Resumo de trabalhos de pesquisa recentes. Comentários sobre de pesquisas no período : Fins mínimos em H 2 R

Resumo de trabalhos de pesquisa recentes

Comentários sobre de pesquisas no período 2013-2014:

Fins mínimos em H2×R

1. Estudamos numa colaboração com Laurent Hauswirth , Barbara Nelli e Eric Toubiana, propriedades geométricas de um fim mínimo de curvatura total finita em H2 × R. Nós estabelecemos o comportamento de tal fim , fazendo uma descrição geométrica completa, determinando a seção horizontal deste fim, interceptando -o com um slice. Resumidamente, mostramos que uma seção horizontal de um fim de curvatura total finita converge

geometricamente a uma geodésica horizontal [ H-N - SE- T ] . Além disso, deduzimos que um fim completo de curvatura total finita é propriamente imerso e que a curvatura de Gauss de um tal fim é localmente limitada em termos da distância geodésica ao bordo.

Este trabalho foi baseado em trabalhos anteriores como o estudo pioneiro de L. Hauswirth e H. Rosenberg sobre superfícies mínimas de finito total de curvatura [H-R ]. Bem como

na teoria das aplicações harmônicas desenvolvida por Z. C. Han , L. F. Tam , A. Treibergs e T. Wan [H -T -T- W] e Y. N. Minsky [ My] . Usando estes

resultados mencionados, bem

como outros tipos de argumentos, tais como o princípio de reflexão de

Alexandrov, com base no princípio do máximo, deduzimos um resultado de tipo Schoen [ S ] no contexto da

curvatura total finita [ H-N – SE- T , Teorema principal]. Este resultado caracteriza as superfícies mínimas imersas em H2 × R com dois fins distintos completos de curvatura total

finita , cada fim assimptótico a um plano vertical, como sendo as superfícies mínimas modelos descobertas independentemente por J. Pyo [ P ], F. Morabito e M. Rodriguez [ M - R ] .

─ Noutro trabalho em colaboração com Barbara Nelli e Eric Toubiana, estudamos a influência do comportamento do bordo assintótico de

hypersuperfícies mínima de Hn × R em várias situações geométricas. Em especial , obtivemos uma caracterização do n - catenóide em Hn × R em

termos do bordo assintótico [ N - SE- T , Teorema 2.1 , Teorema 4.2 ] . Os n- catenóides foram construídos em [ B- SE1 , Proposição 3.2] quando n ≥ 3. De fato, o resultado obtido é um teorema de tipo Schoen [S ] , no contexto de curvatura total infinita. Também estabelecemos um princípio do máximo para superfícies mínimas contidas num semi-espaço fechado [ N - SE- T ,

Teorema 3.1, Teorema 4.4] .

─ . Lembramos agora que no espaço Euclideano R3

o famoso teorema de D. Fischer-Colbrie [F-S] diz que uma superfície completa orientável tem índice finito, se e só se, tem curvatura total finita. Em H2×R, numa parceria com Pierre Bérard [B-SE1], deduzimos que curvatura total finita de uma superfície orientada mínima implica índice finito, mas a recíproca não é verdadeira. De fato, existem famílias de exemplos de superfícies completas orientáveis e mínimas invariantes por screw-motions que são estáveis (mas que não têm curvatura total finita) [SE1].

Ainda num projeto em colaboração com Eric Toubiana [SE -T7

],desenvolvemos e aprofundamos estes estudos em torno das propriedades geométricas de superfícies mínimas imersas em H2 × R com bordo assintótico pré-determinado. Mostramos neste novo trabalho um teorema que diz que um fim mínimo estável de tipo anel cujo bordo assintótico está contido em duas retas verticais, tem curvatura total finita e converge para um plano vertical. Se o fim é mergulhado mostramos que é um gráfico horizontal com respeito a uma geodésica. Exemplos clássicos mostram ainda que a hipótese sobre o bordo assimptótico é necessária [SE1], [SE-T5].

Hipersuperfícies com alguma função de curvatura constante em Hn×R

2. É fato bem conhecido que as hipersuperfícies de curvatura média constante no espaço ambiente Hn×R têm sido estudadas nos últimos anos por vários pesquisadores, citamos, por exemplo, ([B-SE2], [E-SE], [SE-T6], [Sp] ). A ideia que surge agora é explorar a geometria das hipersuperfícies em Hn×R com alguma função simétrica de curvatura Sr constante (Sr=cst), ou,

equivalentemente, com alguma função simétrica de curvatura normalizada constante, i. e, Hr= cst, onde Sr= Hr. Abrimos um parêntesis para lembrar

que propriedades das hipersuperfícies com alguma Sr=cst em espaços de

pesquisadores no final do século vinte. Destacamos, dentre outros, os seguintes pesquisadores: Hilário Alencar, Manfredo do Carmo, Lucas Barbosa, Gervásio Colares, Louis Nirenberg, Luis Caffarelli, Joel Spruck, Jorge Hounie, Maria Luiza Leite, Sebastian Montiel, Antonio Ros, Robert Reilly e Maria Fernanda Elbert. Resultados sobre o assunto se encontram nas seguintes referências: [A-doC-C], [B-C1], [B-C2], [C-N-S], L1], [H-L2],[L1], [L2], [M-Ros], [Re], [Ro], [C-R], [El]. No caso do produto Mn ×R, destacamos o trabalho feito por Xu Cheng e Harold Rosenberg que obtiveram certas estimativas a priori da altura para hipersuperfícies com alguma r-ésima função simétrica de curvatura contante positiva. Além disso, fizeram algumas aplicações [C-R].

Um dos objetivos do trabalho sobre Hr= cst é preencher a carência de

exemplos da teoria fornecendo vários exemplos em Hn×R, notadamente quando H2= cte. Alguns destes exemplos quando Hr= cst são importantes

barriers. Paralelamente, ensejamos também deduzir resultados de unicidade que caracterizem estas barriers.

Num primeiro trabalho com a colaboração de Maria Fernanda Elbert da UFRJ [E-SE2], iniciamos o estudo da construção das hipersuperfícies em Hn×R com Sr= cte, que possuem várias propriedades geométricas interessante. Conseguimos inferir várias fórmulas básicas para a equação da hipersuperfície com Sr= cte para um gráfico vertical em M

n

×R, aplicando-as à Hn×R. De fato, conseguimos estabelecer a equação da r-ésima curvatura média numa forma da divergência adequada no espaço produto Mn×R, onde Mné uma variedade Riemanniana. No caso de

H

1 2 2 1 (2 ) , ( 1) r ( ) , . r r r u n F P u F u u r S F div P F n r P W W W W                         

onde F=xn e div e  denotam a divergência e o gradiente em R n

, respectivamente . O símbolo

P

associado.

Fazendo uso de uma destas fórmulas, seguindo técnicas e métodos desenvolvidos em [L2], [El], [E-SE], conseguimos estabelecer uma integral primeira para as hipersuperfícies invariantes por screw motions parabólicas em Hn×R com S2 pré-determinada. À partir daí, obtivemos exemplos explícitos de gráficos inteiros e outros exemplos de hipersuperfícies completas (que são gráficos horizontais completos) quando S2= 0:

─Verificamos que existe uma única família constituída de gráficos verticais inteiros de curvatura extrínseca Kext= S2=0 (n=2), invariantes por translações

parabólicas. Curiosamente, cada elemento da família tem curvatura média constante 0<H<1/2 e cada tal H pode ser realizado.

Surgiu a pergunta em aberto se existem outros gráficos verticais inteiros de curvatura extrínseca nula e curvatura média constante não nula, em H2×R ? ─Obtivemos exemplos de superfícies com curvatura extrínsica pré-determinada (não constante), invariantes por screw motions parabólicas. ─Obtivemos também exemplos de hipersuperfícies não completas quando S2 =cst≠0. Para n=2, obtivemos um “cilindro” de revolução de curvatura extrínseca nula, que é um gráfico vertical inteiro, o que não é muito surpreendente.

─Cumpre notar que neste primeiro trabalho sobre hipersuperfícies com Sr=cst em Hn×R, com a colaboração de Maria Fernanda Elbert, descobrimos o valor crítico n r

n



que aparece naturalmente na teoria.

─Por outro lado, estabelecemos fórmulas explícitas para as rotacionais com Sr= cte exibindo vários exemplos que são usados no texto como barreiras geométricas.

─Dentre estas importantes barriers destacamos as hipersuperfícies compactas, mergulhadas e estritamente convexas de revolução, quando Hr>

n r n



que estão no texto . ─Além disso, quando 0<Hr≤

n r n



, construimos barriers que são gráficos verticais inteiros estritamente convexos de revolução gerado por uma curva estritamente convexa num plano vertical.

Em suma, obtivemos vários exemplos explícitos possuindo propriedades geométricas interessantes, tanto de rotacionais completas quanto de gráficos inteiros que corroboram a riqueza da teoria. Usando estas barreiras geométricas, estabelecemos resultados de simetria, unicidade e estimativas a priori:

─ Dentre as estimativas a priori destacamos as estimativas a priori da altura para um gráfico compacto cujo bordo está contido num slice, de curvatura pré-determinada satisfazendo 0<Hr(p) ≤n r

n



.

─Dentre os resultados de unicidade, destacamos um teorema de tipo Alexandrov que caracteriza as rotacionais mergulhadas compactas mencionadas acima. Finalmente, estabelecendo um outro resultado de

unicidade, caracterizamos os gráficos inteiros estritamente convexos de revolução mencionados acima. Abrimos um parêntesis para observar que o teorema de Alexandrov no Espaço Euclideano, no espaço hiperbólico e na semi-esfera foi deduzido, independentemente, por N. Korevaar [K] e Montiel-Ros [M-Montiel-Ros].

─Finalmente, estabelecemos um outro resultado de unicidade caracterizando os gráficos inteiros estritamente convexos de revolução mencionados acima. No presente momento, estamos desenvolvendo um segundo trabalho, estudando a classificação das rotacionais satisfazendo S2=0 e suas consequências. Uma de nossas próximas metas é obter resultados de unicidade ou caracterizações relacionados: Ou seja, surgiu o projeto de conseguir um teorema tipo Schoen para hipersuperfícies completas satisfazendo com S2=0, com dois fins rotacionais, em Hn×R.

Outro projeto interessante é estabelecer estimativas a priori sharp da altura quando Hr>n r

n



, levando em conta a construção das rotacionais e mergulhadas compactas obtidas. Quando n=2 e r=1, estas estimativas ótimas foram obtidas por J. Aledo, J. M. Espinar and J. A. Gálvez [A-E-G].

Outros problemas interessantes surgem de nossas construções. Por exemplo: ─ Será que uma imersão completa em n

R

H  com

H

Quando r=n=2 este é um resultado de J. M. Espinar, J. A. Gálvez e H. Rosenberg [E-G-R].

Por outo lado, almejamos estudar o problema de Dirichlet para a equação Sr=cst, obter as estimativas a priori e compreeender as propriedades

geométricas das soluções desta equação não linear elíptica de segunda ordem. Concluimos dizendo que estas construções de exemplos variados e a dedução de resultados de simetria e unicidade de hipersuperfícies em Hn×R com Hr=cst, nos levam a crer em várias expectativas positivas e na força desta

teoria.

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