APLICAÇÃO DE ALGORITMOS GENÉTICOS À SÍNTESE DE FILTROS PARA CONTROLE POR MODO DESLIZANTE

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APLICA ¸C ÃO DE ALGORITMOS GENÉTICOS À SÍNTESE DE FILTROS PARA CONTROLE POR MODO DESLIZANTE

Felipe da Trindade do Nascimento e Jos´e Paulo V. S. da Cunha∗ ∗_{Departamento de Eletrˆ}_{onica e Telecomunica¸c˜}_{oes — Faculdade de Engenharia}

Universidade do Estado do Rio de Janeiro — Rua S˜ao Francisco Xavier 524, sala 5001E — 20559-900 Email: felipedtdn@gmail.com, jpaulo@ieee.org

Abstract— This paper proposes the application of genetic algorithms to the synthesis of filters which modulate signals of variable structure sliding mode controllers. The modulation of the control signal can reduce the amplitude of this signal and thus can reduce power consumption and chattering. These filters are also applied to systems with parametric uncertainties and unmeasured state variables. In these systems, the uncertainties can impair the accurate estimation of the state by means of observers. For the synthesis of these filters, it is necessary to obtain the envelope, which is the maximum norm of each impulse response admissible for the system. After this step, a filter is synthesized to generate an upper bound for the envelope.

Keywords— Filter synthesis, Variable structure control, State observer, Genetic algorithms, Impulse response, Envelope, Modulation signal.

Resumo— Neste artigo propõe-se a aplica¸cão de algoritmos genéticos para a s´ıntese de filtros para modular sinais de controladores a estrutura variável e modo deslizante. A modula¸cão do sinal de controle pode reduzir sua amplitude e, consequentemente, pode reduzir o consumo de energia para realizar o controle e o chattering. Esses filtros também são aplicados em sistemas que possuem incertezas paramétricas nos quais nem todas as variáveis de estado são medidas. Nesses sistemas, as incertezas nos parâmetros podem impedir que seus estados sejam estimados com precisão por observadores. A s´ıntese desses filtros necessita da obten¸cão da envoltória, que ´

e a norma máxima de cada resposta impulsiva admiss´ıvel no sistema. Após este passo, é sintetizado um filtro que majore a envoltória.

Palavras-chave— S´ıntese de filtros, Controle a estrutura variável, Observador de estado, Algoritmos genéticos, Resposta impulsiva, Envoltória, Sinal de modula¸cão.

1 Introdu¸c˜ao

Em muitas aplica¸cões de controladores, é dif´ıcil obter um modelo preciso do sistema a ser contro-lado por falta de informa¸cões sobre a dinâmica, não-linearidades e parâmetros variantes no tempo. Por isto, a engenharia de controle é for¸cada a usar modelos simplificados que possuem incertezas, o que reduz o desempenho do sistema controlado (Li et al., 1996). Para contornar as dificuldades na modelagem de sistemas, utilizam-se controla-dores robustos. Um dos métodos mais utilizados é o controle por modo deslizante (sliding mode con-trol — SMC), que é usual no concon-trole a estrutura variável (variable structure control — VSC) (Li et al., 1996).

Algoritmos genéticos (AGs) já foram usados para a s´ıntese de filtros digitais (Dexiang and Mi-chael, 1995) e analógicos (Grimbleby, 2000). Este artigo propõe o uso AGs para a s´ıntese de filtros usados em fun¸cões de modula¸cão em controlado-res a estrutura variável para sistemas com parˆ a-metros incertos. Outro objetivo é sintetizar filtros com ordem superior a um, que poderão resultar em melhor desempenho do controle a estrutura variável do que os filtros de primeira ordem de-senvolvidos por Cunha et al. (2008). Tem-se em vista reduzir a amplitude da fun¸cão de modula¸cão do sinal de controle e, consequentemente, reduzir o chattering e o consumo de energia para realizar o controle.

2 Controle por Modo Deslizante e Fun¸c˜ao Modula¸c˜ao

Para apresentar os conceitos de controle por modo deslizante e fun¸cão de modula¸cão, considera-se o sistema dinâmico (Utkin et al., 1999, Se¸cão 1.1) ˙x = f (x, u) , com estado x ∈ Rn _{e uma entrada} u ∈ R fornecida pela lei de controle a estrutura variável

u= −ρ sign(σ) , (1)

na qual sign(·) é a fun¸cão sinal (Nascimento, 2010, p. 20). A variável ρ, denominada fun¸cão de modu-la¸cão ou sinal de modula¸cão, é a amplitude do si-nal de controle. O sisi-nal σ é denominado fun¸cão de chaveamento (Edwards and Spurgeon, 1998, p. 3). Como exemplo considera-se o sistema linear e invariante no tempo (LTI)

˙x1= −x1+ x2, (2) ˙x2= x1+ x2+ u , (3)

σ= x2, (4)

no qual o sinal de sa´ıda σ ´e usado como fun¸c˜ao de chaveamento em (1).

A condi¸cão de existência do modo deslizante é σ ˙σ < 0 (Edwards and Spurgeon, 1998, Cap´ı-tulo 1), então

σ˙σ = x2(x1+ x2+ u)

(2)

São João del-Rei - MG - Brasil

Esta condi¸cão de existência do modo deslizante para o sistema de controle a estrutura variável (1)– (4) pode ser reescrita como

x1x2+ x22< ρ|x2| , ∀t ≥ 0. (6) Então, a existência do modo deslizante fica condicionada à seguinte desigualdade (x26= 0)

ρ > x1x2 |x2| + x 2 2 |x2| = x1sign(x2) + |x2| . (7)

Se a fun¸cão de modula¸cão for ρ = 1, ∀t, então esta condi¸cão será satisfeita se

x1sign(x2) + |x2| < 1 . (8) Caso o estado do sistema (2)–(3) satisfi¸ca a desi-gualdade (8), este poder´a convergir para a super-f´ıcie de deslizamento. A Figura 1 ilustra o estado juntamente com o sinal de controle. Neste caso, as condi¸c˜oes iniciais satisfazem a desigualdade (8) e o estado do sistema converge para a superf´ıcie de deslizamento antes de um segundo. Por outro

0 1 2 3 4 5 −1 0 1 Tempo (s) u 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 x1 0 1 2 3 4 5 −0.2 0 0.2 0.4 x2

Figura 1: Simula¸cão do sistema (1)–(4) com fun-¸cão modulafun-¸cão ρ = 1 e condi¸cões iniciais que sa-tisfazem a desigualdade (8).

lado, a Figura 2 apresenta um caso em que a desi-gualdade (8) não é satisfeita e o sistema apresenta um comportamento instável. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1 0 Tempo (s) u 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 x1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 5 x2

Figura 2: Simula¸cão do sistema (1)–(4) com fun-¸cão de modulafun-¸cão ρ = 1 e condi¸cões iniciais que não satisfazem a desigualdade (8).

Se a fun¸cão de modula¸cão sempre satisfizer a desigualdade (7), o sistema de controle será glo-balmente estável, o que poderia ser realizado se

todas as variáveis de estado fossem medidas, como na fun¸cão de modula¸cão

ρ= |x1| + |x2| + 1 . (9) Uma alternativa ´e estimar o estado x1 por meio do observador em malha aberta

˙ˆx1= −ˆx1+ σ , (10) que é obtido da equa¸cão de estado (2), na qual somente o estado x1 é estimado (ˆx1) e x2 = σ. O estado estimado é usado na fun¸cão modula¸cão do controlador (ρ) e terá que satisfazer a desigual-dade (7) excluindo-se termos transitórios. As con-di¸cões iniciais para os estados x1 e x2 serão as mesmas para ambos os exemplos, já o estado es-timado ˆx1 terá a condi¸cão inicial diferente de x1. Na Figura 3, a fun¸cão modula¸cão

ρ= |ˆx1| + |x2| + 1 , (11) usa o estado estimado (ˆx1) e pode-se mostrar que o sistema ´e globalmente est´avel (Cunha et al., 2008).

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 x1 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 x1 0 1 2 3 4 5 6 -20 2 4 6 x2 0 1 2 3 4 5 6 -10 -5 0 5 Tempo (s) u ^

Figura 3: Simula¸cão do sistema (1)–(4) com fun-¸cão de modulafun-¸cão (11) gerada com o estado esti-mado pelo observador (10).

3 Majorantes da Resposta de Sistemas Incertos

Em sistemas incertos pode ser dif´ıcil projetar ob-servadores capazes de estimar precisamente o es-tado. Por outro lado, o projeto da fun¸cão de mo-dula¸cão não demanda o estado, mas apenas ma-jorantes para certos sinais. Nesta se¸cão são intro-duzidos dois conceitos importantes para o projeto de fun¸cões de modula¸cão em VSC com realimen-ta¸cão de sa´ıda: aproxima¸cão por filtro de primeira ordem (first order approximation filter — FOAF) e envoltória da resposta impulsiva.

Margem de estabilidade é um conceito fun-damental para o desenvolvimento de FOAFs. O termo margem de estabilidade foi utilizado por Io-annou and Tsakalis (1986) para os polos de uma fun¸cão de transferência. A seguir define-se a mar-gem de estabilidade de matrizes de transferência e de matrizes reais, conforme (Cunha et al., 2008).

(3)

Defini¸cão 1 A margem de estabilidade da ma-triz de transferência G(s) é dada por γ0 := minj{−R(pj)}, onde {pj} são os polos de G(s). Defini¸cão 2 A margem de estabilidade de A ∈ Rn×né dada por λ0:= minj{−R(λj)}, onde {λj} são os autovalores de A.

As margens de estabilidade s˜ao essenciais no Teorema 1 de (Cunha et al., 2008) apresentado a seguir, sobre FOAFs para sistemas com parˆ ame-tros conhecidos.

Teorema 1 Considere o sistema

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) , y(t) = Cx(t) , (12) onde y ∈ Rp_{, u ∈ R}m_{e x ∈ R}n_{. Seja γ}

0a margem de estabilidade da matriz de transferência G(s) := C(sI − A)−1B, λ0 a margem de estabilidade da matriz A e seja γ1 := γ0− δ com δ > 0 sendo uma constante arbitrária. Seja u(t) um majorante instantâneo de u(t), i.e., ku(t)k ≤ u(t), ∀t ≥ 0. Então ∃ c1, c2 > 0 tais que a resposta impulsiva g(t) do sistema (12) satisfa¸ca

kg(t)k ≤ c1e−γ1t, (13) e as desigualdades sejam satisfeitas (∀t ≥ 0)

kg(t) ∗ u(t)k ≤ c1e−γ1t∗ u(t) , (14) ky(t)k ≤ c1e−γ1t∗ u(t)+

+ c2e−(λ0−δ)tkx(0)k . (15) A s´ıntese de FOAFs é baseada na resposta impulsiva do sistema. Para sistemas que não pos-suem incertezas, a s´ıntese do filtro se torna mais fácil pois basta projetar um filtro cuja resposta im-pulsiva seja maior que a norma da resposta impul-siva do sistema de interesse (Cunha et al., 2008). Se o sistema possuir parâmetros incertos que influ-enciam a resposta impulsiva, antes de projetar o filtro é necessário obter um majorante para todas as respostas impulsivas admiss´ıveis. A determina-¸cão do majorante consiste em encontrar o maior valor da norma da resposta impulsiva variando-se os parâmetros do sistema.

O Teorema 1, para sistemas com parâmetros conhecidos, pode ser estendido para sistemas com parâmetros incertos que perten¸cam a um conjunto de sistemas incertosP. Por exemplo, sejam A(α), B(α) e C(α) as matrizes que definem o sistema no espa¸co de estado e que são fun¸cões dos parâmetros incertos no vetor α = [α1, . . . , αq]T, que satisfaz as restri¸cões (Cunha et al., 2008)

αmin i≤ αi≤ αmax i, ∀i ∈ {1, . . . , q} . (16) Ent˜ao, pode-se definir o conjunto de sistemas in-certos como

X

:= {{A(α), B(α), C(α)} :

αmin i≤ αi≤ αmax i,∀i ∈ {1, . . . , q}} . (17)

A resposta impulsiva g(t, α) = C(α)eA(α)t_B(α), com t > 0 e g(0, α) = 0, pertencer´a ao conjunto das respostas impulsivas do sistema incerto

G := {g(t, α) : αmin i≤ αi≤ αmax i, ∀i ∈ {1, . . . , q}} . (18) Considerando-se estes conceitos, pode-se es-crever o Teorema a seguir, sobre FOAFs e envol-t´oria para sistemas com parˆametros e ordem in-certos (Cunha et al., 2008).

Teorema 2 Considere o conjunto de sistemas LTI com parˆametros incertosPdefinidos por ma-trizes reais incertas {A, B, C} limitadas e com dimens˜oes compat´ıveis e a sua resposta impulsiva dada por g(t) = CeAt_B_{(t > 0) e g(0) = 0,} perten-cente ao conjunto G. Seja γ0a margem de estabi-lidade de G(s) = C(sI − A)−1B e seja λ0 a mar-gem de estabilidade da matriz A, que corresponde a algum elemento espec´ıfico dentro do conjuntoP. Assume-se que as margens de estabilidade

γ₀:= infPγ0, λ0:= infPλ0, (19)

são finitas e todas as respostas impulsivas g(t) ∈ G são limitadas pela fun¸cão envoltória

g(t) = sup G

kg(t)k , (20)

que é uniformemente limitada, i.e., ∃ gsup≥ 0 tal que g(t) ≤ gsup, ∀t ≥ 0. Seja γ1 := γ0− δ com δ > 0 uma constante arbitrária. Seja u(t) um majorante instantâneo para u(t), i.e., ku(t)k ≤ u(t), ∀t ≥ 0. Então, ∃c1, c2>0 tais que qualquer resposta impulsiva g(t) ∈ G satisfa¸ca kg(t)k ≤ c1e−γ1t e as inequa¸cões

kg(t) ∗ u(t)k ≤ c1e−γ1t∗ u(t) , (21) ky(t)k ≤ c1e−γ1t∗ u(t)+

+ c2e−(λ0−δ)tkx(0)k , (22) ser˜ao satisfeitas ∀t ≥ 0 por qualquer sistema per-tencente ao conjuntoP.

No Teorema 2 nota-se que a determina¸cão da envoltória g(t) é a chave para a s´ıntese de FOAFs para sistemas incertos.

O ganho DC do FOAF deve ser pequeno para se manter pequena a amplitude da fun¸cão de mo-dula¸cão do controlador por modo deslizante. O ganho DC do FOAF é dado por

S(c1, γ1) = Z +∞ 0 c1e−γ1tdt= c1 γ1 . (23)

Algumas simplifica¸cões são adotadas para determinar a envoltória e sintetizar filtros: (i) Adota-se um horizonte de busca finito, i.e., t∈ [0, tf], 0 < tf <+∞, uma vez que a estabili-dade estrada/sa´ıda de G(s) implica em g(t) → 0

(4)

exponencialmente à medida que t → +∞. (ii) A envoltória é amostrada periodicamente no inter-valo t ∈ [0, tf]. O intervalo de amostragem h ∈ R+ e o horizonte de busca tf = kfhdevem ser escolhi-dos de forma adequada conforme recomenda¸cões em (Cunha et al., 2008).

4 Algoritmos Genéticos para Otimiza¸cão Nos AGs, o foco principal é a popula¸cão. A po-pula¸cão (P ) é formada por indiv´ıduos (Ii):

P= {I1, . . . , Ii, . . . , Iµ} ,

com i = 1, . . . , µ. O tamanho da popula¸c˜ao (µ) pode variar durante o processo de otimiza¸c˜ao ou busca.

Originalmente os AGs adotaram a represen-ta¸cão binária. Segundo Herrera et al. (1998), a utiliza¸cão de parâmetros reais permite que os al-goritmos genéticos fa¸cam melhor a busca dentro do universo de solu¸cões, o que torna útil a repre-senta¸cão real na otimiza¸cão neste trabalho.

A cadeia de dados de cada indiv´ıduo é deno-minada cromossomo. O cromossomo representa o conjunto de parâmetros da fun¸cão objetivo que será otimizada.

Um indiv´ıduo da popula¸cão pode ser a solu-¸cão da otimizasolu-¸cão ou busca. Todo o valor que o cromossomo pode assumir representa seu es-pa¸co de busca. A fun¸cão objetivo f (x) (Jamshidi et al., 2003, Se¸cão 1.3.1) é um valor escalar que é fun¸cão do vetor x com n dimensões, ou seja, se o cromossomo representa n parâmetros de uma fun¸cão objetivo, então seu espa¸co de busca é um espa¸co com n dimensões. O vetor x que tem um conjunto de n variáveis xj (j = 1, . . . , n) repre-senta um ponto no espa¸co vetorial Rn_{. As} variá-veis xj são denominadas genes. Assim, um indi-v´ıduo é constitu´ıdo de n genes. Essa constitui¸cão também pode ser denominada genótipo.

Normalmente a representa¸cão dos genótipos de um indiv´ıduo é feita por um vetor de números binários, inteiros ou reais, onde a combina¸cão dos elementos de cada vetor determina a maior ou a menor relevância de um indiv´ıduo dentro da popu-la¸cão. Dependendo do grau de relevância, pode-se chegar à solu¸cão ou otimiza¸cão de um problema, ou seja, o fenótipo do melhor indiv´ıduo.

Neste trabalho foram utilizados os seguintes operadores genéticos: (1) operador de sele¸cão por roleta, (2) operador de cruzamento uniforme e (3) operador de muta¸cão real (Goldberg, 1989; Jamshidi et al., 2003; Herrera et al., 1998).

5 Algoritmo Gen´etico para Determinar a Envolt´oria

O m´etodo descrito a seguir utiliza a evolu¸c˜ao para toda a resposta impulsiva em um intervalo de

tempo finito 0 ≤ kh ≤ kfh. Uma vez que o resul-tado é uma sequência (vetor) em tempo discreto, é necessário que cada ponto da resposta impulsiva atual seja comparado com a envoltória anterior e somente o maiores valores serão mantidos. A en-voltória evolu´ıda é dada por

g_i(kh) = max{gi−1(kh), kgi(kh)k} , (24) ∀k ∈ {0, 1, . . . kf} e i = 1, 2, . . . . A envolt´o-ria inicial ´e nula, ou seja, g0(kh) = 0, ∀k ∈ {0, 1, . . . kf}.

Um valor escalar tem que ser atribu´ıdo à ap-tidão a fim de orientar o AG. Para isto, a evolu¸cão é obtida pela diferen¸ca entre a norma da resposta impulsiva atual e a anterior, conforme

∆gi(kh) = kgi(kh)k − gi−1(kh) , (25) onde se nota que ∆gi(kh) ≥ 0, ∀k ∈ {0, 1, . . . , kf} e i = 1, 2, . . . . Então, pode-se escolher como fun-¸cão aptidão a norma da evolu¸cão da envoltória (25) dada por

F = βk∆g_i(kh)k₁+ (1 − β)k∆g_i(kh)k_∞, (26) na qual β ∈ [0, 1] é o peso que permite combinar a norma um (k · k1) com a norma infinita (k · k∞). Como exemplo, considera-se o sistema com fun¸cão de transferência

G1(s) =

(s+2)2

(s+α1)(s+2+α2j)(s+2−α2j) , (27) com parâmetros incertos α1e α2pertencentes aos intervalos 2 ≤ α1≤ 5 rad/s e 5 ≤ α2 ≤ 10 rad/s. A Figura 4 ilustra que a fun¸cão aptidão segue um padrão para majorar toda envoltória e em, aproxi-madamente, 70 gera¸cões chega-se à convergência. Neste caso, a fun¸cão aptidão indica a evolu¸cão da envoltória, que naturalmente é reduzida na me-dida em que a envoltória atual se aproxima da envoltória final. O critério de parada é o erro má-ximo permitido (10−6_). 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 102 Geração Aptidão Melhor aptidão Aptidão média

Figura 4: Fun¸cão aptidão durante a determina¸cão da envoltória da norma da resposta impulsiva de (27) por algoritmo genético.

A Figura 5 ilustra as envoltórias obtidas por três combina¸cões das normas. O detalhe indica que não há muita diferen¸ca nos resultados obtidos entre as combina¸cões das normas.

(5)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (s) Envoltória Norma Infinita (β=0) Norma um (β=1)

Norma Infinita mais um (β=0,5)

0.265 0.27 0.275 0.536 0.538 0.54 0.542 0.544 0.546 Tempo (s) Detalhe da Envoltória

Figura 5: Envoltórias da norma da resposta im-pulsiva de (27) obtidas por algoritmo genético. Utilizou-se três normas diferentes para calcular a aptidão (26).

6 Aproxima¸c˜oes por Filtros de Ordem Superior

Filtros de primeira ordem já foram utilizados com sucesso por Cunha et al. (2008) para realizar a modula¸cão do sinal de controle de sistemas VSC. O projeto de FOAFs a partir da envoltória pode ser realizado por métodos de otimiza¸cão convexa. Tendo em vista reduzir ainda mais a ampli-tude das fun¸cões de modula¸cão, aqui se propõe o projeto de filtros de ordem superior a um. Uma vez que este novo problema pode recair em oti-miza¸cão não-convexa, serão utilizados algoritmos genéticos.

Outros pesquisadores também utilizam fil-tros de ordem superior como estimadores de per-turba¸cões não modeladas no sistema (Shendge et al., 2010). Neste caso usa-se o filtro para redu-zir o efeito de perturba¸cões no sistema como forma de melhorar o desempenho de um controlador por modo deslizante. Os resultados obtidos utilizando filtros como estimadores são satisfatórios para o que foi proposto.

Os filtros de aproxima¸cões de ordem superior (higher order approximation filters – HOAFs) são generaliza¸cões dos filtros de primeira ordem que satisfazem condi¸cões similares àquelas dos Teore-mas 1 e 2. Então, é poss´ıvel representar o HOAF de ordem n com polos reais distintos como:

˙y₁(t) = −γ1y1(t) + c1ku(t)k , (28) .. . ˙y_n_¯(t) = −γ¯ny¯n(t) + c¯nku(t)k , y(t) = y1(t) + · · · + y¯n(t) , (29) onde γi > 0 e ci ∈ R (i = 1, . . . , ¯n). O si-nal de sa´ıda do HOAF deve satisfazer y(t) ≥ kg(t) ∗ u(t)k , ∀t ≥ 0, excluindo-se os efeitos das condi¸c˜oes iniciais.

Defini¸cão 3 O filtro com fun¸cão de transferência F(s) = c1 s+ γ1 + c2 s+ γ2 +, . . . , + cn s+ γn , (30) e resposta impulsiva f(t) = c1e−γ1t+ c2e−γ2t+, . . . , +cne−γnt, (31) t >0, f (0) = 0, com constantes ci ∈ R e γi >0 (i = 1, 2, . . . , n) é um HOAF da matriz de transfe-rência incerta, estritamente própria e estável G(s) se for satisfeita a desigualdade

g(t) ≤ f (t) , ∀t ≥ 0 , (32) onde g(t) ´e a envolt´oria definida em (20).

Uma vez que a envoltória g(kh) tenha sido de-terminada, pode-se formular a fun¸cão escalar para a aptidão do filtro (31)

∆H = kf (·) − g(·)k1, (33) que deve ser minimizada pelo algoritmo gené-tico tendo-se em vista a minimiza¸cão do ganho DC, condicionada ao atendimento da desigualdade (32). O ganho DC de um filtro é proporcional à ´

area da sua resposta impulsiva, então a minimiza-¸cão será feita através da diferen¸ca entre a área da envoltória e a área da resposta impulsiva do filtro. Para obter a área, a norma um será utilizada por ser proporcional à área.

O algoritmo proposto para a s´ıntese de HOAFs ´e descrito na Tabela 1.

Tabela 1: Algoritmo gen´etico para s´ıntese de fil-tros de ordem superior.

minimize∆H = kf (·) − g(·)k1 se∃ g(·) ≥ f (·) fa¸ca

descarte f(·) fim do se

A inicializa¸cão do AG na s´ıntese dos filtros de ordem superior é apresentada na Tabela 2. A Defi-ni¸cão 3, pode ser generalizada para filtros com po-los complexos, por exemplo, com fun¸cão de trans-ferência de terceira ordem (third order approxima-tion filter — TOAF)

F(s) = c1s 2_{+ c} 2s+ c3 (s + γ1)(s + γ2)(s + γ∗2) , (34) na qual γ2 = α1+ α2j e γ2∗ = α1− α2j formam um par de polos complexos conjugados.

Para ilustrar a aplicabilidade de filtros com polos complexos, considera-se a fun¸c˜ao de trans-ferˆencia

G2(s) =

s2+ 4s + 4

s3_{+ 9s}2_{+ 49s + 145}. (35) O TOAF com polos complexos projetado por AG possui a fun¸c˜ao de transferˆencia

F2(s) =

s2+ 2, 642s + 72, 3

(6)

Tabela 2: Parˆametros do algoritmo gen´etico para s´ıntese de filtros de ordem superior.

Popula¸c˜ao inicial 300 indiv´ıduos

Taxa de cruzamento uniforme 90%

Taxa de elitismo 2 indiv´ıduos

Operador de sele¸c˜ao roleta

Operador de muta¸c˜ao uniforme

Crit´erios de parada

Máximo número de gera¸cões 100

Máximo número de gera¸cões

sem evolu¸c˜ao (stall generations) 50

Tolerância da fun¸cão aptidão

(function tolerance) 10−

6

A Figura 6 apresenta a resposta impulsiva do TOAF com polos complexos comparado a outros filtros. Nota-se que o uso de polos complexos, para certos casos, é melhor se comparado ao uso do SOAF (second order approximation filter ) ou TOAF com polos reais. Neste caso, se um FOAF for projetado para o sistema (35), seu ganho DC (área da resposta impulsiva) será maior que o do filtro de terceira ordem com polos complexos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo (s)

Norma da resposta impulsiva

SOAF com polos reais TOAF com polos reais TOAF com polos complexos Envoltória do sistema G

2(s)

Figura 6: Resposta impulsiva de SOAF, TOAF com polos reais e com polos complexos sinteti-zados atrav´es de algoritmos gen´eticos juntamente com norma da resposta impulsiva de G2(s) (35).

Há casos em que os HOAFs com polos reais são melhores que HOAFs com polos complexos (Nascimento, 2010, Se¸cão 5.1).

7 Conclus˜oes

O uso de algoritmos genéticos (AGs) simplificou a obten¸cão da envoltória de respostas impulsivas de sistemas incertos originalmente proposta em (Cunha et al., 2008).

Além disso, os AGs possibilitaram a s´ıntese de filtros de ordem superior, pois a determina¸cão dos parâmetros desses filtros requer um algoritmo

de otimiza¸cão não-convexa. A s´ıntese de filtros de primeira ordem recai num problema de otimiza¸cão convexa (Cunha et al., 2008). No exemplo apre-sentado, mostrou-se que um filtro de aproxima¸cão de terceira ordem pode ter ganho DC bem menor que um filtro aproxima¸cão de primeira ordem e, portanto, poderia resultar em sinais de controle com menor amplitude em sistemas VSC.

Agradecimentos

Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq, Faperj e CAPES.

Referˆencias

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