Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis Com Curvatura Total Finita

Universidade Federal de Alagoas

Instituto de Matemática

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Dissertação de Mestrado

Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis

Com Curvatura Total Finita

Robério Batista da Rocha

ROBÉRIO BATISTA DA ROCHA

Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis

com Curvatura Total Finita

Dissertação de Mestrado na área de concentração de Geometria Diferen-cial submetida em 30 de março de 2010 à Banca Examinadora, desig-nada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante

Catalogação na fonte

Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

Divisão de Tratamento Técnico

Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

R672h Rocha, Robério Batista da.

Hipersuperfícies mínimas completas estáveis com curvatura total finita / Robério Batista da Rocha, 2010.

99 f.

Orientador: Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante.

Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2010.

Bibliografia: f. 97-98. Índices: f. 99.

1. Ricci, Curvatura de. 2. Curvatura total finita. 3. Hipersuperfícies mínimas. 4. Morse, Índice de. 5. Operador de estabilidade. 6. Catenóide. 7. Segunda forma fundamental. I. Título.

“A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida.”

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado força, saúde, coragem e determinação diante de tantas dificuldades que a vida nos oferece.

Aos meus pais Delvani e José pelo amor, carinho e dedicação. Bem como aos meus irmãos Emanuel e Rogério por serem minha fonte de inspiração, e a minha irmã Maura pelo carinho que sempre tivera por mim.

A todos os meus tios e primos que de algum modo me deram força para esta vitória. Em especial, agradeço a Ivania e Ivone as quais estiveram sempre dispostas a me ajudar.

A minha esposa Maiara Souza Mendes, que com determinação, amor e carinho esteve sempre ao meu lado me dando força e incentivo para chegar até o final deste trabalho.

Aos professores da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia e aos colegas do mestrado em Matemática da UFBA. Em especial, aos professores Isaac Lázaro e Enaldo Vergasta pela motivação, aos amigos João Paulo, Roberto, Teles e Wendell pelo companheirismo e Ângela Soldatelli pelo apoio neste final de dissertação.

Ao professor Jorge Ferreira, pelo incentivo e pela confiança.

Ao professor Feliciano Vitório, que com muita competência, dedicação e paciência me orientou no último capítulo, na correção e na apresentação deste trabalho. Agradeço-o ainda por me incentivar a seguir nos estudos.

Aos professores Hilário Alencar e Jorge Herbert de Lira, pelas sugestões, correções e dicas de escrita, bem como por concordarem em participar da banca.

Aos professores da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas e aos colegas de mestrado em Matemática da UFAL. Em especial, ao professor Adán Corchó pelo incentivo e pelo apoio como coordenador do programa e aos colegas Fábio, Kennerson, Rodrigo, Viviane, Natália e Alex que estiveram sempre dispostos a me ajudar.

Ao Instituto Federal de Ciência e Tecnologia de Alagoas. Em especial, às direções e às coordenações do campus Marechal Deodoro que com muita flexibilidade foram essenciais para esta vitória. Bem como a todos os colegas de trabalho que direta ou indiretamente deram suas contribuições.

RESUMO

O objetivo principal desta dissertação é apresentar alguns resultados importantes sobre hipersuperfícies mínimas no espaço Euclidiano relacionados com o operador de estabilidade.

Inicialmente, apresentaremos as demonstrações das fórmulas da primeira e da segunda variações da área bem como a demonstração da desigualdade de Simons. Estes resultados, que são básicos da teoria, serão usados posteriormente. Em seguida, apresentaremos a demonstração do teorema de do Carmo-Peng, o qual assegura que uma hipersuperfície mínima completa estável imersa no espaço Euclidiano com a normaL2da segunda forma fundamental

finita é um hiperplano. Incluiremos na dissertação um resultado análogo com a norma L3 da

segunda forma fundamental. Este último resultado foi provado por Li-Wei no caso em que a hipersuperfície tem dimensão 3, mas notamos que a demonstração se aplica para 3_≤n≤7.

Concluiremos apresentando alguns resultados sobre hipersuperfícies mínimas não estáveis noR3obtido por Fischer-Colbrie e López-Ros. Em particular, mostraremos que o catenóide e

a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientadas com índice igual a um.

ABSTRACT

The main goal of this dissertation is to present some results on minimal hypersurfaces in the Euclidean space related to the stability operator.

Initially, we will present the demonstrations of the formulas of first and second variations of area and also the demonstration of the Simons’ inequality. These results (which are basic results of the theory) will be used later. Next we will present the proof of the do Carmo-Peng’s theorem showing that a complete stable minimal hypersurface immersed in the Euclidean space with finite L2 norm of the second fundamental form is a hyperplane. We will include

in this dissertation a similar result with theL3norm of the second fundamental form. This last

result was proved by Li-Wei in the case where the hypersurface has dimension 3, but we note that proof applies to 3_≤n≤7.

We will conclude by presenting some results on non-stable minimal hypersurfaces in R3

due to Fischer-Colbrie and Lopez-Ros. In particular, we will show that the catenoid and Enneper’s surface are the only minimal complete orientable surfaces with index equal to one.

SUMÁRIO

Introdução 11

1 Preliminares 15

1.1 Tensores . . . 15

1.2 Curvaturas . . . 20

1.3 Imersões Isométricas . . . 24

1.3.1 Hipersuperfícies . . . 29

2 Variações de Área e Desigualdade de Simons 32 2.1 Primeira Variação da Área . . . 32

2.2 Segunda Variação da Área . . . 38

2.3 Desigualdade de Simons . . . 47

3 Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis 56 3.1 EstimativasL2da Norma da Segunda Forma Fundamental . . . 56

3.2 EstimativasL3da Norma da Segunda Forma Fundamental . . . 63

4 Superfícies Mínimas com Índice Finito noR3 66 4.1 Superfícies Mínimas de Índice Finito emN3com Curvatura Escalar não negativa 67 4.2 Superfícies Mínimas com Índice Finito noR3 . . . 83

INTRODUÇÃO

Sejax: Mn →Rn+1uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana orientada

Mn = M no espaço Euclidiano Rn+1 (uma hipersuperfície em Rn+1) e seja _A a sua segunda

forma fundamental. Se denotarmos por A o funcional área, então a fórmula da primeira variação da área estabelece que

A′(0) = −n

Z

M

D

T,~HEdM,

onde T é o campo variacional associado a variação de x e H~ é o vetor curvatura média de M. Como uma consequência deste resultado, as hipersuperfícies mínimas são caracterizadas

como pontos críticos para o funcional área, ou seja, a curvatura média dessas hipersuperfícies é identicamente nula.

A segunda variação da área é dada pela seguinte fórmula

A′′(0)(f) =

Z

M{−f

∆_{f − |A|}2_f2_{}dM =−}

Z

M f L f dM,

onde ∆ _{é o Laplaciano de M, |A|}2 _{quadrado da norma da segunda forma fundamental e} L: C₀∞(M) →C₀∞(M)dado por L=∆_+|A|2_{é chamado deoperador de estabilidade(ouoperador}

de Jacobi). O operadorLinduz de maneira natural a forma quadráticaQ: C₀∞(M) →Rdefinida

por

Q(f) =−

Z

M f L f dM,

que atua no espaço das funções suaves em M. Neste caso, oíndice de Morseda hipersuperfície M, denotado porInd(M), é definido como a dimensão máxima do subespaçoVdeC₀∞(M)em

que Q é negativa definida. Equivalentemente, Ind(M) é o número de autovalores negativos do operadorLcontados com multiplicidade (veja [3], [8] ou [18]).

Diremos que uma hipersuperfície mínima éestávelseQ(f) ≥0 para todo f ∈ C₀∞(M). Em termos do índice, estabilidade significa que Ind(M) =0.

É bem conhecido que gráficos mínimos no espaço Euclidiano são hipersuperfícies mínimas estáveis. A despeito deste fato, temos o famoso problema de Bernstein, a saber, "uma hipersuperfície mínima que é um gráfico inteiro noRn+1 é um hiperplano?". Este problema

foi mostrado ser afirmativo paran ≤ 7 e negativo paran ≥ 8 (veja [1]). Diante da solução do

problema de Bernstein, a seguinte pergunta é natural: quais são as hipersuperfícies mínimas completas estáveis noRn+1? Este problema foi resolvido no caso em que_n=2 por do

Carmo-Peng (veja [6]) e, independentemente, por Fischer Colbrie-Schoen (veja [9]). Eles mostraram que tal superfície é o plano. Mas será que toda hipersuperfície mínima completa e estável é um hiperplano? Para n ≥ 8 a solução do problema de Bernstein fornece a existência de hipersuperfícies que são gráficos mínimos completos, porém não são hiperplanos. No caso em que 3≤n≤7 este problema encontra-se completamente em aberto.

Nesta dissertação, apresentaremos a demonstração de um outro teorema de do Carmo-Peng, feito em 1980 (veja [7]), onde este problema é resolvido com uma condição sobre o decaimento da norma da segunda forma fundamental, mais precisamente:

Assuma que

lim

R→∞

R

BR|A|

2_dM

R2+2q =0,

onde0 < _q <

r

2

n, BR ⊂ M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A a

segunda forma fundamental de x. Então x(M) ⊂Rn+1_{é um hiperplano.}

Como para hipersuperfícies mínimas|A|2 =−2K, ondeKé a curvatura escalar, temos como

consequência desse Teorema que hipersuperfície mínima, completa e estável com curvatura total finita é um hiperplano.

Usando as técnicas da demonstração do Teorema A, provaremos o seguinte resultado

Teorema B (Li-Wei). Seja x : Mn _→ Rn+1 ₍3 _{≤ n ≤} 7_{) uma hipersuperfície mínima completa e}

estável. Assuma que

lim

R→∞

R

BR|A|

3_dM

R1+2q =0,

onde0 < _q <

r

2

n, BR ⊂ M é uma bola geodésica de raio R centrado em algum ponto de M e A a

segunda forma fundamental de x. Então x(M) ⊂Rn+1_{é um hiperplano.}

Este teorema foi provado por Li-Wei em 2006 (veja [16]) apenas para n = 3, mas notamos

que a demonstração se aplica para 3≤n ≤7.

Para finalizar esse trabalho, faremos um estudo sobre superfícies mínimas completas M

com índice finito em uma variedade Riemanniana N3(veja [8] e [18]). Mostraremos que se M

tem índice finito entãoMé estável fora de um conjunto compacto e mostraremos também que Mtem índice finito se, e somente se, existe um número finito de autofunções em L2(M) com autovalores negativos de tal forma que o operadorLé não-negativo no complemento ortogonal

do espaço gerado pelas autofunções. No caso em queNé o espaço EuclidianoR3, provaremos

que para qualquer superfície mínima completa e orientável a condição de que Mtenha índice

finito é equivalente a condição de queMtenha curvatura total finita. Mostraremos que se Mé

uma superfície mínima completa entãoMé conforme a uma superfície de Riemann menos um

número finito de pontos. No caso em que a curvatura escalar de N é limitada inferiormente

por uma constante positiva entãoMserá compacta. Se Ntem curvatura de Ricci não-negativa,

mostraremos que|A|2é integrável em Me isso implica o resultado para R3. Esses resultados

Para finalizar este trabalho, mostraremos que

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

Neste capítulo, introduziremos algumas definições e alguns resultados básicos de Geometria Riemanniana com o intuito de fixar a notação, admitindo que o leitor esteja familiarizado com os pré-requisitos necessários. Ao longo desta dissertação, a palavra diferenciável sempre significará de classeC∞. Para este capítulo as principais referências são

[5] e [14].

1.1 Tensores

A ideia de tensor é uma generalização natural da ideia de campos de vetores, e o ponto importante é que, analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados covariantemente.

SejaMnuma variedade diferenciável orientada de dimensãon. Vamos denotar porX_(M)o

conjunto dos campos diferenciáveis emMe porC∞(M) o conjunto das funções diferenciáveis

em M. Convém observar queX_(M)é um módulo sobre o anel _C∞_(M), isto é,X_(M)tem uma

estrutura linear quando tomamos como “escalares” os elementos deC∞(M).

Definição 1.1.1. Um tensor covariante T de ordem r é uma aplicação multilinear T : X_(M)×..._×X_(M)

| {z }

r f atores

Isto quer dizer que, dados Y1, ...,Yr ∈ X(M), T(Y1, ...,Yr)é uma função diferenciável em M, e T é

linear em cada argumento, ou seja,

T(Y1, ..., f Xi+gYi, ...,Yr) = f T(Y1, ...,Xi, ...,Yr) +gT(Y1, ...,Yi, ...,Yr)

para todo i=1, ...,r, X_i,Y1, ...,Yr ∈X(M)e f,g∈ C∞(M).

O tensor T é diferenciável em p ∈ M se, escolhido um referencial móvel {E1, . . . ,En},

as componentes de T em relação a esse referencial são diferenciáveis em p. O tensor T é

diferenciável emMse é diferenciável em cada p ∈ M. No decorrer desta dissertação, diremos

somente queTé um tensor, omitindo a palavra diferenciável.

Para o que se segue, (Mn,g) é uma variedade Riemanniana orientada de dimensão finita n_≥2, munido damétrica Riemanniana g, ou simplesmente_h,_i, a qual denotaremos apenas por Me com aConexão de Levi-CivitadeMdenotada por∇.

Analogamente a um campo de vetores, um tensor pode também ser derivado. A seguinte definição introduz a noção de derivada de tensores.

Definição 1.1.2. Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante∇T de T é um tensor de ordem

(r+1)dado por

∇T(Y1, ...,Yr,Z) = Z(T(Y1, ...,Yr))−T(∇ZY1, ...,Yr)−...−T(Y1, ...,∇ZYr),

para todo Y1, ...,Yr,Z∈ X(M).

Para cada Z ∈ X_{(M)a derivada covariante∇ZT de T em relação a Z é um tensor de ordem r dado}

por

∇ZT(Y1, ...,Yr) =∇T(Y1, ...,Yr,Z).

Antes de prosseguir, vamos relembrar alguns operadores diferenciais que serão usados com frequência no decorrer desta dissertação.

Dada uma função f _∈ C∞(M), definimos o gradiente de f como sendo o único campo

vetorial∇f : M →TMdado por

h∇f(p),X_i=d fp(X), p ∈ M, X ∈ TpM.

Considerando um referencial ortonormal {E1, . . . ,En} em um aberto U ⊂ M podemos

escrever,

d f =

n

∑

i=1

f_iw_i,

onde w_i,i = 1, ...n, são as n 1-formas duais associadas ao referencial {E1, . . . ,En}, ou seja,

wi(Ej) = δij. A função fi é chamada aderivada de f na direção Ei. Além disso, fi =d f(Ei), isto

é,

∇f =

n

∑

i=1

fiEi.

Outro conceito importante é o de divergência de um campo. DadoX ∈ X_(M), definimos a

divergência deXcomo sendo a aplicação divX : M_→Rdada por

divX(p) = Tr(Y(p)7→ (∇YX)(p)),

onde tr(Y(p) 7→ (∇YX)(p))é o traço da aplicação linearY(p)7→ (∇YX)(p).

SejamXum campo diferenciável de vetores emMe{E1, . . . ,En}um referencial geodésico.

EscrevendoX=∑n_k=1xkEktemos que

divX =

n

∑

i,j=1h∇Ei

X,EjihEi,Eji (1.1)

=

n

∑

i,j=1h∇Ei

n

∑

k=1

x_kE_k,E_jihE_i,E_ji

=

n

∑

i,j,k=1h

Ei(xk)Ek,EjihEi,Eji

=

n

∑

i=1

E_i(x_i)

=

n

∑

i=1

x_i;i,

onde usamos a seguinte notação,x_i;i =E_i(x_i).

referencial geodésico{E1, . . . ,En} podemos expressar o Laplaciano de f por

∆_{f = div(∇f)(p)}

= div(

n

∑

i=1

fiEi)

=

n

∑

i=1

fii.

O operador linear∆ _{: C}∞_{(M) →C}∞_{(M), dado por}

∆_{f =div(∇f),}

é chamado deLaplanianode M.

Finalmente, oHessianode f, que denotaremos por Hessf, é a forma bilinear simétrica

Hessf :X_(M)×X_{(M) →C}∞_(M)

dada por

Hessf(p)(X,Y) = (XY f)(p)− ∇XY(f)(p).

Observe que sendo f : M → R uma função diferenciável. Podemos considerar _f como

sendo um tensor covariante de ordem 0, o qual denotaremos por ∇0f. De forma geral,

podemos definir indutivamente o tensor covariante∇k+1_{f da seguinte forma:}

∇k+1f =∇(∇kf),

ou seja,

∇k+1f(Y1, ...,Yk,Z) = Z(∇kf(Y1, ...,Yk))

−∇kf(∇ZY1, ...,Yk)−...− ∇kf(Y1, ...,∇ZYk).

Assim, por exemplo, dados X,Y ∈ X_(M) temos que _∇1_f e o _∇2_f coincidem,

respectivamente, com o gradiente e o Hessiano de f. De fato, dadosX,Y ∈X_(M)

e

∇2f(X,Y) =Y(∇1f(X))− ∇1f(∇1YX) =YX(f)− ∇YX(f).

Por simplicidade, denotaremos∇1f apenas por∇f.

O lema a seguir é um fato bem simples e incluiremos aqui a sua demonstração para completude do texto.

Lema 1.1.1. Seja f _∈C∞(M). Então

∆_{(f g) = f}∆_g+g∆_{f +}2_h∇f,_∇gi.

Demonstração. Fixe p ∈ Me escolha um referencial ortonormal geodésico{E1, ...,En} em uma

vizinhança de p. Então,

∆_{(f g)(p) =}

n

∑

k=1

E_kE_k(f g)(p)

=

n

∑

k=1

E_k(gE_kf +f E_kg)

=

n

∑

k=1

gE_kE_kf +

n

∑

k=1

E_kgE_kf +

n

∑

k=1

E_kgE_kf +

n

∑

k=1

f E_kE_kg

= f∆_g+g∆_{f +}2

n

∑

k=1

EkgEkf

= f∆_g+g∆_{f +2}

n

∑

k=1

g_kE_kf_kE_k

= f∆_g+g∆_{f +2h∇f,∇gi.}

Em particular,

1

2∆f2 = f∆f +|∇f|2, (1.2)

1.2 Curvaturas

Nesta seção, recordaremos os conceitos básicos de curvatura em uma variedade Riemanniana. A curvatura, intuitivamente, mede o quanto localmente uma variedade Riemanniana deixa de ser o espaço Euclidiano. Dando sequência, definiremos mais especificamente a curvatura seccional, a curvatura de Ricci e a curvatura escalar. Nossa principal referência foi o livro [5].

Definição 1.2.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X,Y∈ X_{(M)uma aplicação R(X},_Y) :X_{(M) →}X_{(M)dada por}

R(X,Y)Z=∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+∇[X,Y]Z, Z ∈X(M),

onde[X,Y] = XY−YX é o Colchete de Lie.

Observe que é frequente na literatura encontrarmos a definição de curvatura que difere da definição acima por sinal, (veja por exemplo [14]).

A seguir, enunciaremos algumas das principais propriedades de curvatura.

Proposição 1.2.1. A curvatura R de uma Variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades: (i) R é bilinear emX_(M)×X_{(M), isto é,}

R(f X₁+gX2,Y1) = f R(X1,Y1) +gR(X2,Y1)

R(X1, f Y1+gY2) = f R(X1,Y1) +gR(X1,Y2)

f,g_∈ C∞(M)e X₁,X2,Y1,Y2 ∈ X(M);

(ii) Para todo X,Y_∈ X_{(M)o operador curvatura R(X},_Y) :X_{(M) →}X_{(M)é linear, isto é,}

R(X,Y)(Z+W) = R(X,Y)Z+R(X,Y)W

R(X,Y)f Z = f R(X,Y)Z

f ∈ C∞(M), Z,W ∈ X_(M);

(iii) (Primeira Identidade de Bianchi). Para quaisquer X,Y,Z∈ X_(M)vale

Observação 1.2.1. Uma análise da proposição acima mostra que a necessidade do aparecimento do termo ∇[X,Y]Z na definição de curvatura está ligado ao fato de desejarmos que a aplicação R(X,Y) :

X_{(M) →}X_{(M)seja linear.}

De agora em diante, usaremos a notação

hR(X,Y)Z,T_i = (X,Y,Z,T).

E temos as seguintes propriedades decorrentes das anteriores.

Proposição 1.2.2. Para quaisquer X,Y,Z,T ∈ X_{(M)são válidas as seguintes relações:}

(a) (X,Y,Z,T) + (Y,Z,X,T) + (Z,X,Y,T) =0 (Bianchi);

(b) (X,Y,Z,T) = −(Y,X,Z,T);

(c) (X,Y,Z,T) = −(X,Y,T,Z);

(d) (X,Y,Z,T) = (Z,T,X,Y).

É conveniente escrever o que foi visto acima em um sistema de coordenadas(U,x)em torno do pontop ∈ M. Indicaremos _∂∂_x

i =Ei. Ponhamos

R(E_i,E_j)E_k =

_∑

l

R_ijklE_l. (1.3)

AssimR_ijklsão as componentes da curvaturaRem(U,x).

Relacionado com o tensor curvatura está a curvatura seccional, que passaremos a definir. Dado um espaço vetorialVex,y_∈ V, indicaremos por_|x_∧y_|a expressão

q

|x_|2_|y_|2_{− h}x,y_i2,

que representa a área do paralelogramo bi-dimensional determinado pelo par de vetores

x,y _∈V

Definição 1.2.2. Dado p ∈ M e um subespaço bi-dimensional σ⊂TpM, o número real

K(σ) = K(x,y) = (x,y,x,y)

onde x,y é uma base qualquer deσ, é chamado curvatura seccional deσem p.

Observe que K não depende da escolha dos vetores x,y ∈ σ. De fato, dados a,b,c,d ∈ R

tais queax+byecx+dysejam linearmente independentes, temos que

|ax+by∧cx+dy|2 = (ad−bc)2

e, usando a linearidade, a Proposição (1.2.2) e o fato de que (x,x,y,z) = 0 para todox,y,z ∈

TpM, temos também que

(ax+by,cx+dy,ax+by,cx+dy) =

= a(x,cx+dy,ax+by,cx+dy) +b(y,cx+dy,ax+by,cx+dy) = ad(x,y,ax+by,cx+dy) +bc(y,x,ax+by,cx+dy)

= a2d(x,y,x,cx+dy) +adb(x,y,y,cx+dy) +bca(y,x,x,cx+dy)

+b2c(x,y,y,cx+dy)

= a2d2(x,y,x,y)−adbc(x,y,x,y)−adbc(x,y,x,y) +b2c2(x,y,x,y) = (a2d2−2adbc+b2c2)(x,y,x,y)

= (ad−bc)2(x,y,x,y).

Portanto,

K(ax+by,cx+dy) = (ax+by,cx+dy,ax+by,cx+dy)

|ax+by∧cx+dy|2 =K(x,y).

Algumas combinações das curvaturas seccionais aparecem com tanta frequência que elas merecem nomes.

Seja x = En um vetor unitário emTpM; tomemos uma base ortonormal{E1,· · · ,En−1}do

hiperplano deTpMortonormal axe consideremos as seguintes médias:

Ricp(x) = 1

n₋1

n−1

∑

i=1h

R(x,E_i)x,E_ii

e

K(p) = 1

n

n

∑

j=1

As médias acima são denominadas, respectivamente, curvatura de Riccina direção de x e

curvatura escalarem p.

Portanto, podemos escrever a curvatura escalar da sequinte forma:

K(p) = 1

n(n−1)

∑

Vamos provar que essas médias não dependem da escolha das correspondentes bases ortonormais deTpM.

Considere a seguinte aplicaçãoQ: TpM×TpM→Rdada porQ(x,y) =Tr(z 7→ R(x,z)y).

Proposição 1.2.3. Q é uma aplicação bilinear simétrica.

Demonstração. Com efeito, considerando o referencial ortonormal de TpM escolhido acima,

temos que

Q(x,y) =

n

∑

i=1

(x,Ei,y,Ei) = n

∑

i=1

(y,Ei,x,Ei) = Q(y,x).

Logo,Qé simétrica. Além disso,

Q(x+αy,z) =

n

∑

i=1

(x+αy,E_i,z,E_i)

=

n

∑

i=1

(x,E_i,z,E_i) +α

n

∑

i=1

(y,E_i,z,E_i)

= Q(x,z) +αQ(y,z)

para todosx,y,z ∈ TpMeα ∈ R. Usando a simetria e a bilinearidade na primeira entrada de

Qobtemos assim, a sua bilinearidade.

Notemos que

1

n−1Q(x,x) = Ricp(x),

logo, a curvatura de Ricci na direção de xestá bem definida de tal modo que não depende da

base deTpMescolhida.

Por outro lado, à forma bilinearQem TpMcorresponde uma aplicação linear auto-adjunta

J : TpM→TpM, dada por

para todox,y∈ TpM.

Portanto,

Ricp(x) = 1

n−1hJx,yi. Neste caso,

tr(J) =

n

∑

i=1h

JE1,Eii = (n−1)

1

n

n

∑

i=1

Ricp(Ei) = (n−1)nJ(p).

ConsequentementeJ(p)também não depende da forma bilinear simétrica escolhida. Observe que Qé um tensor de ordem 2 e a forma bilinear 1

n₋1Qé, às vezes, chamada de tensor de Ricci.

1.3 Imersões Isométricas

Seja x : M _→ Muma imersão de uma variedade diferenciável Mde dimensão n em uma

variedade Riemanniana M de dimensão k = n+m. A métrica Riemanniana de M induz

de maneira natural uma métrica Riemaniana em M: se v1,v2 ∈ TpM, define-se hv1,v2i = hdxp(v1),dxp(v2)i. Nesta situação,xpassa a ser uma imersão isométrica de Mem M.

O intuito desta seção é estudar as relações entre as geometrias de M e M. Inicialmente

notamos que, para cada p ∈ M, existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que x(U) ⊂ M é

uma subvariedade de M. Isto quer dizer que existe uma vizinhança U ⊂ M de x(p) e um difeomorfismo ϕ : U → V ⊂ Rk em um aberto_V doRk, tais que _ϕaplica difeomorficamente

x(U)∩Uem um aberto do subespaçoRn _⊂Rk.

Para simplificar a notação, identificaremosU comx(U)e cada vetorv _∈ TqM, q ∈ U, com

dxq(v)∈ Tx(q)M.

Para cada p∈ M, o produto interno emT_x(p)MdecompõeT_x(p)Mna soma direta

T_x(p)M =TpM⊕(TpM)⊥,

onde(TpM)⊥é o complemento ortogonal deTpMemTx(p)M.

Denominamosespaço normal da imersão x em pao conjunto(TpM)⊥. Assim, cadav ∈ Tx(p)M, pode ser escrito como

Diz-se quevTé acomponente tangencialdevevNacomponente normaldev. Tal decomposição

é evidentemente diferenciável no sentido que as aplicações deTMemTMdadas por

(p,v)7→ (p,vT) e (p,v) 7→(p,vN)

são diferenciáveis.

A partir da decomposição acima, obtemos ofibrado normalem M

TM⊥ = [

p∈M

(TpM)⊥.

Neste caso,

TM|x(M) = {X ∈ TM;π(X) ∈ x(M),π : TM→ Mé a projeção}

= TM⊕TM⊥.

A conexão Riemanniana de Mserá indicada por ∇. Se X eYsão campos locais de vetores

em M, eX,Ysão extensões locais aM, definimos a conexão em Mpor

∇XY = (∇XY)T.

Queremos definir a segunda forma fundamental da imersãox : M_→ M. Para isto convém

introduzir previamente a seguinte definição: SeX,Ysão campos locais emM,

A(X,Y) = ∇_XY_{− ∇X}Y:= (∇_XY)N (1.5)

é um campo local emMnormal aM.

Afirmamos que A(X,Y) não depende das extensões X1 eY1. Com efeito, se X1 e Y1 são

extensões deXeY, respectivamente, então temos

(∇_XY− ∇XY)−(∇_X1Y1− ∇XY) =∇_X−X1Y− ∇_X1(Y−Y1) = 0+0 =0,

bem definido e vale que:

∇_XY− ∇XY =∇X1Y1− ∇XY = A(X,Y).

No que se segue, indicaremos porX_(U)⊥o espaço vetorial dos campos de vetores normais

ax(U).

Proposição 1.3.1. Se X,Y∈ X_{(U), a aplicação A} :X_(U)×X_(U)→X_(U)⊥ _{dada por}

A(X,Y) = ∇_XY− ∇XY

é bilinear e simétrica.

Demonstração. Dados g ∈ C∞(M) e X,Y,Z ∈ X_(U), e sejam _g, _X, _Y, _Z suas respectivas

extensões locais aM, então

A(X,Y) = ∇_XY− ∇XY

= ∇_XY− ∇_YX+∇_YX− ∇XY−(−∇YX+∇YX)

= [X,Y]−[X,Y] +A(Y,X) = A(Y,X)

pois, emM, [X,Y] = [X,Y]. Provando, com isso, que Aé simétrica.

Observe também que em M

A(gX,Y) = ∇_gXY− ∇gXY =g∇_XY−g∇XY =gA(X,Y).

Além disso,

A(X+Y,Z) = ∇_X+YZ− ∇X+YZ

= ∇_XZ− ∇XZ+∇_YZ− ∇YZ

= A(X,Z) +A(Y,Z).

Usando a simetria de Aprovamos assim a linearidade na segunda componente.

Como Aé bilinear, concluímos, exprimindo Aem um sistema de coordenadas, que o valor A(X,Y)(p)depende apenas deX(p)eY(p).

Agora podemos definir a segunda forma fundamental. Sejam p ∈ M e η ∈ (TpM)⊥. A

aplicaçãoHη : TpM×TpM →Rdada por

Hη(z,y) = hA(z,y),ηi, z,y ∈ TpM

que é, pela Proposição (1.3.1), uma forma bilinear simétrica é chamada segunda forma

fundamental de x em p.

Às vezes se utiliza também a expressãosegunda forma fundamentalpara designar a aplicação A.

Observe que à aplicação bilinear Hη fica associada uma aplicação linear auto-adjunta

Sη : TpM →TpMdada por

hSη(z),yi= Hη(z,y) = hA(z,y),ηi.

A proposição seguinte nos dá uma expressão da aplicação linear associada à segunda forma fundamental em termos da derivada covariante.

Proposição 1.3.2(Fórmula de Weingarten). Sejam p _∈ M, z _∈ TpM eη ∈ (TpM)⊥. Seja N uma

extensão local deη normal a M. Então

Sη(z) =−(∇zN)T.

Demonstração. Dadosz,y ∈ TpMdenotamos porZeYas extensões locais, respectivamente, de

z eytangentes a Me por ZeY as extensões locais de ZeY, respectivamente, tangente a M,

então,

hSη(z),yi = Hη(z,y) = hA(z,y),ηi =h∇_ZY− ∇ZY,Ni(p)

= h∇_ZY,Ni(p)− h∇ZY,Ni(p) = h∇_ZY,Ni(p)

= −hY,∇_ZNi(p) = −hY,(∇_ZN)Ti(p)

Portanto,Sη(z) = −(∇zN)T.

Escolhendo um referencial ortonormal{η1,· · · ,ηm} de vetores em X(U)⊥, ondeU é uma

vizinhança dep ∈ Mno qualxé um mergulho, podemos escrever, emp,

A(z,y) =

m

∑

i=1

H_i(z,y)η_i z,y∈ TpM,

ondeH_i =Hηi.

O vetor normal

~

H(p) = 1

n

m

∑

i=1

A(E_i,E_i) (1.6)

não depende do referencial E_i escolhido. Fica assim bem definido, em cada p ∈ M, um vetor

~

H(p)normal aMem p, denominado ovetor curvatura médiadexem p. Além disso, o quadrado

da norma da segunda forma fundamental dexé definido por

|A|2 =

k

∑

i,j=1|

A(E_i,E_j)|2. (1.7)

A seguir apresentaremos duas equações importantes da teoria das imersões isométricas, a saber, equação de Gauss e Codazzi.

Teorema 1.3.1. As seguintes equações se verificam: (a) Equação de Gauss

hR(X,Y)Z,Ti = hR(X,Y)Z,Ti − hA(Y,T),A(X,Z)i

+hA(X,T),A(Y,Z)i;

(b) Equação de Codazzi

hR(X,Y)Z,ηi= (∇YA)(X,Z,η)−(∇XA)(Y,Z,η).

Dada uma imersão isométrica, convém indicar porX_(M)⊥o espaço dos campos de vetores

tensor

A: X_(M)×X_(M)×X_(M)⊥ _→D_(M)

definido por

A(X,Y,η) = hA(X,Y),ηi.

A definição de derivada covariante se estende a este tipo de tensor de maneira bem natural:

(∇XA)(Y,Z,η) = X(A(Y,Z,η))−A(∇XY,Z,η)−A(Y,∇XZ,η)

−A(Y,Z,∇⊥Xη).

O teorema a seguir relaciona a curvatura de Mcom a curvatura de Me as segundas formas

fundamentais. Sex,y ∈ TpM ⊂TpM, são linearmente independentes, indicaremos porK(x,y)

eK(x,y)as curvaturas seccionais de MeM, respectivamente, no plano gerado porxey.

Teorema 1.3.2(Gauss). Sejam p ∈ M e x,y vetores ortonormais de TpM. Então

K(x,y)−K(x,y) = _hA(x,x),A(y,y)_{i − |}A(x,y)|2.

1.3.1 Hipersuperfícies

É conveniente expressar algumas fórmulas vista nesta seção no caso particular em que a imersão isométricax: Mn → Mn+1é dada em codimensão 1. Neste casox(M) ⊂ Mé chamada

dehipersuperfície. Às vezes se utiliza também a expressãohipersuperfíciepara designar a imersão

isométricax.

Sejam p∈ MeN ∈(TpM)⊥,|N| =1. Seja{E1, . . . ,En}uma base de vetores deTpM. Se M

eMsão ambas orientáveis e estão orientadas então o vetorN fica univocamente determinado

se exigirmos que sendo _{E1, . . . ,En} uma base na orientação de M, {E1, . . . ,En,N} seja uma

base na orientaçãoM.

Assim, a segunda forma fundamental será dada por

H_N(Z,Y) =hA(Z,Y),N_i, Z,Y _∈ TpMeN ∈ (TpM)⊥,

e podemos definir o operadorh: TpM×TpM→Rdado por

ondeNé o campo unitário normal aM.

No caso em que a hipersuperfície está imersa noRn+1podemos ver que a equação de Gauss

admite uma expressão mais simples. De fato, seja {E1, . . . ,En} um referencial geodésico e

definahij :=h(Ei,Ej). Usando (1.3), a equação de Gauss se resumirá a

0 = hR(Ei,Ej)Ek,Eli=hR(Ei,Ej)Ek,Eli − hA(Ej,El),A(Ei,Ek)i

+hA(E_i,E_l),A(E_j,E_k)i

=

*

n

∑

m=1

RijkmEm,El

+

− hA(Ej,El),hA(Ei,Ek),NiNi

+hA(E_i,E_l),hA(E_j,E_k),NiNi

= R_ijkl−h_jlh_ik+h_ilh_jk.

Portanto podemos escrever a equação de Gauss como

R_ijkl =h_jlh_ik−h_ilh_jk. (1.9)

Em particular, fazendok =iel = j, obtemos a curvatura seccional em termos da segunda

forma,

K(E_i,E_j) = h_jjh_ii−h2_ij.

Além disso, se {E1, . . . ,En} é uma base que diagonaliza A, temos quehij = 0 e, portanto,

podemos escrever a equação acima como sendo

K(E_i,E_j) = h_jjh_ii.

Em particular, usando (1.4), a curvatura escalar de Mé dada por

K(p) =

∑

i6=j

hiihjj.

∑

i

h_ii+2

∑

i6=j

h_iih_jj =0,

ou seja,

|A|2 =−2K. (1.10)

CAPÍTULO 2

VARIAÇÕES DE ÁREA E DESIGUALDADE

DE SIMONS

Neste capítulo, vamos derivar a equação das superfícies mínimas como a equação de Euler-Lagrange do funcional área de gráficos e assim encontrar a fórmula paramétrica da equação das superfícies mínimas (a primeria variação da área). Encontraremos a segunda variação da área e por último a desigualdade de Simons. Tais resultados darão suporte para demonstrarmos os principais resultados desta dissertação. Nossas principais referências foram os livros [15] e [3].

2.1 Primeira Variação da Área

Iniciaremos apresentando a definição de variação de uma hipersuperfície imersa em uma variedade Riemanniana.

Definição 2.1.1. Seja x : Mn → Mn+1 uma hipersuperfície. Uma variação de x é uma aplicação diferenciável

F: M×(−ε,ε) →M

satisfazendo as seguintes condições:

2. F(·,t)|∂M =x|∂Mpara todo t∈ (−ε,ε).

O campo de vetores T = dF∂ ∂t

t=0 em M é chamado de campo variacional associado à

variaçãoF.

Ofuncional áreaA: (−ε,ε) →Rassociado à variação_Fé dado por

A(t) =

Z

MdMt, (2.1)

onde dMt denota o elemento de volume da métrica induzida em M por Ft. Note que se a

orientação deMcoincide com aquela induzida por M, entãodM0 =dMeA(0) = A.

O lema abaixo é um resultado básico de espaços métricos que será útil no próximo teorema.

Lema 2.1.1. Sejam M compacta e f : M×[a,b] →R_{uma função de classe C}1_{. Então}

d dt

Z

M f(x,t)dM

t=t0

=

Z

M

∂f

∂t(x,t0)dM,

onde t0∈ [a,b].

Demonstração. Vide [17], p.144.

Tomando em M_×(−ε,ε) a métrica produto e {E₁. . . .En} um referencial móvel em uma

vizinhança de p ∈ M, temos que, para todo t ∈ (−ε,ε), ϕ : M → M× {t} dado por

ϕt(p) = (t,p)é uma isometria. SejamF : M×(−ε,ε) → Muma variação dexeΦto fluxo local

dedF_∂∂_t. Logo,Ft◦ ϕt =Φt◦ximplicadFt◦dϕt =dΦt◦dx. Sendo Ek =Ek(t,p) = (dϕ)pEk

temos, pela proposição 5.4, p. 30 de [5] a qual diz que seV,W ∈ X_(M)e_ψé um fluxo local de

Vnuma vizinhança de M, então

[V,W](p) = lim

t→0

1

t[dψ

−1

t (Wψlp)−Wp],

que

h

T,Ee_ki =lim

t→0

1

t[dΦ

−1

t Eek(Φt(p))−Eek(0,p)], (2.2)

h

T,Ee_ki = lim

t→0

1

t[dΦ

−1

t dΦt◦dx(Ek(p))−Ek(p)]

= lim

t→0

1

t[dx(Ek(p))−Ek(p)]

= lim

t→0

1

t[Ek(p)−Ek(p)] =0.

Logo,

h

T,Ee_ki =0. (2.3)

Segue da simetria da conexão_∇e que

T, ˜E_k, ˜E_k =D∇eTE˜k, ˜Ek

E

−D∇e_E˜_kT, ˜Ek

E

.

ComoT, ˜E_k =0 então

D e

∇TE˜k, ˜Ek

E

=D∇e_E˜_kT, ˜Ek

E

. (2.4)

Agora estamos aptos a demonstrar o principal resultado desta seção, a saber, a primeira variação da área.

Teorema 2.1.1. Seja x : Mn → Mn+1 uma hipersuperfície com vetor curvatura média H. Se~ F : M×(−ε,ε)→ Mn+1é uma variação de x, então

dA

dt (0) = −n

Z

M

D

T,~HEdM,

onde T=dF∂

∂t

.

Demonstração. Sejam p∈ Me{E1, ...,En}um referencial móvel em uma vizinhança de p∈ M,

geodésico empe seja aindaEi(t) = dFt(Ei)comi =1, ...,n. A métrica induzida porFt = F(·,t)

em Mn+1é dada, neste sistema de coordenadas, porgij(t) =

Ei(t),Ej(t)

Seja tambémνt =

q

det(gij(t))det(gij(0)), ondegijdenota a matriz inversa de gij. Então,

A(t) =

Z

dMt =

Z _q

det(g_ij(t))dx1. . .dxn

=

Z q

det(g_ij(t))det(gij₍₀₎₎q_det(g

ij(0))dx1. . .dxn =

Z

νtdM.

Logo,

A(t) =

Z

MνtdM.

Assim, pelo Lema (2.1.1),temos que

d_A

dt

t=0 = Z M d dt

t=0(νt)dM.

Observe que, sendo Aa segunda forma fundamental de Me No campo normal unitário a M

em uma vizinhança dep ∈ M, então

hA(X,Y),Ni =h∇XY,Ni =− hY,∇XNi, (2.5)

pois 0=XhY,Ni =h∇XY,Ni+hY,∇XNi. Além disso, temos também de (1.1) que

div(X) =

n

∑

i,j=1

∇EiX,Ej Ei,Ej

=

n

∑

i=1

∇EiX,Ei

. (2.6)

Usando no Lema (A.0.3), ver apêndice A,G(t) = g_ij(t)gij(0)temos

d dt

t=0(νt) =

d dt

t=0

q

det(g_ij(t)gij_{(0) =} 1

2 d dt

t=0(det(gij(t)g

ij₍₀₎₎₎

q

det(gij(0)gij(0))

= 1 2 d dt

t=0(det(gij(t)g

ij_{(0))) =} 1

2tr(g

′

ij(0)gij(0)).

Podemos escolher o referencial {E1, ...,En} ortonormal na métrica induzida por F0 e, no

ponto p, ∇EiEj = 0 para todoi,j = 1, ...,n. Com issogij(0) =

E_i(0),E_j(0) = E_i,E_j = δ_ij.

Portanto,gij(0) = δ_ij.

d dt

t=0(νt) = tr(g

′

ij(0)gij(0)) = tr(g

′

ij(0))

= 1

2

n

∑

i=1

d

dt hEi,Eii

= 1

2

n

∑

i=1

(h∇TEi,Eii+hEi,∇TEii)

=

n

∑

i=1h∇T

E_i,E_ii.

Logo, usando (2.4), temos que

d dt

t=0(νt) =

n

∑

i=1h∇T

Ei,Eii = n

∑

i=1

∇EiT,Ei

=

n

∑

i=1

D

∇Ei(T

T_+TN_),E i

E

=

n

∑

i=1

D

∇EiT

T_,E i

E

+

n

∑

i=1

D

∇EiT

N_,E i

E

.

Aplicando (2.5) , (2.6) e (1.6) nesta última equação e usando o fato de TN = hT,N_iN

d dt

t=0(νt) = div(T

T_{) +}

_∑

∇EihT,NiN,Ei)

= div(TT) +

n

∑

i=1h

T,N_i∇EiN,Ei

= div(TT) +

*

T,

n

∑

i=1

∇EiN,Ei

N

+

= div(TT) +

*

T,−

n

∑

i=1h

A(Ei,Ei),NiN

+

= div(TT) +

*

T,₋

n

∑

i=1

A(E_i,E_i)

+

= div(TT)−nDT,H~E.

Logo, pelo teorema da divergência, obtemos

dA

dt

t=0=−n Z

M

D

T,H~EdM+

Z

Mdiv(T

T_{)dM =−n}Z M

D

T,H~EdM.

Tomando ~_{H =HN e f =hT,Ni, observamos que a primeira variação da área se resume a}

dA

dt (0) = −n

Z

M

D

T,H~EdM =−n

Z

MH f dM.

PortantoMé um ponto crítico para o funcional área se, e somente se, a curvatura médiaH

é identicamente nula.

2.2 Segunda Variação da Área

Para estudarmos a segunda variação da área de uma hipersuperfície mínima, observamos primeiro que, sendo Ht a curvatura média de Ft e ft = hT,Nti, onde Nt é o campo unitário

normal aFt, temos, do Teorema (2.1.1), que

dA

dt =−n

Z

MHtftdMt.

Daí, como H0= H =0, f0= f edM0 =dM, temos

A′′(0) = −n

"_Z

M

∂ ∂tHt

t=0

f0dM0+ Z

MH0

∂ft

∂tdMt

t=0

#

= −n

Z

M

∂ ∂tHt

t=0

f dM. (2.7)

Teorema 2.2.1. Seja x: Mn → Mn+1uma imersão mínima e F uma variação de x. EntãoA′′(0)dado por

A′′(0)(f) =

Z

M{−f

∆_{f −(Ric(N,N) +|A|}2_)f2_{}dM (2.8)}

depende somente de f .

Demonstração. De (2.7) observamos que, para demonstrar o teorema, basta calcular

n_∂∂_tHt _t=0. Para isso, sejamp ∈ Me{E1,· · · ,En}um referencial móvel em uma vizinhança

de p _∈ M, geodésico em p. Sejam ainda E_i(t) = dFt(Ei) e gij(t) =

E_i(t),E_j(t). Se

{E˜₁(t),· · · , ˜En(t)} denota um referencial ortonormal em uma vizinhança de F(p,t) contida

emFt(M), comEi(t) = ∑kaik(t)E˜k(t)então

˜

E_i(t) =

∑

k

aik(t)E_k(t).

g_ij(t) = E_i(t),E_j(t) =

∑

k

a_ik(t)a_jk(t) = (BBT)_ij,

ondeB= (a_ij)eB−1= (aij).

Sendo ANt a segunda forma fundamental na direção normal Nt e (gij)−

1 _{= g}ij _então,

fixandot, temos

nHt = hnHtNt,Nti =

D

n~Ht,Nt

E

=

∑

i

ANt(E˜i(t), ˜Ei(t)),Nt

.

Assim, usando (2.5),

nHt =

∑

i

D e

∇_E˜_i(t)E˜i(t),Nt

E

=

∑

i,k,l

D e

∇_aik_E k(t)a

il_E

l(t),Nt

E

=

∑

i,k,l

aikailD∇eEk(t)El(t),Nt

E

=

∑

k,l

((B−1)TB−1)_klD∇eEk(t)El(t),Nt

E

=

∑

k,l

((BBT)−1)_klD∇eEk(t)El(t),Nt

E

=

∑

k,l

gkl(t)D∇eEk(t)El(t),Nt

E

.

Como o referencial_{E1(t),· · ·En(t)}é geodésico em ptemos quegkl(0) = δkl e assim

ndHt dt

t=0 =

∑

dgkl dt (0)

D e

∇EkEl,N

E

+

∑

k,l

gkl(0)TD∇eE_k(t)El(t),NtE t=0

=

∑

k,l

dgkl dt (0)

D e

∇EkEl,N

E

+

∑

k,l

δklTD∇eEk(t)El(t),Nt

E

t=0

=

∑

k,l

dgkl dt (0)

D e

∇EkEl,N

E

+

∑

k

TD_∇e_Ek(t)E_k(t),NtE t=0.

Com o intuito de simplificar os passos da demonstração, calcularemos em separado o primeiro e o segundo somatório emndHt

dt

t=0.

∑

j

gkj(t)g_jl(t) = δ_kl ⇒

∑

j

dgkj

dt (0)gjl(0) +

∑

kj₍₀₎dgjl

dt (0) =0⇒

dgkl

dt (0) = −

dg_jl dt (0).

Comog_kl(t) = hE_k(t),E_l(t)isegue, de (2.4), que

−dgjl

dt (0) = −ThEk(t),El(t)i

t=0

= −D∇eTEk(t),El(t)

E

t=0−

D

E_k(t),_∇e_TE_l(t)E _t=0 = −D∇eEkT,El

E

−DE_k,∇eElT

E

.

Logo de (2.5) segue que

∑

k,l

dgkl dt (0)

D e

∇Ek(t)El(t),N

E

= −2

∑

k,l

D e

∇EkT,El

E D e

∇Ek(t)El(t),N

E

= −2

∑

k,l

D e

∇EkT

T_,E l

E

+D∇eEkT

N_,E l

E

hA(E_k,E_l),N_i

= −2

∑

k,l

D e

∇EkT

T_,E l

E

+D∇eEkf N,El

E

hA(E_k,E_l),N_i

= −2

∑

k,l

D e

∇EkT

T_,E l

E

hA(Ek,El),Ni

−2

∑

k,l

D

f∇eEkN,El

E

+hE_k(f)N,E_lihA(E_k,E_l),Ni

= −2

∑

k,l

D e

∇EkT

T_,E l

E

hA(E_k,E_l),Ni

−2f

∑

k,l

D e

∇EkN,El

E

hA(E_k,E_l),Ni

= 2

∑

k,l

D e

∇EkT

T_,E l

E D e

∇EkN,El

E

+2f

∑

k,l

hA(E_k,E_l),Ni2

= 2

∑

k

D e

∇EkT

T_,(∇e EkN)

onde na última igualdade usamos o fato de

∑

i,j=1

A(E_i,E_j),N2 =

∑

i,j=1

A(E_i,E_j),A(E_i,E_j),NN

=

∑

i,j=1

A(Ei,Ej),A(Ei,Ej)

=|A|2.

Observando que [T,E_k(t)] = 0, e daí∇eEkT = ∇eTEk), temos para o segundo somatório de

ndHt dt

t=0que

∑

k

TD∇eE_k(t)Ek(t),NtE

t=0 =

∑

D e

∇T∇eE_k(t)Ek(t),NtE

t=0+

∑

D e

∇E_k(t)Ek(t),∇eTNtE t=0

=

∑

k

D e

∇T∇eEk(t)Ek(t),Nt

E

t=0−

∑

D e

∇Ek(t)∇eTEk(t),Nt

E

t=0

+

_∑

k

D e

∇Ek(t)∇eTEk(t),Nt

E

t=0+

∑

D e

∇[T,Ek(t)]Ek(t),Nt

E

t=0

+

_∑

k

D e

∇Ek(t)Ek(t),∇eTNt

E

t=0

=

∑

k

D e

∇T∇eEk(t)Ek(t)−∇eEk(t)∇eTEk(t) +∇e[T,Ek(t)]Ek(t),Nt

E

t=0

+

∑

k

D e

∇E_k(t)∇eTEk(t),NtE

t=0+

∑

D e

∇E_k(t)Ek(t),∇eTNtE t=0.

Assim, usando a definição de curvatura e de curvatura de Ricci, temos

∑

k

TD∇eEk(t)Ek(t),Nt

E

t=0 =

∑

t=0+

∑

D e

∇Ek(t)∇eTEk(t),Nt

E

t=0

+

∑

k

D e

∇Ek(t)Ek(t),∇eTNt

E

t=0 =Ric(T,N)

+

∑

k

D e

∇E_k(t)∇eTEk(t),NtE

t=0+

∑

D e

= Ric(T,N) +

∑

k

E_kD∇eTEk,N

E

−D∇eEkT,∇eEkN

E

+

_∑

k

D e

∇EkEk,N

E D

N,∇eEkN

E

= Ric(T,N) +

∑

k

E_kE_khT,Ni

−

∑

k

E_kDT,∇eEkN

E

−

∑

k

D e

∇EkT,∇eEkN

E

,

onde usamos o fato de_{E₁,_{· · ·}En}ser um referencial geodésico em p. Mais precisamente,

D e

∇EkEk,∇eTN

E

=D∇eEkEk,N

E D

N,∇eTN

E

=0.

Agora, comoT =TT+TN =TT +f N,hT,Ni= f eDN,∇eEkN

E

=0, temos

∑

k

TD∇eEk(t)Ek(t),Nt

E

t=0 = Ric(T,N) +∆f −

∑

D

TT,∇eEkN

E

−

∑

k

E_kDf N,∇eEkN

E

−

∑

k

D e

∇Ekf N,∇eEkN

E

−

∑

k

D e

∇EkT

T_,∇e EkN

E

= Ric(T,N) +∆_{f −}

_∑

k

E_kfDN,∇eEkN

E

−f

∑

k

D e

∇E_kN,∇eE_kN

E

−

∑

k

E_k(f)DN,∇eE_kN

E

−

∑

k

E_kDTT,∇eEkN

E

+D∇eEkT

T_,∇e EkN

E

= Ric(T,N) +∆_{f −f}

_∑

k

e∇EkN

2−2

_∑

k

D e

∇EkT

T_,∇e EkN

E

−

∑

k

D

TT,∇eEk∇eEkN

E

. (2.9)

Como_hE_k,N_i =0 então

D e

∇EkEl,N

E

=−D∇eEkN,El

E

e, portanto,

∑

k

e∇EkN

=

∑

k,l

D e

∇EkN,El

E2

=

∑

k,l

D e

∇EkEl,N

E2

=

∑

k,l

hA(E_k,E_l),N_i2=|A_|2. (2.11)

EscrevendoT =∑_lβ_lE_l+ f N temos

Ric(T,N) = −

∑

l

β_lRic(N,E_l) + f Ric(N,N)

= −

∑

k,l

β_lhR¯(E_k,E_l)E_k,Ni+ f Ric(N,N).

Visto que[E_k,E_l] =0 e o referencial é ortonormal e geodésico em p, segue que

hR¯(E_k,E_l)E_k,Ni_p = D∇eE_l∇eE_kEk−∇eE_k∇eE_lEk,N

E

p

= E_lD∇eEkEk,N

E

p−

D e

∇EkEk,∇eElN

E

p

−E_kD∇eElEk,N

E

p+

D e

∇ElEk,∇eElN

E

p

= −E_lDE_k,∇eE_kN

E

p+Ek

D

E_k,∇eE_lN

E

p,

onde na última igualdade estamos usando (2.10) e o fato de que _∇e_E

lEk ∈ (TpM)⊥ e

e

∇ElN ∈ TpMpara todok,l =1, ...,n.

Logo, de (1.8) e (2.5) temos

hR¯(E_k,E_l)E_k,Ni_p =−E_l(h_kk) +E_k(h_kl),

onde h_ij = h(E_i,E_j) = DE_k,_∇e_ElNE

p é a segunda forma fundamental escalar de M. Sendo

assim,

Ric(T,N)_p =

_∑

k,l

β_lE_l(h_kk)−

∑

k,l

Veja também que,

β_lD∇eEk∇eEkN,El

E

= β_lD∇Ek∇eEkN,El

E

+β_l∇eEk∇eEkN

N

,E_l

= β_lD∇Ek∇eEkN,El

E

=β_l

*

∇Ek

∑

j

D e

∇EkN,Ej

E

E_j

!

,E_l

+

= −β_l

∑

j

D

∇Ek

D e

∇EkEj,N

E

Ej

,E_lE=−β_l

∑

j

∇EkhkjEj,El

= −β_l

_∑

j

{E_k(h_kj)δ_lj+h_kj∇EkEj,El

}

= −β_lE_k(h_kl),

e, consequentemente,

−

∑

k,l

β_lE_k(h_kl) =

∑

k,l

β_lD_∇e_Ek∇e_EkN,E_lE

=

_∑

k

*

∑

l

β_lE_l,∇eEk∇eEkN

+

=

_∑

k

D

TT,∇eEk∇eEkN

E

.

Logo,

Ric(T,N)_p =

∑

k,l

β_lE_l(h_kk) +

∑

k

D

TT,∇eE_k∇eE_kN

E

+ f Ric(N,N)_p. (2.12)

Substituindo (2.11) e (2.12) em (2.9), obtemos

∑

k

TD∇eEk(t)Ek(t),Nt

E

t=0 =

∑

∑

D

TT,∇eEk∇eEkN

E

+ f Ric(N,N)_p

+∆f ₋f_|A_|2₋2

_∑

k

D e

∇EkT

T_,∇e EkN

E

−

∑

k

D

TT,_∇e_Ek∇e_EkNE

= f Ric(N,N)_p+∆_{f − f|A|}2₋2

_∑

k

D e

∇EkT

T_,∇e EkN

E

,

onde usamos o fato de

∑

k,l

β_lE_l(h_kk) =

_∑

l

β_lE_l

!

∑

k

h_kk

!

Agora, depois de termos calculado o primeiro e o segundo somatário em ndHt dt

t=0, obtemos

que

ndHt dt

t=0 = 2

∑

D e

∇EkT

T_,(∇e EkN)

TE_+2f|A|2_{+ f Ric(N,N)}

p

+∆_{f − f|A|}2₋₂

_∑

k

D e

∇EkT

T_,∇e EkN

E

= f Ric(N,N)_p+∆f + f|A|2,

a última igualdade vem do fato de queD_∇e_E

kN,N

E

=0(⇒(∇eE_kN)T =∇eE_kN). Portanto,

A′′(0)(f) = −n

Z

M

∂ ∂tHt

t=0

f dM

=

Z

M{−f

∆_{f −(Ric(N,N) +|A|}2_)f2_}dM.

Sejam M uma superfície mínima e D ⊂ M um domínio limitado de M. Dizemos que D

é estável se A′′(0)(f) > 0, para toda variação normal de _M que fixa o bordo _∂D de _D. Isto

significa queDé um ponto (crítico da área) de mínimo relativo para toda variação normal.

SeMnão é estável, então existe uma função f : M→Rcom _{f|∂M =}0 tal que_A′′₍0_{)(f) ≤}0.

Se a desigualdade for estrita, entãoMé chamada deinstável. Agora observe que a equação (2.8)

se escreve da seguinte forma

A′′(0)(f) = − Z

M f L f dM,

onde L : C₀∞ → C∞₀ (M) é o operador linear dado por L f = ∆_{f + (Ric(N,N) +|A|}2_{)f. Por}

simplicidade denotaremos porQforma quadrática associada ao operadorL, ou seja,

Q(f) = −

Z

M f L f dM.

A aplicação linear Lé chamada deoperador de estabilidadeou operador de Jacobi.

Define-se o índice da forma quadráticaQcomo a dimensão do maior subespaço deC₀∞(M)

no qualQ é negativa. O índice de Qnos fornece uma medida de não estabilidade de M. Tal

Sejaλdado porL f+λf =0 para algum f ∈ C∞₀ (M), isto é,λé um autovalor deL. Observe

que o operador Lé diagonalizável por uma sequência crescente {λ_j}j∈N de autovalores reais

deL,

λ1<λ2 ≤λ3 ≤ · · · ≤ λn ≤ · · · ր +∞, (2.13)

cujos auto-espaços associados tem dimensão finita. Dessa forma podemos escrever

Q(f) =

∞

∑

i=1

λ_i(f_i, f_i),

onde f_i é uma autofunção correspondente ao autovalorλ_i.

Decorre daí que Ind(M) é o número de autovalores negativos (contados com multiplicidade) do operador L. Uma consequência de (2.13) é que o índice de uma superfície

mínima compacta com bordo é finito.

Observe que apesar de L eQ serem definidas nos espaços das funções diferenciáveis por

partes em M que se anulam no bordo, eles podem ser expandidos para espaços vetoriais de

funções diferenciáveis em quase todos os pontos de M, isto é, exceto em um conjunto de

medida nula.

Para finalizar essa seção, mostraremos, agora, uma desigualdade que será de fundamental importância em argumentos vindouros.

Lema 2.2.1(Desigualdade da Estabilidade). Seja Mn ⊂ Mn+1uma hipersuperfície mínima estável.

Então para qualquer função Lipschitzηcom suporte compacto

Z

M(|A|

2_+Ric

M(N,N))η2dM ≤

Z

M|∇Mη|

2_dM.

Demonstração. Como Mé estável então

0≤ − Z

MηLηdM=−

Z

M(η

∆_{Mη+ (|A|}2_+Ric

M(N,N))η2)dM.

Assim, vendo queR_Mη∆_{MηdM =−}R

M|∇Mη|2dM, temos que

Z

M(|A|

2_+Ric

M(N,N))η2dM ≤

Z

M|∇Mη|

Observe que se estivermos em um ambiente onde a curvatura de Ricci é identicamente nula, então a desigualdade acima se resume a

Z

M|A|

2_η2_{dM ≤}Z

M|∇Mη|

2_{dM. (2.14)}

2.3 Desigualdade de Simons

Nesta seção, vamos obter uma desigualdade que envolve o Laplaciano do quadrado da norma da segunda forma fundamental de uma hipersuperfície mínima M no Rn+1. Esta

desigualdade foi provada por J. Simons em [21] e afirma, em sua forma mais geral, que para uma hipersuperfície mínimaMn ⊂ Mn+1a

∆_M|A_|2_{≥ −}C(1+|A_|2)2,

ondeCdepende apenas deM.

Seja Mn _⊂ Rn+1 uma hipersuperfície mínima e sejam _{E1,_{· · ·} ,_En} um referencial

ortonormal em uma vizinhança de p ∈ M e N o vetor unitário normal a M. Já sabemos de

(2.5) que

h(X,Y) = hA(X,Y),Ni =D∇eXY,N

E

=−D∇eXN,Y

E

.

Seja h_ij := h(E_i,E_j). Logo h_ij = −D∇eEiN,Ej

E

e definimos h_ij,k := ∇Ekhij. Observe que

estamos tomando_∇e e∇como as conexões doRn+1e_M, respectivamente.

Lema 2.3.1. h_ijcomo definido acima é simétrico, isto é, h_ij =h_ji. Demonstração. Como∇eEiEj=∇eEjEientão

hij =h(Ei,Ej) =

D e

∇EiEj,N

E

=D∇eEjEi,N

E

=hji.

Observe quehé um tensor simétrico de ordem 2.

Demonstração. Note que

h_ij,k = ∇Ekh(Ei,Ej) = Ekh(Ei,Ej)−h(∇EkEi,Ej)−h(Ei,∇EkEj)

= −E_kD∇eEiN,Ej

E

+D∇e∇_EkEiN,Ej

E

+D∇eEiN,∇EkEj

E

= −D∇eEk∇eEiN,Ej

E

−D∇eEiN,∇eEkEj

E

+D∇e∇_EkEiN,Ej

E

+D∇eEiN,∇EkEj

E

= −D∇eEk∇eEiN,Ej

E

−D∇eEiN,∇EkEj

E

−D∇eEiN,(∇eEkEj)

NE₊D_∇e

∇_EkEiN,Ej

E

+D∇eEiN,∇EkEj

E

.

Assim, como a curvatura do Rn+1 é nula, temos que 0 _{= R(Ek},_{Ei)N = ∇}e_E

i∇eEkN −

e

∇Ek∇eEiN e com isso ∇eEk∇eEiN = ∇eEi∇eEkN. Veja que hN,Ni = 1 implica

D e

∇EiN,N

E

= 0,

assimD_∇e_E

iN,(∇eEkEj)

NE_=0.

Portanto,

h_ij,k =−

D e

∇Ei∇eEkN,Ej

E

+D∇e∇_EiEkN,Ej

E

=h_kj,i.

Usando os Lemas (2.3.1) e (2.3.2) podemos concluir queh_ij,ké simétrico em todos os índices.

Defina m(X,Y,Z) := (∇Zh)(X,Y), assim m(Ei,Ej,Ek) = hij,k. Seja agora hij,kl :=

(∇E_lm)(Ei,Ej,Ek) = ∇E_lhij,k. Diferente dehij,k, que é simétrico em todos os índices,hij,kl não é

simétrico em relação ao último índice. Em detalhes temos o seguinte lema.

Lema 2.3.3. Dado h_ij,kl como acima, vale que

h_ij,kl =h_ij,lk+

n

∑

m=1

R_lkimh_mj+

n

∑

m=1

R_lkjmh_mi.