Valter Victor Cerqueira Moitinho
Existência e unicidade de soluções globais suaves
para a equação quase-geostrófica crítica
CAMPINAS 2015
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Moitinho, Valter Victor Cerqueira,
M729e MoiExistência e unicidade de soluções globais suaves para a equação quase-geostrófica crítica / Valter Victor Cerqueira Moitinho. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
MoiOrientador: Lucas Catão de Freitas Ferreira.
MoiDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Moi1. Equação quase-geostrófica. 2. Dissipação crítica (Equações diferenciais parciais). 3. Soluções globais suaves. 4. Módulo de continuidade (Análise
matemática). I. Ferreira, Lucas Catão de Freitas,1977-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Existence and uniqueness of smooth global solutions for the critical
quasi-geostrophic equation
Palavras-chave em inglês:
Quasi-geostrophic equation
Critical dissipation (Partial differential equations) Smooth global solutions
Modulus of continuity (Mathematical analysis)
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Lucas Catão de Freitas Ferreira [Orientador] Bianca Morelli Rodolfo Calsavara
Gustavo Ferron Madeira
Data de defesa: 26-02-2015
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Abstract
In this dissertation, we study existence of smooth global solutions for the quasi-geostrophic equation in R2 (2𝐷𝑄𝐺) with periodic conditions and critical value for the fractional viscosity.
This equation appears in studies of some geophysical fluids that present high rotational speed. Dimensionally speaking, the equation is the analogue in 2𝐷 of the Navier-Stokes equations in 3𝐷. First, we study the theory of weak solutions with initial data in 𝐿2 via the Galerkin method.
After we show a maximum principle in 𝐿𝑝 spaces and investigate regularity of solutions for small
times and initial data in Sobolev spaces 𝐻𝑠with 𝑠 > 1. Finally, we show that local-in-time smooth
solutions are indeed global ones. This dissertation is based on the PhD thesis of Resnick [36] and recent work of Kiselev, Narazov and Volberg [33].
Keywords: Quasi-geostrophic equation, Critical dissipation, Smooth global solutions,
Modu-lus of continuity.
Resumo
Nesta dissertação, estudamos o problema de existência de soluções globais suaves para a equa-ção quase-geostrófica em R2 (2𝐷𝑄𝐺) com condições periódicas e no caso de valor crítico para a
viscosidade fracionária. Esta equação aparece em estudos de alguns fluidos geofísicos que apresen-tam altas velocidades de rotação. De um ponto de vista dimensional, a equação é considerada um análogo em 2𝐷 das equações de Navier-Stokes em 3𝐷.
Primeiramente, estudamos a teoria de soluções fracas com dados iniciais em 𝐿2 via o método
de Galerkin. Depois mostramos um princípio do máximo em espaços 𝐿𝑝 e investigamos a
regula-ridade de soluções para tempos pequenos e dados iniciais nos espaços de Sobolev 𝐻𝑠 com 𝑠 > 1.
Finalmente, mostramos que a solução suave localmente no tempo de fato existe globalmente e é suave para todo tempo. Esta dissertação é baseada na Tese de Doutorado de Resnick [36] e no recente trabalho de Kiselev, Narazov e Volberg [33].
Palavras-chave: Equação quase-geostrófica, Dissipação crítica, Soluções globais suaves,
Sumário
Agradecimentos xi
1 Preliminares 3
1.1 Definições e notações básicas . . . 3
1.2 Série de Fourier . . . 6
1.3 Transformadas de Riesz e derivadas fracionárias . . . 8
1.4 Espaços de Sobolev e o comutador . . . 11
1.4.1 Espaços de Sobolev . . . 12
1.4.2 O operador comutador . . . 14
1.5 Espaços de Bochner . . . 15
1.6 Mais alguns resultados preliminares . . . 16
2 Soluções fracas e regularidade local 19 2.1 Princípio do máximo em 𝐿𝑝 . . . 19
2.2 Existência global de soluções fracas . . . 21
2.3 Soluções com regularidade local . . . 26
3 Soluções globais suaves 41 3.1 Módulo de continuidade . . . 41
3.2 Demonstração do Teorema 3.1 . . . 49
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado o dom da vida e iluminado minha caminhada. Aos meus pais, Valternei e Florismar, meu eterno agradecimento pelo amor, incentivo e apoio incondicional. Obrigado por sempre acreditarem em minha capacidade.
Obrigado minhas irmãs, Isabel e Malu, e meus familiares, que nos momentos de minha ausência dedicados ao estudo superior, sempre fizeram entender que o futuro é feito a partir da constante dedicação no presente!
A minha querida noiva, Ariquele, por ser tão importante na minha vida. Sempre ao meu lado, pondo-me para cima e fazendo-me acreditar que posso mais do que imagino. Obrigado pelo companheirismo, amizade, paciência, compreensão, apoio, alegria e amor.
Ao professor Lucas C.F. Ferreira que sempre acreditou em meu potencial. Sempre disponível e disposto a ajudar, querendo que eu aproveitasse cada momento do mestrado para absorver algum tipo de conhecimento. Obrigado pela paciência durante toda a orientação e incentivo, tornando possível a conclusão deste trabalho.
Meus agradecimentos aos amigos e irmãos na amizade que fizeram parte da minha formação e que vão continuar presentes em minha vida.
Agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pela concessão da bolsa de estudos para o período de realização deste mestrado.
Aos demais professores do Programa de Pós-graduação em Matemática, aos técnicos e de-mais profissionais do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC) da Universidade Estadual de Campinas.
E, finalmente, a todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, o meu muito obrigado.
Introdução
Nesta dissertação, estudamos a equação quase-geostrófica dissipativa em duas dimensões (2𝐷𝑄𝐺)
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜃𝑡−(𝑢 · ∇)𝜃 + (−Δ)𝛼𝜃 = 0, em R2 e 𝑡 > 0 𝑢= (−𝑅2𝜃, 𝑅1𝜃) 𝜃(𝑥, 0) = 𝜃0(𝑥) em R2 (0.0.1) onde 𝜃 : R2 → R é uma função escalar, 𝑅
1 e 𝑅2 são as transformadas de Riesz em R2 e 0 < 𝛼 6 1.
A equação (2𝐷𝑄𝐺) aparece em estudos de fluidos geofísicos que apresentam alta velocidade de rotação e tem conexões com modelos em meteorologia e oceanografia, especialmente no caso não-dissipativo (sem viscosidade) e no caso 𝛼 = 1
2. Ela é derivada de equações quase-geostróficas mais
gerais no caso de número de Rossby pequeno e fluidos estratificados verticalmente (veja [11] e [35]). Uma questão central e básica no estudo matemático de EDPs que dependem do tempo é se existe uma solução suave global no tempo para qualquer dado inicial suave. No caso das equações de Navier-Stokes em dimensão três (3𝐷𝑁𝑆), este problema está ainda em aberto e tem atraído a atenção de muitos matemáticos, desde o seminal trabalho [34] de Leray em 1934, onde foi demons-trada a existência de soluções fracas globais para dados iniciais em 𝐿2. De fato, este problema é um
dos sete problemas do milênio do Clay Mathematics Institute (veja www.claymath.org/millennium-problems).
Existe uma forte analogia entre a (3𝐷𝑁𝑆) e a (2𝐷𝑄𝐺) no caso crítico 𝛼 = 1
2 e entre as equações
de Euler ((3𝐷𝑁𝑆) sem viscosidade) e a (2𝐷𝑄𝐺) sem viscosidade (veja [11] e [36], para detalhes). Uma intuição é que uma resposta afirmativa para o problema de soluções globais suaves para (2𝐷𝑄𝐺) crítica poderia trazer novos insights para a (3𝐷𝑁𝑆). Isto naturalmente levou Resnick [36] a considerar (0.0.1), a qual tem uma viscosidade fracionária generalizada 𝛼 ∈ (0, 1] e permite uma análise mais geral sobre os efeitos de diferentes níveis de viscosidade. Ele provou existência de solução fraca global para todo 𝛼 ∈ (0, 1] e mostrou regularidade e unicidade de soluções globais para 𝛼 ∈ (1
2,1]; assim, deixando em aberto a questão da existência de soluções globais suaves para
0 < 𝛼 6 1
2. O estudo da (2𝐷𝑄𝐺) então ficou dividido em três casos básicos, a saber, o subcrítico
𝛼 ∈(12,1], crítico 𝛼 = 12 e super-crítico 𝛼 ∈ (0,12).
O caso subcrítico 𝛼 > 1
2 apresenta uma teoria bastante completa sobre existência, unicidade
e regularidade global. Resnick [36] estabeleceu a existência de soluções fracas globais e provou regularidade e unicidade das soluções. Os resultados de Resnick asseguram que dado inicial suave e periódico fornece uma única solução global suave. Constantin e Wu [12] também concluíram que dado inicial suave e periódico fornece solução global suave. Outros tópicos estudados são comportamento assintótico, autossimilaridade e boa-colocação em espaços críticos singulares (veja
por exemplo [5], [6], [12], [17], [16], [19], [22], [26], [37] e [40]). No caso crítico 𝛼 = 1
2, resultados de boa-colocação de soluções suaves da (2𝐷𝑄𝐺) localmente
no tempo podem ser encontrados em [32] e [41]. Constantin, Cordoba e Wu [10] mostraram que solução global existe com uma condição de pequenez sobre 𝜃0 na norma 𝐿∞. Ju [27] provou
re-sultados de regularidade global de soluções sob algumas condições geométricas para ∇⊥𝜃. Mais
resultados sobre regularidade de soluções globais com diferentes tipos de condições (por exemplo, de pequenez) em normas de espaços de Sobolev, de Besov ou de Hölder podem ser encontrados em [28], [29], [42], [43] e [44]. O problema de existência de soluções globais suaves (sem restrições) para a (2𝐷𝑄𝐺) ficou em aberto até o ano de 2006, quando foi resolvido em dois famosos trabalhos com técnicas completamente diferentes [4] e [33], postos como preprints em arXiv:math/0608447 e arXiv:math/0604185, respectivamente. Kiselev, Narazov e Volberg [33] resolveram o problema uti-lizando um principio de módulo de continuidade. Usando estimativas interativas do tipo DiGiorgi, Caffarelli e Vasseur [4] resolveram o problema mostrando que uma certa classe de soluções fracas para a equação de difusão com termo drift (em particular, a (2DQG)) ganha Hölder-regularidade para 𝑡 > 0 começando de um dado inicial em 𝐿2, contanto que a velocidade seja uniformemente
limitada em 𝐵𝑀𝑂 para 𝑡 ∈ [𝜖, +∞), para cada 𝜖 > 0 fixado.
Por outro lado, o problema de existência de solução global suave no caso supercrítico 𝛼 < 1 2,
para um dado inicial suave arbitrário, continua em aberto. Resultados de boa-colocação local, boa-colocação global com dado pequeno e regularidade condicional tem sido obtidos por vários autores. Para mais detalhes, veja os trabalhos [7], [8], [13], [14], [18], [28] e [43].
Nesta dissertação, fazemos um estudo para a (2𝐷𝑄𝐺) crítica começando desde a existência de soluções fracas, passando por resultados de regularidade local no tempo, e finalmente chegando a uma resposta afirmativa para o problema de existência global de soluções suaves com dados iniciais arbitrários, suaves e periódicos. O presente texto é baseado nas referências [32], [33] e [36]. No caso de uma EDP definida em Ω = R𝑛 ou Ω = T𝑛 (toro n-dimensional) uma solução suave 𝜃(𝑥, 𝑡), com
dado inicial 𝜃0 suave, significa que 𝜃 ∈ 𝐶∞(Ω × (0, ∞)) e 𝜃0 ∈ 𝐶∞(T2). Neste trabalho,
considera-mos como solução suave global 𝜃 ∈ 𝐶([0, ∞), 𝐶∞(T2)). Esta não é essencialmente uma restrição
para uma EDP parabólica como (0.0.1), pois tendo obtida a solução 𝜃 ∈ 𝐶([0, ∞), 𝐶∞(T2)), por
regularização parabólica pode-se mostrar que 𝜃 ∈ 𝐶∞(T2 ×(0, ∞)). Referenciamos o leitor a [21]
e [30] para alguns resultados sobre regularização parabólica.
Esta dissertação está dividida em três partes. A primeira consiste em um capítulo de preli-minares sobre séries de Fourier, espaços de Sobolev, espaços de Bochner e alguns resultados de Análise Funcional e EDO. O Capítulo 2 é destinado a existência de soluções fracas via o método de Galerkin e algumas estimativas a priori em 𝐿𝑝 e 𝐻𝑠. Finalmente, no último capítulo, mostramos
que a (2𝐷𝑄𝐺) com viscosidade crítica e dado inicial suave e periódico tem uma única solução suave global via a abordagem de módulo de continuidade.
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo, apresentamos algumas definições, notações básicas e resultados preliminares que serão utilizados no decorrer do texto.
A Seção 1.1 é destinada a definições e notações. Na Seção 1.2, abordamos algumas propriedades de funções periódicas e séries de Fourier. A Seção 1.3 é dedicada a definições de alguns operadores diferenciais fundamentais para nosso estudo. Na Seção 1.4, revemos alguns elementos da teoria básica de espaços de Sobolev e, na Seção 1.5, tratamos dos espaços de Bochner. Por fim, na Seção 1.6, listamos mais alguns resultados preliminares que utilizaremos neste trabalho.
1.1
Definições e notações básicas
Usualmente indicaremos uma constante positiva arbitrária por 𝐶, a menos que haja necessidade de alguma distinção. Seu valor pode mudar de linha para linha ou em uma mesma linha.
Consideramos o toro bidimensional T2 como o cubo [0, 1]2 com os lados opostos identificados.
Mais precisamente, dados 𝑥, 𝑦 ∈ R2 definimos a relação de equivalência
𝑥 ≡ 𝑦 se 𝑥 − 𝑦 ∈ Z2.
O toro T2 é então definido como o conjunto R2
/Z2 de todas as classes de equivalência.
Funções em T2 são funções sobre R2 que satisfazem
𝑓(𝑥 + 𝑚) = 𝑓(𝑥)
para todo 𝑥 ∈ R2 e 𝑚 ∈ Z2. Tais funções são chamadas de funções periódicas de período 1.
Seja 𝑈 ⊂ R2 aberto. Denotaremos por 𝐶𝑘(𝑈), o espaço das funções 𝑓 : 𝑈 → R com todas
as derivadas parciais de ordem até 𝑘 contínuas. O espaço 𝐶(𝑈) denotará o conjunto das funções contínuas em 𝑈 e 𝐶∞(𝑈) =
∞ ⋂︁
𝑘=1
𝐶𝑘(𝑈) é o conjunto das funções suaves em 𝑈. Quando 𝑈 = R2,
diremos simplesmente que 𝐶∞(R2) é o conjunto das funções suaves. O espaço 𝐶𝑘(T2) é o conjunto
Seja 𝑓 ∈ 𝐶∞(T2). Denotaremos
𝜕𝑗𝑓(𝑥1, 𝑥2) =
𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑗(𝑥
1, 𝑥2)
para 𝑗 = 1 ou 𝑗 = 2. Com essa notação, temos que ∇𝑓 = (𝜕1𝑓, 𝜕2𝑓).
Dado um vetor 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) em R2, denotaremos por 𝑣⊥= (−𝑣2, 𝑣1) o vetor perpendicular a 𝑣.
Assim, temos que
∇⊥𝑓 = (−𝜕2𝑓, 𝜕1𝑓).
A seguir, introduzimos a notação de multi-índices para as derivadas espaciais em R2. Um
multi-índice em R2 é um par ordenado de números inteiros não-negativos, ou seja, 𝛼 = (𝛼 1, 𝛼2)
onde 𝛼1, 𝛼2 ∈ N ∪ {0}. Para um multi-índice 𝛼, definimos as operações
|𝛼|= 2 ∑︁ 𝑗=1 𝛼𝑗 e 𝑥𝛼= 2 ∏︁ 𝑗=1 𝑥𝛼𝑗 𝑗 . Denotamos 𝜕𝛼𝑓 := (︃ 𝜕 𝜕𝑥1 )︃𝛼1(︃ 𝜕 𝜕𝑥2 )︃𝛼2 𝑓.
Para indicar a derivada com relação a variável temporal 𝑡, vamos utilizar as notações ˙𝑓 , 𝜕𝑓 𝜕𝑡,
ou ainda 𝜕𝑡𝑓.
Seja (𝑋, ℳ, 𝜇) um espaço de medida. Para 𝑓, 𝑔 : 𝑋 → C, denotamos 𝑓 = 𝑔 𝑞.𝑡.𝑝, se 𝑓 = 𝑔 no complementar de algum conjunto de medida nula em 𝑋. Definimos
𝐿𝑝(𝑋, ℳ, 𝜇) = {𝑓 : 𝑋 → C : 𝑓 é mensurável e ||𝑓||𝑝< ∞}, onde ||𝑓 ||𝑝= (︂∫︁ 𝑋 |𝑓 |𝑝𝑑𝜇)︂ 1 𝑝 , para 1 6 𝑝 < ∞ (1.1.1) e
||𝑓 ||∞= ess sup𝑥∈𝑋|𝑓(𝑥)|, para 𝑝 = ∞. (1.1.2)
Relembramos que em (1.1.2),
ess sup𝑥∈𝑋|𝑓(𝑥)|= inf{𝑎 > 0; 𝜇(𝑥 ∈ 𝑋; |𝑓(𝑥)|> 𝑎) = 0}.
Segue-se que 𝐿𝑝(𝑋, ℳ, 𝜇) é um espaço de Banach quando munido da norma definida por (1.1.1)
se 1 6 𝑝 < ∞ ou (1.1.2) se 𝑝 = ∞ (veja [23, p. 183-184]). Denotaremos 𝐿𝑝(𝑋, ℳ, 𝜇) por 𝐿𝑝(𝑋)
quando 𝜇 for a medida de Lesbegue e 𝑙𝑝(𝑋) quando 𝜇 for a medida de contagem. Em particular,
o espaço 𝐿2(𝑋) é um espaço vetorial que admite o seguinte produto interno
⟨𝑓, 𝑔⟩=
∫︁
𝑋
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥.
A próxima proposição contém uma desigualdade que mostra que o produto convencional de funções comporta-se bem na escala dos espaços 𝐿𝑝.
Proposição 1.1. (Desigualdade de Hölder) Sejam (𝑋, 𝑀, 𝜇) um espaço de medida e 1 6 𝑝, 𝑟, 𝑞 6 ∞ tais que 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1 𝑟 6 1. Se 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝(𝑋, ℳ, 𝜇) e 𝑔 ∈ 𝐿𝑞(𝑋, ℳ, 𝜇), então 𝑓𝑔 ∈ 𝐿𝑟(𝑋, ℳ, 𝜇) e vale ||𝑓 𝑔||𝑟6 ||𝑓 ||𝑝||𝑔||𝑞. (1.1.3)
Demonstração. Inicialmente, vamos mostrar que (1.1.3) é verdadeira para 𝑟 = 1. Neste caso, se 𝑝= 1 ou 𝑝 = ∞, então a desigualdade é imediata. Assuma 1 < 𝑝 < ∞.
Primeiro, vamos mostrar que dados 𝑎, 𝑏 > 0 e 0 < 𝜆 < 1, vale que
𝑎𝜆𝑏1−𝜆 6 𝜆𝑎 + (1 − 𝜆)𝑏. (1.1.4)
Se 𝑏 = 0, a desigualdade é imediata. Para mostrar que vale para 𝑏 ̸= 0 definimos a função
𝑓(𝑥) = 𝑥𝜆− 𝜆𝑥 para 𝑥 ∈ [0, ∞). Derivando 𝑓 em 𝑥 > 0, obtemos que
𝑓′(𝑥) = 𝜆
(︂ 1
𝑥1−𝜆 −1 )︂
.
Logo 𝑓 é crescente para 𝑥 < 1 e decrescente para 𝑥 > 1, de onde segue-se que 𝑥 = 1 é ponto de máximo global de 𝑓. Portanto,
𝑥𝜆 6 𝜆𝑥 + 1 − 𝜆 para todo 𝑥 > 0. (1.1.5)
A estimativa (1.1.4) é obtida tomando 𝑥 = 𝑎
𝑏 em (1.1.5) e depois multiplicando por 𝑏.
Agora, voltamos à demonstração de (1.1.3) para 𝑟 = 1. Note que se ||𝑓||𝑝= 0, então 𝑓 = 0 𝑞.𝑡.𝑝
e portanto, (1.1.3) se verifica. O mesmo ocorre se ||𝑔||𝑞= 0. Suponha que ||𝑓||𝑝̸= 0 e ||𝑔||𝑞̸= 0.
Usando (1.1.4) com 𝑎 = |𝑓 (𝑥)|𝑝 ||𝑓 ||𝑝𝑝 , 𝑏 = |𝑔(𝑥)|𝑞 ||𝑔||𝑞𝑞 e 𝜆 = 1 𝑝, obtemos que |𝑓(𝑥)| ||𝑓 ||𝑝 |𝑔(𝑥)| ||𝑔||𝑞 6 1 𝑝 |𝑓(𝑥)|𝑝 ||𝑓 ||𝑝𝑝 + 1 𝑞 |𝑔(𝑥)|𝑞 ||𝑔||𝑞𝑞 . (1.1.6)
Integrando (1.1.6) em 𝑋, temos que
∫︁ 𝑋 |𝑓 | ||𝑓 ||𝑝 |𝑔| ||𝑔||𝑞𝑑𝜇 6 ∫︁ 𝑋 1 𝑝 |𝑓 |𝑝 ||𝑓 ||𝑝𝑝 + 1 𝑞 |𝑔|𝑞 ||𝑔||𝑞𝑞 𝑑𝜇 6 1 𝑝+ 1 𝑞 6 1. (1.1.7)
Por conseguinte, multiplicando (1.1.7) por ||𝑓||𝑝||𝑔||𝑞, obtemos que
||𝑓 𝑔||16 ||𝑓 ||𝑝||𝑔||𝑞. (1.1.8)
No caso geral, basta aplicar (1.1.8) com 𝑝1 = 𝑝𝑟 e 𝑞1 = 𝑟𝑞 satisfazendo 𝑝11 +𝑞11 = 1.
Definição 1.2. A convolução das funções 𝑓 e 𝑔 em T2 é a função 𝑓 * 𝑔 definida por (𝑓 * 𝑔)(𝑥) = ∫︁ T2 𝑓(𝑦)𝑔(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 = ∫︁ T2 𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦 para todo 𝑥 tal que a integral exista.
Motivados pela Definição 1.2, vamos definir a convolução entre funções definidas em Z2. Este
tipo de convolução aparecerá quando analisarmos a série de Fourier de produtos (veja Seção 1.2).
Definição 1.3. A convolução das funções 𝑓 e 𝑔 em Z2 é a função 𝑓 * 𝑔 definida por
𝑓 * 𝑔(𝑘) = ∑︁
𝑙∈Z2
𝑓(𝑙)𝑔(𝑘 − 𝑙) = ∑︁
𝑙∈Z2
𝑓(𝑘 − 𝑙)𝑔(𝑙).
para todo 𝑘 tal que a soma faça sentido (podendo ser +∞ ou −∞).
Na próxima proposição, relembramos um caso particular da desigualdade de Young, a qual será útil para nossos fins.
Proposição 1.4. Se 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑙2(Z2), então 𝑓 * 𝑔 ∈ 𝑙∞(Z2) e vale
||𝑓 * 𝑔||∞6 ||𝑓 ||2||𝑔||2. (1.1.9)
Demonstração. Para cada 𝑘 ∈ Z2, temos que
|𝑓 * 𝑔(𝑘)| 6 ∑︁
𝑗∈Z2
|𝑓(𝑗)𝑔(𝑘 − 𝑗)| 6 ||𝑓 (·)𝑔(𝑘 − ·)||1.
Usando a Proposição 1.1, obtemos que
||𝑓(·)𝑔(𝑘 − ·)||16 ||𝑓 ||2||𝑔(𝑘 − ·)||2.
Note que ||𝑔(𝑘 − ·)||2= ||𝑔||2 para todo 𝑘 ∈ Z2. Consequentemente, temos que
|𝑓 * 𝑔(𝑘)|6 ||𝑓||2||𝑔||2 (1.1.10)
para todo 𝑘 ∈ Z2.
Portanto, tomando o supremo em (1.1.10) com 𝑘 variando em Z2 obtemos a desigualdade
(1.1.9).
1.2
Série de Fourier
Nesta seção, vamos definir a série de Fourier de funções 𝑓 ∈ 𝐿1(T2), apresentar algumas
Definição 1.5. A série de Fourier de 𝑓 ∈ 𝐿1(T2) é dada por ∑︁ 𝑚∈Z2 ̂︀ 𝑓(𝑚)𝑒2𝜋𝑖𝑚·𝑥, (1.2.1) onde ̂︀ 𝑓(𝑚) = ∫︁ T2 𝑓(𝑥)𝑒−2𝜋𝑖𝑚·𝑥𝑑𝑥. (1.2.2)
Listamos abaixo algumas propriedades básicas da série de Fourier, que estão divididas em quatro proposições. Para a demonstração destes resultados, referenciamos o leitor a [24, p. 164,169-170].
Proposição 1.6. Sejam 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿1(T2). Para todo 𝑙, 𝑘 ∈ Z2, 𝜆 ∈ C e qualquer multi-índice 𝛼, temos as seguintes propriedades:
1. [𝑓+ 𝑔(𝑙) =𝑓̂︀(𝑙) + ̂︀ 𝑔(𝑙). 2. 𝜆𝑓̂︁(𝑙) = 𝜆𝑓̂︀(𝑙). 3. 𝑓̂︀(𝑙) =𝑓̂︀(−𝑙). 4. [𝑓 * 𝑔(𝑙) =𝑓̂︀(𝑙) ̂︀ 𝑔(𝑙). 5. 𝜕̂︂𝛼𝑓(𝑙) = (2𝜋𝑖𝑙)𝛼𝑓̂︀(𝑙) quando 𝜕𝛼𝑓 ∈ 𝐶0(T2). Proposição 1.7. Se 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿1(T2) satisfazem𝑓̂︀(𝑚) = ̂︀
𝑔(𝑚) para todo 𝑚 ∈ Z2, então 𝑓 = 𝑔 𝑞.𝑡.𝑝.
Proposição 1.8. Suponha que 𝑓 ∈ 𝐿1(T2) e
∑︁ 𝑚∈Z2 |𝑓̂︀(𝑚)|< ∞, então 𝑓(𝑥) = ∑︁ 𝑚∈Z2 ̂︀ 𝑓(𝑚)𝑒2𝜋𝑖𝑚·𝑥 𝑞.𝑡.𝑝. Portanto, 𝑓 é igual a uma função contínua 𝑞.𝑡.𝑝.
Proposição 1.9. As seguintes afirmações são válidas para 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿2(T2): 1. (Identidade de Plancherel) ||𝑓 ||2 2= ∑︁ 𝑙∈Z2 |𝑓̂︀(𝑙)|2. 2. (Relação de Parseval) ∫︁ T2 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∑︁ 𝑙∈Z2 ̂︀ 𝑓(𝑙)𝑔̂︀(𝑙).
3. Para todo 𝑘 ∈ Z2, temos que
̂︁
𝑓 𝑔(𝑘) = (𝑓 *̂︀ 𝑔̂︀)(𝑘)
Finalizamos esta seção definindo a transformada de Fourier periódica.
Definição 1.10. Denote 𝑙(Z2) como sendo o conjunto das sequência indexadas em Z2. A
trans-formada de Fourier periódica 𝑇𝑝𝑒𝑟 : 𝐿1(T2) → 𝑙(Z2) é definida por
𝑇𝑝𝑒𝑟(𝑓)(𝑚) =𝑓̂︀(𝑚),
onde 𝑓 é como em (1.2.2).̂︀
1.3
Transformadas de Riesz e derivadas fracionárias
Nesta seção definiremos alguns operadores integrais singulares e a noção de derivada fracionária que será usada nesta dissertação.
As transformadas de Riesz 𝑅𝑗 com 𝑗 = 1, 2 em R2 são operadores integrais singulares definidos
por 𝑅𝑗𝑓(𝑥) = 𝑃.𝑉 ∫︁ R2 𝑦𝑗 |𝑦|3𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 = lim𝜖→0 ∫︁ |𝑦|>𝜖 𝑦𝑗 |𝑦|3𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦. (1.3.1)
Em [20, p. 75], vemos que 𝑅𝑗 é um operador linear limitado em 𝐿𝑝 para 1 < 𝑝 < ∞.
Os núcleos 𝐾𝑗 =
𝑦𝑗
|𝑦|3 satisfazem a seguinte estimativa.
Lema 1.11. Seja 𝑥̃︀ =
𝑥+ 𝑦
2 . Se |𝑥 − 𝑧|> 3|𝑥 − 𝑦|, então existe 𝐶 > 0 tal quẽ︀
|𝐾𝑗(𝑥 − 𝑧) − 𝐾𝑗(𝑦 − 𝑧)|6 𝐶
|𝑥 − 𝑦| |𝑥 − 𝑧|̃︀ 3
. (1.3.2)
Demonstração. Vamos mostrar que o resultado é verdadeiro para 𝐾1.
Sem perda de generalidade, vamos supor |𝑥 − 𝑧|> |𝑦 − 𝑧|. Por conseguinte, |𝑥 − 𝑧|6 |𝑥 − 𝑧|.̃︀
Sendo assim, vamos dividir a demonstração em dois casos, |𝑦 − 𝑧|> |𝑥−𝑧| 2 e |𝑥−𝑧| 2 > |𝑦 − 𝑧|. Se |𝑦 − 𝑧|> |𝑥−𝑧| 2 , então |𝑥 − 𝑧|> |𝑦 − 𝑧|> |𝑥−𝑧|
2 . Reescrevendo o termo dentro do módulo no
lado esquerdo da desigualdade (1.3.2), temos que
𝑥1− 𝑧1 |𝑥 − 𝑧|3 − 𝑦1− 𝑧1 |𝑦 − 𝑧|3 = 𝑥1− 𝑦1 |𝑥 − 𝑧|3 + (𝑦1− 𝑧1)(|𝑦 − 𝑧|3−|𝑥 − 𝑧|3) |𝑦 − 𝑧|3|𝑥 − 𝑧|3 . (1.3.3)
Podemos reescrever o segundo termo do lado direito de (1.3.3) usando a relação 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 −
𝑏)(𝑎2+ 𝑎𝑏 + 𝑏2) com 𝑎 = |𝑦 − 𝑧| e 𝑏 = |𝑥 − 𝑧|, de onde segue-se que
(𝑦1− 𝑧1)(|𝑦 − 𝑧|3−|𝑥 − 𝑧|3)
|𝑦 − 𝑧|3|𝑥 − 𝑧|3
= (𝑦1− 𝑧1)(|𝑦 − 𝑧|−|𝑥 − 𝑧|)(|𝑦 − 𝑧|2+|𝑦 − 𝑧||𝑥 − 𝑧|+|𝑥 − 𝑧|2)
Tomando o valor absoluto na equação acima, usando que |𝑥 − 𝑧|< 2|𝑦 − 𝑧| e fazendo algumas simplificações, obtemos que
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ (𝑦1− 𝑧1)(|𝑦 − 𝑧|3−|𝑥 − 𝑧|3) |𝑦 − 𝑧|3|𝑥 − 𝑧|3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 6 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 7(|𝑦 − 𝑧|−|𝑥 − 𝑧|) |𝑥 − 𝑧|3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ . (1.3.4)
Logo, combinando a desigualdade triangular com a estimativa (1.3.4) em (1.3.3), obtemos que
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑥1 − 𝑧1 |𝑥 − 𝑧|3 − 𝑦1− 𝑧1 |𝑦 − 𝑧|3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 6 8|𝑥 − 𝑦|| ̃︀ 𝑥 − 𝑧|3. Se |𝑥−𝑧| 2 > |𝑦 − 𝑧|, então |𝑥 − 𝑧|>̃︀ |𝑥−𝑧| 4 e |𝑥 − 𝑦|> 3|𝑥−𝑧| 4 . Em virtude da desigualdade |𝑥 − 𝑧|>̃︀ 3|𝑥 − 𝑦|, obtemos que |𝑦 − 𝑧|> |𝑥−𝑧| 4 . Portanto, ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑥1− 𝑧1 |𝑥 − 𝑧|3 − 𝑦1− 𝑧1 |𝑦 − 𝑧|3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 6 ||𝑥 − 𝑦| ̃︀ 𝑥 − 𝑧|3.
Quando 𝑓 é uma função definida em T2, podemos caracterizar as transformadas de Riesz por ̂︂ 𝑅𝑗𝑓(𝑚) = {︃ −𝑖𝑚𝑗 |𝑚|𝑓̂︀(𝑚) se 𝑚 ∈ Z 2∖ {0} 0 se 𝑚 = 0 (1.3.5)
Para mais detalhes sobre a transformada de Riesz, consulte [20] ou [24].
Observação 1.12. A transformada de Riesz 𝑅𝑗 é um operador anti-simétrico em 𝐿2(T2), isto é,
⟨𝑅𝑗𝑓, 𝑔⟩ = −⟨𝑓, 𝑅𝑗𝑔⟩, (1.3.6)
para cada 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿2(T2).
De fato, usando o item 2 da Proposição 1.9, temos que
∫︁ T2 𝑅𝑗𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∑︁ 𝑙∈Z2∖{0} ̂︂ 𝑅𝑗𝑓(𝑙)𝑔̂︀(𝑙) = ∑︁ 𝑙∈Z2∖{0} (︃ −𝑖𝑙𝑗 |𝑙|𝑓̂︀(𝑙) )︃ ̂︀ 𝑔(𝑙) = ∑︁ 𝑙∈Z2∖{0} −𝑓̂︀(𝑙) (︃ −𝑖𝑙𝑗 |𝑙|𝑔̂︀(𝑙) )︃ = ∑︁ 𝑙∈Z2∖{0} −𝑓̂︀(𝑙)𝑅̂︂𝑗𝑔(𝑙) = −∫︁ T2 𝑓(𝑥)𝑅𝑗𝑔(𝑥)𝑑𝑥.
Definimos a derivada fracionária Λ𝑠 := (−Δ)𝑠2 via transformada de Fourier como
\
(Λ𝑠𝑓)(𝑚) = (2𝜋|𝑚|)𝑠𝑓̂︀(𝑚), para todo 𝑚 ∈ Z2, (1.3.7)
onde 𝑓 ∈ 𝐿2(T2). Mais adiante, apresentaremos este conceito na situação em que 𝑓 for uma
distribuição periódica.
Observação 1.13. Se 𝑠 < 0, temos que tomar cuidado com a definição em (1.3.7). Neste caso, pedimos que 𝑓 tenha média nula e definimos
\ Λ𝑠𝑓(0) = 0.
Finalizamos esta seção com uma observação sobre algumas propriedades da derivada fracio-nária. Em resumo, estas nos dizem que a derivada fracionária é simétrica em 𝐿2(T2), age como
um grupo com a operação de composição e comuta com as transformadas de Riesz. Para mais detalhes, referimos [25] ao leitor.
Observação 1.14. 1. Para cada 𝑠 > 0 e quaisquer que sejam 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿2(T2), temos que
⟨Λ𝑠𝑓, 𝑔⟩ = ⟨𝑓, Λ𝑠𝑔⟩, (1.3.8)
Com efeito, usando o item 2 da Proposição 1.9, obtemos que
∫︁ T2 Λ𝑠 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∑︁ 𝑙∈Z2 ̂︂ Λ𝑠𝑓(𝑙) ̂︀ 𝑔(𝑙) = ∑︁ 𝑙∈Z2 ((2𝜋|𝑙|)𝑠 ̂︀ 𝑓(𝑙))𝑔̂︀(𝑙) = ∑︁ 𝑙∈Z2 ̂︀ 𝑓(𝑙)((2𝜋|𝑙|)𝑠 ̂︀ 𝑔(𝑙)) = ∑︁ 𝑙∈Z2 ̂︀ 𝑓(𝑙)Λ̂︂𝑠𝑔(𝑙) = ∫︁ T2 𝑓(𝑥)Λ𝑠𝑔(𝑥)𝑑𝑥.
2. Para cada 𝑠, 𝑝 ∈ R, temos que
Λ𝑠Λ𝑝 = Λ𝑠+𝑝
. Em particular, Λ0 = 𝐼𝑑.
Com efeito, via Fourier, obtemos que
\ Λ𝑠Λ𝑝𝑓(𝑘) = (2𝜋|𝑘|)𝑠 ̂︂ Λ𝑝𝑓(𝑘) = (2𝜋|𝑘|)𝑠(2𝜋|𝑘|)𝑝 ̂︀ 𝑓(𝑘) = \Λ𝑠+𝑝𝑓(𝑘), para cada 𝑘 ∈ Z2.
3. Para todo 𝑠 e 𝑗 = 1, 2, temos que
𝑅𝑗Λ𝑠 = Λ𝑠𝑅𝑗.
De fato, via Fourier, obtemos que
\ 𝑅𝑗Λ𝑠𝑓(𝑘) = −𝑖 𝑘𝑗 |𝑘|Λ̂︂ 𝑠𝑓(𝑘) = −𝑖𝑘𝑗 |𝑘|(2𝜋|𝑘|) 𝑠 ̂︀ 𝑓(𝑘) = (2𝜋|𝑘|)𝑠 ̂︂ 𝑅𝑗𝑓(𝑘) = \Λ𝑠𝑅 𝑗𝑓(𝑘),
para todo 𝑘 ∈ Z2∖{0}, como queríamos.
1.4
Espaços de Sobolev e o comutador
Uma distribuição periódica é um funcional linear contínuo definido em 𝐶∞(T2). O espaço de
todas as distribuições periódicas é denotado por 𝒟′(T2). Dada 𝑓 ∈ 𝒟′(T2) e 𝑚 ∈ Z2 definimos ̂︀
𝑓(𝑚) = ⟨𝑓, 𝐸𝑚⟩, (1.4.1)
onde 𝐸𝑚 = 𝑒2𝜋𝑖𝑚·𝑥, e a série de Fourier de 𝑓 é dada por
∑︁
𝑚∈Z2
̂︀
𝑓(𝑚)𝐸𝑚.
Observação 1.15. A série de Fourier de uma distribuição periódica 𝑓 ∈ 𝒟′(T2) converge para
𝑓 em 𝒟′(T2). De fato, sabendo que se 𝜑 ∈ 𝐶∞(T2), então ∑︀
𝑚∈Z2𝜑̂︀(𝑚)𝐸𝑚 converge para 𝜑 na
topologia de 𝐶∞(T2), temos que
⟨ ∑︁ |𝑚|6𝑘 ̂︀ 𝑓(𝑚)𝐸𝑚, 𝜑⟩ = ∑︁ |𝑚|6𝑘 ̂︀ 𝑓(𝑚)⟨𝐸𝑚, 𝜑⟩ = ∑︁ |𝑚|6𝑘 ⟨𝑓, 𝐸𝑚⟩𝜑̂︀(𝑚) = ∑︁ |𝑚|6𝑘 ⟨𝑓,𝜑̂︀(𝑚)𝐸𝑚⟩ = ⟨𝑓, ∑︁ |𝑚|6𝑘 ̂︀ 𝜑(𝑚)𝐸𝑚⟩. (1.4.2) Portanto, a convergência de ∑︀
𝑚∈Z2𝑓̂︀(𝑚)𝐸𝑚 para 𝑓 em 𝒟′(T2) é obtida fazendo 𝑘 tender a infinito
em (1.4.2).
Definição 1.16. A transformada de Fourier periódica 𝑇𝑝𝑒𝑟 : 𝒟′(T2) → 𝑙(Z2) é definida por
𝑇𝑝𝑒𝑟(𝑓)(𝑚) =𝑓̂︀(𝑚),
Observe que existem constantes 𝐶 > 0 e 𝑁 ∈ N tais que
|𝑓̂︀(𝑚)|6 𝐶(1 + |𝑚|)𝑁, para todo 𝑚 ∈ Z2. (1.4.3)
Seja 𝑙(Z2) o conjunto das sequências indexadas em Z2 e ̃︀
𝑙(Z2) = {𝜎 ∈ 𝑙(Z2) : ∃𝐶 e 𝑁 tais que 𝜎(𝑚) satisfaz (1.4.3)}.
Temos que 𝑇𝑝𝑒𝑟 : 𝒟′(T2) →̃︀𝑙(Z2) é um isomorfismo (veja [23, p. 297-298]).
1.4.1
Espaços de Sobolev
Seja 𝑘 um inteiro não-negativo e 1 6 𝑝 6 ∞. O espaço de Sobolev 𝑊𝑘,𝑝(T2) é o espaço das
funções 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(T2) tais que 𝐷𝛼𝑓 ∈ 𝐿𝑝(T2) para todo multi-índice |𝛼|6 𝑘 onde 𝐷𝛼 denota a
derivada fraca, isto é,
∫︁ T2 𝑓 𝐷𝛼𝜑𝑑𝑥 = (−1)|𝛼| ∫︁ T2 𝜑𝐷𝛼𝑓 𝑑𝑥
para cada 𝜑 ∈ 𝐶∞(T2). Para 𝑘 ∈ N ∪ {0} e 1 6 𝑝 6 ∞, é fácil ver que 𝑊𝑘,𝑝(T2) é um espaço de
Banach com a norma
||𝑓 ||𝑊𝑘,𝑝:= ⎛ ⎝ ∑︁ |𝛼|6𝑘 ||𝐷𝛼𝑓 ||𝑝 𝑝 ⎞ ⎠ 1 𝑝 , para 1 6 𝑝 < ∞, e ||𝑓 ||𝑊𝑘,𝑝:= max |𝛼|6𝑘||𝐷 𝛼𝑓 || ∞, para 𝑝 = ∞.
Para mais detalhes sobre os espaços 𝑊𝑘,𝑝(T2) veja [1, p. 45].
Os espaços 𝑊𝑘,𝑝(T2) podem ser estendidos, via diferentes métodos, para espaços que contém
uma noção de derivação fracionária (veja, por exemplo [2] e [25]). Aqui usamos a noção de derivada fracionária Λ𝑠 definida em (1.3.7) para 𝑓 ∈ 𝐿2(T2) e agora estendida para 𝑓 ∈ 𝒟′(T2) por
\
(Λ𝑠𝑓)(𝑚) = (2𝜋|𝑚|)𝑠
̂︀
𝑓(𝑚) para cada 𝑚 ∈ Z2.
Dado 𝑠 ∈ R e 1 < 𝑝 < ∞ definimos o espaço de Sobolev 𝐻𝑠,𝑝(T2) como sendo o espaço das
distribuições periódicas 𝑓 ∈ 𝒟′(T2) tais que
|𝑓 |𝑠,𝑝:= ||Λ𝑠𝑓 ||𝑝< ∞.
Em particular, quando 𝑝 = 2 denotaremos 𝐻𝑠,2(T2) = 𝐻𝑠(T2) e |𝑓|
𝑠,2= |𝑓|𝑠. Segue imediatamente
que 𝐻0(T2) = 𝐿2(T2). É fácil ver que os espaços de Sobolev 𝐻𝑠(T2) são espaços de Hilbert com o
produto interno
⟨𝑓, 𝑔⟩(𝑠)= ∫︁
T2
Λ𝑠𝑓(𝑥)Λ𝑠𝑔(𝑥)𝑑𝑥.
Temos também a estimativa
Pela desigualdade (1.4.4), segue que a imersão 𝐻𝑠 → 𝐻𝑡 é contínua, quando 𝑡 6 𝑠. Para mais
detalhes, veja [25, p. 16].
Vejamos alguns resultados importantes sobre os espaços de Sobolev. O primeiro deles relaci-ona 𝐻𝑘,𝑝(T2) com 𝑊𝑘,𝑝(T2) mostrando a compatibilidade da extensão. Para uma demonstração,
referenciamos o leitor a [1, p. 221].
Lema 1.17. Se 𝑠 é um inteiro não-negativo e 1 < 𝑝 < ∞, então 𝐻𝑠,𝑝(T2) coincide com 𝑊𝑠,𝑝(T2) e suas normas são equivalentes.
O próximo lema mostra que espaços de Sobolev 𝐻𝑠 podem ser imersos em espaços de funções
contínuas e deriváveis, contanto que o índice 𝑠 seja suficientemente grande. Para uma demonstra-ção, veja [23, p. 303].
Lema 1.18. (Imersão de Sobolev) Seja 𝑘 > 0. Se 𝑠 > 𝑘 + 1, então 𝐻𝑠(T2) ⊂ 𝐶𝑘(T2) e a inclusão
é contínua.
Mesmo para índices 𝑠 não-grande, a escala dos espaços de Sobolev apresentam boas relações. Este é o conteúdo do lema a seguir. Referimos o leitor a [1, p. 221] para mais detalhes e a demonstração.
Lema 1.19. (Imersão de Sobolev) Se 𝑠0 > 𝑠1 e 1 < 𝑝 < 𝑞 < ∞ são números reais tais que
(𝑠0− 𝑠1)𝑝 < 2 e 1 𝑞 = 1 𝑝 − 𝑠0− 𝑠1 2 , então a inclusão 𝐻𝑠0,𝑝(T2) ⊆ 𝐻𝑠1,𝑞(T2) é contínua.
Muitos métodos em EDPs não-lineares necessitam de resultados de compacidade nos espaços considerados. A seguir, relembramos um clássico destes em espaços de Sobolev. O leitor pode encontrar a demonstração em [23, p. 305].
Lema 1.20. (Teorema de Rellich) Seja {𝑓𝑘}𝑘∈N uma sequência em 𝐻𝑠(T2). Se sup𝑘|𝑓𝑘|𝑠< ∞ e
todas as 𝑓𝑘 tem suporte compacto 𝐾, então existe uma subsequência {𝑓𝑘𝑗}𝑗∈N que converge em
𝐻𝑡(T2) para todo 𝑡 < 𝑠.
Usando argumentos de interpolação, Lema 1.19 pode ser estendido da seguinte forma.
Lema 1.21. (Desigualdade de Gagliardo–Nirenberg) Se 𝑓 ∈ 𝐻𝑠0,𝑝0(T2) e 𝑠0− 2 𝑝0 = (1 − 𝛿) (︃ 𝑠1− 2 𝑝1 )︃ + 𝛿 (︃ 𝑠2− 2 𝑝2 )︃
para algum 0 < 𝛿 6 1, então 𝑓 ∈ 𝐻𝑠1,𝑝1(T2) ∩ 𝐻𝑠2,𝑝2(T2) e existe uma constante 𝐶 > 0 tal que
||𝑓 ||𝐻𝑠0,𝑝0(T2)6 𝐶||𝑓 ||1−𝛿
𝐻𝑠1,𝑝1(T2)||𝑓 ||
𝛿
1.4.2
O operador comutador
Considere o operador comutador
[Λ, ∇𝜑]𝜓 := Λ(∇𝜑𝜓) − ∇𝜑Λ𝜓.
Para demonstrar a convergência de certos esquemas de aproximação, estimativas envolvendo o comutador desempenham um papel importante.
Lema 1.22. (Estimativa do comutador) Para cada 𝜖 >0, existe uma constante 𝐶(𝜖) > 0 tal que
|[Λ, ∇𝜑]𝜓|06 𝐶(𝜖)|𝜑|3+𝜖|𝜓|0,
para todo 𝜑 ∈ 𝐻3+𝜖 e 𝜓 ∈ 𝐿2.
Demonstração. Seja 𝐽𝑠 = (1 − Δ)𝑠2. Relembre a estimativa do comutador de Kato-Ponce (veja
[31])
||𝐽𝑠(𝑓𝑔) − 𝑓𝐽𝑠𝑔||
𝑝6 𝐶(𝑚, 𝑝, 𝑠)(||∇𝑓 ||∞||𝐽𝑠−1𝑔||𝑝+||𝐽𝑠𝑓 ||𝑝||𝑔||∞) (1.4.5)
onde 1 < 𝑝 < ∞ e 𝑠 > 0.
Sob condições periódicas, podemos obter uma estimativa análoga para o operador Λ𝑠. Tomando
𝑠= 1 e 𝑝 = 2 em (1.4.5), obtemos que
|Λ(∇𝜑𝜓) − ∇𝜑Λ𝜓|06 𝐶(||∇(∇𝜑)||∞|𝜓|0+|Λ∇𝜑|0||𝜓||∞).
Pelo Lema 1.18, para cada 𝜖 > 0 e 𝑓 ∈ 𝐻1+𝜖(T2) temos que 𝑓 ∈ 𝐶(T2) e existe uma constante
𝐶(𝜖) > 0 tal que ||𝑓||∞6 𝑐(𝜖)|𝑓 |1+𝜖. Dessa forma, podemos estimar
|[Λ, ∇𝜑]𝜓|0 6 𝐶(||∇(∇𝜑)||∞|𝜓|0+|Λ∇𝜑|0||𝜓||∞)
6 𝐶(𝐶(𝜖)|∇(∇𝜑)|1+𝜖|𝜓|0+|𝜑|2|𝜓|0)
6 𝐶(𝜖)|𝜑|3+𝜖|𝜓|0,
para cada 𝜖 > 0.
Relacionado com (1.4.5), relembramos uma regra do tipo Leibniz para derivadas fracionárias em 𝐿𝑝.
Lema 1.23. Suponha 𝑠 >0 e 1 < 𝑝 < ∞. Se 𝑓, 𝑔 ∈ 𝒟′(T2), então
||Λ𝑠(𝑓𝑔)|| 𝑝6 𝐶(||𝑓 ||𝑝1|𝑔|𝑠,𝑝2+|𝑓|𝑠,𝑝3||𝑔||𝑝4) com 1 < 𝑝2, 𝑝3 < ∞ satisfazendo 1 𝑝 = 1 𝑝1 + 1 𝑝2 = 1 𝑝3 + 1 𝑝4 .
Observação 1.24. Se 𝑢= ∇⊥𝜓 e Λ𝜓 = −𝜃 com div 𝑢 = 0, então podemos escrever ∫︁ 𝜃(𝑢 · ∇𝜑)𝑑𝑥 = 1 2 ∫︁ 𝑢[Λ, ∇𝜑]𝜓𝑑𝑥, (1.4.6)
para toda 𝜑 ∈ 𝐶∞(T2). De fato, integrando por partes, obtemos que
∫︁ T2 𝜃(𝑢 · ∇𝜑)𝑑𝑥 = − ∫︁ T2 Λ𝜓(∇⊥ 𝜓∇𝜑)𝑑𝑥 = −∫︁ T2 Λ𝜓(−𝜕2𝜓𝜕1𝜑+ 𝜕1𝜓𝜕2𝜑)𝑑𝑥 = −∫︁ T2 𝜓𝜕2(Λ𝜓)𝜕1𝜑 − 𝜓𝜕1(Λ𝜓)𝜕2𝜑𝑑𝑥 = ∫︁ T2 𝜓∇⊥(Λ𝜓)∇𝜑𝑑𝑥 = ∫︁ T2 Λ(∇⊥ 𝜓)𝜓∇𝜑𝑑𝑥 = ∫︁ T2 ∇⊥𝜓Λ(𝜓∇𝜑)𝑑𝑥. (1.4.7) Observe que ∫︁ T2 𝑢(∇𝜑Λ𝜓)𝑑𝑥 = ∫︁ T2 ∇⊥𝜓∇𝜑Λ𝜓𝑑𝑥 (1.4.8) e ∫︁ T2 𝑢Λ(𝜓∇𝜑)𝑑𝑥 = ∫︁ T2 ∇⊥𝜓Λ(𝜓∇𝜑)𝑑𝑥. (1.4.9)
Assim, combinando as equações (1.4.8) e (1.4.9) em (1.4.7) obtemos (1.4.6).
1.5
Espaços de Bochner
Seja (𝑋, ||·||𝑋) um espaço de Banach. Definimos o espaço de Bochner 𝐿𝑝([0, 𝑇 ], 𝑋) como sendo
o espaço das funções 𝑓 : [0, 𝑇 ] → 𝑋 Bochner mensuráveis tais que ||𝑓 ||𝐿𝑝([0,𝑇 ],𝑋):= (︃ ∫︁ 𝑇 0 ||𝑓(𝑡)||𝑝𝑋 )︃1 𝑝 < ∞, para 1 6 𝑝 < ∞ e ||𝑓 ||𝐿∞([0,𝑇 ],𝑋):= sup 0<𝑡<𝑇 ||𝑓(𝑡)||𝑋< ∞, para 𝑝 = ∞.
Além disto, 𝐶([0, 𝑇 ], 𝑋) denota o espaço de Bochner das funções contínuas 𝑓 : [0, 𝑇 ] → 𝑋 tais que ||𝑓 ||𝐿∞([0,𝑇 ],𝑋)< ∞. Consulte [38] para mais detalhes.
Nosso próximo passo é obter condições para que conjuntos sejam relativamente compactos em espaços de Bochner. Lembramos que um subconjunto 𝐹 de um espaço métrico 𝐵 é relativamente compacto se cada sequência em 𝐹 admite uma subsequência convergente. Os dois próximos resul-tados fornecem este tipo de condições. Para uma demonstração, veja [38, p. 71] e [39, p. 1097], respectivamente.
Lema 1.25. Seja (𝑋, ||·||𝑋) um espaço de Banach. Um subconjunto 𝐹 de 𝐶([0, 𝑇 ], 𝑋) é
relativa-mente compacto, se e sorelativa-mente se, as duas seguintes propriedades são verificadas: 1. 𝐹(𝑡) = {𝑓(𝑡) : 𝑓 ∈ 𝐹 } é relativamente compacto em 𝑋 para cada 𝑡 ∈ (0, 𝑇 ); 2. 𝐹 é uniformemente equicontínuo, isto é, para cada 𝜖 >0 existe 𝛿 > 0 tal que
||𝑓(𝑡2) − 𝑓(𝑡1)||𝑋< 𝜖, para quaisquer 𝑓 ∈ 𝐹 e 𝑡1, 𝑡2 ∈[0, 𝑇 ]
tais que |𝑡2− 𝑡1|< 𝛿.
Lema 1.26. Sejam 𝑋 ⊂ 𝐸 ⊂ 𝑌 espaços de Banach. Se a imersão 𝑋 → 𝐸 é compacta, então a imersão 𝐿∞([0, 𝑇 ]; 𝑋) ∩ {︃ 𝜙: 𝜕𝜙 𝜕𝑡 ∈ 𝐿 𝑟([0, 𝑇 ]; 𝑌 ) }︃ → 𝐶([0, 𝑇 ]; 𝐸) é compacta, para 1 < 𝑟 6 ∞.
1.6
Mais alguns resultados preliminares
Nesta seção fazemos uma coletânea de resultados básicos de Análise Funcional, desigualdade de Gronwall e EDO que serão úteis nos capítulos vindouros.
O primeiro resultado trata-se de uma desigualdade numérica.
Proposição 1.27. Se 𝑝 e 𝑞 são números reais positivos tais que 1𝑝 +1𝑞 = 1, então 𝑎𝑏 6 𝑎 𝑝 𝑝 + 𝑏𝑞 𝑞 para quaisquer 𝑎, 𝑏> 0.
Esta desigualdade é consequência da concavidade da função ln em (0, ∞). De fato, basta observar que ln (︃ 𝑎𝑝 𝑝 + 𝑏𝑞 𝑞 )︃ > ln (︃ 𝑎𝑝 𝑝 )︃ + ln (︃ 𝑏𝑞 𝑞 )︃ > ln(𝑎𝑏).
O resultado seguinte fornece uma estimativa para uma inequação diferencial (veja [21, p. 624]).
Proposição 1.28. Seja 𝜂 uma função não-negativa absolutamente contínua em [0, 𝑇 ] que satisfaz a inequação diferencial
𝜂′(𝑡) 6 𝜑(𝑡)𝜂(𝑡) + 𝜓(𝑡), para 𝑞.𝑡.𝑝 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], onde 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐿1([0, 𝑇 ]) são funções não-negativas. Então,
𝜂(𝑡) 6 𝑒∫︀ 𝑡 0𝜑(𝑠)𝑑𝑠 (︂ 𝜂(0) + ∫︁ 𝑡 0 𝜓(𝑠)𝑑𝑠 )︂ , para todo 𝑡 ∈[0, 𝑇 ].
A próxima proposição fornece uma estimativa para o limite de uma sequência fracamente convergente em um espaço de Hilbert (veja [3, p. 58]).
Proposição 1.29. Seja 𝐻 um espaço de Hilbert. Seja {𝑥𝑛}𝑛∈N uma sequência em 𝐻 tal que
𝑥𝑛⇀ 𝑥 em 𝐻, então
||𝑥||𝐻6 lim inf||𝑥𝑛||𝐻.
Precisaremos também dos seguintes resultados clássicos sobre sequências e topologia fraca, cujas demonstrações podem ser encontradas em [3, p. 71] e [23, p. 169], respectivamente.
Proposição 1.30. Seja 𝐻 um espaço de Hilbert e {𝑥𝑛}N uma sequência em 𝐻 tal que
𝑥𝑛 ⇀ 𝑥 e lim sup||𝑥𝑛||𝐻6 ||𝑥||𝐻,
então 𝑥𝑛→ 𝑥 fortemente.
Lema 1.31. (Teorema de Banach-Alaoglu-Boubarki) Se 𝑋 é um espaço vetorial normado, então a bola unitária fechada 𝐵* = {𝑓 ∈ 𝑋* : ||𝑓||6 1} em 𝑋* é compacta na topologia fraca⋆.
Finalizamos a seção com resultados que fornecem soluções de EDOs e condições para que a solução seja continuada. Vamos utilizar estes resultados quando fizermos uso do método de Galerkin. As demonstrações destes resultados podem ser encontradas em [9, p. 15, 43].
Lema 1.32. (Teorema de Carathéodory) Considere o problema de valor inicial
{︃
𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))
𝑦(𝑡0) = 𝑦0 (1.6.1)
com 𝑓 definida no retângulo 𝑅 = {(𝑡, 𝑦) | |𝑡 − 𝑡0|≤ 𝑎, |𝑦 − 𝑦0|≤ 𝑏} . Se a função 𝑓 é mensurável
em 𝑡 para cada 𝑦 fixo, contínua em 𝑦 para cada 𝑡 fixo e existe uma função Lebesgue integrável 𝑔 definida no intervalo |𝑡 − 𝑡0|< 𝑎 tal que
|𝑓(𝑡, 𝑦)|6 𝑔(𝑡), para todo (𝑡, 𝑦) ∈ 𝑅,
então o problema de valor inicial admite uma solução numa vizinhança da condição inicial. Lema 1.33. Suponha que 𝑓 é contínua e limitada em um domínio 𝐷 do plano (𝑡, 𝑦). Se 𝜑 é solução de (1.6.1) em (𝑎, 𝑏) então os limites 𝜑(𝑎+) = lim
𝑡→𝑎+𝜑(𝑡) e 𝜑(𝑏−) = lim𝑡→𝑏−𝜑(𝑡) existem. Se (𝑎, 𝜑(𝑎+)) ou (𝑏, 𝜑(𝑏−)) está em 𝐷, então a solução pode ser estendida a esquerda de 𝑎 ou a direita de 𝑏 respectivamente.
Capítulo 2
Soluções fracas e regularidade local
Considere a equação (0.0.1) com dissipação no caso crítico, isto é,
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜃𝑡−(𝑢 · ∇)𝜃 + Λ𝜃 = 0, em R2 e 𝑡 > 0 𝑢= (−𝑅2𝜃, 𝑅1𝜃) 𝜃(𝑥, 0) = 𝜃0(𝑥) em R2 (2.0.1) Relembrando a expressão (1.3.5) para a transformada de Riesz 𝑅𝑗, o acoplamento 𝑢 = (−𝑅2𝜃, 𝑅1𝜃)
pode ser reescrito como
𝑢= ∇⊥𝜓, (2.0.2)
onde a função 𝜓 está relacionada com a função 𝜃 por
𝜓 = −Λ−1𝜃.
Por (2.0.2), note em particular que div 𝑢 = 0.
Observação 2.1. Seja 𝜃 solução de (2.0.1). Se 𝜃 não tem média nula, então ¯𝜃 = 𝜃 −𝜃̂︀(0) tem
média nula e satisfaz a equação (2.0.1). Assim, para nossos propósitos, podemos supor que 𝜃 tem média nula, sem perda de generalidade.
Neste capítulo, mostraremos um princípio do máximo em 𝐿𝑝 para a equação (2.0.1). Mais
precisamente, vamos mostrar que se 𝜃 é solução, então sua norma 𝐿𝑝 deverá ser monótona
não-crescente (veja Seção 2.1). Na Seção 2.2, mostraremos a existência global de soluções fracas. Finalizamos o capítulo com a Seção 2.3, apresentando um teorema sobre regularidade local das soluções.
2.1
Princípio do máximo em 𝐿
𝑝Estamos interessados em obter estimativas a priori para a solução da equação (2.0.1) na norma de 𝐿𝑝(T2). De fato, no decorrer do texto, faremos uso do lema a seguir apenas no caso 𝑝 = 2. Para
Lema 2.2. (Princípio do máximo) Se 2 6 𝑝 6 ∞ e 𝜃 é uma função suave periódica satisfazendo (2.0.1), então
||𝜃(·, 𝑡)||𝑝6 ||𝜃0||𝑝. (2.1.1)
Demonstração. Em [36, p. 23] e em [15, p. 516], temos a seguinte propriedade de positividade
∫︁ T2
|𝜃|𝑝−2Λ𝜃𝑑𝑥 > 0 para todo 𝜃, Λ𝜃 ∈ 𝐿𝑝(T2) e 1 < 𝑝 < ∞. (2.1.2) Agora, fixe 2 6 𝑝 < ∞. Usando derivação dominada e que 𝜃 satisfaz (2.0.1), temos que
𝜕 𝜕𝑡||𝜃(𝑡)|| 𝑝 𝑝 = 𝜕 𝜕𝑡 ∫︁ T2 (|𝜃|2)𝑝2𝑑𝑥 = 𝑝∫︁ T2 |𝜃|𝑝−2𝜃(𝜕𝑡𝜃)𝑑𝑥 = 𝑝∫︁ T2 |𝜃|𝑝−2𝜃(𝑢 · ∇𝜃 − Λ𝜃)𝑑𝑥. (2.1.3) Observe que 𝑝 ∫︁ T2 |𝜃|𝑝−2𝜃(𝑢 · ∇𝜃)𝑑𝑥 = ∫︁ T2 𝑢 ·(𝑝|𝜃|𝑝−2𝜃∇𝜃)𝑑𝑥 = ∫︁ T2 (𝑢 · ∇)|𝜃|𝑝𝑑𝑥. (2.1.4)
Integrando por partes e usando a condição div 𝑢 = 0, temos que
∫︁ T2
(𝑢 · ∇)|𝜃|𝑝𝑑𝑥= −∫︁
T2
div 𝑢|𝜃|𝑝𝑑𝑥= 0. (2.1.5)
Combinando as equações (2.1.4) e (2.1.5) em (2.1.3), chegamos a igualdade
𝜕 𝜕𝑡||𝜃(𝑡)|| 𝑝 𝑝= −𝑝 ∫︁ T2 |𝜃|𝑝−2Λ𝜃𝑑𝑥.
Usando a condição de positividade (2.1.2), concluímos que
𝜕
𝜕𝑡||𝜃(𝑡)||
𝑝 𝑝6 0.
Portanto, integrando no tempo, segue que
||𝜃(𝑡)||𝑝6 ||𝜃0||𝑝.
Para concluir a prova, note que
||𝜃(𝑡)||∞= lim
𝑝→∞||𝜃(𝑡)||𝑝6 lim𝑝→∞||𝜃0||𝑝= ||𝜃0||∞.
Observação 2.3. O resultado também é verdadeiro para o caso 1 6 𝑝 < 2 tomando-se alguns cuidados na demonstração acima (veja por exemplo, [15, Proposição 2.6] e [36]). Em [36, p. 25], é mostrado que o mesmo resultado continua válido para o caso 𝑝= ∞ sem que div 𝑢 = 0.
2.2
Existência global de soluções fracas
Inicialmente, vamos definir o conceito de solução fraca. Se uma função 𝜃 satisfaz a equação (2.0.1) no sentido clássico, então multiplicando por uma função teste 𝜑 ∈ 𝐶∞(T2), integrando por
partes em T2, e depois integrando no tempo para 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], obtemos ∫︁ T2 𝜃(𝑡)𝜑𝑑𝑥 − ∫︁ T2 𝜃0𝜑𝑑𝑥+ ∫︁ 𝑡 0 ∫︁ T2 𝜃(𝑠)Λ𝜑 + 𝜃(𝑠)𝑢(𝑠)∇𝜑𝑑𝑥𝑑𝑠 = 0. (2.2.1)
Uma análise da boa-definição dos termos em (2.2.1) motiva a seguinte definição.
Definição 2.4. Dizemos que 𝜃(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐿∞([0, 𝑇 ], 𝐿2(T2)) ∩ 𝐿2([0, 𝑇 ], 𝐻12(T2)) é solução fraca de (2.0.1) em [0, 𝑇 ] se 𝜃 satisfaz (2.2.1) 𝑞.𝑡.𝑝 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], para todo 𝜑 ∈ 𝐶∞(T2). Além disso, 𝜃 é
chamada uma solução fraca global quando ela for uma solução fraca em [0, 𝑇 ] para todo 𝑇 > 0.
Agora que estamos munidos do conceito de solução fraca, vamos ao resultado principal desta seção.
Teorema 2.5. Para cada 𝜃0 ∈ 𝐿2(T), existe uma solução fraca global 𝜃(𝑥, 𝑡) de (2.0.1).
Demonstração. A ideia da demonstração é construir uma solução fraca utilizando o método de
Galerkin.
Seja 𝑇 > 0. Considere 𝑃𝑛 a projeção ortogonal em 𝐿2(T2) sobre o espaço gerado por
𝑆𝑛 = {𝐸𝑚(𝑥) = 𝑒2𝜋𝑖𝑚·𝑥 : |𝑚|6 𝑛}.
A 𝑛-ésima truncação de Galerkin é obtida aplicando 𝑃𝑛 no problema de valor inicial (2.0.1), para
0 < 𝑡 < 𝑇 , e esta é dada por
{︃ ˙𝜃
𝑛− 𝑃𝑛(𝑢𝑛· ∇)𝜃𝑛+ Λ𝜃𝑛 = 0, 0 < 𝑡 < 𝑇
𝜃𝑛(𝑥, 0) = 𝑃𝑛𝜃0 (2.2.2)
com 𝑢𝑛 = (−𝑅2𝜃𝑛, 𝑅1𝜃𝑛).
Vamos mostrar que (2.2.2) tem solução para cada 𝑛 ∈ N. De fato, multiplicando a equação (2.2.2) por 𝐸𝑝 com 𝑝 ∈ Z2 e |𝑝|6 𝑛, temos que
⟨ ˙𝜃𝑛, 𝐸𝑝⟩ − ⟨𝑃𝑛(𝑢𝑛· ∇)𝜃𝑛, 𝐸𝑝⟩+ ⟨Λ𝜃𝑛, 𝐸𝑝⟩= 0. (2.2.3) Desde que 𝜃𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝑃𝑛𝜃(𝑥, 𝑡) = ∑︁ |𝑗|6𝑛 𝜆𝑗(𝑡)𝐸𝑗(𝑥),
podemos expressar (2.2.3) como
𝜆′𝑝(𝑡) − 2𝜋𝑖 ∑︁ |𝑗|,|𝑘|6𝑛 𝜆𝑗(𝑡)𝜆𝑘(𝑡)⟨𝑃𝑛(𝐸𝑘[𝑅1(𝐸𝑗)𝑘2− 𝑅2(𝐸𝑗)𝑘1]), 𝐸𝑝⟩+ ∑︁ |𝑗|6𝑛 𝜆𝑗(𝑡)⟨Λ(𝑤𝑗), 𝐸𝑝⟩= 0.
Assim, (2.2.2) pode ser reescrito na forma
{︃
𝜆′𝑝(𝑡) = 𝑓𝑝(𝑡, 𝜆𝑗′𝑠), |𝑝|6 𝑛 𝜆𝑝(0) = ⟨𝜃0, 𝑤𝑝⟩,
onde 𝑓𝑝 são funções contínuas. Portanto, pelo Lema 1.32, temos que 𝜆𝑝 existe localmente em torno
de 𝑡 = 0. Por conseguinte, 𝜃𝑛 existe localmente.
Do Lema 2.2, obtemos que
|𝜆𝑘(𝑡)| 6 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ √︃ ∑︁ |𝑗|6𝑛 𝜆2 𝑗(𝑡) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 6 ||𝜃𝑛||2 6 ||𝜃0||2.
Logo, pelo Lema 1.33, temos que 𝜆𝑝 existe em [0, 𝑇 ] para cada |𝑝|6 𝑛. Donde concluímos que 𝜃𝑛
existe em [0, 𝑇 ] para cada 𝑛 ∈ N.
Observe que cada 𝜃𝑛 satisfaz (2.2.1).
Agora, vamos provar algumas estimativas para a sequência recorrente. Usando que 𝑃𝑛 é
simé-trico e integrando por partes, obtemos que
∫︁ T2 𝜃𝑛𝑃𝑛[(𝑢𝑛· ∇)𝜃𝑛]𝑑𝑥 = ∫︁ T2 𝜃𝑛(𝑢𝑛· ∇)𝜃𝑛𝑑𝑥 = −∫︁ T2 𝜃𝑛∇ ·(𝜃𝑛𝑢𝑛)𝑑𝑥.
A condição div 𝑢 = 0 fornece
∫︁ T2 𝜃𝑛∇ ·(𝜃𝑛𝑢𝑛) = ∫︁ T2 𝜃𝑛𝑢𝑛· ∇𝜃𝑛𝑑𝑥.
Donde concluímos que
∫︁ T2 𝜃𝑛𝑃𝑛[(𝑢𝑛· ∇)𝜃𝑛]𝑑𝑥 = 0. Consequentemente, 1 2 𝜕 𝜕𝑡|𝜃𝑛(𝑡)| 2 0+|𝜃𝑛(𝑡)|21 2 = ∫︁ T2 𝜃𝑛˙𝜃𝑛+ 𝜃𝑛Λ𝜃𝑛𝑑𝑥 = ∫︁ T2 𝜃𝑛𝑃𝑛[(𝑢𝑛· ∇)𝜃𝑛]𝑑𝑥 = 0. Dessa forma, obtemos a equação diferencial
⎧ ⎨ ⎩ 1 2 𝜕 𝜕𝑡|𝜃𝑛(𝑡)| 2 0+|𝜃𝑛(𝑡)|21 2= 0 0 < 𝑡 < 𝑇 |𝜃𝑛|0= |𝑃𝑛𝜃0|06 |𝜃0|0 𝑡= 0,
cuja solução satisfaz 1 2|𝜃𝑛(𝑡)|20+ ∫︁ 𝑡 0 |𝜃𝑛(𝑠)|21 2𝑑𝑠 6 |𝜃0| 2 0. (2.2.4)
Portanto, a sequência {𝜃𝑛(𝑡)}𝑛∈N é uniformemente limitada em
𝐿∞([0, 𝑇 ]; 𝐻0(T2)) ∩ 𝐿2([0, 𝑇 ]; 𝐻12(T2)).
A seguir, vamos mostrar que a sequência recorrente é equicontínua em 𝐻−(2+𝜖)(T2), para cada
𝜖 >0, com a finalidade de obter uma função limite.
Seja 𝜑 ∈ 𝐻−(2+𝜖)(T2) para algum 𝜖 > 0. Usando que 𝑃
𝑛 é simétrico e integrando por partes,
obtemos que ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝜑𝑃𝑛(𝑢𝑛· ∇𝜃𝑛)𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒= ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 ∇(𝑃𝑛𝜑) · 𝑢𝑛𝜃𝑛𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ . (2.2.5)
Pela Proposição 1.1, temos que
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 ∇(𝑃𝑛𝜑) · 𝑢𝑛𝜃𝑛𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒6 ||∇(𝑃𝑛𝜑)||∞|𝑢𝑛|0|𝜃𝑛|0. (2.2.6)
De acordo com o Lema 1.18, dado 𝜖 > 0 existe uma constante 𝐶(𝜖) > 0 tal que ||𝑓 ||∞6 𝐶(𝜖)|𝑓 |1+𝜖.
Usando este fato e a limitação da transformada de Riesz em 𝐿2, podemos estimar
||∇(𝑃𝑛𝜑)||∞|𝑢𝑛|0|𝜃𝑛|0 6 𝐶(𝜖)|∇(𝑃𝑛𝜑)|1+𝜖|𝑢𝑛|0|𝜃𝑛|0
6 𝐶(𝜖)|𝜑|2+𝜖|𝜃𝑛|20. (2.2.7)
Combinando (2.2.5), (2.2.6) e (2.2.7), obtemos a estimativa
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝜑𝑃𝑛(𝑢𝑛· ∇𝜃𝑛)𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒6 𝐶(𝜖)|𝜑|2+𝜖|𝜃𝑛| 2 0. (2.2.8)
Usando que 𝜃𝑛 satisfaz (2.2.2) e a estimativa (2.2.8), segue que
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝜑 ˙𝜃𝑛𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 6 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝜑𝑃𝑛(𝑢𝑛· ∇𝜃𝑛)𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒+ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝜑Λ𝜃𝑛𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 6 𝐶(𝜖)|𝜑|2+𝜖|𝜃𝑛|20+ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝜑Λ𝜃𝑛𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒. (2.2.9)
Por dualidade, temos que sup |𝜑|2+𝜖61 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝜑Λ𝜃𝑛𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = |Λ𝜃𝑛(𝑡)|−(2+𝜖)= |𝜃𝑛(𝑡)|1−(2+𝜖)6 |𝜃𝑛(𝑡)|0 . (2.2.10)
Inserindo (2.2.10) em (2.2.9), resulta que | ˙𝜃𝑛(𝑡)|−(2+𝜖) = sup |𝜑|2+𝜖61 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝜑 ˙𝜃𝑛𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒6 𝐶(𝜖)|𝜃𝑛(𝑡)| 2 0+|𝜃𝑛(𝑡)|0. (2.2.11)
Uma vez que vale (2.2.11), temos que a sequência {𝜃𝑛(𝑡)}𝑛∈Né equicontínua em 𝐶([0, 𝑇 ]; 𝐻−(2+𝜖)(T2)).
De fato, para cada 𝑛 ∈ N, temos que
|𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃𝑛(𝑠)|−(2+𝜖)6 |𝜃𝑛|0(𝐶(𝜖)|𝜃𝑛|0+1)|𝑡 − 𝑠|.
Seja 𝜑 ∈ 𝐻2+𝜖(T2). Combinando a Proposição 1.1 com o fato de o laplaciano fracionário ser
simétrico (veja Observação 1.14, página 10), temos que
|⟨𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡), 𝜑⟩|6 |𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡)|−(2+𝜖)|𝜑|2+𝜖,
para 𝑞.𝑡.𝑝 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ].
Pelo Lema 1.25, passando a uma subsequência se necessário, lim
𝑛→∞⟨𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡), 𝜑⟩ = 0,
ou seja, dado 𝛿 > 0 existe 𝑛0 ∈ N tal que 𝑛 > 𝑛0 implica em
|⟨𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡), 𝜑⟩|< 𝛿. (2.2.12)
O Lema 1.31 assegura que, passando a uma subsequência se necessário,
𝜃𝑛 ⋆
⇀ 𝜃 em 𝐿∞([0, 𝑇 ], 𝐻0(T2)). (2.2.13)
Dado 𝑓 ∈ 𝐻0(T2), existe 𝜑 ∈ 𝐻2+𝜖(T2) tal que ||𝑓 − 𝜑||
2< 𝛿. Portanto, pela Proposição 1.1, temos
que
|⟨𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡), 𝑓 − 𝜑⟩|6 ||𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡)||2||𝑓 − 𝜑||26 2||𝜃0||2𝛿. (2.2.14)
Combinando as estimativas (2.2.12) e (2.2.14), temos que
|⟨𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡), 𝑓⟩|6 |⟨𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡), 𝑓 − 𝜑⟩2|+|⟨𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡), 𝜑⟩2|6 (1 + 2|𝜃0|)𝛿,
sempre que 𝑛 > 𝑛0.
Como consequência, chegamos a convergência fraca
𝜃𝑛(𝑡) ⇀ 𝜃(𝑡) em 𝐻0(T2). (2.2.15)
Segue da estimativa (2.2.11), que a sequência {𝜃𝑛}𝑛∈Né limitada em 𝐿𝑟([0, 𝑇 ], 𝐻−(2+𝜖)(T2)) para
qualquer 𝑟 > 1. O Lema 1.20 nos diz que 𝐿2(T2) pode ser imerso compactamente em 𝐻−1(T2), e
portanto, pelo Lema 1.26, segue que (a menos de uma subsequência)
𝜃𝑛→𝜃̃︀ em 𝐶([0, 𝑇 ], 𝐻−1(T2)). (2.2.16)
Como as convergências em (2.2.13) e (2.2.16) implicam convergência em D′(T2 × (0, 𝑇 )), por
unicidade do limite no sentido de distribuições, concluímos que 𝜃 ≡𝜃.̃︀
Para todo 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], temos que 0 6 lim sup
ou seja,
𝜃𝑛(𝑡) → 𝜃(𝑡) em 𝐻−1(T2). (2.2.17)
Observe que provamos duas convergências da sequência recorrente em espaços distintos para
𝑞.𝑡.𝑝 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], a saber, as convergências (2.2.15) e (2.2.17), sendo a primeira no sentido fraco
e a segunda forte, nos respectivos espaços. Usando estas, vamos passar o limite no problema aproximado (2.2.2).
Seja 𝜓(𝑥, 𝑡) = Λ−1𝜃(𝑥, 𝑡). Segue que
lim
𝑛→∞||𝜓𝑛(𝑡) − 𝜓(𝑡)||2= lim𝑛→∞|𝜃𝑛(𝑡) − 𝜃(𝑡)|−1= 0,
isto é,
𝜓𝑛(𝑡) → 𝜓(𝑡) em 𝐿2(T2). (2.2.18)
Seja 𝑓 ∈ 𝐿2(T2). Usando que as transformadas de Riesz são anti-simétricas em 𝐿2 (veja Observação
1.3.6, página 9), temos que lim 𝑛→∞ ∫︁ T2 𝑅1𝜃𝑛(𝑡)𝑓𝑑𝑥 = − lim 𝑛→∞ ∫︁ T2 𝜃𝑛(𝑡)𝑅1𝑓 𝑑𝑥 = −∫︁ T2 𝜃(𝑡)𝑅1𝑓 𝑑𝑥 = ∫︁ T2 𝑅1𝜃(𝑡)𝑓𝑑𝑥.
Analogamente, temos que 𝑅2𝜃𝑛 ⇀ 𝑅2𝜃 em 𝐿2(T2). Neste caso, escrevemos
𝑢𝑛(𝑡) ⇀ 𝑢(𝑡) em 𝐿2(T2). (2.2.19)
Em vista de (2.2.2), para cada 𝑛 ∈ N, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] e 𝜑 ∈ 𝐶∞(T2), temos que ∫︁ T2 𝜃𝑛(𝑡)𝜑𝑑𝑥 − ∫︁ T2 𝜃0𝑃𝑛𝜑𝑑𝑥+ ∫︁ 𝑡 0 ∫︁ T2 𝜃𝑛(𝑠)Λ𝜑 + 𝜃𝑛(𝑠)𝑢𝑛(𝑠)∇𝑃𝑛𝜑𝑑𝑥𝑑𝑠= 0. (2.2.20)
Para provar a convergência do termo não-linear precisamos reescrevê-lo. A Observação 1.24 nos permite escrever
∫︁ T2 𝜃(𝑡)𝑢(𝑡)∇𝜑𝑑𝑥 − ∫︁ T2 𝜃𝑛(𝑡)𝑢𝑛(𝑡)∇𝑃𝑛𝜑𝑑𝑥 = 12∫︁ T2 (𝑢 − 𝑢𝑛)[Λ, ∇𝜑]𝜓 + 𝑢𝑛[Λ, ∇(𝜑 − 𝑃𝑛𝜑)]𝜓 + 𝑢𝑛[Λ, ∇𝜑](𝜓 − 𝜓𝑛)𝑑𝑥. (2.2.21)
A convergência do primeiro do lado direito de (2.2.21) segue combinando a convergência (2.2.19) com o Lema 1.22. Os demais termos podem ser estimados usando a Proposição 1.1. Precisamente, obtemos que ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∫︁ T2 𝑢𝑛[Λ, ∇(𝜑 − 𝑃𝑛𝜑)]𝜓 + 𝑢𝑛[Λ, ∇𝜑](𝜓 − 𝜓𝑛)𝑑𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 6 ||𝑢𝑛(𝑡)||2||[Λ, ∇(𝜑 − 𝑃𝑛𝜑)]𝜓||2+||𝑢𝑛(𝑡)||2||[Λ, ∇𝜑](𝜓 − 𝜓𝑛)||2.
