piguet (1995), em que o teste do relé foi adaptado para determinar as margens de ganho e de fase.
Tan et al. (2000) propõem uma adaptação do método do relé para realizar a identifi-cação dos parâmetros do sistema, considerando que o comportamento se aproxima de um sistema de primeira ordem com um atraso.
O uso do método do relé, combinado com processos de otimização voltados para a robustez do sistema, por meio de estruturas iterativas, foi utilizado em Chen & Moore (2005) e Malladi & Yadaiah (2013). Outros processos de otimização, como o PSO (Par-ticle Swarm Optimization), foram usados para a determinação dos parâmetros do con-trolador PID em Solihin et al. (2011) e Mousakazemia & Ayoobian (2019). Algoritmos genéticos foram utilizados para obter a robustez para controladores PID em Qiao et al. (2016) e Jan et al. (2008).
Rego (2018) adaptou um método de autossintonia proposto por Barbosa (2015) para alterar os termos do controlador PI de forma a garantir robustez ao sistema, por meio da análise no domínio da frequência, utilizando o método do relé, com possibilidade de aplicação em CLP. O processo obtém pontos críticos da curva de Nyquist e a função aproximada do processo, e realiza operações simples para determinar os parâmetros do controlador PI utilizados para movimentar os pontos críticos, atendendo ao critério de robustez do sistema.
1.2
Justificativa
Um método de controle possível com o uso do CLP é o controle PID, presente na maioria dos sistemas de malha fechada dos processos industriais, mesmo que muitos ou-tros procedimentos de controle já tenham sido desenvolvidos (Aström & Hägglund 1995). Eles são preferidos por possuírem estrutura simples, facilidade de implementação e com-preensão.
Os parâmetros do controlador PID podem ser determinados por diversos métodos de sintonia. Mesmo com uma evolução acelerada das técnicas de controle, não existe um
1.3. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO 3
método único que possibilite um padrão de sintonia ideal para qualquer tipo de sistema industrial existente. A sintonia do controlador depende da dinâmica do processo e dos objetivos a serem alcançados. Por isso, existem deficiências na sintonia de sistemas de controle atuais.
Bialkowsky (1993) realizou uma pesquisa em cerca de 2000 malhas de controle de indústrias de papel e celulose no Canadá e constatou que apenas 20% das malhas tinham funcionamento satisfatório, 30% tinham deficiência de ajuste de parâmetros e 20% pos-suíam problemas relacionados ao projeto do sistema de controle do processo. Já Ender (1993) afirma que 30% dos processos operam no modo manual, 20% usam ajustes de parâmetros de fábrica e 30% possuem baixo desempenho devido a sensores e atuadores deficientes. Neves (2009) cita que apenas 1/3 dos processos industriais apresenta desem-penho satisfatório, 36% são utilizados com controladores em malha aberta e o restante são processos com baixo desempenho ou razoável. Boa parte das malhas industriais são sintonizadas seguindo padrões de fabricantes de controladores ou manualmente por ope-radores (Aström & Hägglund 1995).
É essencial para um bom funcionamento do processo determinar os objetivos em ter-mos de desempenho e realizar uma sintonia no sistema de controle de forma a obter os re-sultados desejados. Dentro das técnicas atuais de sintonia, existe a autossintonia, onde se consegue determinar de forma automática os parâmetros do controlador para alcançar os objetivos de desempenho do processo, dispensando o ajuste manual por parte de operado-res, sendo disponível em controladores PID desde os anos 80 (Aström & Hägglund 2006). Propostas atuais de autossintonia para controladores PID voltados para a robustez do sistema envolvem estruturas iterativas para determinar os parâmetros do controlador e dificultam a aplicabilidade em CLP. O método proposto por Rego (2018) proporcionou o uso do controlador PI em CLP e garantiu a robustez do sistema utilizando pouco recurso computacional e expressões matemáticas simples.
Este trabalho busca adaptar este método com a inclusão do termo derivativo, possi-bilitando alcançar os critérios de robustez, assim como o método de Rego (2018), bem como permitindo o uso em CLP, com o benefício de proporcionar melhores resultados no domínio do tempo.
O uso do Experimento do Relé combinado com a obtenção de um modelo aproximado de primeira ordem do processo permite obter pontos da curva de Nyquist que podem ser movimentados de acordo com parâmetros calculados, de forma a retirar a curva de Nyquist de uma área circular que representa o pico da sensibilidade, de forma a garantir a sua robustez.
1.3
Organização do texto
O Capítulo 2 apresenta conceitos necessários para compreender os sistemas de con-trole utilizados, possibilitar a análise da resposta em frequência e determinar os elementos que garantem a robustez e estabilidade de um sistema. O Capítulo 3 descreve alguns tra-balhos existentes que buscam a robustez do sistema por meio do processo de autossintonia de controladores, que sejam viáveis para uso em CLP, e, em seguida, apresenta a proposta de adaptação do trabalho de Rego (2018), visando a introdução do termo derivativo. O
4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capítulo 4 apresenta exemplos de simulação do método de adaptação proposto, com resul-tados gráficos e numéricos que comprovam a viabilidade da proposta. Por fim, o Capítulo 5 apresenta a implementação do método em um CLP de um sistema didático, que contém um processo de segunda ordem simulado por circuitos eletrônicos, além do CLP de uma planta didática que reproduz um processo industrial de pequeno porte, com apresentação de resultados comparativos que mostram a efetividade do método.
Capítulo 2
Fundamentos Teóricos
Neste capítulo serão abordados os fundamentos teóricos que servem de base para a elaboração deste trabalho. Inicialmente, usando análise no domínio da frequência, se-rão descritos conceitos de sistemas de controle, com ênfase na análise do controlador PID, e suas ferramentas de visualização gráfica. Em seguida, serão descritos conceitos para garantir a estabilidade e robustez de um sistema. Na sequência, será apresentado o experimento do relé, mostrando a possibilidade de extração de pontos específicos e da margem de ganho e de fase do sistema. Por fim, é apresentado um modelo de obtenção da função de transferência do processo, assim como é apresentado o controlador PI-D, comparando-o ao controlador PID.
2.1
Sistemas de Controle
Os sistemas de controle podem ser representados de acordo com a Figura 2.1, onde o processo possui um sinal de entrada, denominado u(t) e uma saída, denominada y(t).
Figura 2.1: Sistema básico.
Com o uso da transformada de Laplace, é obtida a função de entrada, no domínio da frequência, U (s), e a função de saída, Y (s). A função de transferência do processo no domínio da frequência denominada G(s), mantidas as condições iniciais nulas, é obtida por:
6 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
G(s) = Y (s)
U (s) (2.1)
Ao se inserir o controlador, o sistema passa a ser representado de acordo com a Figura 2.2.
Figura 2.2: Sistema com controlador em malha aberta.
A entrada do sistema é uma referência, denominada R(s), para o controlador. Baseado na referência, o controlador envia um sinal ao processo para buscar modificar a saída conforme se deseja. A Figura 2.2 representa um sistema de malha aberta, em que o controlador age sem o retorno do sinal de saída. A associação do controlador com o processo no domínio da frequência pode ser representada por um produto dado por:
L(s) = C(s)G(s) (2.2)
No caso do sistema em malha fechada, representado pela Figura 2.3, há a introdução de um termo denominado E(s), que corresponde ao sinal de erro resultante da comparação do sinal de saída com o sinal de referência.
Figura 2.3: Sistema com controlador em malha fechada.
Portanto, a entrada do processo, dada por U (s), corresponde ao produto entre o erro e o função dada pelo controlador, conforme representa a Equação 2.3.
2.2. CONTROLADORES PID 7
2.2
Controladores PID
Os controladores PID (Proporcional-Integral-Derivativo) possuem uma arquitetura simples e são ferramentas essenciais para o controle de processos, sendo utilizados por aproximadamente 90% dos controladores de malha fechada utilizados na indústria (Huang 2000). Com o uso do controlador PID ideal, obtém-se a relação entre u(t) e e(t), dada pela Equação 2.4, em que Kp representa o ganho proporcional, Ti representa a constante
de tempo integral e Tdcorresponde à constante de tempo derivativo.
u(t) = Kp ( e(t) + 1 Ti ∫ t 0 e(τ)dτ + Td de(t) dt ) (2.4)
Utilizando a transformada de Laplace, a relação entre U (s) e E(s) é representada por:
U (s) = Kp ( 1 + 1 Tis + Tds ) E(s) (2.5)
Portanto a representação do controlador PID ideal tem a seguinte forma:
CPID(s) = Kp ( 1 + 1 Tis + Tds ) (2.6)
A Figura 2.4 mostra a utilização de um controlador PID ideal em um sistema de malha fechada, considerando o uso dos blocos 1/Tis, Tds e unitário. O uso exclusivo do bloco
unitário, é o que se denomina de Controlador Proporcional (P). Adicionando-se o bloco 1/Tis ao Controlador Proporcional, obtém-se o Controlador Proporcional-Integral (PI).
Figura 2.4: Sistema com controlador PID.
Cologni (2008) descreve a funcionalidade dos parâmetros do controlador PID, utili-zados de acordo com a complexidade e objetivos de resposta do processo, como:
• Termo Proporcional: o ganho proporcional Kp fornece uma ação de controle de
amplitude proporcional à amplitude do sinal de erro.
• Termo Integral: equivale a um compensador de baixa frequência, buscando a
8 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
• Termo Derivativo: equivale a um elemento de predição, ao buscar uma
antecipa-ção da aantecipa-ção de controle, considerando-se a tendência de variaantecipa-ção do sinal de erro. Melhora a resposta transitória através de uma compensação de alta freqüência.
2.3
Resposta em Frequência
A resposta em frequência de um sistema é definida como o comportamento em regime permanente quando o sistema é alimentado por entradas senoidais (Dorf & Bishop 1998). A variação do sinal de saída em relação ao sinal de entrada, em um sistema linear, ocorre apenas em amplitude e ângulo de fase.
A transformada de Laplace da relação entrada-saída do sistema representado pela Fi-gura 2.1 é dada por Y (s) = G(s)U (s). Um sinal u(t) = sin(ωt) aplicado no processo resulta na seguinte saída em regime permanente:
y(t) =|G( jω)|sin(ωt +̸ G( jω)), j =√−1 (2.7) Uma vantagem do método de resposta em frequência é a possibilidade de uso de si-nais senoidais de teste para várias faixas de frequência e amplitude para a obtenção expe-rimental de um modelo do sistema. Outra vantagem é que seu comportamento senoidal é descrito a partir da função de transferência, por meio da substituição de s por jω. Ou seja, o sistema pode ser representado por uma função complexa que permite a apresentação da fase e da amplitude para uma frequência específica ω. Com isso, é possível realizar re-presentações gráficas baseadas em frequência, propiciando uma forma diferenciada para análise e projeto de sistemas de controle.
2.4
Diagrama de Nyquist
O Diagrama de Nyquist é uma representação gráfica da resposta em frequência G( jω) em termos do módulo |G( jω)| e da fase̸ G( jω), com ω variando entre 0 e ∞. Ou seja,
representa, no plano complexo, o deslocamento do vetor dado pelo módulo e pela fase da função de transferência de acordo com a variação da frequência. Pode também ser utilizado para a função de malha aberta L( jω), como, por exemplo, na Figura 2.5. As principais finalidades deste diagrama são a verificação da estabilidade e de critérios de robustez do sistema.
2.5
Diagrama de Bode
Os Diagramas de Bode são uma representação gráfica da resposta em frequência ba-seada em dois gráficos distintos. No gráfico superior é representado o módulo da resposta em frequência, em decibeis, em relação à frequência ω, representada em escala logarít-mica. Já no gráfico inferior, a representação é dada pela fase da função de transferência em relação à frequênciaω.
2.5. DIAGRAMA DE BODE 9
Figura 2.5: Diagrama de Nyquist.
A Figura 2.6 mostra um exemplo de Diagramas de Bode para uma função de malha aberta. Com estes diagramas, também é possivel verificar com facilidade as margens de ganho e de fase do sistema.
10 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.6
Estabilidade em Sistemas de Controle
De acordo com Dorf & Bishop (1998), um sistema e sua correspondente função de transferência são ditos estáveis, no sentido de entrada limitada / saída limitada (BIBO-estável), quando a saída correspondente a um sinal de entrada limitado qualquer for tam-bém um sinal limitado.
Existem diversas ferramentas para se determinar a estabilidade de um sistema, como por exemplo o critério de Routh-Hurwitz, de Lyapunov e de Nyquist (Lin 2007).
A função de transferência de malha fechada, denominada T (s), para o sistema repre-sentado pela Figura 2.3, é dada por:
T (s) =Y (s) R(s)= L(s) 1 + L(s) (2.8) em que, L(s) = C(s)G(s) (2.9)
O critério de Nyquist é estabelecido por uma relação entre Z, que representa o número de polos no semiplano direito do plano-s, determinados a partir da equação característica do sistema de malha fechada, dada por 1 + L(s), P, que indica número de polos no se-miplano direito do plano-s do sistema de malha aberta dado por L(s), e N, o número de envolvimentos no sentido horário do ponto -1 no sistema de malha aberta L(s). A estabilidade é atingida quando Z = 0 na relação Z = N + P.
Portanto, a observação da resposta em frequência de L(s) (malha aberta) é suficiente para deduzir a estabilidade de malha fechada. O número de voltas no sentido anti-horário em torno do ponto (-1,0) do Diagrama de Nyquist deve ser igual ao número de polos de
L(s) no semiplano direito do plano-s.
Quando L( jω) = −1, há o limite da estabilidade para |L( jω)| = 1,̸ L( jω) = π. Neste
caso, o sinal de saída oscila de forma constante. É possível verificar que se o sistema de malha aberta não possui polos com parte real positiva, o módulo de L( jω) tende a sofrer uma redução no sistema de malha fechada e estabilizar. Então, o ideal para o sistema de malha aberta, sem polos positivos, é evitar a proximidade do ponto (-1,0).
2.6.1
Margens de Fase e de Ganho
A margem de ganho representa o quanto se pode elevar o ganho do controlador, a fim de levar a curva de Nyquist para o limite da estabilidade em ̸ L( jωu) =π, sendo
ωu denominado como a frequência de cruzamento de fase. A equação que representa a
margem de ganho é dada por:
MG = 1
|L( jωu)|
(2.10)
A margem de fase é dada pelo ângulo entre a curva de Nyquist e a fase −π quando
|L( jωc)| = 1, considerando ωc como sendo a frequência de cruzamento de ganho.
2.6. ESTABILIDADE EM SISTEMAS DE CONTROLE 11
MF =π +̸ L( jωc) (2.11)
A Figura 2.7 mostra um exemplo da visualização das margens de fase e de ganho no Diagrama de Nyquist. Já a Figura 2.8 mostra um exemplo no Diagrama de Bode.
Figura 2.7: Margens de fase e de ganho no Diagrama de Nyquist.
2.6.2
Função de sensibilidade
De acordo com Skogestad & Postlethwaite (2005), a função de sensibilidade de um sistema é definida como a razão entre a mudança relativa na função de transferência de malha fechada e a mudança relativa da função de transferência da planta, para o sistema representado pela Figura 2.3, podendo ser representada por:
S(s) = ∆T(s) T (s) ∆G(s) G(s) (2.12)
Para pequenas variações, pode-se representar a sensibilidade por:
S(s) = ∂T(s) T (s) ∂G(s) G(s) = ∂T(s) ∂G(s) G(s) T (s) (2.13)
12 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Figura 2.8: Margens de fase e de ganho no Diagrama de Bode.
Portanto, a função de sensibilidade resulta em:
S(s) = 1
1 + L(s) (2.14)
Essa função, de acordo com Aström & Hägglund (2006), é relevante para a verificação da atenuação de distúrbios. Caso|S( jω)| < 1, a perturbação será atenuada, caso contrário, será amplificada. A frequência em que a perturbação mais prejudica o sistema, ou seja, onde há a maior sensibilidade, é dada por:
Ms= maxω
1 + L( j1 ω) (2.15) No Diagrama de Nyquist, a representação da sensibilidade máxima (Ms) é dada por
um círculo com centro no ponto (-1,0) e raio M1
s, o qual será denominado por círculo Ms.
A Figura 2.9 mostra o círculo Msno Diagrama de Nyquist.
Deixar a curva de Nyquist da malha aberta do sistema fora do círculo Ms equivale
a atender a um critério de robustez do sistema. Portanto, neste trabalho deve-se utilizar o controlador de forma a garantir que a curva de Nyquist permaneça fora do círculo Ms
para qualquer frequênciaω, pois isso garante uma margem de ganho e de fase que permite manter o sistema estável e minimize efeitos de perturbações.
Aström & Hägglund (2006) citam como valores aplicáveis para Ms os contidos entre
1,4 e 2 e estabelecem sua relação com as margens de fase e de ganho:
MG≥ Ms Ms− 1
2.7. EXPERIMENTO DO RELÉ 13
Figura 2.9: Círculo Ms no Diagrama de Nyquist.
MF≥ 2arcsin ( 1 2Ms ) (2.17)
Assim, um limite para o valor de Msimplica valores garantidos das margens de ganho
e de fase.
2.7
Experimento do Relé
O Experimento do Relé foi proposto por Aström & Hägglund (1984) como alternativa à sintonia de controladores PID pelo método proposto por Ziegler & Nichols (1942) e tem como finalidade encontrar pontos críticos da resposta em frequência. Em vez de utilizar a variação do ganho do controlador para fazer a saída oscilar com amplitude constante, optou-se por inserir um relé no sistema de controle, conforme mostra a Figura 2.10.
14 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Considerando que o relé possui amplitude fixa d, a saída do bloco do relé u(t) é dado por:
u(t) =
{
+d se e(t) > 0
−d se e(t) ≤ 0 (2.18)
Percebe-se que o relé possui a característica de limitar o sinal de entrada e possibilita uma sintonia segura de forma a evitar uma eventual saturação da saída do sistema. Se o sinal de erro E(s) possui forma senoidal, de período constante e amplitude a, a repre-sentação do relé de amplitude d pelo método da Função Descritiva N(a) 1, baseado na expansão em Série de Fourier, é dada pela seguinte expressão:
N(a) = 4d
πa (2.19)
O limite da estabilidade, ou seja, o momento em que haverá uma oscilação constante na saída do sistema Y (s) ocorre quando:
N(a)G( jωu) =−1 (2.20)
Logo, a resposta em frequência do processo no ponto crítico na curva de Nyquist é representado por:
G( jωu) =−πa
4d (2.21)
Pode-se também afirmar que o ganho do controlador que leva a resposta em frequência ao ponto crítico da curva de Nyquist é:
Ku=
4d
πa (2.22)
A partir desse modelo de experimento do relé é possível realizar outras modelagens de sistemas para obter outros parâmetros importantes do sistema, como em Arruda & Barros (2003) e Tsypkin (1984). A seguir serão destacados dois modelos utilizados para a estimação da margem de fase e de ganho do sistema.
2.7.1
Estimação da margem de fase
O exemplo apresentado para o experimento do relé buscou substituir o controlador por um relé para determinar um ponto G( jω) do Diagrama de Nyquist. A análise pode se estender considerando a manutenção do controlador no sistema e a inclusão de um relé para determinar pontos do sistema de malha aberta L(s).
Longchamp & Piguet (1995) elaboraram um processo para determinar o ponto do Diagrama de Nyquist em que o sistema expressa a margem de fase baseando-se na malha representada pela Figura 2.11. A malha pode ser simplificada de acordo com a Figura 2.12.
1Função Descritiva é um método de representação de não linearidades, que estabelece a relação
2.7. EXPERIMENTO DO RELÉ 15
Figura 2.11: Malha utilizada para estimativa de margem de fase no método do relé.
Utilizando, em vez de G( jω), o sistema da Figura 2.12 na Equação 2.20 e atribuindo ao relé a relação da Equação 2.19, obtém-se:
( 4d πa ) 1 jωc ( L( jωc)− 1 L( jωc) + 1 ) =−1 (2.23)
Figura 2.12: Malha simplificada de estimativa de margem de fase no método do relé.
Portanto, o ponto do Diagrama de Nyquist que indica a margem de fase é dado por:
L( jωc) = 1− j(ωcaπ 4d ) 1 + j(ωcaπ 4d ) (2.24)
Em termos de módulo e fase, o ponto é representado por:
|L( jωc)| = 1 (2.25) ̸ L( jωc) =−2arctan(ωc aπ 4d ) (2.26)
16 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
MF =π − 2arctan(ωcaπ
4d )
(2.27)
2.7.2
Estimação da margem de ganho
Longchamp & Piguet (1995) também desenvolveram um sistema com o uso do relé, de acordo com a Figura 2.13, que permite a determinação do ponto da curva de Nyquist de malha aberta que cruza o eixo real, possibilitando assim, a estimativa da margem de ganho.
Figura 2.13: Malha utilizada para estimativa de margem de ganho no método do relé.
Da mesma forma que na Equação 2.23, será utilizada a estrutura da Figura 2.13:
4d πa ( L( jωu) 1 + L( jωu) ) =−1 (2.28)
Portanto, o ponto de L(s) que cruza o eixo real é dado por:
L( jωu) =−
aπ
4d + aπ (2.29)
Aplicando a Equação 2.29 na Equação 2.10, obtem-se:
MG = a1π
4d+aπ
(2.30)
2.8
Modelo FOPDT
A maioria dos processos industriais são contínuos e podem ser descritos de forma razoável por modelos de funções de transferência de primeira ou segunda ordem com atraso.
O modelo de função de primeira ordem com tempo morto (FOPDT), de acordo com Seban et al. (2018), é usado por sistemas com dinâmica altamente amortecida e possui um polo dominante real e negativo, enquanto o modelo de função de segunda ordem com
2.9. CONTROLADOR PI-D 17
tempo morto (SOPDT) é utilizado para sistemas com dinâmica pouco amortecida e possui dois polos dominantes podendo ser reais e negativos ou complexos conjugados com parte real negativa.
A ideia desses modelos é gerar uma aproximação simples de processos complexos, mantendo informações relevantes de dinâmica de processo e estado estacionário.
Aström & Hägglund (2006) descrevem o modelo FOPDT da seguinte forma:
G(s) = K
1 + sTe
−sL (2.31)
Considerando que k = |G( jωu)|
G(0) , os valores de K, T e L são determinados a partir da
frequência críticaωupor:
T = 1 ωu √ k−2− 1 (2.32) L = 1 ωu (π − arctan√k−2− 1) (2.33) K = |G( jωu)| k (2.34)
A variávelτ, expressada pela Equação 2.35, é denominada de tempo morto normali-zado e indica entre 0 e 1 a dificuldade de se controlar o processo. Quanto maior o valor deτ, maior a dificuldade de controle do processo.
τ = L
L + T (2.35)
2.9
Controlador PI-D
O controlador PI-D possui, de acordo com Ogata (2010), o sistema de malha fechada representada pela Figura 2.14. Este controlador é usado para evitar a derivação de varia-ções bruscas no sinal de referência e possui possibilidade de uso em diversos modelos de CLP.
Neste sistema, a diferenciação ocorre apenas no sinal de realimentação. Com isso, a função de transferência de malha fechada resulta em:
T (s) = G(s)Kp ( 1 +T1 is ) 1 + G(s)Kp ( 1 +T1 is+ Tds ) = LPI(s) 1 + LPID(s) (2.36)
Apesar de a função de transferência com o o uso do controlador PI-D diferir da função com o uso do controlador PID, a equação característica é a mesma com o uso de ambos os controladores. Logo a análise de estabilidade para os sistemas com controlador PI-D e PID não possui diferenças.
Com o uso da Equação 2.13, percebe-se que a função de sensibilidade também é a mesma com o uso dos dois controladores. Portanto, o mesmo método de autossintonia
18 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Figura 2.14: Sistema com controlador PI-D em malha fechada.
utilizado para o controlador PID pode ser utilizado para o controlador PI-D.
Aplicando-se os dois controladores a um mesmo sistema há uma diferença na resposta transitória, dado que o sistema com controlador PID tem efeito do termo derivativo nos zeros da função de transferência, ao contrário do sistema com controlador PI-D.
2.10
Conclusão
Este capítulo apresentou a base teórica necessária para o desenvolvimento deste tra-balho. Inicialmente, destacou-se a representação de controladores PID, com ênfase no domínio da frequência, além dos Diagramas de Nyquist e de Bode, que são as ferramen-tas gráficas mais utilizadas para a visualização do sistema neste domínio. Posteriormente, foi apresentada a função de sensibilidade, cujo valor máximo é essencial para a garantia da robustez do sistema.
Em seguida, foi apresentado o experimento do relé, com modelos adaptados para obter pontos relevantes na curva de Nyquist, além de possibilitar a determinação das margens de ganho e de fase. Por fim, foi apresentado o modelo FOPDT, que possibilita uma aproximação da função de transferência do processo de forma simplificada, além do controlador PI-D, demonstrando que a análise de estabilidade e de sensibilidade não diferem se comparado ao controlador PID.
Capítulo 3
Autossintonia de Controladores
Este capítulo é iniciado com a apresentação de processos já existentes de autossintonia de controladores PI e PID envolvendo o uso do experimento do relé, com possibilidade de uso em um CLP e voltados para a melhoria da robustez do sistema. Posteriormente apresenta uma adaptação do método proposto por Rego (2018) ao incluir um termo deri-vativo no controlador PI projetado, de forma a manter especificações de robustez e obter melhorias de desempenho no tempo.
3.1
Ressintonia de Controladores PID
Um sistema de autossintonia de controlador PID utilizando o método do relé é dado por Chen & Moore (2005). O objetivo é manter a fase do sistema constante próximo da frequência em que a curva de Nyquist cruza pela primeira vez o círculo Ms, buscando
fazer com que a curva apenas tangencie o círculo Ms neste ponto específico e mantenha
o sistema robusto. As Figuras 3.1 e 3.2 ilustram a ideia deste processo. Denominando a frequência de tangência desejada deωd, a representação matemática é dada por:
d̸ L(s) ds s= jωd = 0 (3.1)
O método do relé é utilizado para obter o módulo e a fase da planta G(s) na frequência desejada. Isso é possível utilizando um sistema representado pela Figura 3.3. Por meio de um processo iterativo, determina-se valor deθ que resulta em ωd, e em seguida pode-se
determinar̸ G( jωd) e|G( jωd)|.
A variável sp, que é o termo derivativo da fase, é utilizada para determinar Td e Tie é
dada por: sp(ωd) =ωd d̸ G( jωd) dωd ωd (3.2) e aproximado por: sp(ωd)≉ G( jωd) +2 π[ln G(0)− ln |G( jωd)|] (3.3)
20 CAPÍTULO 3. AUTOSSINTONIA DE CONTROLADORES
Figura 3.1: Exemplo de Diagrama de Bode com tangência emωd.
3.1. RESSINTONIA DE CONTROLADORES PID 21
Adotandoϕm como a fase do sistema na frequência desejada, ˆϕ dado por ˆϕ = ϕm− ̸ G( jωd), e∆, dado por ∆ = Ti2ω2d−8sp(ωd)Tiωd−4Ti2ω2dsp2(ωd), é possível determinar
os parâmetros Kp, Td e Ti, para determinar o controlador PID representado pela Equação
2.6. Kp= cos(ϕm) |G( jωd) √ 1 + tan2(ϕ m−̸ G( jωd)))| (3.4) Ti= −2 ωd[sp(ωd) + ˆϕ +tan2( ˆϕ)sp(ωd)] (3.5) Td= −T iω + 2sp(ωd) + √ ∆ 2sp(ωd)ω2dTi (3.6)
A ideia deste método é desviar a curva de Nyquist tangenciando o círculo Ms. Com
isso, é possível um ajuste ideal em termos de robustez, garantindo margem de ganho e de fase adequados, assim como melhor resposta transitória. Na prática, a curva ao invés de tangenciar o círculo Ms, pode ficar de forma conservadora mais fora do que se necessita.
Com isso, pode-se aplicar um outro método que possibilite uma aproximação maior da curva de Nyquist ao círculo Ms.
Malladi & Yadaiah (2013) introduziram um ajuste no método de Chen & Moore (2005) por meio de uma ação coordenada com o método proposto por Karimi et al. (2003), que não possui foco em robustez de processo, deixando a curva de Nyquist dentro do círculo Ms. Então com um processo de relacionamento entre os parâmetros dos
contro-ladores dos dois métodos, é possível obter um terceiro que permita que o círculo Ms seja
tangenciado pela curva de Nyquist. A Figura 3.4 ilustra um exemplo de utilização deste processo de composição.
Figura 3.3: Sistema utilizado para determinar̸ G(s) e|G(s)| .
O método de Karimi et al. (2003) usa a variável sa, que é um termo derivativo da amplitude, dada por:
sa(ωd) =ωd d ln|G( jωd)| dωd ωd (3.7) sa(ωd)≈ 2 π̸ G( jωd) (3.8)
22 CAPÍTULO 3. AUTOSSINTONIA DE CONTROLADORES
Figura 3.4: Composição de curva de Nyquist pelo método de Malladi e Yadaiah.
Também utiliza-se a variávelψ, dada por: ψ = d|L( jωd)| dωd ω d (3.9)
Os parâmetros do controlador são dados por:
Kp= |cos(ˆϕ)| |G( jωd)| (3.10) Td = 1 2ωd
[(sa(ωd)− sp(ωd)tan( ˆϕ))tan(ψ −̸ G( jωd)) + (1− sa(ωd))tan( ˆϕ) − sp(ωd)]
(3.11)
Ti=
1
ωd(Tdωd−tan(ˆϕ))
(3.12)
A composição dos parâmetros do controlador de Malladi & Yadaiah (2013), são obti-dos por:
Kp= µ KpCHEN+ (1− µ)KpKARIMI (3.13)
Ti= µ TiCHEN+ (1− µ)TiKARIMI (3.14)
3.2. RESSINTONIA DE CONTROLADORES PI 23
A variável µ varia entre 0 e 1 e é determinada por um processo de otimização com uso de algoritmo genético.
Como o foco neste trabalho é estabelecer um método voltado para uso em CLP, apesar destes métodos nas simulações realizadas apresentarem bons resultados, optou-se inici-almente por não utilizá-los em virtude da quantidade de iterações necessárias para se determinar o valor de µ e da dificuldade para se obter a frequência ωd em um processo
pelo método do relé.
3.2
Ressintonia de Controladores PI
Um método de autossintonia de controlador PI foi proposto por Barbosa (2015). O trabalho teve como objetivo encontrar parâmetrosα e β que modificam os valores de Kp
e Tido controlador PI da seguinte forma:
CPI(s) = Kp β ( 1 + 1 sTiα ) (3.16)
Os valores deα e β devem ser positivos. Entre 0 e 1, o valor de α faz a curva de Nyquist se deslocar para a esquerda e α > 1 faz com que a curva se desloque para a direita. No caso de β, valores entre 0 e 1 realizam uma expansão na curva de Nyquist e β > 1 provoca a contração da curva em relação à origem do plano complexo. As Figuras 3.5 e 3.6 ilustram a variação destes parâmetros, destacando o posicionamento em três diferentes frequências.
24 CAPÍTULO 3. AUTOSSINTONIA DE CONTROLADORES
Figura 3.6: Variação deβ.
A partir da Equação 3.16, substituindo-se s por jω, pode-se extrair o módulo de acordo com a Equação 3.17 e a fase de acordo com a Equação 3.18, cuja representação indica uma limitação de controle em termos de fase dada pela Equação 3.19.
|CPI( jω)| = √( Kp β )2 + ( − Kp ωTiαβ )2 (3.17) ̸ CPI( jω) = arctan ( −ωT1 iα ) (3.18) −π 2 ≰ CPI( jω) ≤ 0 (3.19) O método de Barbosa (2015) necessita de um processo iterativo para a obtenção do parâmetro α, o que dificulta a viabilidade para o desenvolvimento em um CLP. Rego (2018) adaptou o método de Barbosa (2015), elaborando um processo mais simples para a obtenção do parâmetroα e mantendo o processo para a obtenção do parâmetro β.
O que se deseja no método com o ajuste deα e β para garantir a robustez do sistema é que os pontos L( jωu), L( jωc) e L( jωi) estejam fora do círculo Ms, em queωirepresenta
um ponto intermediário entreωceωu, dado por:
ωi=
√
ωuωc (3.20)
Os pontos L( jωu) e L( jωc) são obtidos pelo método do relé, enquanto o ponto L( jωi)
3.2. RESSINTONIA DE CONTROLADORES PI 25
3.16, ainda sem os parâmetrosα e β. Com isso, para a frequência ωi, obtem-se:
L( jωi) = C( jωi)G( jωi) (3.21)
Para obter o modelo FOPDT, é necessário conhecer a resposta em frequência do pro-cesso na frequência críticaωu, dada por:
G( jωu) =
L( jωu)
C( jωu)
(3.22)
A Figura 3.7 ilustra o posicionamento dos pontos no Diagrama de Nyquist. Como os pontos são estimados, podem não coincidir com a curva de Nyquist do sistema.
Figura 3.7: Pontos estimados L( jωu), L( jωi) e L( jωc) no Diagrama de Nyquist.
3.2.1
Determinação do parâmetro
α
O parâmetroα, de acordo com a Equação 3.18, tem a finalidade de variar a fase do controlador PI, permitindo assim, o ajuste de fase dos pontos da curva de Nyquist de malha aberta.
Rego (2018) elaborou um método para determinar o valor deα que permite o deslo-camento do ponto L( jωi) até realizar a interseção com o círculo Ms, conforme a Figura
3.8. Denominando-se C1( jωi) como a fase do controlador ajustado após o deslocamento
do ponto L( jωi), o parâmetroα é determinado por:
α = − 1
tan(̸ C1( jωi))ωiTi
26 CAPÍTULO 3. AUTOSSINTONIA DE CONTROLADORES em que, ̸ C1( jωi)) =∆(̸ L( jωi)) + arctan ( − 1 Tiωi ) (3.24) e, ∆(̸ L( jωi)) ≠ L1( jωi)−̸ L( jωi) (3.25) ̸ (L1( jωi)) = arctan √( |L( jωi)| ℜ(L1( jωi)) )2 − 1 −π (3.26) ℜ(L1( jωi)) = ( 1 Ms )2 − (|L( jωi)|)2− 1 2 (3.27)
Figura 3.8: Deslocamento de L( jωi) com a variação deα.
O valor deα só poderá ser utilizado caso C1( jωi) esteja de acordo com os limites da
Equação 3.19. Se a variação de L( jωi) não resultar em um valor de fase de controlador
válido, realiza-se o mesmo processo para L( jωc). Caso ainda não se consiga um valor de
C1( jωi) dentro dos limites, utiliza-seα =1, mantendo-se o controlador original.
3.2.2
Determinação do parâmetro
β
O parâmetroβ tem a finalidade de mover os pontos de curva de Nyquist radialmente, expandindo-a ou contraindo-a.
3.2. RESSINTONIA DE CONTROLADORES PI 27
Como a curva do processo possivelmente terá um ou mais dos três pontos estimados analisados dentro do círculo Ms, é necessária uma contração, utilizandoβ >1. Caso os
três pontos estejam fora do círculo, basta adotarβ =1.
Adotando o ponto L1( jωu) como sendo o ponto de L( jωu) deslocado com o uso do
parâmetroα, e o ponto Lcirc( jωu) como sendo o ponto L1( jωu) deslocado para a borda
do círculo Ms, o valor deβ será determinado por:
β = |L1( jωu)| |Lcirc( jωu)| (3.28) em que, |Lcirc( jωu)| = −1 + √ −(ℑ(L1( jωu)) ℜ(L1( jωu)) )2 + ( 1 Ms )2 + ( ℑ(L 1( jωu)) Msℜ(L1( jωu)) )2 √( ℑ(L1( jωu)) ℜ(L1( jωu)) )2 + 1 (3.29) O mesmo procedimento pode ser efetuado para determinar os valores deβ que levam os pontos L1( jωi) e L1( jωc) ao encontro do círculo Ms. Então com os três valores de β
calculados, escolhe-se o maior para garantir que os três pontos estejam fora do círculo Ms.
Caso o ponto já esteja fora do círculo Ms, ou seja, possua a partir do ponto (-1,0) distância
maior do que 1/Ms, deve ser desconsiderado. A Figura 3.9 exemplifica a contribuição de
β.
28 CAPÍTULO 3. AUTOSSINTONIA DE CONTROLADORES
3.3
Inclusão do termo derivativo
Como contribuição deste trabalho, os métodos de ressintonia de controladores PI de Barbosa (2015) e Rego (2018) foram adaptados com a inclusão do termo derivativo, com o intuito de manter as mesmas especificações de robustez do método de ressintonia de controladores PI e obter uma melhoria de resposta transitória para variações na referência e para a introdução de perturbações.
Um sistema baseado em uma função de transferência G(s) que possui um controlador
C(s) pode ser representado em malha aberta pela equação:
LPID(s) = G(s)CPID(s) (3.30)
O controlador PID, utilizando os valoresα e β propostos por Barbosa (2015) e Rego (2018), possui a seguinte forma:
CPID(s) = Kp β ( 1 + 1 Tiαs + Tds ) (3.31)
O controlador em um determinado valor de frequência ω, possui o módulo e a fase dados por: |CPID( jω)| = √( Kp β )2 + ( − Kp ωTiαβ +KpTdω β )2 (3.32) ̸ CPID( jω) = arctan ( − 1 ωTiα + Tdω ) (3.33)
Percebe-se que há influência do termo derivativo tanto no módulo quanto na fase do controlador. O termo derivativo proporciona um aumento no ganho e uma correção positiva na fase do controlador. A fase do controlador PID possui os seguintes limites:
−π
2 ≰ CPID( jω) ≤ π
2 (3.34)
Em relação ao controlador PI, percebe-se uma maior capacidade de correção de fase do sistema, já que o termo integral possibilita a redução da fase e o termo derivativo permite o incremento da fase.
É possível, a partir da Equação 3.31, separar a contribuição do controlador PI e a adicionada pela inclusão do termo Td.
CPID(s) = Kp β ( 1 + 1 Tiαs ) +Kp β Tds (3.35) CPID(s) = CPI(s) + Kp β Tds (3.36)
3.3. INCLUSÃO DO TERMO DERIVATIVO 29
Combinando as Equações 3.30 e 3.36 obtêm-se:
LPID(s) = G(s) ( CPI(s) + Kp β Tds ) (3.37) LPID(s) = G(s)CPI(s) + G(s) Kp β Tds (3.38) LPID(s) = LPI(s) + G(s) Kp β Tds (3.39)
Portanto, é possível verificar que a contribuição dada por Td em sistema de malha aberta é G(s)K pβ Tds. Substituindo neste termo s por jω e considerando que G( jω) =
a + jb pode-se verificar a contribuição de Td no eixo real e imaginário no diagrama de
Nyquist: G( jω)Kp β Tdjω = (a + jb) Kp β Tdjω (3.40) (a + jb)Kp β Tdjω = j ( aKp β Tdω ) − bKp β Tdω (3.41)
Percebe-se pela Equação 3.41 que o uso de Tdprovoca em uma frequência específicaω
um incremento de bKp
β Tdω no eixo real e um decremento de aKβpTdω no eixo imaginário do
sistema de malha aberta, desde que G(s) nesta determinada frequência tenha componentes real e imaginária negativas. Essa característica é comum para frequências próximas aωie
ωu. A fim de exemplificar esses conceitos, será introduzido o termo derivativo no sistema
abaixo: G(s) = 10 4.63s + 1e −1.01s (3.42) C(s) = 0.3 ( 1 + 1 4.28s ) (3.43)
Com a técnica utilizada em Rego (2018) foram obtidos os parâmetros α = 1.427 e β = 1.25. A Figura 3.10 ilustra o diagrama de Nyquist para Td variando de 0 a 0,5,
destacando as frequênciasωu= 1.5476 rad/s eωi= 0.8906 rad/s. É possível verificar
a tendência de redução do componente imaginário e o aumento do componente real do sistema de malha aberta com o incremento de Td para as duas frequências destacadas.
Percebe-se também que para maiores valores de Td o ganho para frequências mais altas
tende a aproximar o sistema ao círculo de raio 1/Ms, e isto além de afetar a sua robustez,
tende a levar à instabilidade. Logo, o ideal é que o valor de Tdseja incrementado somente
o suficiente para deslocar a curva do sistema de malha aberta para fora do círculo de raio 1/Ms.
30 CAPÍTULO 3. AUTOSSINTONIA DE CONTROLADORES
Figura 3.10: Variação de Td.
3.4
Determinação do valor de T
dNa Seção 3.2 foi apresentado o processo de cálculo dos parâmetrosα e β, baseado em um valor Ms estabelecido. Para a autossintonia com o uso do controlador PID, o cálculo
dos parâmetrosα e β deve ser realizado para um círculo Msreduzido, com um acréscimo
inicial no valor de Ms.
Essa redução inicial do círculo Ms foi estipulada com o intuito de proporcionar a
atuação do termo derivativo no controlador para retirar a curva de Nyquist do círculo Ms
de objetivo, e em consequência, aproveitar o seu benefício no desempenho no tempo. Como apresentado na Seção 3.3, o uso excessivo do termo derivativo deve ser evitado, pois o sistema pode tornar-se instável.
Com a finalidade de manter o sistema seguro em relação à robustez e à instabilidade, optou-se por utilizar um incremento inicial em Ms de 0,2. Como este método de
au-tossintonia é utilizado em processos variados, este incremento em Ms foi determinado
empiricamente a partir da obtenção de resultados em simulações, com variações de fun-ções de transferência do processo e do controlador, além de variafun-ções do valor Ms, de
forma a evitar que o valor de Td possa resultar em um valor que provoque na curva de
Nyquist, para os diversos tipos de processo, o retorno em altas frequências ao círculo Ms
de objetivo e não resulte na robustez desejada.
Na Figura 3.10 é possível verificar que entre os pontos críticos estabelecidos, após a determinação deα e β, o sistema pode permanecer em uma determinada faixa de frequên-cia no interior do círculo Ms. A fim de buscar o ponto mais sensível da curva de Nyquist a
pon-3.4. DETERMINAÇÃO DO VALOR DETD 31
tos devem ser calculados. O primeiro, denominado L( jωi2), estabelece um ponto entre
L( jωu) e L( jωi), sendo a frequênciaωi2dada por:
ωi2=
√
ωuωi (3.44)
O outro ponto a ser calculado, denominado de L( jωi3), representa um ponto entre
L( jωi) e L( jωc), cuja frequênciaωi3 é dada por:
ωi3=√ωiωc (3.45)
Portanto, há cinco pontos possíveis de escolha para realizar o cálculo de Td: L2( jωu),
L2( jωi) e L2( jωc), determinados após o cálculo deα e β para o círculo Msreduzido, além
dos pontos L2( jωi2) e L2( jωi3), calculados posteriormente.
Em um processo semelhante ao utilizado para determinar o valor de α é possível calcular o valor de Td. Neste processo, o valor de Ms deve retornar ao originalmente
determinado. Considerando L2( jωi2) como o ponto de ωi2 após a inclusão de α e β e
L3( jωi2) o ponto, após o a inclusão de Td, deslocado para o círculo Ms de objetivo,
pode-se determinar a parte real de L3( jωi2) por:
ℜ(L3( jωi2)) = ( 1 Ms )2 − (|L2( jωi2)|)2− 1 2 (3.46) e a fase̸ (L3( jωi2)) por: ̸ (L3( jωi2)) = arctan √( |L2( jωi2)| ℜ(L3( jωi2)) )2 − 1 −π (3.47) Com isso, a contribuição de fase dada pelo controlador após a inclusão de Td é dada
por: ̸ C3( jωi2) =∆(̸ L( jωi2)) + arctan ( − 1 Tiαωi2 ) (3.48) em que, ∆(̸ L( jωi2)) ≠ L3( jωi2)−̸ L2( jωi2) (3.49) portanto, Td= tan(̸ C3( jωi2)) + ( 1 Tiαωi2 ) ωi2 (3.50)
A Figura 3.11 ilustra a variação da posição do ponto L2( jωi2) com a variação de Td.
É necessário que C3( jωi2) esteja dentro do limite previsto na Equação 3.34 para que se
32 CAPÍTULO 3. AUTOSSINTONIA DE CONTROLADORES
Figura 3.11: Contribuição de Td na variação de L2( jωi2)
3.5
Resumo dos procedimentos
Abaixo, são apresentados os passos necessários para efetuar a ressintonia do contro-lador PID. Devido ao uso de cálculos simples e à restrição de estruturas iterativas, estes passos podem ser implementados em CLP.
1. Determinar os pontos L( jωu) e L( jωc) e as margens de fase e de ganho por meio
do experimento do relé, de acordo com as Seções 2.7.1 e 2.7.2.
2. Estimar o ponto intermediário L( jωi), baseando-se na função de transferência
ob-tida pelo modelo FOPDT.
3. Com Ms acrescido em 0,2 do objetivado, alterar o termo integrativo com a inclusão
do parâmetroα, conforme descrito na Seção 3.2.1.
4. Caso pelo menos um dos três pontos críticos estejam dentro do círculo Msreduzido,
determinar o parâmetroβ para ajustar o termo proporcional utilizando o procedi-mento da Seção 3.2.2.;
5. Calcular L( jωi2) e L( jωi3) e determinar qual dos cinco pontos está mais próximo
do ponto (-1,0);
6. Calcular Td para deslocar o ponto para o círculo Ms de objetivo, de acordo com a
descrição da Seção 3.4;
7. Atualizar os parâmetros do controlador PID;
3.6
Conclusão
Este capítulo foi iniciado descrevendo procedimentos já existentes para a autossin-tonia de controladores PI e PID, destacando a sequência das etapas necessárias para a
3.6. CONCLUSÃO 33
obtenção do modelo do controlador e expectativas de resultados a serem obtidos. Tam-bém foi realizada uma análise do ganho e da fase do controlador PI, mostrando os limites de controle existentes.
Na sequência foi realizada a mesma análise para o controladores PID e PI-D, desta-cando a vantagem de possibilidade de maior uso de fase dos controladores. Foi detalhada a inclusão de um termo derivativo ao controlador PI desenvolvido por Rego (2018) e apre-sentado um resumo dos passos necessários para realizar a autossintonia do controlador.
Capítulo 4
Exemplos de Ressintonia
Este capítulo apresenta três exemplos de simulações do método proposto para a au-tossintonia de controladores PID que possam se adequar ao uso em CLP.
A sequência de procedimentos necessários para se determinarem os parâmetros do controlador é descrita, e os resultados obtidos são apresentados com representação por meio de gráficos e tabelas, possibilitando com isso, a comparação dos resultados do pro-cesso do método de Rego (2018) com a adaptação proposta neste trabalho.
4.1
Exemplo 1
Considerando-se que o processo possui a função de transferência dada por:
G(s) = 1
(s + 1)4 (4.1)
e que o controlador possui a seguinte função de transferência:
C(s) = 1.0728 ( 1 + 1 3.9052s ) (4.2)
O passo inicial do método é determinar os pontos críticos L( jωu) e L( jωc) e as
mar-gens de fase e de ganho, de acordo com o processo detalhado nas Seções 2.7.1 e 2.7.2. Por meio da simulação foram encontrados os seguintes pontos:
L( jωu) = 0, 365̸ − 180◦, comωu= 0, 866 rad/s (4.3)
L( jωc) = 1̸ − 116,42◦, comωc= 0, 374 rad/s (4.4)
As margens correspondentes são MF = 63, 5◦ e MG = 8, 74 dB. Em seguida é ne-cessário estabelecer o modelo FOPDT, que permite a estimativa dos demais pontos de análise. A partir do procedimento demonstrado na Seção 2.8, encontra-se o seguinte mo-delo:
G(s) = 1
1 + 3, 342se
−2,2s (4.5)
36 CAPÍTULO 4. EXEMPLOS DE RESSINTONIA
L( jωi) = 0, 5474̸ − 158,16◦, comωi= 0, 5691 rad/s (4.6)
A Figura 4.1 mostra as curvas de Nyquist do sistema de malha aberta obtidas com o uso da função de tranferência do processo original e com o processo obtido pelo modelo FOPDT, além dos pontos críticos estimados.
Figura 4.1: Exemplo 1 - Determinação dos pontos críticos.
O próximo passo é a determinação do parâmetro α. Seguindo os procedimentos da Seção 3.2.1, considerando que Msde objetivo é de 1,5 e que é necessário um incremento
inicial de 0,2, determinou-se que:
̸ C1( jωi) =−20,90◦, e α = 1,178 (4.7)
As posições de L( jωi), L( jωc) e L( jωu) podem ser atualizadas pela seguinte equação:
L1( jω) = L( jω) C1( jω) C( jω) (4.8) que corresponde a: L1( jω) = L( jω) 1− j ( 1 αTiω ) 1− j ( 1 Tiω ) (4.9)
