Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI
Instituto de Física & Química – IFQ
Lista de Exercícios II
Dualidade Onda-Partícula
Disciplina de Física Quântica
Prof. Gabriel Rodrigues Hickel
1) Explique de forma sucinta a razão do efeito fotoelétrico, para uma dada superfície de
material definido, só ocorrer para a radiação com frequências maiores ou iguais a uma frequência limite.
2) Vimos que o efeito fotoelétrico pode ocorrer, dependendo do material da superfície, para
radiação que enxergamos (visível), mesmo em intensidades muito pequenas. Neste caso, como nosso mundo diário é iluminado pela luz do Sol, por que não estamos imersos em um mar de elétrons?
3) Na experiência do efeito fotoelétrico, para um potencial elétrico direto, no regime de
corrente elétrica constante, se dobrarmos a intensidade da radiação que provoca a ejeção dos elétrons, observamos que a corrente elétrica decorrente também duplica. Isto é previsto pela teoria clássica de ondas eletromagnéticas. Como compatibilizar este resultado com a ideia de Eistein, que a radiação é formada por “pacotes de ondas” (fótons)?
4) As fotomultiplicadoras (imagem abaixo) eram utilizadas como fotômetros astronômicos,
antes do advento dos CCDs, que usam semicondutores. Elas utilizavam o efeito fotoelétrico como princípio de funcionamento. Em suma, a luz entrava por uma janela (em um invólucro com vácuo interno) e incidia em uma placa, provocando um fluxo de elétrons, que eram acelerados na direção de outra placa, onde arrancavam outros elétrons por colisão. Cada elétron que chegava na segunda placa, arrancava outros dois elétrons, com a energia transferida na colisão. Após algumas placas e duplicações, era possível criar uma corrente apreciável, mesmo com fluxos luminosos iniciais pequenos (típicos de fontes astrofísicas). Supondo que as placas utilizadas tinham um comprimento de onda de corte (para a ocorrência do efeito fotoelétrico) de 200 nm, calcule qual deveria ser o potencial elétrico mínimo entre as placas, para que cada elétron arrancasse outros dois, na colisão (pressuponha transferência total de energia)
5) Por que é difícil estabelecer o efeito fotoelétrico com raios-X?
6) Na concepção de Einstein para o efeito fotoelétrico, um fóton que incide em um arranjo
de átomos (material da placa) é completamente absorvido e um elétron é arrancado, saindo com energia cinética diferente de zero. Como ficam as conservações de energia e momento neste processo?
7) Mostre que um elétron livre, ao absorver completamente um fóton, não pode conservar
ambos, o momento e a energia. Entretanto, no efeito Compton, resolvemos a interação entre um fóton de raios-X e um elétron justamente sobre os princípios de conservação de momento e energia. Qual a diferença?
8) A função trabalho para arrancar elétrons de um dado material é w0 = 3,5 eV. Calcule:
a) o comprimento de onda limiar para a ocorrência do efeito fotoelétrico;
b) as energias cinéticas mínima e máxima dos elétrons arrancados, supondo que radiação monocromática com = 41015 Hz incide na placa;
c) o potencial reverso de corte do efeito fotoelétrico;
d) a corrente elétrica medida no coletor de elétrons, supondo um potencial direto grande o suficiente, no regime de corrente constante; que cada fóton arranque um elétron, que a placa de material tenha 55 cm2 e esteja a 1 m de distância da fonte de iluminação, que tem
1 W de luminosidade.
9) Explique de forma sucinta o que é o efeito Compton e por que ele não pode ser explicado
pelo espalhamento clássico de Thomson.
10) Por que o efeito Compton é independente da frequência da radiação incidente e do tipo
de material utilizado como alvo?
11) O efeito Compton pode ocorrer quando radiação X incide em um gás? Explane.
12) Mostre que ao colidir com um fóton de raios-X, o elétron necessariamente adquire
velocidades relativísticas (razão pela qual utilizamos expressões relativísticas para calcular o efeito Compton).
14) Determine o momento e a energia cinética dos elétrons espalhados no efeito Compton,
em função de quantidades observáveis.
15) O que é o efeito Bremmstrahlung e por que ele não pode ser explicado como a emissão
de ondas eletromagnéticas clássicas?
16) Mostre que o comprimento de onda de corte (em nm), para a ocorrência do efeito
Bremmstrahlung, é dado pela expressão min = 124,3 / V, com o potencial elétrico V dado
em unidades de kV.
17) O efeito Bremmstrahlung ocorre em função da interação entre partículas carregadas. A
figura abaixo exemplifica a interação entre um elétron e um núcleo de carga +Ze e massa
2Zmp. A força eletromagnética (força central, considerando que o núcleo não recua) atua e
a trajetória do elétron é uma hipérbole (enquanto o fóton não é emitido), porque a energia cinética do elétron é maior que a energia potencial entre o elétron e o núcleo. Visto isto: a) determine a trajetória hiperbólica em função do raio r, do ângulo e do parâmetro de impacto , considerando a energia inicial do elétron como K0 (sugestão: escreva a equação
de força em coordenadas polares);
b) se considerarmos que a energia máxima que o elétron pode ceder para o fóton é a diferença entre as energias cinética e potencial, no ponto de rmin da trajetória, calcule a
energia deste fóton.
18) A radiância espectral decorrente do efeito Bremmstrahlung mostra um claro limiar em
comprimento de onda (ou frequência), para o qual ocorre. Ainda, quando a analisamos, notamos que além do corte citado, existe claramente um máximo definido, ou seja, existe um comprimento de onda (ou frequência), para o qual existe um máximo de emissão de radiação por Bremmstrahlung. Como podemos explicar este máximo?
19) Após incidirmos um fóton com 0,05 nm de comprimento de onda em um anteparo,
detectamos um outro fóton espalhado a 35o da direção do fóton original. Sabendo que este
processo também arremessou um elétron em outro anteparo, com o qual colidiu, produzindo radiação Bremmstrahlung, perdendo toda a sua energia cinética; determine: a) o comprimento de onda do fóton da radiação Bremmstrahlung;
b) se este fóton da radiação Bremmstrahlung pode produzir pares, em uma terceira interação.
20) Se supormos um fluxo de fótons de altas energias (raios-X ou gama) em uma direção
bem definida, então, elétrons com velocidades relativísticas que cruzem este fluxo, com uma das componentes de velocidade na mesma direção e sentido do fluxo de fótons; poderão transferir energia para estes fótons por colisão, no que é conhecido como “efeito Compton inverso”. Esta é uma das situações em que se podem criar raios cósmicos.
a) Mostre que o efeito Compton inverso é possível e determine o comprimento de onda do fóton espalhado em função da perda de energia cinética do elétron;
b) Calcule qual deve ser a velocidade de um elétron para elevar a energia de um fóton de raio gama, de modo a torná-lo um raio cósmico típico. Suponha colisão quase unidirecional e que toda a energia cinética do elétron é transferida para o fóton.
21) Sabemos que cargas aceleradas produzem radiação eletromagnética. Na radiação
Bremmstrahlung, uma partícula é acelerada fortemente pela interação eletromagnética com outras partículas. Mas uma carga também pode ser acelerada por outras interações, por exemplo, força gravitacional. Quando um elétron está em órbita de um buraco negro supermassivo, ele é tão fortemente acelerado, que emite radiação de altas energias. Suponha que um elétron esteja a uma distância infinita de um buraco negro supermassivo (106 massas do Sol), com velocidade relativa nula. Ele será atraído pelo buraco negro,
estabelecendo órbita espiral em torno do mesmo. Este elétron só irá emitir um fóton, apenas em sua última órbita, antes de desaparecer no horizonte de eventos, perdendo toda sua energia cinética para este fóton.
a) Mostre que a velocidade do elétron será relativística;
b) Qual será o comprimento de onda e a região espectral deste fóton emitido?
(dica: utilize o raio de Schwarzschild e expressões da mecânica clássica para determinar a energia cinética do elétron)
22) Vimos que a energia relativística de uma partícula livre é fornecida pela expressão: E2 = p2c2 + (m
0c2)2
Note que se formos determinar a energia E de um elétron livre por esta expressão, levando a álgebra ao “pé da letra”, poderemos obter tanto uma energia positiva, quanto negativa. Mas o que significaria um elétron com energia negativa? Que consequências isto teria para
23) Mostre que na criação de pares não é possível conservar a energia e o momento de
forma simultânea, sem a presença de um corpo (campo) para absorver uma parcela do momento do fóton.
24) É possível um par elétron-pósitron ser criado na interação de um fóton com o campo de
um elétron. Calcule a energia mínima deste fóton, levando em conta o recuo do elétron original, no processo.
25) Na aniquilação de pares, um par partícula-antipartícula se anula, criando tipicamente
dois fótons de energias iguais e momentos opostos. Seria possível obtermos o efeito reverso, ou seja, colidir estes dois fótons e obter novamente o par partícula-antipartícula? Explane.
26) Qual seria a espessura mínima de uma
blindagem de chumbo para proteger (deixando passar 1% ou menos) de uma radiação ionizante, variando de 0,1 a 10 MeV?
(utilize a informação da figura ao lado)
27) A figura à direita mostra o coeficiente de
atenuação por unidade de massa do Tungstênio. Repita os cálculos efetuados no exercício anterior, para uma blindagem de tungstênio.
